A função de onda de Schrödinger e a probabilidade segundo Max Born

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IQM – Módulo 2 – 29 de abril de 2024 
A dinâmica de sistemas microscópicos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A função de onda de Schrödinger e a 
probabilidade, segundo Max Born 
 
Erwin Schrödinger (1887–1961) 
 
 
 
Vimos o Princípio da Incerteza de Heisenberg 
De acordo com esse Princípio é impossível descrever perfeitamente o estado de um 
sistema como, por exemplo, a posição e velocidade de um elétron no interior do átomo, 
simultaneamente. 
Quanto ao movimento de um sistema de partículas, só se pode conhecer uma função 
complexa Ψ. Esta função depende das coordenadas (x1, x2,..xN) das partículas e do tempo t. 
Vimos de Broglie 
De Broglie propôs que um comprimento de onda para uma partícula fosse definido 
por: λ = h / p 
 
 
Esta função ψ é chamada função de onda, advindo daí o qualificativo “ondulatório” 
dado a esta mecânica. Ψ é a letra grega psi, e será usada para designar uma expressão 
matemática para calcular qualquer propriedade de um átomo. 
Schrödinger propôs uma equação de onda que é uma função matemática que relaciona 
a localização de um elétron em determinado ponto no espaço com a amplitude de sua onda, 
que corresponde à sua energia. 
Em um movimento unidimensional, a função de onda seria descrita pela equação: 
 
 em que 
Ψ=Ψ+
Ψ
− ExV
dx
d
m
)(
2 2
22
 
 
Vejamos, a seguir, as funções de onda (ψ), através de Erwin Schrödinger. 
 
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 -V(x) representa a energia potencial de uma partícula de massa m, em função do 
deslocamento em x; 
 - E representa a energia total do sistema. 
 
 Suponha que a partícula quântica tenha massa m e se mova sob a influência de 
energia potencial V (x,y,z,t), Postula-se, então, que a função de onda satisfaça à seguinte 
equação, em derivadas parciais: 
 
em que i = número imaginário. i = raiz quadrada de -1 e i² = -1; 
ћ = h / 2π . 
esta é a famosa Equação de Schrödinger, proposta em 1926. 
 Se considerarmos o movimento da partícula em uma só direção, x será a única 
coordenada. 
 
Na solução de uma equação complexa em derivadas parciais, a função de onda será 
uma função complexa. É uma equação diferencial de primeira ordem, em t, e de segunda 
ordem, em x. 
 
Esta equação é escrita de diversas formas, inclusive porque a forma de escrita irá se 
completando, à medida que o nível de conhecimento quanto aos conceitos embutidos na 
equação de Schrödinger, irá se ampliando. 
Observar a forma de escrita do imaginário. Na forma abaixo descrita, há que se prestar 
atenção ao sinal negativo no primeiro termo da equação, pois i mudou de posição. A energia 
potencial, V(x), muitas vezes é indicada por U(x). 
 
 
 
 
 
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E corresponde à energia total do sistema. 
 
é denominado operador Hamiltoniano, vocês o verão em detalhes em Química 
Quântica. 
 
 
 
 
 
Max Born e a probabilidade para se localizar uma partícula. 
 
 
 
 
Esta função contém todas as informações 
sobre um sistema. 
 
 
 
 
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Interpretação de Born para a Ψ. 
 
Por Born, a função de onda, em si, não possui significado físico, mas, sim, o quadrado 
de seu módulo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ψ* = é denominado “imaginário conjugado de Ψ ” , 
 representa a probabilidade de se encontrar, no instante t, as diversas partículas 
constituindo o sistema, nos pontos de coordenadas x (ou seja, x1, x2,...xN). 
 
 
 
 
 
 
ΨΨ=Ψ *2
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Em três dimensões, a relação correspondente é 
 
 
 
 
 
 
 
Ψ
2
, em módulo, é a densidade de probabilidade. Isto significa que a equação de Born 
representa a probabilidade de se encontrar a partícula em um intervalo entre x e x+dx, a 
um tempo t. 
 
 A probabilidade de encontrar a partícula em um ponto x qualquer é dada pela 
densidade, determinada pelo quadrado da Ψ em cada ponto. 
Se a amplitude da função de onda da partícula é Ψ, em algum ponto x, a probabilidade 
de se encontrar a partícula entre x e (x + dx) é proporcional a Ψ*Ψ dx. 
 
 
 
 
 
 
ΨΨ=Ψ *2
ΨΨ=Ψ *2
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Interpretação de Born para a Ψ, para um volume dτ. 
 
A probabilidade de se encontrar a partícula em um elemento de volume dτ = 
dx.dy.dz, em uma localização r, é proporcional ao produto de dτ e o valor de Ψ*Ψ 
neste local. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Restrições impostas por Born às funções de onda 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Interpretação de Born para a Ψ. 
 
 
Para melhor compreendermos o significado das funções de onda: 
 
1) Ψ é uma função matemática (tais como sen x ou exp -x) que pode ser larga 
(grande) em uma região, curta (pequena) em outra, ou zero; 
 
2) Ψ contém todas as informações possíveis de se conhecer sobre a localização ou 
o movimento das partículas por ela descrita; 
 
3) se Ψ é larga em um ponto, então a partícula tem alta probabilidade de estar 
neste ponto; se Ψ é zero em um ponto, a partícula não pode estar lá localizada; 
 
4) quanto mais rapidamente Ψ mudar, de ponto para ponto, maior será a Ek da 
partícula por ela descrita. 
 
 
 
 
 
 
 
Partícula livre em uma dimensão. 
(a) Inaceitável, porque não é 
contínua; 
(b) Inaceitável, porque a inclinação 
é descontínua; 
(c) Inaceitável, porque não tem 
valor único; 
(d) Inaceitável, porque é infinita 
sobre uma região finita. 
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 A Equação de Schrödinger pode ser escrita de forma simplificada: 
 
 é um operador diferencial que transforma a função Ψ. Esse operador foi proposto 
por William Hamilton e é denominado operador Hamiltoniano. 
 
 
 
 
 
 A equação de Schrödinger para um movimento unidimensional é escrita como: 
 
 
 
 
Relação matemática útil: 
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