Respostas
Vamos analisar a integral dada utilizando a integração por partes: Dada a integral: ∫e^x * sin(x) dx Escolhendo u = sin(x) e dv = e^x dx, temos: du = cos(x) dx e v = e^x Aplicando a fórmula da integração por partes: ∫u dv = u * v - ∫v du, obtemos: = sin(x) * e^x - ∫e^x * cos(x) dx Integrando ∫e^x * cos(x) dx por partes novamente, escolhendo u = cos(x) e dv = e^x dx, temos: du = -sin(x) dx e v = e^x Substituindo na fórmula da integração por partes novamente, obtemos: = sin(x) * e^x - (cos(x) * e^x - ∫-e^x * (-sin(x)) dx) = sin(x) * e^x - cos(x) * e^x + ∫e^x * sin(x) dx Agora, isolando a integral inicial, temos: 2∫e^x * sin(x) dx = sin(x) * e^x - cos(x) * e^x ∫e^x * sin(x) dx = (sin(x) - cos(x)) * e^x / 2 + C Portanto, a alternativa correta é: B) 1/2 * e^x * (sin(x) - cos(x)) + C
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