125. Se f(x) = ln(tan(x)), qual é o valor de f'(0)? a) f'(0) = 0 b) f'(0) = 1 c) f'(0) = -1 d) f'(0) não existe

Para encontrar o valor de \( f'(0) \) para \( f(x) = \ln(\tan(x)) \), precisamos derivar a função em relação a \( x \) e então substituir \( x = 0 \) na derivada resultante. A derivada de \( \ln(\tan(x)) \) em relação a \( x \) é \( \frac{d}{dx}(\ln(\tan(x))) = \frac{1}{\tan(x)} \cdot \sec^2(x) \). Substituindo \( x = 0 \) na derivada, obtemos \( f'(0) = \frac{1}{\tan(0)} \cdot \sec^2(0) = \frac{1}{0} \cdot 1 \). Como \( \tan(0) = 0 \), a derivada \( f'(0) \) não existe. Portanto, a alternativa correta é: d) \( f'(0) \) não existe.