Matemática Avançada

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Matemática Avançada 
 
Pergunta 1 
Desde o ensino médio trabalhamos com retas tangentes. A grosso modo, na 
geometria, a tangente de uma curva y em um certo ponto T pertencente à curva, é uma 
reta. Esta reta é definida através de um outro ponto S, que também pertence à curva e se 
localiza muito próximo do ponto P. No decorrer da teoria de derivada de uma função 
observamos que a inclinação m da reta tangente à uma curva y = f(x) no ponto P(a, f(a)) 
é igual à derivada de f em a. Consequentemente, dizemos que a reta tangente à y = f(x) 
em (a, f(a)) é a reta que passa em (a, f(a)), cuja inclinação é dada por f’(a). Sabendo disso, 
encontre uma e. Sabendo disso, encontre uma equação da reta tangente à curva y = (4x² 
+ 1)³ no ponto (1, 125). 
 
Resposta: 
Derivando a 𝑓(𝑥) = (4x2 + 1)³), temos: 
𝑓′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
× [(4𝑥2 + 1)3] 
𝑓′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑔
(𝑔3) ×
𝑑
𝑑𝑥
(4𝑥2 + 1) 
𝑓′(𝑥) = 3𝑔2 ×
𝑑
𝑑𝑥
(4𝑥2 + 1) 
𝑓′(𝑥) = 3𝑔 × 4𝑥 × 2𝑥 
𝑓′(𝑥) = 3(4𝑥2 + 1)2 × 4𝑥 × 2𝑥 
𝑓′(𝑥) = 384𝑥5 + 192𝑥³ + 24 
Para o ponto (1,125) será 𝑥0 = 1. Assim para 𝑓
′(1), temos: 
𝑓′(1) = 384 × 15 + 192 × 13 + 24 
𝑓′(1) = 384 × 1 + 192 × 1 + 24 
𝑓′(1) = 384 + 192 + 24 
𝑓′(1) = 600 
Equação para reta tangente → 𝑦 − 𝑦0 = 𝑓
′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0), sendo o ponto tangente 
à curva igual a (1,125). Portanto, a função da reta tangente será: 
𝑦 − 125 = 600(𝑥 − 1) 
𝑦 − 125 = 600𝑥 − 600 
𝑦 = 600𝑥 − 600 + 125 
𝑦 = 600𝑥 − 475 
 
Comentário da Resposta: 
Olá. Estudante, 
Parabéns pela participação nesta atividade. Você conseguiu a nota máxima, pois 
a sua resposta contemplou base conceitual e esforço extra para contribuir na construção 
do conhecimento. Seu esforço é admirável, fico feliz em saber que você não desiste 
quando surge um obstáculo. Continue seguindo em frente, você é capaz. 
Acredite no seu potencial, você tem tudo para ir longe, vá em frente. 
Siga em frente e bons estudos! 
Corpo Tutorial 
 
Pergunta 2 
A regra de L’Hospital nos fornece um meio de calcular limites em formas 
indeterminadas. Geralmente, é aplicado em limites cuja função é um quociente, sendo sua 
aplicação simples, usando a derivada de funções, isto é, lim
𝑥→𝛼
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
 = lim
𝑥→𝛼
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)
. 
Devemos tomar o cuidado para não nos confundir no momento de aplicar a regra 
de L’Hospital, pois para aplicá-la devemos derivar o numerador e o denominador 
separadamente. Não usamos a regra do quociente de derivadas. Porém, se, ao aplicar a 
regra de L’Hospital, a indeterminação persistir, é possível aplicá-la novamente. Use a 
regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
. Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
∞ 
 
Resposta Correta: 
∞ 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O limite dado é uma indeterminação 
da forma 
∞
∞
. Aplicando a regra de L’Hospital, vamos derivar o numerador e o 
denominador, assim, temos novamente, temos uma indeterminação da forma lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
=
 lim
𝑥→∞
𝐷𝑥[𝑒
𝑥]
𝐷𝑥[𝑥2]
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2𝑥
. Aplicando novamente a regra de L’Hospital, concluímos que o 
limite dado é ∞, pois lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→∞
𝐷𝑥[𝑒
𝑥]
𝐷𝑥[𝑥2]
= lim
𝑥→∞
𝑒𝑥
2
= ∞. 
 
Pergunta 3 
Os métodos para encontrar valores extremos tem aplicações práticas em muitas 
situações, como por exemplo, minimizar custos, minimizar tempo, maximizar 
transportes, entre outras. Considere a seguinte situação: um fazendeiro deseja cercar um 
campo retangular com 500𝑚2 de cerca à margem de um rio. Ele não precisa cercar ao 
longo do rio. Qual é a maior área possível deste campo? Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
31 250𝑚² 
 
Resposta Correta: 
31 250𝑚2 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O perímetro do campo a ser cercado 
é dado por 2𝑥 + 𝑦 = 500, onde 𝑥 é a largura e 𝑦 é o comprimento, cujo um dos lados é 
a margem do rio. A área do campo retangular é 𝐴 = 𝑥𝑦. 
Assim, dadas as equações 
2𝑥 + 𝑦 = 500 (1) 
𝐴 = 𝑥𝑦 (2) 
precisamos maximizar a área. Isolando 𝑦 na equação (1) e substituindo na equação 
(2), temos que 𝐴(𝑥) = 500𝑥 − 2𝑥2, em que 𝑥 ∈ [0,250]. O ponto crítico de 𝐴 é 𝑥 =
125. Assim, temos 𝐴(0) = 0, 𝐴(125) = 31 250 e 𝐴(250) = 0. Portanto, o valor 
máximo da área é 𝐴(125) = 31 250𝑚2. 
Pergunta 4 
As derivadas de primeira e segunda ordem de uma função 𝑓 descrevem 
características da função de acordo com seus valores. Por exemplo, elas podem definir o 
intervalo no qual a função é crescente ou decrescente, o intervalo no qual a função tem 
concavidade para cima ou para baixo e mesmo se esta possui valores de máximo e mínimo 
local. A partir das informações que 𝑓′ e 𝑓” fornecem sobre 𝑓, assinale a alternativa 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
Se 𝑓′(𝑐) = 0 e 𝑓”(𝑐) > 0, então 𝑓 tem um mínimo local em 𝑐. 
 
Resposta Correta: 
Se 𝑓′(𝑐) = 0 e 𝑓”(𝑐) > 0, então 𝑓 tem um mínimo local em 𝑐. 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Se 𝑓’(𝑐) = 0, então no ponto 
(𝑐, 𝑓(𝑐)) do gráfico de 𝑓 possui uma reta tangente horizontal. Logo, este pode ser um 
ponto de máximo ou mínimo local. Para determinar, basta lembrar pelo teste de 
concavidade que se 𝑓”(𝑐) > 0, o gráfico é côncavo para cima, portanto, concluímos 
que 𝑓 tem um mínimo local em 𝑐 quando 𝑓’(𝑐) = 0 e 𝑓”(𝑐) > 0. 
 
 
Pergunta 5 
Os pontos que anulam as derivadas primeiras e segundas possuem nomes 
específicos. Os pontos críticos são os pontos que anulam a derivada primeira da função. 
Estes são possíveis candidatos a máximo e mínimo local da função. Já os pontos de 
inflexão são aqueles que anulam a derivada segunda da função. Eles demarcam a 
mudança de concavidade no gráfico. Sejam os pontos (1, −4) e 
1
2
, − 
7
2
 o extremo relativo 
e o ponto de inflexão de 𝑓, respectivamente. Se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑, determine 
os valores reais de 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑. Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 0, 𝑑 = −3 
 
Resposta Correta: 
𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 0, 𝑑 = −3 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Derivando 𝑓 e pelas informações 
dadas, temos que 𝑓′(𝑥) = 3𝑎𝑥2 + 2𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 quando 𝑥 = 1 e 𝑓”(𝑥) = 6𝑎𝑥 + 2𝑏 =
0 quando 𝑥 =
1
2
. Para determinar os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 e 𝑑 devemos resolver o seguinte 
sistema: 
𝑓(1) = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = −4 (1) 
𝑓 (
1
2
) = 
1
8
𝑎 +
1
4
𝑏 +
1
2
𝑐 + 𝑑 = −
7
2
 (2) 
𝑓′(1) = 3𝑎 + 2𝑏 + 𝑐 = 0 (3) 
𝑓" (
1
2
) = 3𝑎 + 2𝑏 = 0 (4) 
Resolvendo o sistema, temos que 𝑎 = 2, 𝑏 = −3, 𝑐 = 0, 𝑑 = −3. Portanto, a 
função dada é 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥2 − 3. 
Pergunta 6 
Muitas grandezas físicas são obtidas como a taxa de variação de outras. Por 
exemplo, a corrente elétrica pode ser entendida como a variação da carga elétrica no 
decorrer do tempo. Considere uma carga elétrica, em Coulombs, transmitida por meio de 
um circuito que varia de acordo com a função 𝑞(𝑡) = 𝑡3 − 3𝑡². Determine o valor do 
tempo 𝑖, em segundos, para que a corrente atinja um valor mínimo. Assinale a alternativa 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
𝑡 = 1𝑠 
 
Resposta Correta: 
𝑡 = 1𝑠 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A questão pede para minimizar a 
função 𝑖(𝑡) = 𝑞′(𝑡) = 3𝑡2 − 6𝑡. Vamos avaliar o sinal da derivada segunda de em seu 
ponto crítico para verificar a existência de um valor de mínimo. Como 𝑖′(𝑡) = 6𝑡 − 6 =
0 quando 𝑡 = 1 e 𝑖"(𝑡) = 6, segue que 𝑖′(1) = 0 e 𝑖"(1) > 0, implica em 𝑖(1) ser um 
valor de mínimo relativo. Portanto, o tempo para que a corrente atinja um valor mínimo 
é 𝑡 = 1𝑠. 
Pergunta 7 
Muitas vezes, para designar os valores máximos e mínimos de uma função, 
devemos restringir seu domínio a um intervalo. Dessa forma, podemos observara 
existência de valores máximos e mínimos locais e absolutos. A figura abaixo mostra o 
gráfico de uma função 𝑓 restrita ao intervalo [−1,4]. 
[1] 
Fonte: Elaborada pela autora. 
Analisando o gráfico da função 𝑓 e de acordo com as definições de máximos e 
mínimos, assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
𝑓(3) é um mínimo absoluto. 
 
Resposta Correta: 
𝑓(3) é um mínimo absoluto. 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Dizemos que um número =c no 
domínio 𝐷 da função 𝑓 é um valor mínimo absoluto de 𝑓 se 𝑓(𝑐) ≤ 𝑓(𝑥), para todo 𝑥 ∈
𝐷. A partir do gráfico é possível observar que o valor de 𝑓(3) ≤ 𝑓(𝑥) para todo 𝑥 ∈
[−1,4]. Então, concluímos que 𝑓(3) é um valor de mínimo absoluto. 
Pergunta 8 
A derivada de uma função pode nos informar onde esta função é crescente ou 
decrescente. Seja 𝑓 uma função, então 𝑓 é crescente em um intervalo se 𝑓′(𝑥) > 0 nele 
e 𝑓 é decrescente em um intervalo se 𝑓′(𝑥) < 0 nele. Considere a função 𝑓(𝑥) = 𝑥4 −
2𝑥2 + 3, assinale a alternativa correta em relação aos intervalos nos quais é crescente ou 
decrescente. 
 
Resposta Selecionada: 
𝑓 é crescente no intervalo (1, +∞). 
 
Resposta Correta: 
𝑓 é crescente no intervalo (1, +∞). 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro precisamos determinar os 
números críticos de 𝑓, pois estes irão dividir o domínio em intervalos. Nestes intervalos, 
𝑓′(𝑥) precisa ser sempre positiva ou sempre negativa. Então, derivando a função 𝑓, temos 
que 𝑓′(𝑥) = 4𝑥3 − 4𝑥. Os pontos críticos de 𝑓 são 𝑥 = −1, 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1. Olhando 
para o intervalo (1, +∞), temos que 𝑓′(𝑥) > 0 neste. Logo, a função 𝑓 é crescente no 
intervalo (1, +∞). 
Pergunta 9 
O Teorema do valor extremo nos garante a existência de um valor extremo para a 
função quando esta estiver restringida a um intervalo de seu domínio. De acordo com este 
teorema, o valor extremo ocorrerá nas extremidades do intervalo ou no ponto crítico da 
função. Nós podemos utilizá-lo para solucionar a seguinte situação: Um senhor deseja 
cercar um galinheiro em forma retangular. Para isso, ele irá aproveitar um muro como um 
dos lados do galinheiro. Se o custo do material é de 𝑅$15,00 por metro, ache as 
dimensões do galinheiro, para que este tenha a maior área possível que possa ser cercada 
com 𝑅$3300,00 de material. Assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
55𝑚 × 110𝑚 
 
Resposta Correta: 
55𝑚 × 110𝑚 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. De acordo com as informações do 
problema, cada metro do material custa 𝑅$15,00. Então, o custo total do material é 2 ∙
15𝑥 + 15𝑦 = 3300 → 30𝑥 + 15𝑦 = 3300. A área do galinheiro é dada por 𝐴(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦. Temos então um sistema de duas equações: 
30𝑥 + 15𝑦 = 3300 (1) 
𝐴(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 (2) 
Isolando na equação (1) e substituindo na equação (2) temos que 𝐴(𝑥) = 𝑥(220 −
2𝑥) em que 𝑥 ∈ [0,110]. Para encontrar a maior área, devemos ter 𝐴′(𝑥) = 0, então, 
𝐴′(𝑥) = 220 − 4𝑥 = 0 → 𝑥 = 55. Pelo Teorema do valor extremo, o valor máximo 
absoluto de 𝐴 deve ocorrer em 0, 55 ou 110. Calculando temos 𝐴(0) = 0, 𝐴(55) = 6050, 
e 𝐴(110) = 0, ou seja, o valor máximo da área ocorre quando 𝑥 = 55𝑚 e 𝑦 = 110𝑚. 
Pergunta 10 
Os testes da primeira e segunda derivada nos fornecem meios para encontrar os 
extremos relativos de uma função. Além disso, os sinais dessas derivadas ainda fornecem 
informações sobre o comportamento da função: se o gráfico é crescente ou decrescente, 
se possui concavidade para cima ou para baixo. Observe o quadro a seguir: 
Intervalo Sinal de 𝑓′ Sinal de 𝑓" 
𝑥 < 0 positiva negativa 
𝑥 = 0 0 negativa 
0 < 𝑥 < 1 Negativa negativa 
𝑥 = 1 -3 0 
1 < 𝑥 < 2 Negativa positiva 
𝑥 = 2 0 positiva 
𝑥 > 2 positiva positiva 
Fonte: Elaborado pelo autor. 
Baseado nas informações do quadro acima e dos testes da primeira e segunda 
derivada, analise as afirmativas a seguir: 
I. A função é decrescente no intervalo (0,2). 
II. A função possui um valor máximo local em 𝑓(0). 
III. A função possui um ponto de inflexão em 𝑓(2). 
IV. O gráfico possui concavidade para baixo no intervalo (−∞, 1). 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
Resposta Selecionada: 
I, II, IV. 
 
Resposta Correta: 
I, II, IV. 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Quando a derivada primeira é 
negativa a função é decrescente, portanto, 𝑓 é decrescente no intervalo (0,2). Quando 
𝑓′(𝑐) = 0 e 𝑓"(𝑐) < 0, 𝑓(𝑐) é um valor de máximo local, portanto, 𝑓(0) é um valor de 
máximo local. Quando a derivada segunda é negativa, a concavidade do gráfico é voltada 
para baixo, portanto, 𝑓 tem concavidade voltada para baixo no intervalo (−∞, 1). 
Pergunta 11 
Os sinais das derivadas de primeira e segunda ordem de uma função nos fornecem 
informações sobre o comportamento desta e a identificação de valores de máximo e 
mínimo local. Aplicando estas informações à função 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥 + 2)³, assinale a 
alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
A função é decrescente no intervalo (−∞, −
1
2
). 
 
Resposta Correta: 
A função é decrescente no intervalo (−∞, −
1
2
). 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O sinal da primeira derivada nos 
fornece a informação se a função é crescente ou decrescente. Derivando𝑓 e determinando 
seus pontos críticos, temos que: 
𝑓′(𝑥) = (𝑥 + 2)2(4𝑥 + 2) = 0 para 𝑥 = −2 e 𝑥 = −
1
2
. Assim, 
- Se 𝑥 < −2 e −2 < 𝑥 < −
1
2
 então 𝑓′(𝑥) < 0 e, portanto, 𝑓 é decrescente no 
intervalo (−∞, −
1
2
). 
- Se 𝑥 > −
1
2
 então 𝑓′(𝑥) > 0 e, portanto, 𝑓 é crescente no intervalo (−
1
2
, +∞). 
 
Pergunta 11 
No século XVII, Newton e Leibniz aperfeiçoaram conceitos do cálculo integral e 
mostraram, em trabalhos independentes, como o cálculo poderia ser usado para se 
encontrar a área de uma região limitada por uma curva, determinando uma integral 
definida por antiderivação. Este procedimento envolve o Teorema Fundamental do 
Cálculo, Parte 1 e 2, que estudamos nesta unidade. Utilizando a teoria aprendida, 
determine a área da região delimitada sob a curva 2x²1+x³ no intervalo 0x2. 
 
Resposta Selecionada: 
∫ 𝑥3𝑑𝑥 + ∫ 2𝑥2𝑑𝑥 + ∫ 1𝑑𝑥 
𝑥4
4
+ 2 × ∫ 𝑥2𝑑𝑥 + 𝑥 
𝑥4
4
+ 2 ×
𝑥3
3
+ 𝑥 
𝑥4
4
+ 2 ×
𝑥3
3
+ 𝑥 
𝑥4
4
+
2𝑥3
3
+ 𝑥 
𝑥4
4
+
2𝑥³
3
+ 𝑥 
Substituindo 𝑥 → 2: 
24
4
+
2 × 23
3
+ 2 
24
22
+
24
3
+ 2 
22 +
24
3
+ 2 
22 +
16
3
+ 2 
4 +
16
3
+ 2 
6 +
16
3
 
34
3
 𝑜𝑢 11
1
3
 
Agora, substituindo 𝑥 → 0: 
04
4
+
2 × 03
3
+ 0 
04
4
+
2 × 03
3
 
0
4
+
12 × 0
3
 
0 +
0
3
 
0
3
= 0 
Portanto, a área da região delimitada sob a curva será: 
34
3
− 0 =
34
3
 𝑜𝑢 11
1
3
 
 
Resposta Correta: 
[Nenhuma] 
 
Comentário da Resposta: 
[Sem Resposta] 
Pergunta 12 
A integral do lucro marginal 𝐿′(𝑥) em um intervalo resulta na variação total do 
lucro 𝐿(𝑥) nesse intervalo, isto é, ∫ 𝐿′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐿(𝑏) − 𝐿(𝑎)
𝑏
𝑎
. A função lucro é definida 
como a diferença entre a função receita e a função custo, isto é, 𝐿(𝑥) = 𝑅(𝑥) − 𝐶(𝑥). Na 
comercialização, em reais, de um certo produto, a receita marginal é dada por 𝑅′(𝑥) =
200 − 20𝑥 e o custo marginal é de 𝐶′(𝑥) = 40𝑥. Para o intervalo 1 ≤ 𝑥 ≤ 5, calcule a 
variação total do lucro e assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
𝑅$80,00 
 
Resposta Correta: 
𝑅$80,00 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O lucro total é dado pela integral do 
lucro marginal no intervalo 𝑥 ∈ [1,5]. Como 𝐿′(𝑥) = 𝑅′(𝑥) − 𝐶′(𝑥) = 200 − 60𝑥, 
temos que ∫ 𝐿′(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
𝑎
 ∫ [200 − 60𝑥]𝑑𝑥
𝑏
1
= [200𝑥 − 30𝑥2]1
5 = 80. Portanto, a 
variação total do lucro é de 𝑅$80,00. 
Pergunta 13 
Os sólidos de revolução são aqueles obtidospela rotação de uma região em torno 
de um eixo. Em geral, o volume de um sólido de revolução é calculado por 𝑉 =
∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 ou 𝑉 = ∫ 𝐴(𝑦)𝑑𝑦
𝑏
𝑎
, em que 𝐴(𝑥) e 𝐴(𝑦) corresponde à área de uma seção 
transversal do sólido. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico da 
função 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) em torno do eixo 𝑥 sendo 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋 e assinale a alternativa 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
𝑉 =
𝜋2
2
 
 
Resposta Correta: 
𝑉 =
𝜋2
2
 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, vamos determinar a 
área de uma seção transversal do sólido, que é dada por 𝐴(𝑥) = 𝜋 𝑠𝑒𝑛²(𝑥). Aplicando a 
fórmula para o volume, obtemos 𝑉 = ∫ 𝐴(𝑥)𝑑𝑥 = ∫ 𝜋 𝑠𝑒𝑛2(𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
𝜋
0
; usando a relação 
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =
1−cos (2𝑥)
2
, temos 𝑉 = 𝜋 ∫
1−cos (2𝑥)
2
𝜋
0
𝑑𝑥 = 𝜋 [
𝑥
2
−
𝑠𝑒𝑛(2𝑥)
4
]
0
𝜋
=
𝜋²
2
. 
 
Pergunta 14 
Se a seção transversal de um sólido for um anel, encontramos o raio interno e 
externo a partir de um esboço e calculamos a área do anel subtraindo a área do disco 
interno da área do disco externo, ou seja, 𝐴 = 𝜋(𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)2 − 𝜋(𝑟𝑎𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜)². 
Calcule o volume do sólido gerado pela rotação em torno do eixo 𝑥 da região delimitada 
pelas curvas 𝑦 = 𝑥 e 𝑦 = 𝑥² e assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
2𝜋
15
 
 
Resposta Correta: 
2𝜋
15
 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiramente, precisamos identificar 
o intervalo no qual a região está definida e, para isso, basta tomarmos 𝑥 = 𝑥2, o que 
implica 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1. Como 𝑥 > 𝑥2 no intervalo [0,1], o raio interno é 𝑥 e o raio externo 
é 𝑥2, assim, a área de uma seção transversal do sólido é 𝐴(𝑥) = 𝜋𝑥2 − 𝜋𝑥4. Calculando 
o volume, temos 𝑉 = ∫ 𝜋(𝑥2 − 𝑥4)𝑑𝑥 = 𝜋 [
𝑥3
3
−
𝑥5
5
]
0
1
=
2𝜋
15
1
0
. 
Pergunta 15 
O cálculo da área de uma região limitada por funções se dá por meio da integral 
definida, sendo a integral a diferença entre as funções. Isto é, se a região está limitada no 
intervalo [𝑎, 𝑏] pelas funções 𝑓 e 𝑔, tal que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) para todo 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], então a 
área dessa região é dada por ∫ [𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. A partir do gráfico a seguir, calcule a 
área da região limitada pelas funções 𝑓 e 𝑔 e assinale a alternativa correta. 
 
Fonte: Elaborado pela autora. 
 
Resposta Selecionada: 
4
3
 
 
Resposta Correta: 
4
3
 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Por meio do gráfico, podemos 
perceber que a região está limitada ao intervalo [−1,1] e, nesse intervalo, temos que 
𝑔(𝑥) > 𝑓(𝑥). Assim, a área da região é ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥
1
−1
= ∫ [2𝑥 + 1 − (𝑥2 +
1
−1
2𝑥)]𝑑𝑥 = [𝑥 −
𝑥³
3
]
−1
1
=
4
3
. 
Pergunta 16 
As integrais definidas podem ser utilizadas para calcular a área de uma região 
definida por duas funções. Por exemplo, as funções 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 e 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1 se 
interceptam em dois pontos e formam uma região delimitada por elas. Essa região está 
ilustrada na figura a seguir. 
 
Fonte: Elaborado pela autora. 
Calcule a área da região limitada pelas funções 𝑓 e 𝑔 e assinale a alternativa 
correta. 
 
Resposta Selecionada: 
9
2
 
 
Resposta Correta: 
9
2
 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. por meio desse gráfico, podemos 
perceber que a região está limitada ao intervalo [0,3] e, nesse intervalo, temos que 𝑔(𝑥) >
𝑓(𝑥) . Assim, a área da região é 𝐴 = ∫ [𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)]𝑑𝑥
3
0
= ∫ [3𝑥 + 1 − (𝑥2 + 1)]𝑑𝑥
3
0
=
[
3𝑥2
2
−
𝑥3
3
]
0
3
=
9
2
. 
 
Pergunta 17 
Algumas funções são definidas como derivadas de outras. Por exemplo, a função 
custo marginal 𝐶′(𝑥) é dada como a derivada da função custo total 𝐶(𝑥). Como as 
operações de derivação e integração são inversas, a integral do custo marginal 𝐶′(𝑥) em 
um intervalo resulta na variação total do custo 𝐶(𝑥) nesse intervalo, isto é, 
∫ 𝐶′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐶(𝑏) − 𝐶(𝑎)
𝑏
𝑎
. Se a função custo marginal é dada por 𝐶′(𝑥) = 20𝑥, 
contabilizado em reais, obtenha a variação total do custo para 1 ≤ 𝑥 ≤ 5 e assinale a 
alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
𝑅$240,00 
 
Resposta Correta: 
𝑅$240,00 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O custo total é dado pela integral do 
custo marginal no intervalo 𝑥 ∈ [1,5], ou seja, ∫ 𝑐′(𝑥)𝑑𝑥 =
𝑏
1
∫ 20𝑥 𝑑𝑥 =
𝑏
1
[10𝑥2]1
5 =
240. Portanto, a variação total do custo é de 𝑅$ 240,00. 
Pergunta 18 
Uma superfície de revolução é uma superfície obtida pela rotação de uma curva 
em torno de um eixo ou de uma reta fixa. Quando essa superfície é obtida pela rotação do 
gráfico da função 𝑓, limitada em um intervalo [𝑎, 𝑏], em torno do eixo 𝑥, sua área é 
definida por 𝐴𝑥 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + [𝑓′(𝑥)]²𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. Determine a área da superfície gerada 
pela rotação em torno do eixo 𝑥, do gráfico de 𝑓(𝑥) = √𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 e assinale a 
alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
𝐴𝑥 =
𝜋(5√5 − 1)
6
 
 
Resposta Correta: 
𝐴𝑥 =
𝜋(5√5 − 1)
6
 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Calculando a derivada da função, 
temos 𝑓′(𝑥) =
1
2√𝑥
, com a aplicação da fórmula da área 𝐴𝑥 = 2𝜋 ∫ √𝑥 ∙
1
0
√1 + [
1
2√𝑥
]
2
𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫ √𝑥 +
1
4
𝑑𝑥
1
0
. Usando o método de mudança de variáveis, 
tomamos 𝑢 = 𝑥 +
1
4
 e, então, 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; os parâmetros da integral na variável 𝑢 são: se 
𝑥 = 0 ⇒ 𝑢 =
1
4
, se 𝑥 = 1 ⇒ 𝑢 =
5
4
. Logo, 𝐴𝑥 = 2𝜋 ∫ √𝑥 +
1
4
𝑑𝑥
1
0
= 2𝜋 ∫ 𝑢1/2𝑑𝑢
5/4
1/4
=
2𝜋 [
2𝑢3/2
3
]
1/4
5/4
=
𝜋(5√5−1
6
. 
Pergunta 19 
O trabalho 𝑊 é uma grandeza física que existe quando uma força 𝐹 é aplicada em 
um corpo. o que provocará seu deslocamento 𝑥, a unidade de medida do trabalho é o Joule 
(J). O trabalho pode ser definido pela integral 𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
, em que [𝑎, 𝑏]é o intervalo 
de deslocamento do corpo. Vamos supor que a força aplicada em um corpo seja 𝐹(𝑥) =
1
𝑥²
, calcule o trabalho desse corpo quando ele é deslocado da posição 𝑥 = 1 para a posição 
𝑥 = 3 e assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
2
3
𝐽 
 
Resposta Correta: 
2
3
𝐽 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Como trabalho é definido pela integral 
da força aplicada em um intervalo de deslocamento, basta substituir os valores dados na 
definição, assim, 𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫
1
𝑥²
𝑑𝑥
3
1
= ∫ 𝑥−2𝑑𝑥
3
1
= [−
1
𝑥
]
1
3
=
2
3
𝐽. 
Pergunta 20 
O trabalho 𝑊 realizado pela força 𝐹(𝑥), quando um objeto se move de um ponto 
𝑥 = 𝑎 para um ponto 𝑥 = 𝑏 é dado pela integral 𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
. Vamos supor que uma 
partícula se move ao longo do eixo 𝑥 sob a ação de uma força 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 3. Se a 
partícula se deslocar da origem até a posição de 4𝑚, calcule o trabalho realizado pela 
partícula nesse movimento e assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
100
8
𝐽 
 
Resposta Correta: 
100
8
𝐽 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Como trabalho é definido pela integral 
da força aplicada em um intervalo de deslocamento, temos que a variação do 
deslocamento ocorre no intervalo [0,4]. Ao substituirmos os valores fornecidos no 
enunciado na definição de trabalho, temos 𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
4
0
= ∫ (𝑥2 + 3)𝑑𝑥
4
0
= [
𝑥³
3
+
3𝑥]
0
4
=
100
3
. Portanto, o trabalho é de 
100
3
𝐽. 
Pergunta 21 
De acordo com Leithold (1994, p. 409), a Lei de Hooke “estabelece que, se uma 
mola for esticada 𝑥 unidades além do seu comprimento natural, ela tende a voltar ao 
normal, exercendo uma força igual a 𝑘𝑥 unidades”. A constante 𝑘 é chamada de constante 
elástica da mola. 
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3. ed. SãoPaulo: Harbra, v. 
1, 1994. 
Uma mola de comprimento natural de 10 cm é submetida a uma força de 𝐹(𝑥) =
120𝑥. Calcule o trabalho realizado para esticá-la de seu comprimento natural até 15 cm 
e assinale a alternativa correta. 
 
Resposta Selecionada: 
1500 𝐽 
 
Resposta Correta: 
1500 𝐽 
 
Comentário da Resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Como a mola está sendo esticada de 
10 cm para 15 cm, temos que a variação do comprimento da mola se dá no intervalo [0,5]. 
Ao utilizarmos a definição de trabalho, temos que 𝑊 = ∫ 𝐹(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
0
= ∫ 120𝑥 𝑑𝑥
𝑏
0
=
[60𝑥²]0
5 = 1500. Portanto, o trabalho de esticar a mola é de 1500 J.