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Prova presencial de álgebra linear e vetorial Questão 1 Considere as propriedades sobre determinantes e julgue as sentenças a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F). I) Se uma matriz quadrada A possui duas colunas proporcionais, o seu determinante será nulo, ou seja, det A = 0. II) Considere duas matrizes A e B quadradas e de mesma ordem, sendo A.B a matriz produto temos que det (A.B)= (det A).(det B). III) O determinante de uma matriz diagonal é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Assinale a alternativa correta que corresponde respectivamente ao julgamento das sentenças: E) V - V - V. Questão 2 Os sistemas de equações lineares podem ser representados por meio de produtos envolvendo matrizes, o que possibilita, em alguns casos, a sua resolução por meio de matrizes inversíveis. Nesse contexto, suponha que um estudante, durante a resolução de determinado problema envolvendo sistemas lineares, precisa construir uma matriz B = (bij) quadrada de ordem 3 cujas entradas podem ser determinadas a partir da seguinte expressão: Determine os elementos que compõem a diagonal principal da matriz B e assinale a alternativa que indica a soma destes elementos: C) A soma dos elementos da diagonal principal de B é igual a -10. Questão 3 Um conceito importante no estudo da Álgebra Linear é o de espaços vetoriais. Sabendo disso, analise o trecho a seguir: Seja um conjunto V, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações ____________ e ____________. Esse conjunto V munido dessas duas operações é chamado espaço vetorial, desde que sejam satisfeitas 8 (oito) propriedades, sendo 4 (quatro) para cada operação. Assinale a alternativa que complete adequadamente as lacunas do trecho apresentado: C) adição - multiplicação por escalar. Questão 4 Um vetor é uma estrutura matemática que possui comprimento, direção e sentido. Dados os vetores u = (3, -2, 1) e v = (4, -1, 0) qual o resultado da operação ||u - v||? B) √3. Questão 5 No estudo das transformações lineares temos dois subconjuntos importantes, sendo eles o núcleo e a imagem. A respeito desses subconjuntos, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas: I) Uma transformação linear que tem núcleo com dimensão 1 e imagem com dimensão 2 possui domínio com dimensão 1. PORQUE II) Aplicando o teorema do núcleo e da imagem é possível encontrar o domínio de uma transformação linear. A respeito dessas asserções, assinale a opção correta: E) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. Questão 6 As transformações lineares correspondem a aplicações particulares definidas a partir de espaços vetoriais, as quais podem ser empregadas no estudo, por exemplo, de reflexões e rotações de objetos no plano. Considerando as propriedades das transformações lineares, analise as seguintes afirmações: I. Um operador linear corresponde a uma transformação linear na qual o contradomínio corresponde necessariamente ao espaço R3. II. O núcleo de uma transformação linear é composto por elementos do domínio da transformação, enquanto que a imagem contempla elementos de seu contradomínio. III. Se T for uma transformação linear invertível, então o seu núcleo é dado por N(T) = {0v}. A respeito das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta: B) Apenas as afirmações II e III estão corretas. Questão 7 Vetores são bastante úteis em aplicações, visto que podem nos dar algumas informações extras que números (escalares) não nos fornecem. Com base nas definições e propriedades de vetores e dados u = (-3, 2, 1) e v = (3, 2, -4). assinale a alternativa que forneça a norma (ou módulo) de u + v: C) 5. Questão 8 Com base no estudo dos espaços vetoriais, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): ( ) Para que um conjunto seja classificado como espaço vetorial é necessário que tomemos um conjunto qualquer, com uma operação associada que satisfaz a determinadas propriedades. ( ) Dizemos que um vetor v é combinação linear de vetores v1 e v2 quando for possível identificar escalares a1 e a2 tais que v = a1v1 + a2v2. ( ) Em um espaço vetorial podemos identificar dois tipos de conjuntos de vetores: os linearmente dependentes e os linearmente independentes. Assinale a alternativa que indica a sequência de classificações corretamente: A) F – V – V. Questão 9 Em um espaço vetorial podem ser aplicadas transformações lineares. Considere a seguinte transformação T: R² → R² tal que T(x, y) = (3x, -5y) . A alternativa que fornece a imagem do vetor u = (1, 2) multiplicado pelo escalar 2 é dada por: C) (6,-20). Questão 10 Considere a matriz apresentada no que segue: Com base na matriz Q, analise as seguintes afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F): ( ) Na matriz Q, a primeira e segunda linhas são múltiplas uma da outra. ( ) O determinante da matriz Q é não nulo. ( ) A matriz Q é inversível e, assim, admite inversa Q-1. Assinale a alternativa que corresponde, respectivamente, ao julgamento das sentenças: A) V - F - F. Questão 11 A diagonalização de matrizes é uma ferramenta importante para a análise teórica do conceito de matrizes. A respeito desse conceito, analise as seguintes afirmações, classificando-as em verdadeiras (V) ou falsas (F), considerando A uma matriz quadrada: () Os elementos da matriz diagonal D, que é semelhante a matriz A, correspondem aos autovalores de A. () Só existe um tipo de matriz diagonal, sendo que esse tipo é conhecido como matriz identidade. () A matriz A será diagonalizável se possuir um conjunto de n autovetores linearmente independentes. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta com relação à classificação das afirmações: C) V - F - V. Questão 12 No estudo das transformações lineares nos deparamos com dois subconjuntos importantes, sendo eles: núcleo e imagem. Tendo isso mente, considere T: V → U uma transformação linear e assinale a alternativa que corresponde simbolicamente à definição de IMAGEM da transformação T: B) Im(T) = {u pertence a U| existe v que pertence a V : T(v)=u}.