FÍSICA- TERMODINÂMICA E ONDAS - AULA 3

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Física: termodinâmica e ondas 
 
 
 
 
 
 
 
Aula 3 
 
 
Professor Cristiano Cancela da Cruz 
 
 
 
 
 
 
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Conversa Inicial 
Seja bem-vindo à terceira aula de Física, Termodinâmica e Ondas! 
Confira a seguir o conteúdo de hoje que será estudado! 
A percepção auditiva é um dos cinco sentidos utilizados para entender o 
mundo que nos cerca, ela consiste de um processo mental que é iniciado por um 
estímulo sonoro, e este é captado por nossos ouvidos. Este estímulo sonoro 
nada mais é do que um sinal acústico, originado por uma onda sonora, devido a 
alguma vibração mecânica do meio material a nossa volta. Quando chega até 
nossos ouvidos, esta onda sonora desencadeia um processo neural, o qual o 
cérebro reconhece, permitindo identificar o causador daquele som e até mesmo 
localizando a origem da fonte sonora. 
 
 
 
Nossa pretensão aqui não é desvendar o funcionamento da audição, mas 
sim estudar o comportamento das ondas chamadas ondas mecânicas e o som 
é um exemplo importante. Para isso, iremos determinar equações matemáticas 
que possibilitem descrever o comportamento de uma onda, utilizaremos como 
modelo as ondas periódicas, nas quais os valores das grandezas físicas que 
descrevem a configuração da onda se repetem em intervalo de tempo igual, 
conforme a onda se propaga. 
Vamos, também, conhecer e analisar o fenômeno ondulatório chamado 
de interferência, fenômeno que ocorre quando há superposição de duas ondas 
ou mais, no mesmo local do meio e ao mesmo tempo. 
 
Assista no material online à explicação do professor Cristiano! 
 
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Contextualizando 
Maria Júlia ligou para Fabiano, e como toda boa namorada, ela quis logo 
saber onde ele estava e o que estava fazendo, afinal, como ela sempre diz, quem 
ama cuida. Em meio a conversa, Fabiano que trabalhava como decorador de 
festa infantil, resolveu fazer uma brincadeira. Naquele momento ele acabara de 
prender diversos balões de gás hélio pelo salão de festa alugado por dona Sônia, 
como esta senhora era sempre exagerada, sobraram diversos balões. Fabiano 
então, pegou um destes balões, soltou o nó que prendia o bico e deixou o gás 
escapar lentamente, inalando o gás liberado durante uma inspiração profunda. 
Neste instante, ao falar, a voz de Fabiano, que sempre foi meio rouca, soou em 
tom agudo parecendo voz de mulher, seu colega Leandro que assistia a cena, 
caiu na gargalhada. 
O que Fabiano não esperava era a reação da moça, pois Júlia, ciumenta 
por natureza, ao ouvir aquela voz aguda, foi logo colocando Fabiano contra a 
parede, enfurecida ela dizia sem parar não dando chance para o rapaz se 
explicar: “quem está aí com você?”, “tem alguma mulher aí?”, “quem é? Pode 
me falar Fabiano!”. 
Apesar da história acima ser apenas ficção, você já deve ter visto em 
vídeos na internet, ou até mesmo feito essa brincadeira de inalar gás hélio e 
posteriormente falar. O som produzido ao falar é emitido em tom agudo, diferente 
do qual estamos acostumados. 
 
Você neste momento deve estar se perguntando, o que isso tem a 
ver com essa aula? Vamos conferir a seguir! 
 
 
 
 
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A brincadeira em si, realmente não tem nada a ver com a aula, mas as 
diferenças entre as ondas sonoras que são produzidas ao se falar sem inalar gás 
hélio e quando se inala têm grande relação com esta aula, afinal, o tema que 
iremos abordar são as ondas mecânicas e o som é um exemplo importante de 
onda mecânica. É claro que ele não é o único exemplo, pois as ondas produzidas 
em um lago quando se joga uma pedra, ou em uma corda posta a oscilar, assim 
como a corda de um violão, e até mesmo as ondas sísmicas produzidas por um 
terremoto, são também todas ondas mecânicas. 
A origem de uma onda mecânica ocorre com a perturbação de algum meio 
material, deslocando-o de uma posição de equilíbrio para outra de maior energia. 
Essa perturbação propaga-se através do meio carregando a energia fornecida 
na forma de uma onda. Quando jogamos uma pedra em um lago, a pedra 
provoca a perturbação do meio, que neste caso é a água, fornecendo energia no 
local, no ponto onde a pedra caiu. A energia fornecida se propaga para o restante 
da água, deslocando-se na forma de onda. 
As ondas mecânicas não são a única forma de onda existente na 
natureza, também existem as ondas eletromagnéticas, nesta forma 
encontram-se as ondas de luz, ondas de rádio, ondas de micro-ondas, entre 
outras. Esses tipos de ondas são gerados por vibrações eletromagnéticas, de 
uma maneira geral, se um campo elétrico for variável em relação ao tempo, este 
produzirá um campo magnético também variável, formando assim uma onda 
eletromagnética que se desloca no espaço. Portanto, uma onda eletromagnética 
caracteriza-se por oscilações de campos elétricos e campos magnéticos. 
A diferença entre as ondas mecânicas e eletromagnéticas consiste no fato 
que as ondas eletromagnéticas não necessitam de um meio material para se 
propagarem, assim como ocorre com as ondas mecânicas. 
 
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Pesquise 
TEMA 1: Tipos de ondas mecânicas 
A origem de uma onda mecânica ocorre a partir da perturbação do meio 
material, esta perturbação propaga-se através do meio carregando a energia 
fornecida na forma de uma onda. A medida que a onda se propaga pelo meio 
material, as partículas que compõem esse meio são deslocadas de sua posição 
de equilíbrio para posições de maior energia que posteriormente a passagem da 
onda, devido a forças restauradoras, retornam para suas posições de origem. 
A maneira como essas partículas são deslocadas irão determinar a 
natureza da onda. Quando a perturbação faz com que as partículas do meio se 
desloquem perpendicularmente em relação a direção de propagação da onda, 
dizemos que essa onda é uma onda transversal. Já quando o deslocamento 
das partículas ocorre na mesma direção da propagação da onda, ela é chamada 
de onda longitudinal. Mas, dependendo da maneira com que ocorre a 
perturbação do meio, pode existir uma combinação de deslocamentos 
transversais e longitudinais produzindo ondas mistas. 
 
Independentemente do tipo de onda mecânica (transversal, 
longitudinal ou mista) a propagação dela ocorre com velocidade constante, a 
qual, depende do tipo do meio de propagação, essa velocidade de propagação 
é chamada de velocidade da onda. 
Apesar da onda se deslocar através do meio material, as partículas que o 
compõem não se deslocam com a onda, elas apenas oscilam em relação a um 
ponto médio de equilíbrio durante a passagem da onda. Uma onda, portanto, 
transmite apenas energia e jamais transporta matéria de uma região para outra 
do meio. 
 
 
 
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Ondas Periódicas 
Um tipo de onda transversal muito comum de se observar, ocorre quando 
oscilamos para cima e para baixo a extremidade de uma corda esticada. Esta 
perturbação faz com que pulsos de onda se propaguem ao longo do 
comprimento da corda. Se a oscilação ocorrer em movimentos repetitivos 
periódicos, cada partícula da corda também sofrerá movimentos periódicos com 
a mesma frequência de oscilação da fonte que originou a perturbação. O 
resultado disso é a formação de uma onda periódica transversal. 
Iremos supor que a perturbação da corda ocorreu por um movimento 
harmônico simples, com amplitude (A), frequência (f), frequência angular () e 
período (T). O resultado desta ação é a formação de uma onda na corda com 
uma sequência simétrica de cristas e ventres. 
 Observa a figura a seguir em que as ondas periódicas produzidas em 
uma corda são mostradas em nove instantes diferentes. 
 
A onda avança uniformementepara direita, repetindo sua forma em 
intervalo de tempos iguais, conforme pode-se ver na parte sombreada da figura. 
A medida que a onda se propaga, qualquer partícula da corda oscila 
verticalmente em MHS em torno de uma região de equilíbrio, com a mesma 
frequência da fonte oscilatória que a gerou. 
 
ATENÇÃO! Movimento de onda x movimento de partícula. Tome cuidado 
para não confundir o movimento de uma onda transversal ao longo da corda com 
o movimento de uma partícula da corda. A corda se desloca com uma velocidade 
v ao longo da corda, enquanto o movimento da partícula é um MHS transversal 
(perpendicular) à direção da propagação da onda. 
 
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(Fonte: Física II; Sears e Zemanski) 
 
A figura a seguir indica algumas características das ondas periódicas. 
 
 
 Comprimento de onda () – é a medida linear da distância entre 
duas cristas ou dois ventres consecutivos. 
 Período (T) – O intervalo de tempo entre uma oscilação completa 
da onda e a próxima. 
 Velocidade de propagação (V) – toda propagação de uma onda em 
um meio qualquer se propaga com uma determinada velocidade que 
depende do meio em que a onda se desloca. 
 Frequência (f) – o número de ondas completas que passam pelo 
mesmo ponto em um intervalo de tempo igual a 1 segundo 
estabelece a frequência da onda. A frequência da onda é dada em 
Hertz (Hz) que significa o número de ondas formadas por segundo. 
 Amplitude (A) – Distância média do deslocamento das partículas do 
meio material da sua posição de equilíbrio até seu deslocamento 
máximo quando sujeitas a onda. 
Onda periódica transversal 
 
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A relação entre as grandezas da onda, como o comprimento de onda 
(, velocidade de propagação da onda (V) e frequência (f) é dado por: 
𝑣 = 𝜆. 𝑓 
A velocidade da onda é igual ao produto do comprimento de onda pela 
frequência de oscilação das partículas do meio. 
Neste exemplo, ondas produzidas em uma corda, a onda se propaga em 
uma única dimensão. No entanto, a teoria aqui desenvolvida é válida para ondas 
que se propagam em duas, como ondas em um lago, e até mesmo três 
dimensões, como é o caso da onda sonora. 
 
Leitura obrigatória (pesquise na Biblioteca Virtual) 
Sears e Zemansky – Física II – p. 106-107 (exemplo 15.1) – ONDAS 
PERIÓDICAS LONGITUDINAIS. Editora Pearson. 
Veja à explicação deste tema com o professor Cristiano, no material online! 
 
TEMA 2: Descrição matemática das ondas 
Descrever matematicamente as características de uma onda periódica 
em termos da velocidade da onda (V), comprimento de onda (), frequência (f), 
período (T) e amplitude (A) parece ser suficiente para entender o comportamento 
desta onda. No entanto, muitas vezes para uma descrição mais detalhada do 
comportamento da onda, precisamos determinar a posição e o movimento de 
cada partícula do meio em função do tempo durante a passagem da onda. Para 
isso, será necessário descrever a onda através de uma equação ou função de 
onda. 
Para ilustrar continuaremos a observar ondas propagando-se em uma 
corda esticada, utilizaremos o sistema cartesiano (x, y), veja a figura da tela a 
seguir, onde o eixo x será posicionado ao longo da corda quando essa encontra-
se na condição de equilíbrio, os valores da coordenada x irão determinar a 
posição na corda em relação ao local onde a corda será oscilada pela fonte, 
 
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ponto inicial, e as coordenadas do eixo y irão determinar a posição da partícula 
da corda localizada pela coordenada x quando essa é deslocada na vertical em 
relação a sua posição de equilíbrio. 
O valor da coordenada y depende de uma partícula específica da corda, 
determinada pela coordenada x, portanto a coordenada y depende da 
coordenada x e também do tempo t, ela é uma função de x e do tempo, y (x, t), 
que é a função de onda. 
 
Com o conhecimento dessa função, pode-se determinar a posição de 
qualquer partícula da corda e em qualquer instante, isto nos permite calcular a 
velocidade e a aceleração dessa partícula e também a forma da corda durante 
a passagem da onda. 
 
Veja um exemplo de simulador, acessando o link: 
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-
string_en.html 
 
Função de onda de uma onda senoidal 
O formato da corda quando uma onda transversal se propaga por ela 
sugere que a função de onda que a descreve é uma função senoidal. Iremos 
supor que a onda parte da esquerda se deslocando para direita do eixo x, no 
sentido de aumento dos valores da coordenada x ao longo da corda. Conforme 
a onda se desloca cada partícula da corda atingida pela onda oscila sofrendo 
MHS com frequência e amplitude iguais ao do oscilador, fonte, que originou a 
onda. 
Coordenadas x, y para ondas em uma corda. 
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html
https://phet.colorado.edu/sims/html/wave-on-a-string/latest/wave-on-a-string_en.html
 
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O deslocamento y de uma partícula da corda localizada na posição x para 
um tempo 𝒕, será dado por: 𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕). Esta equação representa 
a função de onda para uma onda senoidal propagando-se em uma corda 
esticada no sentido +x. 
 
 A - Amplitude da onda 
Onde 𝒌 - Número de onda 
𝝎 - Frequência angular da onda 
 
A grandeza k (número de onda) é determinada pela razão entre 2 
radianos e o comprimento de onda . 
𝒌 =
𝟐𝝅
𝝀
 
A unidade do número de ondas é o radiano por metro (
𝒓𝒂𝒅
𝒎
). 
Através da função de onda podemos determinar a forma da onda para 
determinado instante de tempo t fixo. Esse gráfico fornece o deslocamento y de 
uma partícula a partir de sua posição de equilíbrio em função da coordenada x 
da partícula. 
 
 
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Figura 4 - Gráfico do deslocamento y em função de x para tempo t = 0. 
Analisando a equação de onda também podemos representar o gráfico da 
coordenada y em função do tempo, para um valor fixo da coordenada x, neste 
caso estaremos representando o movimento de determinada partícula localizada 
pela coordenada x. 
 
Figura 5 - Gráfico do deslocamento y em função do tempo t quando x = 0 
 
Atenção! 
Apesar dos gráficos da figura 4 e da figura 5 parecerem iguais, eles não 
são idênticos. A figura 4 é uma fotografia instantânea da forma da corda 
quando t = 0 e a figura 5 representa o gráfico do deslocamento y de 
uma partícula x = 0 em função do tempo. 
 
Quando a onda periódica se propaga no sentido negativo do eixo x, ou seja, 
quando os valores das coordenadas do eixo x diminuem conforme a onda se 
propaga, devemos fazer uma pequena modificação na função de onda, 
alterando o sinal negativo por positivo. Logo, teremos: 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 + 𝝎𝒕). Independente do sentido de propagação a onda, 
sentido positivo do eixo x, +x, ou sentido negativo, - x, a grandeza (𝒌𝒙 ± 𝝎𝒕) é 
denominada fase da onda. 
O resultado da combinação das grandezas envolvidas na fase da onda 
determinarão um ponto específico da onda representado pela coordenada y. 
 
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Para determinarmos a velocidade de propagação desta onda será necessário 
viajar ao longo dela para que a fase de determinado ponto permaneça constante. 
Supondo uma onda esteja viajando no sentido positivo do eixo x, a fase 
será determinada por (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) e, como vimos, esta fase deve permanecer 
constante, logo: 
(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
 
Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo, obtemos: 
𝒅(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕)
𝒅𝒕
=
𝒅 (𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆)
𝒅𝒕
 
𝒅 𝒌𝒙
𝒅𝒕
−
𝒅 𝝎𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎 
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
− 𝝎
𝒅𝒕
𝒅𝒕
= 𝟎 
𝒌 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
= 𝝎 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
=𝝎
𝒌
 
 
Como 
𝒅 𝒙
𝒅𝒕
 é a velocidade da onda v , chamada de velocidade de 
fase, teremos: 
𝒗 =
𝝎
𝒌
 
 
Leitura obrigatória (pesquise na Biblioteca Virtual): 
Sears e Zemansky – Física II – p. 110 (exemplo 15.2) – ONDAS 
PERIÓDICAS LONGITUDINAIS. Editora Pearson. 
 
 
 
 
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Velocidade e aceleração de uma partícula do meio material oscilando por 
uma onda senoidal 
Até agora fomos capazes de determinar a função de onda que nos 
possibilita determinar a posição de qualquer partícula do meio material sujeita a 
uma onda periódica senoidal transversal. Se esta onda viaja no sentido positivo 
do eixo x a função de onda é: 𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Agora precisamos determinar uma equação que nos forneça a velocidade 
de oscilação de determinada partícula, localizada pela coordenada x constante. 
Para isso iremos determinar a velocidade dessa partícula no eixo y (vy) pela 
derivada parcial da função de onda em relação ao tempo: 
 
𝜕 𝑦 (𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) 
𝑣𝑦 (𝑥, 𝑡) = 
𝜕 𝐴 cos (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡)
𝜕𝑡
= 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝒗𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝝎 𝑨 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
A equação da tela anterior nos mostra que a velocidade transversal de 
determinada partícula varia com o tempo em função de um MHS. A velocidade 
máxima da partícula ocorrerá quando 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝟏, e neste caso a 
velocidade será: 
𝒗𝒚 𝒎á𝒙 (𝒙, 𝒕) = 𝝎 𝑨 
Da mesma forma que fizemos para determinar a velocidade transversal 
da partícula sujeita a onda senoidal, iremos proceder para obter a aceleração 
da partícula no decorrer do tempo, e para isso vamos realizar a derivada parcial 
de segunda ordem na equação de posição em função do tempo para onda 
senoidal: 
 
𝜕2𝑦 (𝑥,𝑡)
𝜕𝑡2
= 𝑎𝑦 (𝑥, 𝑡) 𝑎𝑦 (𝑥, 𝑡) = 
𝜕 𝜔 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝑘𝑥−𝜔𝑡)
𝜕𝑡
= − 𝜔2𝐴 𝑐𝑜𝑠 (𝑘𝑥 − 𝜔𝑡) 
𝒂𝒚 (𝒙, 𝒕) = − 𝝎
𝟐𝑨 𝒄𝒐𝒔 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
 
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Portanto a aceleração de determinada partícula é igual a (− 𝝎𝟐) vezes o 
seu deslocamento: 
𝒂𝒚 (𝒙, 𝒕) = − 𝝎
𝟐 𝒚(𝒙, 𝒕) 
 
Velocidade de uma onda transversal 
Uma característica importante das ondas é a sua velocidade de 
propagação, cada tipo específico de onda tem sua própria velocidade de 
propagação para um meio material particular. 
 
Mas o que determina esta velocidade de propagação? Vejamos a seguir! 
 
Para responder à pergunta, continuaremos utilizando como exemplo as 
ondas transversais em uma corda vibrante. Os resultados obtidos na análise 
desse tipo de onda são válidos e podem ser aplicados a outros tipos de ondas 
mecânicas. As grandezas físicas envolvidas para determinar a velocidade de 
propagação da onda em uma corda, são: a tensão na corda F, ou seja, a força 
aplicada a corda que a mantém esticada e também a massa específica linear  
da corda, massa por unidade de comprimento. 
A relação matemática que determina a velocidade de propagação e uma 
onda em uma corda vibrante é dada pela raiz quadrada da razão entre a tensão 
na corda e sua massa específica linear: 
𝒗 = √
𝑭
𝝁
 
 
Assista à videoaula do professor Cristiano no material online! 
 
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TEMA 3: Energia no movimento ondulatório 
Lembra que destacamos no início da aula que algumas das 
características é que durante a propagação de qualquer onda ela transporta 
apenas energia e nunca matéria, portanto todo movimento ondulatório possui 
uma determinada energia associada a ele. 
Vimos também que o início de uma onda mecânica ocorre com a 
perturbação do meio material, deslocando-se uma partícula do meio de sua 
posição de equilíbrio para outra posição de maior energia. Para isso, devemos 
aplicar uma força nessa partícula movendo-a para uma posição diferente da 
posição de equilíbrio, portanto realizando um trabalho sobre ela. A medida que 
a onda se propaga uma porção do meio exerce força nas partículas adjacentes 
e realiza um trabalho sobre elas, possibilitando a propagação da onda através 
do meio e carregando a energia fornecida de uma região para outra. 
Se analisarmos o gráfico da coordenada y em função da coordenada x 
para uma onda que viaja em uma corda da esquerda para direita, veja figura 6. 
Observe o ponto a localizado na corda durante a passagem da onda, ele 
foi ampliado e podemos ver que a inclinação da corda pode ser determinada pela 
forças que estão atuam no ponto a neste instante, pois a parte da corda a direita 
do ponto a exerce força na parte da corda a esquerda do ponto a e vice-versa. 
Na figura abaixo podemos ver a configuração dessas forças quando omitimos a 
parte da corda do lado esquerdo ao ponto a substituindo-a pela força que ela 
aplica no ponto a. 
 
 
Figura 6 – Análise de um ponto a em um gráfico da 
coordenada y em relação a x de uma onda deslocando-
se da esquerda para direita. 
 
 
 
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Essa força foi decomposta em suas componentes retangulares F e Fy, sendo 
a força F a força de tensão na corda e a força Fy a força que irá realizar trabalho no 
ponto a deslocando-o para outra posição no eixo y. 
A razão entre Fy e F é igual a inclinação negativa da corda no ponto a, que 
também é determinada por 
∆𝐲
∆𝐱
entos 
infinitesimais nos eixos y e x, podemos escrever 
𝝏𝒚
𝝏𝒙
. 
Matematicamente, temos: 
𝑭𝒚
𝑭
 = − 
𝝏𝒚
𝝏𝒙
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como Fy e também 𝝏𝒚 são variáveis que dependem do valor da 
coordenada x e do tempo t, podemos escrever: 
𝑭𝒚(𝒙, 𝒕) = − 𝑭 
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒙
 
 
 Esta equação é válida para qualquer onda se propagando em uma 
corda, senoidal ou não. Quando a onda for senoidal, podemos utilizar a função 
de onda vista no item anterior e realizar a derivada em relação a x. 
𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
 
Figura 7 – Componentes F e Fy da força 
exercida pela parte da esquerda da corda 
sobre o ponto a. 
 
 
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Logo, neste caso, a força que desloca as partículas da corda realizando 
trabalho sobre elas, será: 
𝑭𝒚(𝒙, 𝒕) = 𝑭 𝒌 𝑨 𝐬𝐞𝐧(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
A taxa com que a força realiza trabalho permitindo o deslocando da onda 
é a potência da onda 𝑷 (𝒙, 𝒕), determinada por: 
𝑃 (𝑥, 𝑡) = 𝐹𝑦(𝑥, 𝑡) . 𝑣𝑦(𝑥, 𝑡) 
𝑷 (𝒙, 𝒕) = − 𝑭 
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒙
 .
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒕
 
Como para onda senoidal: 
𝝏𝒚(𝒙, 𝒕)
𝝏𝒕
= 𝝎𝑨 𝐬𝐞𝐧(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
 
Podemos escrever a potência como: 
𝑷 (𝒙, 𝒕) = 𝑭𝒌𝝎𝑨𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Uma forma alternativa para essa equação é substituir 𝝎 = 𝒗𝒌 e 𝒗𝟐 =
 
𝑭
𝝁
, obteremos: 
𝑷 (𝒙, 𝒕) = √𝝁𝑭𝝎𝟐𝑨𝟐 𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
O valor máximo de potência instantânea será dado quando 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝟏, logo: 
𝑷𝒎á𝒙 (𝒙, 𝒕) = √𝝁𝑭𝝎
𝟐𝑨𝟐 
E a potência média transmitida pela onda senoidal será obtida quando 
𝐬𝐞𝐧𝟐(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) =
𝟏
𝟐
, o que corresponde à média em um ciclo completo, dada por: 
𝑷𝒎é𝒅 (𝒙, 𝒕) =
𝟏
𝟐
√𝝁𝑭𝝎𝟐𝑨𝟐 
 
Leitura obrigatória (pesquise na Biblioteca Virtual) 
Sears e Zemansky – Física II – p. 117 (exemplo 15.4) – 
Ondas periódicas longitudinais. Editora Pearson. 
 
 
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Intensidade da onda 
A intensidade de uma onda é calculada tomando-se a taxa média de 
energia que é transportada pela onda em relação ao tempo, por unidade de área 
em uma superfície perpendicular à direção de propagação da onda. Mas a taxa 
da energia em relação ao tempo é a potência, matematicamente: 
𝑷 = 
𝑬𝒏𝒆𝒓𝒈𝒊𝒂
𝒕𝒆𝒎𝒑𝒐
 
Em outras palavras, a intensidade da onda é igual a potência média 
transportada pela onda, pela unidade de área, que essa onda transpassa. 
Aplicando esse conceito em ondas que se propagam em três dimensões, 
como exemplo temosas ondas sísmicas e as ondas sonoras, obtemos a 
seguinte configuração, veja a figura 8. 
 
 
A fonte de onda localiza-se no centro das esferas de raios r1, r2 e r3. 
Podemos querer calcular a intensidade média da onda a uma distância r1 da 
fonte, portanto a intensidade será dada por: 
𝑰𝟏 = 
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟏
𝟐 
Figura 8 – Fonte de onda ao centro e três esferas 
concêntricas de raios r1, r2, r3. 
 
 
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Ou seja, a razão entre a potência média fornecida pela fonte P pela área 
da casca esférica de raio r1. 
Podemos usar o mesmo procedimento para calcular a intensidade da 
onda em um ponto afastado uma distância r2 da fonte, teremos: 
𝑰𝟐 = 
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟐
𝟐 
Se nenhuma energia da onda foi dissipada entre o ponto em r1 até o ponto 
em r2 a potência média da fonte é a mesma para os dois pontos, então podemos 
escrever: 
𝑰𝟏𝟒𝝅𝒓𝟏
𝟐 = 𝑰𝟐𝟒𝝅𝒓𝟐
𝟐 
Simplificando, temos: 
𝑰𝟏
𝑰𝟐
= 
𝒓𝟐
𝟐
𝒓𝟏
𝟐 
A intensidade I em qualquer distancia r da fonte é inversamente 
proporcional a r2. Podemos escrever, 
𝑰𝟏
𝑰𝟑
= 
𝒓𝟑
𝟐
𝒓𝟏
𝟐 ou 
𝑰𝟐
𝑰𝟑
= 
𝒓𝟑
𝟐
𝒓𝟐
𝟐 
Essa relação é conhecida como lei do inverso do quadrado para intensidade. 
 
Leitura obrigatória (pesquise na Biblioteca Virtual) 
Sears e Zemansky – Física II – p. 118 (exemplo 15.5) – ONDAS 
PERIÓDICAS LONGITUDINAIS. Editora Pearson. 
 
Interferência de ondas e princípio da superposição 
Quando duas ondas ou mais se encontram propagando-se no mesmo 
meio, e no mesmo local estas ondas sofrem um fenômeno ondulatório chamado 
de interferência. 
 
 
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Quando essa situação ocorre devemos aplicar o princípio da 
superposição de ondas que afirma que o deslocamento total da onda resultante 
no ponto onde duas ou mais ondas se superpõe é igual à soma dos 
deslocamentos das ondas individuais. Ou seja, a função de onda resultante é 
obtida pela soma das funções de onda das duas ondas que estão sofrendo 
interferência. 
𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝒚𝟏(𝒙, 𝒕) + 𝒚𝟐(𝒙, 𝒕) 
 
Podemos observar o princípio da superposição fazendo propagar dois 
pulsos de onda com sentidos de propagação opostos em uma mesma corda a 
partir das extremidades da corda. 
Suponha que os pulsos estejam invertidos um em relação ao outro, eles 
irão se aproximar e quando ambos estiverem na mesma posição da corda eles 
irão sofrer interferência, superpondo-se um em relação ao outro. Veja figura 9 a 
seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9 – Dois pulsos de onda invertidos se 
propagando em uma corda em sentidos opostos 
e sofrendo superposição. (Fonte: Física II; Sears 
e Zemanski, pág. 120, figura 15.20). 
 
 
 
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Na figura 10 os pulsos deslocam-se em sentidos opostos, mas não estão 
invertidos. Quando eles se encontram ocorre interferência construtiva, 
resultando em uma onda com amplitude maior, isso devido a soma das 
amplitudes dos pulsos individuais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10 – Dois pulsos de onda deslocando-se em sentidos 
opostos na mesma corda, no momento do encontro eles sofrem 
superposição. (Fonte: Física II; Sears e Zemanski, pág. 120, 
figura 15.21). 
 
 
Leitura obrigatória (pesquise na Biblioteca Virtual) 
Sears e Zemansky – Física II – pág. 121 – Ondas estacionarias em uma 
corda. 
 
O professor Cristiano apresenta sobre o tema de hoje no material online. Confira! 
 
 
 
 
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TEMA 4: Ondas sonoras 
As ondas sonoras são definidas como ondas mecânicas longitudinais. As 
ondas sonoras podem ser geradas mecanicamente, como por exemplo, com o 
diapasão. Em aparelhos de ultrassom se geram por meio dos chamados 
transdutores eletroacústicos. Qualquer objeto que vibra é uma fonte de som. 
As ondas mecânicas perceptíveis ao ouvido humano estão 
compreendidas, aproximadamente entre as frequências de 20 Hz a 20.000 Hz. 
Quanto maior a frequência, mais agudo é o som, quanto menor a frequência 
mais grave é o som. Os sons de frequência abaixo de 20 Hz, chamados de 
infrassom, e com frequência acima de 20.000 Hz, ultrassom, não são detectados 
pelo ouvido humano. 
Como vimos, a velocidade de propagação de uma onda depende do meio 
material onde ele se propaga, e no caso da onda sonora, também depende da 
temperatura do meio material. Por exemplo, se o meio material de propagação 
da onda sonora for o ar atmosférico e a temperatura for de 0 ºC, a velocidade de 
propagação da onda sonora é de aproximadamente 330 m/s; já para 
temperaturas mais elevadas, como por exemplo a 20 ºC, a velocidade passa a 
ser de aproximadamente 340 m/s. 
 Apesar das ondas sonoras serem longitudinais, a teoria vista envolvendo 
ondas mecânicas transversais em cordas também se aplica neste caso. 
Portanto, uma onda sonora também pode ser uma onda senoidal, com 
amplitude, frequência e comprimento de onda bem definidos. 
As ondas sonoras normalmente propagam-se em três dimensões a partir 
da fonte. Para este estudo, iremos considerar que a onda sonora seja uniforme 
e desloque-se em um meio material homogêneo. 
 
 
 
 
 
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Neste caso, apesar da onda deslocar-se em três dimensões, afastando-
se da fonte sonora, podemos escolher uma única direção de propagação para 
estudar o comportamento desta onda, pois independente do eixo que 
escolhamos, o comportamento da onda será o mesmo, portanto, com o intuito 
de facilitar o entendimento, iremos supor uma onda sonora movendo-se no 
sentido positivo do eixo x. 
 
Para esse caso, a função de onda é dada por: 
𝒚 (𝒙, 𝒕) = 𝑨 𝐜𝐨𝐬(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
Nesta equação a coordenada x, localiza uma partícula no meio material a 
partir da origem onde encontra-se a fonte sonora, seu eixo encontra-se paralelo 
ao deslocamento da onda. Já a coordenada y, quando a onda é longitudinal, seu 
eixo encontra-se paralelo ao eixo da coordenada x, e fornece o deslocamento da 
partícula localizada pela coordenada x no meio material quando atingido pela 
onda. 
A amplitude da onda, A, também chamada de amplitude de deslocamento, 
é o deslocamento máximo da partícula selecionada a partir da posição de 
equilíbrio. Veja a figura 11 ao lado. Um tubo é preenchido por um fluido, neste 
tubo, posicionado na extremidade esquerda, existe um êmbolo movimentando-
se em MHS que exerce pressões no fluido provocando o surgimento de uma 
onda que se desloca neste fluido. 
 
 
 
Figura 11 – Onda senoidal longitudinal deslocando-se para direita em 
um fluido. 
 
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A propagação da onda foi registrada em nove instantes de tempo até que 
ela complete o intervalo de tempo de um período. Observe que a coordenada x1 
localiza uma partícula do fluido no meio material, partícula destacada em 
vermelho, quando a onda atinge esta partícula, ela começa a oscilar deslocando-
se da sua posição de equilíbrio até uma amplitude máxima A. Repare também, 
que existem regiões de maior pressão, quando as partículas do fluido estão mais 
próximas umas das outras e regiões de menor pressão, quando as partículas 
estão mais afastadas umas das outras, veja figura 12 nas telas seguintes. 
A distância entre uma região de maior pressão e a próxima região de 
maior pressão, é o comprimento de onda Devido a essas diferenças de 
pressão no fluido quando uma onda sonora se propaga por ele, as ondas 
sonoras podem ser descritas através das flutuações de pressão do fluido. 
 
Ondas Sonoras como Flutuação de Pressão 
 
Para ilustrar a teoria de como representar uma onda sonora como 
variações momentâneas da pressão do fluido iremos utilizar como exemplo uma 
onda sonora que se propaga no ar atmosférico em uma única direção com 
frequência constante. 
Iremos considerar a situação idealonde a pressão do ar atmosférico inicial 
é constante em todos os pontos do fluido. 
O ar atmosférico é composto por oxigênio na forma molecular O2, que 
corresponde a aproximadamente 21 % da composição do ar, também existe o 
nitrogênio, N2, o gás mais abundante da atmosfera, 78 % da composição. 
Ainda fazem parte o gás carbônico, a forma da molécula é o CO2, ele 
contribui apenas com 0,03% da atmosfera e alguns gases nobres como argônio 
Ar, neônio Ne, radônio Rn, o famoso hélio He, criptônio Kr e o xenônio Xe, que 
ocupam cerca de 0,93% do ar atmosférico. 
 
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Esses gases só existem na forma atômica, e, portanto, não sofrem 
reações químicas e não fazem ligações químicas com nenhum elemento, por 
essas características são chamados de gases nobres. 
Além desses gases, não podemos esquecer a presença do vapor da 
água, H2O, e também das partículas de poeira e poluição, quanto a esses 
elementos não existe em uma quantidade específica, sua proporção varia de 
região para região, depende do clima e outros fatores. 
Sabendo que o ar atmosférico real é composto por diversas moléculas e 
átomos, idealizaremos um modelo físico para o ar atmosférico, e utilizaremos 
este modelo para estudar a propagação da onda sonora através dele. Neste 
modelo iremos considerar cada molécula e átomo presente na atmosfera como 
uma pequena esfera (figura 12, na tela a seguir) cada uma dessas esfera é 
considerada uma partícula do gás. 
 
 
Figura 12 – Representação gráfica de um fluido. 
 
Estas partículas estão em constante movimento aleatório, colidindo umas 
com as outras e com os limites geométricos do recipiente que contém o fluido, 
suas paredes. A distância média entre cada partícula depende da pressão do 
fluido, quando a pressão é menor as partículas tendem a se afastar e quando a 
pressão aumenta as partículas ficam mais próximas umas das outras. 
 
 
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Durante a propagação de uma onda sonora no ar atmosférico, a pressão 
do ar varia com valores acima e abaixo da pressão atmosférica, conforme a onda 
se propaga. Sabendo destas características, analisaremos etapa por etapa a 
propagação da onda sonora no ar atmosférico. Para isso, vamos utilizar a figura 
11, a qual representa a propagação da onda em nove instantes de tempo 
diferentes até completar um período de propagação da onda. Começaremos 
com a primeira imagem, para t = 0. 
 
Nesta figura existe um tubo cilíndrico de vidro, o qual ao lado esquerdo 
encontra-se um embolo que pode entrar e sair do tubo, este embolo oscila em 
MHS pressionando o gás que se encontra no interior do tubo. 
 
As partículas desse gás estão sendo representadas por linhas verticais 
azuis, onde cada linha é composta por uma fileira de partículas do ar. A partir 
desse instante inicial uma partícula do fluido, apresentada pela linha vertical 
vermelha, está localizada pela coordenada x1, no eixo x que tem como origem 
a posição do embolo neste instante. Entre as posições de x = 0 e x = x1 a onda 
já está propagando-se, mas ainda não atingiu a partícula em x1, portanto essa 
se encontra na sua posição de equilíbrio, posição localizada no eixo y quando y 
= 0. 
Neste instante inicial o embolo está entrando no tubo criando um pulso de 
maior pressão, o deslocamento do pulso no interior do tubo ocorre com a 
velocidade da onda. Com a aproximação do pulso de maior pressão da partícula 
em x1, ela será forçada a deslocar-se para região de menor pressão que se 
encontra a sua direita e isso nos leva a próxima imagem da sequência. 
 
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Veja que a partícula realmente foi levada para direita, saindo a posição de 
equilíbrio, mas também o pulso de maior pressão foi deslocado para direita, esse 
movimento do pulso de maior pressão continua a pressionar a partícula para 
direita até que ela chegue na posição de amplitude máxima, ou seja, o máximo 
deslocamento que o fluido permite que a partícula se desloque em relação a sua 
posição de equilíbrio. Isso pode ser observado na próxima imagem. 
 
 
 
Veja que neste instante, t = 2/8 T, a partícula destacada em vermelho 
encontra-se na posição de amplitude máxima y = A, a partir deste momento o 
embolo começa a retornar indo para esquerda, criando regiões de menor 
pressão. Agora o pulso de maior pressão encontra-se a direita da partícula que 
estamos observando, naturalmente essa partícula irá se deslocar para esquerda, 
pois é lá que se encontra uma região de menor pressão, e ela assim o faz, indo 
agora em direção ao ponto onde y = 0, veja no próximo instante. 
 
 
 
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A partícula continua a deslocar-se para região de menor pressão a sua 
esquerda. 
 
Neste instante, decorrido metade do período da onda, t = ½ T, a partícula 
retornou para sua posição de equilíbrio, agora ela está posicionada em uma 
região de menor pressão, região onde a pressão do gás é menor que pressão 
atmosférica, mas o movimento cinético da partícula a leva a ultrapassar essa 
posição e ela é deslocada para esquerda da posição de equilíbrio, para onde os 
valores de y são negativos. 
 
Para o instante de tempo, quando t = 5/8 do período, o embolo continua 
seu deslocamento para esquerda e a partícula também, porém outro pulso de 
maior pressão aproxima-se da partícula. 
 
É quando a partícula chega na sua posição de maior amplitude negativa 
y = - A, o embolo para e começa a retornar entrando novamente no tubo e 
gerando outro pulso de maior pressão, com a aproximação de uma região de 
maior pressão, a partícula é forçada novamente para direita, região neste 
momento de menor pressão, em sentido à sua posição de equilíbrio. 
 
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Com o pulso de onda se aproximando, a partícula não pode fazer outra 
coisa que não seja ir para direita. 
 
Quando o tempo completa o período, t = T, a partícula retornou para sua 
posição inicial de equilíbrio, e o processo se repete. 
Como você pode ver em detalhes, a propagação da onda ocorre por 
variações de pressão momentâneas do gás, ou em outras palavras, como 
flutuações de pressão. 
Podemos querer determinar a pressão do gás dentro do tubo em 
determinada posição x e instante de tempo t. Para isso devemos utilizar a 
relação matemática: 𝑷 (𝒙, 𝒕) = 𝑩𝒌𝑨 𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) 
A - Amplitude da onda 
 Onde k - Número de onda 
B – Módulo de compressão do gás 
 
O valor de B depende do tipo de gás onde a onda se propaga, ele indica 
o quanto o gás pode ser comprimido ou não. Para valores elevados do módulo 
de compressão indica que o gás é menos compressível. Quando a relação 
𝒔𝒆𝒏 (𝒌𝒙 − 𝝎𝒕) = 𝟏 o valor da pressão atinge o seu valor máximo, chamado 
amplitude de pressão, e dado por: 𝑷𝒎á𝒙 = 𝑩𝒌𝑨. 
 
 
 
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Leitura obrigatória (pesquise na sua Biblioteca Virtual): 
Leitura Obrigatória - Sears e Zemansky – Física II – pág. 143 – Exemplo 
16.2. 
 
Velocidade das ondas sonoras 
Vimos ao estudar ondas transversais propagando-se em uma corda 
esticada que a 
Por analogia, para uma onda sonora propagando-se em um gás iremos 
substituir a tensão F aplicada, pelo módulo de compressão B e a densidade 
linear, pela densidade do gás . Logo, a velocidade de propagação de uma onda 
sonora em um gás será determinada pela relação: 
𝒗 = √
𝑩
𝝆
 
 
Portanto a velocidade de propagação de um pulso ondulatório longitudinal 
em um fluido depende apenas do módulo de compressão do fluido e da 
densidade do meio. Esta equação é válida para toda onda longitudinal se 
propagando em um fluido, como a velocidade do som no ar ou na água. 
 
Intensidade e nível de intensidade sonora 
Como destacamos no início daaula, todo onda transfere energia de um 
ponto do meio material onde ela se propaga para outro local deste meio material, 
vimos que a intensidade I de uma onda sonora é determinada pela taxa temporal 
média com a qual a energia é transferida pela onda, por unidade de área. 
𝑰 = 
𝑷
𝟒𝝅𝒓𝟐
 
O que pretendemos agora é expressar a intensidade de uma onda sonora 
senoidal em termos da amplitude de deslocamento A, omitindo alguns passos, 
obtemos a expressão abaixo: 
 
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 𝑰 = 
𝟏
𝟐
√𝝆𝑩𝝎𝟐𝑨𝟐 
(Intensidade de uma onda sonora senoidal) 
Muitas vezes é mais útil determinar a intensidade da onda sonora 
senoidal em função da amplitude da pressão Pmáx, para esse caso 
obtemos: 
𝑰 = 
𝑷𝒎á𝒙
𝟐𝝆𝒗
= 
𝑷𝒎á𝒙
𝟐
𝟐√𝝆𝑩
 
Leitura Obrigatória: 
Sears e Zemansky – Física II – pág. 151 – Exemplo 16.6. 
 
 
Escala Decibel 
Como o ouvido humano é sensível para um intervalo de intensidade 
sonoras muito grande, para facilitar adotamos uma escala logarítmica para 
definir a intensidade sonora chamada escala decibel . 
O nível da intensidade sonora  de uma onda sonora é a medida 
logarítmica de sua intensidade, medida em relação a Io uma intensidade 
arbitraria de referência definida como igual a 10-12 W/m2, valor perto do limiar da 
audição humana. O nível da intensidade sonora é expresso em decibel (dB), 
pela relação: 
𝜷 = 𝟏𝟎 𝒅𝑩 𝐥𝐨𝐠
𝑰
𝑰𝒐
 
 
Sugestão de leitura (pesquise na sua Biblioteca Virtual): Livro da 
disciplina. Sears e Zemansky – Física II – pág. 152 – Exemplo 16.9. 
 
Sobre o que você estudou até agora, confira na videoaula no material 
online! 
 
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Trocando ideias 
Acesse o fórum da disciplina e poste para os seus colegas outros tipos 
de ondas, diferentes das que estudamos até aqui. Veja o que os seus colegas 
postaram também, escola dois e classifique quais são os tipos de ondas destes 
dois que você escolheu. 
Na Prática 
Por falar em tipos diferentes de ondas, lembra do exemplo visto no início 
desta aula? O exemplo do balão de gás hélio em que pudemos perceber que há 
diferentes ondas sonoras. Agora é a sua vez: pesquise por exemplos de 
situações cotidianas nas quais podemos encontrar ondas. 
 
Depois disso, assista à proposta prática com o professor Cristiano no 
material online! 
Síntese 
 
Vamos relembrar tudo o que foi estudado até aqui? O professor 
Cristiano sintetiza este encontro na videoaula do material online. 
 
Referências 
Sears e Zemanski – Física II – Termodinâmica e Ondas – 12ª edição – 
ed. Pearson.