Mat_1_3serie_Vol2_2019

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num intervalo real D’ ⊂ D(f), se dado dois números
reais quaisquer x1, x2 ∈ D’, com x1 < x2, tivermos
f(x1) > f(x2). Isto significa que a função f é decrescente
no intervalo D’ quando ao aumentarmos os valo-
res de x∈D’, os valores de y correspondentes
diminuem.
Observação
Uma função pode não ser crescente nem decrescente
num certo intervalo. Neste caso dizemos que ela é cons-
tante naquele intervalo. A função y = 2, por exemplos, é
constante em R pois qualquer que seja x real teremos y = 2.
Análise de gráficos
Não só para a matemática, mas para as mais diversas
áreas do conhecimento humano, pois os gráficos de fun-
ções aparecem no estudo da física, química, biologia, geo-
grafia, história e também nos jornais e revistas represen-
tando comportamento da inflação, evolução da intenção de
votos de um certo candidato a cargo público, etc.
Os valores de x para os quais a função f se anula, isto é
f(x) = 0, são chamados raízes reais ou zeros da função.
Graficamente, identificamos os zeros de uma função
como sendo as abscissas dos pontos onde o gráfico “cor-
ta” o eixo x.
Dado x0 ∈ D(f), se para todo x ∈ D(f) tivermos f(x0) ≥ f(x),
dizemos que f(x0) é o valor máximo da função f e o ponto
(x0, f(x0)) é chamado ponto de máximo.
Graficamente, identificamos o ponto de máximo, se
houver, como aquele que está “mais alto” no gráfico da
função. A ordenada desse ponto é o valor máximo da fun-
ção.
Exemplo:
Ponto máximo: (2, 3)
Valor máximo de f : 3
Dado x0 ∈ D(f), se para todo x ∈ D(f) tivermos f(x0) ≤ f(x),
dizemos que f(x0) é o valor mínimo da função f e o ponto
(x0, f(x0)) é chamado ponto de mínimo.
Graficamente, identificamos o ponto de mínimo, se hou-
ver, como aquele que está “mais baixo” no gráfico da fun-
ção. A ordenada desse ponto é o valor mínimo da função.
UNIDADE 04
ESTRUTURA DAS FUNÇÕES
ASPECTOS CONCEITUAIS
Uma relação de A em B é chamado de função ou apli-
cação de A em B quando ela associa a todo e qualquer
elemento de A um único elemento de B.
• f : A →→→→→ B
Lê-se: “função f de A em B”.
Onde y = f(x) (lê-se: “f de x”) representa a imagem do
elemento x pela função f.
f : A →→→→→ B
x →→→→→ y
Lê-se: “função f de A em B que associa a cada elemen-
to x um único elemento y”.
• Ao escrevermos f : A →→→→→ B estamos mostrando que a
função f possui domínio A, contradomínio B e con-
junto imagem contido em B, isto é:
D(f) = A
CD(f) = B
Im(f) ⊂ B
Domínio de uma função
Domínio será formado por todos os números reais que
satisfazem às operações indicadas na lei de formação, isto
é, os números reais que tornam possíveis em R as opera-
ções indicadas na lei de formação.
A = D(f) ⊂ R
B = CD(f) = R
Funções crescentes ou decrescentes
• Função Crescente: Uma função f é dita crescente num
intervalo real D’ ⊂ D(f), se dados dois números reais
quaisquer x1, x2 ∈ D’, com x1 < x2, tivermos f(x1) < f(x2).
Isto significa que a função f é crescente no intervalo D’
quando ao aumentarmos os valores de x ∈ D’, os
valores de y correspondentes também aumentam.
• Função Decrescente: Uma função f é dita decrescente
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Observação
Como reconhecer quando um gráfico representa uma
função?
Como para cada valor de x do domínio devemos ter em
correspondência um único y do contradomínio, é possível
identificar se um gráfico representa ou não função, traça-
mos retas paralelas ao eixo y. para ser função, cada reta
vertical traçada por pontos do domínio deve interceptar o
gráfico em um único ponto.
O gráfico anterior é de uma função, pois qualquer reta
paralela ao eixo y que intercepta o gráfico o faz em um úni-
co ponto.
O gráfico acima não é o de um função, pois existem
retas paralelas ao eixo y que interceptam o gráfico em mais
de um ponto.
Qualidade de uma função
• Função Injetora: Uma função f é dita injetora quando
elementos distintos do domínio possuem sempre ima-
gens distintas, isto é, dados x1, x2 ∈ D(f), se x1 ≠ x2 en-
tão f(x1) ≠ f(x2).
• Função Sobrejetora: Uma função f é dita sobrejetora
quando seu conjunto imagem é igual ao seu
contradomínio (Im(f) = CD(f)), isto é, 
∃x ∈ D(f) / (x, y) ∈ f.
• Função Bijetora: Uma função f é dita bijetora quando
ela for injetora e sobrejetora ao mesmo tempo.
Função Inversa
Dada a função bijetora f = {(x, y) ∈ A x B / y = f(x)}, chama-
mos de função inversa de f a função f-1 = {(y, x) B x A / y = f(x)}.
Isto significa que os pares ordenados de f-1 podem ser
obtidos permutando-se os elementos de cada par ordena-
do de f, ou seja: (x, y) ∈ f e (y, x) ∈ f-1
Exemplo:
Observações
• Podemos notar que só existe a função f-1, inversa de f,
se f for bijetora.
• O domínio da função f-1 é igual ao conjunto imagem de
f.
• O conjunto imagem da função f-1 é igual ao domínio da
função f.
• É fácil notar que a função inversa de f-1 é a função f,
isto é: (f-1)-1 = f. Podemos, então, dizer que f e f-1 são
inversas entre si.
• Os gráficos cartesianos de duas funções inversas en-
tre si, são simétricos em relação à bissetriz dos
quadrantes ímpares.
• Uma forma prática de se obter a lei de formação da
inversa de uma função é permutar x e y , e isolar y,
com os devidos cuidados às restrições de domínio.
Função Composta
A função h é chamada composta de g e f e podemos
representar por h = g o f ou h(x) = (g o f)(x). Lê-se: “f com-
posta g” ou “função composta de g e f”.
Dadas as funções f: A → B definida por y = f(x) e
g: B → C definida por z = g(y) chamamos de função
composta de g com f a função h: A → C definida por
h(x) = g(f(x)) = z. Neste caso, podemos representar por
h = g o f.
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Observações
• Pela primeira definição é fácil notar que g o f só existe
se o contradomínio de f for igual ao domínio de g.
• A composição de funções não é comutativa, isto é:
g o f ≠ f o g.
Função Par 
Uma função f é considerada par quando f(–x) = f(x),
qualquer que seja o valor de x ∈ D(f). 
Função Ímpar
Uma função f é considerada ímpar quando f(–x) = – f(x),
qualquer que seja o valor de x ∈ D(f).
01 A figura abaixo representa o gráfico de uma função f.
O total de elementos x tais que f(f(x)) = 2 é:
(A) 2 (B) 4
(C) 0 (D) 3
(E) 1
02 A função f associa a cada valor de x pertencente aos
números reais não nulos o inverso de x. Então o valor
de é:
(A) (B)
(C) (D)
03 A função inversa da função bijetora f:R – {-4} → R – {2}
definida por é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
04 Cada grama do produto P custa R$0,21 e cada grama
do produto Q, R$0,18. Cada quilograma de certa mis-
tura desses dois produtos, feita por um laboratório, custa
R$192,00. Com base nesses dados, pode-se afirmar
que a quantidade do produto P utilizada para fazer um
quilograma dessa mistura é:
(A) 300g (B) 400g
(C) 600g (D) 700g
05 As tabelas a seguir representam algumas conjugações
do verbo estar.
Das tabelas acima, a única que representa uma bijeção
de A em B é a
(A) Tabela 1. (B) Tabela 2.
(C) Tabela 3. (D) Tabela 4.
06 A estatura de um adulto do sexo feminino pode ser es-
timada, através das alturas de seus pais, pela expres-
são: . Considere que x é a altura da mãe e
y a do pai, em cm. Somando-se ou subtraindo-se 8,5
cm da altura estimada, obtém-se, respectivamente, as
alturas máxima ou mínima que a filha adulta pode atin-
gir. Segundo essa fórmula, se João tem 1,72 m de
altura e sua esposa tem 1,64 m, sua filha medirá, no
máximo:
(A) 1,70 m (B) 1,71 m
(C) 1,72 m (D) 1,73 m
07 A função f está definida no conjunto dos inteiros positi-
vos por se n é par, e f(n) = 3n + 1 é ímpar. O
número de soluções da equação f(n) = 25 é:
(A) zero (B) um
(C) dois (D) quatro
(E) infinito
08 A temperatura de um paciente, depois de receber um
antitérmico, é dada pela função ,
onde T é a temperatura em graus Celsius e t é o tempo
medido em horas, a partir do momento em que o paci-
ente é medicado. Supondo que certo paciente tenha
recebido esse remédio às 8h 00min (t = 0), sua tempe-
ratura deverá ser de 36,8º C por volta das:
(A) 14h 00min
(B) 14h 30min
(C) 15h 00min
(D) 15h 30min
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01 (ENEM) A figura representa a vista superior de uma
bola de futebol americano, cuja forma é um elipsoideobtido pela rotação de uma elipse em torno do eixo das
abscissas. Os valores a e b são, respectivamente, a
metade do seu comprimento horizontal e a metade do
seu comprimento vertical. Para essa bola, a diferença
entre os comprimentos horizontal e vertical e igual à
metade do comprimento vertical.
Considere que o volume aproximado dessa bola é dado
por v = 4ab2.
O volume dessa bola, em função apenas de b, é dado
por
(A) 8b3 (B) 6b3
(C) 5b3 (D) 4b3
02 (ENEM) Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja
amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restri-
ções teóricas ao uso e as faixas de normalidade preco-
nizadas.
O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com
o modelo alométrico, possui uma melhor fundamenta-
ção matemática, já que a massa é uma variável de di-
mensões cúbicas e a altura, uma variável de dimen-
sões lineares.
As fórmulas que determinam esses índices são:
ARAÚJO. C. G. S.; RICARDO, D.R. Índice de Massa Corporal: Um
Questionamento Científicio Baseado em Evidências. Arq.Bras. Cardiologia,
volume 79, n.o 1, 2002 (adaptado).
Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC
igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a
(A) 0,4 cm/kg1/3 (B) 2,5 cm/kg1/3
(C) 8 cm/kg1/3 (D) 20 cm/kg1/3
(E) 40 cm/kg1/3
03 (ENEM)
Uma equipe de paleontólogos descobriu um rastro de
dinossauro carnívoro e nadador, no norte da Espanha.
O rastro completo tem comprimento igual a 15 metros
e consiste de vários pares simétricos de duas marcas
de três arranhões cada uma, conservadas em arenito.
O espaço entre duas marcas consecutivas mostra uma
pernada de 2,5 metros. O rastro difere do de um
dinossauro não-nadador: “são as unhas que penetram
no barro - e não a pisada -, o que demonstra que o
animal estava nadando sobre a água: só tocava o solo
com as unhas, não pisava”, afirmam os paleontólogos.
Internet: <www.noticias.uol.com.br> (com adaptações).
Qual dos seguintes fragmentos do texto, considerado
isoladamente, é variável relevante para se estimar o
tamanho do dinossauro nadador mencionado?
(A) “O rastro completo tem 15 metros de comprimen-
to”
(B) “O espaço entre duas marcas consecutivas mostra
uma pernada de 2,5 metros”
(C) “O rastro difere do de um dinossauro não-nadador”
(D) “são as unhas que penetram no barro - e não a
pisada”
(E) “o animal estava nadando sobre a água: só tocava
o solo com as unhas”
04 (ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água
de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada
conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de
água (em m3) e de eletricidade (em kWh). Observe que,
na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo mul-
tiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe
uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.
Dos gráficos a seguir, o que melhor representa o valor
da conta de água, de acordo com o consumo, é:
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05 (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2016) Uma empresa farma-
cêutica fez um estudo da eficácia (em porcentagem)
de um medicamento durante 12 h de tratamento em
um paciente. O medicamento foi administrado em duas
doses, com espaçamento de 6 h entre elas. Assim que
foi administrada a primeira dose, a eficácia do remédio
cresceu linearmente durante 1 h, até atingir a máxima
eficácia (100%), e permaneceu em máxima eficácia du-
rante 2 h. Após essas 2 h em que a eficácia foi máxima,
ela passou a diminuir linearmente, atingindo 20% de
eficácia ao completar as 6h iniciais de análise. Nesse
momento, foi administrada a segunda dose, que pas-
sou a aumentar linearmente, atingindo a máxima eficá-
cia após 0,5 h e permanecendo em 100% por 3,5h.
Nas horas restantes da análise, a eficácia decresceu
linearmente, atingindo ao final do tratamento 50% de
eficácia.
Considerando as grandezas tempo (em hora), no eixo
das abscissas; e eficácia do medicamento (em porcen-
tagem), no eixo das ordenadas, qual é o gráfico que
representa tal estudo?
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06 (ENEM PPL 2017) No primeiro ano do ensino médio
de uma escola, é hábito os alunos dançarem quadrilha
na festa junina. Neste ano, há 12 meninas e 13 meni-
nos na turma, e para a quadrilha foram formados 12
pares distintos, compostos por uma menina e um me-
nino. Considere que as meninas sejam os elementos
que compõem o conjunto A e os meninos, o conjunto
B, de modo que os pares formados representem uma
função f de A em B.
Com base nessas informações, a classificação do tipo
de função que está presente nessa relação é
(A) f é injetora, pois para cada menina pertencente ao
conjunto A está associado um menino diferente per-
tencente ao conjunto B.
(B) f é sobrejetora, pois cada par é formado por uma
menina pertencente ao conjunto A e um menino per-
tencente ao conjunto B, sobrando um menino sem
formar par.
(C) f é injetora, pois duas meninas quaisquer perten-
centes ao conjunto A formam par com um mesmo
menino pertencente ao conjunto B, para envolver a
totalidade de alunos da turma.
(D) f é bijetora, pois dois meninos quaisquer perten-
centes ao conjunto B formam par com uma mesma
menina pertencente ao conjunto A.
(E) f é sobrejetora, pois basta que uma menina do con-
junto A forme par com dois meninos pertencentes
ao conjunto B, assim nenhum menino ficará sem
par.
07 (ENEM PPL) Num campeonato de futebol de 2012,
um time sagrou-se campeão com um total de 77 pon-
tos (P) em 38 jogos, tendo 22 vitórias (V), 11 empates
(E) e 5 derrotas (D). No critério adotado para esse ano,
somente as vitórias e empates têm pontuações positi-
vas e inteiras. As derrotas têm valor zero e o valor de
cada vitória é maior que o valor de cada empate.
Um torcedor, considerando a fórmula da soma de pon-
tos injusta, propôs aos organizadores do campeonato
que, para o ano de 2013, o time derrotado em cada
partida perca 2 pontos, privilegiando os times que per-
dem menos ao longo do campeonato. Cada vitória e
cada empate continuariam com a mesma pontuação
de 2012.
Qual a expressão que fornece a quantidade de pontos
(P), em função do número de vitórias (V), do número
de empates (E) e do número de derrotas (D), no siste-
ma de pontuação proposto pelo torcedor para o ano de
2013?
(A) P = 3V + E
(B) P = 3V - 2D
(C) P = 3V + E - D
(D) P = 3V + E - 2D
(E) P = 3V + E + 2D
08 (UFPR/2017) A respeito da função representada no
gráfico abaixo, considere as seguintes afirmativas:
1. A função é crescente no intervalo aberto (4, 6).
2. A função tem um ponto de máximo em x = 1.
3. Esse gráfico representa uma função injetora.
4. Esse gráfico representa uma função polinomial de ter-
ceiro grau.
Assinale a alternativa correta.
(A) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
(B) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
(C) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
(D) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
(E) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras.
09 (UNIMONTES MG) Entre os gráficos abaixo, o único
que representa o gráfico de uma função é:
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10 (ESPM SP/2018) Para que o domínio da função
 seja todo o conjunto dos reais,
deve-se ter:
(A) k < 0
(B) k > –1
(C) –1 ≤ k ≤ 1
(D) –2 ≤ k ≤ 2
(E) –1 ≤ k ≤ 3
11 (ESPM SP/2018) Se f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3 – x , a
função h(x) representada no diagrama abaixo é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
12 (UNCISAL/2018) Considere a função f definida por
, cujo domínio é o conjunto IR − {0}.
Então, para todo x real e diferente de zero, a soma
f(x) + f(−x) é igual a
(A) 0. (B) 1.
(C) –1. (D) –2x2.
(E) 2x2.
13 (CEFET MG/2016) Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e
g(x) = x2 + 3x + c, o maior valor inteiro de c tal que a
equação g(f(x)) = 0 apresente raízes reais é
(A) 1. (B) 2.
(C) 3. (D) 4.
14 (UNIRG TO/2018) Das funções abaixo, assinale a úni-
ca que é inversa de si mesma.
(A) F(x) = 2x + 1. (B) G(x) = x2 + 1.
(C) H(x) = 1/x. (D) I(x) = 1/x2.
15 (MACKENZIE SP/2017) Se a função f:R − {2} → R* é
definida por e f–1 a sua inversa, então
f–1 (–2) é igual a
(A) (B)
(C) (D)
(E)
16 (UEL PR/2017) O Escritório das Nações Unidas sobre
Drogas e Crime (UNODC) elabora anualmente o Rela-
tório Mundial sobre Drogas, que inclui informações so-
bre produção, consumoe tráfico. O relatório da UNODC,
em 2014, exibe o gráfico a seguir, que apresenta o
percentual da população estadunidense que utilizou
determinada droga, no ano apontado.
(Adaptado de: World Drug Report. 2014.)
Com base no gráfico e supondo que Cannabis, opioides
e cocaína são também drogas ilícitas e que a popula-
ção dos Estados Unidos cresceu em 10 milhões de pes-
soas de 2007 a 2012, assinale a alternativa correta.
(A) De acordo com o gráfico, o conjunto dos indivíduos
que utilizaram opioides em 2011 é disjunto daque-
le formado por usuários de Cannabis no mesmo
ano.
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(B) Houve um aumento de 20% no número de indiví-
duos que utilizavam Cannabis nos Estados Unidos,
de 2007 a 2012.
(C) A explicação para o aumento do percentual do uso
de pelo menos uma droga ilícita em 2012 é o acrés-
cimo do percentual do uso da cocaína.
(D) A probabilidade de um estadunidense, escolhido
ao acaso em 2006, não utilizar droga ilícita é me-
nor que 86%.
(E) A probabilidade de um estadunidense, escolhido
ao acaso em 2004, ter utilizado pelo menos uma
droga ilícita é de 18%.
01 (UERJ) Para enviar mensagens sigilosas substituindo
letras por números, foi utilizado um sistema no qual
cada letra do alfabeto está associada a um único nú-
mero n, formando a sequência de 26 números ilustra-
da na tabela:
Para utilizar o sistema, cada número n, corresponden-
te à uma determinada letra, é transformado em um
número f(n), de acordo com a seguinte função:
As letras do nome ANA, por exemplo, estão associa-
das aos números [1 14 1]. Ao se utilizar o sistema,
obtém-se a nova matriz [f(1) f(14) f(1)], gerando a matriz
código [5 36 5].
Considere a destinatária de uma mensagem cujo nome
corresponde à seguinte matriz código: [7 13 5 30 32
21 24].
Identifique esse nome.
02 (UEL 2017) No plano cartesiano abaixo, cada um dos
pontos representa a massa (m) de um medicamento
existente no sangue de um animal no instante (t) em
que foi feita cada medição depois do instante ini-
cial, t = 0, da aplicação.
Considerando todos os instantes entre as medições
apresentadas no plano cartesiano, responda aos itens
a seguir.
a) Sabendo que a relação que descreve a massa (m) do
medicamento, após t horas da aplicação, é dada por
 em que C e D são constantes, determine
C e D na relação dada.
Justifique sua resposta apresentando os cálculos reali-
zados na resolução deste item.
b) Após quanto tempo da administração, a massa desse
medicamento será inferior a 60% da massa que foi me-
dida depois de 2 horas da aplicação?
Justifique sua resposta apresentando os cálculos reali-
zados na resolução deste item.
03 (UFPR 2017) Responda às seguintes perguntas a res-
peito da função 
a) Qual é o domínio de g?
b) Qual é a inversa de g?
04 (UNICAMP) O número áureo é uma constante real irra-
cional, definida como a raiz positiva da equação
quadrática obtida a partir de
a) Reescreva a equação acima como uma equação
quadrática e determine o número áureo.
b) A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é conhecida como
sequência de Fibonacci, cujo n-ésimo termo é definido
recursivamente pela fórmula
Podemos aproximar o número áureo, dividindo um ter-
mo da sequência de Fibonacci pelo termo anterior.
Calcule o 10º e o 11º termos dessa sequência e use-os
para obter uma aproximação com uma casa decimal
para o número áureo.
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UNIDADE 05
FUNÇÃO AFIM
ASPECTOS CONCEITUAIS
Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função
afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da
forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e
a ≠ 0.
Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coe-
ficiente angular de x e o número b é chamado coeficiente
linear.
Obtenção da lei de formação
Para se obter a lei de formação de uma função do 1º
grau (reta) que passa por 2 pontos dados, pode-se proce-
der de 3 maneiras, fundamentalmente :
1ª) a partir da forma padrão, y = ax + b, cria-se um sistema
linear para a obtenção de a e b , substituindo-se x e y
pelas coordenadas de cada ponto;
2ª) definir a taxa de variação, ou coeficiente angular, pela
relação , sendo (x1;y1) e (x2;y2) as coorde-
nadas dos pontos dados. A partir daí calcula-se, por
um desses pontos, o coeficiente linear.
3ª) igualar a zero o determinante sendo
(x1;y1) e (x2;y2) as coordenadas dos pontos dados.
Gráfico
O g rá f i co de uma função po l i nomia l do 1 º
grau, y = ax + b, com a ≠ 0, é uma reta oblíqua aos
eixos Ox e Oy. Por exemplo, vamos construir o gráfico
da função y = 3x - 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus
pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:
a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto
é (0, -1).
b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, e outro
ponto é .
Marcamos os pontos (0, -1) e no plano cartesiano e
ligamos os dois com uma reta.
Já vimos que o gráfico da função afim y = ax + b é uma
reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular
da reta e, como veremos adiante, está ligado à inclinação
da reta em relação ao eixo Ox.
O coeficiente, b, é chamado coeficiente linear da reta.
Para x = 0, temos y = a · 0 + b = b. Assim, o coeficiente
linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
Zero ou raiz real da função do 1º grau
Chama-se zero ou raiz real da função polinomial do 1º
grau f(x) = ax + b, a ≠ 0, o número real x tal que f(x) = 0.
Temos:
f(x) = 0 ⇒ ax + b = 0 ⇒ 
Função crescente ou decrescente
• a função do 1º grau f(x) = ax + b é crescente quando o
coeficiente de x é positivo (a > 0);
• a função do 1º grau f(x) = ax + b é decrescente quando
o coeficiente de x é negativo (a < 0);
Justificativa:
• para a > 0: se x1 < x2, então ax1 < ax2. Daí, ax1 + b <
ax2 + b, de onde vem f(x1) < f(x2).
• para a < 0: se x1 < x2, então ax1 > ax2. Daí, ax1 + b >
ax2 + b, de onde vem f(x1) > f(x2).
https://www.somatematica.com.br (com adaptações)
01 A Receita Federal apresenta a tabela a seguir para o
cálculo do Imposto de Renda a ser pago pelos contri-
buintes em 2012, na qual a base de cálculo é a renda
líquida.
Um contribuinte com renda líquida x no intervalo
[3271,39; 4087,65] deve calcular o imposto a pagar y
pela fórmula
(A) y = 22,5x – 552,15
(B) y = 22,5x + 552,15
(C) y = 2,25x – 552,15
(D) y = 0,225x + 552,15
(E) y = 0,225x – 552,15
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02 A dosagem (em mL) diária recomendada de um certo
medicamento varia em função da massa corporal (em
kg) do paciente, conforme indicado no gráfico. Manten-
do-se essa relação entre massa e dosagem, pode-se
concluir que a dosagem diária recomendada para um
paciente com 70 kg é, em mL, igual
(A) 12.
(B) 14.
(C) 16.
(D) 25.
(E) 28.
03 A figura abaixo apresenta o gráfico da reta r: 2y – x + 2 = 0
no plano cartesiano. As coordenadas cartesianas do
ponto P, indicado nessa figura, são:
(A) (3,6).
(B) (4,3).
(C) (8,3).
(D) (6,3).
(E) (3,8).
04 A figura apresenta o gráfico da velocidade de um carro,
em função do tempo.
A distância, em metros, percorrida pelo carro no inter-
valo de 20 segundos é igual a
(A) 167
(B) 500
(C) 600
(D) 1000
(E) 1200
05 A figura mostra os gráficos das funções custo total C(x)
e receita total R(x) de uma empresa produtora de CDs.
Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e
a receita são iguais, o lucro pela venda de 2000 CDs é
(A) 1400 (B) 2500
(C) 3000 (D) 2600
(E) 1580
06 A figura, indicada abaixo, representa o gráfico de uma
função f cujo domínio é o intervalo fechado -1 ≤ x ≤ 7.
Sabe-se que o segmento é paralelo ao segmento
 e que o segmento é paralelo ao eixo dos x.
Nessas condições, podemos afirmar que o valor de
f(7) – f(4,5) é igual a:
(A) 3/2 (B) 17/10
(C) 5/3 (D) 9/5
(E) 2
07 A função f(x) que representa o gráfico a seguir, onde k
é uma constante não nula, é dada por:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
483483
08 A função linear R(t) = at + b expressa o rendimento R,
em milhares de reais, de certa aplicação. O tempo t é
contado em meses, R(1) = 3 e R(2) = 5. Nessas condi-
ções, o rendimento obtido nessa aplicação, em quatro
meses, é:
(A) R$5000,00
(B) R$6000,00
(C)R$7000,00
(D) R$9000,00
09 A função que melhor se ajusta ao gráfico abaixo é:
(A) (B)
(C) (D)
(E)
10 Paulo é um fabricante de brinquedos que produz de-
terminado tipo de carrinho. A figura a seguir mostra os
gráficos das funções custo total e receita, consideran-
do a produção e venda de x carrinhos fabricados na
empresa de Paulo.
A diferença entre o preço pelo qual a empresa vende
cada carrinho e o custo variável por unidade é chama-
da de margem de contribuição por unidade. Portanto,
no que diz respeito aos carrinhos produzidos na fábri-
ca de Paulo, a margem de contribuição por unidade é:
(A) R$ 6,00
(B) R$ 10,00
(C) R$ 4,00
(D) R$ 2,00
(E) R$ 14,00
01 (ENEM 2018) A raiva é uma doença viral e infecciosa,
transmitida por mamíferos. A campanha nacional de
vacinação antirrábica tem o objetivo de controlar a cir-
culação do vírus da raiva canina e felina, prevenindo a
raiva humana. O gráfico mostra a cobertura (porcenta-
gem de vacinados) da campanha, em cães, nos anos
de 2013, 2015 e 2017, no município de Belo Horizonte,
em Minas Gerais. Os valores das coberturas dos anos
de 2014 e 2016 não estão informados no gráfico e de-
seja-se estimá-Ios. Para tal, levou-se em consideração
que a variação na cobertura de vacinação da campa-
nha antirrábica, nos períodos de 2013 a 2015 e de 2015
a 2017, deu-se de forma linear.
Qual teria sido a cobertura dessa campanha no ano de
2014?
(A) 62,3% (B) 63,0%
(C) 63,5% (D) 64,0%
(E) 65,5%
02 (ENEM) No Brasil há várias operadoras e planos de
telefonia celular.
Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de
planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está
em função do tempo mensal das chamadas, conforme
o gráfico.
Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por
mês com telefone.
Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais van-
tajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto
para essa pessoa?
(A) A (B) B
(C) C (D) D
(E) E
484484
03 (ENEM) As curvas de oferta e de demanda de um pro-
duto representam, respectivamente, as quantidades que
vendedores e consumidores estão dispostos a
comercializar em função do preço do produto. Em al-
guns casos, essas curvas podem ser representadas
por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de
demanda de um produto sejam, respectivamente, re-
presentadas pelas equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade
de demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os
economistas encontram o preço de equilíbrio de mer-
cado, ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equi-
líbrio?
(A) 5 (B) 11
(C) 13 (D) 23
(E) 33
04 (ENEM) O saldo de contratações no mercado formal
no setor varejista da região metropolitana de São Pau-
lo registrou alta. Comparando as contratações deste
setor no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano,
houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando
880.605 trabalhadores com carteira assinada.
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010
(adaptado).
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor
varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros me-
ses do ano. Considerando-se que y e x representam,
respectivamente, as quantidades de trabalhadores no
setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro,
fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão
algébrica que relaciona essas quantidades nesses
meses é
(A) y = 4300x (B) y = 884 905x
(C) y = 872 005 + 4300x (D) y = 876 305 + 4300x
(E) y = 880 605 + 4300x
05 (ENEM) As frutas que antes se compravam por dúzi-
as, hoje em dia, podem ser compradas por quilogra-
mas, existindo também a variação dos preços de acor-
do com a época de produção. Considere que, indepen-
dente da época ou variação de preço, certa fruta custa
R$ 1,75 o quilograma. Dos gráficos a seguir, o que re-
presenta o preço m pago em reais pela compra de n
quilogramas desse produto é
(A) 
(B) 
(C)
(D)
(E)
06 (ENEM) Acompanhando o crescimento do filho, um
casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua
altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos
17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava
a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para
ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relaci-
onando as alturas do filho nas idades consideradas.
Que gráfico melhor representa a altura do filho desse
casal em função da idade?
(A)
(B)
485485
(C)
(D)
(E)
07 (ENEM) Um experimento consiste em colocar certa
quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo
com água até certo nível e medir o nível da água, con-
forme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do
experimento, concluiu-se que o nível da água é função
do número de bolas de vidro que são colocadas dentro
do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experi-
mento realizado.
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o ní-
vel da água (y) em função do número de bolas (x)?
(A) y = 30 x. (B) y = 25 x + 20,2.
(C) y = 1,27 x. (D) y = 0,7 x.
(E) y = 0,07 x + 6
08 (ENEM) A figura a seguir representa o boleto de co-
brança da mensalidade de uma escola, referente ao
mês de junho de 2008.
Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga,
em que x é o número de dias em atraso, então
(A) M(x) = 500 + 0,4x. (B) M(x) = 500 + 10x.
(C) M(x) = 510 + 0,4x (D) M(x) = 510 + 40x.
(E) M(x) = 500 + 10,4x.
09 (ENEM) O gráfico a seguir, obtido a partir de dados do
Ministério do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número de espécies da fauna brasileira ameaçadas de
extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência de cres-
cimento mostrada no gráfico, o número de espécies
ameaçadas de extinção em 2011 será igual a
(A) 465.
(B) 493.
(C) 498.
(D) 538.
(E) 699.
486486
10 (ENEM) O jornal de uma pequena cidade publicou a
seguinte notícia:
CORREIO DA CIDADE
ABASTECIMENTO COMPROMETIDO
O novo polo agroindustrial em nossa cidade tem atraí-
do um enorme e constante fluxo migratório, resultando
em um aumento da população em torno de 2000 habi-
tantes por ano, conforme dados do nosso censo:
Esse crescimento tem ameaçado nosso fornecimento
de água, pois os mananciais que abastecem a cidade
têm capacidade para fornecer até 6 milhões de litros
de água por dia. A prefeitura, preocupada com essa
situação, vai iniciar uma campanha visando estabele-
cer um consumo médio de 150 litros por dia, por habi-
tante.
A análise da notícia permite concluir que a medida é
oportuna. Mantido esse fluxo migratório e bem sucedi-
da a campanha, os mananciais serão suficientes para
abastecer a cidade até o final de
(A) 2005.
(B) 2006.
(C) 2007.
(D) 2008.
(E) 2009.
11 (ENEM) Considerando que o Calendário Muçulmano
teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos
muçulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é pos-
sível estabelecer uma correspondência aproximada de
anos entre os dois calendários, dada por:
(C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos)
(A) C = M + 622 - (M/33).
(B) C = M - 622 + (C - 622/32).
(C) C = M - 622 - (M/33).
(D) C = M - 622 + (C - 622/33).
(E) C = M + 622 - (M/32).
12 (ENEM)
José e Antônio viajarão em seus carros com as respec-
tivas famílias para a cidade de Serra Branca. Com a inten-
ção de seguir viagem juntos, combinam um encontro no
marco inicial da rodovia, onde chegarão, de modo indepen-
dente, entre meio-dia e 1 hora da tarde. Entretanto, como
não querem ficar muito tempo esperando um pelo outro,
combinam que o primeiro que chegar ao marco inicial es-
perará pelo outro, no máximo, meia hora; após esse tem-
po, seguirá viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y o
horário de chegada de Antônio, e representando os pares
(x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região OPQR
a seguir indicada corresponde ao conjunto de todas as pos-
sibilidades para o par (x; y):
Segundo o combinado, para que José e Antônio via-
jem juntos, é necessário que ou que
.
De acordo com o gráfico e nas condiçõescombinadas,
as chances de José e Antônio viajarem juntos são de:
(A) 0%
(B) 25%
(C) 50%
(D) 75%
(E) 100%
13 (ENEM (LIBRAS) 2017) Um reservatório de água com
capacidade para 20 mil litros encontra-se com 5 mil
litros de água num instante inicial (t) igual a zero, em
que são abertas duas torneiras. A primeira delas é a
única maneira pela qual a água entra no reservatório,
e ela despeja 10 L de água por minuto; a segunda é a
única maneira de a água sair do reservatório. A razão
entre a quantidade de água que entra e a que sai, nes-
sa ordem, é igual a Considere que Q(t) seja a ex-
pressão que indica o volume de água, em litro, contido
no reservatório no instante t, dado em minuto, com t
variando de 0 a 7.500.
A expressão algébrica para Q(t) é
(A) 5.000 + 2t
(B) 5.000 - 8t
(C) 5.000 - 2t
(D) 5.000 + 10t
(E) 5.000 - 2,5t
487487
14 (ENEM 2ª APLICAÇÃO) As sacolas plásticas sujam
florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam ma-
tando por asfixia peixes, baleias e outros animais aqu-
áticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18 bi-
lhões de sacolas plásticas. Os supermercados brasi-
leiros se preparam para acabar com as sacolas plásti-
cas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que se
considera a origem como o ano de 2007.
De acordo com as informações, quantos bilhões de sa-
colas plásticas serão consumidos em 2011?
(A) 4,0
(B) 6,5
(C) 7,0
(D) 8,0
(E) 10,0
15 (ENEM PPL 2017) Um sistema de depreciação linear,
estabelecendo que após 10 anos o valor monetário de
um bem será zero, é usado nas declarações de impos-
to de renda de alguns países. O gráfico ilustra essa
situação.
Uma pessoa adquiriu dois bens, A e B, pagando 1.200
e 900 dólares, respectivamente.
Considerando as informações dadas, após 8 anos, qual
será a diferença entre os valores monetários, em dólar,
desses bens?
(A) 30
(B) 60
(C) 75
(D) 240
(E) 300
16 (ENEM PPL 2017) Em um mês, uma loja de eletrôni-
cos começa a obter lucro já na primeira semana. O grá-
fico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do
mês até o dia 20. Mas esse comportamento se esten-
de até o último dia, o dia 30.
A representação algébrica do lucro (L) em função do
tempo (t) é
(A) L(t) = 20t + 3.000
(B) L(t) = 20t + 4.000
(C) L(t) = 200t
(D) L(t) = 200t - 1.000
(E) L(t) = 200t + 3.000
17 (ENEM PPL 2017) Os consumidores X, Y e Z desejam
trocar seus planos de internet móvel na tentativa de
obterem um serviço de melhor qualidade. Após
pesquisarem, escolheram uma operadora que oferece
cinco planos para diferentes perfis, conforme apresen-
tado no quadro.
Em cada plano, o consumidor paga um valor fixo (pre-
ço mensal da assinatura) pela franquia contratada e
um valor variável, que depende da quantidade de MB
utilizado além da franquia. Considere que a velocidade
máxima de acesso seja a mesma, independentemente
do plano, que os consumos mensais de X, Y e Z são de
190 MB, 450 MB e 890 MB, respectivamente, e que
cada um deles escolherá apenas um plano.
Com base nos dados do quadro, as escolhas dos pla-
nos com menores custos para os consumidores X, Y e
Z, respectivamente, são
(A) A, C e C.
(B) A, B e D.
(C) B, B e D.
(D) B, C e C.
(E) B, C e D.
488488
18 (ENEM PPL) Os sistemas de cobrança dos serviços
de táxi nas cidades A e B são distintos. Uma corrida de
táxi na cidade A é calculada pelo valor fixo da
bandeirada, que é de R$ 3,45 mais R$ 2,05 por quilô-
metro rodado. Na cidade B, a corrida é calculada pelo
valor fixo da bandeirada, que é de R$ 3,60 mais
R$ 1,90 por quilômetro rodado.
Uma pessoa utilizou o serviço de táxi nas duas cidades
para percorrer a mesma distância de 6 km.
Qual o valor que mais se aproxima da diferença, em
reais, entre as médias do custo por quilômetro rodado
ao final das duas corridas?
(A) 0,75 (B) 0,45
(C) 0,38 (D) 0,33
(E) 0,13
19 (UERJ 2018) Os veículos para transporte de passa-
geiros em determinado município têm vida útil que va-
ria entre 4 e 6 anos, dependendo do tipo de veículo.
Nos gráficos está representada a desvalorização de
quatro desses veículos ao longo dos anos, a partir de
sua compra na fábrica.
Com base nos gráficos, o veículo que mais desvalori-
zou por ano foi:
(A) I (B) II
(C) III (D) IV
20 (UERJ) A promoção de uma mercadoria em um super-
mercado está representada, no gráfico a seguir, por 6
pontos de uma mesma reta.
Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na pro-
moção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a:
(A) 4,50 (B) 5,00
(C) 5,50 (D) 6,00
21 (UERJ) Em um determinado dia, duas velas foram ace-
sas: a vela A às 15 horas e a vela B, 2 cm menor, às 16
horas. Às 17 horas desse mesmo dia, ambas tinham a
mesma altura. Observe o gráfico que representa as al-
turas de cada uma das velas em função do tempo a
partir do qual a vela A foi acesa.
Calcule a altura de cada uma das velas antes de se-
rem acesas.
489489
22 (UERJ)
SABEDORIA EGÍPCIA
Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram
que a sombra no chão provocada pela incidência dos
raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) vari-
ava de tamanho e de direção. Com medidas feitas
sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o
passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de
chegar a um comprimento máximo, ela recuava até
perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam
com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes.
(Adaptado de Revista “Galileu”, janeiro de 2001.)
Um estudante fez uma experiência semelhante à des-
crita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de
comprimento. No início do inverno, mediu o comprimen-
to da sombra OB, encontrando 8 metros.
Utilizou, para representar sua experiência, um sistema
de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das orde-
nadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, res-
pectivamente, os segmentos de reta que representa-
vam a vareta e a sombra que ela determinava no chão.
Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equa-
ção da reta que contém o segmento AB:
(A) y = 8 - 4x
(B) x = 6 - 3y
(C) x = 8 - 4y
(D) y = 6 - 3x
23 (UERJ) O balanço de cálcio é a diferença entre a quan-
tidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na
urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o cres-
cimento e a gravidez e negativo na menopausa, quan-
do pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracteri-
zada pela diminuição da absorção de cálcio pelo orga-
nismo.
A baixa concentração de íon cálcio (Ca++) no sangue
estimula as glândulas paratireoides a produzirem
hormônio paratireoideo (HP). Nesta situação, o
hormônio pode promover a remoção de cálcio dos os-
sos, aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua
excreção pelos rins.
(Adaptado de ALBERTS, B. et al., “Urologia Molecular da Célula.”
Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.)
Admita que, a partir dos cinquenta anos, a perda da
massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra
o gráfico a seguir.
(Adaptado de “Galileu”, janeiro de 1999.)
Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectiva-
mente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30
anos.
O percentual de massa óssea que as mulheres já per-
deram aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos,
é igual a:
(A) 14
(B) 18
(C) 22
(D) 26
01 (UFU 2017) Com o objetivo de aumentar as vendas,
uma fábrica de peças oferece preços promocionais aos
clientes atacadistas que compram a partir de 120 uni-
dades. Durante esta promoção, a fábrica só aceitará
dois tipos de encomendas: até 100 peças ou, pelo me-
nos, 120 peças. O preço P(x), em reais, na venda de x
unidades, é dado pelo gráfico seguinte, em que os dois
trechos descritos correspondem a gráficos de funções
afins.
Nestas condições, qual o maior número de peças que
se pode comprar com R$ 9.800,00?
490490
02 (FGV 2016) A empresa Alpha dedica-se exclusivamente
à digitalização de documentos. Um funcionário leva 4
horas para digitalizar um documento, a empresa opera
durante 250 dias por ano e não há estoque de docu-
mentos antigos para digitalizar. Em 2014, os funcioná-
rios têm uma jornada de trabalho de 8 horas diárias,
mas têm exatamente 2 horas de ociosidade por dia.
Em relação a 2014, o número de novos documentosque chegam para serem digitalizados aumentará 10.000
por ano nos próximos três anos. Sem novas
contratações, em 2017, os funcionários precisarão tra-
balhar 8 horas por dia sem qualquer tempo ocioso para
conseguir processar toda a demanda de 2017.
a) Qual é o número atual de funcionários da empresa?
b) Quantos documentos deverão ser digitalizados em
2015?
c) Representando o ano de 2014 como x = 0, 2015 como
x = 1, 2016 como x = 2, e assim por diante, é possível
expressar Y (demanda da empresa, em número de do-
cumentos para digitalização) em função de x, para o
período de 2014 a 2017, como Y(x) = a + bx. Nesta
expressão, a representa o número de documentos
digitalizados em 2014. Determine o valor de b.
03 (UNICAMP) A numeração dos calçados obedece a pa-
drões distintos, conforme o país. No Brasil, essa nu-
meração varia de um em um, e vai de 33 a 45, para
adultos. Nos Estados Unidos a numeração varia de meio
em meio, e vai de 3,5 a 14 para homens e de 5 a 15,5
para mulheres.
a) Considere a tabela abaixo.
Suponha que as grandezas estão relacionadas por fun-
ções afins t(x) = ax + b para a numeração brasileira e
x(t) = ct + d para o comprimento do calçado. Encontre
os valores dos parâmetros a e b da expressão que per-
mite obter a numeração dos calçados brasileiros em
termos do comprimento, ou os valores dos parâmetros
c e d da expressão que fornece o comprimento em ter-
mos da numeração.
b) A numeração dos calçados femininos nos Estados
Unidos pode ser estabelecida de maneira aproxima-
da pela função real f definida por f(x) = 5(x – 20) / 3,
em que x é o comprimento do calçado em cm. Sa-
bendo que a numeração dos calçados nk forma uma
progressão aritmética de razão 0,5 e primeiro termo
n1 = 5, em que nk = f (ck), com k natural, calcule o
comprimento c5.
04 (UNICAMP) Em 14 de outubro de 2012, Felix
Baumgartner quebrou o recorde de velocidade em que-
da livre. O salto foi monitorado oficialmente e os valo-
res obtidos estão expressos de modo aproximado na
tabela e no gráfico abaixo.
a) Supondo que a velocidade continuasse variando de
acordo com os dados da tabela, encontre o valor da
velocidade, em km/h, no 30º segundo.
b) Com base no gráfico, determine o valor aproximado
da velocidade máxima atingida e o tempo, em segun-
dos, em que Felix superou a velocidade do som. Con-
sidere a velocidade do som igual a 1.100 km/h.
05 (UFMG) A fábula da lebre e da tartaruga, do escritor
grego Esopo, foi recontada utilizando-se o gráfico abai-
xo para descrever os deslocamentos dos animais.
Suponha que na fábula a lebre e a tartaruga apostam
uma corrida em uma pista de 200 metros de compri-
mento. As duas partem do mesmo local no mesmo ins-
tante. A tartaruga anda sempre com velocidade cons-
tante. A lebre corre por 5 minutos, para, deita e dorme
por certo tempo. Quando desperta, volta a correr com
a mesma velocidade constante de antes, mas, quando
completa o percurso, percebe que chegou 5 minutos
depois da tartaruga.
Considerando essas informações,
a) DETERMINE a velocidade média da tartaruga durante
esse percurso, em metros por hora.
b) DETERMINE após quanto tempo da largada a tartaru-
ga alcançou a lebre.
c) DETERMINE por quanto tempo a lebre ficou dormindo.
491491
06 (UERJ) O reservatório A perde água a uma taxa cons-
tante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B
ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora.
No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes,
em litros, da água contida em cada um dos reservatóri-
os, em função do tempo, em horas, representado no
eixo x.
Determine o tempo 0x , em horas, indicado no gráfico.
UNIDADE 06
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU
ASPECTOS CONCEITUAIS
I) Chama-se função quadrática, ou função polinomial do
2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma
lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são nú-
meros reais e a ≠ 0.
II) Gráfico
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau,
y = ax2 + bx + c, com a ≠ 0, é uma curva chamada parábola.
Por exemplo, vamos construir o gráfico da função y = x2 + x:
Primeiro atribuímos a x alguns valores, depois calcula-
mos o valor correspondente de y e, em seguida, ligamos os
pontos assim obtidos.
Observação:
Ao construir o gráfico de uma função quadrática
y = ax2 + bx + c, notaremos sempre que:
• se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para
cima;
• se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para
baixo;
492492
Zeros ou raízes da função do 2º grau
Chamam-se zeros ou raízes da função polinomial do
2º grau f(x) = ax2 + bx + c , a 0, os números reais x tais que
f(x) = 0.
Então as raízes da função f(x) = ax2 + bx + c são as
soluções da equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0, as quais
são dadas pela chamada fórmula de Bhaskara:
Temos:
f(x) = 0 ⇒ ax2 + bx + c = 0 ⇒ 
Observação:
A quantidade de raízes reais de uma função quadrática
depende do valor obtido para o radicando Δ = b2 − 4⋅a⋅c, 
chamado discriminante, a saber:
• quando Δ é positivo, há duas raízes reais e distintas;
• quando Δ é zero, há só uma raiz real (para ser mais
preciso, há duas raízes iguais);
• quando Δ é negativo, não há raiz real; são complexas.
• (*) uma função do 2º grau pode ser fatorada na forma
f(x) = a(x-x1)(x-x2), onde x1 e x2 são suas raízes e a é o
coeficiente de x2.
• Na equação ax2 + bx + c = 0, a soma das raízes é dada
por –b/a e o produto das raízes por c/a.
Coordenadas do vértice da parábola
Quando a > 0, a parábola tem concavidade voltada para
cima e um ponto de mínimo V; quando a < 0, a parábola
tem concavidade voltada para baixo e um ponto de
máximo V. 
Em qualquer caso, as coordenadas de V
são . Veja os gráficos:
(*) um número significativo de questões que tratam de fun-
ções do 2º grau abordam o vértice da parábola em as-
sociações ao cotidiano (lucro máximo, investimento
mínimo, produção, dentre outros) ou mesmo à temas
geométricos, vinculados à áreas, volumes, etc.
(*) dessa forma, é importante diferenciar as perguntas fei-
tas. Por exemplo, num caso em que é estudada a vari-
ação do lucro de uma empresa, em função do número
de peças produzidas, existem, basicamente, dois
questionamentos que podem ser realizados :
1º) qual o lucro máximo ? Responde-se com o yv.
2º) quantas peças devem ser fabricadas para que o lucro
seja máximo ? Responde-se com o xv.
Imagem
O conjunto-imagem Im da função y = ax2 + bx + c, a ≠ 0,
é o conjunto dos valores que y pode assumir. Há duas possi-
bilidades:
1ª) quando a > 0,
493493
2ª) quando a < 0,
Construção da parábola
É possível construir o gráfico de uma função do 2º grau
sem montar a tabela de pares (x, y), mas seguindo apenas
o roteiro de observação seguinte:
1) O valor do coeficiente a define a concavidade da pará-
bola;
2) Os zeros reais definem os pontos em que a parábola
intercepta o eixo dos x;
3) O vértice V indica o ponto de mínimo (se
a > 0), ou máximo (se a< 0);
4) A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos y é o
eixo de simetria da parábola;
5) Para x=0 , temos y = a·02 + b·0 + c = c; então (0, c) é o
ponto em que a parábola corta o eixo dos y.
6) A função é crescente, ou decrescente (dependendo do
sinal do parâmetro a), com valores avaliados no eixo
das abcissas, até o vértice (exclusive); a partir dele essa
configuração é alterada.
https://www.somatematica.com.br (com modificações)
01 A soma das raízes da equação é igual a:
(A) 1
(B) 4
(C) –3
(D) 0
(E) –1
02 Um triângulo tem base medindo 2x + 1 e altura 2x – 8,
ambas em cm. Assinale a alternativa que contém a
medida x, em cm, sabendo que área do triângulo é
11cm2?
(A) 2,5
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 8
03 A altura acima do chão (em metros) de uma bola
lançada verticalmente ao ar é dado por:
H = 112t – 16t2
onde t é o tempo em segundos.
É correto afirmar que:
(A) A altura máxima alcançada pela bola é 200m
(B) A altura da bola no instante t = 3s é de 190m
(C) A bola alcançará a altura de 90m no instante t = 6s
(D) O gráfico da altura em função do tempo é uma pa-
rábola com concavidade para cima.
(E) A bola atingirá o solo no instante t = 7s04 A altura, em metros, da água contida em um tanque
que tem a forma de paralelepípedo reto–retângulo, t
horas depois de iniciar o seu esvaziamento pela parte
inferior, pode ser calculada por .
Qual o tempo, em horas, necessário para que o volu-
me da água no tanque tenha sido reduzido à quarta
parte do volume inicial?
(A) 6
(B) 12
(C) 18
(D) 3
(E) 4
05 A equação mx2 + ax + b = 0, m ≠ 0, apresenta raízes
iguais sempre que:
(A) a = m
(B) b2 = 4 a.m
(C)
(D) m > a.b
(E) m < a.b
494494
06 A expressão que define a função quadrática f(x), cujo
gráfico está esboçado, é:
(A) f(x) = –2x2 – 2x + 4. (B) f(x) = x2 + 2x – 4.
(C) f(x) = x2 + x – 2. (D) f(x) = 2x2 + 2x – 4.
(E) f(x) = 2x2 + 2x – 2.
07 A figura a seguir ilustra o momento do lançamento de
uma bola de basquete para a cesta. Foi inserido o sis-
tema de coordenadas cartesianas para representar a
trajetória da bola, de modo que a altura h da bola é
dada em função da distância horizontal x pela equa-
ção h = –0,1x2 + 1,2x + 2,5 , com h e x medidos em
metros. Determine a altura máxima atingida pela bola.
(A) 6,1 metros (B) 6,3 metros
(C) 7,2 metros (D) 7,5 metros
(E) 8,3 metros
08 A figura a seguir mostra um retângulo DFCE inscrito no
triângulo retângulo ABC, cujos catetos têm medidas
AC = 5 e BC = 10.
Então, a área máxima desse retângulo é:
(A) 12,5
(B) 13,5
(C) 14,5
(D) 15
(E) 18
09 A figura abaixo apresenta um monumento na cidade
de Saint Louis, Estados Unidos. O seu formato lembra
uma parábola.
Tomando o solo como o eixo das abscissas, assinale a
alternativa que representa corretamente o monumen-
to.
(A) A parábola não possui raízes reais.
(B) Na expressão ax2 + bx + c o valor de a > 0.
(C) A parábola possui um ponto de mínimo.
(D) A expressão x2 é a representação correta do monu-
mento.
(E) A parábola possui duas raízes reais e distintas.
495495
01 (ENEM 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra
arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localiza-
da na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui
abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma
das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura
2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medi-
das hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Fi-
gura 2?
(A) (B)
(C) (D)
(E)
02 (ENEM 2017) Viveiros de lagostas são construídos,
por cooperativas locais de pescadores, em formato de
prismas reto-retangulares, fixados ao solo e com telas
flexíveis de mesma altura, capazes de suportar a cor-
rosão marinha. Para cada viveiro a ser construído, a
cooperativa utiliza integralmente 100 metros lineares
dessa tela, que é usada apenas nas laterais.
Quais devem ser os valores de X e de Y, em metro,
para que a área da base do viveiro seja máxima?
(A) 1 e 49
(B) 1 e 99
(C) 10 e 10
(D) 25 e 25
(E) 50 e 50
03 (ENEM) A temperatura T de um forno (em graus centí-
grados) é reduzida por um sistema a partir do instante
de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a
expressão , com t em minutos. Por
motivos de segurança, a trava do forno só é liberada
para abertura quando o forno atinge a temperatura de
39°.
Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se
desligar o forno, para que a porta possa ser aberta?
(A) 19,0
(B) 19,8
(C) 20,0
(D) 38,0
(E) 39,0
04 (ENEM) Existem no mercado chuveiros elétricos de di-
ferentes potências, que representam consumos e cus-
tos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é
dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o
quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O
consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é direta-
mente proporcional à potência do aparelho.
Considerando as características apresentadas, qual dos
gráficos a seguir representa a relação entre a energia
consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente
elétrica (i) que circula por ele?
(A) (B)
(C) (D)
(E) 
496496
05 (ENEM (LIBRAS) 2017) A única fonte de renda de um
cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra
R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 200 cli-
entes por mês, mas está pensando em aumentar o va-
lor cobrado pelo serviço. Ele sabe que cada real cobra-
do a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por
mês.
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve
cobrar por serviço o valor de
(A) R$ 10,00. (B) R$ 10,50.
(C) R$ 11,00. (D) R$ 15,00.
(E) R$ 20,00.
06 (ENEM (LIBRAS) 2017) Suponha que para um trem
trafegar de uma cidade à outra seja necessária a cons-
trução de um túnel com altura e largura iguais a 10 m.
Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser esca-
vado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção trans-
versal seja o arco de uma determinada parábola, como
apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equa-
ção da parábola que contém esse arco. Considere um
plano cartesiano com centro no ponto médio da base
da abertura do túnel, conforme Figura 2.
A equação que descreve a parábola é
(A) (B)
(C) y = -x2 + 10 (D) y = x2 - 25
(E) y = -x2 + 25
07 (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2016) Dispondo de um gran-
de terreno, uma empresa de entretenimento pretende
construir um espaço retangular para shows e eventos,
conforme a figura.
A área para o público será cercada com dois tipos de
materiais:
• nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do
tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é
R$ 20,00;
• nos outros dois lados será usada uma tela do tipo B,
comum, cujo metro linear custa R$ 5,00.
A empresa dispõe de R$ 5.000,00 para comprar todas
as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a
maior área possível para o público. A quantidade de
cada tipo de tela que a empresa deve comprar é
(A) 50,0 m da tela tipo A e 800,0 m da tela tipo B.
(B) 62,5 m da tela tipo A e 250,0 m da tela tipo B.
(C) 100,0 m da tela tipo A e 600,0 m da tela tipo B.
(D) 125,0 m da tela tipo A e 500,0 m da tela tipo B.
(E) 200,0 m da tela tipo A e 200,0 m da tela tipo B.
08 (ENEM 2ª APLICAÇÃO 2016) Para evitar uma epide-
mia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou
todos os bairros, de modo a evitar a proliferação do
mosquito da dengue. Sabe-se que o número f de
infectados é dado pela função f(t) = -2t2 + 120t (em que
t é expresso em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira
infecção) e que tal expressão é válida para os 60 pri-
meiros dias da epidemia.
A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda
dedetização deveria ser feita no dia em que o número
de infectados chegasse à marca de 1.600 pessoas, e
uma segunda dedetização precisou acontecer.
A segunda dedetização começou no
(A) 19º dia. (B) 20º dia.
(C) 29º dia. (D) 30º dia.
(E) 60º dia.
09 (ENEM PPL) Uma pequena fábrica vende seus
bonés em pacotes com quantidades de unidades
variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão
L(x) = −x2 + 12x − 20, onde x representa a quanti-
dade de bonés contidos no pacote. A empresa pre-
tende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo
um lucro máximo. Para obter o lucro máximo nas ven-
das, os pacotes devem conter uma quantidade de bo-
nés igual a
(A) 4. (B) 6.
(C) 9. (D) 10.
(E) 14.
10 (ENEM PPL) O proprietário de uma casa de espetácu-
los observou que, colocando o valor da entrada a
R$10,00, sempre contava com 1.000 pessoas a cada
apresentação, faturando R$10.000,00 com a venda dos
ingressos. Entretanto, percebeu também que, a partir
de R$10,00, a cada R$2,00 que ele aumentava no va-
lor da entrada, recebia para os espetáculos 40 pesso-
as a menos.
Nessas condições, considerando P o número de pes-
soas presentes em um determinado dia e F o
faturamento com a venda dos ingressos, a expressão
que relaciona o faturamento em função do número de
pessoas é dada por:
(A)
(B)
(C) F = −P2 + 1200P
(D)
(E) F = −P2 − 1220P
497497
11 (ENEM PPL) O apresentador de um programa de au-
ditório propôs aos participantes de uma competição a
seguinte tarefa: cada participante teria 10 minutos para
recolher moedas douradas colocadas aleatoriamente
em um terreno destinado à realização da competição.
A pontuação dos competidores seria calculada ao final
do tempo destinadoa cada um dos participantes, no
qual as moedas coletadas por eles seriam contadas e
a pontuação de cada um seria calculada, subtraindo
do número de moedas coletadas uma porcentagem de
valor igual ao número de moedas coletadas. Dessa
forma, um participante que coletasse 60 moedas
teria sua pontuação calculada da seguinte forma:
pontuação = 60 – 36 (60% de 60) = 24. O vencedor da
prova seria o participante que alcançasse a maior pon-
tuação.
Qual será o limite máximo de pontos que um competi-
dor pode alcançar nessa prova?
(A) 0
(B) 25
(C) 50
(D) 75
(E) 100
12 (UERJ) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta
AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até
B (3, 0).
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coorde-
nados é variável e tem valor máximo igual a 4,5.
O comprimento do segmento AB corresponde a:
(A) 5 (B) 6
(C) (D)
13 (UERJ) Os gráficos I e II representam as posições S
de dois corpos em função do tempo t.
No gráfico I, a função horária é definida pela equação
S = a1t
2 + b1t e, no gráfico II, por S = a2t
2 + b2t.
Admita que V1 e V2 são, respectivamente, os vértices
das curvas traçadas nos gráficos I e II.
Assim, a razão é igual a:
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 8
14 (UERJ) Observe o esquema abaixo, no qual três nú-
meros, indicados por a, b e c, com ,
foram representados em um eixo de números reais.
Considere um número real x e a soma S dos quadra-
dos das distâncias do ponto que representa x aos pon-
tos correspondentes a a, b e c, isto é:
S = (x − a)2 + (x − b)2 + (x − c)2
A melhor representação de correspondente ao menor
valor possível de está indicada em:
(A)
(B)
(C)
(D)
498498
15 (UERJ) A figura a seguir mostra um anteparo pa-
rabó l i co que é representado pe la função
.
Uma bolinha de aço é lançada da origem e segue uma
trajetória retilínea. Ao incidir no vértice do anteparo é
refletida e a nova trajetória é simétrica à inicial, em re-
lação ao eixo da parábola.
O valor do ângulo de incidência á corresponde a:
(A) 30° (B) 45°
(C) 60° (D) 75°
16 (UERJ) Numa partida de futebol, no instante em que os
raios solares incidiam perpendicularmente sobre o gra-
mado, o jogador “Chorão” chutou a bola em direção ao
gol, de 2,30m de altura interna. A sombra da bola des-
creveu uma reta que cruzou a linha do gol. A bola des-
creveu uma parábola e quando começou a cair da altura
máxima de 9 metros, sua sombra se encontrava a 16
metros da linha do gol. Após o chute de “Chorão”, ne-
nhum jogador conseguiu tocar na bola em movimento.
A representação gráfica do lance em um plano
cartesiano está sugerida na figura a seguir:
A equação da parábola era do tipo: 
O ponto onde a bola tocou pela primeira vez foi:
(A) na baliza
(B) atrás do gol
(C) dentro do gol
(D) antes da linha do gol
17 (UDESC SC/2018) A função quadrática cujo gráfico
contém os pontos (0, –9), (1, 0) e (2, 15) tem vértice
em:
(A) (–2, –13)
(B) (1, 0)
(C) (0, –9)
(D) (2, 15)
(E) (–1, –12)
18 (UNITAU SP/2018) O rótulo de determinado medica-
mento será confeccionado a partir de uma folha qua-
drada de 400 centímetros quadrados de área, retiran-
do-se 2 triângulos, conforme representado a seguir.
O valor do x utilizado deve ser tal que a área disponível
para as inscrições do referido rótulo seja a máxima
possível. Se o papel utilizado tem gramatura de 90 gra-
mas por metro quadrado, é CORRETO afirmar que o
número que melhor representa a massa da folha a ser
utilizada é
(A) 3 gramas. (B) 5 gramas.
(C) 7 gramas. (D) 9 gramas.
(E) 11 gramas.
19 (UNICAMP SP/2018) A figura a seguir exibe o gráfico
de uma função y = f(x) para 0 ≤ x ≤ 3.
O gráfico de y = [f(x)]2 é dado por
(A)
(B)
(C)
(D)
499499
20 (UEG GO/2018) Dadas a funções f(x) = –x2 e g(x) = 2x,
um dos pontos de intersecção entre as funções f e g é
(A) (0, 2)
(B) (–2, –4)
(C) (2, 4)
(D) (0, –2)
(E) (–2, 4)
21 (UNESP SP/2017) Uma função quadrática f é dada
por f(x) = x2 + bx + c, com b e c reais. Se f(1) = –1 e
f(2) – f(3) = 1, o menor valor que f(x) pode assumir,
quando x varia no conjunto dos números reais, é
igual a
(A) –12.
(B) –6.
(C) –10.
(D) –5.
(E) –9.
22 (FPS PE/2017) O desenvolvimento de gestação de
certa criança entre a 30ª e a 40ª semanas de vida
foi modelado pelas funções M(t) = 0,01t2 – 0,49t + 7
e H(t) = t + 10, onde t indica as semanas transcorri-
das, 30 ≤ t ≤ 40, H(t) o comprimento em cm, e M(t) a
massa em kg. Admitindo o modelo, qual o compri-
mento do feto, quando sua massa era de 2,32 kg?
(A) 42 cm
(B) 44 cm
(C) 46 cm
(D) 48 cm
(E) 50 cm
23 (UNIRG TO/2017) Dada a parábola de equação
y=−x2 + 8x −12, pode-se afirmar corretamente que a
distância entre o vértice e o ponto em que corta o eixo
x de menor abscissa desta parábola é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
24 (FCM MG/2017) Num estudo estatístico referente à evo-
lução de certa virose, ao longo dos meses de 10 anos,
foi obtido o resultado gráfico abaixo apresentado.
Objetivando fazer a análise dos dados a partir de ajus-
te a uma curva, qual a lei mais adequada ao caso?
(A) x2 + y2 = c2
(B) y = ax2 + bx + c
(C) y2 / a2 + x2 / b2 = 1
(D) y2 / a2 – x2 / b2 = 1
25 (IBMEC SP Insper/2017) Representantes de diversos
cursos de uma universidade decidiram contratar uma
empresa para organizar uma festa de formatura con-
junta desses cursos. Para conseguir um melhor preço,
os 400 alunos interessados aprovaram um pré-contra-
to, no qual cada aluno pagaria R$1.200,00 na assina-
tura do contrato definitivo. Contudo, se na assinatura
do contrato definitivo houver desistências, o valor pre-
viamente acordado a ser pago por cada aluno sofrerá
um acréscimo de R$ 50,00 para cada aluno desistente.
Ou seja, se houver 1 aluno desistente, os demais terão
que pagar R$ 1.250,00, se houver 2 alunos desistentes,
os demais terão que pagar R$ 1.300,00, e assim su-
cessivamente.
A receita da empresa é calculada através do produto
entre o número de alunos que assinarem o contrato e o
valor pago por cada um deles. Dado que o lucro da
empresa corresponderá a da receita, a função que
descreve o lucro L(x) da empresa em função do núme-
ro x de alunos desistentes é
(A) L(x) = –2,5x2 + 940x + 24 000
(B) L(x) = –5x2 + 1 150x + 24 000
(C) L(x) = –10x2 + 375x + 48 000
(D) L(x) = –20x + 48 000
(E) L(x) = –350x + 24 000
26 (ESPM SP/2017) O lucro de uma pequena empresa é
dado por uma função quadrática cujo gráfico está re-
presentado na figura abaixo:
Podemos concluir que o lucro máximo é de:
(A) R$ 1 280,00
(B) R$ 1 400,00
(C) R$ 1 350,00
(D) R$ 1 320,00
(E) R$ 1 410,00
500500
27 (PUC RS/2017) O morro onde estão situadas as emis-
soras de TV em Porto Alegre pode ser representado
graficamente, com algum prejuízo, em um sistema
cartesiano, através de uma função polinomial de grau
2 da forma y = ax2 + bx + c, com a base da montanha
no eixo das abscissas.
Para que fique mais adequada essa representação, de-
vemos ter
(A) a > 0 e b2 – 4ac > 0 (B) a > 0 e b2 – 4ac < 0
(C) a < 0 e b2 – 4ac < 0 (D) a < 0 e b2 – 4ac > 0
(E) a < 0 e b2 – 4ac = 0
28 (FGV /2017) O índice de Angstrom (IA), usado para aler-
tas de risco de incêndio, é uma função da umidade re-
lativa do ar (U), em porcentagem, e da temperatura do
ar (T), em ºC. O índice é calculado pela fórmula
 , e sua interpretação feita por meio
da tabela a seguir.
(Tabela adaptada de www.daff.gov.za)
A temperatura T, em ºC, ao longo das 24 horas de um
dia, variou de acordo com a função T(x) = –0,2x2 + 4,8x,
sendo x a hora do dia (0 ≤ x ≤ 24). No horário da tempe-
ratura máxima desse dia, a umidade relativa do ar era
de 35% (U = 35). De acordo com a interpretação do
índice de Angstrom, nesse horário, a condição de ocor-
rência de incêndio era
(A) improvável. (B) desfavorável.
(C) favorável. (D) provável.
(E) muito provável.
29 (UDESC SC/2017) Uma maneira de calcular, aproxi-
madamente, a área de uma região abaixo do gráfico
de uma função é inscrever retângulos de bases iguais
nesta região, de modo que a base dos retângulos este-
ja sobre o eixo x e um dos vértices de cada retângulo
sobre o gráfico da função. Usando esta técnica, quanto
maior for onúmero de retângulos melhor será a aproxi-
mação da área da região abaixo do gráfico da função.
A figura é um exemplo do uso desta técnica para calcu-
lar, aproximadamente, a área abaixo do gráfico da fun-
ção f(x) = x2 no intervalo [a, b].
Aproximação da área
Usando a técnica descrita acima, a área aproximada
abaixo do gráfico da função no inter-
valo [0, 10], usando cinco retângulos será de:
(A) 30 u. a (B) 250 u.a
(C) 125 u.a (D) 110 u.a
(E) 27,5 u.a
01 (UERJ) No interior de uma floresta, foi encontrada uma
área em forma de retângulo, de 2 km de largura por 5
km de comprimento, completamente desmatada. Os
ecologistas começaram imediatamente o replantio, com
o intento de restaurar toda a área em 5 anos. Ao mes-
mo tempo, madeireiras clandestinas continuavam o
desmatamento, de modo que, a cada ano, a área re-
tangular desmatada era transformada em outra área
também retangular. Veja as figuras:
A largura (h) diminuía com o replantio e o comprimento
(b) aumentava devido aos novos desmatamentos.
Admita que essas modificações foram observadas e
representadas através das funções: e
b(t) = 5t + 5 (t = tempo em anos; h = largura em km e
b = comprimento em km).
a) Determine a expressão da área A do retângulo
desmatado, em função do tempo t (0 ≤ t ≤ 5), e repre-
sente A(t) no plano cartesiano.
b) Calcule a área máxima desmatada e o tempo gasto
para este desmatamento, após o início do replantio.
501501
02 (UERJ) Um fruticultor, no primeiro dia da colheita de
sua safra anual, vende cada fruta por R$2,00.
A partir daí, o preço de cada fruta decresce R$0,02 por
dia.
Considere que esse fruticultor colheu 80 frutas no pri-
meiro dia e a colheita aumenta uma fruta por dia.
a) Expresse o ganho do fruticultor com a venda das frutas
como função do dia de colheita.
b) Determine o dia da colheita de maior ganho para o fru-
ticultor.
03 (UERJ) Considere as seguintes funções, relativas a
uma ninhada de pássaros:
C = 5 + 10n; C = custo mensal, em reais, para a manu-
tenção de n pássaros.
V = 5n2 + 100n - 320; V = valor arrecadado, em reais,
com a venda de n pássaros, 4 ≤ n ≤ 16.
Sabe-se que o lucro mensal obtido é determinado pela
diferença entre os valores de venda V e custo C.
a) Determine os possíveis valores de n, para que haja lu-
cro nas vendas.
b) Calcule o valor de n que proporciona o maior lucro pos-
sível e o valor, em reais, desse lucro.
04 (UERJ) A foto a seguir mostra um túnel cuja entrada
forma um arco parabólico com base AB = 8 m e altura
central OC = 5,6 m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tan-
gente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de si-
metria da parábola.
Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a
2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade
P em um determinado ponto do arco parabólico.
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
05 (UERJ) Observe a parábola de vértice V, gráfico da fun-
ção quadrática definida por y = ax2 + bx + c, que corta
o eixo das abscissas nos pontos A e B.
Calcule o valor numérico de Δ = b2 - 4ac, sabendo que
o triângulo ABV é equilátero.
06 (UERJ) Um terreno retangular tem 800 m de perímetro
e será dividido pelos segmentos e em três par-
tes, como mostra a figura.
Admita que os segmentos de reta e estão con-
tidos nas bissetrizes de dois ângulos retos do terreno e
que a área do paralelogramo PAQC tem medida S. De-
termine o maior valor, em m2, que S pode assumir.
07 (FGV 2017) A evolução mensal do número de sócios
de uma revista de Matemática durante o ano de 2015
está expressa pela função:
em que x = 1 representa janeiro de 2015, x = 2 repre-
senta fevereiro de 2015, e assim por diante.
a) Faça um esboço do gráfico da função. Qual foi o maior
número de sócios nesse período?
b) Qual foi a média aritmética do número de sócios nos
doze meses de 2015?
502502
UNIDADE 07
INEQUAÇÕES E MOVIMENTOS GRÁFICOS
ASPECTOS CONCEITUAIS
I) INEQUAÇÕES DE 1º GRAU
Obtida a raiz da função f(x) = ax+b, esta se anulará para
x = a, terá o mesmo sinal de a para x>a e sinal contrário ao
de a, para x<a. Atenção para os sinais ≤ ou ≥, que incluem
as raízes no conjunto solução.
II) INEQUAÇÕES DE 2º GRAU
São denominadas de inequações do 2° grau as
inequações do tipo:
ax2 + bx + c > 0
ax2 + bx + c < 0
ax2 + bx + c ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ 0
ax2 + bx + c ≤≤≤≤≤ 0
Para resolvermos uma inequação do Segundo grau de-
vemos estudar o sinal da função correspondente equação.
1) Igualar a sentença do 2° grau à zero;
2) Localizar e (se existir) as raízes da equação no eixo x.
3) Estudar o sinal da função correspondente, tendo-se
como possibilidades:
a > 0
a < 0
Atenção para os sinais ≤ ou ≥ , que incluem as raízes
no conjunto solução.
(*) para questões sobre inequações que envolvam pro-
duto ou quociente de expressões, deve-se analisar cada
uma, individualmente, e obter o conjunto solução atra-
vés de um quadro comparativo que mostre todos os
sinais das funções.
III) COMENTÁRIOS SOBRE “MOVIMENTOS GRÁFICOS”
1) Qual o gráfico de g(x) = -f(x)?
Um ponto do gráfico da f é P = (x, f(x)).Um ponto do
gráfico da g é Q = (x, g(x)) = (x, -f(x)).Comparando os
pontos P e Q, percebemos que um é simétrico ao outro
em relação ao eixo OX.Portanto os gráficos f(x) e g(x)
são simétricos em relação ao eixo OX.
2) Qual o gráfico de g(x) = f(-x)?
Um ponto do gráfico da f é P = (-x, f(-x)).Um ponto do
gráfico da g é Q = (x, g(x)) = (x, f(-x)).Comparando os
pontos P e Q, percebemos que um é simétrico ao outro
em relação ao eixo OY.Portanto os gráficos f(x) e g(x)
são simétricos em relação ao eixo OY.
503503
3) Qual o gráfico de g(x) = f(x) + k?
Um ponto do gráfico da f é P = (x, f(x)).Um ponto do
gráfico da g é Q = (x, g(x)) = (x, f(x)+k).Comparando os
pontos P e Q, percebemos que um é a translação ver-
tical de “k” unidades do outro.Portanto o gráfico g(x) é
uma translação vertical do gráfico f(x).
4) Qual o gráfico de g(x) = f(x + k)?
Um ponto do gráfico da f é P = (x, f(x)).Um ponto do
gráfico da g é Q = (x, g(x)) = (x, f(x+k)).Comparando os
pontos P e Q, percebemos que um é a translação de
“k” unidades horizontal do outro.Portanto o gráfico g(x)
é uma translação horizontal do gráfico f(x).
5) Qual o gráfico de g(x) = k.f(x)?
Um ponto do gráfico da f é P = (x, f(x)).Um ponto do
gráfico da g é Q = (x, g(x)) = (x, k.f(x)).Comparando os
pontos P e Q, percebemos que um é a dilatação verti-
cal do outro.Portanto o gráfico g(x) é uma dilatação
vertical do gráfico f(x).
6) Qual o gráfico de g(x) = f(k.x)?
Um ponto do gráfico da f é P = (x, f(x)).Um ponto do
gráfico da g é Q = (x, g(x)) = (x, f(k.x)).Comparando os
pontos P e Q, percebemos que um é a dilatação hori-
zontal do outro.Portanto o gráfico g(x) é uma dilatação
horizontal do gráfico f(x)
http://www2.mat.ufrgs.br
01 A figura em destaque representa o gráfico da função
y = f(x).
Assinale a alternativa que melhor se aproxima do grá-
fico da função y = f(x – 1).
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
504504
02 Considere a função real f(x), cujo gráfico está re-
presentado na figura, e a função real g(x), definida
por g(x) = f(x-1)+1.
O valor de é
(A) -3 (B) -2
(C) 0 (D) 2
(E) 3
01 (MACKENZIE SP/2018) Se f:R → R é uma função de-
finida por f(x) = -2x2+x+1, então os valores de x para os
quais f assume valores positivos são
(A) –2 < x < 1
(B) –1 < x < 2
(C)
(D)
(E)
02 (UNIEVANGÉLICA GO/2017)
Sejam as funções f(x) = x2 + 6 e g(x) = x – 7 definidas
de R → R. Quais os valores de x para os quais temos
 ?
(A) –1 < x < 1
(B) x > 1
(C) x < –1
(D) 0 < x < 1
03 (UFRGS/2017) Dadas as funções f e g, definidas por
f(x) = x2 + 1 e g(x) = x, o intervalo tal que f(x) > g(x) é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
04 (PUC RJ) Quantas soluções inteiras tem a inequação
abaixo:
x2 – 10x + 21 ≤ 0.
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
05 (UEFS BA) Os valores de x que satisfazem a equação
sen(θ) = x2 – 4x + 4 pertencem ao intervalo
(A) ]–3, –1[
(B) [–1, 1[
(C) [1, 3]
(D) ] –∞, 1[
(E) ]3, +∞[
06 (UNIFAP AP) Os colegas de Ezequiel e Marta se sen-
tiram magoados pelofato deles estarem estudando
sozinhos. Então resolverão se reunir e montar um sim-
ples desafio para os dois. E perguntam a eles:
Qual é a solução do sistema de equações do 2º grau
dado por, x2 – 5x + 6 ≤ 0.
Desta forma qual das alternativas que Ezequiel e Mar-
ta devem marcar como correta:
(A) {x ∈ R; 2 ≤ x ≤ 3}
(B) {x ∈ R; x ≤ 3}
(C) {x ∈ R; 2 ≤ x}
(D) {x ∈ R; 3 ≤ x}
(E) {x ∈ R; x ≤ 2}
07 (UEPG PR/2017) Dados os conjuntos abaixo, assinale
o que for correto.
01. B - A = ∅
02. A ∪ B tem 4 elementos.
04. A ∩ B é um conjunto unitário.
08. A ⊂ B.
16. O produto cartesiano A×B tem 4 elementos.
(*) adicionar os valores das afirmativas verdadeiras
08 (PUCCAMP) Seja f a função de IR em IR, dada pelo
gráfico a seguir
É correto afirmar que
(A) f é sobrejetora e não injetora.
(B) f é bijetora.
(C) f(x) = f(-x) para todo x real.
(D) f(x) > 0 para todo x real.
(E) o conjunto imagem de f é ] - ∞; 2 ].
505505
09 (UFU) O g rá f i co da função de var iáve l rea l
y = f (x) = ax2 + bx + c , em que a, b e c são constan-
tes reais, é uma parábola. Sabe-se que a função
y = g(x) = 2 × f(x+1) apresenta o gráfico que segue:
Nessas condições, o produto entre os valores da
abscissa e da ordenada do vértice da parábola repre-
sentando f(x) é igual a
(A) 18. (B) 6,5.
(C) 9. (D) 4,5.
10 (ENEM PPL) O quadrado ABCD, de centro O e lado 2
cm, corresponde à trajetória de uma partícula P que
partiu de M, ponto médio de AB, seguindo pelos lados
do quadrado e passando por B, C, D, A até retornar ao
ponto M.
Seja F(x) a função que representa a distância da partí-
cula P ao centro O do quadrado, a cada instante de
sua trajetória, sendo x (em cm) o comprimento do per-
curso percorrido por tal partícula. Qual o gráfico que
representa F(x)?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
506506
01 (UNIFESP) Uma função f : R → R diz-se par quando
f(-x) = f(x), para todo x∈R, e ímpar quando f(-x) = -f(x),
para todo x∈R.
a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor represen-
tam funções pares ou funções ímpares? Justifique sua
resposta.
b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo
uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos.
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