EO - Matemática_VOLUME6

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Caro aluno 
O Hexag Medicina é, desde 2010, referência na preparação pré-vestibular de candidatos às 
melhores universidades do Brasil.
Ao elaborar o seu Sistema de Ensino, o Hexag Medicina considerou como principal diferen-
cial em relação aos concorrentes sua exclusiva metodologia em período integral, com aulas 
e Estudo Orientado (E.O.), e seu plantão de dúvidas personalizado.
Você está recebendo o livro Estudo Orientado. Com o objetivo de verificar se você aprendeu 
os conteúdos estudados, este material apresenta nove categorias de exercícios:
• Aprendizagem: exercícios introdutórios de múltipla escolha para iniciar o processo de fixa-
ção da matéria dada em aula.
• Fixação: exercícios de múltipla escolha que apresentam um grau de dificuldade médio,
buscando a consolidação do aprendizado.
• Complementar: exercícios de múltipla escolha com alto grau de dificuldade.
• Dissertativo: exercícios dissertativos seguindo a forma da segunda fase dos principais ves-
tibulares do Brasil.
• Enem: exercícios que abordam a aplicação de conhecimentos em situações do cotidiano,
preparando o aluno para esse tipo de exame.
• Objetivas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios de múltipla escolha das universi-
dades públicas de São Paulo.
• Dissertativas (Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp): exercícios dissertativos da segunda fase
das universidades públicas de São Paulo
• Uerj (exame de qualificação): exercícios de múltipla escolha que possibilitam a consolida-
ção do aprendizado para o vestibular da Uerj.
• Uerj (exame discursivo): exercícios dissertativos que possibilitam a consolidação do apren-
dizado para o vestibular da Uerj.
Visando a um melhor planejamento dos seus estudos, os livros de Estudo Orientado rece-
berão o encarte Guia de Códigos Hierárquicos, que mostra, com prático e rápido manuseio, 
a que conteúdo do livro teórico corresponde cada questão. Esse formato vai auxiliá-lo a 
diagnosticar em quais assuntos você encontra mais dificuldade. Essa é uma inovação do 
material didático 2020. Sempre moderno e completo, trata-se de um grande aliado para seu 
sucesso nos vestibulares.
Bons estudos!
Herlan Fellini
2
SUMÁRIO
MATEMÁTICA
NÚMEROS COMPLEXOS E POLINÔMIOS
Aulas 45 e 46: Números complexos: representação geométrica e módulo 4
Aulas 47 e 48: Números complexos: forma trigonométrica 9
Aulas 49 e 50: Polinômios 15
Aulas 51 e 52: Operações com polinômios 21
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES
Aulas 45 e 46: Matrizes e operações 28
Aulas 47 e 48: Matriz inversa e equações matriciais 38
Aulas 49 e 50: Determinantes 42
Aulas 51 e 52: Sistemas lineares 47
GEOMETRIA ANALÍTICA
Aulas 45 e 46: Distância de ponto à reta, ângulos e áreas 58
Aulas 47 e 48: Circunferência: equações reduzida e normal 65
Aulas 49 e 50: Circunferência: posições relativas 73
Aulas 51 e 52: Secções cônicas: elipse 79
3
NÚMEROS COMPLEXOS 
E POLINÔMIOS
4
 Números complexos: represeNtação 
geométrica e módulo
AULAS 
45 e 46
E.O. AprEndizAgEm
1. (UEL) A forma algébrica do número complexo 
z = (1 + 3i)/(2 – i) é: 
a) 1/2 – 3i. 
b) 5/3 + (7i/3). 
c) –1/5 + (7i/5). 
d) –1/5 + 7i. 
e) 3/5 + (4i/5). 
2. (FEI) Escrevendo o número complexo
z = 1 _____ 
1 – i
 + 1 _____ 
1 + i
 
na forma algébrica obtemos: 
a) 1 – i.
b) i – 1.
c) 1 + i.
d) i. 
e) 1. 
3. (PUC-RS) O número complexo a + bi, diferente de 
zero, está assinalado, no plano complexo, sobre o eixo 
real. É correto afirmar que seu conjugado está situado: 
a) sobre o eixo real. 
b) sobre o eixo imaginário. 
c) no primeiro quadrante. 
d) no segundo quadrante. 
e) no terceiro quadrante. 
4. (Espcex (Aman)) Seja o número complexo z = 
x + yi 
 ______ 
3 + 4i
 , 
com x e y reais e i2 = –1.
Se x2 + y2 = 20, então o módulo de z é igual a: 
a) 0. 
b) dXX 5 .
c) 2 
dXX 5 ____ 5 .
d) 4.
e) 10.
5. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x = 1+i _____ 
1–i
 e i = dXXX –1 , o valor 
de (x + y)2 é:
a) 9i. 
b) –9 + i. 
c) –9. 
d) 9. 
e) 9 – i. 
6. (UFSM) Os edifícios “verdes” têm sido uma nova ten-
dência na construção civil. Na execução da obra des-
ses prédios, há uma preocupação toda especial com o 
meio ambiente em que estão inseridos e com a correta 
utilização dos recursos naturais necessários ao seu fun-
cionamento, além da correta destinação dos resíduos 
gerados por essa utilização.
A demarcação do terreno onde será construído um 
edifício “verde” foi feita através dos pontos P1, P2, P3 
e P4, sendo o terreno delimitado pelas poligonais 

 P1P2 , 
 
—— P2P3 , 

 P3P4 e 

 P4P1 , medidas em metros. Sabendo que P1, 
P2, P3 e P4 representam, respectivamente, a imagem dos 
complexos z1 = 20 + 40i, z2 = –15 + 50i, z3 = –15 – 10i 
e z4 = 
1 ___ 16 z1 – 
5 __ 4 
 z3 , qual é a área, em m
2, desse terreno?
a) 1.595. 
b) 1.750. 
c) 1.795. 
d) 1.925. 
e) 2.100. 
7. (PUC-RS) Na figura abaixo, o ponto A é o afixo de um 
número complexo z no plano de Argand-Gauss.
Se a distância do ponto A até a origem O é 4, então a 
diferença entre z e o seu conjugado é igual a: 
a) –4 dXX 2 – 4 dXX 2 i.
b) –4 dXX 2 + 4 dXX 2 i.
c) –4 dXX 2 i.
d) 4 dXX 2 i.
e) 4 dXX 2 .
8. (UFRGS) O argumento do número complexo z é p __ 6 , e 
o seu módulo é 2.
Então, a forma algébrica de z é: 
a) –i.
b) i.
c) dXX 3 i.
d) dXX 3 – i.
e) dXX 3 + i. 
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
5
9. (UEPB) O módulo e o argumento do número comple-
xo z = (1 + i)(1 – i)2 são respectivamente: 
a) dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
b) dXX 2 e p __ 4 + 2kp, k [ Z.
c) 2 dXX 2 e 3p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
d) 2 dXX 2 e 7p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
e) 2 dXX 2 e 5p ___ 4 + 2kp, k [ Z.
10. (IFSP) Sendo i a unidade imaginária, considere os 
números complexos z = 1 + i ew = z2 − z. Um argumento 
de w é: 
a) p __ 3 .
b) p __ 2 .
c) 2p ___ 3 .
d) 3p ___ 4 .
e) 5p ___ 4 .
E.O. FixAçãO
1. (UFRGS) A forma a + bi de z = (1 + 2i )/(1 – i) é: 
a) 1/2 + 3/2i.
b) –1/2 + 3/2i.
c) –1/2 + 2/3i.
d) –1/2 – 2/3i.
e) 1/2 – 3/2i.
2. (Insper) Considere um número complexo z, de módu-
lo 10, tal que z = (K + i)2, em que K é um número real. A 
parte real desse número complexo é igual a: 
a) 5 dXX 3 .
b) 8.
c) 5 dXX 2 .
d) 6.
e) 5.
3. (UERN) Seja z = a + bi um número complexo, tal que 
4z – zi + 5 = –1 + 10i. Assim, o módulo do complexo z é: 
a) dXX 2 .
b) 2 dXX 2 .
c) 3 dXX 2 .
d) 4 dXX 2 .
4. O módulo do número complexo z = i2014 – i1987 é igual a:
a) dXX 2 .
b) 0.
c) dXX 3 .
d) 1.
5. (UEL) Seja z um número complexo de módulo 2 e ar-
gumento principal 120°. O conjugado de z é: 
a) 2 – 2i dXX 3 .
b) 2 + 2i dXX 3 .
c) –1 – i dXX 3 .
d) –1 + i dXX 3 .
e) 1 + i dXX 3 .
6. (PUC-RS) A área da figura representada no plano de 
Argand Gauss pelo conjunto de pontos {z [ C: |z| ≤ 1} é: 
a) 1 __ 2 .
b) 1.
c) p __ 2 .
d) p.
e) 2p.
7. (UECE) Se x e y são números reais não nulos, pode-se 
afirmar corretamente que o módulo do número com-
plexo z = 
x – iy 
 ______ 
x + iy
 é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) x2 + y2
d) |xy|.
8. (UFC) Seja z0 o número complexo que é raiz da equa-
ção 
iz + (1 – 3i) 
 ___________ 
1 + i
 = 4i (lembre-se que i2 = –1).
Então, |z0| é igual a:
a) 2 dXXX 11 .
b) 3 dXX 6 .
c) 8.
d) dXXX 74 .
e) 2 dXXX 21 .
9. (Espcex - AMAN) Sendo z o número complexo obti-
do na rotação de 90°, em relação à origem, do número 
complexo 1 + i, determine z3 
a) 1 – i. 
b) – 1 + i. 
c) – 2i. 
d) – 1 – 2i. 
e) 2 + 2i.
10. (UECE) Se i é o número complexo cujo quadrado é 
igual a −1, então, o valor de 5 − i227 + i6 − i13 é igual a:
a) i + 1.
b) 4i − 1.
c) −6i − 1.
d) − 6i.
E.O. COmplEmEntAr
1. (UEPB) Dado o número complexo z = x + yi, o sistema 
 
|z| = 5 
 
|iz – 3| = 2
 tem como solução: 
a) z = 5i. 
b) z = –5i. 
c) z = 5.6
d) z = −5. 
e) z = 5 + 5i.
2. (UFSJ) Na figura abaixo, estão representados os nú-
meros complexos Z1 e Z2 por meio de seus afixos A e B, 
respectivamente.
Considerando essa figura, é CORRETO afirmar que:
a) o afixo de (Z1 · Z2) é um ponto do 2º quadrante.
b) (Z1)
2 = 2i. 
c) |Z1 + Z2| = dXX 3 .
d) o afixo de 
Z1 __ 
Z2
 é um ponto do 2º quadrante.
3. A representação geométrica, no Plano de Argand-
-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a condi-
ção |z + 2 – 3i| = |z – 1 + 4i|, com z = x + yi, sendo x e y 
números reais, é reta de equação: 
a) 2x – 3y + 7 = 0. 
b) 3x – 7y – 2 = 0. 
c) 2x – 3y + 3 = 0 
d) 4x – 3y + 3 = 0. 
e) 2x – y = 0. 
4. (UECE) No plano complexo, o número z = 2 – 3i é o 
centro de um quadrado e w = 5 – 5i é um de seus vér-
tices. O vértice do quadrado não consecutivo a w é o 
número complexo: 
a) 2 – 2i.
b) 1 – i.
c) –1 – i.
d) –2 – 2i.
5. (FGV) Os quatro vértices de um quadrado no plano 
Argand-Gauss são números complexos, sendo três deles 
1 + 2i, –2 + i e –1 – 2i. O quarto vértice do quadrado é 
o número complexo: 
a) 2 + i.
b) 2 – i.
c) 1 – 2i.
d) –1 + 2i.
e) –2 – i.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFRRJ) Encontre o conjunto solução da equação (1 + i)
x + (1 – i) = 0, onde i é a unidade imaginária. 
2. (UFRRJ) Determine o módulo, o argumento e represente 
graficamente o número complexo z = 2 + 2( dXX 3 ) i. 
3. (UFRJ) Seja z o número complexo 2 + 3i ______ 
a + i
 ; onde a = a 
+ bi. Determine o valor de a para que z seja um imagi-
nário puro. Justifique. 
4. (FGV) Seja f uma função que, a cada número com-
plexo z, associa f(z) = iz, onde i é a unidade imaginária. 
Determine os complexos z de módulo igual a 4 e tais 
que f(z) =  z , onde  z é o conjugado de z.
5. (UFSC) Em circuitos elétricos como, por exemplo, o das 
instalações residenciais, as grandezas elétricas são ana-
lisadas com o auxílio dos números complexos. A relação 
U = Z·J fornece a tensão U em função da impedância Z 
e da corrente elétrica j. Nesses termos, essas variáveis 
são expressas através de números complexos a + bi. 
Considere agora U = 110(cos0° + isen0°) e Z = 5 + 5i. 
Determine o valor da expressão 2a + b, sendo j = a + bi.
6. (UFPR) Considere o número complexo z0 = 4i + 
13 ______ 
2 + 3i
 .
a) Determine a parte real e a parte imaginária de z0.
b) Determine a e b, de modo que z = 1 − i seja solu-
ção da equação z2 + az + b = 0.
7. (FGV-RJ)
a) Considere os números complexos z1 = 1 + i; z2 
= 2(1 + i) em que i é o número complexo tal que i2 
= −1. Represente, no plano cartesiano, o triângulo 
cujos vértices são os afixos dos números complexos 
z1 + z2, z2 − z1 e z1z2. Calcule a sua área.
b) A razão de semelhança entre um novo triângulo, 
semelhante ao triângulo original, e o triângulo origi-
nal, é igual a 3. Qual é a área desse novo triângulo?
8. (UFG) Considerando os números complexos z e w 
tais que z + w = (9 − 3 √
__
 3 ) + 1 e z − w = (−3 + 3 √
__
 3 ) + 
i(3 − 3 √
__
 3 ), determine a área do paralelogramo de lados 
z e w sabendo-se que o ângulo entre eles é p __ 3 .
9. (IME) Sejam os complexos z = a + bi e w = 47 + ci, tais 
que z3 + w = 0. Determine o valor de a, b e c sabendo que 
esses números são inteiros e positivos.
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) João desenhou um mapa do quintal de sua 
casa, onde enterrou um cofre. Para isso, usou um siste-
ma de coordenadas retangulares, colocando a origem 
O na base de uma mangueira, e os eixos OX e OY com 
sentidos oeste-leste e sul-norte, respectivamente. Cada 
ponto (x, y), nesse sistema, é a representação de um 
número complexo z = x + iy, x [ R, y [ R e i2 = –1.
Para indicar a posição (x1, y1) e a distância d do cofre à 
origem, João escreveu a seguinte observação no canto 
do mapa:
7
x1 + iy1 = (1 + i)
9
Calcule:
a) as coordenadas (x1, y1);
b) o valor de d.
2. (UERJ) Considere a equação a seguir, que se reduz a 
uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Sabendo que k é um número real e que a 
parte imaginária do número complexo (2 + i)/(k + 2i) é 
zero, então k é:
a) – 4.
b) –2.
c) 1.
d) 2.
e) 4.
2. (Unicamp) Considere o número complexo z = 1 + ai/a − i, 
onde a é um número real e i é a unidade imaginária, isto 
é, i2 = − 1, O valor de z2016 é igual a:
a) a2016.
b) 1.
c) 1 + 2016i.
d) i.
3. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que x + yi 
= √
______ 
 3 + 4i onde i é a unidade imaginária. O valor de xy 
é igual a:
a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.
4. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e deno-
tamos por i o número complexo tal que i2 = −1.
Então i0 + i1 + i2 + i3 +...+ i2013 vale:
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1 + i
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest)
a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes 
real e imaginária do número complexo Z0 = 
1 ____ 
1 + i
 – 1 __ 
2i
 + i
b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficien-
tes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que z0 · 
w tenha módulo igual a 5 dXX 2 e tais que as partes real 
e imaginária de z0 · w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo 
z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equa-
ção y – x = 0. 
2. (Fuvest) Nos itens abaixo, z denota um número com-
plexo e i a unidade imaginária (i2 = –1). Suponha z ≠ i.
a) Para quais valores de z tem-se z + i _____ 
1 + iz
 = 2?
b) Determine o conjunto de todos os valores de z para 
os quais z + i _____ 
1 + iz
 é um número real. 
3. (Unesp) Considere os números complexos w = 4 + 2i e 
z = 3a + 4ai, onde a é um número real positivo e i indica 
a unidade imaginária. Se, em centímetros, a altura de 
um triângulo é |z| e a base é a parte real de z · w, deter-
mine a de modo que a área do triângulo seja 90 cm2.
4. (Fuvest) Determine os números complexos z que sa-
tisfazem, simultaneamente, 
|z|= 2 e Im = z – 1 _____ 
1 + i
 = 1 __ 2 .
Lembretes: i2 = – 1, se w = a + bi, com a e b reais, então 
|w| = √
________ 
 (a2 + b2) e Im (w) = b.
5. (Unesp) Considere os números complexos z = 2 – i e 
w = –3 – i, sendo i a unidade imaginária.
a) Determine z · w e |w – z|.
b) Represente z e w no plano complexo (Argand-
-Gauss) e determine b [ R, b ≥ 0, de modo que os 
números complexos z, w e t = bi sejam vértices de um 
triângulo, no plano complexo, cuja área é 20. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. E 3. A 4. C 5. C
6. D 7. D 8. E 9. D 10. D
E.O. Fixação
1. B 2. B 3. B 4. A 5. C
6. D 7. A 8. D 9. E 10. C
E.O. Complementar
1. B 2. A 3. B 4. C 5. B
E.O. Dissertativo
1. S = {i}.
2. |z| = 4; u = p __ 
3
 rad. 
8
3. a = a − [ (2a + 3) ________ 3 ] i, a ≠ 0. 
4. 2 dXX 2 – 2 dXX 2 i e –2 dXX 2 + 2 dXX 2 i.
5. 11.
6. 
a) Re(z0) = 2; Im (z0) = 1.
b) a = -2 e b = 2.
7. 
a) 4 u.a.
b) 36 u.a.
8. 18 · (2 √
__
 3 - 3).
9. c = 52.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. 
a) (16, 16).
b) d = 16 dXX 2 u.c.
2. x = −1 ou x = −1 ou x = −1 − i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. E 2. B 3. D 4. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) Parte real = 1 __ 
2
 e parte imaginária = 1 · i
b) 4x2 – 4x + 5 = 0.
c) –6 + 2i ou 6 – 2i.
d) Z1 = 1 + 
1 __ 
2
 · i.
2. 
a) z = (4/5) + (3/5 i).
b) {z [ C |  z  = 1 e z ≠ i}.
3. a = 3 cm.
4. z = 2i ou z = –2.
5. 
a) z · w = –7 + i
|w – z| = 5.
b) b = 7.
9
 Números complexos: 
forma trigoNométrica
AULAS 
47 e 48
E.O. AprEndizAgEm
1. (UEL) O número complexo [ 1 __ 2 + i √
__ 
 3 ___ 2 ] 
2
 escrito na forma 
trigonométrica a + bi = r[cos(q) + isen(q)] é:
a) cos(0) + isen(0).
b) cos ( π __ 6 ) + isen ( 
π __ 6 ) . 
c) cos ( 2π ___ 3 ) + isen ( 2π ___ 3 ) .
d) 3cos ( 2π ___ 3 ) + isen (2π ___ 3 ) .
e) 2 [ cos ( 5π ___ 6 ) + isen ( 5π ___ 6 ) ] .
2. (UFSM) Na iluminação da praça, três novas luminárias 
são instaladas do seguinte modo: uma dessas luminá-
rias é instalada na bissetriz do primeiro quadrante; a 
distância de cada uma delas ao ponto de encontro das 
linhas centrais dos dois passeios é 20 metros; a distân-
cia entre cada par dessas luminárias é a mesma. Quais 
números complexos a seguir representam os pontos 
onde foram instaladas as três luminárias? 
a) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen 
π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos 11π ____ 12 + i sen 11π ____ 12 ) 
 z3 = 20 ( cos 19π ____ 12 + i sen 19π ____ 12 ) 
b) z1 = 20 ( cos π __ 4 + i sen 
π __ 4 ) 
 z2 = 20 ( cos π __ 6 + i sen 
π __ 6 ) 
 z3 = 20 ( cos 2π ___ 3 + i sen 2π ___ 3 ) 
c) z1 = cos 
π __ 4 + i sen 
π __ 4 
 z2 = cos 
11π ____ 12 + i sen 
11π ____ 12 
 z3 = cos 
19π ____ 12 + i sen 
19π ____ 12 
d) z1 = cos 
π __ 3 + i sen 
π __ 3 
 z2 = cos 
π ___ 12 + i sen 
π ___ 12 
 z3 = cos 
2π ___ 3 + i sen 
2π ___ 3 
e) z1 = 20 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) 
 z2 = 20 (cos π + i sen π)
 z3 = 20 ( cos 5π ___ 6 + i sen 5π ___ 6 ) 
3. (UFC) Sabendo que i2 = –1 e que 0 < q < 
p
 __ 2 , o número 
complexo 
(cos q + isen q) 
 ______________ 
(cos q - isen q)
 é igual a: 
a) cos(2q) + isen(2q).
b) 
(1 + i) 
 ______ 
(1 - i)
 . 
c) cos ( q __ 2 ) + isen ( 
q
 __ 2 ) . 
d) 
(1 - i) 
 ______ 
(1 + i)
 .
e) cos (q)2 + isen (q)2 .
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO
Notações
: Conjunto dos números naturais;
R: Conjunto dos números reais;
R+: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2 = –1;
P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A): número de elementos do conjunto finito A;
  AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z: argumento do número complexo z;
[ab] = x ∈ i: {a ≤ x ≤ b}
A/B = x { x ∈ A e x ∉ B}
AC: complementar do conjunto A;
∑ 
akx
k
k = 0
n
 = a0 + a1x + a2x
2 + ... + anx
n, n ∈ Z
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados 
são cartesianos retangulares. 
4. (ITA) Sejam z = n2(cos45º + i sen 45°) e w = n(cos 15º 
+ i sen 15º), em que n é o menor inteiro positivo tal que 
(1 + i)n é real. Então, z __ w é igual a: 
a) dXX 3 + i.
b) 2 ( dXX 3 + i).
c) 2 ( dXX 2 + i).
d) 2 ( dXX 2 – i).
e) 2 ( dXX 3 – i).
5. Sendo o complexo z = 2 [cos(p/6) + sen (p/6) i], calcu-
lando z6 obtemos: 
a) –32i. 
b) –32. 
c) –64i. 
d) –64.
6. (UFSM) Dados dois números complexos na forma
z = r(cosa + i sena)
w = s(cosb + i senb),
pode-se afirmar que z · w é igual a:
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
10
a) rs[cos(ab) – sen(ab)].
b) rs[cos(a + b) + i sen(a + b)].
c) rs[cos(a – b) – i sen(a - b)].
d) (r + s)(cosa · cosb – i sena · senb).
e) (r + s)[cos(a + b) + i sen(a + b)].
7. (UFRGS) Se w = cos 30° + i sen 30° e 
z = cos 120° + i sen 120°, então: 
a) w2+ z2 = 0.
b) w + z = 0. 
c) w2 − z2 = 0. 
d) w − z = 0. 
e) w4 + z4 = 0. 
8. (PUC-RS) A superfície e os parafusos de afinação de um 
tímpano da Orquestra da PUC-RS estão representados no 
plano complexo Argand-Gauss por um disco de raio 1, 
centrado na origem, e por oito pontos uniformemente 
distribuídos, respectivamente, como mostra a figura:
Nessa representação, os parafusos de afinação ocupam 
os lugares dos números complexos z que satisfazem a 
equação:
a) z8 = i. 
b) z8 = –i. 
c) z8 = 1. 
d) z8 = –1. 
e) z8 = 1 + i.
9. (Ulbra) O produto das raízes cúbicas do número com-
plexo z = –1 é igual a: 
a) 1 – √
__
 3 i _______ 4 .
b) [ cos π __ 3 + i sen π __ 3 ] .
c) – 1 __ 2 + 
 dXX 3 ___ 4 i.
d) 1 + 
dXX 2 ______ 3 i.
e) -1.
10. (IFAL) O número complexo z = 1 + i representado na 
forma trigonométrica é:
a) 21/2 (cos 45º + isen 45º).
b) 2 (cos 90º + isen 90º).
c) 4 (cos 60º + isen 60º).
d) 4 (cos 60º + isen 60º).
e) 2 (cos 90º + isen 90º).
E.O. FixAçãO
1. (Esc. Naval) Qual valor de n,n inteiro maior que zero, 
para que (1 + i)n seja um número real? 
a) 2. 
b) 3. 
c) 4. 
d) 5. 
e) 6. 
2. A figura geométrica formada pelos afixos das raízes 
complexas da equação x3 – 8 = 0 tem área igual a:
a) 7 dXX 3 .
b) 6 dXX 3 .
c) 5 dXX 3 .
d) 4 dXX 3 .
e) 3 dXX 3 .
3. (UFSM) Observe a vista aérea do planetário e a repre-
sentação, no plano Argand-Gauss, dos números comple-
xos z1, z2, ..., z12, obtida pela divisão do círculo de raio 14 
em 12 partes iguais.
Considere as seguintes informações:
I. z2 = 7 dXX 3 + 14 i
II. z11 = 
 z 3
III. z5 = z4 · 
 z 11
Está(ão) correta(s): 
a) apenas I. 
b) apenas II. 
c) apenas III. 
d) apenas I e II. 
e) apenas II e III.
4. (PUC-SP) Seja Sn = 
n ⋅ (n – 1) 
 __________ 2 + 
n ⋅ (3 – n) ⋅ i 
 ____________ 2 , em 
que n ∈ R* e i é a unidade imaginária, a expressão 
da soma dos n primeiros termos de uma progressão 
aritmética. Se an é o enésimo termo dessa progressão 
aritmética, então a forma trigonométrica da diferença 
a15 – a16 é:
a) 2 dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
b) 2 dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 5π ___ 4 ) .
c) 2 dXX 2 ( cos 7π ___ 4 + i ⋅ sen 7π ___ 4 ) .
d) dXX 2 ( cos 5π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
e) dXX 2 ( cos 3π ___ 4 + i ⋅ sen 3π ___ 4 ) .
5. (UFRGS) O menor número inteiro positivo n para 
11
o qual a parte imaginária do número complexo 
( cos π __ 8 + i · sen 
π __ 8 ) 
n
 é negativa é:
a) 3.
b) 4.
c) 6.
d) 8.
e) 9.
6. (UFC) A área do polígono cujos vértices são as re-
presentações geométricas das raízes do polinômio 
p(x) = x6 – 1 é: 
a) 3 
dXX 3 ____ 2 .
b) 2 
dXX 3 ____ 3 .
c) 3 
dXX 2 ____ 2 .
d) 2 
dXX 2 ____ 3 .
e) 3 
dXX 3 ____ 4 .
7. (UEL) A potência (cos 60° + i sen 60°)601 é igual a: 
a) ( 1 __ 2 ) (1 – i dXX 3 ).
b) ( 1 __ 2 ) (– 1 + i dXX 3 ).
c) ( 1 __ 2 ) (1 + i dXX 3 ).
d) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 + i).
e) ( 1 __ 2 ) ( dXX 3 – i).
8. (PUC-SP) Dado o número complexo z = cos π __ 6 + i · sen 
π __ 6 , 
então, se P1, P2 e P3 são as respectivas imagens de z, z
2 e 
z3 no plano complexo, a medida do maior ângulo inter-
no do triângulo P1P2P3 é:
a) 75°. 
b) 100°. 
c) 120°. 
d) 135°. 
e) 150°.
9. (IME) As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos 
números complexos, são representadas por 1, w e w2, 
onde w é um número complexo. O intervalo que contém 
o valor de (1 – w)6 é: 
a) (–∞, –30].
b) (–30, –10].
c) (–10, 10].
d) (10, 30].
e) (30, ∞).
10. Considerando os números complexos z1 e z2, tais que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo 
quadrante;
 § z2 é raiz da equação x
4 + x2 – 12 = 0 e Im(z2) > 0.
Pode-se afirmar que |z1 + z2| é igual a: 
a) 2 dXX 3 .
b) 3 + dXX 3 .
c) 1 + 2 dXX 2 .
d) 2 + 2 dXX 2 .
E.O. COmplEmEntAr
1. (Cefet-MG) Considere as raízes complexas w0, w1, w2, 
w3 e w4 da equação w
5 = z, onde z ∈ C representadas 
graficamente por:
O número complexo z é:
a) 16i. 
b) 32i. 
c) 16 + 16i. 
d) 16 + 16 √
__
 3 i. 
e) 32 + 32 √
__
 3 i. 
2. (UFRGS) O polígono ABCDE da figura é um pentágono 
regular inscrito no círculo unitário de centro na origem.
As coordenadas polares p e q do vértice A são, respec-
tivamente: 
a) 1 e π __ 5 .
b) 1 e π __ 6 .
c) 1 e π __ 8 .
d) 1 e π ___ 10 .
e) 1 e π ___ 12 .
3. (UFC) Considere o número complexo z = (1 + i) · ( dXX 3 – i). 
Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positi-
vo n, tal que zn seja um número real positivo. 
a) 6. 
b) 12. 
c) 18. 
d) 24. 
e) 30. 
4. (Esc. Naval ) Seja p a soma dos módulos das raízes da 
equação x3 + 8 = 0 e q o módulo do número complexo Z, 
tal que Z  Z = 108, onde  Z é o conjugado deZ. Uma repre-
sentação trigonométrica do número complexo p + qi é:
12
a) 12 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) . 
b) 20 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) . 
c) 12 ( cos π __ 6 + i sen 
π __ 6 ) . 
d) 20 dXX 2 ( cos π __ 6 + i sen 
π __ 6 ) . 
e) 10 ( cos π __ 3 + i sen 
π __ 3 ) .
5. (Unigranrio - Medicina) Sejam x1, x2 e x3 as raízes da 
equação x3 + 1 = 0 tomando como base o conjunto dos 
números complexos. Ao representarmos geometrica-
mente essas raízes no plano de Argand-Gauss, obtemos 
um triângulo, cujos vértices são os afixos de x1, x2 e x3. 
A área do triângulo é:
a) √
__
 3 ___ 4 .
b) 3 __ 4 .
c) 2 √
__
 3 ____ 4 .
d) 3 √
__
 3 ____ 4 .
e) 3 __ 2 .
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPR) Considere os números complexos z = cos π ___ 18 + 
i sen π ___ 18 e w = 2 cos 
π __ 9 + i sen 
π __ 9 . 
a) Mostre que o produto z.w é igual a ( dXX 3 ) + i.
b) Mostre que z18 é igual a – 1. 
2. (UFC) Os números complexos distintos z e w são tais 
que z + w = 1 e z · w = 1.
a) Calcule |z|.
b) Calcule o valor z4 + w4 sabendo-se que z está no 
primeiro quadrante do plano complexo. 
3. (UFPE) Encontre o menor inteiro positivo n tal que a 
potência ( dXX 3 + i)n seja um número real.
4. (UFBA) Sendo z1 e z2 números complexos tais que:
 § z1 é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo 
quadrante,
 § z2 satisfaz a equação x
4 + x2 − 12 = 0 e Im(z2) > 0, 
calcule | √__ 3 z1 __ z2 + z2 | 
5. (UFPR) Considere os pontos z1, z2 e z3, indicados no 
plano complexo abaixo, e que correspondem às raízes 
cúbicas de 1.
a) Qual é o menor inteiro n > 1, de modo que (z2)
n = 1? 
Justifique sua resposta.
b) Calcule (z3)
100.
6. (UnB) 
A figura acima ilustra um triângulo equilátero ABC 
inscrito em uma circunferência de raio 2 centrada na 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas or-
togonais xOy, em que um ponto (x, y) é identificado com 
o número complexo z = x + iy. Esse triângulo foi obti-
do a partir da representação plana de uma molécula 
de amônia (NH3), na qual os três átomos de hidrogênio 
estão posicionados nos seus vértices e o átomo de ni-
trogênio encontra-se na origem.
Com base nessas informações e considerando o centí-
metro como a unidade de medida de comprimento, em 
ambos os eixos, julgue os itens a seguir.
a) Se z1 corresponde ao ponto C e se z2 corresponde 
ao ponto B, então 
z1 __ z2
 = 
z2 __ 2 .
b) Considerando-se 10 pontos distintos sobre a cir-
cunferência em questão, com vértices nesses pontos, 
a quantidade de triângulos que é possível formar é 
superior à de heptágonos convexos.
c) Os vértices A, B e C correspondem às raízes com-
plexas do polinômio f(z) = z3 – 8.
d) A área do triângulo ABC é inferior a 5 cm2. 
7. (ITA) Considere, no plano complexo, um polígono re-
gular cujos vértices são as soluções da equação z6 = 1. 
A área deste polígono, em unidades de área, é igual a:
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Considere o número complexo z = cos(p/6) + 
i sen (p/6). O valor de z3 + z6 + z12 é: 
a) –i.
b) 1 __ 2 + 
 dXX 3 ___ 2 i.
c) i – 2.
d) i.
e) 2i.
13
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule cos(3p/8) e sen(3p/8). 
b) Dado o número complexo z = dXXXXXX 2 – dXX 2 + i dXXXXXX 2 + dXX 2 ,
encontre o menor inteiro n > 0 para o qual zn seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que 
possua z como raiz e que não possua raiz real. 
2. (Unicamp) Um número complexo z = x + iy, z ≠ 0, pode 
ser escrito na forma trigonométrica: z = |z|(cosq + isenq), 
onde |z| = dXXXXXXX x2 + y2 , cos q = x ___ 
|z|
 e sen q = 
y
 ___ 
|z| 
 . Essa for-
ma de representar os números complexos não nulos é 
muito conveniente, especialmente para o cálculo de po-
tências inteiras de números complexos, em virtude da 
fórmula de De Moivre:
[|z|(cos q + isen q)]t = |z|t(cos tq + isen tq)
que é válida para todo t ∈ Z . Use essas informações 
para:
a) Calcular ( dXX 3 + i)12.
b) Sendo z = 
dXX 2 ___ 2 + i 
 dXX 2 ___ 2 , calcular o valor de 
1 + z + z2 + z2 + ... + z15.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. C 2. A 3. A 4. B 5. D
6. B 7. A 8. C 9. E 10. A
E.O. Fixação
1. C 2. E 3. B 4. E 5. E
6. A 7. C 8. E 9. B 10. A
E.O. Complementar
1. D 2. D 3. D 4. A 5. D
E.O. Dissertativo
1. 
a) z · w = 1 · 2 · {cos[(π/18) + (π/9)] + i · sen[(π/18) 
+ (π/9)]}
z · w = 2 · [cos(π/6) + i · sen(π/6)]
z · w = dXX 3 + i.
b) z18 = 118 · {cos[18 · (π/18)] + i · sen[18 · (π/18)]
z18 = cos π + i · sen π = –1. 
2. 
a) |z| = 1.
b) z4 + w4 = z4 +  z 4 = –1.
3. n = 6.
4.  dXX 3 z1 __ z2 +  z2  = 1.
5. 
a) n deverá ser 3, pois cos(3 · 120º) + i · sen(3 · 20º) = 1.
b) (z3)
100 = z3.
6. 
a) Correto. Temos que A 
 ̂ 
 O B = 2p ___ 
3
 rad. 
O complexo z1 pode ser obtido através de uma rotação 
de 2p ___ 
3
 rad no sentido anti-horário, do complexo z0 = 2, 
ou seja, z1 = z0 · ( cos 2p ___ 3 + isen 2p ___ 3 ) = –1 + i dXX 3 .
Portanto, como z2 é o conjugado de z1, segue que 
z1/z2 = 
–1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 
= –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 – i √
__
 3 
 = –1 + i √
__
 3 ________ 
–1 + i √
__
 3 
 
= –1 – i √
__
 3 ________ 
2
 
= 
z2 __ 
2
 .
b) Incorreto. O número de triângulos que é possível 
formar com 10 pontos distintos sobre a circunferência 
é dado por ( 10 ___ 3 ) .
Por outro lado, podemos formar ( 10 ___ 7 ) heptágonos con-
vexos com os mesmos 10 pontos. Portanto, como ( 10 ___ 3 ) 
e ( 10 ___ 7 ) são números binomiais complementares, segue 
que ( 10 ___ 3 ) = ( 10 ___ 7 ) . 
c) Correto. Temos que f(z) = 0 ⇔ z3 = 8 ⇔ 
z = 3 dXXXXXXXX 8 + i · 0 .
Pela segunda fórmula de De Moivre, seue que as 
raízes cúbicas de 8 + i · 0 são dadas por zk = 
3
 dXX 8 
[ cos ( k · 2p ___ 3 ) + i sen ( k · 2p ___ 3 ) ] , com k ∈ Z. 
Daí, z0 = 2, z1 = –1 + i dXX 3 e z2 = –1 – i dXX 3 que são os 
resultados obtidos em [A].
d) Incorreto. A medida do lado do triângulo ABC é 
Im(z1) – Im(z2) = dXX 3 – (– dXX 3 ) = 2 dXX 3 cm.
Logo, a área de ABC é dada por:
 
(2 dXX 3 )2 · dXX 3 
 __________ 
4
 = dXXX 27 cm2 > dXXX 25 cm2 = 5 cm2.
7. 
3 dXX 3 
 ____ 2 .
14
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) cos ( 3p ___ 8 ) = 
 dXXXXXXX 2 – dXX 2 _______ 
2
 .
sen ( 3p ___ 8 ) = 
 dXXXXXXX 2 + dXX 2 _______ 
2
 .
b) n = 8.
c) z8 + 256 = 0.
2. 
a) 4096.
b) 0.
15
 poliNômiosAULAS 
49 e 50
E.O. AprEndizAgEm
1. (UEPB) O produto entre as raízes da equação 
x4 + 3x2 + 2 = 0 é: 
a) 2. 
b) 1. 
c) 2 . 
d) –1. 
e) 2i. 
2. Sabendo-se que –5, a e b são raízes da equação 
x3 + 6x2 + 3x – 10 = 0, logo, o valor de a + b é: 
a) –3. 
b) –2. 
c) –1. 
d) 0. 
3. (UFRGS) Se 2 é raiz dupla do polinômio 
p(x) = 2x4 – 7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das outras raízes é 
a) –1. 
b) –0,5. 
c) 0. 
d) 0,5. 
e) 1. 
4. (UFRGS) As raízes do polinômio p(x) = x3 + + 5x2 + 4x 
são: 
a) –4, –1 e 0. 
b) –4, 0 e 1 
c) –4, 0 e 4 
d) –1, 0 e 1. 
e) 0, 1 e 4. 
5. Se 3 e 1 __ 3 são as raízes da equação ax
2 – 6x + p = 0, 
então o valor de a + p é: 
a) –5. 
b) –9 ___ 5 . 
c) 0. 
d) 18 ___ 5 . 
e) 4. 
6. (FGV-RJ) A equação polinomial x3 – x2 – 16x – 20 = 0 
tem raízes x1, x2 e x3. O valor da expressão 
1 __ x1
 + 1 __ x2
 + 1 __ x3
 é: 
a) 1. 
b) – 3 __ 4 . 
c) 4 __ 5 . 
d) 3 __ 4 . 
e) – 4 __ 5 . 
7. (UFRGS) Um polinômio de 5º grau com coeficientes 
reais que admite os números complexos –2 + i e 1 – 2i; 
como raízes, admite: 
a) no máximo maisuma raiz complexa. 
b) 2 – i e –1 + 2i como raízes. 
c) uma raiz real. 
d) duas raízes reais distintas. 
e) três raízes reais distintas. 
8. (UECE) Se os números m, p e q são as soluções da 
equação x3 – 7x2 + 14x – 8 = 0, então o valor da soma 
log2m + log2p + log2q é: 
a) 1. 
b) 2. 
c) 3. 
d) 4. 
9. (AMAN) Os polinômios A(x) e B(x) são tais que 
A(x) = B(x) + 3x3 + 2x2 + x + 1. Sabendo-se que –1 é raiz 
de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A(3) – B(–1) é igual a: 
a) 98. 
b) 100. 
c) 102. 
d) 103. 
e) 105.
10. (CPS) No século XVI, divertidos duelos intelectuais 
entre professores das academias contribuíram para o 
avanço da Matemática.
Motivado por um desses duelos, o matemático italia-
no Niccólo Fontana (Tartaglia) (1500 – 1557) encon-
trou uma fórmula para resolver equações polinomiais 
de terceiro grau. No entanto, os outros matemáticos 
da época não tinham acesso a tal descoberta, tendo 
que encontrar formas alternativas para resolver aque-
les problemas.
Uma dessas formas alternativas é a fatoração, que faci-
lita a observação das raízes (soluções), pois transforma 
a adição dos termos da equação em uma multiplicação 
igualada a zero. Veja o exemplo.
x3 + 6x2 + 5x - 12 = 0 ⇔ (x - 1)·(x + 3)·(x + 4) = 0
Analisando o exemplo dado, é correto afirmar que essa 
equação:
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
16
a) possui três raízes naturais distintas.
b) possui três raízes inteiras distintas.
c) possui duas raízes naturais distintas e uma raiz ir-
racional.
d) possui duas raízes irracionais distintas e uma raiz 
inteira.
e) não possui raízes reais.
E.O. FixAçãO
1. (UEPB) Se uma das raízes do polinômio 
p(x) = x3 + x2 + 4x + 4 é o número complexo z = –2i, as 
outras raízes são: 
a) 1 e –1. 
b) –1 e 2i. 
c) –1 e 2. 
d) –1 e 3. 
e) 2 e 2i. 
2. (AFA) As raízes da equação algébrica 2x3 – ax2 + bx + 54 = 0 
formam uma progressão geométrica.
Se a, b ∈ R, b ≠ 0, então a __ 
b
 é igual a: 
a) 2 __ 3 . 
b) 3. 
c) – 3 __ 2 . 
d) – 1 __ 3 . 
3. (Mackenzie) Se a, b e g são as raízes da equação 
x3 + x2 + px + q = 0, onde p e q são coeficientes reais e 
a = 1 – 2i é uma das raízes dessa equação, então a ⋅ b ⋅ g 
é igual a: 
a) 15. 
b) 9. 
c) –15. 
d) –12. 
e) –9. 
4. (Mackenzie) Se a, b e c são as raízes do polinômio 
p(x) = x3 – 5x2 + 2x + 8, tais que a = –2bc , o valor de a __ 
b
 + a __ c : 
a) 2. 
b) 1 __ 2 . 
c) –2. 
d) 3. 
e) – 1 __ 4 . 
5. (Insper) A equação x5 = 8x2 possui duas raízes imagi-
nárias, cuja soma é: 
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
6. (FGV) A equação algébrica x3 − 7x2 + kx + 216 = 0, em 
que k é um número real, possui três raízes reais. Saben-
do-se que o quadrado de uma das raízes dessa equação 
é igual ao produto das outras duas, então o valor de k é 
igual a.
a) -64.
b) -42.
c) -36.
d) 18.
e) 24.
7. (UECE) Se os números de divisores positivos de 6, de 9 e 
de 16 são as raízes da equação x3 + ax2 + bx + c = 0, onde 
os coeficientes a, b e c são números reais, então, o 
valor do coeficiente b é:
a) 41.
b) 45.
c) 43.
d) 47.
8. (UECE) Sejam P(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 um 
polinômio e M o conjunto dos números reais k tais que 
P(k) = 0. O número de elementos de M é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
9. (Fac. Albert Einstein - Medicina) Um polinômio de 
quinto grau tem 2 como uma raiz de multiplicidade 3. 
A razão entre o coeficiente do termo de quarto grau e o 
coeficiente do termo de quinto grau é igual a -7. A razão 
entre o termo independente e o coeficiente do termo de 
quinto grau é igual a 96.
A menor raiz desse polinômio vale:
a) 0.
b) -1.
c) -2.
d) -3.
10. (Esc. Naval) Seja P(x) = x6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g um 
polinômio de coeficientes inteiros e que 
P( √
__
 2 + 3 3 ) = 0. O polinômio R(x) é o resto da divisão de 
P(x) por x3 − 3x − 1. Determine a soma dos coeficientes 
de R(x) e assinale a opção correta.
a) -51.
b) -52.
c) -53.
d) -54.
e) -55.
E.O. COmplEmEntAr
1. (ITA) Considere os polinômios em x ∈ R da forma 
p(x) = x5 + a3x
3 + a2x
2 + a1x. As raízes de p(x) = 0 cons-
tituem uma progressão aritmética de razão 1 __ 2 quando 
(a1,a2,a3) é igual a: 
a) ( 1 __ 4 , 0, 5 __ 4 ) .
b) ( 1 __ 4 , 1, 5 __ 4 ) . 
17
c) ( 1 __ 4 , 0, – 5 __ 4 ) . 
d) ( 5 __ 4 , 0, 1 __ 4 ) . 
e) ( 1 __ 4 , –1, – 1 __ 4 ) . 
2. (AFA) O polinômio P(x) = x4 – 75x2 + 250x tem uma 
raiz dupla.
Em relação à P(x) é correto afirmar que: 
a) apenas uma de suas raízes é negativa. 
b) a sua raiz dupla é negativa. 
c) três de suas raízes são negativas. 
d) nenhuma de suas raízes é negativa. 
3. (Fatec) Se x = 2 é uma das raízes da equação 
x3 – 4x2 + mx – 4 = 0, m ∈ R, então as suas outras 
raízes são números: 
a) negativos. 
b) inteiros. 
c) racionais não inteiros. 
d) irracionais. 
e) não reais. 
4. (FGV) A função polinomial P(x) = x3 + ax2 + bx + c 
tem a propriedade de que a média aritmética dos seus 
zeros, o produto dos seus zeros e a soma dos seus coe-
ficientes são todos iguais. Se o intercepto do gráfico de 
y = P(x) com o eixo y ocorre no ponto de coordenadas 
(0,2), b é igual a: 
a) 5. 
b) 1. 
c) –9. 
d) –10. 
e) –11. 
5. (IFAL) Podemos dizer que o polinômio 
p(x) = x3 - 2x2 - 5x + 6
a) tem três raízes reais.
b) tem duas raízes reais e uma imaginária.
c) tem uma raiz real e duas imaginárias.
d) não tem raiz real.
e) tem duas raízes reais e duas imaginárias.
E.O. dissErtAtivO
1. (UFPE) Se as raízes da equação x3 – 7x2 – 28x + k = 0 
são termos de uma progressão geométrica, determine 
e assinale o valor do termo constante k.
2. (UFJF) Seja p(x) = x3 + ax2 + bx + c um polinômio com 
coeficientes reais. Sabe-se que as três raízes desse poli-
nômio são o quarto, o sétimo e o décimo sexto termos 
de uma progressão aritmética, cuja soma de seus vinte 
primeiros termos é igual a 80 ___ 3 e o seu décimo terceiro 
termo é igual a 3. Encontre os valores de a, b e c. 
3. (UFG) Com base no polinômio p(x) = x4 – 25:
a) determine os valores de x, no conjunto dos núme-
ros reais, tais que p(x) < 0; 
b) escreva p(x) como um produto de três polinômios 
com coeficientes reais; 
c) considerando-se a representação dos números 
complexos em um plano cartesiano, calcule a área do 
polígono cujos vértices são as raízes de p(x). 
4. (IME) O polinômio P(x) = x5 – 3 x4 + 10x3 – 30x2 + 81x – 243 
possui raízes complexas simétricas e uma raiz com valor 
igual ao módulo das raízes complexas. Determine todas 
as raízes do polinômio. 
5. (UFPE) O polinômio x3 + ax2 + bx + 19 tem coeficien-
tes a, b números inteiros, e suas raízes são inteiras e 
distintas. Indique |a| + |b|.
6. (UFPR) Dada a função polinomial 
p(x) = x3 + 2x2 − 7x − 2, faça o que se pede:
a) Calcule p ( - 2 __ 5 ) .
b) Encontre as raízes de p(x).
7. (UFJF-PISM) Considere o polinômio 
p(x) = 16x5 - 48x4 - 40x3 + 120x2 + 9x − 27.
a) Sabendo que p(x) possui uma raiz r natural menor 
que 5, determine r.
b) Determine o polinômio q(x) = 
p(x) 
 ____ x - r .
c) Determine todas as raízes de q(x) especificando 
suas multiplicidades.
8. (UFES) Considere o polinômio f(x) = 3x3 − 7x2 + 8x − 2.
a) Verifique se f(x) possui raízes inteiras. Justifique.
b) Verifique se f(x) possui raízes racionais não inteiras. 
Justifique.
c) Determine todas as raízes de f(x).
Informações:
1. Se um polinômio de grau n com coeficientes inteiros 
anx
n + an-1x
n-1 +...+ a1x + a0 possui uma raiz da forma 
r _ s 
com r e s inteiros primos entre si, então r é um divisor 
de a0 e s é um divisor de an.
2. Dois inteiros r e s são primos entre si quando 
mdc(r,s) = 1.
3. Dados os inteiros a e b é divisor de b quando existe 
um inteiro c tal que b = a·c.
9. (PUC-RJ) O retângulo ABCD tem dois vértices no gráfico 
da função polinomial dada por f(x) = 5x3 − 65x2 + 235x − 155 
e dois vértices no eixo x como na figura abaixo.
Sabendo que o vértice A = (1,0), faça o que se pede.
 
18
a)Determine as coordenadas do vértice D.
b) Determine as coordenadas do vértice C.
c) Calcule a área do retângulo ABCD. 
10. (FGV) A editora aplicou o lucro obtido em 2011, 
R$100.000,00, em um fundo de renda fixa, a certa taxa 
de juro composta. Após 3 anos, deve receber um mon-
tante de R$172.000,00. 
a) A que taxa de juro anual aplicou seu dinheiro?
Use as informações do gráfico abaixo para justificar 
a sua resposta.
b) Qual é a soma das duas raízes complexas da equa-
ção x3 + 3x2 + 3x − 0,728 = 0, que não são números 
reais?
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ 2012) Considere a equação a seguir, que se re-
duz a uma equação do terceiro grau:
(x + 2)4 = x4
Uma de suas raízes é real e as outras são imaginárias.
Determine as três raízes dessa equação.
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) Dado que as raízes da equação x3 – 3x2 – x + k = 0, 
onde k é uma constante real, formam uma progressão arit-
mética, o valor de k é: 
a) –5. 
b) –3. 
c) 0. 
d) 3. 
e) 5. 
2. (Unesp) Sabe-se que, na equação x3 + 4x2 + x – 6 = 0, 
uma das raízes é igual à soma das outras duas. O con-
junto solução (S) desta equação é: 
a) S = {–3, –2, –1}. 
b) S = {–3, –2, +1}. 
c) S = {+1, +2, +3}. 
d) S = {–1, +2, +3}. 
e) S = {–2, +1, +3}.
3. (Unicamp) Sejam r, s e t as raízes do polinômio 
p(x) = x3 + ax2 + bx + ( b __ a ) 
3
, em que a e b são constantes 
reais não nulas. Se s2 = rt, então a soma de r + t é igual a: 
a) b __ a + a.
b) – b __ a – a.
c) a – b __ a .
d) b __ a – a.
4. (Fuvest) As três raízes de 9x3 – 31x – 10 = 0 são p, q e 
2. O valor de p2 + q2 é: 
a) 5/9.
b) 10/9.
c) 20/9.
d) 26/9.
e) 31/9.
5. (Unifesp) Sejam p, q, r as raízes distintas da equação 
x3 – 2x2 + x – 2 = 0. A soma dos quadrados dessas raízes 
é igual a: 
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 8.
e) 9.
6. (Fuvest) Sabe-se que o produto de duas raízes da 
equação algébrica 2x3 – x2 + kx + 4 = 0 é igual a 1.
Então o valor de k é:
a) –8.
b) –4.
c) 0.
d) 4.
e) 8.
7. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = x3 – x2 + ax – a, 
onde a é um número real. Se x = 1 é a única raiz real de 
p(x), então podemos afirmar que: 
a) a < 0.
b) a < 1.
c) a > 0.
d) a > 1.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) As raízes do polinômio p(x) = x3 – 3x2 + m, 
onde m é um número real, estão em progressão aritmé-
tica. Determine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
19
2. (Fuvest) Um polinômio de grau 3 possui três raízes 
reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma 
progressão aritmética em que a soma dos termos é 
igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz 
e o quadrado da menor raiz é 24/5.
Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau 
do polinômio é 5, determine:
a) a progressão aritmética.
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio. 
3. (Fuvest) O polinômio p(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx – 8, em 
que a, b, c são números reais, tem o número complexo 1 + i 
como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine 
todos os polinômios com coeficientes reais, de menor 
grau, que possuam esses novos valores como raízes. 
4. (Unicamp) Dada a equação polinomial com coeficien-
tes reais 
x3 – 5x2 + 9x – a = 0:
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o nú-
mero complexo 2 + i seja uma das raízes da referida 
equação.
b) Para o valor de a encontrado no item anterior, de-
termine as outras duas raízes da mesma equação. 
5. (Unesp) Seja z = 1 + i um número complexo.
a) Escreva z e z3 na forma trigonométrica.
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de 
menor grau, que tem z e |z|2 como raízes e coeficiente 
dominante igual a 1.
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. A 2. C 3. B 4. A 5. D
6. E 7. C 8. C 9. C 10. B
E.O. Fixação
1. B 2. D 3. C 4. C 5. A
6. B 7. D 8. A 9. D 10. E
E.O. Complementar
1. C 2. A 3. E 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. k = 64.
2. a = –1, b = –17, c = –15.
3. 
a) x ∈ R | – 5 < x < 5 .
b) Fatorando o polinômio, temos:
p(x) = (x2)2 – 52 = (x2 + 5) ⋅ (x2 – 5 2) = 
(x2 + 5)⋅(x + 5 )⋅(x – 5 ) = 0.
c) A área do quadrilátero pedido é 10. 
4. As raízes de P(x) são 3, 7 + 2 i, 7 – 2 i, – 7 + 2 i e – 7 – 2 i.
5. 20.
6. 
a) 132 ____ 
125
 .
b) Logo, as raízes de P(x) são 2, −2 + √
__
 3 e −2 − √
__
 3 .
7. 
a) Como 3 é a única raiz natural menor do que 5, 
segue que r = 3.
b) 16 ( x - 3 __ 2 ) ( x + 3 __ 2 ) ( x - 1 __ 2 ) . ( x + 1 __ 2 ) .
c) As raízes de q são − 3 ___ 
2
 , − 1 ___ 
2 
 , 1 ___ 
2
 e 3 ___ 
2
 , todas de 
multiplicidade um.
8. 
a) Por inspeção, concluímos que nenhum dos possí-
veis candidatos a raiz inteira, x = ±1 e x = ±2, são 
raízes de f.
b) Por inspeção, tem-se que dos candidatos a raiz ra-
cional não inteira, apenas x = 1 __ 
3
 é raiz de f.
c) Sabendo que x = 1 __ 
3
 é raiz de f, pelo dispositivo de 
Briot-Ruffini, vem 1 − i e 1 + i.
9. 
a) y0= 20.
b) xC = xB = 5.
c) 80 u.a.
10. 
a) Assim, f(x) = (x - 0,2) · (x2 + 3,2x + 3,64). Daí, 
como x2 + 3,2x + 3,64 = 0 não possui raízes reais, 
concluímos que x = 0,2 = 20% é a única raiz real de f.
b) Das Relações de Girard e do item (a), segue que a 
soma das raízes de f que não são números reais é -3,2.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. x = −1 ou x = −1 + i ou x = −1 −i.
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp
1. D 2. B 3. D 4. D 5. B
6. A 7. C
20
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. 
a) 2.
b) 1 – 3 , 1 e 1 + 3 . 
2. 
a) (–7/5, 3/5, 13/5).
b) –73/5. 
3. 
a) a = –2, b = –2 e c = 8. 
b) q(x) = k ⋅ (x2 + 1)⋅(x – 1)⋅(x + 3) (k ≠ 0).
4. 
a) a = 5.
b) 2 – i e 1. 
5. 
a) z = 2 [cos(p/4) + i sen(p/4)] e z3 = 2 2 [cos(3p/4) + 
i sen(3p/4)].
b) x3 – 4x2 + 6x – 4.
21
 operações com poliNômiosAULAS 
51 e 52
E.O. AprEndizAgEm
1. (ESPM) O resto da divisão do polinômio x5 – 3x2 + 1 
pelo polinômio x2 – 1 é:
a) x – 1.
b) x + 2.
c) 2x – 1.
d) x + 1.
e) x – 2.
2. (Cefet-MG) Os polinômios A(x) = x2 – 3x + 2 
e B(x) = x4 – 2x3 + kx2 – 3x – 2 têm uma única raiz em 
comum. Os valores possíveis para k são números:
a) pares.
b) primos.
c) inversos.
d) ímpares.
e) simétricos.
3. (UEG) A divisão do polinômio x3 + 2x2 – 5x – 6 por 
(x + 1) . (x – 2) é igual a: 
a) x – 3. 
b) x + 3. 
c) x – 6. 
d) x + 6.
4. Quais são os polinômios que representam o quocien-
te q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio 
p(x) = x3 + 5x2 + 6 pelo polinômio d(x) = x2 – 3?
a) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x + 21.
b) q(x) = x + 5 e r(x) = –(3x + 21).
c) q(x) = x – 5 e r(x) = –3x + 21.
d) q(x) = –(x + 5) e r(x) = 3x – 21.
e) q(x) = x + 5 e r(x) = 3x + 21.
5. (PUC-PR) Se (x – 2) é um fator do polinômio 
x3 + kx2 + 12x – 8, então, o valor de k é igual a: 
a) –3.
b) 2.
c) 3.
d) 6.
e) –6.
6. (AMAN) O polinômio f(x) = x5 – x3 + x2 + 1, quando 
dividido por q(x) = x3 – 3x + 2 deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de (r – 1) é: 
a) –10.
b) – 4.
c) 0.
d) 4.
e) 10.
7. (UFTM) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx + 1 
por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse 
caso, o valor de m é igual a: 
a) –2. 
b) –1. 
c) 1. 
d) 2. 
e) 3. 
8. (PUC-RJ) Sabendo que 1 é raiz do polinômio 
p(x) = 2x3 – ax2 – 2x, podemos afirmar que p(x) é igual a: 
a) 2x2 (x – 2). 
b) 2x (x – 1) (x + 1). 
c) 2x (x2 – 2). 
d) x (x – 1)(x + 1). 
e) x(2x2 – 2x – 1). 
9. Dividindo o polinômio p(x) pelo polinômio 
(x – 2)(x – 4)(x – 5) obtém-se resto x + 3. Se os restos 
das divisões de p(x) por x – 2, x – 4 e x – 5 são, respecti-
vamente, os números A, B e C, então ABC vale: 
a) 100. 
b) 180. 
c) 200. 
d) 280. 
e) 360. 
10. (UPE) Para que o polinômio 6x3 – 4x2 + 2mx – (m + 1) seja 
divisível por x – 3, o valor da raiz quadrada do módulo 
de m deve ser igual a: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 5. 
E.O. FixAçãO
1. (UFJF) Dadosdois polinômios A(x) e B(x), sabe-se 
que S(x) = A(x) + B(x) é um polinômio de grau 8 e que 
D(x) = A(x) - B(x) é um polinômio de grau 5. É correto afirmar: 
CompetênCia: 5 Habilidades: 20, 21 e 23
22
a) O polinômio W(x) = B(x) – A(x) tem grau 8. 
b) Os polinômios A(x) e B(x) têm o mesmo grau. 
c) O polinômio C(x) = A(x) ⋅ B(x) tem grau 13. 
d) O polinômio A(x) tem grau 5. 
e) O grau do polinômio B(x) é menor que 7. 
2. (IME) Seja ∆ o determinante da matriz 
1 2 3
x x2 x3
x x 1
. O número de possíveis valores de 
x reais que anulam ∆ é:
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
3. (FGV) O quociente da divisão do polinômio 
P(x) = (x2 + 1)4 ⋅ (x3 + 1)3 por um polinômio de grau 2 
é um polinômio de grau: 
a) 5. 
b) 10. 
c) 13. 
d) 15. 
e) 18. 
4. (UECE) Se a expressão algébrica x2 + 9 se escreve 
identicamente como a(x + 1)2 + b(x + 1) + c onde a, b e 
c são números reais, então o valor de a – b + c é: 
a) 9. 
b) 10. 
c) 12. 
d) 13. 
5. Sejam p (x) = 2x2010 – 5x2 – 13x + 7 e q (x) = x2 + x + 1. 
Tomando r(x) como sendo o resto na divisão de p(x) por 
q(x), o valor de r(2) será: 
a) –8. 
b) –6. 
c) –4. 
d) –3. 
e) –2. 
6. (UPF) Se o polinômio P(x) = x4 – 2x2 + mx + p é divisí-
vel por D(x) = x2 + 1, o valor de m – p é: 
a) –3. 
b) –1. 
c) 0. 
d) 2. 
e) 3.
7. (ESPM) O trinômio x2 + ax + b é divisível por x + 2 e 
por x – 1. O valor de a – b é: 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4.
8. (Ibmec-RJ) Se o resto da divisão do polinômio 
P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio Q(x) = x2 + x + 2 é 
igual a 4, então podemos afirmar que a + b vale: 
a) 2. 
b) –2. 
c) 3. 
d) –3. 
e) 4.
9. (ITA) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da equação 
x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ∈ R, então a2 – b3 é igual a: 
a) –64. 
b) –36. 
c) –28. 
d) 18. 
e) 27. 
10. (PUC-RS) Os polinômios p(x), q(x), f(x), h(x) em C, 
nessa ordem, estão com seus graus em progressão geo-
métrica. Os graus de p(x) e h(x) são, respectivamente, 16 
e 2. A soma do número de raízes de q(x) com o número 
de raízes de f(x) é:
a) 24.
b) 16.
c) 12.
d) 8.
e) 4.
E.O. COmplEmEntAr
1. (Udesc) Um polinômio p(x) dividido por x + 1 deixa 
resto 16; por x – 1 deixa resto 12, e por x deixa resto –1. 
Sabendo que o resto da divisão de p(x) por (x + 1)(x – 1)
x é da forma ax2 + bx + c, então o valor numérico da 
soma das raízes do polinômio ax2 + bx + c é:
a) 3 __ 5 .
b) 2.
c) 2 ___ 15 .
d) 4.
e) –2.
2. (AFA) Considere o polinômio p(x) = ax4 + bx3 + 2x2 + 1, 
{a, b} ∈ R e marque a alternativa FALSA. 
a) x = 0 não é raiz do polinômio p(x).
b) Existem valores distintos para a e b tais que x = 1 
ou x = –1 são raízes de p(x).
c) Se a = 0 e b = 3, o resto da divisão de p(x) por 
3x2 – x + 1 é zero.
d) Se a = b = 0, tem-se que x = – 1 __ 2 i é uma raiz de 
p(x), considerando que i2 = –1.
3. (UEPB) Os valores de m e n para os quais a expres-
são 5x
4 + 8x2 + mx + n _________________ 
x2 + 2
 seja um polinômio são, res-
pectivamente:
23
a) 2 e –4.
b) 0 e –2.
c) 0 e –4.
d) 2 e 4.
e) 8 e –4.
4. (UEL) O polinômio p(x) = x3 + x2 – 3ax – 4a é divisível 
pelo polinômio q(x) = x2 – x – 4. Qual o valor de a?
a) −2.
b) −1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
5. (Udesc) Considere o polinômio f(x) = 8x3 – 6x2 – 3x + 1. 
Sabe-se que as raízes de f(x) são os primeiros termos de 
uma progressão geométrica infinita, cujo primeiro termo 
é a maior raiz de f(x), e a soma desta progressão é raiz do 
polinômio g(x) = x + a. Então, o resto da divisão de f(x), 
por g(x) é: 
a) – 35 ___ 27 . 
b) – 1 __ 2 . 
c) – 2 __ 3 . 
d) –2. 
e) –81. 
E.O. dissErtAtivO
1. (UFF) Considere o polinômio p(x) = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 2.
a) Verifique se o número complexo i é raiz de p(x).
b) Calcule todas as raízes complexas de p(x). 
2. (UFLA) O polinômio P(x) = 2x3 + px2 + 11x + q é divi-
sível por x – 2, e P(1) = –4. Calcule os valores de p e q. 
3. (UPE) Analise as afirmações abaixo e conclua: 
( ) Um polinômio de grau ímpar e coeficientes reais 
possui, necessariamente, pelo menos, uma raiz real. 
( ) Se todos os coeficientes de um polinômio são reais, 
suas raízes serão, necessariamente, reais. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas não reais, 
então seu grau é, necessariamente, um número par. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas não 
reais, então seu grau é, necessariamente, um número 
ímpar. 
( ) Se um polinômio possui raízes complexas, e todos 
seus coeficientes são números inteiros, então os conju-
gados complexos de cada raiz, também, são raízes do 
mesmo polinômio. 
4. (UFV) O inteiro 2 é raiz do polinômio 
p(x) = 4x3 – 4x2 – 11x + k, onde k é uma constante real.
a) Determine o valor de k.
b) Determine as outras raízes de p(x).
c) Determine os intervalos onde p(x) > 0.
5. (UFJF-PISM 3) O resto da divisão de um polinômio 
p(x) por um polinômio q(x) é o polinômio 
r(x) = x5 - 7x4 - 8x3 + 56x2 + 15x - 105.
Sabendo que 7 é raiz de p(x) e de q(x), determine todas 
as raízes de r(x).
6. (UFU) Considere os polinômios p(x) = x3 + 2a + b e 
h(x) = x4 + a − 2b, em que a e b são constantes reais e x é 
uma variável real. Determine os valores de a e b para os 
quais esses polinômios sejam divisíveis por x - 4.
7. (UFJF-PISM 3) Sabendo que o polinômio 
p(x) = ax3 + bx + 2 é divisível por (x + 1)2, determine a e b.
8. (UFPE) Determine o polinômio com coeficientes reais 
p(x) = ax3 + bx2 + cx, tal que p(x + 1) − p(x) = 6x2 e indi-
que a2 + b2 + c2.
9. (UFTM) Seja o polinômio P(x) = x3 − 2x2 − 4x + m, sen-
do m um número real. Sabendo-se que P(x) é divisível 
por (x − 2) determine:
a) O valor de m.
b) Todas as raízes de P(x).
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Observe o gráfico da função polinomial de R 
em R definida por P(x) = 2x3 – 6x2 + 3x + 2:
Determine o conjunto solução da inequação P(x) > 0. 
E.O. ObJEtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Unesp) O polinômio P(x) = a ⋅ x3 + 2 ⋅ x + b é divisível 
por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa resto –45. 
Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, 
são: 
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
24
2. (Unicamp) Considere o polinômio p(x) = xn + xm + 1, em 
que n > m ≥ 1. Se o resto da divisão de p(x) por x + 1 é igual 
a 3, então:
a) n é par e m é par.
b) n é ímpar e m é ímpar.
c) n é par e m é ímpar.
d) n é ímpar e m é par.
E.O. dissErtAtivAs 
(UnEsp, FUvEst, UniCAmp E UniFEsp)
1. (Fuvest) O produto de duas das raízes do polinômio 
p(x) = 2x3 – mx2 + 4x + 3 é igual a –1. Determinar: 
a) o valor de m.
b) as raízes de p.
2. (Unicamp) O polinômio p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18 tem 
três raízes: r, – r e s.
a) Determine os valores de r e s.
b) Calcule p(z) para z = 1 + i, onde i é a unidade 
imaginária. 
3. (Unicamp) As três raízes da equação x3 – 3x2 + 12x – q = 0, 
onde q é um parâmetro real, formam uma progressão 
aritmética.
a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), 
encontre as raízes (reais e complexas) da equação. 
4. (Unicamp) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação 
p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação 
p(x) = 0 tenha uma única raiz real. 
5. (Unicamp) Determine o quociente e o resto da divisão 
de x100 + x + 1 por x2 – 1. 
gAbAritO
E.O. Aprendizagem
1. E 2. A 3. B 4. E 5. E
6. A 7. D 8. B 9. D 10. E
E.O. Fixação
1. B 2. C 3. D 4. D 5. E
6. E 7. D 8. C 9. C 10. C
E.O. Complementar
1. C 2. D 3. C 4. E 5. A
E.O. Dissertativo
1. 
a) i4 + 2 . i3 + 3 . i2 + 2 . i + 2 = 1 – 2i – 3 + 2i + 2 = 0, 
logo, i é raiz da equação.
b) Se i é raiz, –i também é raiz (teorema das raízes 
conjugadas).
Logo, p(x0 é divisível por (x + i) . (x – i) = x
2 + 1
P(x) = (x2 + 1) . (x2 + 2x + 2)
Resolvendo a equação produto, temos:
x2 + 1 = 0
x = i ou x = –1
x2 + 2x + 2 = 0 
x = –1 – i ou x = –1 + i.
2. p = –7 e q = –10.
3. V-F-F-F-V.
(V) As raízes complexas aparecerão sempre aos pares;
(F) Poderá terraízes não reais;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(F) Poderá ter grau par ou ímpar;
(V) Verdadeiro: as raízes complexas aparecem aos pares (a 
própria raiz e sua conjugada) para coeficientes reais. 
4.
a) k = 2.
b) x = –3/2 e x = 1/2.
c) ]–3/2, 1/2[ e ]2, +∞[.
5. 7, ± √
__
 3 , ± √
__
 5 .
6. − 384 ____ 5 e 
448 ____ 5 .
7. a = − 1 e b = 3.
8. P(x) = 2x3 − 3x2 + x e a2 + b2 + c2 = 22 + (−3)2 + 12 = 14. 
9. P(x) = x3 − 2x2 − 4x + 8 = (x − 2) (x2 − 4) = (x − 2)2 (x + 2), 
ou seja, as raízes de P(x) são 2 e –2.
E.O. UERJ
Exame Discursivo
1. O número 2 é raiz, pois p(2) = 0.
Dividindo p(x) por (x – 2), temos:
Logo, P(x) = (x – 2) . (2x2 + 2x + 1) 
Onde suas raízes são x = 2, x = 1 ± 
dXX 3 ______ 
2
 .
Resolvendo, agora a inequação P(x) > 0 através do gráfico do 
polinômio P(x). 
25
Portanto, a solução da inequação será dada por: 
S = { x ∈ R | 1 – √
__
 3 ___ 
2
 ≤ x≤ 1 + 
dXX 3 ______ 
2
 ou x ≥ 2 } 
E.O. Objetivas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1. E 2. A
E.O. Dissertativas
(Unesp, Fuvest, Unicamp e Unifesp)
1.
a) m = 7.
b) 3/2; 1 – dXX 2 e 1 + dXX 2 .
2.
a) Fatorando P(x), obtemos 
p(x) = x3 – 2x2 – 9x + 18
p(x) = x2 (x – 2) – 9 (x – 2)
p(x) = (x – 2)(x2 – 9)
Portanto, r = 3 e s = 2.
b) Se z = 1 + i, então z2 = (1 + i)2 = 2i. 
Logo, p(z) = (1 + i – 2) (2i – 9) 
p(z) = 2i2 – 9i – 2i + 9 
p(z) = 7 – 11i. 
3. 
a) q = 10.
b) 1, 1 – 3i e 1 + 3i. 
4.
a) 3; 1 – 2i; 1 + 2i.
b) {a ∈ R | –3 < a ≤ 5}. 
5. quociente: Q(x) = x98 + x96 + ... + x2 + 1
resto: R(x) = x + 2.
27
MATRIZES, DETERMINANTES 
E SISTEMAS LINEARES
28
 Matrizes e operaçõesAULAS 
45 e 46
E.O. AprEndizAgEm
1. (PUC-RS) Dada a matriz A = 1 1
1 1
 e a função f, de-
finida no conjunto das matrizes 2 x 2 por f(x) = x2 – 2x, 
então f(A) é: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
2. (UFG) Um modelo matemático usado para a amplia-
ção de uma imagem consiste em considerar uma trans-
formação linear dada pela multiplicação de uma matriz 
escala Es por uma matriz coluna A, composta pelas co-
ordenadas do ponto P, que forma a imagem que será 
ampliada. Considerando as matrizes A e Es dadas por 
A = x
y
 e Es = 
Ex 0
 0 Ey
em que Ex e Ey são fatores multiplicativos que indicam a 
mudança da escala, então a matriz Q que indica as no-
vas coordenadas do ponto P, obtidas pela multiplicação 
das matrizes Es e A, é: 
a) xEx
yEy
.
b) Ex + x
Ey + y
.
c) yEx
xEy
.
d) xEx 0
 0 yEy
.
e) Ex x
 y Ey
.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO.
Arquimedes, candidato a um dos cursos da Faculdade 
de Engenharia, visitou a PUC-RS para colher informa-
ções. Uma das constatações que fez foi a de que existe 
grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 
3. (PUC-RS) Numa aula de Álgebra Matricial dos cursos 
de Engenharia, o professor pediu que os alunos resol-
vessem a seguinte questão:
Se A = 1 2
3 4
 então A2 é igual a:
a) 1 3
2 4
.
b) 1 4
9 16
.
c) 7 10
15 22
.
d) 5 11
11 25
.
e) 5 5
25 25
.
4. (UERN) Sejam as matrizes M = 2 3
–1 0
, 
N = 
4 0
1 5 e P = M ⋅ N + N ⋅ M. O menor elemento da 
matriz P é: 
a) –7.
b) –1.
c) –5.
d) 2.
5. (UEL) Uma indústria utiliza borracha, couro e tecido 
para fazer três modelos de sapatos. A matriz Q fornece 
a quantidade de cada componente na fabricação dos 
modelos de sapatos, enquanto a matriz C fornece o cus-
to unitário, em reais, destes componentes.
A matriz V que fornece o custo final, em reais, dos três 
modelos de sapatos é dada por: 
a) V = ( 110 ____ 120 ____ 80 ) .
b) V = ( 90 ____ 100 ____ 60 ) .
c) V = ( 80 ____ 110 ____ 80 ) .
CompetênCia: 6 Habilidades: 24, 25 e 26
29
d) V = ( 120 ____ 110 ____ 100 ) .
e) V = ( 100 ____ 110 ____ 80 ) .
6. (UEG) Tatiana e Tiago comunicam-se entre si por meio 
de um código próprio dado pela resolução do produto 
entre as matrizes A e B, ambas de ordem 2 x 2 onde 
cada letra do alfabeto corresponde a um número, isto é, 
a = 1, b = 2, c = 3, ..., z = 26. Por exemplo, se a resolução 
de A · B for igual a 1 13
15 18
 logo a mensagem recebida 
é amor. Dessa forma, se a mensagem recebida por Ta-
tiana foi flor e a matriz B = 1 -1
2 1
, então a matriz A é: 
a) –8 7
–8 10
b) –6 6
–7 11
c) –8 5
–7 11
d) –6 –7
 6 11
7. (UECE) Considerando as matrizes M1= ( 0 1 1 1 ) , M2 = M1 
. M1, M3 = M2 . M1 ..., Mn = Mn-1 · M1 o número situado na 
segunda linha e segunda coluna da matriz M10 é: 
a) 56.
b) 67.
c) 78.
d) 89.
8. (ESPM) A distribuição dos n moradores de um pe-
queno prédio de apartamentos é dada 
pela matriz 
4 x 5
1 3 y
6 y x+1
 onde cada elemento aij 
 
repre-
senta a quantidade de moradores do apartamento j do 
andar i. 
Sabe-se que, no 1º andar, moram 3 pessoas a mais que 
no 2º e que os apartamentos de número 3 comportam 
12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a) 30.
b) 31.
c) 32.
d) 33.
e) 34.
9. (PUC-RS) Num jogo, foram sorteados 6 números para 
compor uma matriz M = (mij) de ordem 2 × 3. Após o 
sorteio, notou-se que esses números obedeceram à re-
gra mij = 4i – j. Assim, a matriz M é igual a:
a) 
1 2 3
5 6 7
b) 
1 2 3
4 5 6
c) 
3 2 1
7 6 5
d) 
3 2
7 6
11 10
e) 
3 7
2 6
1 5
10. (FEI) Se as matrizes A = (aij) e B = (bij) estão assim 
definidas:
aij = 1 se i = j
aij = 0 se i ≠ j
bij = 1 se i + j = 4
bij = 0 se i + j ≠ 4
onde 1 ≤ 1, j ≤ 3, então a matriz A + B é:
a) 
1 0 0
0 1 0
0 0 1
b) 
0 0 1
0 1 0
1 0 0
c) 
1 0 1
0 1 0
1 0 1
d) 
1 0 1
0 2 0
1 0 1
e) 
1 1 0
0 1 1
0 1 0
11. (UFG) Seja M = [aij] n × n uma matriz quadrada de or-
dem n, onde aij = i + j.
Nessas condições, a soma dos elementos da diagonal 
principal desta matriz é: 
a) n2.
b) 2n + 2n2.
c) 2n + n2.
d) n2 + n.
e) n + 2n2.
12. (IFPE) Rodrigo, Otavio e Ronaldo gostam muito de 
comida japonesa e saíram para comer temaki, também 
conhecido como sushi enrolado à mão, cujo o formato 
lembra o de um cone.
Foram, então, visitando vários restaurantes, tanto no 
sábado quanto no domingo. As matrizes a seguir re-
sumem quantos temakis cada um consumiu e como a 
despesa foi dividida:
30
S – [ 3 1 0 
2
 
 
 1 
3
 
0 
 
 
 2 
2
 ] e D – [ 2 3 0 0 2 1 1 0 2 ] . S refere-se às quantidades de 
temakis de sábado e D às de domingo. Cada elemento 
aij nos dá o número de cones que a pessoa i pagou para 
a pessoa j, sendo Rodrigo o número 1, Otávio, o número 
2 e Ronaldo, o número 3 (aij) representa o elemento da 
linha i e da coluna j de cada matriz).
Assim, por exemplo, no sábado, Rodrigo pagou 3 te-
makis que ele próprio consumiu (a11), 2 temakis con-
sumidos por Otávio (a12) e nenhum por Ronaldo (a13) 
que corresponde à primeira linha da matriz S. Quantos 
temakis Otávio ficou devendo para Rodrigo neste fim 
de semana? 
a) nenhum. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) 4. 
E.O. FixAçãO
1. (Insper) Três amigos foram a uma papelaria para 
comprar material escolar. As quantidades adquiridas 
de cada produto e o total pago por cada um deles são 
mostrados na tabela.
Amigo
Quantidades compradas de Total pago 
(R$)cadernos canetas lápis
Júlia 5 5 3 96,00
Bruno 6 3 3 105,00
Felipe 4 5 2 79,00
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma 
caneta e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Des-
sa forma, das igualdades envolvendo matrizes forneci-
das a seguir, a única que relaciona corretamente esses 
preços unitários com os dados da tabela é: 
a) x y z ⋅ 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 96 105 79
b) 
x
y
z
 ⋅ 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 = 
96
105
79
c) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 ⋅ x y z = 96 105 79 
d) 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
 ⋅ 
x
y
z
 = 
96
105
79
e) 
x
y
z
 ⋅ 
96
105
79
 = 
5 5 3
6 3 3
4 5 2
2. (UFC) O valor 2A2 + 4B2 quando A = 2 0
 0 –2
 e 
B = 
0 –1
1 0 é igual a: 
a) 
4 4
4 4
b) 
4 0
0 4
c) 
0 0
0 0
d) 
0 4
4 0
e) 
6 0
0 6
3. (UEL) Sobre as sentenças:
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3 x 1.
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 4 x 2.
III. O produto dematrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz qua-
drada 2 x 2.
É verdade que:
a) somente I é falsa. 
b) somente II é falsa. 
c) somente III é falsa. 
d) somente I e III são falsas. 
e) I, II e III são falsas. 
4. (UEL) Uma reserva florestal foi dividida em quadran-
tes de 1 m2 de área cada um. Com o objetivo de saber 
quantas samambaias havia na reserva, o número delas 
foi contado por quadrante da seguinte forma:
O elemento aij da matriz A corresponde ao elemento bij 
da matriz B, por exemplo, 8 quadrantes contêm 0 (zero) 
samambaia, 12 quadrantes contêm 1 samambaia. 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a 
operação efetuada entre as matrizes A e B, que resulta 
no número total de samambaias existentes na reserva 
florestal. 
a) At x B. 
b) Bt x At. 
c) A x B. 
d) At + Bt. 
e) A + B. 
5. (UERN) Considere a seguinte operação entre matrizes:
 ( 6 4 2 3 ) · k = ( –6 1 ) 
A soma de todos os elementos da matriz K é: 
a) 1.
b) 3.
c) 4.
d) 7.
31
6. (UFPR) Um criador de cães observou que as rações 
das marcas A, B, C e D contêm diferentes quantidades 
de três nutrientes, medidos em miligramas por quilo-
grama, como indicado na primeira matriz abaixo. O 
criador decidiu misturar os quatro tipos de ração para 
proporcionar um alimento adequado para seus cães. A 
segunda matriz abaixo dá os percentuais de cada tipo 
de ração nessa mistura.
A B C D
percentuais 
de mistura
nutriente 1
nutriente 2
nutriente 3
370
340
225
450
305
190
A
B
C
D
Quantos miligramas do nutriente 2 estão presentes em 
um quilograma da mistura de rações?
a) 389 mg.
b) 330 mg.
c) 280 mg.
d) 210 mg.
e) 190 mg. 
7. (UFSM) Sabendo-se que a matriz
A = 
 y 36 –7
 x2 0 5x
4–y –30 3
é igual à sua transposta, o valor de 2x + y é: 
a) –23.
b) –11.
c) –1.
d) 11.
e) 23.
8. (UEL) Uma matriz quadrada A se diz ANTISSIMÉTRICA 
se At = –A. Nessas condições, se a matriz A mostrada na 
figura adiante é uma matriz antissimétrica, então x + y + 
z é igual a:
A = 
 x y z
 2 0 –3
–1 3 0
a) 3. 
b) 1. 
c) 0. 
d) –1. 
e) –3. 
9. (UFSM) Na planilha de cálculos do setor de Engenha-
ria, responsável pelas obras de um shopping, foram en-
contradas as matrizes:
A = log 1 log 0,01
log 100 log 10
e
B = 
 cos π __ 2 tg 
π __ 4 
sen3 π __ 2 cos 
π __ 3 
É correto, então, afirmar que A é igual a: 
a) ( 1 ___ 2 ) B.
b) B.
c) –B.
d) 2Bt.
e) 2B.
10. (UEG) Dada a matriz A = e
2x2 0
 0 |y + x|
 e seja B 
uma matriz identidade de ordem 2 os valores de x e y 
não negativos, tal que as matrizes A e B sejam iguais, 
são respectivamente: 
a) 0 e 1.
b) 1 e 1.
c) 0 e 
dXX 2 ___ 2 .
d) 
dXX 2 ___ 2 e 1– 
 dXX 2 ___ 2 .
11. (UFF) Toda matriz de ordem 2 × 2, que é igual a sua 
transposta, possui: 
a) pelo menos dois elementos iguais. 
b) os elementos da diagonal principal iguais a zero. 
c) determinante nulo. 
d) linhas proporcionais. 
e) todos os elementos iguais a zero. 
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO. 
O levantamento sobre a dengue no Brasil tem como ob-
jetivo orientar as ações de controle, que possibilitam aos 
gestores locais de saúde antecipar as prevenções a fim 
de minimizar o caos gerado por uma epidemia. O Minis-
tério da Saúde registrou 87 mil notificações de casos de 
dengue entre janeiro e fevereiro de 2014, contra 427 mil 
no mesmo período em 2013. Apesar do resultado expres-
sivo de diminuição da doença, o Ministério da Saúde res-
salta a importância de serem mantidos o alerta e a con-
tinuidade das ações preventivas. Os principais criadouros 
em 2014 são apresentados na tabela a seguir.
Região
Armazenamento 
da água %
Depósitos 
domiciliares %
Lixo %
Norte 20,2 27,4 52,4
Nordeste 75,3 18,2 6,5
Sudeste 15,7 55,7 28,6
Cen-
tro-Oeste
28,9 27,3 43,8
Sul 12,9 37,0 50,1
(Adaptado de: BVS Ministério da Saúde. Disponível em: <www.
brasil.gov.br/saude/2014>. Acesso em: 21 abr. 2015.)
12. (UEL) Seja A a matriz formada pelos elementos aij em 
que i são as regiões e j os tipos de criadouros apresen-
tados na tabela. Considerando que cada região tenha 
seus tipos de criadouros aumentados em 10% devido a 
um desequilíbrio ambiental, assinale a alternativa que 
apresenta, corretamente, a matriz B resultante. 
a) B3x5 = k . A3x5, em que k = 10,0 
b) B3x5 = (1 + k) . A3x5, em que k = 0,1 
32
c) B5x3 = (1 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
d) B5x3 = (10 + k) . A5x3, em que k = 0,1 
e) B5x3 = k . A5x3, em que k = 0,1 
13. (UEL) Conforme dados da Agência Nacional de Avia-
ção Civil (ANAC), no Brasil, existem 720 aeródromos 
públicos e 1814 aeródromos privados certificados. Os 
programas computacionais utilizados para gerenciar o 
tráfego aéreo representam a malha aérea por meio de 
matrizes. Considere a malha aérea entre quatro cidades 
com aeroportos por meio de uma matriz. Sejam as cida-
des A, B, C e D indexadas nas linhas e colunas da matriz 
4 x 4 dada a seguir. Coloca-se 1 na posição X e Y da 
matriz 4 x 4 se as cidades X e Y possuem conexão aérea 
direta, caso contrário coloca-se 0. A diagonal principal, 
que corresponde à posição X = Y, foi preenchida com 1.
A B C D
A 1 0 0 1
B 0 1 1 1
C 0 1 1 0
D 1 1 0 1
 
 
 
 
 
 
Considerando que, no trajeto, o avião não pode pousar 
duas ou mais vezes em uma mesma cidade nem voltar 
para a cidade de origem, assinale a alternativa correta. 
a) Pode-se ir da cidade A até B passando por outras 
cidades. 
b) Pode-se ir da cidade D até B passando por outras 
cidades. 
c) Pode-se ir diretamente da cidade D até C. 
d) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades 
A e B. 
e) Existem dois diferentes caminhos entre as cidades 
A e C. 
E.O. COmplEmEntAr
1. (UPF) Dadas as matrizes quadradas A, B e C, de ordem 
n, e a matriz identidade In, de mesma ordem, considere 
as proposições a seguir, verificando se são verdadeiras 
(V) ou falsas (F). 
( ) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2
( ) (A – B)2 = A2 – B2
( ) CI = C
A sequência correta de preenchimento dos parênteses, 
de cima para baixo, é: 
a) V – V – V.
b) V – F – V.
c) F – V – V.
d) F – F – V.
e) F – F – F.
2. (Unioeste) Sendo A uma matriz quadrada e n um in-
teiro maior ou igual a 1, define-se An como a multipli-
cação de A por A , n vezes. No caso de A ser a matriz 
( 0 ___ –1 –1 ___ 0 ) 
 
é correto afirmar que a soma A+ A2 + A3 + ...+ 
A39 + A40 é igual à matriz: 
a) ( 20 ____ –20 –20 ____ 20 ) 
b) ( 40 ____ –20 –20 ____ 40 ) 
c) ( 0 ____ –40 –40 ____ 0 ) 
d) ( 40 ____ –40 –40 ____ 40 ) 
e) ( 20 ___ 0 0 ___ 20 ) 
3. (ESPM) Sendo A = [ a __ c b __ d ] uma matriz quadrada de 
ordem 2, a soma de todos os elementos da matriz 
M = A ⋅ At é dada por: 
a) a2 + b2 + c2 + d2. 
b) (a + b + c + d) 2. 
c) (a + b) 2 + (c + d)2. 
d) (a + d) 2 + (b + c)2. 
e) (a + c) 2 + (b + d)2. 
4. (Mackenzie) Se a matriz
 1 x + y + z 3y – z + 2
 4 5 –5
y – 2z + 3 z 0
é simétrica, o valor de x é: 
a) 0.
b) 1.
c) 6.
d) 3.
e) –5.
5. (UFSM)
O diagrama dado representa a cadeia alimentar simpli-
ficada de um determinado ecossistema. As setas indi-
cam a espécie de que a outra espécie se alimenta.
Atribuindo valor 1 quando uma espécie se alimenta de 
outra e zero, quando ocorre o contrário, tem-se a se-
guinte tabela:
Urso Esquilo Inseto Planta
Urso 0 1 1 1
Esquilo 0 0 1 1
Inseto 0 0 0 1
Planta 0 0 0 0
A matriz A = (aij)4×4, associada à tabela, possui a seguin-
te lei de formação: 
a) aij = 
b) aij = 
33
c) aij = 
d) aij = 
e) aij = 
6. (FGV) O total de matrizes distintas que possuem ape-
nas os números 1, 2, 3, 4, 5,...,15, 16 como elementos, 
sem repetição, é igual a: 
a) (4!)4.
b) 16.4!.
c) 5.16!.
d) (16!)5.
e) 1616.
7. (Udesc) Considere as matrizes da forma A = [ a c b d ] 
com a, b, c, d e {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Se os elementos destas 
matrizes não são múltiplos, então o número máximo de 
tais matrizes distintas que pode ser formado é: 
a)96. 
b) 120. 
c) 48. 
d) 72. 
e) 360. 
E.O. dissErtAtivO
1. (UDESC) Dadas as matrizes A = ( –1 ___ 1 5 __ 3 ) e B = ( 1 ___ 3 0 __ 2 ) 
calcule as matrizes (C, D, E, F, e G) resultantes das se-
guintes operações:
a) C = A + Bt.
b) D = A2.
c) E = 2A - Bt.
d) F = 3A – 2B.
e) G = A ⋅ B.
Obs.: Bt é a matriz transposta da matriz B.
2. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas regi-
ões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultu-
ra, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertili-
zante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segun-
da linha e terceira coluna da matriz C.
3. (UFV) Dada a matriz mostrada na figura adiante
A = 
 1 2 3
 0 1 2
–1 1 –1
 ,determine:
a) A2.
b) A ⋅ At.
c) 2A + 3At.
Determine:
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a 
maior temperatura;
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia 
de observação. 
4. (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para to-
mar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto no 
domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um 
consumiu e como a despesa foi dividida:
S = 
4 1 4
0 2 0
3 1 5
 e D = 
5 5 3
0 3 0
2 1 3
S refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pa-
gou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o nú-
mero 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento 
da linha i, coluna j de cada matriz).
Assim, no sábado Antônio pagou 4 chopes que ele pró-
prio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio (primei-
ra linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
5. (FGV) Uma fábrica decide distribuir os excedentes 
de três produtos alimentícios A, B e C a dois países da 
América Central, P1 e P2 As quantidades, em toneladas, 
são descritas mediante a matriz Q:
1
2
A B C
P200 100 150
Q
P100 150 200
↓ ↓ ↓
← 
=   ← 
Para o transporte aos países de destino, a fábrica rece-
beu orçamentos de duas empresas, em reais por tonela-
das, como indica a matriz P:
500 300 1ª empresa
P
400 200 2ª empresa
← 
=   ← 
a) Efetue o produto das duas matrizes, na ordem que 
for possível. Que elemento da matriz produto indica 
o custo de transportar o produto A, com a segunda 
empresa, aos dois países? 
b) Para transportar os três produtos aos dois países, 
qual empresa deveria ser escolhida, considerando 
que as duas apresentam exatamente as mesmas con-
dições técnicas? Por quê?
34
6. (UEMA) Uma matriz A (m × n) é uma tabela retangular 
formada por m × n números reais (aij), dispostos em m li-
nhas e n colunas. O produto de duas matrizes A = (aij)m×n e 
B = (bij)n×p é uma matriz C = (cij)m×p, em que o elemento 
cij é obtido da multiplicação ordenada dos elementos 
da linha i da matriz A pelos elementos da coluna j, da 
matriz B, e somando os elementos resultantes das mul-
tiplicações. A soma de matrizes é comutativa, ou seja, 
A + B = B + A.
Faça a multiplicação das matrizes A e B, e verifique se 
esse produto é comutativo, ou seja: A × B = B × A.
A = 
1 2 3
A 0 1 2
0 0 1
 
 =  
  
 e B= 
0 1 2
B 1 2 3
0 1 0
− 
 = − 
  
7. (UnB) Uma equipe de pesquisa de mercado conduziu, 
durante vários meses, um levantamento para determi-
nar a preferência dos consumidores em relação a duas 
marcas de detergentes, marca 1 e marca 2. Verificou-
-se, inicialmente, que, entre 200 pessoas pesquisadas, 
120 usavam a marca 1 e 80, a marca 2. Com base no 
levantamento inicial, a equipe compilou a seguinte es-
tatística:
a) 70% dos usuários da marca 1, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 30% mu-
daram para a marca 2;
b) 80% dos usuários da marca 2, em qualquer mês, 
continuaram a utilizá-la no mês seguinte, e 20% mu-
daram para a marca 1.
Esses resultados podem ser expressos pela matriz 
P = (pij) = ( 0,7 0,3 0,2 0,8 ) em que pij, 1 ≤ i, j ≤ 2, representa 
a probabilidade do consumidor da marca j consumir a 
marca i após um mês, supondo-se que tais probabilida-
des sejam mantidas constantes de um mês para o outro. 
Dessa forma, obtém-se a fórmula de recorrência Xk+1 = 
PXk, k ≥ 0, em que Xk ( ak bk ) representa a distribuição, no 
mercado, ao final do mês k, dos usuários de cada deter-
gente pesquisados; ak e bk representam os percentuais 
de usuários das marcas 1 e 2, respectivamente, no refe-
rido período.
Com base nessas informações, julgue os itens subse-
quentes.
a) A sequência b1 – b0, b2 – b1, b3 – b2 representa uma 
progressão geométrica decrescente de razão 0,5.
b) Se Xk = ( a b ) é tal que Xk+1 = Xk, para algum k ≥ 0, 
então a = 0,4 e b = 0,6.
c) A probabilidade de um consumidor do detergente 
da marca 1 comprar o da marca 2 ao final do 2.º mês 
é superior a 50%.
8. (UFU) Em computação gráfica, é frequente a neces-
sidade de movimentar, alterar e manipular figuras em 
um sistema 2D (bidimensional). A realização destes 
movimentos é feita, em geral, utilizando-se transfor-
mações geométricas, as quais são representadas por 
matrizes T2x2. Assim — considerando um polígono P no 
plano cartesiano xOy de vértices (a1,b1), ..., (an,bn), o qual 
é representado pela matriz M2xn = ( a1 ... an b1 ... bn ), em que n 
é o número de vértices do polígono — a transformação 
de P por T2x2 é feita pela realização do produto matricial 
T2x2 · M2xn obtendo a matriz resultante ( c1 ... cn d1 ... dn ) cujas 
colunas determinam os vértices (c1,d1), ..., (cn,dn) do po-
lígono obtido.
Nesse contexto, para o que se segue, considere a trans-
formação T2x2 = ( 2cosθ −2senθ 2senθ 2cosθ ) e P o triângulo cujos 
vértices são os pontos A(0, 0), B(4, 0) e C(2,2 √
__
 3 ).
Execute planos de resolução de maneira a encontrar:
a) os vértices do triângulo resultante Q obtido da trans-
formação do triângulo P por T2x2 quando θ = 840°;
b) a área do triângulo resultante Q obtido na trans-
formação do item A.
9. (FGV) Um determinado produto deve ser distribuído a 
partir de 3 fábricas para 4 lojas consumidoras. Seja C = 
(cij)3x4 a matriz do custo unitário de transporte da fábrica 
i para a loja j, com cij = (2i − 3j)
2. Seja B = (bij)3x4 a matriz 
que representa a quantidade de produtos transportados 
da fábrica i para a loja j, em milhares de unidades, com 
bij = i + j
a) Determine as matrizes C = (cij)3x4 e B
t sendo que Bt 
é a transposta da matriz B (bij)3x4.
b) Sendo D = 
4 1
1
1
D
1
1 ×
 
 
 =
 
 
 
e E [1 0 0]1x3 determine as 
matrizes X = (xij)3x1 e Y = (yij)1x3 tais que 
X = B · D e Y = E · (C·Bt). Em seguida, determine o 
significado econômico de xij e de yij.
E.O. UErJ 
ExAmE dE QUAliFiCAçãO
1. (UERJ) Observe a matriz A, quadrada e de ordem três.
A = ( 0,3 0,47 
0,6 
 
0,47 
 
 
 0,6 
x 
 
0,6 
 
 
 x 
0,77
 ) 
Considere que cada elemento aij dessa matriz é o valor 
do logaritmo decimal de (i + j).
O valor de x é igual a:
a) 0,50.
b) 0,70.
c) 0,77.
d) 0,87.
35
E.O. UErJ 
ExAmE disCUrsivO
1. (UERJ) Observe parte da tabela do quadro de meda-
lhas dos Jogos Pan-americanos do Rio de Janeiro em 
2007(tabela I).
Com base na tabela, é possível formar a matriz qua-
drada A cujos elementos aij representam o número de 
medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j per-
tencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer outra classificação desses países, são atribuí-
dos às medalhas os seguintes valores:
 § ouro: 3 pontos;
 § prata: 2 pontos;
 § bronze: 1 ponto.
Esses valores compõem a matriz V = 
3
2
1
Tabela I – Quadro de medalhas 
Jogos Pan-americanos RJ 2007
País
Medalhas
TotalTipos
1. Ouro 2. Prata 3. Bronze
1. Estados Unidos 97 88 52 237
2. Cuba 59 35 41 135
3. Brasil 54 40 67 161
Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número 
de pontos totais obtidos pelos três