Winterle - 2000 - Vetores e Geometria Analítica-101

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186 Vetores e Geometria Analítica 
b) Como a equação ( 4) é da forma padrão 
(x - h)2 + (y - k) 2 = l 
. a 2 b2 
onde h e k são coordenadas do centro, 
vem imediatamente: C(l, 2). 
c) O gráfico: Figura 8.33. 
d) Confrontando (4) e (5), concluímos: 
a 2 =9 a=3 
b2 = 4 :. b = 2 
e pelo gráfico tem-se: 
A 1 (-2, 2) e A 2 (4, 2) 
B 1(1,0) e B 2 (1,4) 
e) Para determinar os focos precisamos do valor de c. 
De a 2= b 2+c2 
ou 9 = 4 + c 2 , vem c = ✓5 e, portanto, os focos são: 
F1 (1 -✓5, 2) e F2 (1 +✓5, 2) 
f) E . ºd d c ✓5 xcentnc1 a e: e= - = -
a 3 
Equações Paramétricas 
. 2 2 
Consideremos a elipse de equação ~ + L = 1. Tracemos 
a2 b2 
a circunferência de centro O e raio igual ao semi-eixo mai-
or a da elipse (Figura 8.34). 
Seja P(x,y) um ponto qualquer desta elipse. A reta 
que passa por P e é paralela ao eixo dos y, intercepta a 
circunferência em A e o raio AO determina com o eixo dos 
x um ângulo 0 . 
ou 
Do triângulo A 'OA vem 
OA'= OA.cos8 
X= a COS8 
(5) 
y 
Figura8.33 
y 
Figura 8.34 
Cap. 8 Cônicas 187 
Como x é abscissa de um ponto da elipse, a ordenada y do mesmo ponto é calculada 
substituindo o valor de x na equação da elipse: 
donde 
e 
(acos0)
2 +L = 1 
ª2 b2 
2 ¼ = 1 - cos 2 0 = sen 2 0 . 
b 
y=bsen0 
Observemos que, para cada valor de 0 corresponde um e um só ponto P da elipse e, 
quando 0 varia de O a 2 n, o ponto P parte de (a, O) e "descreve" a elipse no sentido anti-
horário. Então, 0 é o parâmetro e o sistema 
.,,. ~ -- ~ ,~~-,,..----
. {x =acos0 
1 y=bsen0 
(6f 
'-·-- - -----
constitui equações paramétricas dessa elipse. 
Observações 
X y X2 y2 
a) Das equações (6) vem - = cos 0 e - = sen 0 e, portanto, 2 = cos 
2 0 e - 2 = sen 
2 0. 
a b a b 
Somando membro a membro, resulta 
x2 y2 
- + - = 1 (1 = cos 2 0 + sen 2 0) 
a2 b2 
que é a equação da elipse dada inicialmente. 
2 2 
b) No caso da elipse ser ;-+ ¼ = 1 (eixo maior sobre Oy), suas equações paramétricas são 
b a 
{
X= b cose 
y=asen0 
c) Quando o centro da elipse for C(h, k), pela translação de eixos obtemos 
e 
{
x - h = a cos 0 {x = h + a cos 0 
ou (eixo maior paralelo a Ox) 
y - k = b sen 0 y = k + b sen 0 . . . 
{
X = h + b cos 0 · 
(eixo maior paralelo a Oy) 
y = k+asen0 
!