Exercícios

Prévia do material em texto

Aula 1.1 - Antiderivada 
 
1. A velocidade é a derivada da função posição x = x(t) em relação ao tempo t. Qual é a 
distância (em metros) que um trem-bala percorre em 4 segundos se ele parte da posição x = 0 
m e sua velocidade for dada por v = 4t3 - 3t2 + 2t? 
A. 208 m 
 
2. Determine a função y = y(x) sabendo que dy/du = x2 + x1/2. 
 
E. y = x3/3 + 2/3 . x3/2 + c 
 
3. Encontre o valor de ∫ (x2 + 4x5 - 6)dx 
D. x3/3 + 2/3 x6 - 6 + c 
 
4. A rede elétrica brasileira funciona através da corrente alternada, cuja tensão obedece a uma 
função trigonométrica. Supondo que a derivada da tensão pelo tempo seja: dv/dt = 4cos(2t) e 
que a tensão tinha valor nulo quando a rede elétrica foi ligada, encontre a função da tensão. 
C. V(t) = 2sen(2t) 
 
5. Se prendêssemos uma vareta em uma roda e colocarmos o sistema a girar, observaremos que 
a sombra que a vareta projeta no chão é uma função trigonométrica. Supondo que a função da 
velocidade da sombra seja dada por v(θ) = 4sen(θ) e que quando θ = 0º, a posição x da vareta 
é x(0°) = 0, qual é a função da posição que satisfaça as condições iniciais? 
D. X(θ)= -4cos(θ) + 4 
 
 
 
Aula 1.2 - Conceito e propriedades da integral indefinida 
 
1. Pedro é um agrônomo que percorre semanalmente as plantações sob sua responsabilidade. 
Em uma dessa visitas, percebeu uma lavoura de trigo queimando e ele definiu a velocidade do 
fogo com v(t) = 3t2 + 30t + 36, com t medido em segundos. Qual o espaço percorrido s(t) pelo 
fogo, sabendo que t = 5s? 
B. 680 m. 
 
2. Durante suas produções, um agricultor elaborou um gráfico entre curvas para observar o 
movimento da produção. Sabendo que o ponto (1, 5) pertence à curva da equação f(x) e a sua 
declividade é dada por f’(x) = 3x - 4, qual a função que o agricultor utiliza em seus cálculos? 
C. y = 3x2/2 - 4x + 7,5. 
 
3. Uma das formas de se calcular a integral é a partir da ideia de antiderivada, ou seja, encontrar 
uma função f(x) que ao ser derivada resulta em f(x). Nessas condições, a função f(x) é uma 
antiderivada de uma função f(x) com x em um intervalo dado. Assim, marque a alternativa 
correta. 
B. A função f(x) = 1x6/2 não é a única antiderivada de 3x5, pois podemos somar uma 
constante C e obter outra antiderivada. 
 
4. No instante t = 0, há um caminhão carregado de grãos com velocidade de 81 m/s e o motorista 
visualiza uma árvore caída em seu caminho para chegar até o armazém. Dessa forma, o 
motorista desacelerou rapidamente o veículo, com uma desaceleração constante a = -9 m/s. Em 
que instante a velocidade do caminhão chegou a zero? 
C. A velocidade do caminhão chegou a zero em t = 9 s. 
 
https://ava.webacademico.com.br/mod/lti/view.php?id=280054
5. Uma agroquímica de fungicidas para plantação de trigo tem um custo marginal definido pela 
função c’(x) = x3 + 2x2 + 4x. Nessas condições, qual função define o custo total, sendo que o 
custo fixo é R$ 2.000,00? 
A. c(x) = x4/4 + 2x3/3 + 2x2 + 2000 
 
Aula 1.3 - Noções de Integral, Cálculo e Função Integral 
 
1. Dada a função f(x) = 3x + 1, qual é a sua integral? 
C. 3/2 x2 + x + C 
 
2. A solução para a integral ∫ (
20 + 4𝑥5
3𝑥
) ⅆ𝑥
2
2
 
A. 0 
 
3. A integral da função f(x) = 10x + 2 no intervalo [1, 2] é: 
C. 17 
 
4. Qual das opções abaixo representa uma integral indefinida? 
D. ∫4dx. 
 
5. Se a velocidade de uma partícula é dada por v(t) = 3t em m/s, qual é o seu deslocamento 
depois de 10 segundos? 
D. 150 m 
 
 
 
Aula 2.1 - Integral Indefinida 
 
1. Considere f(x) = x. Calcule R(f, P, C) para a partição P de [0, 5; 1, 5] dada por P = {0,5; 1; 
1,3; 1,5 e pontos intermediários C = {0,7; 1,2; 1,4}. 
B. 0,99 
 
2. Deduza a fórmula para a integral abaixo. Dica: esboce um gráfico e utilize seu conhecimento 
entre a relação da integral e a área. 
 
D. 
 
 
3. Calcule integral definida abaixo utilizando o teorema obtido no exercício 2. 
 
 
 
C. 8 
 
4. Calcule a integral definida. 
 
 
 
A. 4 
 
5. Sabendo que a fórmula da integral é (ler abaixo), responda, utilizando o conceito de área com 
sinal, por que essa integral sempre resulta em zero. 
 
E. Resulta em zero porque a área com sinal se anula. 
 
Aula 2.2 - Teorema Fundamental do Cálculo I 
 
1. O teorema fundamental do cálculo (TFC) nos diz que: 
B. A integral definida de uma função é igual a sua antiderivada calculada no limite de 
integração superior menos a antiderivada calculada no limite de integração inferior. 
 
2. Usando o teorema fundamental do cálculo, qual o resultado da seguinte integral definida? 
 
 
A. 203/6 
 
3. Calcule a seguinte integral definida: ∫
5
0 √𝑦ⅆ𝑦 
C. 2/3 . 53/2 
 
4. Calcule o valor da integral de sen(t) com limites [π ,3π/2] usando o TFC: 
E. -1 
 
5. Calcule a integral de: ∫
𝜋
0
|𝑐𝑜𝑠(𝑥)| 
E. 2 
Aula 2.3 - Integração por substituição de variável e integração por partes 
 
1. O objetivo da integração por partes é passar de uma integral ∫u dv, que não se sabe como 
resolver, para uma integral ∫v du, que se consegue calcular. De modo geral, escolhe-se dv 
primeiro, sendo a parte do integrando, incluindo dx que se sabe integrar de modo imediato, e u 
será a parte restante. Utilize o método de integração por partes para calcular ∫x2ex dx e assinale 
a alternativa que contém a resposta correta: 
 
C. ∫ x2ex dx = x2ex - 2xex + 2ex + C. 
 
2. Da regra de derivação do produto de duas funções u = u(x) e v = v(x), tem-se que (uv)' = u'v 
+ uv'. Integrando, tem-se u(x)v(x) = ∫ u'(x)v(x) dx + ∫ u(x)v'(x) dx, ou, ainda, ∫ uv' dx = uv - ∫ 
u'v dx, que é a fórmula de integração por partes. A fórmula recebe esse nome porque permite 
que se reduza a integração do produto uv' à integração do produto u'v. Por isso, é comum você 
se deparar com a explicação de que se está derivando u e integrando v’. A fórmula da integração 
por partes também pode ser expressa por ∫ u dv = uv - ∫ v du. Utilize o método de integração 
por partes para calcular ∫ x ex dx e assinale a alternativa que contém a resposta correta: 
A. ∫ x ex dx = x ex - ex + C. 
 
3. Pode-se formalizar o método da substituição ao observar que se tem no integrando uma 
função composta f(u) multiplicada pela derivada da função interna, u'(x). A derivada surge 
escrita na forma da diferencial du = u'(x) dx, ou seja, ∫ f(u)du = ∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx. Dessa 
igualdade, interessam os dois últimos termos, que indicam como sistematizar o método da 
integração por substituição: se em um intervalo a função u(x) é diferenciável e a função 
composta f(u) é contínua, então ∫ f(u(x)) ∙ u'(x) dx = ∫ f(u)du nesse intervalo. Utilize o método 
de substituição para calcular ∫ 7 ∙ (7x + 5)3 dx e assinale a alternativa que contém a resposta 
correta: 
E. 
 
https://ava.webacademico.com.br/mod/lti/view.php?id=280058
4. A integração por substituição, também conhecida como mudança de variável, origina-se da 
regra de derivação em cadeia, resultando em ∫ f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C; disso, assume-se u 
= g(x), de tal forma que ∫ f(g(x)) ∙ g'(x) dx = ∫ f(u)du = F(u) + C = F(g(x)) + C, pois, por hipótese, 
F é primitiva de f. A ideia do método é procurar reduzir a função que se deseja integrar à forma 
∫ f(g(x)) ∙ g'(x) dx, em que f seja fácil de integrar. Utilize 
o método de substituição para calcular ∫ 2x(x2 + 1)3 dx e 
assinale a alternativa que contém a resposta correta: 
B. 
 
5. A integração por substituição é, basicamente, o inverso da regra da cadeia para derivadas. 
Em outras palavras, esse método ajuda na integração de funções compostas. Existem alguns 
casos bem fáceis de resolver; por exemplo, conhecida a derivada de x2 como 2x, então ∫ 2x dx 
= x2 + C. Mas também existem outros casos não tão triviais, quando, então, percebe-se a 
utilidade da integração por substituição. Após o cálculo, assinale a alternativa que contém a 
resposta correta: 
 
 
 
 
 
 
D. 
 
Aula 3.1 - Integrais Trigonométricas 
 
1. Para resolver integrais envolvendopotências das funções seno e cosseno, é possível utilizar 
algumas estratégias próprias, de acordo com a potência de cada função. Resolva a integral ∫ sen5 
x cos2 xdx aplicando a estratégia adequada. 
A. (-cos3x/3) + (2cos5x/5) - (cos7x/7) + C 
2. Para determinar o volume de um sólido obtido pela rotação da função f(x) em torno do eixo x, 
para a ≤x ≤ b, resolve-se a integral V = ∫ π[f(x)2] ⅆx
b
a
. Determine o volume do sólido obtido 
pela rotação da função f(x) = sen2 cos3/2 x em torno do eixo x, para 0 ≤ x ≤ π ∕ 2. 
D. 2 π/35 
 
3. Uma pessoa percorre um caminho em formato parabólico, segundo a curva y = x2, ilustrada 
abaixo. Determine a distância percorrida pela pessoa do ponto (0, 0) ao ponto (1, 1), sabendo 
que o comprimento do arco dessa parábola nesses pontos é dada por ∫ √1 + 4x2 ⅆx
1
0
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
B. 
2√5+ln(√5+2)
4
 
 
4. Deseja-se construir um reservatório obtido pela rotação da função y - ex, 0 ≤ x ≤ 1 em torno 
do eixo x. Para determinar a quantidade de material necessário para a construção do 
reservatório, é preciso encontrar a área de sua superfície, que é dada por A =
2π∫ ⅇ√1 + ⅇ2x
x
ⅆx
1
0
. Calcule a área da superfície do reservatório e assinale a resposta correta. 
E. {ⅇ√ⅇ2 + 1 + 𝑙𝑛(ⅇ + √ⅇ2 + 1 − √2 − 𝑙𝑛(√2 + 1)) 
 
5. Um campo elétrico E no ponto P (a, b) em uma barra carregada de comprimento L é dado 
por E = ∫
b
4πε0(x
2+b)
3
2
ⅆx
L−a
−a
, onde ε = 0 é uma constante. Determine o campo elétrico no 
ponto (3, 2) de uma barra de comprimento 5. 
B. 
1
8𝜋𝜀0
(
√2
2
+
3
√13
) 
 
Aula 3.2 - Método das frações parciais 
 
1. Para resolver integrais envolvendo divisão entre polinômios, utiliza-se o método da 
decomposição em frações parciais para simplificar o cálculo da integral. Sendo assim, utilize 
tal método para resolver a integral ∫
1
x2(4−x)
ⅆx 
 
 
 
2. Analisando a integral ∫
x2+4x+1
(x−1)(x+1)(x+3)
ⅆx, pode-se concluir que seu cálculo não é de fácil 
resolução. Uma forma de simplificar o cálculo integral de funções desse tipo é realizando a 
decomposição em frações parciais. Resolva a integral utilizando a decomposição mencionada. 
 
 
 
 
B. π (4 - ln 3). 
 
4. Use frações parciais para calcular ∫
𝑥3−1
𝑥2(𝑥−2)3
ⅆ𝑥 
 
 
 
 
 
 
Aula 3.3 - Aplicações da integral - área entre duas curvas 
 
1. Calcule a área entre as retas y = 5 e y = 2, para [a, b]. Também identifique o polígono cuja a 
área foi calculada. 
C. 3( b - a ) (u.a.) 
 
2. Calcule a área entre as curvas y = x2 e y = x, no intervalo [0,2]. 
D. 1 (u.a.) 
 
 
4. Determine a área compreendida entre as curvas y = x/2 e y = √𝑥 sabendo que as intersecções 
são no y = 0 e no y = 2. 
B. 4/3 (u.a.) 
 
5. Calcule, usando a integração em y, a área entre as curvas 2y - x = 1 e y = √𝑥 + 1 
B. 4/3 (u.a.) 
 
Aula 4.1 - Funções de duas ou mais variáveis 
 
1. Calcule o valor da função f(x, y) =
3x−2y
x2−xy
 nos pontos (1, -3) e (5 ,0). 
B. 9/4 e 3/5 
 
2. Descreva o domínio e o gráfico da seguinte função f(x, y) = √16 − 𝑥2 − 𝑦2 
C. D = (x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 16｝e o gráfico é a semiesfera superior de raio 4. 
 
3. Determine o domínio da seguinte função f(x, y, z) = 
√𝟑𝒙−𝟐𝒚+𝒛
𝒙𝟐𝒚−𝒛
 
C. D =｛(x,y,z) ∈ R3 | 3x – 2y + z ≥ 0 e x2y ≠ z｝ 
 
4. A função T(x, y, z) = x2 + y2 + z2 determina a temperatura em cada ponto do espaço. As 
superfícies isotérmicas são dadas pelas equações em uma certa temperatura constante. Sendo 
assim, determine a equação da superfície isotérmica quando a temperatura for igual a 25º. 
A. x2 + y2 + z2 = 25. 
 
5. Determine a taxa de variação média de B até C, considerando o seguinte mapa de contorno: 
 
 
 
 
 
 
E. -0,75. 
 
Aula 4.2 - Integração em várias variáveis 
 
1. Determine a massa, em kg, de uma lâmina que ocupa a região retangular R = [-1, 4] × [2, 
5] e que apresenta densidade σ(x, y) = y2, medida em kg/m2. 
B. 195 kg. 
 
2. Uma lâmina com densidade σ(x, y) = 2/3 x + 4y medida em kg/m3, ocupa a 
região R retangular com vértices (-2, 0), (3, 0), (-2, 5) e (3, 5). O valor da massa, medida em 
kg, e das coordenadas x̅ e y̅, medidas em metros, do centro de massa são, respectivamente: 
A. 258,3 kg; 3,31 m; 0,63 m. 
 
 
 
 
 
4. O sólido mostrado na figura a seguir tem densidade volumétrica ρ(x, y, z) x/8 (y/3 + z/5) 
medida em kg/cm3. Determine sua massa. 
D. 180.000 g. 
 
 
E. 225,32. 
 
Aula 4.3 - Derivadas Parciais 
 
 
 
 
 
 
 
3. Encontre fx, fy e fz onde f (x, y, z) = 1 + xy
2 - 2z2. 
D. fx= y 
2, fy= 2xy e fz= -4z 
 
4. Determine fxy e fyx onde f(x, y)= x + y + xy. 
A. f xy = f yx = 1 
 
 
 
Aula 5.1 - Derivadas Direcionais 
 
1. Considere um ponto sobre a superfície de equação f (x, y) = 2xy - y3 no ponto P(5, 5). Ao 
deslocar esse ponto ao longo da superfície, é possível observar que ele se move em taxas de 
valores diferentes, dependendo da direção do deslocamento. Determine a taxa na qual o ponto 
se desloca na direção do versor �⃗� = (3/5, -4/5). 
C. 58. 
 
2. A derivada direcional indica o quanto a função varia em uma dada direção, ou seja, indica a 
taxa de variação da função. Determine a taxa variação da função f (x, y, z) = xy + yz + zx no 
ponto P(1, -1, 2) e na direção do vetor �⃗� = (3, 6, -2). 
A. 3. 
 
3. Dado um ponto no espaço definido por uma função, existem infinitas direções nas quais é 
possível deslocar e determinar a taxa cuja função varia naquela direção. Mas existe, em um 
dado ponto, uma única direção na qual a função cresce mais rapidamente. Encontre a direção 
na qual a função f(x, y) = x2+ xy + y2 aumenta mais rapidamente no ponto (-1, 1). Encontre a 
derivada direcional de f nessa direção. 
 
 
5. Suponha que a temperatura varie em certa região de acordo com a 
função T(x, y) = x3- y3+ xy. Determine a direção na qual a temperatura aumenta mais 
rapidamente no ponto (2,1). 
 
 
Aula 5.2 - Integrais de Linha 
 
1. Encontre a massa total do arame no formato de parábola y = x2, ao longo de1 ≤ x ≤ 4, que 
tem densidade de massa δ = y/x. 
C. 42,74 
 
 
D. -108 
 
 
 
B. 8√3 
 
 
 
5. Calcule o trabalho realizado por uma partícula no campo vetorial F(x, y) = (x2 - 2xy)i + (y2 - 
2xy)j, ao percorrer o trajeto C, definido pela parábola y = x2, do ponto (-1, 1) ao ponto (1, 1), 
no sentido do crescimento das ordenadas. 
D. -14/15 
 
Aula 5.3 - Integrais de superfície de campos vetoriais 
 
 
 
C. 
13
√93
 
 
B. 24 
 
 
E. -4 
 
 
D. 2pi 
 
Aula 6.1 - Teorema de Green 
 
1. Use o teorema de Green para calcular ∫C x
2y dx + x dy, ao longo do caminho triangular 
apresentado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
C. 0,5 
 
2. Utilizando o teorema de Green, resolva a integral ∮C xy dx + x2y3 dy, na qual C é o triângulo 
da figura a seguir, com orientação positiva. 
 
 
 
 
 
C. 0,6666... 
 
3. Use o teorema de Green para resolver a integral ∮C y3 dx − x3 dy, onde C é o círculo de raio 
2 centrado na origem e orientado positivamente. 
E. -24π. 
 
4. Utilize o teorema de Green e solucione a integral ∫C x
2y dx + x2 dy, na qual C é representado 
na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
E. -78,7703. 
 
5. Utilize o teorema de Green e solucione a integral ∫C (6y - 9x)dy - (xy - x
3)dx, na qual C é 
representado na figura a seguir: 
 
 
 
 
 
 
A. -72,6666... 
 
Aula 6.2 - Teorema de Stokes 
 
1. O cálculo do rotacional é um dos componentes do teorema de Stokes, sendo assim, você deve 
treinar o uso da ferramenta. Calcule o rotacional de F = (xy, ex, y + z). 
D. i + (ex - x)k 
 
2. O teorema de Stokes é uma forma muito utilizada para o cálculo de integral. Com base em 
seus conhecimentos, use o teorema de Stokes para calcular a integral referente ao campo 
vetorial F(x, y z) = 2zi + 3xj + 5yk, considerando que C seja a porção do paraboloide z = 4 - x2 
- y2, apresentado na figura, com z ≥ 0, com orientação para cima e que C seja o círculo, x2 + y2 
= 4, com orientaçãopositiva, que forma a fronteira de σ no plano xy. 
 
 
 
 
A. 12π. 
 
3. Utilize o teorema de Stokes para resolver ∫
𝑐
 onde F = z2i + y2j = xk onde C é o triângulo 
com vértice (1, 0, 0), (0,1,0) e (0, 0, 1) orientado no sentido anti-horário, apresentado na figura. 
 
 
 
 
 
 
A. - 1/6 
 
4. Use o teorema de Stokes para resolver ∬
𝑆
(rotF) . dS, onde F = yi - xj + yx3k, e S é a porção 
da esfera de raio 4 com z ≥ 0, orientada para cima. 
B. - 32π. 
 
5. Utilize o teorema de Stokes para resolver ∬
𝑆
(rotF) . dS, onde F = (z2 - 1)i + (z + xy3)j + 
6k, e S é o pedaço de x = 6 - 4y2 - 4z2, com x = -2, orientada na direção negativa do eixo x. 
B. 2π. 
 
Aula 6.3 - Integrais Triplas 
 
1. As integrais triplas podem ser resolvidas usando integrais iteradas. Encontre a integral tripla 
∭x y dV em B, em que B é uma caixa retangular dada por B = {(x, y, z) | -2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 
1, 0 ≤ z ≤ 2}, e assinale a alternativa correta. 
B. -3/2. 
 
2. As integrais triplas têm propriedades como, por exemplo, sobre a integral da soma. Encontre 
a integral tripla ∭(x z + y2) dV em B, em que B é uma caixa retangular dada por B = {(x, y, 
z) | -1 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, 0 ≤ z ≤ 1}, e assinale a alternativa correta. 
C. 117/4. 
 
3. As regiões no espaço, onde será efetuada a integral tripla, podem ser do tipo I, II ou III. Dada 
a região Q mostrada na figura a seguir, encontre a integral tripla ∭sen (y2) dV em Q, e assinale 
a alternativa correta. 
 
 
 
 
 
E. 1. 
4. Além das regiões sólidas terem tipos diferentes, as projeções do sólido em algum plano 
também podem ser do tipo I ou do tipo II. Encontre a integral ∭(x + y + z) dV em Q, cuja 
região Q é definida por 0 ≤ z ≤ 1, x ≤ y ≤ x2 e 0 ≤ x ≤ 1, e assinale a alternativa correta. 
A. -7/30. 
 
5. Dentre as aplicações de integrais triplas, uma delas é o cálculo de volumes. Diante disso, 
analise a figura a seguir e encontre seu volume usando integrais triplas. Assinale a alternativa 
correta: 
 
 
 
 
 
B. 1/2.