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LÓGICA 
MATEMÁTICA
ser
educacional 
gente criando o futuro
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Passos, Altair O. Pereira.
Lógica matemática / AltairO. Peneira Passos; Ubiratan Roberte Cardoso Passos:
Cengage - 2020.
Bibliografia.
ISBN 9786555581058
1. Matemática 2. Lógica
Grupo Ser Educacional
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PALAVRADOGRUPOSEREDUCACIONAL
"É através da educação que a igualdade de oportunidades surge, e, com 
isso, há um maior desenvolvimento econômico e social para a nação. Há alguns 
anos, o Brasil vive um período de mudanças, e, assim, a educação também 
passa por tais transformações. A demanda por mão de obra qualificada, o 
aumento da competitividade e a produtividade fizeram com que o Ensino 
Superior ganhasse força e fosse tratado como prioridade para o Brasil.
O Programa Nacional de Acesso ao Ensino Técnico e Emprego - Pronatec, 
tem como objetivo atender a essa demanda e ajudar o País a qualificar 
seus cidadãos em suas formações, contribuindo para o desenvolvimento 
da economia, da crescente globalização, além de garantir o exercício da 
democracia com a ampliação da escolaridade.
Dessa forma, as instituições do Grupo Ser Educacional buscam ampliar 
as competências básicas da educação de seus estudantes, além de oferecer- 
lhes uma sólida formação técnica, sempre pensando nas ações dos alunos no 
contexto da sociedade."
Janguié Diniz
Autoria
Altair Oliveira Pereira Passos
Graduada em Engenharia Elétrica com Ênfase em Eletrônica pela Estado UniRadial e Graduado em 
Matemática Licenciatura pela FMU. Pós-graduada em Engenharia Clínica pelo Instituto Israel de 
Ensino e Pesquisa - Hospital Albert Einstein e em MBA em Gestão Estratégica de Negócios pela FMU. 
Professor de Matemática.
Ubiratan Roberte Cardoso Passos
Graduada em Sistemas de Informação e Mestre em Pesquisa Operacional e Inteligência Computacional 
pela Universidade Cândido Mendes. Professar da Universidade Federal do Espírito Santo - Campus 
Alegre (ES). Desenvolvedor Desktop, Mobile e Web com mais de 20 anos de experiência.
SUMÁRIO
Prefácio
UNIDADE I - Concertos de lógica.... 9
iniroduçao 10
1 introdução â Lógica.. 11
2 hoçao de argumentos
3 Premissas
J Formas
5 Validade
PARA RESUMIR
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
UNIDADE 2 - Conceitos do cákula pfoposiàonai......
introdução,........ ................................... ...... ..............
1 Lógica proposiciona!.................. ..........
3 Tratamento intuitiva . ......_..... -......__
A Operações lógicas e tabelas da verdade
17
2J
......25
..25
.27
23
....................................................29
.................................................... 30
PARA RESUMIR.......................................................................................................................................53
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA S.............................................................................................................54
UNIDADE 3 - Sistemas /bmiais e cákulos pf&posicionais 55
miroduçao................. ......... .................................... 56
1 Modelos e Decidibilidade 57
2 Completude e consistência
3 Linguagens formais.. _ _ _........ ...... .. ......_ ....
d Lógica preposicional - revisando. . . . ... 
5 Semântica da lógica preposicional.... ....................................
6 Exemplos de proposiçoes simples e compostas - resoluções .
sq
62
6d
PARA RESUMIR.......................................................................................................................................81
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICA S.............................................................................................................82
unidade 4 - Proposição e snogtsma.................................................................................................................... 83
introdução.______ . ...... ............ ....................
1 Proposições e silogismos categóricos___ ___ ______
2 Silogismos categóricos._______ _ ___ _______ ___
3 Lógica de primeira ordem............ .. ...... .. ...... .. .......... ..
4 introdução, teorias e modelos de primeira ordem..
5 Lógica aplicada em sistema de informação.,
102PARA RESUMIR. ..
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.. ...103
PREFÁCIO
O livro Lógica matemática traí ao leitor, além de informações básicas da área, o 
conteúdo descrito a seguir em suas quatro unidades.
Entre os assuntos, a primeira unidade. Conceitos de lógica, dá um panorama sobre 
o surgimento e o desenvolvimento do conceito de lógica. Ainda, o texto explica os 
argumentos, premissas, conclusão, formas e validade da matéria.
A segunda unidade, Conceitos do cálculo proposicional, traz o surgimento e 
desenvolvimento da lógica proposicional e o seu cálculo. Ainda são abordados assuntos 
relacionados a noção de tratamento intuitivo, sintaxe, semântica, proposições e 
conectivos.
A terceira unidade. Sistemas formais e cálculos proposicionais, explica os principais 
conceitos relacionados à definição de sistemas formais e o alfabeto formal da lógica 
proposicional. A unidade ainda explica como realizar os cálculos proposicionais, o 
teorema da completude, consistência, modelos e decidibilidade, além de efetividade 
e independência.
Concluindo a obra, a quarta e última unidade. Proposição e silogismo, traz os 
principais quantifica dores lógicos utilizados nas proposições e explica como são feitas 
as devidas negações.
Esta é apenas uma pequena amostra do que o leitor aprenderá após a leitura do 
livro. A ele, sorte em seus estudos!
1
UNIDADE 1
Conceitos de lógica
Introdução
Olá,
Você está na unidade Conceitos de Lógica. Conheça aqui um breve relato histórico do 
seu surgimento e desenvolvimento até o século atual. Nesta unidade, vamos entender os 
argumentos, premissas, conclusão, formas e validade.
O assunto aqui abordado é muito importante no dia a dia de todos nós, pois passamos 
por diversas situações de testes no convívio social. A certeza da forma que pensamos é 
colocada a prova a todo instante e a lógica acaba sendo uma ferramenta, arma, de defesa 
ou ataque em determinados momentos, podendo evitar que seja enganado, iludido em 
diversas circunstâncias, pois um argumento bem fundamentado derruba qualquer outro 
que o contradiz.
Bons estudos!
11
1 INTRODUÇÃO À LÓGICA
Lógica é uma palavra originária do grego, lógica=logos, e significa linguagem racional. Lógica 
é um modo de raciocínio coerente que expressa uma relação de causa e consequência. De forma 
abrangente, é a maneira coerente por meio da qual os fatos ou situações se encadeiam. A palavra 
lógica também quer dizer coerência, raciocínio.
1.1 Questões históricas
Dentro da história, a lógica foi fundamentada na Grécia Antiga, onde se estabeleceu através de 
estudos de grandes filósofos, entre eles Aristóteles, que viveu entre os anos de 384 (em Estagira) 
a 322 (em Atenas), antes da E.C. (Era Comum). Foi considerado o criador da lógica, filósofo grego, 
aluno de Platão, estudioso e desenvolvedor da física, metafísica e da música. Aristóteles utilizou a 
lógica como um instrumento de introdução da ciência e do conhecimento no estudodo raciocínio, 
e tratou dentro da lógica sobre os conceitos básicos, tendo como principal obra Organon, em que 
desenvolveu conceitos voltados ao tratamento da Lógica Formal, como sendo o fundamento do 
conhecimento intelectual, como mostra a figura "Aristóteles"
Figura 1 - Aristóteles
Fonte: thelefty, Shutterstock, 2020.
SPraCegoVer: a imagem retrata a estátua de Aristóteles na Grécia.
A construção, evolução da lógica tem como indicação três períodos: o Período Grego (do 
século IV antes da E.C. até o começo do século XIX, já na E.C.); o Período Booleano (no início do 
século XIX até começo do século XX, primeira década), em que temos o início da Lógica Moderna 
e; o último, o Período Contemporâneo no início do século XX.
Segundo Bispo, Castanheira, Souza Filho (2011), matemáticos como Pierre Abailard (1079- 
1142), filósofo escolástico, teólogo e grande lógico francês; Willian of Ockham (Guilherme 
de Ockham - 1285-1347), frade franciscano, filósofo, lógico e teólogo escolástico inglês, 
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desenvolveram a lógica na idade média, passando por Port-Royal (1662) e chegando em G. W. 
Leibniz (1647-1716), distinto polimata e filósofo alemão, grande influenciador e desenvolvedor 
da matemática, que na época já apresentava suas simbologías nos estudos algébricos, próximo 
do que utilizamos atualmente.
Então, a partir do segundo período, a lógica passou a ter um sentido matemático, voltado 
para a álgebra, com formulações e leis, através dos estudos de George Boole (1815-1864), 
matemático, filósofo britânico, Augustusde Morgan (1806-1871), matemático e lógico britânico, 
formulista das Leis de Morgan, deu início a ideia da indução matemática.
Dos estudos de Boole, temos a conhecida Álgebra de Boole ou Álgebra Booleana, estruturas 
algébricas que se associam de forma prática aos operadores lógicos e de conjuntos, muito bem 
empregadas na estruturação de circuitos lógicos de computadores e seu processamento. Antes 
de fechar esse período, temos o matemático e filósofo alemão, Friedrich L G. Frege (1848-1925), 
que desenvolveu o método linguístico, chamado hoje de cálculo proposicional, sendo considerado 
um dos principais criadores da lógica moderna.
Dando continuidade especifica mente ao estudo da lógica, entramos no último período, 
inído do século XX, período contemporâneo, com os trabalhos publicados a partir de 1910 do 
filósofo, lógico, matemático britânico e fundador da escola filosófica, Alfred North Whitehead 
(1861-1947), o Principia Mathematica, escrito em conjunto com seu aluno, colaborador e amigo, 
Bertrand Arthur William Russell (1872-1970), a obra possui três volumes.
Na sequência, a lógica ganha uma visão de estrutura linguística, com rigor e formalidade, 
passando a ter signos, com regras e leis com uma semântica própria, trabalhadas por Jan Lukasiewicz 
(1878-1956), matemático e filósofo polonês; LEJ. Brouwer (1881-1966), matemático holandês; 
Clarence Irving Lewis (1883-1964), comumente citado como C. I. Lewis, filósofo norte-americano; 
F.P. Ramsey (1903-1930) matemático britânico; Jacques Herbrand (1908-1931), matemático francês, 
entre outros da época que contribuíram na transformação da lógica em uma nova ciénda.
A lógica começa a ter uma forte conexão com a matemática após a década de 30, século XX, 
passando a contribuir em diversas áreas, como na Administração, Engenharia, Economia, Física 
e Informática, nas quais as contribuições partiram de matemáticos modernos, sendo eles: Kurt 
Gõdel (1906-1978), com o Teorema de Incompletude, foi cientista da computação, filósofo e 
lógico, nasceu na Áustria-Hungria e naturalizou-se norte-americano; Alan Mathison Turing (1912- 
1954), foi lógico, cientista da computação e criptoanalista britânico, trabalhou a Teoria Geral dos 
Processos Computáveis; Aionzo Church (1903-1995), matemático estadunidense; John Barkley 
Rosser (1907-1989), matemático, filósofo, professor universitário, cientista da computação; 
Stephen Cole Kleene (1909-1994), matemático estadunidense, sendo estes últimos, todos 
participantes do modelamento da Teoria da Recursão.
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Depois desenvolveu-se a Teoria dos Modelos, pelos matemáticos Alfred Tarski (1902-1989), 
um lógico, matemático e filósofo polonês, que se naturalizou norte americano; e Abra ha m 
Robinson (1918-1974), matemático, nasceu na Alemanha e naturalizou-se norte-americano.
Fechando a sequência, temos Newton C.A. da Costa, nascido em 1929, curitibano, 
matemático, filósofo e lógico, pensador brasileiro reconhecido intem aciona Imente, que formata 
a Lógica Para consistente entre outras contribuições no desenvolví mento da Lógica.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
1.2 As outras lógicas
Após vermos o desenvolvimento da lógica no decorrer do tempo, vamos iniciar com alguns 
conceitos em relação ao assunto. A lógica, como visto do primeiro período ao terceiro, é dividida 
em Clássica e Nâo Clássica, trilhando o caminho filosófico até vir ao encontro com a matemática 
de hoje, como mostra o quadro '“Clássica x Nâo Clássica". Estudiosos matemáticos tratam como 
ferramentas de solução para vários processos, desde questões administrativas, como fluxos de 
tarefas, até o avanço tecnológico no aperfeiçoamento de equipamentos de informática, como os 
estudos dentro dos processos de Al (Inteligência Artificial). Rodemos citar a Indústria 4.0 ou assim 
dizendo, "Fábricas Inteligentes", estrutura que engloba tecnologias de automação avançada e 
troca de dados como o BIG DATA, bem como utilização de conceitos dos sistemas ciber-físicos, a 
computação na nuvem e mesmo a Internet das Coisas. Tais sistemas/ferramentas são de grande 
valor nesse processo, em que há um imenso volume de dados armazenados para passarem por 
análise e interpretação, sendo processadas por algoritmos específicos até possibilitar a tomada 
de decisão.
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CLÁSSICA
Cálculo de predicados de primeira ordem
Teoria de conjuntos
Teoria do tipos
Teoria de categorias como Fundamento da Matemática
NÃO CLÁSSICA
Clássicas complementares 
Epistêmica clássico 
Lógica de crença 
Lógica do conhecimento 
Modal clássica
Clássica de ação 
Intencionais clássicas 
Indutivas clássicas
Heterodoxas 
Paracompletas 
Paraconsistentes 
Não aleatórias 
Quãntícas 
Relevantes
Modais paraconsistontos 
Epistémicas paracompletas 
Indutivas paraconsistentes
Figura 2 - Clássica x Não Clássica 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
SPraCegoVér: o quadro traz as diversas lógicas e suas respectivas dasses.
Ainda em relação aos conceitos de estudos da lógica, podemos também dividir em lógica 
formal e material.
Lógica formal
Ou lógica simbólica, também chamada de lógica menor, trabalha os conceitos de forma 
rigorosa e asdeclaraçÕes são transformadas em componentes simbólicos utilizados na composição 
das provas de validação.
Lógica material
Ou lógica maior, estuda e determina leis próprias e regras especiais relacionadas à natureza 
dos objetos em análise. Trata dos métodos das matemáticas, físicas e químicas destes objetos ou 
suas ciências naturais e das ciências morais.
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Um dos tópicos fundamentais dentro da lógica é a argumentação, uma vez que parte de 
argumentos a análise lógica, em relação a uma ou mais proposições. Então argumento é um 
conjunto de várias proposições, em que uma depende da outra ou das demais deste conjunto em 
análise e é tida como consequência.
Aqui temos que uma proposição consequência é chamada de conclusão, que no casofbi analisada 
e finalizada como válida em relação às demais proposições, a estas damos o nome de premissas.
Premissas são como regras, princípios, valores que se utiliza para provar ou evidenciar a 
validade de um argumento no fechamento da conclusão. Além das premissas, há a forma lógica, 
que é a representação das sentenças com o uso de uma gramática formal, ou como já visto, o 
emprego da lógica simbólica na demonstração de semelhanças entre argumentos de mesmo tipo.
Então, de modo geral, argumentos lógicos possuem uma determinadaforma (estrutura). 
Esta estrutura pode ser criada com a substituição de diferentes palavras ou sentenças, que por 
consequência levam à substituição por lógicas variáveis (letras maiusculas) num estudo algébrico 
desta lógica. Um exemplo de argumento em sentença única:
"Todos os homens são mentirosos. Paulo é um homem. Logo, Paulo ê mentiroso".
Se reescrevermos a sentença em linhas, desmembrando o argumento, linha a linha, em 
que premissas ou proposições são designadas por letras minúsculas conhecidas por letras 
proposicionais, podendo ser:
p: Todo homem é mentiroso, (linha 01)
q: Paulo é um homem, (linha 02)
r: Logo, Paulo é mentiroso, (linha 03)
Na sequência, de acordo com a definição, os termos semelhantes são substituídos por letras, 
assim, podemos mostrar a importância desta notação de forma para o argumento e facilitando o 
estudo da lógica, observemos:
p: Todo H é M. (linha 04)
q: P ê H. (linha 05)
r: Logo, Pé M. (linha 06)
1.3 A lógica e suas aplicações
A lógica tem aplicações em diversos seguimentos, Administração de Empresas, Informática, 
16
Engenharias, enfim, em diversas áreas. Um bom exemplo é dentro da área de Administração 
de Empresas, em uma divisão cujo nome se assemelha muito ao que estamos estudando por 
fundamento. Seria a logística, que vem a ser uma especialidade da administração. Dedicada a 
trabalhar e prover recursos, informações, tarefas para uma gestão otimizada de um setor ou 
da empresa como um todo, como no caso dos setores de compra, recebimento, estocagem, 
produção, expedição/distribuição com transporte, tudo com o monitoramento das operações e 
gerenciamento das informações.
Como pode ser observado, a lógica está misturada a diversos sistemas, utilizamos para 
planejamento de tarefas das mais simples, como atravessar uma rua, em que a pessoa deve 
analisar, fluxo, tempo, distância e trajeto para que saia de um lado a outro de uma avenida sem 
se acidentar. O mais incrível é que tudo é processado em segundos, até as mais complexas, como 
uma viagem, por exemplo, o planejamento demanda um tempo maior, pois envolve diversos 
recursos e preparos, como a escolha do hotel, melhor trajeto, passeios, restaurantes, definir os 
trajes, uma vez que o lugar pode ser uma região de muito calor ou frio, entre outros aspectos.
Mas como dito, uma palavra-chave, que é processada... O que é processado ou melhor 
dizendo, processamento? Processamento é a realização de determinada(s) tarefa(s), conjunto de 
instruções ou comandos de um computador.
Então podemos também apresentar um grande usoda lógica, que é empregada na informática 
e computação. Sua aplicação vai desde a construção de circuitos elétricos/eletrônicos, que 
constituem o hardware até a formatação de tarefas, instruções e comandos que serão utilizados 
em conjuntos com estes dispositivos eletrônicos, que nada mais é do que o software com sua 
linguagem de programação, linguagem lógica.
Ainda explorando mais dentro da informática e resgatando fatos históricos, é valido apresentar 
aqui a evolução da informática associada ao desenvolvimento da lógica, com os estudos de George 
Boole e outros matemáticos e lógicos, que deram grandes contribuições neste desenvolvimento.
Foi partindo das álgebras booleanas que os dispositivos elétricos e eletrônicos, chamados 
de portas lógicas, foram desenvolvidos e, com a evolução da microeletrônica, esses dispositivos 
simples foram passando por aperfeiçoamentos e compactação favorecendo hoje a tecnologia. O 
homem partiu de uma tela imensa para uma tela que cabe na palma da mão, ou seja, de uma 
antiga televisão onde seus componentes básicos eram válvulas (do tamanho de uma maçã) em 
uma tela de tubo, muito utilizada entre os anos 30 e 60, passando pelos transistores (do tamanho 
de uma mosca), usado em grande escala a partir dos anos 50, até chegar em microprocessadores 
a partir de 75, seu tamanho também evoluiu, os microprocessadores SMD que compõem um 
celular por exemplo, tem o tamanho de uma cabeça de um palito de fosforo, como mostra a 
figura ""Microprocessadores"
17
Figura 3 - Microprocessadores
Fonte: Thomas Marchhart, Shutterstock, 2020.
«PraCegoVer: a imagem mostra um microchip em um microprocessador sendo comparado 
com o tamanho de uma cabeça de fósforo.
Vále reforçar que a necessidade de tomadas de decisões com a aplicação da lógica e o seu 
desenvolvimento possibilitou hoje a aplicação e viabilidade dessa evolução tecnológica. Hoje 
carregamos um computador debaixodos braços, quando não na palma da mão. Nunca se imaginou 
que a lógica, a matemática, poderiam estar intrínseca mente ligadas à tamanha evolução. Sim, 
toda essa evolução esta pelo desenvolvimento da lógica, da matemática que inicialmente vimos, 
começou 300 ou 400 anos antes da E.A. (Era Comum), quando não antes disso.
2 NOÇÃO DE ARGUMENTOS
De modo geral, argumento é uma declaração acompanhada de justificativa ou seguido da 
composição de duas afirmações opostas, ou seja, argumento e contra-argumento. Então temos 
que argumento é um conjunto de proposições declarativas, ou mesmo premissas seguidas de 
uma ou mais sentenças declarativas, conhecidas como condusão. Dentro deste estudo, podemos 
ter o argumento dedutivo ou indutivo.
2.1 Argumento dedutivo
É um argumento em que as conclusões estão conectadas às premissas, ou seja, se as premissas 
forem verdadeiras, a conclusão também será.
Deduzir significa chegar a conclusão utilizando somente o radocínio; fazer inferências; inferir. 
Tirar uma consequência, fundamentando-se em certos princípios, premissas, fatos: de tudo o que 
você disse, deduz-se que a culpa não é sua.
Veja, deduzir é o mesmo que inferir, que é deduzir, por meio de um raciocínio. O uso mais 
comum da palavra DEDUZIR significa a ação de tirar uma conclusão, e na lógica significa dar a 
18
conclusão sobre um fato que é necessariamente verdadeiro caso as premissas sejam verdadeiras. 
Vejamos um exemplo de argumento dedutivo:
p: Todo homem é mortal.
q: Sócrates é homem.
r: Sócrates é mortal.
A leitura deste exemplo dássico é observar que Sócrates é mortal, então os argumentos são 
verdadeiramente conclusivos e negar os fatos é uma contradição à validade argumenta ti va.
Assim entende-se que argumentos dedutivos trazem as premissas implícitas na conclusão, 
deixando evidente que a conclusão traz de forma explícita as informações presentes nas 
premissas. Retomando o exemplo anterior, em que a condusão de que "Sócrates é mortal" 
já estava evidente, presente, nas premissas do argumento em questão, como mostra a figura 
"Argumento dedutivo"
RGUMENTO D€DUT«VO
Figura 4 - Argumento dedutivo 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
«PraCegoVer: a imagem mostra um boneco realizando radocínio dedutivo.
Aqui vamos fixar o estudo em três formas argumentativas dedutivas importantes, que são: 
argumentos vinculados à matemática, em definições e silogismos. O raciocínio se pauta na 
dedução, composto basicamente por duas premissas ou proposições (maior e menor), a partir 
19
das quais se alcança uma condusão. Por exemplo: “todos os homens são mortais. Antônio é 
homem. Logo, Antônio é mortal "
2.2 Argumentos vinculados à matemática
Operam com cálculos geométricos ou aritméticos, ciente que matemática é um conhecimento 
exato e que faz uso frequente de argumentos dedutivos em suas demonstrações, realiza-se 
deduções com grande frequência em muitos dos problemas matemáticos estudados.
Vejamos um exemplo simples: se em uma sala de aula existem 20 alunos em um dado dia 
e passado uma semana entram mais 6 alunos, concluímos que a turma passou a ter 26 alunos. 
Desta forma é básico entender que foi feito um raciocínio dedutivo. Esta conclusão é exatamente 
verdadeira, uma vez que é feita uma operação de soma de 20 com mais 6 alunos.
Como já vimos, temos vários seguimentos na lógica matemática, que sâo aplicados em 
diversas áreas de estudos e, antecipando um assunto que será visto mais adiante, em Cálculo 
Preposicional,que são os conectivos binários.
/\ : = conectivo de Conjunção (... e ...)
\/ - conectivo de Disjunção (... ou .
—t = conectivo Condiciona! (se,... então ...) 
conectivo Bicondicional ( . . . se, e somente se,...)
Estes são utilizados para representar as conjunções aplicadas na lógica durante as análises. 
Vejamos o de condição, por exemplo, chamado de conectivo condicional:
Se (argumento 1), então (argumento 2).
argumento 1 - é a proposição antecedente
argumento 2 - é a proposição consequente
o símbolo de ligação entre as duas argumentações é:
Exemplo
Se Christiane é poliglota, então fala várias línguas.
P->L
P = Christiane é poliglota.
20
L = (Ela) fala várias línguas.
Os demais serão vistos em outra unidade, mas não podería deixar de apresentar um 
específico, o de NEGAÇÃO. Esse não estabelece conexão entre dois argumentos como visto no 
anterior, somente nega uma afirmação anterior, a da proposição informada.
Se a proposição for verdadeira (V), o conectivo de negação passa a ser falso (F) e o contrário 
se dá, se a proposição for falsa (F), o conectivo de negação passa a ser verdadeiro (V).
o símbolo de ligação entre o argumento e a negação é: -n
Exemplo
~i JF = João não gosta de jogar futebol.
JF = João gosta de jogar futebol.
—i JB = Roberto não gosta de jogar basquetebol.
JB = Roberto gosta de jogar basquetebol.
2.3 Argumentos relativos a definições
Partem do significado de palavras ou frases bem definidas nas premissas e que intrinsicamente 
acarretam na conclusão. Um exemplo clássico é que muitos filósofos buscam ou produzem 
provas da existência de Deus, partindo da análise pura do significado dessa palavra para oferecer 
argumentos dedutíveis desta existência.
Resumindo esta argumentação, se Deus representa, entre outras coisas, "ser perfeito", então 
para que algo seja perfeito, necessariamente deve existir, o oposto seria imperfeito. Logo é 
dedutivel que Deus exista.
Observe então que o argumento é dedutivel de definição, ou seja, depende simplesmente do 
significado da palavra "Deus" e "perfeito" Se estamos de acordo com as atribuições dadas para 
as palavras nas premissas, em que "Deus é um ser perfeito" e "algo perfeito deve existir", demos 
aceitar a conclusão de que "Deus existe."
2.4 Argumentos relativos a silogismos
Argumentos relativos a silogismos são os dedutíveis por duas premissas e uma conclusão, 
exemplo:
p: Se tem sol, então faz calor.
21
q: Se faz calor, então tenho mais cede
r: Se tem sol, tenho mais cede.
2.5 Argumentos indutivos
Estão relacionados com fatos particulares, experiências, que são direcionados ás conclusões 
gerais. Ao dizer que todos os seres que nascem irão morrer, pois até hoje ninguém deixou de 
morrer, o argumento aplicado é o indutivo.
O primeiro passo para compreender o que é um raciocínio indutivo é não o associar à 
"indução", "induzir". Um dos significados de induzir é ser causa ou motivo de; inspirar, provocar. 
Nesse sentido, podemos dizer: a pessoa x foi induzida a cometer um ato de violência. Porém, 
quando falamos de argumento indutivo, o significado de "indutivo" não tem nada a ver com 
"influenciar, inspirar, provocar" Portanto, para compreender o que é um raciocínio indutivo é 
importante deixar de lado esse significado mais comum da palavra "indução"
Chalmers (1993, p.22) define um argumento indutivo: "se um grande número de As foi 
observado sob ampla variedade de condições, e se todos esses As observados possuíam sem 
exceção a propriedade B, então todos os As têm a propriedade B”
De acordo com a frase acima, notamos um tipo de raciocínio chamado de generalização indutiva, 
pelo fato de "generalizarmos”, ou seja, transformar premissas particulares em conclusões gerais.
Outro exemplo, considere que um grupo de pesquisadores esteja desenvolvendo um 
remédio para a cura do câncer. Após passar por testes em animais e se mostrar eficaz, passam 
para uma segunda, que é fazer pesquisa com testes em pacientes voluntários, que após certa 
triagem, iniciam um tratamento teste com seus aceites. Sendo que apenas sete voluntários são 
selecionados, com o início dos testes os cientistas analisam que:
P
O remédio R cura o câncer do paciente A.
<T
O remédio R cura o câncer do paciente B.
r:
O remédio R cura o câncer do paciente C.
22
£
O remédio R cura o câncer do paciente D.
t:
O remédio R cura o câncer do paciente E.
u:
O remédio R cura o câncer do paciente F.
v.
O remédio R cura o câncer do paciente G.
x: (conclusão):
O remédio R cura o câncer.
Observe que as premissas são particulares, elas informam somente que o paciente foi curado. 
Porém a conclusão é geral, pois apresenta que "o remédio R cura o câncer", pois se emprega a 
qualquer eventual paciente. Assim o sentido é de que "todo paciente com câncer que tomar 
o remédio R será curado" Então de modo geral, o argumento indutivo tem a característica de 
mostrar que partimos de premissas particulares e chegamos às conclusões gerais.
Argumentos indutivos forte e fraco
O argumento indutivo pode ser mais ou menos forte, ou menos ou mais fraco. Esta força 
depende do nível de apoio que as premissas propõem para a conclusão. No exemplo anterior, 
podemos considerar se tratar de uma proposta fraca para a generalização argumenta ti va aplicada. 
Pois é, de certa forma, precipitado deduzir que "o remédio R cura o câncer", baseado em apenas 7 
casos analisados. O coerente é aprofundar as pesquisas, realizar um número maior de testes com 
mais pacientes e uma variedade de cânceres para avaliar.
Imaginemos que o remédio R do exemplo passe por um número considerável de testes, em 
cerca de quinze mil pacientes e em diversas localidades do mundo e diferentes tipos de cânceres. 
Após os testes observa-se que praticamente todos os casos de cânceres foram curados. Temos, 
então, pelo volume de curas apontadas com o remédio em análise, a conclusão de que "o remédio 
R cura o câncer" e, portanto, o argumento indutivo é bem forte. Logo, sendo as premissas 
verdadeiras, é impossível que a conclusão seja falsa.
23
Argumento indutivo com conclusão falsa
Sua utilização nãogarante uma verdade absoluta de uma conclusão, mesmo sendo importante 
e bem utilizado, tendo argumentos fortes e com suas premissas verdadeiras, poderá apresentar 
uma conclusão falsa.
De forma simples podemos exemplificar com a história do “peru de Bertrand Russell", o peru 
indutivista.
O fato é que um peru observava que era alimentado com ração pelo mesmo homem, todos 
os dias e no mesmo horário. Sem tirar conclusões precipitadas, começou a observar se tinha 
regularidade no evento em questão, em que, com o passar do tempo, dia após dia, sob sol e 
chuva, calor ou frio, mesmo aos finais se semana e até nos feriados, não faltava com a ração e 
sempre no mesmo horário. Então pensou o peru: "agora posso realmente afirmar que amanhã, 
mesmo que venha tempestade, sob qualquer circunstância, aquele homem trará no mesmo 
horário, ração para mim"
Mas para a infelicidade do peru, o dia seguinte era 25 de dezembro, ou seja, aquele peru virou 
o prato principal na ceia da família, foi direto para a assadeira.
Embora as observações feitas pelo peru fossem verdadeiras, sua conclusão, pelo fato de ser 
um argumento indutivo, trouxe-lhe um resultado falso ao que esperava para o dia seguinte: ele 
passou a servir de alimento e não a ser alimentado.
Assim podemos observar que o argumento indutivo não garante conclusões verdadeiras, 
independentemente de serem apresentadas premissas verdadeiras, o fim trágico do peru é a 
evidência do que foi comentado.
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24
3 PREMISSAS
Agora vamos fundamentar o significado e a importância de premissas. São orações, sentenças, 
expressões, que declaram um determinado argumento, tornando-o uma regra, uma definição 
dentro do contexto lógico em análise, que desencadeiam uma conclusão.
Um argumento pode estar conectado a uma ou várias premissas e estas podem definirse o 
argumento é falso ou verdadeiro.
3.1 Premissa maior e menor
Premissa é uma proposição encontrada em um silogismo, raciocínio, modelado com 
deduções, permitindo chegarem uma certa conclusão pelo processo de deduções. Tecnicamente, 
a premissa maior está, em geral, no início do raciocínio e associada a ela há um termo maior, 
objeto da análise. Já a premissa menor, em geral, está no meio do raciocínio e associado a 
ela também há um termo, no caso o termo menor. Utilizando de um exemplo já apresentado, 
podemos esquematizar como mostra o quadro "Premissa maior e menor”
SILOGISMO
Todo homem é mortal
1
Premissa maior
♦
Termo médio
Sócrates
1
é
l
Termo maior 
homem. Premissa menor
1
Termo menor
Portanto Sócrates
|
é
♦
Termo médio
mortal Conclusão
l
Termo menor
A
Termo maior
Quadro 1 - Premissa maior e menor 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
#PraCegoVer: a imagem traz um quadro explicativo da estruturação de premissas maior e 
menor com a conclusão.
Como podemos observar: "mortal" é o termo maior, "homem" é o termo médio e "Sócrates" 
é o termo menor.
3.2 Conclusão
O termo conclusão aqui empregado é exatamente o resultado da análise de um ou uma série 
de argumentos que são validados por uma ou várias premissas.
25
4 FORMAS
Forma ê a representação através de uma gramática formal das sentenças, argumentos, ou sistemas 
de símbolos ou mesmo tipos de expressões com o uso de símbolos para apresentar fatos ou idéias.
Argumentos lógicos de forma geral, possuem estruturas (formas) criadas pela substituição de 
palavras ou sentenças, diferentes, que geram variáveis lógicas (letras) na substituição destes argumentos.
Em cada um dos exemplos apresentados anteriormente existem as formas lógicas tratadas no 
desenvolvimento da análise até a finalização com a conclusão.
Para identificar uma forma lógica dentro de uma sentença, utilizamos a substituição de parte 
do conteúdo de uma sentença por variáveis esquemáticas, empregando letras para validação 
desta sentença em relação a outra, filtrando a forma lógica comum entre elas.
4.1 Tipos de formas lógicas
Seguimos agora com exemplos e sua estruturação, identificando os elementos dessa estrutura, 
elementos materiais predicados ou proposições que fazem parte da linguística na formação de 
uma argumentação, bem como elementos lógicos.
Para o exemplo acima, um jeito mais prático de apresentar a forma lógica é como descrito 
anteriormente, através da substituição por símbolos (letras) para facilitara sua análise.
Com isso, de um modo mais prático, podemos identificar alguns elementos, nesse caso temos 
elementos materiais e lógicos estruturados podendo ser os materiais o de predicado e os lógicos 
os de negação, conexão, quantificação e união.
5 VALIDADE
De inicia é importante salientar que validade é totalmente diferente de verdade, muitos 
confundem. Então começaremos com verdade e daremos sequência com o tópico principal 
validade/validação.
Verdade
É algo que está em concordância com os fatos ou uma realidade, podendo ser uma teoria, 
ideia, pensamento ou mesmo opinião. Na filosofia podemos dizer que é a relação de semelhança, 
conformação, adaptação ou harmonia que se pode estabelecer, através de um ponto de vista ou de 
um discurso, entre aquilo que é subjetivo ao intelecto e aquilo que acontece numa realidade mais 
concreta. E, por fim, as palavras com o mesmo significado são: exatidão, veracidade, realidade,
26
veras, sinceridade, axioma, autenticidade. E as palavras com significado oposto de verdade sâo: 
falsidade, mentira, inverdade. Então observe que realmente verdade não é validade e vice e versa.
Da mesma forma que trouxemos a verdade à tona, veremos a validade em verdade.
Vâlidade
É a capacidade de algo ser ou ter qualidade de se ser válido, muito utilizado em termos 
jurídicos como sendo a condiçãodo que tem valor legal e cumpre todas as exigências determinadas 
pela lei, ou seja, já vimos aqui que premissas são de alguma forma leis, regras de definem um 
argumento, ou melhor dizendo, validam.
FIQUE DE OLHO
Verdade e validade possuem conceitos distintos. Enquanto a verdade está em concordância 
com os fatos, com a realidade; a validade é a capacidade que algo tem de ser ou ter qualidade 
para que possa ser validado.
Outra definição cabível ao assunto de estudo para validade é apresentada segundo Morais 
(2012, p. 2), que define:
validade (forma!) e o retorno lógico de uma estrutura argumentahva que trata do encadeamento 
formal dos raciocínios envolvidos na ideia tratada De acordo com determinadas regras de julgamento 
formal, essa ideia tratada, isto é, argumento, poderá ser válida ou inválida.
Então o atD de va lidar, ou dar vai idade a urre determinada proposição validação nada mais é que uma ação 
de legitimar suas premissas. Como eempíc. dentro da informática, em im sistema de computador, é uma rotina 
que CEfttfica a vaJktede de ctados bem como sua aoneção, conforme re^as ou padrões preestabefeddos
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
27
0
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• conhecer o conceito de lógica e detalhes históricos de seu desenvolvimento;
• entender os argumentos e alguns de seus tipos;
• compreender o significado básico de premissas e sua aplicação;
• aprender as formas de argumentação e o que é conclusão;
• entender os conceitos sobre validação de proposições.
JP REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L B.; FILHO, O. M. S. Introdução à lógica matemática. 1. 
ed. São Paulo: Cengage, 2017.
CHALMERS, A F. O que é ciência afinal? São Paulo: Brasiliense, 1993.
GUGIK, G. A História dos computadores e da computação. TecMundo, 06 mar. 2019. 
Disponível em: https ://www.tec mu ndo.com. br/1697-A-Historia-d os-com puta dores-e~da- 
-computacao.htm. Acesso em: 11 fev. 2020.
MORAIS, J. L Matemática e lógica para concursos. 1. ed. São Paulo: Saraiva, 2012.
PUGA, S. RlSSETTI, G. Lógica de programação e estrutura de dados. 3. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016.
QUILELL1, P. Raciocínio lógico-matemático. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2015.
UNIDADE 2
Conceitos do cálculo proposicional
Introdução
Você está na unidade Conceitos do Cálculo Proposicional. Conheça aqui o surgimento 
e desenvolvimento da lógica proposicional e o seu cálculo com operações básicas de 
lógicas e tabela da verdade. Nesta unidade, vamos entender sobre noção de tratamento 
intuitivo, sintaxe, semântica, proposições e conectivos. O assunto aqui abordado é muito 
importante para a sequência de estudos das próximas unidades, observando a conexão 
da lógica com a tecnologia da informação, do surgimento das primeiras plataformas de 
computadores até os dias atuais.
Bons estudos!
31
1 LÓGICA PROPOSICIONAL
Lógica proposicional ou cálculo proposicional estuda, dentro da Lógica Matemática, a validade 
dos argumentos apresentados referenciada por uma linguagem própria. Se identifica e diferencia 
basicamente dois aspectos importantes: a sintaxe e a semântica da linguagem proposicional.
1.1 Proposição
Proposição, proposta ou mesmo um enunciado, uma declaração na forma de sentença em 
que dois valores, verdadeiro (V) ou falso (F), também chamados de valor-verdade e são tidos 
como propriedades da proposição e conduzem a argumentação à uma conclusão.
Vejamos um exemplo de uma proposição:
a) cos (09) = tg (459) = sen (909) = i
É uma proposição verdadeira (V).
b) Rio de Janeiro é a capital do Brasil.
É uma proposição falsa (F), a atual capital do Brasil é Brasília, mas vale lembrar que a cidade 
do Rio de Janeiro foi capital do Brasil na época em que o Brasil era colônia portuguesa em 1763, 
passando para a atual República dos Estados Unidos do Brasil assim ficando e permanecendo 
capital até 1960.
c) A pólvora foi descoberta pelos chineses.
É uma proposição verdadeira (V).
d) H2O é a fórmula molecular da água.
É uma proposição verdadeira (V).
e) O átomo é a menor partícula.
É uma proposição falsa (FJ, é importante lembrar que oátomo é considerado a menor partícula 
de composição de uma molécula ou elemento químico, porém ele pode ser dividido, ou seja, 
existem partículas subatômicas que formam o átomo. São elas: elétrons, prótons, nêutrons, além 
disso com o avanço das pesquisas e da tecnologia, estudam os fótons, glúons e por fim os quarks.
Esses foram exemplos de sentenças que podemos chamar de sentenças declara ti vas Existem 
sentenças que não são consideradas proposições, são as sentenças não declarativas, pois elas 
não estabelecem valor-verdade. São divididas em imperativas, exclamatrvas e interrogativas. Para
32
entendermos e sabermos diferendá-las, seguem exemplos para cada caso:
a) Saia daqui! (imperativa)
b) Mas tenha santa paciência! (exclamativa)
c) Por quanto tempo tenho que suportar isso? (interrogativa)
Vámos dar um pulinho para trás, falaremos de sentenças, que são frases formadas por sujeito 
(que é o termo do qual se declara algo) e predicado (o termo que se declara sobre o sujeito). Essas 
sentenças podem ser abertas ou fechadas.
Vejamos as abertas: elas nâo possuem determinação, ou seja, são indeterminadas, embora 
sejam proposições, ao atribuirmos um valor-verdade, não há como conduir se é verdadeiro ou 
falso.
FIQUE DE OLHO
Um exemplo de sentença aberta é as expressões matemáticas oom incógnita, pois o 
resultado pode ser verdadeiro ou falso, independente mente do valor atribuído para esta 
incógnita. Seja a expressão y + 5 > 9, se definirmos um valor para y igual a 3, a proposição é 
falsa, mas se atribuirmos o valor igual a 6, será verdadeira
Um outro exemplo, para fixarmos melhor o entendimento sobre sentenças abertas:
Ela é uma famosa jornalista.
Considerando que a incógnita na sentença acima é o pronome "Ela", pois pode ser qualquer 
pessoa, ao substituirmos por Ana Paula Padrão, o resultado será verdadeiro, mas se definirmos 
que é a Gal Costa, a sentença torna-se falsa, então temos aqui outra sentença aberta.
Já as sentenças fechadas possuem determinação, ou seja, são determinadas, ao atribuirmos 
um valor-verdade, o sujeito está determinado e possibilita definir exatamente se a argumentação 
é verdadeira ou falsa. Exemplos:
Milton Nascimento é um grande cantor.
12 + 7 < 25 (exatamente, pois 12 + 7 = 19 que é menor que 25)
Zezé Di Camargo e Luóano são irmão e são cantores famosos.
33
Agora podemos retomar especifica mente ao assunto proposição, que é dividido em proposição 
simples e composta, mas antes vejamos os princípios básicos da lógica que são identidade, não 
contradição e terceiro excluído.
1.1.1 Princípios básicos da lógica
Na Lógica Matemática existem regras, consideradas fundamentais, que validam três prindpios 
básicos:
Princípio da identidade
Ele define que todas as coisas são iguais a si mesma, ou melhor dizendo, toda proposição é 
idêntica a si mesma. Ou seja, uma proposição verdadeira só pode ser verdadeira, assim como 
uma falsa só pode ser falsa.
SéS
Exemplo: "Todos os felinos são felinos."
Princípio da não contradição
Basicamente neste temos que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo 
tempo, bem como verdadeira e falsa, ou seja, ou ela é falsa ou é verdadeira.
SéS, não pode ao mesmo tempo ser "não S"
Exemplo: "Uma gaivota não é uma não gaivota e uma não gaivota não é uma gaivota".
Princípio do terceiro excluído
Necessariamente regra que uma coisa ê ou não é, impedindo uma terceira possibilidade, ou 
seja, existem apenas "Verdadeiro" ou "Falso", não há uma terceira hipótese.
S ou não S
Exemplo: Pegando do exemplo anterior, em que "um pássaro que é uma gaivota e um 
pássaro que não é uma gaivota, não há uma terceira possibilidade, ou seja, não existe um pássaro 
"pinguimgaivota" ou "patogaivota"
34
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
1.1.2 Proposição simples
São todas as sentenças dedarativas fechadas que representam um pensamento verdadeiro 
ou falso, desta forma, apresentam apenas uma afirmação. As letras minúsculas, p, q, r, entre 
outras são utilizadas para designar estas sentenças, que serão chamadas de letras proposicionais. 
Vejamos exemplos:
a) cos (09) = tg (459) = sen (90?) = 1
b) Rio de Janeiro é a capital do Brasil.
c) Milton Nascimento é um grande cantor.
d) João e Maria são irmãos.
e) Christiane é casada.
1.1.3 Proposição composta
São sentenças dedarativas fechadas com duas ou mais proposições e são representadas 
também por letras proposicionais, mas no caso maiúsculas, P, Q, R, entre outras.
a) Zezé di Camargo e Luciano são irmão e são cantores famosos.
b) Ada é mulher, Gilberto, homem.
c) O calor chagará logo, no máximo até o fim deste mês.
d) Christiane é casada, é advogada, mas dá apenas aulas na graduação.
35
e) O assassino está por ser descoberto entre o Sr. Macarrão, ou Capitão Bocaina, ou Prof. Matuto
1.2 Proposição lógica
Quando são aplicadas àsoperaçÕes lógicas, estamos entrando dentro docálculo proposicional, 
as mais utilizadas são as de Negação (não). Conjunção Lógica (e) e Disjunção Inclusiva (ou).
Negação (não)
Possibilita um sentido contrario de uma afirmação inicial.
José não é carpinteiro.
Marcelo não é padre.
Christiane não recebeu o seu pagamento no dia do vale.
Conjunção (e)
Possibilita combinar duas proposições verdadeira, uma combinando a outra.
No final de semana fará sol e domingo irei ao parque.
Eduardo foi ao cinema e Mónica, ao show.
Carlos foi ao baile de carnaval, mas Ana ficou em casa.
Disjunção (ou)
Possibilita combinar duas proposições, uma necessariamente verdadeira, assim a proposição 
passa a ser verdadeira.
Hoje está calor ou hoje está frio.
Amanhã ira chover ou amanhã fará sol.
Eduardo foi ao dnerna ou ao show.
3 TRATAMENTO INTUITIVO
Dentro do cálculo proposicional, o tratamento intuitivo traduz uma forma prática de aplicação 
dos princípios lógicos com a introdução e interpretação das operações lógicas e a modelagem 
apropriada para uma análise argumentativa e inferências lógicas adequadas.
36
FIQUE DE OLHO
Uma ferramenta prática no tratamento intuitivo é a utilização das formas propos i dona is 
tautológicas, os conceitos de tautologia.
3.1 Tautologia
Tautologia é a forma de proposição composta em que, independente de seus valores lógicos, 
dão como resultado sempre uma verdade (V). Em Introdução à Lógica Matemática, segundo 
Bispo, Castanheira, Souza Filho (2011), temos as tautologias uteis, ou propriedades. Vejamos 
algumas implicações e equivalências tautológicas que serão utilizadas para provar a validade de 
um argumento.
Sejam p, q, r e s proposições simples quaisquer.
Equivalências tautológicas
Impotência (IND)
(pAp)Op
(p v p) O p
Comutação (COM)
(pAq)O(qAp)
(pvq)O(qvp)
Equivalência Material (EM)
(p q) ((p q) A (q p))
(p O q) O ((p A q) v (-p A -q))
Distribuição (DIS)
(pA(qvr))O((pAq)v(pAr))
(pv(qAr))O((pvq)A(pvr))
(p O (q A r)) O ((p q) A (p r))
(p O(q v r» O ((p q) v (p -> r»
37
Associação (ASS)
«P A q) A r) O (p A (q A r»
«P v q) v r) O(p v (q vr»
Leis de De Morgan (MOR)
-|p v q) O (-p A -q)
-(p Aq) O (-p v-q)
Dupla Negação (DN)
-(-p) O p
Implicação Material (IM)
(p Gq) O (-p vq)
Negação da Implicação Material (NIM)
-(P Oc| O (pA-q)
Transposição (TRA)
(p ->q) O (-q -> -p)
Importação/Exportação (IE)
((P A q) -» r) O (p -> (q -» r))
Absurdo (ABD)
(p -» (q A -r)) O -p
Indicações tautológicas
Indicações tautológicas
Adição (ADI)
P
p * q
ou p -» (p vq)
38
Simplificação (SIM)
PA'l
P
ou (p A q) -» p
<1
q
ou (p A q) -» q
Conjunção (CON)
P
q
p- q
ou(p Aq) -»(p A q)
P
q
q A p
ou(p Aq) -> (q A p)
Absorção (ABS)
P > <1
P —» (p A q)
ou (p->q) ->(p -»(pAq))
Modus Pones (MP)
p — q
ou ({p -»q) A p) -> q
Modus Tolles (MT)
p ■ q
ou ((p q) A-q)->-p
Dilema Construtivo (DC) 
p — o
■ ■«
i’“ ’
cy.
ou((p^q)A(r->s)A(pvr))^(q-s
39
Dilema Destrutivo (DD)
p * <i
f -- * B
0 w ”
ou ((p -»q) A (r-> s) A (-q v -s» -> (-p v -r)
Silogismo Disjuntivo (SD)
p v q
p
ou ((p vq) A-p) -» q
p v q
~<1
P
ou ((p vq) A-q)-> p
Silogismo Hipotético(SH)
p —‘ q
q -> r
p —♦ f
ou ((p -> q) A (q -> r)) -> (p -»r)
Exportação (EXP)
(pAq) ~,r
p —♦ (q —♦r)
ou {(p A q) ->r) -»(p (q -> r))
Importação (IMP)
P —• (q —• r)
ou (p -» (q r)) -> ((p A q) -> r)
Outras tautologias
Princípio da Identidade
pOp
Princípio da Não Contradição
4PA-P)
40
Princípio do Terceiro Excluído
pv-p"
3.2 Sintaxe
Sintaxe, ou construção, é a parte da gramática que analisa as funções das palavras na frase e 
de suas relações, seus arranjos, combinações ou a disposição em uma frase. A sintaxe trabalha 
dentro da lógica, na formalização de uma linguagem lógica para desenvolvimento da lógica 
matemática, através da construção, estruturação e especificação precisa das proposições.
Trata da definição de regras e símbolos básicos, bem como suas combinações corretas para 
obter expressões bem estruturadas desta linguagem. Estes símbolos na linguagem do Cálculo 
Proposicional são:
Variáveis proposicionais
P, Q, r, s,...
P, Q, R, S,...
símbolos auxiliares
(.)
Operadores lógicos
Como mostra a tabela "Operações lógicas"
Oparadoe Logic o Símbolo Exprossòot am llnguaçom natural
Conjunção
Disiuncáo
Implicação/ 
Condicional
rwtn é O CWtO <> *. 
Que.
e. mas. também, conjuntamente.
se______então______ ,
coso_____ então______ ,
_é condi cão para____ ,
implica em______,
se e somente se 
eautvale a_____
Bi implicação? 
Bi condicional/ 
Equivalência
Tabela 1 - Operações lógicas 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
«PraCegoVer: a tabela mostra as principais operações lógicas, seus símbolos e exemplo de 
expressões na linguagem natural.
41
3.3 Semântica
Já a semântica trata da forma que as proposições foram escritas e principal mente seu 
significado. Semântica ou semiologia na linguística estuda o significado das palavras, da 
interpretação de frases e textos de uma determinada língua. Na ciência filosófica avalia a evolução 
de símbolos e palavras e seus sentidos na comunicação, ou seja, a etimologia das palavras.
Enquanto a sintaxe se envolve com a parte construtiva de uma proposição, a semântica vai 
mais além e busca analisar esta construção e apresentar conclusões. O importante desta análise 
é a avaliação das verdades e das falsidades no contexto. Um exemplo de uma falácia semântica 
é o uso de termos sem sentido, sem precisão ou que trazem uma dubiedade no sentido da 
proposição, levando a uma conclusão errônea na análise e que podem acarretar erros em outros 
resultados num conjunto de dados. Em "Um prelúdio à lógica" de Feitosa, H. A. e Paulovich, 
L (2005, pg 62), o autor traz o conceito muito bem tratado sobre semântica na lógica e como 
exemplo de falácia semântica.
A falácia semântica é caracterizada por termos vagos, não precisos ou dúbios presentes nas 
sentenças e que interferem no entendimento do argumento.
Exemplos:
É besteira se preocupar com meras palavras. 'Apartheid" é apenas uma palavra. Portanto, você 
não tem que se preocupar com *apartheídv
O governo se mobiliza Haverá mais dinheiro para as pequenas empresas. Os recursos advindos 
das novas taxas serão disponibilizadas para empréstimos a pequenos e médios empresários
Analisando basicamente o primeiro exemplo acima, temos a palavra "Apartheid", que é o ato 
de segregar, principalmente ao que se refere ao contexto racial. Então dizer que é uma grande 
besteira se preocupar com meras, simples, palavras é um erro maior ainda. Pois esta palavra 
do exemplo, como outras, pode traduzir circunstâncias relacionadas a atos históricos tristes, de 
humilhação, quando não aterrorizantes.
3.4 Proposições e conectivos
Veremos de forma mais detalhada as proposições e suas classificações em relação os conceitos 
já apresentados, além de conhecermos mais a fundo os conectivos que as une e suas aplicações.
Como já vimos, proposição é uma declaração na forma de sentença em que dois valores, 
verdadeira (V) ou falso (F), chamados de valor-verdade, conduzem a argumentação à uma conclusão.
Podemos indicar um valor numérico, então para verdadeira (1) e para falso (0), com isso 
podemos analisar de forma mais prática dentro de uma tabela, no caso Tabela da Verdade.
42
Um pouco antes de chegarmos aqui, vimos proposição, sua classificação em simples e 
composta, os princípios básicos aplicados, que são de identidade, não contradição e terceiro 
excluído. Além de tratar da proposição lógica, que já apresenta a forma estruturada com seus 
conectivos, em que dentro do C.P. (Cálculo Proposicional) as proposições lógicas de negação, 
conjunção e disjunção indusivas são as mais comuns.
Vamos ver exemplos de proposições e conectivos que farão parte das operações lógicas 
em que será apresentado a Tabela da Verdade, muito aplicado em álgebra booleana que terá 
oportunidade de estudar adiante.
Antes de trabalhar com as proposições, montar e analisá-las, vamos conhecer detalhes dos 
conectivos e seus símbolos numa verificação pura que também dará melhor entendimento 
dentro do estudo das operações lógicas, como mostra a tabela "Conectivos e seus símbolos”
não
Conoctlvo Símbolo Função
'■ou- Negação
A Conjunçãoe
Disjunção
se , então Condicional
se, e somente se, Bfcondictanal
Figura 1 - Conectivos e seus símbolos
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
#PraCegoVer: a tabela mostra os conectivos, seus símbolos e função.
Pegamos um exemplo simples de proposição para modelar com uma variável e ver as possíveis 
conexões que uma variável pode assumir e sua representação.
Exemplo
52 = 25
Temos que a proposição acima é uma verdade, ou seja, seu valor-verdade é (V) ou como já 
vimos é (1).
Se nomearmos a proposição pela letra A, temos:
A = 52 = 25, portanto temos que A = 25
Então vimos uma proposição simples, desta podemos formar proposições compostas, mas 
antes de vermos alguns exemplos, observe a tabela com notações utilizando os "conectivos e
43
variáveis possíveis"
->A ou *A não A
A a 8 AeB
A v 8 Aou B
A — 8 Se A, enlôo B
A —- B Ase. e somente se. B
Tabela 2 - Conectivos e variáveis possíveis 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020
SPraCegoVer: a tabela mostra os conectivos e suas possíveis variáveis.
Agora veja os exemplos com frases e sua conversão para variáveis e conectivos de forma 
estruturada:
1. Rio de Janeiro é a capital do Brasil. (Afirmativa - exemplo extra)
prova: CB_ Rio de Janeiro não é a capital do Brasil (Falso)
portando temos que Rio de Janeiro=CB ou para simplificar C8 pode ser A.
A representação é: RJ = A
2. Christiane não recebeu o seu pagamento no dia do vale.
PROVA: RPV_ Christiane recebeu o seu pagamento do vale. (Falso)
portando temos que Christiane=nãoRPV ou para simplificar RPV pode ser A.
A representação é: C = -A
3. Zezé Di Camargo e Luciano são irmão e são cantores famosos.
PROVA: leCF_Zezé Di Camargo e Luciano não são irmão e não são cantores famosos. (Falso)
portando temos que Zezé Di Camargo e Luciano= leCF ou para simplificar I pode ser A e CF 
pode ser B.
A representação é: Eles = A A B
4. Eduardo foi ao cinema ou ao show.
PROVA: CouS_ Eduardo não foi ao cinema ou nem ao show. (Falso)
44
portando temos que Eduardo= CouS ou para simplificar C pode ser A e S pode ser B
A representação é: E = A v B
5. Manuella é uma menina inteligente e, portanto, irá tirar boas notas.
PROVA: lcomBN_ Se Manuella é uma menina inteligente, então irá tirar boas notas. 
(Verdadeiro)
portanto temos que Manuella = IcomBN ou para simplificar I pode ser AeBN pode ser B.
A representação é: M = A B
6. Ganharás o torneio se, e somente se, ganhar as duas próximas partidas.
PROVA: faremos de modo mais simples e direto que poderá utilizar nos exemplos anteriores 
com treino para ao conteúdo apresentado, então vamos lá:
Claramente temos uma proposição bicondicional envolvida no exemplo em questão, logo 
podemos partir do formato de significado, ou formulação, para o conectivo bicondicional que é: 
se, e somente se.
Formulação: A se, e somente se, B.
Portanto temos que a representação é: Alguém, ele, ela = A0 B
4 OPERAÇÕESLÓGICAS E TABELAS DA VERDADE
Em meados do século XIX, George Boole (1815-1864), que foi matemático e filósofo, 
desenvolveu em seus estudos, um sistema algébrico específico que utilizava da linguagem lógica 
e da matemática para simplificar e analisar problemas na época, dando início ao que conhecemos 
sobre Lógica Matemática e, poste ri ormente a sua época, veio a contribuir em grande escala no 
desenvolvimento da computação modema a partir de 1945.
Daí partimos para as operações lógicas, em que serão apresentadas uma sequência destas 
operações, que serão analisadas e demonstradas por exemplos para melhor assimilação do 
contexto e para cada uma delas a sua Tabela da Verdade.
NOT (não) ou - ou ~,
AND (e) ou A,
OR (ou) ou v,
45
Condicional (se , então) ou E,
Bicondicional (se, e somente se,) ou E,
NAND (ne) ou -A,
NOR (nou) ou -v,
XOR (ou exclusivo) ou v .
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
4.1 Negação: NOT (não) ou - ou ~
Uma proposição que recebe uma negação ê tida como falsa quando a proposição é verdadeira 
ou verdadeira quando a proposição é falsa. Imagine uma proposição A, ela será "não A", que 
através do símbolo é escrita em -A.
Algumas sentenças ou expressões podem ser dadas de exemplo para um melhor 
entendimento, então vejamos:
Quando A = 11*7, temos -A ã 11 = 7
Para E = 25 < 5, temos -E = 25 > 5
A tabela da verdade para operações de negação ficaria da seguinte forma, como mostra a 
tabela "Tabela da Verdade".
Figura 2 - Tabela da Verdade 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
4.2 Conjunção: AND (e) ou A
Quando tratamos de duas proposições, por exemplo A com B, a proposição composta para 
a operação de conjunção é "A e B~, que pode ser escrita por simboios em A A B, em que o valor 
lógico é verdadeiro se, e somente se, "A" e "B" forem verdadeiros.
Algumas sentenças ou expressões podem ser dadas de exemplo para um melhor 
entendimento, então vejamos:
Se A = 1 < 7 (1) e B = 3 r 1 (1), temos A AB = l<7e3 ?1 - (1)
Se A = 2 | 6 (1) e B = (32 + 22) = (3 + 2)2 (0), temosAABE2 | 6 e B E (32 +22) = (3 +2)2 =* (0)
Se A = 3.7 = 20 (0) e B = 53 = 125 (1), temos A A 8 E 3.7 = 20 e B E 53 = 125 => (0)
Se A11 4 7 (0) e 8 = 72 = 14 (0), temos A A B E 1 < 7 e B E 72 = 14 o (o)
Observe que há notações matemáticas que talvez sejam diferentes para você nesse momento, 
então vale apresentar o conceito. Para elucidar, Milies e Coelho (2013, p. 45) definem algoritmo 
da divisão como sendo:
Sejam a e b números inteiros. Diz-se que b divide a (ou que b é divisor de a ou, ainda, que a é 
um múltiplo de b) se existe um inteiro c tal que bc=a
Usaremos a notação b | a para indicar que b divide a. A negação dessa afirmação será indicada 
porb > a
Convêm observar que, se fc / 0, o inteiro c nas condições da definição é único. De fato, 
se existisse outro c‘ tal que bc' = a «ríamos qu* — fe1 e. cancelando, vem aue c — c». O inteiro 
assim definido chama-se quociente de a por b e é indicado por c = a/Ò - f.
A tabela da verdade ficaria como mostra a tabela "Operações de conjunção" 
Tabela 3 - Operações de conjunção 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
SPraCegoVer: Na imagem, há uma tabela com as operações de conjunção.
Na última linha da tabela temos, conforme declarado, que a conjunção valida verdadeiro (1) 
somente quando as duas proposições são verdadeiras (1) e (1) simultaneamente.
4.3 Disjunção: OR (ou) ou v
Na disjunção também tratamos aqui de duas proposições, A com B, e na proposição composta 
para a operação de disjunção, assim como na conjunção é “A ou B", podendo ser escrita por 
símbolos como: A VB, porém para a disjunção temos o oposto ao resultado da conjunção, em que 
o valor lógico é falso somente quando "A" e "B" forem proposições falsas.
Algumas sentenças ou expressões podem ser dadas de exemplo para um melhor 
entendimento, então vejamos:
Se A = Iog2 (64) = 6(1) e 8 = y/Q = 3 (1), temos A v B = log2 (64) = 6 e B = =3^(1)
SeA = 3|6(l)eB" 5/$ = 2 (0), temos A v B = 3 | 6e B = = 2 <* (1)
Se A = 3 7 = 20 (0) e 8 = 53 = 125 (1), temos A v 8 5 3.7 = 20 e B E 53 = 125 => (1)
SeA = 2 | 7(0)eB“92“18 (0), temos AVB = 2| 7eBE92=18 =5(0)
Observe a seguir na primeira linha da tabela, que temos conforme dedarado que a disjunção 
valida falso (0), somente quando as duas proposições são falsas (0) e (0) simultaneamente e note 
ainda que basta apenas um valor-verdade (1) para que o resultado valido venha ser (1), verdadeiro.
A tabela da verdade ficaria como mestra a tabela "Operações de disjunção"
4.4 Condicional (se, então) ou ->
Agora veremos as proposições sob o efeito do conecttvo condicional, também trataremos 
de duas proposições, A com B e no mesmo formato, a proposição composta para a operação de
48
condicional é "se A, então B" ou ainda "A implica em B", podendo ser escrita por símbolos como: 
A -> 8, em que o valor lógico é falso se, e somente se, "A" é verdadeiro e "B" for falso.
Algumas sentenças ou expressões podem ser dadas de exemplo para um melhor 
entendimento, então vejamos:
Sendo A E42 = 16 (1) e 8E3gN (0), temos A B = se42 = 16, então B = 3g N (0)
Se A = 3 | 13 (0) e B = = 52 (0), temos A B = 3 | 13 -> = 52 (1)
A tabela da verdade ficaria como mostra a tabela "Operações de condicional"
A B A — B
O O O
O 1 1
1 0 o
1 1 1
Tabela 4 - Operações de condicional 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
4.5 Bicondicional (se, e somente se,) ou O
Na bicondicional com proposições A e B, a lógica é da proposição composta, em que a leitura 
é: "A se, e somente se, B", apresentada pela simbologia A O B, cujo o valor lógico é verdadeiro 
somente para A e B com o mesmo valor-verdade, ou valor lógico, ou seja, "A" (1) e "B" (1) ou "A" 
(0) e "B"(0), simultaneamente.
Algumas sentenças ou expressões podem ser dadas de exemplo para um melhor 
entendimento, então vejamos:
Sendo A = 7 + 9 = 16(l)eBE7e9G N (1), temos A O B s 7 + 9 = 16 se, e somente se, 8 - 
7e9G N (1)
SeA = 3 | 13 (0) e B = = 52 (0), temosAOB = 3| 13 see = 52(l)
Se A ã 3 | 9 (1) e 8 = = 2 (0), temos A O B = 3 | 9 see 52 (0)
A tabela da verdade ficaria como mostra a tabela "Operações de bicondicional"
Note que a notação "see" é uma forma abreviada de escrever "se, e somente se", muito 
aplicado para tratamento em textos lógicos e ou matemáticos.
49
4.6 NAND (ne) ou -A
Esta operação é mais especifica e é muito útil para o desenvolvimento dentro da álgebra de 
boole.
A tabela da verdade ficaria como mostra a tabela "Operações de NAND".
O 1 1
1 O 1
1 1 O
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
4.7 NOR (nou) ou -v
Esta operação é mais específica, assim como visto a NAND, também sendo muito útil para o 
desenvolvimento dentro da álgebra de boole.
A tabela da verdade ficaria como mostra a tabela "Operações de NOR"
O 1 O
1 0 o
1 1 O
Tabela 5 - Operações de NOR 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
4.8 XOR (ou exclusivo) ou v
Esta operação é uma variante da operação de disjunção com um tratamento diferenciado 
como poderá observar adiante.
A tabela da verdade ficaria como mostra a tabela "Operações de disjunção"
50
1 1
o
o
o 1
011
Tabela 6 - Operações de disjunção
Fonte: Elaborada pelo autor, 2020.
Observe que para as proposições A com 8, em que temos a notação A v B, o valor lógico será 
falso quando A e B tiverem valores idênticos, mas se diferentes teremos um resultado verdadeiro. 
Essa operação pode ser escrita em função dos conectivos na qual temos que:
AvB = (AvB)a-(AaB)
Podemos traduzir que A "ou exclusivo" B corresponde a operação (A "disjunção" B), 
"conjunção" com "negação" de (A "conjunção" B).
4.9 Tabela da Verdade
É uma forma pratica de organizar os valores lógicos de proposições em análise e os 
resultados de operações lógicas relacionadas a conectivos, o que facilitará o estudo de funções 
booleanas, podendo auxiliar a redução de expressões com mais de duas variáveis. Aqui tivemos 
a oportunidade de ver tabelas com duas variáveis, A e B, que são simples de organizar e analisar 
o resultado, mas uma função comtrês ou mais, aumenta a complexidade e pela tabela podemos 
analisar o resultado de forma mais prática. Além da tabela da verdade, um avanço dentro da 
lógica e entrando nos elementos de eletrônica digital, mais abaixo veremos exemplos simples e, 
como curiosidade, algumas expressões booleanas geradas por circuitos lógicos e a análise através 
das tabelas.
Vémos entender a tabela da verdade resgatando a análise pelos sinais dos conectivos já vistos 
anteriormente e os valores verdadeiros (V) e falsos (F) para as proposições, que chamaremos de 
p, q, rou s. Estas passarão mais adiante a serem chamadas de variáveis de entrada para Blocos 
Lógicos ou Circuitos lógicos.
Então utilizamos a tabela da verdade na classificação de proposições quaisquer, como pode 
ser visto na tabela "Entradas e operações", em que dada uma proposição: - (p -> (-p -> (q v 
-q))), lemos negação de ("p" condicional de (negação de "p" condicional de ( "q" disjunção com 
negação de "q"). Iniciamos a composição da tabela com as entradas (duas variáveis) e com as 
operações separadamente, em que no final apresentamos a solução (S).
Tabela 7 - Solução
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
Neste exemplo observamos que temos por resultado uma proposição de contradição, pois 
todos os vai ores-verdade são falsos (F), independente dos valores das proposições simples que 
a compõem.
Agora vejamos outro exemplo, analisaremos a proposição em que sua solução é dada por p 
<-> p A (p v q), em que podemos ler, "p" bicondicional "p“ com conjunção de ("p" disjunção "q"), 
como mostra a tabela "Solução"
Aqui já temos uma tautologia como resultado, pois todos os resultados deram o valor- 
verdade como verdadeiro. É possível notar que a primeira análise é para a operação dentro dos 
parênteses, ou seja, a disjunção entre "p" e "q", na sequência tratamos da conjunção entre p e 
o resultado do valor-verdade nos parênteses e, por último, a análise da bicondicional entre p e a 
penúltima coluna.
Vamos dificultar um pouco, passamos para uma composição de três proposições, em que 
buscaremos o resultado e veremos sua classificação, como mostra a tabela "Composição de três 
proposições" Faremos a análise de:
S = (p A q)v (p A r) <-> p A (q A r)
F q p -q qv <] |-.p — (q v q) p — (-.p — (q v q)l 1 -> <p — ( p — (q v x|)» I
u
——
Tabela 8 - Composição de três proposições 
Fonte: Elaborado pelo autor, 2020.
52
Nesta última apresentação temos oito possibilidades para as proposições compostas e, como 
resultado na última coluna, sua classificação é de contingência, pois os seus resultados podem ser 
V (verdadeiros) ou F (falsos), a depender do valor de suas proposições simples.
Utilize o QR Code para assistir ao vídeo:
53
0
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
• onhecer os conceitos do Cálculo Proposicional;
• entender o que é sintaxe e semântica e suas diferenças;
• aprender os conectivos, suas simbologias e aplicação com alguns exemplos;
• entender como trabalhar com proposições em conjunto com os conectivos e suas 
operações;
• conhecer o conceito iniciai sobre a tabela da verdade e suas aplicações.
J REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BISPO, C. A. F.; CASTANHEIRA, L. B.; FILHO, O. M. S. Introdução á lógica matemática. 1. 
ed. São Paulo: Cengage, 2017.
CHALMERS, A. F. O que é ciência afinal? São Paulo: Brasiliense, 1993.
FEITOSA, H. A.; PAULOVICH, L Um prelúdio à lógica. 1. ed. São Paulo: UNESP, 2005.
GUGIK, G. A História dos computadores e da computação TecMundo, 06 mar. 2019.
Di sponive I em: https ://ww w.tec mundo.com.br/1697-A-Historia-dos-computadores-e- 
da-computacao.htm. Acesso em: 11 fev. 2020.
IODETA, I. V.; CAPUANO, F. G. Elementos de eletrônica digital. 6. ed. São Paulo: Érica, 
1984.
MlLlES, F. C. P; COELHO, S. P. Números: uma introdução à matemática. 3. ed. 3. reimpr. 
São Paulo: Universidade de São Paulo, 2013.
MORAIS, J L Matemática e lógica para concursos. 1. ed. Sao Paulo: Saraiva, 2012.
PUGA, S. RISSETTI, G. Lógica de programação e estrutura de dados. 3. ed. São Paulo: 
Pearson, 2016.
QUILELLI, P. Raciocínio lógico-matemático. 3. ed. São Paulo: Saraiva, 2015.
UNIDADE 3
Sistemas formais e cálculos
proposicionais
Introdução
Você está na unidade Sistemas Formais e Cálculos Proposicionais. Conheça aqui 
os principais conceitos relacionados á definição de sistemas formais, o alfabeto 
formal da lógica proposicional e também como realizar os cálculos proposicionais. 
Aprenderemos também o importante teorema da completude, consistência, modelos 
e decidibilidade, além de efetividade e independência. Todo o nosso aprendizado será 
guiado pela apresentação de conceitos teóricos e também alguns exemplos que facilitará 
o entendimento de tais conceitos, que são de fundamental importância para a lógica 
matemática.
Bons estudos!
57
1 MODELOS E DECID1BILIDADE
A partir do momento em que Bolyai e Lobachevsky desenvolveram a geometria não- 
Euclidiana, e Riemann apresentou um modelo no qual o postulado das paralelas era falso, mas 
todos os outros axiomas eram verdadeiros, a matemática foi obrigada a observar o fato de que 
uma teoria poderia ser composta por mais do que um único modelo.
Estes fatos, somado à formalização do desenvolvimento da lógica de predicados, apresentada 
por Frege, e a teoria dos conjuntos ingênua, apresentada por Cantor, e dentro da qual vivem os 
modelos, levou à criação da Teoria de Modelos.
1.1 Teoria de Modelos
A lógica matemática, como o próprio nome já sugere, é uma subárea da matemática 
convencional, dentre os vários estudos relacionados a esta ramificação da matemática estão os 
estudos relacionados a Teoria de Modelos.
A Teoria de Modelos é a área da lógica matemática (ou da própria matemática em si) 
responsável por lidar com as relações existentes entre a linguagem formal e suas interpretações, 
ou seja, os modelos. De forma geral, podemos dizer que a Teoria de Modelos clássica, é a Teoria 
de Modelos de Predicados de primeira ordem.
Na matemática, um modelo pode ser entendido como uma estrutura cujo tipo consiste de 
outros conjuntos que são formados por estruturas comuns da matemática. Talvez isso pareça um 
pouco confuso, para simplificar, podemos dizer que um modelo é uma estrutura que apresenta 
as seguintes características:
• Abrange o campo dos números reais.
• Apresentam grupos cíclicos de ordem cinco.
• Possui uma estrutura parcialmente ordenada que consiste em todos os conjuntos numé­
ricos inteiros, todos ordenados por ordem inclusão.
Para chegarmos até a criação e, consequentemente a definição da Teoria de Modelos, 
precisamos antes passar pelos conceitos e pressupostos da construção e definição das linguagens 
formais, que neste caso, será proveniente da lógica de primeira ordem com identidade.
Esta abordagem permite, com suas características, a especificação de uma lista de símbolos 
e regras, a definição de um conjunto de sentenças, que posterior mente poderão ser construídas 
a partir dos símbolos.
A construção da linguagem formal não deve ser entendida como um capricho matemático,
58
a definição desta linguagem faz-se necessária, pois sem ela não seria possível a construção e 
utilização de sentenças capazes de “exprimir alguma informação" sobre os modelos, e tais 
informações podem ser obtidas de forma muito simples, para isso é utilizada uma definição muito 
básica de verdade.
Um valor verdade, também conhecido por valor lógico, permite especificar para cada uma 
das sentenças, que compõem o modelo, um dos seguintes valores verdade/lõgico: verdadeiro 
ou falso - é importante entender que cada modelo pode possuir apenas um dos dois valores 
verdadeiro ou falso para o valor verdade
É justamente essa possibilidade de definição de valor verdade/lógico que permite a criação 
de uma ponte capaz de fazer a ligação entre a linguagem formal e suas diversas interpretações, 
interpretações essas que somente são possíveis graças aos modelos.
1.2 Linguagens e Modelos
Podemos dizer que uma linguagem écomposta por uma coleção de símbolos que podem 
ser divididos em três grupos (DAGHLIAN,1995):
símbolos de relações: Pi. . . .,
P p p
símbolos de funções: *
símbolos de constantes (individuais): C© j C15 • • • > ’’-n
Sendo então um conjunto finito, todos os símbolos de podem então ser apresentados 
de forma extensional, assim teremos: , Pn, Fq,..., Fmi Cg,..., C,;}. Dessa
forma, temos que cada símbolo P da linguagem denota uma relação n-ária para algum 
inteira n > 1 dependente de P
De forma similar, cada símbolo F que esteja em denota uma função n-ária para algum 
inteiro m > 1 dependente de J? . É preciso observar que não são permitidas relações O-árias. Caso 
exista mais de uma linguagem, então podemos referenciar cada uma delas da seguinte forma: 
Z '* t * • etc aso a l'neuagem possua símbolos bem padronizados, tais como o sinal 
de "+“ para a adição, para ordem, etc., podemos, para esta linguagem escrever-se:
{>}
* = {>.+,0,-}.
, e assim por diante.
Enfim, a relação entre as linguagens e os modelos é extensa, sendo suficiente para a 
59
composição de um livro inteiro dedicado somente a este assunto.
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1.3 Decidibilidade
Existe na lógica um termo utilizado para referenciar problemas de decisão, ou seja, problemas 
cuja questão principal é a existência ou não de um método efetivo para que se possa determinar 
a pertinência de um conjunto de fórmulas, este termo é denominado decidivel.
Assim como nos sistemas lógicos, na lógica proposicional, o conjunto de fórmulas é 
considerável decidivel se a pertinência de seu conjunto de fórmulas logicamente válidas puder 
ser efetivamente determinada. Da mesma forma, uma teoria em um sistema lógico fixo somente 
pode ser considerada decidivel se existir um algoritmo eficiente capaz de determinar se as 
fórmulas arbitrarias pertencem ou não a ela.
2 COMPLETUDE E CONSISTÊNCIA
Os cálculos preposicionais, assim como a própria lógica matemática, são fundamentados em 
uma série de teoremas que representam as verdades matemáticas, as quais explicam o conjunto 
de premissas e conclusões que podemos obter neste sistema.
Há dois importantes teoremas estudados na lógica matemática: são os teoremas de 
completude e o teorema de completude generalizada. Para a lógica das proposições, ou mais 
específica mente o cálculo proposicional, esses teoremas são de extrema importância.
2.1 Teorema da Completude e Completude Generalizada
No ano de 1981, quando Kurt Godel, em sua tese de doutorado, demonstrou um fato que acarreta 
quetorna verdadeira a seguinte afirmação: dada uma linguagem da lógica elementar de primeira
ordem, então as noções de consequência lógica e dedução são equivalentes (GÕDEL.,1981)
Esta conclusão é denominada de teorema da completude da lógica elementar podendo este 
conceito ser aplicado no cálculo preposicional clássico e em diversos outros sistemas dedutivos, 
clássicos ou não clássicos.
y
Em sua obra, Gõdel propõe se pode chegar a uma conclusão p a partir das premissas se, e 
somente se, esta conclusão é consequência lógica dessas mesmas premissas. Em outros termos, 
sendo P o conjunto de fórmulas, e a uma fórmula de , então, segundo Gõdel, f I- n 5e 
e somente seT |= cr Todavia, é preciso compreender que a é logicamente válida (|= cr) se, e 
somente se, for um elemento formal da lógica elementar (•”«).
O que remos então ê que. sendo uma teoria T (ou conjunto de formulas da linguagem Jf,. 
entende-se que uma Interpretação (dado geralmente por uma estrutura conjuntista, ou seja, 
estrutura e aborada a partir de uma teoria de conjuntos, tal como ZFj rei ativa mente à qual os 
axiomas não lógicos de T (fórmulas de Fi são verdadeiros. Uma vez que os axiomas de 
são logicamente válidos, então em roda e qualquer de suas interpretações, eles serão 
verdadeiros.
Sendo assim, para que seja um modelo para a teona T basta somente que sua interpretação 
seja tal que. o? axiomas desta teana sejam específicos deje sejam verdadeiros, isso devido 
ao fato de. por hipótese t. fundamentar em _Zp.
Observemos então que, se T é uma teoria elementar cuja identidade é consistente, então T 
possui um modelo finito/e numerável, também chamado de contável. Com isso, é possível provar 
os seguintes teoremas de completude (lembrando que a lógica elementar é uma teoria elementar 
isenta de símbolos não lógicos, logo, não possui postulados específicos) (MORTARI, 2001):
sendo pum conjunto de fórmulas de uma teoria elementar t e a uma fórmula dej» então r 
I- r se e somenie se ra
I- a se e somente se a.
Em termos mais simples, uma teoria (formulada em lógica £ de primeira ordem) pode ser 
considerada completa, desde que para toda £-senlença tenhamos "ou ou* como um 
Teorema.
O que estamos dizendo é que. não podem existir £ sentenças que sejam independentes. 
Veiamos a Aritmética de Rabinson
61
Esta é teoria de primeira ordem que não é completa. É muito importante, porém que isto não 
seja confundido com decidibilidade.
2.2 Consistência
Tendo como base a lógica clássica, para que uma teoria seja considerada consistente, não deve 
ser possível que dela derive uma contradição i . De acordo com o teorema da consistência, 
não existe fórmula g , tal que 3 e r ? e no sistema dedutivo.
Prova: se para alguma fórmula 0 da linguagem temos .1- óeH -/• então |= o
que é um absurdo.
Podemos afirmar então que um conjunto de fórmulas é inconsistente, se para alguma 
fórmula 0 da linguagem r existir F h 0 í H------3 Da niesma forma, dizemos que o conjunto de
fórmulas é consistente se não for inconsistente.
Podemos afirmar então que um conjunto de fórmulas P é inconsistente, se para alguma 
fórmula 0 da linguagem r existir F n 0 e F f- Da mesma forma, dizemos que o conjunto de 
fórmulas P é consistente se não for inconsistente.
Para facilitar o entendimento, observemos que, tomando qualquer fórmula 5 o conjunto ') 
é inconsistente. Sendo assim, sendo T consistente e I «K a< entào T U {— a] é consistente 
Lema 1: Se o conjunto de formulas p e inconsistente enlao
T não é satisfazrvel:
T I- a para toda formula a:
Existe A c T finito e Inconsistente.
Prova: seja r um conjunto Inconsistente de formulas
A demonstração do item 1 pede ser obtida apenas observando que de Tf Ô e TF -,1 para 
algum S tem-se F j~ 0 e F r tf de modo que sendo r satisfiazível. então je J são 
satisfatfveis. um absurdo.
Para demonstrar o Item 2. basta observar que se r é incons stente. então por definição, 
ri- jSe FF / para algum 0. Ainda, de acordo com a Lei de Duns Scotus {(}, 0} 1- a 
Aplicando então as propriedades de K podemos concluir que F F a para qualquer fórmula a.
0 Item 3. por sua vez. pode ser demonstrado tomando ,'<5|, fí., ., 5n) uma prova a partir de
F para l<. • (^ ><*)). a negação do axioma Al. a qual existem pelo item 2. Assim sendo. □
subconjunto A. que e formado pelo conjunto das formulas 0, da prova, é um conjunto finito e 
vale que A F -> (j0 -> a)). Dado então que se trata de um axioma, temos que 
A - ú ■ (j9 -) <j) sendo assim a 0 um conjunta Inconsistente
Lema 2: Se r ê consistente e F P' a. então T j { a} é consistente
Prova: Suponha r é consistente p r X a Agora considere FJ = F J {-<a} agora vamos 
supor que p seja Inconsistente. Com base no Item 2 do Lema 1. Pi- /9 para qualquer 
fórmula 0 em particular, p» u a. Aplicando 0 teorema de dedução, temos então que 
F i -•« —» assim. T ■- (->a —> o) _> cr. concluímos por Modas Panem que rba.fi 
que e uma contradição.
62
3. LINGUAGENS FORMAIS
Toda e qualquer linguagem é constituída de um conjunto de elementos básicos que formam 
o seu alfabeto. Este alfabeto é que define o conjunto contável de símbolos que podem ser 
utilizados na linguagem, além de uma gramática que caracteriza sua sintaxe, ou seja, especifica 
as formas como os símbolos podem ser agrupados para que se formem expressões admissíveis 
da linguagem.
3.1 Linguagens formais - definições
O que diferencia a linguagem formal da linguagem natural é o fato de a linguagem