Algebra Linear - Steinbruch

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cos 0 -sen 0 
sen 0 cos 0 
o o 
SUMÁRIO 
Prefácio da 2~ edição 
Capítulo 1 
Capítulo 2 
Capítulo 3 
VETORES 
Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 
Operações com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 
Vetores no JR 2 • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 5 
Igualdade e operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 
Vetor definido por dois pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 
Produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 
Ângulo de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 O 
Paralelismo e ortogonalidade de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 
Vetores no R 3 • . . • . • • . • • • • • • • • . . • • • • • . . • . . . • • • • • • • • • • • 13 
ESPAÇOS VETORIAIS 
ln tradução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . 
Espaços vetoriais .. . .. . . . . . ................... .... ..... . 
Propriedades dos espaços vetoriais . . .... .. . . . ... .... . ..... . . . 
Su be.spaços vetoriais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Combinação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . 
Espaços vetoriais finitamente gerados . . . . . . . . . . . . ........ .... . 
Dependência e independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ..... . 
Base e Dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Espaços vetoriais isomorfos ............ . .. . ..... : ......... . 
Problemas 
ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 
Produto interno em espaços vetoriais ............ . .. . ........ . 
15 
18 
24 
25 
39 
53 
53 
66 
86 
106 
y 
VI Á/Kebra lineor 
Espaço vetorial euclidiano .. · .... : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 
Módulo de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 
Ângulo de dois vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 
Vetores ortogonais. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 
Conjunto ortogonal de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 
Conjuntos ortogonais entre si. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 
Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 132 
Problemas 
Capítulo 4 TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
Trarufonnações lineares ......... . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 
Núcleo de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 
Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 
Matriz de uma transformação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 181 
Operações com transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 
Transformações lineares planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 
Transformações lineares no espaço . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 
Problemas 
Capítulo 5 OPERADORES LINEARES 
Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 230 
Operadores inversíveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 
Mudança de bue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 
Matrizes semelhantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . 244 
Operador ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 
Operador simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 
Problemas 
. 
Capítulo 6 VETORES PRÕPRIOS E VALORES PRÕPRIOS 
Vetor próprio e valor próprio de um operador linear . . . . . . . . . . . . . . . 276 
Determinação dos valores próprios e dos vetores próprios . . . . . . . . . . . . 278 
Propriedades dos vetores próprios e valores próprios . . . . . . . . . . . . . . . . 286 
Diagonização de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 
Diagonização de matrizes simétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 
Problemas 
Capítulo 7 'FORMAS QUADRÁTICAS 
Forma quadrática no plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 
Cônicas .. ........ . ... . ..... .. .... - ·· . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 
Notas complementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 7 
Forma quadrática no espaço tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 
Quádricas. . . . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 8 
Problemas 
Apêndice A MATRIZES/DETERMINANTES/SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES 
MATRIZES 
Definição de matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Matriz quadrada . . . .. .. ... . : . . .. : ·. . . . . . . . . . . . .. ..... . . . 
369 
371 
S!'máriO 
Matriz zero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . 
Igualdade de matrizes .. ... ................................. . 
Adição de matrizes ..... . .............. . .. . .. ............ ... . 
Produto de uma matriz por um escalar .......................... . 
Produto de uma matriz por outra .............................. . 
Matriz transposta .......................................... . 
Matriz simétrica ..... ................ . ......... .. .... ...... . 
Matriz anti-simétrica ........................................ . 
Matriz ortogonal ..................... . . .. .... . . .. ... ....... . 
Mtriz. tº l . a nangu ar supenor ................................... . 
Matriz triangular inferior .................................... . 
Potência de uma matriz ........ . ............................. . 
DETERMJNANTES 
VII 
374 
374 
374 
375 
376 
398 
400 
401 
402 
403 
403 
404 
Classe de uma permutação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 
Termo principal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 
Termo secundário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 
Determinante de uma matriz.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 
Ordem de um determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 
Representação de um determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421 
Preliminares para o cálculo dos determinantes de 2ª e de 3ª ordem.. . . 422 
Cálculo do determinante de 2ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 
Cálculo do determinante de 3ª ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 
Desenvolvimento de um determinante por uma linha ou por uma coluna 432 
Propriedades dos determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 
Cálculo de um determinante de qualquer ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446 
INVERSÃO DE MATRIZES 
Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 
Ma triz singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 
Matriz não-singular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ·. . . . . . . . 467 
Propriedades da matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468 
Operações elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 
Equivalência de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 71 
Inversão de urna matriz por meio de operações elementares . . . . . . . . . 476 
SISTEMASDE EQUAÇÕES LINEARES 
Equação linear ........ ... . .- . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 
Sistemas de equações lineares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 
Solução de um sistema linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505 
Sistema compatível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 
Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507 
Operações elementares e sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . .. . . 508 
Sistema linear homogêneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 O 
Estudo e solução dos sistemas de equações lineares . . . . . . . . . . . . . . 51 O 
.. ,.,,~lcu•-nc-
CAPÍTULO 
VETORES 
1.1 VETORES 
Este capítulo tem por finalidade precipua revisar resumidamente a noção de vetor no 
R 1 e no R 3 e suas propriedades, as quais já devem ser do conhecimento do leitor1 • 
Sabe-se que os vetores do plano ou do espaço sã"o representados por s,gmentos orientados. 
Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo com-
primento são representantes de wn mesmo vetor. Por exemplo, no paralelogramo da Figura 1.1 a, 
os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v, e escreve-se 
- -v = AB = CD 
A e 
Fipra l. t 
O assunto pode ser visto em detalhes no livro Geome tria Analltú:a, dos autores desta Álgebra Linear, 
Editora McGraw-Hill. 
1 
2 À/gebra linear 
-Quando escrevemos v = AB, estamos afumando que o vetor é determina.do pelo segmento 
orientado AB de origem A e extremidade B. Porém, qualquer outro segmento de mesmo com-
primento, mesma direção e mesmo sentido de AD representa também o mesmo vetor v. Assim 
sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem de um segmento orientado que 
é representante do vetor v. 
O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o módulo, a direção 
e o sentido de qualquer um de seus representantes. Indica-se o módulo de v por I v 1. 
Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero ( ou vetor nulo), que é indicado 
por O. 
A cada vetor não-nulo v corresponde um vetor oposto -v, que tem o mesmo módulo, 
a mesma direção, porém sentido contrário ao de v (Figura 1.1 b ). 
Figura 1.lb 
Um Yetor v é unitário se I v 1 = 1. 
Dois vetores u e v são colineares se tiwrem a mesma direç!'o. Em outras palavras: u e v 
são colineares se tiwrem representantes AB e CD pertencentes a wna mesma reta ou a retas 
paralelas (Figura l.lc). 
Figura 1.lc 
Se os vetores não-nulos u, v e w (o número de vetores não importa) possuem represen-
tantes AB, CD e EF pertencentes a um mesmo plano 1T (Figura l .ld). diz-se que eles são 
coplamres. 
Vetores J 
V 
Fsua l.ld 
1.2 OPERAÇÕES COM VETORES 
·1.2.1 Adição de Vetores 
Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos orientados AB e BC, respectiva-
mente (Figura 1.2a). 
B 
A e 
Figura 1.2a 
-Os pontos A e C determinam o vetor soma AC = u + v. 
1.2.1.1 Propriedades da adição 
I) Associativa: (u + v) + w = u + (v + w). 
II) Comutativa: u + v = v + u. 
Ili) Existe um só vetor nulo O tal que, para todo vetor v, se tem: 
v+0=O+v=v 
IV) Qualquer que seja o vetor v, existe wn só vetor -v (vetor oposto de v) ta) que: 
V+ (-v) = -V+ V= 0 
4 Álgebra linear 
Observações 
1) A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u + (-v ). Sejam os vetores u e v 
representados pelos segmentoit orientadoii AB e AC, reitpectivamente_ Construído o paralelogramo 
ABCD (Fígura 1.2b), verifica-se que a soma u + v é representada pelo segmento oríentado AD 
(uma das diagonais) e que a diferença u - v é representada pelo segmento orientado CB (a outra 
diagonal). 
D. 
V V 
Figura 1.lb 
2) Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que; 
a) a soma u + v (ou v + u) tem origem no referido ponto; 
b) a diferença u - v tem origem na extremidade de v (e, por conseguinte, a diferença v - u 
tem origem na extremidade deu). 
1.2.2 Muttiplicaçfo de um Número Real por um Vetor 
Dado um vetor v * O e um número real k * O, chama-se produto do número real k 
pelo vetor v o vetor p = kv, tal que: 
a) módulo: 1 PI= lkvj = I kll vi; 
b) direção: a mesma de v; 
e) sentido: o mesmo de v se k > O; e contrário ao de v se k < O. 
A Figura 1.2.2 mostra o vetor v e os correspondentes 2v e -3v. 
Obser11tJções: 
1) Se k = O ou v = O, o vetor kv é o vetor O; 
2) Se k=-J, o vetor (-l)v éoopostode v, isto é, (-l}v=-v. 
Figura 1.2.2 
1.2.2.1 Propriedades da Multiplicação por um Número Real 
Se u e v são vetores quaisquer e a e b números reais, temos: 
I) a(bu) = (ab) u 
II) ( a + b) u = au + bu 
III) a(u + v) = au + av 
IV)Iu=u 
1.3 VETORES NO R 2 
O conjunto 
R2 = IR x IR= { (x. y) / x, y E IR} 
é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano xOy. 
Vetores 5 
-Qualquer vetor AB considerado neste plano tem sempre um representante (segmento 
orientado OP) cuja origem é a origem do sistema (Figura 1.3a). 
Em nosso estudo consideraremos geralmente vetores representados por segmentos orien• 
· tados com origem na origem do sistema. Nessas condições, cada vetor do plano é determinado -pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y) indivíduaHza o vetor v = OP (Figura 
1.3b) e escreve-se: 
v= (x, y) 
identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. 
6 Àlgebro linear. 
y 
A 
o 
y 
y 
o X 
Fwwa 1.3b 
A origem do sistema 0(0, O) representa o vetor nulo. 
Ovetoropostode v:(.x,y) éovetot -v=(-x,-y). 
1.4 IGUALDADE E OPERAÇÕES 
1.4. 1 Igualdade 
B 
p 
X 
p 
X 
Dois vetores u=(x1 ,yi) e v=(x:2,Y:2) sãoiguaisse,esornentese, x1 =x2 e Y1 =y2 , e 
escreve-se u = v. 
Vetores 7 
Exemplos: 
l) Os vetores u = (3, 5) e v = (3, S) são iguais. 
2) Se o vetor u = (x + l, 4) é igual ao vetor v = (S, 2y - 6), de acordo com a definição de igual-
dade de vetores, x + I = 5 e 2y - 6 = 4 ou x = 4 e y = 5. Assim, se u = v, então x = 4 
e y = 5. 
1.4.2 Operações 
Sejam os vetores u = (x1 , yi) e v = (x2 , Y2) e a E lt Define-se: 
a) u+v=(x1 +x2,Y1 +y2) 
b) au=(ax1,aY1) 
Portanto, para somar dois vetores, somam-se suas componentes correspondentes e, para 
multiplicar um vetor por um número, multiplica-se cada componente do vetor por este número. 
Porexemplo,se u=(4,l) e v=(2,6), aFigural.4.2amostraque: 
U +V= ( 4, I) + (2, 6) = ( 4 + 2, J + 6) = ( 6, 7) 
e a Figura l .4.2b mostra que: -• 
2u = 2(4, 1) = (2(4), 2(1)) = (8, 2) 
y 
y 
X 
ó 
Figura 1.4.2a Pígu,a 1.4.lb 
2u 
X 
8 Àlgebra linear 
1.5 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS 
Ocorre, às vezes, o caso de um vetor ser representado por um segmento orientado que não -parte da origem do sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto Alx 1 • y1 ) e extremi-
dade B(x2 , y 2 ) (Figura 1.5). 
y 
A 
B 
o X 
Figma l.S 
-De acordo~ o~e foi visto no item J .2.1. 1 - (Observação 2), o vetor AB é a diferença 
entre os vetores 0B e OA: - - -AB =0B -OA 
e, portanto : 
ou: 
-isto é, as componentes do vetor AB são obtidas pela diferença entre as coordenadas da extremi-
dade B e as da origem A. -Por exemplo, se A ( -1 , 3) e B (2 , -2 ), o vetor AB será: 
-+ 
AB = B - A= (2, -2) - (-1, 3) = (3 , -5) 
Vetores 9 
1.6 PRODUTO ESCALAR 
1.6.1 Definiçã'o 
Chama-se produto esca"lar (ou produto interno usual) de dois vetores u = (x1 , yi) e 
v = (x2 , y2 ), e se representa por u . v, ao número real : 
O produto escalar de u por v também ,é indicado por < u, v > e se lê "u escalar v~•. 
Por exemplo, se u = (2, 3) e v = (4, -1), tem-se : 
U .V= 2(4) + 3(-1) = 8 - 3 = 5 
1.6.2 M6dulo de um Vetor 
Módulo de um vetor v = (x, y), representado pOI I vi, é o número real não-negativo: 
l vl= ..../v.v 
ou, em coordenadas: 
1 vi= v' (x, y) . (x, y) 
ou, ainda: 
Por exemplo, se. v = (3, -4), então : 
lvl=v'32 +(-4)2 =.J9+16='12s = 5 
V 
A partir de cada vetOI v * O é possfvt=I obt,er um vetor unitário u fazendo u = 
1 
v 
1
. 
Por exemplo, é unitárioo vetor: 
u= 
(3, -4) _ (3, -4) 
1(3, -4)1- ✓ 3" + (-4)2 
-Observação: Dado um vetor AB com extremidades nos pontos A(x1 , yi) e B(x2 , Y1), o 
módulo desse wtor será: 
Assinale-se que a distância entre os pontos A e B é calculada pela mesma fórmula. 
J O Ãlgebra linear 
1.6. 3 Propriedades do Produto Escalar 
Dados os vetores u, v e w quaisquer e k E: R, tem-se: 
I)u . u;;..o e u.u=0 se, esornentese, u=0 =(0, 0) 
II) u . v = v . u (comutativa) 
III) u . (v + w) = u. v + u . w (distributiva em relação à adição de vetores) 
lV) (mu) . v = m(u. v) = u. (mv) 
V)u . u=lul 2 
Observações: Como conseqüência das propriedades do produto escalar, vem: 
1) lu+vi 2 = 1ul 2 + 2 u.v+lvl 2 
Com efeito: 
lu+ vl 1 =(u + v). (u + v) = u . (u+ v) + v.(ut v) 
l u + V 12 = u. u + u. V+ V. u +V. V 
l u + v 12 = 1 u 12 + 2u . v + l v 12 
2) De modo análogo, mostra-se que: 
1.7 ÂNGULO DE DOIS VETORES 
O ângulo de dois vetores u = OA e v = OB , não-nulos (Figura 1.7a), é o ângulo 0 for-
mado pelas semi-retas OA e OB (Figura 1.7b) e tal que O~ 8 ~ rr. 
o 
Fipm 1.7• Figun 1.7b 
Vetores li 
1.7.1 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores 
Sejam os vetores u '# O e v '# O. O ângulo 8 formado por u e v pode ser calculado 
pela fórmula: 
.o U. V oosu=--
lul lvl 
e 
V 
F~ura l.7.1 
Com efeito, aplicando a lei dos co-senos ao triângulo ABC da Figura 1.7.l. vem: 
1 U - V I' = 1 U [ 2 + [ V 12 - 2 1 U 1 1 V 1 COS 8 (1) 
Mas, de acordo com o item 1.6.3 (Observação 2), pode-se escrever: 
(2) 
Comparando as ígualdades (2) e (1 ): 
logo: 
u.v=lul [vi cos0 
e: 
8 
U. V 
cos = 
lul lvl 
(l.7.1) 
Uma vez calculado o cos 8, o ângulo (J é encontrado numa tabela de co-senos. 
12 Á lgebra linear 
Por exemplo, se u = (-2, -2) e v = (O, -1), o ângulo 0 pode ser calculado por intermédio 
. da Fórmula(l.7.1): 
cos 
8 
= u. v (-2, -2) . (O, - 2) 
1 ll 1 1 V 1 ✓ (-2)2 + (-2)2 X ✓ 02 + (-2)2 
0+4 4 
cos8; =----
J4+-1 X .jõ+4 v'8 X v'4 
1 .,/2" 
cos8=-=--
vf 2 
../2 
8 = are cos --
2 
fJ =- 45° 
4 
2y'2 X 2 
1.8 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS VETORES 
a) Se dois vetores u = (x1, yi) e v = (x2, y2) são paralelos(ou colineares), existe wn número k 
tal que: 
u=kv 
ou; 
o que ímplica: 
X y _1 __ 1=k 
X:2 Yi 
isto é, doís vetores u e v são paralelos quando suas componentes são proporcionais. Representa-
se por u / / v dois vetores u e v paralelos. 
Por exemplo, os vetores u = (-2, 3) e v = (-4, 6) são p~--alelos, pol~: 
-2 3 -=-
-4 6 
ou seja: 
Vetores JJ 
b) Se dois vetores u = (x1 , yi) e v = (x2 , y2 ) são ortogonais, o ângulo 8 por eles formado é 
de 90º, e, portanto, cos fJ = cos 90° = O, o que implica, pela Fórmula (l .7.l): 
U .V: Ü 
ou: 
isto é, dois vetores u e v são ortogonais quando o produto escalar deles é nulo. Representa-se 
por u l v dois vetores u e v ortogonais. 
Por exemplo, os vetores u = (2, 3) e v = (-3, 2) são ortogonais, pois: 
U. V= 2(-3) + 3(2) =-ó t 6: 0 
1.9 VETORES NO IR3 
O conjunto 
IR3 = R x IR x IR= { (x, y, z) / x, y, z E IR} 
é interpretado geometricamente como sendo o espaço cartesiano tridimensional Oxyz. 
Da mesma forma como fizemos para o plano, consideraremos gerahnente vetores repre-
sentados por segmentos orientados com a origem na origem do sistema. Nessas condições, cada 
vetor do espaço é determinado pelo ponto extremo do segmento. Assim, o ponto P(x, y, z) -individualiza o vetor v = OP (Figura 1.9) e escreve-se: 
v-(x,y,z) 
identificando-se as coordenadas de P com as componentes de v. 
, 
Figura 1.9 
14 Álgebra linear 
A origem do sistema 0(0, O, O) representa o vetor nulo. 
O vetor oposto de v = (x, y, z) é o vetor -v = (-x,-y, -z). 
De forma análoga à que tivemos no plano, teremos no espaço: 
I) Dois vetores u=(x1 ,Y1 ,zi) e v=(x2 ,y2 ,z2 ) sãoiguaisse,esomentese, x1 =x2 , 
Y 1 :::: Y 2 e Z1 = ½ . 
li) Dados os vetores u=(x 1,y1,z1 ) e v=(x2 ,y2 ,z2 ) e aE IR, define-se: 
Ili) Se A(x1 ,y1 ,zi) e B(x2 ,y2 ,z2 ) slio dois pontos quaisquer no espaço, então: 
IV) O produto escalar dos vetores u = (x1 , y 1 , z1) e v = (x2 , y2 , z2 ) é o número real: 
V) O módulo do vetor v = (x, y, z) é dado por: 
1 v 1 = J x2 + y2 + z2 
VI) se u e v são vetores não-nulos e 0 é o ângulo formado por eles, então: 
ll U,V 
cosu =---
! uJ lv 1 
a) u // v se, e somente se,~ = ~ 2·1 
X2 Y2 - z2 ' 
CAPÍTULO 
ESPACOS 
• 
VETORIAIS 
2.1 INTRODUÇÃO 
Sabe-se que o conjunto: 
JR2 = { (x, y) / X, y E IR} 
é interpretado geometricamente como sendo o plano cartesiano. Um par (x, y) pode ser 
encarado como wn ponto (Figura 2.la) e, nesse caso, x e y são coordenadas, ou pode ser 
encarado como umvetor(Figura2.lb) e, nesse caso, x e y são componentes(oucoordenadas). 
Essa mesma idéia, em relação ao plano, estende.se para o espaço tridimensional que é a 
interpretação geométrica do conjunto JR3 • Embora se perca a visão geométrica de espaços com 
dimensão acima de 3, é possível estender essa idéia a espaços como JR4 , JR.5 , •.• , mn. Assim, 
y y 
• (x, y) 
(x,y) 
o 
X 
o 
X 
Fi.gun 2.la F@ura2.lb 
/5 
16 Álgebra linear 
quádruplas de números (x1 , x2 , x 3 , x4 ) podem ser vistas como pontos ou vetores no espaço 
IR.4 de quarta dimensão. A quíntupla (2, -1, 3, 5, 4) será interpretada como um ponto ou 
wn vetor no espaço IR.s de dimensão cinco. Então, o espaço de dimensão n (ou espaço 
n-dimcnsional) será constituído pelo conjunto de todas as n-uplas 1.>Tdcnadas e representado 
por 1Rn, isto é: 
IRº = { (x1 , x1 , ••• , x0 ); Xj E IR} 
A maneira de se trabalhar nesses espaços é idêntica àquela vista em IR.2 e em IR3 • 
Por exemplo, se: 
u=(x1,x2, ... ,xn) e v=(y1,Y2, ... ,Yn) 
são vetores no IRº e a um escalar, define-se: 
b) u+v=(x1 +y1,X2 +yz, ... ,Xil +yn)-
d) u.v = X1Y1 +X2Y2 + ... +¾Yn· 
e) 1 U 1 =yu.u = ✓Xi+ .Jq + ... +X~. 
Desde já é bom observar que o vetor u = (x1 , x2 , ... , x0 ) aparecerá, às vezes, com a notação 
matricial (matriz-coluna n x I): 
u= 
e é fácil ver que u + v e au na notação matricial são os vetores: 
X1 Y1 X1 +y1 
Xz Y2 X2 + Y2 
u+v= + = 
Espaços vetoriais 17 
au = a .::: 
Vamos agora transmitir uma idéia nova. Para tanto, consideremos dois conjuntos: o JR.0 e 
o conjunto das matrizes reais de ordem m x n, representado por M (m, n). Como nesses 
conjuntos estão definidas as operações de adição e multiplicação por escaJar, constata-se a exis-
tência de uma série de propriedades comuns a seguir enumeradas. 
Se u, v, w E JR.º, se o:,~ E IR e se A, B, C E M (m, n), podemos verificar que: 
a) Em relação à adição valem as propriedades: 
}) (u+v)+w=u+(v+w) e 
(A+ B) + C =A+ (B + C) 
2) u + v= v + u e 
A+B=B+A 
3) Existe um só elemento em JR.n e um só em M (m, n) 
indicado por O e tal que: 
u+O=u e 
A+O=A 
( associatividade da adição) 
( comutatividade da adição) 
( existência do elemento neutro) 
O elemento O, nesse caso, será o vetor O= (O, O, ... , O) E JR.0 , na primeira igualdade, e 
a matriz nula: 
O= 
o 
o 
o 
o 
na segunda igua:dade. 
o 
o 
o 
E M(m, n) 
J 8 Àlgebra linear 
4) Para cada vetor u E 1Rn e para cada matriz A E M (m, n) existe um só vetor -u E IR.n 
e uma só matriz -A E M (m, n) tais que 
u + (-u) = O e 
A +(-A)= O ( existência do elemento simétrico) 
Por exemplo, se tivermos u = (x1, x2 , ... , Xn), então o vetor simétrico é 
-u = ( -x1 , -x2 , ... , -xn), e, caso semelhante, para a matriz A e sua correspondente simétrica -A. 
b) Em relação à multiplicação por esealar valem as propriedades: 
1) (ai-3) u = a (J3u) e 
(ai,3) A=~ (/jA) 
2) (a: + j3) u = au + Pu e 
(a+ j3)A = aA + 6A 
3) a: (u + v) = o:u + a:v e 
a(A+B)=aA+a:B 
4) Iu = u e 
IA=A 
Conforme acabam.os de ver, os conjuntos JRº e M (m, n), munidos desse par de operações, 
apresentam uma "estrutura" comum em relação a essas operações. Esse fato não só vale para 
esses dois conjuntos com essas operações mas para muitos outros, razão porque vamos estudá-los 
simultaneamente. Esses conjuntos serão chamados espaços vetoriais. 
2.2 ESPAÇOS VETORIAIS 
Seja um conjunto V. não-vazio,sobre o qual estão definidas as operações adição e multi-
plicação por escalar, isto é: 
Vu, v E V, u + v E V 
VOI. E IR, Vu E V, crn E V 
O conjunto V com essas duas operações é chamado espaço vetorial real (ou espaço vetorial 
sobre IR) se forem verificados os seguintes axiomas: 
Espaços vetoriais ! 9 
A) Em relaça-o à adição: 
A1 ) (u + v) + w = u + (_v + w), Yu, v, w E V 
A2 ) u + v = v + u, Yu, v E V 
A3) 3.0 E V, Vu E V, u + O = u 
M) Em relação à mu1tiplicaçá"o por escalar : 
Mi) (aJ3) u = a (/3u) 
M2) (a+ /3) u ~ au + /3u 
M3) cx(u+v)=au+av 
M4 ) lu = u 
para Vu, V E V e Ya, J3 E JR. 
Observações 
I) Os elementos do espaço vetorial V serão chamados vetores, independentemente de sua 
natureza. Pode parecer estranho, e à primeira vista não deixa de ser, o fato de se chamar de 
vetores os polinômios (quando V for constituído de polinômios), as matrizes (quando V for 
constituído por matrizes) os números (quando V for um conjunto numérico), e assim por diante. 
A justificativa está no fato de as operações de adição e mui tiplicação por escalar realizadas com esses 
elementos de natureza tão distinta se comportarem de fonna idêntica, como se estivéssemos 
trabalhando com os próprios vetores do R 2 ou do R 3 . Assim, a familiaridade que temos com 
os vetores do R 2 e do IR3 terá continuidade nesses conjuntos. chamando seus elementos também 
de vetores. 
2) Se na definição acima tivéssemos tomado para escalares o conjunto C dos números 
complexos, V seria um espaço vetorial complexo. Daqui por diante, salvo referência expressa 
em contrário, serão considerados somente espaços vetoriais reais. Assim, quando se disser que V 
é um espaço vetorial, deve ficar subentendido que V é um espaço vetorial sobre o conjunto 1R, 
do~ números reais. 
20 Ãlgebra linear 
Exemplos 
1) O conjunto V= IR2 = {(x,y)/x,yE IR} é um espaço vetorial com as operações de 
adição e multiplicação por um número real assim definidas: 
a (x, y) = (o:x, ay) 
Essas são as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 
Para verificarmos os oito axiomas de espaço vetorial, consideremos u = (x1 , y 1 ), v-== (x2 , Y2) 
e w = (x3 , y3 ). Tem-se: 
A1) (u+ v) +w=((x1, Y1) + (x2, Y2)) + (x3, y3) 
(u+v)+w=((x1 +x2,Y1 +y2))+(x3,y3) 
(u+v)+w=((x1 +x2)+x3,(Y1 +y2)+y3) 
(u + v) + w = (x1 + (x2 + X3), Y1 + (Y2 + Y3)) 
(u+v)+w=(x1,Y1)+(x2 +x3,y2 +y3) 
(u + v) + W = (x1, Y1) +((xi, Y2) + (X3, y3)) 
(u + v) + w = u + (v + w) 
A2) u+ v=(x1, Y1) + (x2, Y2) 
u+v=(x1 +x2,Y1 +y2) 
u + v = (x2 + X1, Y2 + Yt) 
u + v = (x,, Y2) + (xi, yi) 
u+v=v+u 
A3 ) 30 = (O, O) E IR.2 , Vu E JR.2, u +O= (x1 , y 1) + (O, O) 
u +O= (x1 + O, Y1 + O) 
u + O= (x1, Y 1) 
u+ O= u 
A4) Vu=(x1,Y1)E IR2 , 3:(-u)=(-x1,-Y1)E IF..2, 
U + (-v) = (x1, Y1) +(-Xi, -Y1) 
u+(-u)=(x1 -x1,Y1 -Y1) 
u+ (-u) = (O, O)= O 
M1) (o:{I) u = (aj3) (X1, Yt) = ((o:JJ) XJ, (a'1>y1) = (o:0Jx1 ), o: 03Y1 )) 
(o:'3) u"' o: (Px1, 13Y1) = a 03(x1, ys)) 
(o:P) u = o:(Pu) 
Eq,aços vetoriais 21 
M2 ) (a+~)u=(a:+/3)(x1,Yi>=((o:+t1)x1,(a+/3)y1)=(0:x1 +'3x1,flY1 +.t3Y1) 
(o:+ 13)u= (ax1 ,O:Y1) + (Px1 ,llY1) = o: (x1, Y1) + IJ(x1, Y1) 
(a +'3)u=õ:u+ Pu 
M3 ) a(u+v)=a((x1,y1)+(x2,Y2))=a(x1 +x2,Y1 +y:2)=(0:(x1 +x2),a(y1 +y2)) 
o:(u+v) = (o:x1 +o:x2, o:y1 +o:y2) = (o:x1, o:y1) +(ax2,0:Y2) 
o:( u + v) = o:( x 1 , y i) + a( x 2 , y 2 ) = o: u + e,. v 
M4) lu= l(x1,Y1)=(Ix1, lyi)=(x1,Y1) 
Iu= u 
2) Os conjuntos R 3 , R 4 , ..• , Rn são espaços vetoríais com as operações de adição e 
multiplicação por escalar usuais. Depois de verificados os oito axiomas de espaço vetorial para 
o IR.2, os mesmos ficam também evidentes nos conjuntos acima citados. 
3) O conjunto IR em relação às operações usuais de adição e multiplicação por escalar. Os 
vetores, nesse caso, são números reais, e sabe-se que a adição de números reais verifica as proprie-
dades A 1 , A 2 , A3 e A4 da definição de espaço vetorial. Assim, também, o produto de reais é um 
número real, e a operação multiplicação satisfaz os axiomas M1 , M2 , M3 e M4. 
4) O conjunto M (m, n) das matrizes m x n com as operações adição e multiplicação por 
escalar usuais. 
Em particular, o conjunto M(n, n) das matrizes quadradas, de ordem n, é um espaço 
vetorial relativamente às mesmas operações. 
S} O conjunto 
dos polinômios com coeficientes reais de grau ~ n, mais o polinômio nulo, em relação às 
operações usuais de adição de polinômios e multiplicação por escalar. 
Em particular, o conjunto 
é um espaço vetorial relativamente às mesmas operações. 
22 Álgebra linear 
6) O conjunto 
V= {f: IR_.., R} 
das funções reais definidas em toda reta. Se f, g E V e a E R, define-se; 
x ~ (f + g) (x) = f(x) + g(x) 
e: 
0: f: IR - IR 
x- (at) (x) = af(x) 
7) O conjunto 
V= {(x,x2 )/xE IR} 
com as operações definidas por: 
(x1, xi) 0 (x2, Xi)= (x1 + x2, (x1 t x2 )2) 
o:Q (x,x2 )=(0'.x,o: 2 x2 ) 
é um espaço vetorial sobre IR. 
Os símbolos G) e 0 são utilizados para indicar que a adição e a multiplicação por escalar 
não são as usuais. 
8) O conjunto 
V= {(x,y)/x,y>O} 
é um espaço vetorial com as operações adição e multiplicação por escalar defuúdas assim: 
a 0 (x, y) = (x'\ yª) 
Espaços vetoriais 23 
O trabalho de testar os oito axiomas de espaço vetorial é um ótimo exercício para o 
leitor, o qual observará, por exemplo, que o elemento neutro da adição © (axioma A3 ) é o 
vetor (l, I) e que o elemento simétrico (axioma A4 ) de cada vetor (x, y)E V é o vetor 
(_l 2---)E V. 
X ' y 
9) Seja o conjunto: 
R2 = { (a, b)/a, b E ~} 
Vamos mostrar que o conjunto R 2 não é um espaço vetorial em relação às operações 
assim definidas: 
(a, b) + ( e, d)= (a+ c, b + d) 
k(a, b) = (ka, b) 
Ora, como a adição aqui definida é a usual, verificam-se os axiomas A1 , A2 , A3 e A4 de 
espaço vetorial, conforme vimos no exemplo 1. Logo, devem falhar algum ou alguns dos axiomas 
relativos à multiplicação. Vamos testá-los. 
Consideremos: 
e o:, (3 E .IR 
Temos, então: 
M1) (a(j) u= (cx./3) (x1, yi) = ((o:/3) x1, y 1)= (o: (13xi). yi)= o:(/Jx1, y 1 ) 
(a{3) u = O! ({3 (x1 , y 1 )) = o: ({3u) 
(Este axioma se verifica.) 
~2) (a+ /3) u =(o:+ 11) (x1, Y1) =((o:+ 13) x,, yi) = (ax1 + Px1, Y1) 
QU + (3u = O'.(X1, Y1) t /3(x,, Yt) = (O'.X1, Y1) + (/JX1, Y1) = (O'.X1 + /3x1, 2yi) 
Como se vê: 
e, portanto, nào se verifica o axioma M2 , o que comprova não ser um espaço vetorial o conjunto 
de que trata esse exemplo. 
24 Álgebra linear 
2.3 PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS 
Da definição de espaço vetorial V decorrem as seguintes propriedades: 
I) Existe um único vetor nulo em V (elemento neutro da adição). 
II) Cada vetor u E V admite apenas um símé'tríco (-u) E V. 
UI) Para quaisquer u, v, w E V, se u + w = v + w, então u = v. 
IV) Qualque1 que seja v E V, tem-se: 
-{-v) =v 
isto é, o oposto de -v é v. 
V) Quaisquer que sejam u, v E V, existe um e somente um x E V tal que: 
u+x=v 
Esse vetor x será representado por: 
x=v-u 
VI) Qualquer que seja v E V, tem-se: 
Ov= O 
Natural.mente, o primeiro zero é o número real zero, e o segundo é o vetor O E V. 
VII) Qualquer que seja À E R, tem-se: 
ÃO=O 
VIII) Àv = O implica À= O ou v = O. 
IX) Qualquer que seja v E V, tem-se: 
(-1) v= -v 
Espaços vetoriais 25 
X) Quaísquer que sejam v E V e À E R, tem-se: 
(-X) v = À(-v) = -(Àv) 
2.4 SUBESPAÇOS VETORIAIS 
Sejam V um espaço vetorial e S um subconjunto não-vazio de V. O subconjunto S é . 
um subespaço vetorial de V se S é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação 
por escalar definidas em V. 
Para mostrar que um subconjunto S é um subespaço vetorial de V, deveríamos testar 
os oito axiomas de espaço vetorial relativos à adição e à multiplicação por escalar. No entanto, 
como S é parte de V, que já se sabe ser um espaço vetorial, não há necessidade da verificação 
de certos axiomas em S, Por exemplo, o axioma A2 diz que u + v = v + u, Vu, v E V. Ora, se 
a comutatividade da adição é válida para todos os vetores de V, ela valerá, conseqüentemente, 
Pll!ªtodos os vetores de S. Existem outros axiomas de espaço vetorial merecedores de comen-
tário idêntico. O teorema seguinte estabelece as condições para que um subconjunto S de um 
espaço vetorial V seja um subespaço vetorial de V. 
2.4.1 Teorema 
Um subconjunto S, não-vazio, de um espaço vetorial V é um subespaço vetorial de V se 
estiverem satisfeitas as condições: 
I) Para quaisquer u, v E S, tem-se: 
u+vE S 
II) Para quaisquer o E IR, u E S, tem-se : 
.0-U E S 
Vamos mostrar que sendo válidas essas duas condições em S, os oito axiomas de espaço 
vetorial também se verificam em S. 
De fato: 
Seja u um vetor qualquer de S. Pela condição lI, a:u E S para todo a E R. Fazendo 
a=O, vem OuE S, ou seja, OE S (axioma A3 ). Fazendo o=-1,segue (-L)u=-uE S 
( axioma A4 ). 
26 Ãlgebra linear 
Os demais axiomas A1 , A2 , M,, M2 , M3 e M4 de espaço vetorial são verificados em S pelo 
fato de ser S um subconjunto não-vazio de V. 
Observaçaõ 
Todo espaço vetorial V admite pelo menos dois subespaços: o conjunto {O} , chamado 
subespaço zero ou subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial V. Esses dois são os subespaços 
trivúzis de V. Os demais subespaços são denominados subespaços própriDs de V. 
Por exemplo, os subespaços triviais de V= .IR3 são { (O, O, O)} (verificar as condições 
I e II do teorema 2.4.1) e o próprio R 3 . Os subespaços próprios do R 3 são as retas e os planos 
que passam pela origem. 
Para V= IR.2, os subespaços triviais são: { (O, O)} e R 2 , enquanto os subespaços próprios 
são as retas que passam pela origem. 
Exemplos 
1) Sejam V=.IR2 e S= {(x,y) E R2 /y=2x} ou S= {(x,2x);x E IR}, isto é, Sé o 
conjunto dos vetores do plano que têm a segunda componente igual ao dobro da primeira. 
Evidentemente, S * (/), pois (O, O) E S. 
Verifiquemos as condições l e II. 
Para u=(x1 ,2x1 )E Se v=(x2 ,2x2 )E S, tem-se: 
I) u + v = (x, + x2, 2x1 + 2x2 ) = (x1 + x 2 , 2 (x1 + x2 )) E S, pois a segunda componente 
de u + v é igual ao dobro da primeira. 
II) am = a (x,, 2x,) = (ax1 , 2 (Cl'.xi)) E S, pois a segunda componente de o:u é igual ao 
dobro da primeira. 
Portanto, S é um subespaço vetorial de R 2 . 
Esse subespaço S representa geometricamente uma reta que passa pela origem 
(Figura 2.4.Ia). 
Observemos que ao tomarmos dois vetores u e v da reta, o vetor soma u + v ainda 
é da reta. E se multíplícarmos um vetor u da reta por um número real o:, o vetor o:u aínda 
estará na reta. 
Espaços 11etoriais 27 
s 
X 
Figura 2.4. la 
O mesmo não ocorre quando a reta não passa pela origem. Por exemplo, a reta: 
não~ um subespaço vetorial do R2 • Se escolhermos os vetores u = (1, 2) e v = (2, O) de 
S, temos u + v = (3, 2) fÍ. S (Figura 2.4.lb). 
y 
Figma2.4.lb 
28 Álgebra linear 
Observemos ainda que o:u (f. S, para a =I= 1 . 
Os exemplos destas duas últimas retas sugerem, para qualquer subconjunto S de um 
espaço vetorial V, que: sempre que O ff. S. S não é subespaço de V. Aliás. esse fato é 
sempre útil para detectar, muitas vezes de imediato, que um subconjunto S não é subespaço 
vetorial. No entanto, não nos enganemos pensando que, se O E S, S é subespaço, pois 
podemos ter O E S sem que S seja subespaço. É o caso do subconjunto 
S= {(x;I xi); xE R}C Rz 
Observemos que (O, O) E S e que, se tomarmos os vetores u = (3, 3) e v - (-2, 2) 
de S, teremos u + v = (1, 5) ~ S (Figura 2.4 .l e). 
Observação 
-2 
y 
5 U + V 
/. ' ,, 
,, 1 ' 
3 -
2 
o 
' ' ' -r----
1 
Figura 2.4.lc 
Observemos ainda que o:u (l S, a < O. 
' 
3 X 
Nos exemplos trabalharemos ~mente com conjuntos não-vazios, ficando dispensada a 
necessidade de mostrar que o conjunto é não-va.z io. 
2) Sejam V= IR.3 e 
s= {(x,y,z)/E IR3 /ax+by+cz=O} 
Espaços vetoriais 29 
Nesse caso: 
v = ( x 2 , y 2 , z2 ) E S implica ax2 + by 2 + CZz = O 
l) Somando essas igualdades, resulta: 
e essa ígualdade mostra que: 
pois as coordenadas de u + v satisfazem a equação 
ax+by+cz=O 
II) Por outro lado, 
pois, se: 
então: 
ou: 
a{axl) + b (Qyi) + e (Qzi) = O 
o que vem mostrar que as coordenadas de au satisfazem a equação ax + by + cz = O. 
Logo, S é um subespaço vetorial de R 3 . Esse subespaço S representa um plano 
qualquer passando pela origem no JR3 • ; 
30 Âlgeb,a linear 
3) Sejam V = JR4 
e 
S = {(x,y,z,O); x , y,zE IR} 
isto é, S é o conjunto dos vetores de R 4 que têm a quarta componente nula. 
Verifiquemos as condições l e II de subespaço. 
Para u= (x1, Y1, Z1,0) E Se v= (x.2 , Y2 ,Z2 ,0) E S, tem-se: 
I) u + v = (x 1 + x2 , y 1 + y2 , z1 + z2 , O) E S, pois a quarta componente de u + v é nula. 
II) c:tu = (o: x1 , <l'.y1 , o:z1 , O) E S, pois a quarta componente de o:u é nula. 
Logo, S é um subespaço vetorial de R 4 • 
4) Sejam 
V • M(2 , 2) a [: 1 a, b, c, dE IR 
e 
S= 
isto é, S é o conjunto das matrizes quadradas, de ordem 2, cujos elementos da segunda linha 
são nulos. 
Para quaisquer 
ªz b2 
v = E S e o:E IR. 
o o 
Espaços vetoriais 31 
tem-se: 
I) u+vE S 
II) au E S 
Logo, S é um subespaço vetorial de M{2, 2). 
Observação 
É interessante observar que se tivéssemos considerado V = IR.4 e 
S = {( a, b, O, O); a, b E IR 1, 
o raciocínio seria idêntico ao que foi fei to para as matrizes acima. 
5) Sejam V= M (n, n), B urna mat1iz fixa de V e 
S = { A E M (n, n)/ AB = O} 
isto é , S é o conjunto das matrizes que, multiplicadas à esquerda por B, têm como resultado 
a matriz nula. 
Então: 
A1 E S implica A1 B = O 
A2 E S implica A2B = O 
I) Somando essas igualdades, vem: 
ou: 
e, portanto: 
32 Ãlgebra linear 
II) Multiplicando por ~ real a primeua igualdade, vem: 
ou: 
e, portanto: 
Logo, S é um subespaço vetorial de M(2, 2). 
6) Sejam V= M(3, 1) e 
S ·o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis. 
Consideremos o sistema homogêneo 
Faz.endo: 
3x + 4y- 2z = O 
2x+ y- z=O 
X• y + 3z = 0 
4 -2 X 3 
A= 2 1 -1 , X = y 
l -1 3 z 
o 
e O = O 
o 
o sistema, em notação matricial, será dado por AX-= O, sendo X elemento do conjunto-
solução S. 
Se 
Y:2 
espaços vetoriais 33 
são soluções do sistema, então: 
1) Somando essas igualdades, vem: 
ou: 
o que implica 
X1 + X, E S 
isto é, a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema. 
II) Multiplicando por o: real a primeira igualdade, vem: 
ou: 
o que implica 
isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução. 
Logo, o conjwtto-solução S do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de 
M(3,l). 
Observações 
1) Esse conjunto-solução S pode também ser considerado subespaço de R 3 , pois um 
vetor (x, y, z) E IR.3 tem notação matricial: 
X 
y 
z 
34 Álgebra Ji11ear 
2) Esse subespaço S é também chamado espaço-solução do sistema AX"' O. 
3) Se tivermos um sistema homogêneo de m equações lineares com n variáveis, o -
espaço-solução será um subespaço de R n. 
4) Se um sistema linear é não-homogêneo, o seu conjunto-solução S não é um subespaço 
vetorial (verificação a cargo do leitor). 
7) Sejam V == IR2 
2.4.2 
e 
S:: { (x, Y); X> 0 } 
isto é, S é o conjunto dos vetores de R 2 cuja primeira componente é positiva. 
Sendo 
vetores quaisquer do S, temos: 
I) u + v = (x, + x 2 , Y1 + y2 ) E S pois x 1 + X2 > O, isto é, a soma de dois vetores com a 
primeira componente positiva e um vetor cuja primeira componente é também positiva. 
li) au = (ax 1 , o:y 1 ) ~ S quando ex ~ O, isto é, nem sempre o produto de um vetor com 
a primeira componente positiva por um número real CI' resulta um vetor cuja primeira 
componente é positiva. Por exemplo, u == (3, -4) E S e -2 (3, -4) = (-6, 8) tj S. 
logo, S não é subespaço de R2 . 
Para chegar a essa conclusão PQder íamos ter usado o fato de que (O, O) €j S (imediata). 
Interseção de dois Subespaços Vetoriais 
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. A interseção S de S1 e S2 , que se 
representa por S = S1 n S2 , é o conjunto de todos os vetores v E V tais que v E S1 e v E S2 . 
Espaços ~etoriais ) 5 
2.4.2.1 Teorema 
A interseção S de dois subespaçosvetoríais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de 
V. De fato: 
I) se u, v E S1 , então u + v E S1 ; 
se u, v E ~ , então u + v E S2 . 
Logo: 
li) Para qual quer À E R : 
se v E S1 , então À v E S1 ; 
Logo: 
Exemplos: 
J) Seja V o espaço vetorial das matrizes quadradas de ordem 1: 
V= 
[: 
:] ; , , h , c, dE R 
Sejam S1 e ~ subespaços \-etoriais de V: 
[: 
36 Álgebra linear 
A interseção S = S1 n S2 é um subespaço vetorial de V: 
S= 
[º
ª 
2) Seja o espaço vetorial JR.3 = { (a, b, e); a, b, e E R } e os subespaços vetoriais 
S, ={ (a, b,O) ; a, b E R} e S2 = {(0, O, c); c E R} . A interseção S1nS1 éo 
subespaço vetorial S = { (O, O, O) } = {O} . 
2.4.3 Soma de dois Subespaços Vetoriais 
Sejam $1 e S2 doí$ subespaços vetoriais de V. A soma S de S1 e 8-i , que se repre-
senta por S = S 1 + S2 , é o conjunto de todos os vetores u + v de V tais que u E S1 e v E S2 . 
2.4.3. 1 Teorema 
A soma S de dois subespaços vetoriais S1 e S2 de V é um subespaço vetorial de V. De 
fato: 
Por outro lado : 
logo : 
Espaços vetoritl is 37 
II) Para qualquer À E IR : 
se u1 E S1 , então Ãu1 E S1 ; 
Por outro lado: 
logo: 
Exemplos 
1) A soma S dos subespaços vttoriais S1 e Si referidos no exemplo l de 2.4.2 .1 é um 
subespaço vetorial de V: 
2) Sejam os subespaços vetoriais S1 = ((a, b , O); a, b E R } e S2 : { (O, O, e); e E 1R ) do 
espaço vetorial IR3 = { (a, b, e); a, b, e E IR } . 
2.4.4 
A soma S1 + S2 é o subespaço vetorial S = { (a, b, e); a, b, e E R}, que, no caso, é 
o próprio R 3 • 
Soma Direta de dois Subespaços Vetoriais 
Sejam S1 e S2 dois subespaços vetoriais de V. Diz-se que V é a soma direta de S1 e 
S2 , ese representapor V=S1 (±)S2 , se V =S1 +S2 e S1 ns2 ={O} . 
38 Álgebra linear 
2. 4. 4. 1 Teorema 
Se V é a soma direta de S1 e S2 , todo vetor v E V se escreve, de modo único, na 
forma: 
v= u+w 
onde: 
De fato, de V= S1 G) ~, vem, para qualquer v E V: 
v = u + w, or.de u E S1 e v E S2 (2.4.4.l•I) 
Suponhamos que v pudesse exprimir-se também pela forma: 
' ' d 's 's V"'U+w, one uE 1 e wE 2 (2.4.4.1-II) 
As igualdades 2.4.4.I-I e 2.4.4 .l ·11 permitem escrever: 
u + w"' u' + w' 
ou: 
' - , u-u -w -w 
onde: 
u - u' E S1 e w' - w E S2 
Tendo em vista que S1 n S2 "' {O}: 
, J 
U•u=w-w=O 
isto é: 
u = u' e w= w' 
Espaços vetori/Jis 39 
Exemplo: 
O espaço vetorial R3 = { (a, b, e); a, b, e E R} é a soma direta dos subespaços vetoriais: 
S1 = { (a, b, O); a, b E IR} e S2 = { (O, O, e); e E R} 
pois qualquer vetor (a, b, e) E R 3 pode ser escrito como sorna de um vetor de S1 e um vetor 
de S2 de modo único: 
(a, b, e)= (a, b, O)+ (O, O, e) 
e, portanto: 
lR3 = S1 G)s2 
2.5 COMBINAÇÃO LINEAR 
Sejam os vetores v 1 • v 2 , .•. , v n do espaço vetorial V e os escalares a 1 , a2 , ... , a n. Qualquer 
vetor v E V da forma: 
é uma combinação linear dos vetores v1 , v2 , •.. , v n· 
Exemplo 
No espaço vetorial P 2 dos polinônúos de grau ,;;;; 2, o polinômio v = 7x2 + 11 x - 26 é 
uma combinação linear dos polinômios: 
v1 = 5x2 - 3x + 2 e v2 = -2x.2 + Sx - 8 
De fato: 
v = 3v1 + 4v2 
isto é: 
7x2 + llx-26~3(5x2 -3x+2)+4(-2x2 +Sx-8) 
7x2 +Ilx-26=I5x2 -9x+6-8x2 +20x-32 
7x2 + llx - 26 = 7x2 + Ilx - 26 
40 Álgebra lineQr 
2.5.1 Problemas Resolvidos 
Para os problemas de 1 a 4, consideremos, no R3 , os seguintes vetores: v1 = (l, -3, 2) 
e V2 = (2, 4, -1). 
1) Escrever o vetor v = ( .4, -18, 7) como combinação linear dos vetores v1 e v2 • 
Solução 
Pretende-se que: 
sendo a1 e a2 escalares a determinar. Então, devemos ter: 
ou: 
ou: 
Pela condiçfo de igualdade de dois vetores, resulta o sistema: 
a1 + 2a2 = -4 
-3a1 + 4a2 = -18 
2a1 - a2 = 7 
cuja soJução é a1 = 2 e a2 = -3. 
Portanto, 
Espaço/{ vetoriais 41 
Observação 
Esse sistema e outros deste Capítulo estão resolvidos no Apêndice. 
2) Mostrar que o vetor v = ( 4, 3, -6) não é combinação linear dos vetores v1 e v2 • 
Solução 
Deve-se mostrar que não existem escalares a1 e a2 tais que: 
Com procedimento análogo ao do problema anterior, temos: 
de onde resulta o sistema: 
a1 + 2a2 = 4 
-3a1 + 4a2 = 3 
2a1 - a2 = -6 
Observemos que esse sistema difere do anterior pelos tennos independentes. Como é 
incompatível, o vetor v não pode ser escrito como combinação linear de v1 e v2 • 
3) Determinar o valor de k para que o vetor u = ( -1, k, - 7) seja combinação linear de 
v1 e v2 • 
Solução 
Devemos ter: 
ou: 
42 Álgebra linear 
de onde vem o sistema: 
a1 + 2a1 = -1 
· -3ai + 4a1 = k 
2ai - a2 = -7 
do qual resulta, como solução do problema proposto, k = 13 (ai = -3 e 32 = l). 
De fato: 
(-1, 13,-7} = -3(1,-3, 2)+ 1(2,4,-1) 
(-1, 13, -7} = (-3, 9, -6) + (2, 4, -1) 
(-1, 13,-7} =(-1, 13,-7). 
4) Determinar a condição para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinação linear dos 
vetores vi e v1 . 
Solução 
Devemos ter: 
de onde vem o sistema: 
31 + 2a2 = X 
-3ai + 4a1 = Y 
2a1 • ª2 = z 
O vetor (x, y, z) somente será combinação linear de vi e v1 se o sistema tiver solução, e 
isto somente ocorre se: 
X -y- 2z = 0 
ou: 
x=y+2z 
Ef(Jaços 11etoriais 4J 
Assim, todos os vetores (x, y, z) E m.3, que são combinações lineares de v1 e v2 , têm 
a forma: 
(y + 2z, y, z) 
com y, z E R. 
Podemos fazer a interpretação geométrica desse resultado. Observemos que os vetores v1 e 
v2 não são oolineares. O vetor a1 v I tem a direção de v 1 , e o vetor a2 v2 , a direção de v2 . 
Logo, todos os vetores (x, y, z) E R 3 do tipo 
formam um plano 1r que passa pela origem conforme sugere a figura 2.5.l. Esse plano tem equação 
x - y -2z == O, que estabelece a condição solicitada entre os componentes x, y e z. 
z 
v, 
X Figura 2 .S • l 
3 1 v1 + a2 V1 
\ 
\ 
ir: x-y-2z=0 
'··~----► T" .. y 
5) Mostrar que o vetor v = (3, 4) E JR.2 pode ser escrito de infinitas maneiras corno combi-
nação linear dos vetores v1 =(l,O), v2 =(0,1) e v3 =(2,-1). 
Solução 
Tem-se: 
(3, 4) = a(l, O)+ b(O, l) + c(2, -1) 
44 Ãlxebra li11ea, 
donde: 
a+ 2c = 3 
b- c =4 
ou: 
a= 3- 2c 
b = 4+ e 
e, portanto, para cada valor de e obtém-se wn valor para a e outro para b. 
2.5.2 Subespaços Gerados 
Seja V um espaço vetorial. Consideremos um subconjunto A= { vi, v2, ... , v n} e V, 
A.;.ip, 
O conjunto S de todos os vetores de V que são combinações lineares dos vetores de A é 
um subespaço vetorial de V. 
De fato, se: 
e 
são dois vetores quaisquer de S, pode.,se escrever: 
Tendo em vista que u + v E S e que ou E S, por serem combinações lineares de 
v1 , Vz, .•• , v n' concluí-se que S é um subespaço vetorial de V. 
Simbolicamente, o subespaço S é: 
Espaços vetoriais 45 
Observ&ções 
1) O subespaço S diz-se gerado pelos vetores v1 , v2 , ••• , v n' ou gerado pelo conjunto A, e 
representa-se por: 
Os vetores v1 , v2 , ... , vn são chamados geradores do subespaço S, enquanto A é 
o conjunto gerador de S. 
2) Para o caso particular de A= q,, define-se: [ti>] = {O} . 
4) Todo conjunto AC V gera um subespaço vetorial de V, podendo ocorrer G(A) = V. 
Nesse caso, A é um conjunto gerador de V. 
Exemplos 
1) Os vetores i =(l, O) e j = (O, 1) geram o espaço vetoríal R 2 , poís qualquer (x, y) E R 2 
é combinação linear de i e j: 
(x, y) =xi+ yj = x(l, O)+ y(0, 1) = (x, O)+ (O, y) = (x, y) 
Então: 
[i,jJ = R 2 
2) Os vetores i = (1, O, O) e j = (O, 1, O) do 1R.3 geram o subespaço 
S= {(x,y,0)E IR3 /x,y E IR} 
pois: 
(x, y, O)= x(l, O, O)+ y(O, 1, O) 
Então: 
{i,j} = S é um subespaço próprio do R 3 e representa, geometricamente o plano xOy. 
46 Àlgebra linur 
z 
X 
3) Os vetores e1 = (1, O, O), e2 = (O, l, O) e e3 ~ (O, O, 1) geram o espaço vetorial R 3 , pois 
qualquer v = (x, y, z) E R3 é oombinação linear de e1 , e2 e e3 : 
(x, y, z) = x(I, O, O)+ y(O, l, O)+ z(O, O, 1) 
ou: 
Então: 
ObSNVaçtio 
Antes de resolvennos alguns problemas e fornecermos certas interpretações geométricas, 
atentemos para um fato importante. 
Dados n vetores v1 , •.• , vn de um espaço vetorial V, se w E. V é tal que 
entiio: 
pois todo vetorv que é combinação linear de v., ... , vn, w é também combinação linear de 
Espaços vetoriais 47 
Supondo que: 
v E [v 
1
, ... , vn, w], então existem números reais b1, ••• , bn, b 
tais que 
mas: 
logo: 
ou 
e, portanto, v é combinação linear de Vi, ••. , vn, isto é, 
A recíproca, ou seja, 
sev E [v 1, .. . , Vn], então v E [v1, ... , Vn, w] 
é trivial, pois 
Assim, sendo S um subespaço gerado por um conjunto A, ao acrescentannos vetores 
de S a esse conjooto A, os novos conjuntos continuarão gerando o mesmo subespaço S. Esse 
fato faz entender que um determinado subespaço S pode ser geraáo por uma infinúiade de 
vetores, porém existe um número mínimo de vetores para gerá-lo. 
2.5.2.1 Problemas Resotvidos 
6) Seja V = JR 3 • Determinar o subespaço gerado pelo vetor v - ( 1 2 3) 1 - , • . 
Solução 
Temos: 
[v1 J = { (x, y, z) E IR.:. /(X. y, z) = a(l, 2, 3), a E JR} 
48 Álgebra linear 
vem: 
Da igualdade: 
(x, y, z)-= a(l, 2, 3) 
X= a 
y= 2a 
z = 3a 
donde 
ou 
y =2x 
z = 3x 
Logo, 
[vi]= {(x,y,z) E IR.3/y=2x e z=3x} 
[vd = {(x, 2x, 3x); x E IR} 
O subespaço gerado por wn vetor v1 E Il<3 , v1 * O, é uma reta que passa pelo ori8em 
(Figura 2.S.2a). Se a esse vetor acrescentarmos v2 , v3 , ... , todos rolineares entre si, o subespaço 
gerado por 2, 3, ... vetores continuará sendo a mesma reta: 
z z 
X Fi8ura 2.S,2a X Figura 2.S.2b 
Espaço,t vetoriais 4<i 
7) Seja V = JR.3 • Determinar o subespaço gerado pelo conjunto A = {v1, v2 }, sendo 
vi = (1, -2, -l) e v 2 = (2, l , 1). 
Solução 
Temos: 
Da igualdade acima, vem: 
a1 + 2a2 = X 
-231 + 32 = y 
O vetor (x, y, z) E [v1 , v:.J se, e somente se, o sistema tem solução. e isto somente ocorre 
quando x + 3y - 5z = O (exercício a cargo do leitor). 
Logo: 
O subespaço gerado pelos vetores vi, v1 E R
3
, não-colineares, é um plano 11 que passa 
pela origem (Figura 2.S.2c). Se a esses dois vetores acrescentarmos v3 , v4 , •.• , todos copla1111Tes, 
o subespaço gerado por 3 , 4, ... vetores continuará sendo o mesmo plano 1r: 
z 
.... 
.. y .. y 
X X 
Figura. 2.5.2c Figura 2.S.2d 
50 Álgebra linear 
8) Seja V= .IR.3. Determinar o subespaço gerado pelo conjwito A = { v1 , v2, V3}, sendo 
vi= (1, 1, 1), v2 = (1, l, O) e V3 = (1, O, O). 
Solução 
Paratodovetor (x,y,z) E [vi,v2,v3], tem-se: 
Desta igualdade, vem: 
ou: 
Portanto: 
(x, y, z) = z(l, 1, l) + (y-z)(l, 1, O)+ (x -y)(l, O, O) 
e, por conseguinte, os vetores Vi, v2 e v3 geram o R 3 , pois cada vetor do R 3 é combinação 
linear dos vetores dados. 
Logo: 
O subespaço gerado por três vetores não-coplanares é o próprio R" (Figura 2.5.2e). Se a 
esses três vetores acrescentarmos v4 , v5 , ••. quaisquer, o subespaço gerado pelos 4, 5, ... vetores 
continuará sendo o próprio :R3 : 
X 
z 
... ......... ..... - ...... 
\ 
\ 
\ 
Figura 2.5.2e 
m• 
9) Mostrar que o conj unto A= { (3, 1 ), (5, 2) } gera o JR2 . 
Solução 
J::spaços i•etoriais 5 / 
... y 
Vamos mostrar que todo vetor (x, y) E IR2 é combinação linear dos vetores do conjWlto 
A, isto é, sempre existem os números reais a 1 e a2 t ais que: 
Daí vem o sistema: 
que, resolvido em tennos de x e y, fornece: 
a1 = 2x - Sy e a2 = 3y - x 
Portanto: 
(x, y) == (2x - 5y)(3, 1) + (3y- x)(S, 2) 
isto é: 
G(A) = IR2 
.52 Álgebra linear 
10) Sejam V;; M(2, 2) e o subconjunto 
A= [-1 2] [3 -1] 
-2 3 , 1 l 
Determinar o subespaço G(A). 
Soluç§o 
Para todo vetor 
X y 
V = E G(A), 
z t 
tem-se: 
[x y]=a[l ~+b[3 ~1 
z t -2 ~ 1 J 
e daí o sistema: 
2a - b = y 
-2a + b = z 
3a + b = t 
que é compatível se: 
Z = -y e X = -2:y + t 
Logo: 
G(A) = r-2y + t y]; y, t E IR 
-y t 
Espaços vetoriais 53 
2.6 ESPAÇOS VETORIAIS FINITAMENTE GERADOS 
Um espaço vetorial V é finitamente gerado se existe um conjunto finito A. AC V, tal 
que V=G(A). 
Com exceção do Exemplo 6 de 2.2, os demais exemplos de espaços vetoriais citados até 
aqui são finitamente gerados. Por exemplo, vimos que o .R3 é gerado pelo conjunto finito de três 
vetores 
A= {(1,0,0), (0, 1,0), (0,0, l)} 
pois, para todo (x, y, z) E IR.3, tem-se: 
(x, y, z) = x(l, O, O)+ y(O, l, O)+ z(O, O, L) 
Em nosso estudo trataremos somente de espaços vetoriais finitamente gerados. 
Um exemplo de espaço vetorial que não é finitamente gerado é o espaço P de todos os 
polinômios reais. 
Na verdade, dado A"" { Pt, ... , Pn} CP, onde Pi é wn polinônúo de grau i e Pn o de 
mais alto grau, qualquer combinação linear 
tem grau ;;;;; n. Assim, o subespaço [p1 , .•. , Pn J contém somente polinômios de grau menor 
ou igual ao grau de Pn· Corno P é .formado pl.lr todos os polinômios, existem nele polinômios 
de grau maior que o de Pn· Logo, G(A) * P para todo conjunto finito A C P. 
2.7 DEPENDÉNCIA E INDEPEND~NCIA LINEAR 
No problema 8 de 2.5.2.l, chamamos a atenção para o fato de que o espaço vetorial R3 pode 
ser gerado por três vetores, ou também por quatro, ou por cinco etc. Assim, três vetores cons• 
tituem o número mínimo neoessário para gerar o lR3 • No entanto, quatro, cinco ou mais 
vetores podem gerar o .IR3 • Porém, nesse caso, sobram vetores no conjunto gerador. Em nosso 
estudo temos grande interesse no conjunto gerador que seja o menor possível. Para a determi• 
nação do menor conjunto gerador de wn espaço vetorial, precisamos ter a noção de dependência 
e independência linear. 
54 Álgebra linear 
2. 7.1 Definição 
Sejam V um espaço vetorial e 
Consideremos a equação 
Sabemos que essa equação admite pelo menos uma soluçfo: 
a1 = O, a2 = O, ... , 3n = O 
chamada solução trivial. 
(2.7) 
O conjunto A diz-se linearmente independente (LI), ou os vetores v 1, ... , Vn são LI, 
caso a equação (2 .7) admita apenas a solução trivial. 
Se existirem soluções ai~ 0; diz-se que o conjunto A é linearmente dependente (LD), ou 
que os vetores v 1 , ... , v n são LO. 
Exemplos 
1) No espaço vetorial V=.IR.3, os vetores v1 =(2,-L,3), v2 =(-1,0,-2) e v3 =(2,-3, 1) 
formam um conjunto linearmente dependente, pois 
ou seja; 
3(2, -1, 3) + 4(-1, 0,-2)- (2, -3, l) = (O, O, O) 
2) No espaço vetorial V= lR4, os vetores v1 = (2, 2, 3, 4), v2 = (O, 5, -3, 1) e v3 = (O, O, 4, -2) 
são linearmente independentes. De fato: 
a(2, 2, 3, 4) + b(0, 5, -3, l) + c(0, O, 4, -2) = (O, O, O, O) 
(2a, 2a, 3a, 4a) + (O, Sb, - 3b, b) + (O, O, 4c, -2c) = (O, O, O, O) 
(2a, 2a + Sb, 3a - 3b + 4c, 4a + b - 2c) = (O, O, O, O) 
isto é: 
2a ~ O 
2a + Sb = O 
3a - 3b + 4c = O 
4a + b - 2c = O 
O sistema admite unicamente a solução: 
a==O. b==O e c:::O 
Espaços vetoriais 55 
3) No espaço vetonal IR3 , o conjunto { e 1, e2 • e3 } , tal que e1 = (l, O, O), e2 -= (O. 1, O) e 
e3 = (O. O, l ), é LI. 
De fato, a equação: 
ou: 
transforma-se em: 
e. portanto 
Logo, o conjunto: 
{ ( 1, O, O), ( O, I. O), ( O. O. 1) i 
é Ll. 
De forma análoga mostra-se que os vetores 
e 1 = (1, O. O, .... O), e2 = ( O, 1, O, .... O). .. . en = ( O, O, O •... , 1) 
formam um conjunto linearmente independente no IR" 
56 Ãlgebra linear 
4) No espaço vetorial M ( 3, 1) das matrizes-colunas, de ordem 3 x 1, os vetores: 
l o o 
o o 
são LI ( verificação a cargo do leitor). 
5) No .IR2 , os vetores e 1 = (l, O) e e, -= (O, l) são LI. No entanto, os vetores e 1 , e1 e 
v = (a, b) são lD. De fato: 
x(I,0)+y(0, l)+z(a, b)=(O,O) 
(x, O) + (O, y) + (az, bz) = (O, O) 
(x+az, y+bz)-=(O,O) 
isto é: 
1 
x-taz.=ü 
y + bz = O 
O sistema admite ao menos uma solução não-trivial. Por exemplo, fazendo z::: 1. vem: 
x = -a e y = -b 
Logo: 
6) No espaço vetorial M (2, 2), o conjunto 
2 2 -3 3 
A= 
-3 3 o 3 
é LD. 
Examinemos a equação 
-1 2 2 
l 3 
ou, de modo equivalente 
e daí o sistema: 
- a1 + 2a2 + 3a3 = O 
2a1 - 3a2 - 4a3 = O 
-3a1 + 3a2 + 3a3 = O 
ª1 + 33 = Ü 
-3 
o 
Espaços veroriais 5 7 
( 1 l 
3 -4 o o 
= 
3 l o o 
o o 
= 
o o 
Como existem soluções ai -=I= O para a equação (1 ), o conjunto A é LD. 
Observação 
Vamos suhstituir a solução do sistema na equação (1 ): 
ou. 
para todo a3 E IR. 
58Álgebra linear 
Dividindo ambos os membros dessa igualdade por a3 * O, resulta: 
e daí. vem: 
(v, é combinação linear de v2 e v3 l 
ou: 
( vl é combinaçao linear de v1 e v3) 
ou, ainda: 
(v3 é combinação linear de v1 e vl) 
Como se observa, sendo A um conjunto LD, então um vetor de A é combinaçao linear 
dos outros. Esse fato e sua recíproca constituem o teorema seguinte. 
2.7.2 Teorema 
"Um conjunto A; { v1 , ... , vi, ... , vn; é LO se. e somente se, pelo menos um desses vetores 
é combinação linear dos outros." 
A demonstração é constituída de duas partes: 
1 íi) Seja A linearmente dependente. Então. por definição. um dos coeficientes da igualdade 
deve ser diferente de zero. Supondo que ai =f:. O. vem. 
OU. 
ª1 
vi "' --v1 
ai 
I!, portanto. vi é uma combmaçâo linear dos outros vetores. 
Espaços vetoriais 59 
2?) Por outro lado, seja vi uma combjnaç.ão linear dos outros vetores: 
ou. ainda: 
e, portanto, a equação 
se verifica para bi * O. No caso, bi = -1. 
Logo, A é LD. 
Observações 
1) Esse último teorema pode ser enunciado de forma equivalente: 
·•um conjunto A= { v 1 , .•• , v n } é LI se. e somente se, nenhum desses vetores for 
combinaçfo linear d~ outros." 
2) Para o caso particular de dois vetores, temos: 
"Dois vetores v I e v7 são LD se. e somente se. um vetor é múltiplo escalar do 
outro." 
Por exemplo, os vetores 
VI = (l, -2, 3) e V2 = (2, -4, 6) 
são LD, pois 
ou: 
60 Álgebra linear 
enquanto 
V1 = (I, -2, J) e V2 = (2, 1, 5) 
são LL pois 
v1 * kv2 
para todo k E .Dl 
3) Nos gráficos a seguir apresentamos uma interpretação geométrica da dependência linear 
de dois e três vetores no IR.3. 
z 
é LD 
X 
(v1 e v1 estão representados na mesma reta 
que passa pela origem) 
l. 
X 
----1 - ' 
I 
I 
v, 
I 
{v1 , v2 e v3 estão 1epresentados no mesmo 
plano que passa pela origem) 
z 
v, 
X 
l 
--1 ----- I 
I 
I 
' I 
{ V l , V2, V 3 ; é LI 
X 
Espaços vetoriais 61 
2. 7 .3 Problemas Resolvidos 
l l) Verificar se são LI ou LD os seguintes conjuntos : 
b) { (2, -1), (1, 3)} C IR' 
e) {(-l, -2,0, 3), (2,-1, 0,0), (l,0, 0, 0)} e IR4 
d) { 1 + 2x - x 2 , 2 - x + 3x2 , 3 - 4x + 7x2 } e P2 
Solução 
a) Como o conjunto tem apenas dois vetores com um deles sendo múltiplo escalar do outro 
( o segundo vetor é o triplo do primeiro), o conjunto é LD, de acordo com a Observação 2 do 
Teorema 2.7.2. 
b) Tendo em vista que wn vetor não é múltiplo escalar do outro, o conjunto é LI. 
Mesmo que fôssemos examinar a igualdade: 
a (2, -1) + b (1, 3) = (O. O l 
concluiríamos que o sistema 
2a + b= O 
-a+ 3b = O 
admite somente a solução trivial, o que vem confirmar ser o conjunto LI. 
62 Álgebra linear 
e) Consideremos a equação: 
a (-l, -2, O, 3) + b (2, -1, O, O} + e ( 1, O, O, O) = ( O, O, O, O) 
Portanto: 
- a+ 2b + e= O 
-2a - b = O 
3a = O 
Como o sistema admite apenas a solução trivial: 
a= b =e= O, 
o conjunto é LI. 
d) Seja a equação: 
a ( 1 + 2x - x 2 ) + b ( 2 - x + 3 x 2 ) + e ( 3 - 4x + 7 x 2 ) -= O 
ou: 
(a+ 2b+ 3c) + (2a- b- 4c)x +(-a+ 3b + 7c)x2 = O+ Ox + Ox2 
Pelo princípio da identidade de polínômios, vem: 
a+ 2b + 3c-= O 
2a - b- 4c = O 
-a+ 3b + 7c = O 
Como esse sistema admite outras soluções além da trivial, o conjunto é LD. 
Observação 
( 1) 
O leitor deve ter notado que a variáve. x nos polinômios desse problema não desempenha 
nenhum papel no cálculo. Com o objetivo de simplificar. a cada polinômio do tipo a0 + a1x + a2 x 2 . 
associa-se a terna (ao, a,, a2 ). 
Espaços vetori,ais 63 
Assim, a igualdade (1) desse problema poderia ter sido escrita assim: 
a( 1. 2. -1) + b(2, -L 3) + c(3, -4, 7) =(O, O. O) 
Simplificações análogas a essa podem ser feitas, por exemplo, associando: 
2
) [ª bJ E M (2, 2) com (a, b, e, d) E IR4 
e d 
3) a -t cx2 E P2 com (a. O. e) E IR:i 
e assim por diante. 
12) Provar que se u e v são LI. então u + v e u - v também o são. 
Solução 
Consideremos a igualdade 
a(u+ v)+ b(u-v}=O (21 
da· qual resulta 
(a+ b) u + (a - bl v = O ( 3) 
Como u e v sio LI. nessa igualdade ( 3 l deve-se ter: 
l a + b = O a - b = O 
sistema que admite somente a solução a= b = O. Logo, pela igualdade (2). u + v e u - v são LI 
64 Ãlgebra linear 
13) Determinar o valor de k para que o conjunto 
{ (I , O. -1). ( L 1, O), (k, l , -1 ) } 
seja LI. 
Solução 
O conjunto será Ll se, e somente se, a equaç~o 
a(l,0,-J)+b(l, 1,0)+c(k, 1,-1)=(0,0,0) 
admitir apenas a solu~o a= b = e= O. Dessa equação, vem: 
a+ b + kc = O 
b+ e =O 
-a -e= O 
Para que esse sistema admita apenas a solução trivial, deve-se ter k * 2 (a cargo do leitor). 
Logo, o conjunto será LI se k * 2. 
2.7.4 Propriedades da Dependência e da Independência Linear 
Seja V um espaço vetorial. 
() Se A= { v} e V e v =I= O. então A é LI. 
De fato 
Como v * O, a igualdade 
av= O 
só se verifica se a = O. 
t:spaços vetoriais 65 
Observação 
Considera-se, por definição. que o conjunto vazio (/) é LI 
li) Se um conjunto A C V contém o vetor nulo, então A é LO. 
De fato: 
Seja o conjunto A= i: v1 •.• O ..... vn} . 
Então. a equação 
O.v1 + ... +a.O+ ... + O.vn = O 
se verifica para todo a * O. Portanto. A é LO. 
Ili) Se uma parte de wn conjunto A e V é LO. então A é também LD. 
De fato: 
Sejam A = { v1 , ... , v1 , ... , vn } e a parte 
Como A1 é LD, existem ai'* O que verificam a igualdade: 
e esses mesmos ai * O verificam também a igualdade 
Logo, A= { v1 .... , vr, ... , vn} é LD. 
IV) Se wn conjunto A C V é LI, qualquer parte A1 de A é também LI. 
Oe fato, se A1 fosse LD. pela propriedade anterior o conjunto A seria também LD, o 
que contradiz a hipótese. 
66 Álgebra linear 
Observação 
Se todos os subconjw1tos próprios de um conjunto finito de vetores são LI. o fato não 
significa que o conjunto seja LI. De fato, se considerarmos no IR2 os vetores e1 = ( 1, O), 
ei "'(O, 1) e v-: ( 4, 5), verificaremos que cada um dos subconjuntos { e1 , e2 }. { e1 , v}. 
{ e2 • v} . { e1 } • { e2 } e { v} é LI, enquanto o conjunto { e1 , e2 , v; é LD. 
V) Se A"' { v1 , ... , v0 } C V é LI e B = { v1 , ... , v0 , w} C V é LD, então w é 
combinação linear de v1 , ... , vn 
De fato: 
Como 8 é LD, existem escalares a1 , ... , a0 , b, nem todos nulos, tais que: 
a1v1 + ... +anv0 +bw=O. 
Ora. se b "' O. então algum dos aí não é zero na igualdade: 
Porém esse fato contradiz a hipótese de que A é LI. Conseqüentemente, tem-se b * O, e. 
portanto: 
o que implica 
isto é. w é combinação linear de v1 , ... , v0 
2.8 BASE E DIMENSÃO 
2.8. 1 Base de um Espaço Vetorial 
Um conjunto B = { v1 .... , v0 ; CV é uma base do espaço vetorial V se: 
() B é LI; 
ll) B gera V. 
Exemplos 
1 ) B = { ( 1, 1 ). ( -1. O) } é base de IR 2 
e daí 
De fato 
1) Bé LI.pois a(l. l)+h(-1.0)==(0. O) implica. 
/ 
a -
a 
b == O 
= o 
a==h=ü 
11) B gera !Ri, pois para todo (x, y) E IR2 • tem-se 
(x, y) == y(l. 1) + (y - x)(-1. O) 
Realmente. a igualdade 
(x, y) == a( 1. 1) + b(-1. O) 
implica 
1 
a -
a 
h = X 
= y 
donde 
a=y e b"'y-x 
Espaços vetoriais 6 7 
Os vetores da base B estão representados na Figura 2.8.l. Em 2.7.2 já havíamos visto que 
dois vetores não-colineares são LI. Sendo eles do IR.2, irão gerar o próprio IR.2. Na verdade. 
quaisquer dois vetores não-colineares do IR2 formam uma base desse espaço. 
68 .4lgebra linear 
y 
1 (1.1) 
l-1 , O) o 
f'ígura 2.8. 1 
2) B = { ( 1. O), (O. 1)} é base de IR.2. denominada base canónica. 
De fato: 
I) BéLl,pois a(I.O)+b(O,l)=(ü,O) implica a-=b=O; 
II) BgeralR2 ,poistodovetor (x,y) E IR.2 étalque: 
(x,y)=x(l,O)+y(O, 1) 
3} Consideremos os vetores e 1 = (l, O, O, ... , O), e2 ;:;- (O, l, O, ... , O), ... , ~ = (O, O, O, ... , 1). 
~o exemplo 3 de 2.7.i deixamos claro que o conjunto B = { e1 , e2 , .•. , en} é Ll em JR.n_ 
Tendo em vista que todo vetor v = (x1 , x2 , .•• , x0 ) E IRº pode ser escrito como combi-
nação linear de e 1 , e2 , ... , e0 , isto é: 
conclui-se que B gera o JRº. Portanto, B é uma base de IRº. Essabase é conhecida 
como base canônica do .IRº. 
Conseqüentemente: 
{ (1, O, O, O), (O, l, O, O), (O, O, 1, O), (O, O, O. 1)} é a base canônica de IR4 ; 
{ (l, O, O), (0, 1, O), (O, O, I)} é a base canônica de R 3 ; 
{ ( l, 0), (O, l)} é a base canônica de JR2 ; 
{ 1 } é a base canônica de IR. 
4) B = 
é a base canônica de M (2, 2). 
De fato : 
a 
ou: 
a 
e 
1 
o 
e daí : 
b 
d 
o 
o 
+b 
= 
o 
o 
a= b =e = d= O. 
Portanto, B é LI. 
o 
o 
o 
o 
1 
o 
+e 
o o 
o 
+d 
o o 
o 
Por outro lado, 8 gera o es paço M (2, 2), pois qualquer 
a b 
E M(2. 2) 
e d 
pode ser escrito assim: 
a b 
e d 
= a 
o 
o 
o 
+b 
Logo, B é base de M (2, 2). 
o 
+e 
o o 
o o 
o 
+ d 
= 
o 
o 
o 
o 
o 
Espaços vetoriais 69 
o 
o 
70 Álgebra linear 
5) O conjunto B :; { l, x. x2 , ••• , x"} é uma base do espaço vetorial P n 
De fato. 
implica a0 "' a1 -=- a2 -=- ... = ªn = O pela condição de identidade de polinômios. Portanto, B é LI. 
Por outro lado. B gera o espaço vetorial P n· pois qualquer polinômio p E P n pode ser 
escrito assim 
que é uma combinação linear de l, x, x2 •..• x" 
Logo, B é uma base de P n · Essa é a base canônil'a de P n e tem n + l vetores. 
6) B"' { (1. 2), {2. 4)} não é base de IR2 • pois B é LD (exercício a cargo do leitor). 
7) B"' { (l. O), (O, 1 ), (3, 4); não é base de IRi, pois 8 é LD (exercício a cargo do leitor). 
8) B"' { (2, -1)} não é base de IR.2. 8 é LI, mas não gera todo IR.2, isto é, [(2, -1)) .,,,,_ IR2 
Esse conjunto gera uma reta que passa pela origem. 
9) J:l.-== {(1.2, l),(-1,-3,0)} não é base de IRJ B é Ll.masnãogeratodo IR3 . 
Observação 
"Todo con;unto LI de um espaço vetorial V é base do subespaço por ele gerado." 
Por exemplo, o conjunto B= {(1,2, 1),(-1,-3,0)} e IR3 é LI e gera o subespaço 
S-== { (x, y, z) E IR.3 /Jx - y - z =O} 
Então, B é base de S, pois B é LI e gera S. 
Espaço11 ve1oriais 71 
2.8.2 Teorema 
Se B = { v1 , v2 , ••• , v n } for Úma base de um espaço vetoríal V, então todo cor,/umo 
com mais de n vetores será linearmente dependente. 
De fato: 
Seja B'= {w1,w2, ... ,wm} wn oonjunto qualquer de m vetores de V, com m>n. 
Pretende-se mostrar que B' é LD. Para tanto, basta mostrar que existem escalares x1 , x2 , .•• , x0 
não todos nulos tais que 
(1) 
Como B é uma base de V, cada vetor wi pertencente a B' é uma combinação linear dos 
vetores de B, isto é, existem números ai, /Ji, .. ., 6 í tais que: 
(2) 
Substituindo as relações (2) em (l ), obtemos: 
ou ordenando os termos convenientemente: 
72 Álgebra linear 
Tendo em vísta que v1 , v2 , .•. , vn são LI, os coeflcíentes dessa combinação linear são 
nulos: 
Esse sistema linear homogêneo possui m variáveís Xi, x2 , ... , xm e n equações. Como 
m > n, existem soluções nâo-trívfais, isto é, existe "i * O. Logo, B' = { W1, W2, ... , wm} é LD 
2.8.3 Corolário 
Duas bases quaísquer de um espaço vetorial têm o mesmo número de vetores. 
De fato: 
Sejam A== { v1 , ... , vn} e B = { w 1 , ... , wm} duas bases de wn espaço vetorial V. 
Como A é base e B é LI, pelo teorema anterior, n ~ m. Por outro lado, como B é base 
e A ~ LI. tem-se 11 ,i;;; m. Portanto, n = m. 
Exemplos 
1) A base canôníca do IR3 tem três vetores. Logo, qualquer outra base do IR3 terá também 
três vetores. 
2) A base canônica de M(2, 2) tem quatro vetores. Portanto, toda base de M(2, 2) terá 
quatro vetores. 
2.8.4 Dimensão de um Espaço Vetorial 
Seja V um espaço vetorial. 
Espaços vetoriais 73 
Se V possui uma base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se dim V= n. 
Se V não possui base, dim V = O. 
Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita e anota-se 
dim V= 00 • 
Exemplos 
1) dim IR.2 = 2, pois toda base do IR.2 tem dois vetores. 
2) dím IRn = n. 
3) dím M (2, 2) = 4. 
4) dim M(m, n) = m x n. 
5) dimPn==-n+l. 
6) tlim {O} = O. 
Observações 
1) Seja V um espaço vetorial tal que dim V; n. 
Se S é um subespaço de V. então dim S ~ n. No caso de dim S :::. n. tem-se 
S = V. 
Para permitir uma interpretação geométrica, consideremos o espaço tridimensional 
IR.3 ( dim ffi.3 :::. 3). 
A dimensão de qualquer subespaço S do R 3 só poderá ser O, 1, 2 ou 3. Portanto, 
temos os seguintes casos: 
I) dim S"' O, então S = {O} é a origem 
II) dim S = 1 , então S é uma reta que passa pela origem. 
74 Ãlgebra linear 
III) dim S = 2, então S é um plano que passa pela origem. 
IV) dim S = 3, então S é o próprio JR3 
2) Seja V um espaço vetorial de dimensão r.. Então. qualquer subconjunto de V com mais 
de n vetores é LD. 
3) Sabemos que wn conjunto B é base de um espaço vetorial V se B for LI e se B gera 
V. No entanto, se soubermos que dim V= n, para obtermos uma base de V basta que 
apenas uma das condições de base esteja satisfeita. A outra condição ocorre automatica-
mente. Assim: 
[) Se dim V= n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI é uma base de V. 
II) Se dim V= n, qualquer subconjunto de V com n vetores geradores de V é uma 
basede V. 
Exemplo 
O conjunto B = { (2, 1), (-1, 3); é wna base do IR2 . 
De fato, como dim ffi.2 = 2 e os dois vetores dados são LI (pois nenhum vetor é múltiplo 
escalar do outro), eles formam uma base do IR2 . 
2.8.5 Teorema 
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. 
Qualquer conjunto de vetores LI em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado 
até formar uma base de V. 
A demonstração está baseada no Teorema 2.7.2 e no conceito de dimensão. 
Deixaremos de demonstrar o teorema e daremos apenas um exemplo a título de ilustração 
Espaços vetoriais 75 
Exemplo 
Sejamos vetores v1 -=(1,-1,1,2) e v2 =(-1, 1,-1,0). 
Completar o conjunto { v1 • v2 } de modo a formar uma base do IR
4
. 
Solução 
Como dim IR4 = 4, uma base terá quatro vetores LI. Portanto, faltam dois. Escolhemos um 
vetor v3 E IR
4 tal que v3 não seja uma combinação linear de v1 e v2 , isto é, v3 #: a1 v1_ + a2 v2 
para todo a 1 , a2 E IR. Dentre os infinítos vetores existentes, um deles é o vetor v3 = ( 1, 1, O, O), 
e o conjwlto { v1 , v2 , v3 } é LI (se v3 fosse combíoação linear de v1 e v2 esse conjunto seria 
LD de acordo com o Teorema 2.7.2). 
Para completar, escolhemos um vetor v4 que não seja uma combinação linear de v1 , v2 e 
v 3 Um deles é o vetor v 4 = ( L O. O, O). e o conjunto { v 1 , v2 • v,. v 4 } é LI. Logo, 
{(1,-1, 1,2), (-1, L-l,0),O. LO.O), (1,0,0,0)} 
é uma base de IR.4 . 
2.8.6 Teorema 
Seja B = { v1 , v2 , ... , v0 } uma base de um espaço vetorial V. Então. todo vetor v E V 
se exprime de maneira única como combinação linear dos vetores de B. 
De fato• 
Tendo em vista que B é uma base de V, para v E V pode-se escrever: 
(1) 
Supondo que o vetor v pudesse ser expresso como outra combínação linear dos vetores 
da base. ter-se-ia: 
(2) 
76 Álgebra linear 
Subtraindo, membro a membro, a igualdade (2) da igualdade (1), vem: 
Tendo em vista que os vetores da base são LI: 
isto é; 
Os números a1 , a2 , ... , ª" são, pois, unívocamente determinados pelo vetor v e pela base 
{v1,v2,.,.,vn}· 
2.8.7 Componentes de um Vetor 
Seja B = { v1, v2, ... , v0 } uma base de V. Tomemos v E V sendo: 
Os números a1, a2 , ... , a0 são chamados componentes ou coordenadas de v em relação à 
base B e se representa por: 
ou, com a notação matricíal: 
Erpoços vetoriais 77 
A n-upla (a1 , a2 , ..•• a0 ) é chamada vetor-coordenada de v em relação à base B, e o vetor• 
coluna 
é chamado ma"iz-coordenada de v em relação à base B 
Exemplo 
No JR.2 , consideremos as bases 
A={(l,0),(0,1)}, B={(2,0},(l,3)} e C={(l,-3),(2,4)} 
Dado o vetor v= (8, 6), tem-se: 
(8,6)=8(1,0) +6(0,1) 
(8, 6)= 3(2, O) + 2(1, 3) 
(8, 6)= 2(1, -3)+ 3(2, 4) 
Com a notação acima, escrevemos: 
O gráfico da página seguinte mostra a representação do vetor v = (8,6) em relação às.bases 
Ae B. 
ObservaçSo 
No decorrer do estudo de Álgebra Llnear temos, às vezes, a necessidade de identificar 
rapidamente a dimensão de um espaço vetorial. E, uma vez conhecida a dimensão,obtém-se 
facilmente uma base desse espaço. 
78 Álgebra linear 
Uma fonna prática para determinar a dimensão de um espaço vetorial é verificar o número 
de variáveis livres de seu vetor genérico. Esse número é a dimensão do espaço. 
2(1, 3) 
6(0, 1) 
I 1 
I 
' I ' 3 ' t ' • ' t ' ' ' (0, l) I 
' 
X 
(1,0) (2.0) 3(2. O) 8(1. O) 
Exemplo 
Determinar a dimensão e um a base do espaço vetorial 
S.::: { (x. y. z)E JR3 /2x + y + z =o~ 
Solução 
Isolando z {poderíamos também isolar x ou y) na equação de definição. tem-se. 
z=-2x-y 
onde x e y são as variáveis livres. 
Qualquer vetor (x, y, z) E S tem a forma: 
(x,y,-2x-y) 
e, portanto, podemos escrever: 
(x, Y, z) = (x, y, -2x - y) 
Espaços vetoriais 79 
ou: 
(x. y, z) = (x, 0,-2x) + (O, y,-y) 
ou: 
(x,y,z) = x(l, O, -2) + y(O, 1,-1) (l) 
isto é, todo vetor de S é combinação linear dos vetores (l,O, -2) e (O, 1,-1). Como esses dois 
vetores geradores de S são LI, o conjunto { (I, 0,-2), (O, l, -1)} é wna base de S e, conse-
qüentemente, dim S = 2. 
Por outro lado, tendo em vista que a cada variável livre corresponde um vetor da base na 
igualdade (1 ), conclui-se que o número de vaTidveis livres é a dimensão do espaço. 
Na prática podemos adotar uma maior simplificação para determinar uma base de um 
espaço. Para esse mesmo espaço vetorial S, onde z = -2x -y, temos: 
fazendox= 1 e y=l.vemz=-2(1)-1 =-3 :. v1 =(1,l,-3) 
fazendo x=-1 e y=2, vem z=-2(-1)-2= O:. v1 =(-1.2.0) 
e o conjunto 
{(1, l,-3),(-1,2,0)} 
é outra base de S. Na verdade, esse espaço S tem infinitas bases. porém todas elas com dois 
vetores. 
2.8.8 Problemas Resolvidos 
14) Sejam os vetores v1 = (l, 2, 3), v2 = (O, l. 2} e v3 = (O, O, 1). 
Mostrar que o conjunto B = {v 1 • v2 • v3 } é uma base do IR
3
. 
Solução 
Para provar que 8 é LI, deve-se mostrar que 
80 Álgebra linear 
admite somente a solução a1 = a2 =- a3 = O. 
Com efeito, 
equivale ao sistema 
cuja única solução é a trivial: 
Logo, 8 é LI. 
P.ara mostrar que B gera o IR.3, deve-se mostrar que qualquer vetor v = (x, y, z.) E .IR3 
pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores de B: 
Em termos de componentes, tem-se 
ou; 
sistema esse que admite solução para quaisquer valores de x, y, z, ou seja, todo vetor v = (x, y, z) 
é combinação linear dos vetores de B. Resolvendo o sistema encontramos: 
Espaços vetoriais 81 
isto é: 
(x, y, z) = x(l, 2, 3) -t- (-2x + y) ( O, 1, 2) + (x - 2y + z)(O, O, l) 
Satisfeitas as duas condições de base, mostramos que B é base do IR.3 . 
IS) No problema anterior mostramos que: 
B ~ {(l, 2. 3), (O, l. 2), (O, 0.1) ~• 
é uma base do IR.3 . 
a) Determina• o vetor-coordenada e a matriz-coordenada de v = (5, 4, 2) em relação a B. 
b) Detenninar o vetor v E IR3 cujo vetor-coordenada em relação a B é v8 = (2. -3, 4) 
Solução 
a) Devemos encontra• escalares a 1 , a2 . a3 tais que: 
•JU: 
Resolvendo o sistema, obtém-se 
Portanto 
5 
v
8 
=(5, -6,-1) e v8 = -6 
-1 
82 Álgebra linear 
Se tivéssemos aproveitado o resultado do problema anterior, onde: 
(x,y,z)=x(l,2,3)+(-2x+y)(0, 1.2)+(.x-2y+z)(0,0, 1) 
teríamos imediatamente: 
(5,4,2)=5(1,2,3)- 6(0. l. 2)-1(0,0, l) 
pois, nesse caso: 
x=5 
- 2X -+- y = - 2 ( 5) + 4 -= - 6 
x - 2y + z = 5 - 2( 4) + 2 = - l 
b) Por definição de vetor-coordenada v8 = ( 2, -3. 4 ). obtém-se: 
v = 2 (1, 2. 3) - 3 ( º· l, 2) + 4 ( º· O. 1) = ( 2, l. 4) 
Observemos que em relação à base canônica 
A"' {(l. O, 0),(0, l, 0),(0. O, l)! 
tem-se: 
pois: 
V= \1 
A 
v=(2. 1. 4) = 2(1, O. 0) + l (0. l. O)+ 4(0. O, 1) 
16) Consideremos os seguintes subespaços do IR.4 : 
S1 = { (a. b, e, d)ia + b + e= O} .: 
S2 = { (a, b, e. d)/a - 2h-= O e e"' 3d} 
Determinar: 
e&paços vetorklis 83 
a) dim S1 e uma base de S1 . 
b) dím S2 e uma base de S2 . 
Solução 
a) A condição: 
a+b+c=O 
é equivalente a: 
a= -b - e 
Portanto, as variáveis livres são b, e e d. Logo, dim S1 = 3, e qualquer subconjunto de S 1 com 
três vetores LI forma uma base de S,. Façamos 
( 1) b = 1, e = O, d = O 
(2) b = O, e = 1, d = O 
(3) b = O. e= O, d= 1 
para obter os vetores: 
O conjunto { v1, v2 , v3 } é uma base de S1 . 
b) Um vetor (a, b, e, d) E S2 se a= 2b e e= 3d. As variáveis livres são b e d. Logo. 
dim S2 = 2, e qualquer subconjunto de S2 com dois vetores LI forma uma base desse espaço. 
Façamos: 
(1) b= 1, d=O e 
(2) b = O. d= 1 
para obter os vetores 
v1 =(2. l, O. O) e v2 =(O. O. 3, 1) 
O conjunto { v,. v2 } é uma base de S2 . 
84 Álgebra linear 
17) Seja S o subespaço de P2 = { at2 + bt + e/a, b, e E IR} gerado pelos vetores v1 = f - 2t + l, 
v2 = t + 2 e v3 = t2 - 3t - 1 . 
Determinar: 
a) Uma base de S e dim S. 
b) Uma base de P1 com a presença de v1 e v2• 
Solução 
a) Para facilitar a notação, observemos que os vetores v1 , v2 e v3 em relação à base 
canônica A= { t2 , t, l} de P2 sã'o: 
Vejamos se esses vetores são LI ou LO. Para tanto, examinemos a igualdade 
ou: 
ou, ainda: 
sistema que admite soluções ai :1: O. 
Logo, os vetores v1 , v2 e v3 são LD e, portanto, o conjunto { v1 , v2 , v3 } não é base de S, 
isto é, dim S :/: 3. 
Observando que o conjunto { v 1 , v2 } é LI (pois nenhwn vetor é múltiplo escalar do 
outro), ele constitui uma base de S. Logo, dim S - 2. 
Espaços vetoriais 85 
b) Tendo em vista que dím P2 = 3, precisamos acrescentar um vetor v ao conjunto 
•: v1 ,v2 } de modo que v*a1 v1 +a2 v2 • Um deles é o vetor v=t
1 ou (v)A = (1 . 0 , 0). 
(verificação a cargo do leito r). 
Logo, o conjunto: 
{ t2 - 2t + l, t + 2, t 2 } 
é uma base de P2 . 
18) Determinar uma base e a d.imensâo do espaço"6olução do sistema homogêneo 
Solução 
X+ 2y - 42 + 3t = Ü 
X + 2y - 2z + 2t "' Ü 
, 2x + 4y - 2z + 3t = O 
O conjunto-solução do sistema é: 
S = { (x, y, z, t)/t = 2z e x = -2Y - 2z} 
que é um subespaço vetorial do IR4 . 
Tendo em vista serem duas as variáveis livres (y e z), conclui-se que dim S = 2. Logo, 
qualquer subconjunto de S com dois vetores LI forma uma base de S. Façamos 
(1) y = 11 z = o 
l2)y=O, z =I 
para obter os vetores 
v1 = (-2 , 1, O, O) e v2 =(-2, O, 1, 2) 
O conj unto { v1 , v2 } é uma base de S. 
86 Álgebra linear 
2.9 ESPAÇOS VETORIAIS ISOMORFOS 
Consideremos o espaço vetorial 
V = P 3 = { at
3 + bt2 + ct + d/a. b, e, d E IR } 
e seja B={v1,v2 ,v3 ,v4; uma base de P3 . Fixadaumabase,paracadavetor vEP3 , existe 
wna só quádrupla (a 1, a2 , a 3 • a4) E 1R
4 tal que: 
Reciprocamente, dada uma quádrupla (a1, a2, a3, a4) E IR.4 , existe um só vetor em P3 da 
forma: 
Assim sendo. a base B = { v1 , ... , v4 ; detennina wna correspondência btunivoca entre 
os vetores de P3 e as quádruplas (a1 , .•. , a4 ) em 1R.4 . 
Observemos ainda que: 
a) Se v= a1v1 + ... + 34V4 E P3 corresponde a (a1 , .•. , a4 )E IR4 e w= b1v1 + ... t b4 v4 E P3 
corresponde a (b1 , ..• , b4 ) E IR
4 então: 
corresponde a 
b) PaTa k E IR. 
corresponde a 
Espaços vetoriais 87 
Assim, quando os vetores de P3 são representados como combinação linear dos vetores da 
base B == { v1 , v2 , v3 , V4 ~ , a adição de vetores e a multiplicação por escalar se "comportam" 
exatamente da mesma forma como se fossem quádruplas do IR4 . 
Em outras palavras diríamos que a correspondência biunívoca entre P3 e IR.
4 preserva as 
operações de adição de vetores e multiplicação por escalar. isto é: 
( V -t W) = V t W 
B B B 
e. nesse caso, dizemos que os espaços P3 e IR
4 são isomorfos. 
Observemos ainda que o espaço vetorial M (2. 2) é também isomorfo ao IR.4 • 
De forma análoga, prova-se que· 
P2 é isomorfo a IR:' 
M (3. 1) é isomorfo a IR·' 
M(2. ll éisomorfoa IR2 
;: assim por diante· 
De um modo geral. tem-se• 
"Se V é um espaço vetorial sobre IR e dim V= n, então V e IRº são isomorfos." 
2.10 PROBLEMAS PROPOSTOS 
Nos problemas l a 7 apresenta-se um conjunto com as operações de adição e multiplicação 
por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espaços vetoriais. Para aqueles que não são 
espaços vetoriais, citar os axiomas