testes de conhecimento

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1. 
 
 
A soma de um número natural com um número complexo: 
 
 
 
nunca será um real. 
 
 
 será um complexo. 
 
 
 será sempre um número natural. 
 
 
será sempre um inteiro. 
 
 
será sempre um racional. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
O número de soluções distintas do sistema IzI =2 e Iz-1I = 1 , é: 
 
 
 
√ 2 2 
 
 
1 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
2√ 2 22 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
 Determine a e b tal que (2a + b) + 6i = 5 + (a + 4b)i. 
 
 
 
a = 1 e b = 0 
 
 
a = 2 e b = -1 
 
 
a = 0 e b = 1 
 
 
a = 2 e b = 1 
 
 
a = -2 e b = -1 
 
 
 
Explicação: 
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De acordo com a definição, as parte reais e imaginárias devem ser iguais entre si. 
2a + b = 5 
a + 4b = 6 
Resolver o sistema de equações para encontrar o valor de a e b. 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o número real m de modo que z=(m2−25)+(m+5)iz=(m2-
25)+(m+5)i seja imaginário puro. 
 
 
 
m=-5 
 
 
m=5 
 
 
Este número não pode ser imaginário puro. 
 
 
m=0 
 
 
m=5 ou m=-5 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Sejam os números complexos w = (2x-1) -3i e v =3x +(3y-5) i , onde x,y são reais . Se w = v, então: 
 
 
 
xy = -2/3 
 
 
x- y = 7/3 
 
 
y-x = -7/3 
 
 
x=y 
 
 
x = 2/3 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dados os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = -2 + i, determine z1 + (z2)2. 
 
 
 
-i - 4 
 
 
2 + 3i 
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-2 - 3i 
 
 
1 - i 
 
 
4 - i 
 
 
 
Explicação: 
Desenvolver primeiro o produto notável e depois realizar a operação de adição. 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule o valor de i-1. 
 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
i 
 
 
- 1 
 
 
- i 
 
 
 
Explicação: 
i-1 = 1/i 
basta multiplicar o numerador e o denominador de 1/i pelo conjugado de i que é -i. 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sendo i a unidade imaginária , o resultado da divisão 1+3ii−11+3ii-1 é 
 
 
 
1+i 
 
 
-2i 
 
 
-2i+1 
 
 
-1-i 
 
 
-2i-1 
 
 
 
 
 
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1. 
 
 
Escreva a forma trigonométrica do número complexo z = 10 + 10i 
 
 
 
10√2(cos⁡〖45°+isen45°)〗 
 
 
20(cos⁡〖45°+isen45°)〗 
 
 
10(cos⁡〖45°+isen45°)〗 
 
 
10√2(cos⁡〖45°- isen45°)〗 
 
 
20(cos⁡〖30°+isen30°)〗 
 
 
 
Explicação: 
p=√ a2−b2 p=a2−b2 
p=√ 102−102 p=102−102 então p=10√ 2 p=102 
cos ß = a/p = 10/10V2 = V2/2, assim ß = 45º 
senß = b/p = 10/10V2 = V2/2, assim ß = 45º 
z=p(cosß+isenß)z=p(cosß+isenß) 
z = 10V2(cos 45º + i sen 45º) 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a forma trigonométrica do número complexo z = -3. 
 
 
 
z=3(cosπ+isenπ)z=3(cosπ+isenπ) 
 
 
z=−3(cosπ−isenπ)z=−3(cosπ−isenπ) 
 
 
z=cosπ+isenπz=cosπ+isenπ 
 
 
z=√3 (cos3π+isen3π)z=3(cos3π+isen3π) 
 
 
z=√3 (cos3π2+isen3π2)z=3(cos3π2+isen3π2) 
 
 
 
Explicação: 
Basta determinar: 
módulo do número complexo dado. 
determinar o cosϴ e o senϴ e a partir deles o argumento ϴ = arg(z) = 180o 
forma trigonométrica: z = |z|.( cosϴ + isenϴ) 
 
 
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3. 
 
 
O número complexo z = 2 + 3i tem módulo igual a: 
 
 
 
6√15 
 
 
2√5 
 
 
5√7 
 
 
3√11 
 
 
√13 
 
 
 
Explicação: 
IzI = V(a² + b²) 
IzI = V(2² + 3²) = V(4 + 9) = V13. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Escreva na forma algébrica o número complexo z = (3)1/2.(cos90o + isen90o). 
 
 
 
z=√ 2 −i√3 z=2−i3 
 
 
z=√ 2 z=2 
 
 
z=√ 2 +i√ 2 z=2+i2 
 
 
z=√3−i√3 z=3−i3 
 
 
z=i√3 z=i3 
 
 
 
Explicação: 
Basta determinar o valor do cos90o e o valor do sen90o. 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Escreva na forma algébrica o número complexo z = 8(cos210o + isen210o). 
 
 
 
z=−√ 2 −4iz=−2−4i 
 
 
z=−4√3−4iz=−43−4i 
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z=4√3 +4iz=43+4i 
 
 
z=−4−4iz=−4−4i 
 
 
z=−√3−4iz=−3−4i 
 
 
 
Explicação: 
Basta determinar o valor do cos210o e o valor do sen210o. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Se o módulo de um número complexo é √2 2 e seu argumento principal é igual a 5π45π4 a 
expressão algébrica deste número é : 
 
 
 
-1-i 
 
 
1-i 
 
 
-2i 
 
 
1+i 
 
 
2i 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
O número Z=2(cos5π6+isen5π6)Z=2(cos5π6+isen5π6) na forma algébrica é: 
 
 
 
−√3 +i-3+i 
 
 
−√3−i-3-i 
 
 
1 +√3 i1 +3i 
 
 
1 −√3 i1 -3i 
 
 
√3 +i3+i 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dados os números complexos z1 e z2, determine o produto Z1 . Z2. 
z1=2(cosπ5+isenπ5)z1=2(cosπ5+isenπ5) 
z2=3(cos3π5+isen3π5)z2=3(cos3π5+isen3π5) 
 
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z1z2=6(cos4π+isen4π)z1z2=6(cos4π+isen4π) 
 
 
z1z2=6(cos4π5+isen4π5)z1z2=6(cos4π5+isen4π5) 
 
 
z1z2=4(cos2π3+isen2π3)z1z2=4(cos2π3+isen2π3) 
 
 
z1z2=6(cos5π4+isen5π4)z1z2=6(cos5π4+isen5π4) 
 
 
z1z2=(cos4π5−isen4π5)z1z2=(cos4π5−isen4π5) 
 
 
 
Explicação: 
Basta aplicar o modelo para multiplicação de dois números compexos. 
z1z2=|z1||z2|(cos(θ1+θ2)+i(sen(θ1+θ2)) 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
A Europa renascentista foi rica em todos os sentidos: na literatura, na arte e na ciência. Na matemática, em 
especial na álgebra, equações algébricas do tipo x3 + 6x = 20 foram destaque. Uma das raízes dessa equação é 
um número inteiro positivo. Com relação às outras raízes, é verdade que são: 
 
 
Racionais de sinais contrários 
 
 
Reais e iguais 
 
 
Não reais 
 
 
Irracionais 
 
 
Reais de mesmo sinal 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
As raízes da equação x^4 + 16 = 0 são os vértices de qual figura geométrica? 
 
 
 
Retângulo 
 
 
Trapézio 
 
 
Paralelogramo 
 
 
Pentágono 
 
 
Triângulo 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O argumento de z3 para z=2(cosπ/3+isenπ/3)z=2(cosπ/3+isenπ/3) é: 
 
 
 
π/2π/2 
 
 
3π/23π/2 
 
 
2π/32π/3 
 
 
ππ 
 
 
π/4π/4 
 
 
 
 
 
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4. 
 
 
O valor da expressão (12−i√3 2)6(12-i32)6 é: 
 
 
 
1 
 
 
i 
 
 
3i 
 
 
-1 
 
 
-i 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Dado o número complexo z, determine z7. 
z=2(cosπ4+isenπ4)z=2(cosπ4+isenπ4) 
 
 
 
z7=26(√ 2 +√3 i)z7=26(2+3i) 
 
 
z7=2(√ 2 −√ 2 i)z7=2(2−2i) 
 
 
z7=26(√3−√ 2 i)z7=26(3−2i) 
 
 
z7=26(√ 2 −√ 2 i)z7=26(2−2i) 
 
 
z7=23(√ 2 −√ 2 i)z7=23(2−2i) 
 
 
 
Explicação: 
Basta usar a relação zn = |z|n[cos(n.(theta)) + isen(n.(theta)) fórmula de De Moivre 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
As raízes da equação z^4 + 16 = 0 são os vértices de qual figura geométrica? 
 
 
 
Losango 
 
 
Triângulo 
 
 
Retângulo 
 
 
Trazézio 
 
 
Paralelogramo 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
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7. 
 
 
Uma raiz real de x4=−4x4=-4 é: 
 
 
 
Não existe. 
 
 
4√4 (√ 2 2+√ 2 2i)44(22+22i) 
 
 
−√4 -4 
 
 
4√−4(√ 2 2+√ 2 2i)-44(22+22i) 
 
 
 √4 (√ 2 2+√ 2 2i)4 (22+22i) 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Se z = cos 40o + isen 60o, então, z15 é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
-1 
 
 
 
 
 
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1. 
 
 
 
 
 
 
√ 2 +√ 2 i,−√ 2 +√ 2 i,−√ 2 −√ 2 i,√ 2 −√ 2 i2+2i,−2+2i,−2−2i,2−2i 
 
 
√3+√ 2 i,−√ 2 +√3 i,−√3−√ 2 i,√ 2 −√3 i3+2i,−2+3i,−3−2i,2−3i 
 
 
√ 2 +√ 2 i,−√ 2 +√ 2 i,−√3−√3 i,√3−√3 i2+2i,−2+2i,−3−3i,3−3i 
 
 
√3+√3 i,−√3+√3 i,−√3−√3 i,√3−√3 i3+3i,−3+3i,−3−3i,3−3i 
 
 
√ 2 +√ 2 i,−√ 2 +√ 2 i,√ 2 −√ 2 i2+2i,−2+2i,2−2i 
 
 
 
Explicação: 
Basta substituir em w4 , k = 0, k = 1, k = 2 e k = 3. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Dados os polinômios Q(x) = 5x3 - 4x2 + 3x - 2 e Q(x) = 2x + 1 . 
Determine o produto de P(x)*Q(x). 
 
 
x4 - 3x3 + 2x2 - x - 2 
 
 
10x4 - 3x3 + 2x2 - x + 2 
 
 
10x4 - 3x3 + 2x2 - x - 2 
 
 
10x4 - 3x3 + 2x2 + x + 2 
 
 
8x4 - 3x3 + 2x2 - x - 2 
 
 
 
 
 
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3. 
 
 
Dada a função polinomial f(x) = x³ + x² + x + 1, calcule f(0): 
 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
0 
 
 
1 
 
 
-2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determinar as raízes da equação x³ + 2x² + 2x = 0. 
 
 
 
{0, i, -i} 
 
 
{1, i, -i} 
 
 
{0, 1, -1} 
 
 
{-1+i, i, 0} 
 
 
{0, -1+i, -1-i} 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
P(x) é um polinômio de grau 4 e Q(x) é um polinômio de grau 3, então o grau de P(x) + Q(x) será: 
 
 
 
7 
 
 
Menos que 3 
 
 
Menor ou igual a 4 
 
 
4 
 
 
Maior que 5 
 
 
 
Explicação: 
Somente é possível adicionar ou subtrair monômios semelhantes, permanecendo no resultado o mesmo grau 
das parcelas. Cada polinômio é formado por monômios, e o grau é dado pelo monõmio de maior grau. 
 
 
 
 
 
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6. 
 
 
A solução da equação z3−3=3iz3-3=3i são números complexos que tem módulo e 
argumentos respectivamente: 
 
 
 
5√18 185e argumentos 15º, 75º e 135º 
 
 
3√18 183e argumentos 15º, 135º e 255º 
 
 
4√18 184 e argumentos 10º, 70º e 130º 
 
 
6√18 186 e argumentos 15º, 135º e 255º 
 
 
√18 18e argumentos 10º, 70º e 130º 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere o polinômio P(x) = 3x³ + 4x² -5x +k. Sabendo que P(1) = 7, determine P(2). 
 
 
 
9 
 
 
122 
 
 
21 
 
 
35 
 
 
14 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Dados os Polinômios P(x) = 4x3 - 3x2 + 3 e Q(x) = 5x2 - x + 1, determine P(x) - Q(x). 
 
 
 
4x3 + 8x2- x + 2 
 
 
4x3 - 8x2- x 
 
 
4x3 + 8x2- x + 2 
 
 
4x3 - 8x2- x + 2 
 
 
-4x3 - 8x2- x + 2 
 
 
 
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1. 
 
 
Determinar o valor m para que o resto da divisão do polinômio P(x) = 2x^3 + 7x^2 + 5x + m por D(x) = x^2 
+ 3x + 1 seja igual a zero. 
 
 
m = 0 
 
 
m = -1 
 
 
m = -2 
 
 
m = 1 
 
 
m = 2 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o polinômio p(x) do 1o grau, com coeficientes reais, que verifica a 
condição 
 p(i) + p(2i) = -4 + 6i. 
 
 
p(x) = 3x -3 
 
 
p(x) = x + 1 
 
 
p(x) = x - 2 
 
 
p(x) = -2x + 2 
 
 
p(x) = 2x - 2 
 
 
 
Explicação: 
p(x) = ax + b, a e b reais. 
p(i) = ai + b 
p(2i) = 2ai + b 
p(i) + p(2i) = 3ai + 2b 
3ai + 2b = -4 + 6i 
2b = -4 ⇒ b = -2 
 3a = 6 ⇒ a = 2 
 p(x) = 2x - 2 
 
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3. 
 
 
Considere o polinômio p(x) = 2x3 + x2 - 5x + 1. Determine o seu valor numérico quando x = 
i. 
 
 
p(i) = 2 +7i 
 
 
p(i) = -1 
 
 
p(i) = 2 -7i 
 
 
p(i) = -1-7i 
 
 
p(i) = -2-8i 
 
 
 
Explicação: 
p(i)=2(i)3+2(i)2-5(i)+1 
p(i)=2(-i)+2(-1)-5i+1 
p(i)=-2i-2-5i+1 
p(i)=-1-7i 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Ao Dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) = 2x³ + 4x² + x, encontra-se o quociente 2x-1 e resto nulo. 
Escreva o polinômio P(x). 
 
 
2x^4 + 2x^3 - 3x^2 - x 
 
 
2x^4 + 2x^3 - 3x^2 - 2 
 
 
2x^4 + 2x^3 - 3x^2 + x 
 
 
2x^4 + 2x^3 + 3x^2 + x 
 
 
2x^4 - 2x^3 - 3x^2 - x 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o valor de a e b sabendo que o resto da divisão do polinômio 
P(x) = x3 + ax + b pelo polinômio Q(x) = x2 + x + 2 é igual a 4. 
 
 
 
a = -1 e b = -2 
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a = 1 e b = 3 
 
 
a = 2 e b = 1 
 
 
a = 1 e b = 2 
 
 
a = 2 e b = 3 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Dividindo-se x3 -2x2 + mx + 4 por x + 2, obtém-se quociente x2 - 4x + 5. O resto dessa 
divisão é: 
 
 
 
-6 
 
 
4 
 
 
-8 
 
 
3 
 
 
10 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine os valores de a, b, c, d e e de modo que os polinômios 
 A(x) = ax4 + 5x2 + dx - b e B(x) = 2x4 + (b - 3)x3 + (2c - 1)x2 + x + e sejam 
iguais. 
 
 
a = 2, b = -5, c = -3, d = 1 e e = 4 
 
 
a = -2, b = 3, c = -3, d = 1 e e = 3 
 
 
a = 2, b = -2, c = 3, d = -1 e e = -3 
 
 
a = 2, b = 3, c = 3, d = 1 e e = -3 
 
 
a = -2, b = 3, c = 3, d = -1 e e = -3 
 
 
 
Explicação: 
Para A(x) = B(x), devemos ter: 
a = 2 
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b - 3 = 0 ⇒ b = 3 
5 = 2c - 1 ⇒ c = 3 
d = 1 
- b = e ⇒ b = - 3 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sabendo que - 3 é raiz do polinômio p(x) = x3 - 4x2 - ax + 48, determine o valor de 
a. 
 
 
a = 2 
 
 
a = 5 
 
 
a = 4 
 
 
a = 3 
 
 
a = 1 
 
 
 
Explicação: 
Como - 3 é raiz do polinômio p(x) então p(- 3) = 0. Assim: 
p(-3) = (-3)3 - 4(-3)2 -a(-3) + 48 
3a =15 
a = 5 
 
 
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1. 
 
 
Determine o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de A(x) = x4 + x3 - 7x2 + 9x - 1 
por 
B(x) = x2 + 3x - 2. 
 
 
quociente x2 + x + 1 e resto x + 1 
 
 
quociente x2 - 2x + 1 e resto 2x + 1 
 
 
quociente 3x2 + 2x + 1 e resto 0 
 
 
quociente x2 - 5x + 6 e resto 2x + 1 
 
 
quociente x2 - 3x + 1 e resto -3x + 1 
 
 
 
Explicação: 
Basta usar o método da chave. 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo que o resto da divisão de P(x)=x3-4mx2+2x-6 por x-2 é 10,então o valor de m é: 
 
 
 
-3/2 
 
 
-2/3 
 
 
2/5 
 
 
-1/4 
 
 
2/3 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini na divisão de x^3 -4 x + b por 2x^2 + 2x -6, qual o valor de b 
para que a divisão seja exata? 
 
 
4 
 
 
-4 
 
 
-3 
 
 
5 
 
 
3 
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4. 
 
 
Determine o dobro do resto da divisão do polinômio x² + 3x -10 por x-3 
 
 
 
64 
 
 
4 
 
 
8 
 
 
16 
 
 
32 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Qual o quociente na divisão de x^3 - x^2 + x -1 por (x-2)(x-3)? 
 
 
 
x - 4 
 
 
(x + 3) 
 
 
(x - 3) 
 
 
x - 2 
 
 
x + 4 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Qual o resto na divisão de 2x^4 - 7x^2 + 3x -1 por x-3 ? 
 
 
 
0 
 
 
105 
 
 
112107 
 
 
115 
 
 
 
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7. 
 
 
Determinar o conjunto solução da equação x³ + 2 = 4x + 2 
 
 
 
S = {-2, 0, 1} 
 
 
S = {-2, 1, 3} 
 
 
S = {-2, -1, 0} 
 
 
S = {-2, 0, 2} 
 
 
S = {-2, -1, 2} 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Determine o resto da divisão de x^50 - 17x + 6 por x - 1. 
 
 
 
-10 
 
 
13 
 
 
10 
 
 
12 
 
 
-12 
 
 
 
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1. 
 
 
Determine o resto da divisão de P(x) = 2x3 - 4x2 + 3 por B(x) = 2x - 1. 
 
 
 
r = -1/2 
 
 
r = 1/2 
 
 
r = -3 
 
 
r = 2/3 
 
 
r = 9/4 
 
 
 
Explicação: 
Inicialmente, determine a raiz do divisor B(x). 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine k para que o polinômio A(x) = 6x3 - 4x2 + 2mx - (m + 2) seja divisível pelo 
polinômio (x - 2). 
 
 
m = 0 
 
 
m = 11 
 
 
m = 10 
 
 
m = -10 
 
 
m = 1 
 
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Explicação: 
De acordo com o Teorema de D'Alembert, se o plinômio A(x) é divisível por (x - 2), então 
 x = 2 é raiz de A(x), isto é: 
A(2) = 0 => A(2) = 6(2)3 - 4(2)2 + 2m(2) - (m + 2) => 48 - 16 + 4m - m - 2 = 0 
 => m = -10 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O polinômio A(x) = x3 + px + q é divisível por x2 + 2x + 5. Determine os 
valores de p e q. 
 
 
p = 2 e q = -6 
 
 
p = 1 e q = -2 
 
 
p = 2 e q = -1 
 
 
p = -1 e q = 10 
 
 
p = 1 e q = -10 
 
 
 
Explicação: 
gr(Q)=3-2⇒gr(Q)=1 
R(x)≡0 
O resto deve ser um polinômio identicamente nulo. 
p-1=0⇒p=1 e q+10=0⇒q= -10 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Determine a divisão de p(x) por q(x) para p(x) = x3 - (4 + 2i)x2 + 9ix 
+ 2 e q(x) = x - 2i. 
 
 
A(x) = 3x2 - 4x - i 
 
 
A(x) = 2x2 - x + i 
 
 
 
A(x) = -2x2 - 3x + 2i 
 
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javascript:duvidas('3272805','7319','4','7013990','4');
 
 
A(x) = -x2 + 2x - i 
 
 
 
A(x) = x2 - 4x + i 
 
 
 
 
Explicação: 
usar o dispositivo de Briot-Ruffini. 
Portanto, o resultado da divisão será o polinômio A(x) = x2 - 4x + i 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Seja p(x) um polinômio de 1o grau. Considerando que sua raiz é igual 
a 2 e p(-2) é igual ao dobro 
de sua raiz, determine p(x). 
 
 
p(x) = -x + 1 
 
 
 
p(x) = x + 2 
 
 
 
p(x) = -x - 1 
 
 
 
p(x) = -x + 2 
 
 
p(x) = -x - 2 
 
 
 
 
Explicação: 
p(x) é um polinômio de grau 1, então ele é da forma p(x) = ax + b. 
Considerando que sua raiz é igual a 2, podemos usar o dispositivo de Briot-Ruffini. Como R(x) = 0, 
então 2a + b = 0 => b = -2a 
O enunciado também informa que p(-2) é igual ao dobro de sua raiz, então temos: 
p(x) = ax + b => p(-2) = -2a + b => p(-2) = -2a - 2a => p(-2) = -4a, 
mas p(-2) = 2.(raiz do polinômio) => -4a = 2.2 => -4a = 4 => a = -1 
Como b = -2a => b = -2(-1) => b = 2. 
Portanto, p(x) = -x + 2 
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6. 
 
 
A multiplicidade da raiz x0 = 1 da equação x4 - x3 - 3x2 + 5x - 2 = 0 
é: 
 
 
5 
 
 
3 
 
 
2 
 
 
1 
 
 
4 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Considere a função f(x)=x3−2x2+4x−8f(x)=x3-2x2+4x-8 . Podemos afirmar que 
duas de suas raízes são: 
 
 
x1=2ix1=2i e x2=2ix2=2i 
 
 
x1=4ix1=4i e x2=2x2=2 
 
 
x1=ix1=i e x2=2x2=2 
 
 
x1=2ix1=2i e x2=2x2=2 
 
 
x1=3ix1=3i e x2=2x2=2 
 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Sabendo que o resto da divisão de A(x) = kx3 - 2x + 1 por B(x) = x - 3 é igual a 4, determine o 
valor de k. 
 
 
k = 1/3 
 
 
k = 1/5 
 
 
k = -1 
 
 
k = 0 
 
 
k = 1/2 
 
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javascript:duvidas('68271','7319','7','7013990','7');
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Explicação: 
De acordo com o Teorema do resto, temos: 
r = A(3) = 4, então: 
A(3) = k(3)3 - 2(3) + 1 
Logo, k = 1/3 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considerando que x = 3 é uma das raízes da equação 2x3 - 
3x2 - 11x + 6 = 0, determine as outras raízes. 
 
 
S = {-1, 0, 1/2} 
 
 
 
S = {2, 2, -3/2} 
 
 
 
S = {0, -1, -1/2} 
 
 
 
S = {1, -2, 3/2} 
 
 
 
S = {3, -2, 1/2} 
 
 
 
Explicação: 
3 é raiz => dividir P(x) por (x - 3), encontrando resto nulo. 
P(x) = (x - 3) (2x2 + 3x - 2) 
As demais raízes de P(x) = 0 são as raízes de 2x2 + 3x - 2 = 0, que são: x = - 2 ou 
x = 1/2. 
Conjunto solução: S = {3, -2, 1/2} 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine o conjunto solução da equação x3 - 8x2 + 29x - 
52 = 0, sabendo que uma das raízes é 4. 
 
 
S = {3, - 3i , 3i} 
 
 
S = {0, 2 + i , 2 + i} 
 
 
 
S = {-4, -2 - 3i , 2 - 3i} 
 
 
 
S = {4, 2 - 3i , 2 + 3i} 
 
 
 
S = {2, 1 + 2i , 1 + 3i} 
 
 
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Explicação: 
Note que a equação dada possui 3 raízes, mas uma raiz é 4. Assim, teremos que determinar as outras duas 
raízes. 
r1 = 4 e r2 e r3 são as outras raízes. 
Usando o Teorema da Decomposição, temos que: p(x) = 1.(x - 4)(x - r2)(x - r3) 
Considerando (x - r2)(x - r3) = q(x) => p(x) = (x - 4)q(x) 
Portanto, p(x) é divisível por (x - 4) e o quociente será q(x). 
Usando o dispositivo de Briot-Ruffini, teremos 1, -4 e 13 são os coeficientes de q(x). 
q(x) = 0 => x2 - 4x + 13 = 0. 
Resolvendo a equação do segundo grau x2 - 4x + 13 = 0 encontramos como raízes 
x = 2 - 3i e x = 2 + 3i. Conjunto solução: S = {4, 2 - 3i , 2 + 3i} 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Resolver a equação x3 - 4x2 + 3x = 0 
 
 
 
S = {-2, 1, 3} 
 
 
 
S = {-1, 1, 4} 
 
 
 
S = {0, -1, 2} 
 
 
 
S = {0, 1, 3} 
 
 
S = {1, 1, -3} 
 
 
 
 
Explicação: 
Observe que é uma equação algébrica de grau 3, isso significa que ela possui 3 raízes. Como x é um fator comum 
podemos colocá-lo em evidência. 
x (x2 - 4x + 3) = 0 
Igualando cada termo a zero, temos x = 0 e x2 - 4x + 3 = 0. 
x = 0 já é uma raiz da equação. 
Resolvendo a equação do segundo grau x2 - 4x + 3 = 0 encontramos as outras duas raízes x = 3 ou x = 1. 
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Logo, o conjunto solução será S = {0, 1, 3}. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
A solução da equação x²+2x+2=0 é: 
 
 
 
-2i e +2i 
 
 
-2-i e -2+i 
 
 
-3-i e -3+i 
 
 
-i e +i 
 
 
-1-i e -1+i 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O número de raízes reais da equação x³ - 4x² + 2x +1 = 0 é 
 
 
 
3 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
0 
 
 
4 
 
 
 
 
 
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6. 
 
 
 
 
 
-3 
 
 
-4 
 
 
-2 
 
 
-6 
 
 
-5 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Sendo U= Cℂ, a equação x2−ix+1x2-
ix+1 tem raízes : 
 
 
 
x'=−i2⋅(√5−1)x′=-i2⋅(5-1) e x''=−i2⋅(√5+1)x′′=-
i2⋅(5+1) 
 
 x'=i⋅(√5−1)x′=i⋅(5-1) e x''=i⋅(√5 +1)x′′=i⋅(5+1) 
 
 
x'=−i2⋅(√5−1)x′=-i2⋅(5-
1) e x''=i2⋅(√5 +1)x′′=i2⋅(5+1) 
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 x'=i2⋅(√5−1)x′=i2⋅(5-1) e x''=i⋅(√5 +1)x′′=i⋅(5+1) 
 
 x'=−i2x′=-i2 e x''=i2x′′=i2 
 
 
 
Explicação: 
Basta resolver a equação so segundo grau atravésda fórmula de Bhaskara. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Considerando que x = 1 é uma das raízes da equação x3 - 
3x2 + 4x - 2 = 0, determine as outras raízes. 
 
 
 
S = {1, 1 + i, 1 - i} 
 
 
 
S = {1, -2i, 1 + i} 
 
 
S = {0, - i, - i} 
 
 
 
S = {-1, 1 - i, 1 - i} 
 
 
 
S = {2, 1 + 2i, 1} 
 
 
 
 
Explicação: 
Como 1 é raiz, podemos dividir P(x) por (x - 1), encontrando resto nulo. Assim: 
P(x) = (x - 1) (x2 - 2x + 2) 
As demais raízes de P(x) = 0 são as raízes da equação x2 - 2x + 2 = 0, que são: 
 x = 1 + i ou x = 1 - i. 
Conjunto solução: S = {1, 1 + i, 1 - i} 
 
 
 
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1. 
 
 
Determine a multiplicidade algébrica das raízes da equação 
polinomial (x - 2)3(x + 1) = 0. 
 
 
2 possui multiplicidade 2 e -1 possui multiplicidade 2. 
 
 
 
2 possui multiplicidade 3 e -1 possui multiplicidade 1. 
 
 
 
-2 possui multiplicidade 3 e -1 possui multiplicidade 1. 
 
 
2 possui multiplicidade 1 e 1 possui multiplicidade 1. 
 
 
 
-2 possui multiplicidade 2 e 1 possui multiplicidade 2. 
 
 
 
 
Explicação: 
Essa equação pode ser escrita da seguinte forma: (x - 2)(x - 2)(x - 2)(x + 1) = 0. 
 Logo, 2 é raiz tripla da equação, ou seja, possui multiplicidade três e (-1) é raiz simples ou de 
multiplicidade um da equação. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Duas partículas se movimentam no plano de acordo 
com as trajetórias dadas pelas funções f(t) = t3 e g(t) 
= 7t - 6. Após uma delas cruzar a origem, o instante t 
em que elas se encontram tem valor de: 
 
 
 
4 
 
 
5 
 
 
3 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Um cubo tem volume definido pelo polinômio (x³ + 6x² + 12x + 8) 
cm³. Podemos afirmar que a aresta mede em centímetros: 
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(x - 8) cm 
 
 
(x + 2) cm 
 
 
(x - 3 ) cm 
 
 
(x - 2) cm 
 
 
(x + 8 ) cm 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
O Custo de determinada empresa é definido pela função C(x) = x² - 
62x + 600, onde C é o lucro da empresa em função da quantidade x 
em milhões de unidades. Defina a quantidade que deve ser produzida 
afim de minimizar o custo. 
 
 
9,5 milhões 
 
 
3,1 milhões 
 
 
31 milhões 
 
 
0,31 milhões 
 
 
310 milhões 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
O crescimento populacional de uma determinada região é definido pela 
equação C(t) = (5t³ - 2t² + 3) / 5, onde t é o tempo em anos e C(t) o 
crescimento em milhares de pessoas. Qual a população ( em 
milhares ) estimado pára 2017, se em 2015 a população erá de 325 
000? 
 
 
360 000 
 
 
325 000 
 
 
332 000 
 
 
7000 
 
 
35 000 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
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6. 
 
 
Um aluno de matemática recorta em uma folha de papel um retângulo 
de lados (x + 3) e (x -3). Após, faz um novo recorte, retirando do 
retângulo um quadrado de lado (x - 4). O polinômio que representa a 
área restante pode ser dada por 
 
 
8x + 25 
 
 
x² - 8x + 16 
 
 
x² - 9 
 
 
8x - 25 
 
 
x² - 16 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o valor de k para que os polinômios A(x) = x3 - 
x2 - 5x - 3 e 
B(x) = x3 + 2x2 + kx admitam em comum uma raiz inteira 
de multiplicidade 2. 
 
 
k = 1 ou k = - 11 
 
 
 
k = -1 ou k = - 2 
 
 
 
k = 1 ou k = - 10 
 
 
 
k = 0 ou k = - 11 
 
 
 
k = 1 ou k = - 1 
 
 
 
Explicação: 
Como se trata de uma raiz comum, temos: A(x) = B(x). 
x3 - x2 - 5x - 3 = x3 + 2x2 + kx => 3x2 + (k + 5) x + 3 = 0 
Para que a raiz tenha multiplicidade 2, as raízes dessa equação deverão ser iguais, ou seja: 
∆ = 0  (k + 5)2 - 4.(3).(3) 
(k + 5)2 - 36 = 0 => (k + 5 - 6)(k + 5 + 6) = 0 => (k -1)(k + 11) = 0 
k - 1 = 0  k = 1 
k + 11 = 0  k = - 11 
 
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8. 
 
 
Na equação (x³ - x² + x - 1)18 = 0, a multiplicidade da raiz x = 1 é: 
 
 
 
36 
 
 
18 
 
 
1 
 
 
54 
 
 
9 
 
 
 
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1. 
 
 
Determine as raízes da equação 2x3 - 7x2 + 7x - 2 = 0. 
 
 
 
S = {1/2,1,2} 
 
 
 
S = {-1/2,1,2} 
 
 
 
S = {-1,1,-2} 
 
 
 
S = {1/2,-1,2} 
 
 
 
S = {-2,-1,1} 
 
 
 
Explicação: 
p é divisor de a0, então p é divisor de -2. Portanto, p = ±1 ou p =±2 
q é divisor de an, então q é divisor de 2. Portanto, q =±1 ou q =±2 
Os possíveis valores das raízes racionais são: p/q = { -2, -1, -1/2, 1/2,1, 2} 
Agora verificamos quais os valores desse conjunto tornam a equação verdadeira. Nesse caso devemos 
substituir cada um dos valores na equação dada. Fazendo a substituição encontramos as raízes 1/2, 1 e 2.
 
Portanto, S = {1/2,1,2} 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Determine a soma e o produto das raízes da equação 
2x6 - 4 = 0. 
 
 
soma das raízes: 4 e produto das raízes: 3 
 
 
soma das raízes: 2 e produto das raízes: 2 
 
 
 
soma das raízes: 3 e produto das raízes: 1 
 
 
 
soma das raízes: 1 e produto das raízes: -1 
 
 
 
soma das raízes: 0 e produto das raízes: -2 
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Explicação: 
Como pede a soma e o produto das raízes, vamos utilizar a relação de Girard para resolver, porém temos de 
atentar para o grau na equação algébrica, que é maior que 3. Sendo assim, teremos os seguintes coeficientes: 
2x6 + 0x5 + 0x4 + 0x3 + 0x2 + 0x - 4 = 0 
A soma das raízes = 0 
O produto das raízes = -2 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere os números - 1 e 1 duas das raízes do polinômio 
P(x) = cx3 + ax2 + bx + 2c. 
Determine a terceira raiz de P(x). 
 
 
1 
 
 
2 
 
 
0 
 
 
-1 
 
 
-2 
 
 
 
Explicação: 
Usando as relações de Girard, temos: 
r.s.t = (- 1) . 1 . t 
r.s.t = - t 
mas 
r.s.t = -d/a => -d/a = -2c/c = -2 
Logo, 
-2 = - t => t = 2 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Ao procurar as raízes do polinômio 5x^4 - 3x^2 +3, um aluno utilizou 
o método de Newton. Utilizando este método, ao desenvolver fórmula, 
qual a equação será colocada no denominador da fração? 
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5x^4 - 3x^2 +3 
 
 
-5x^4 + 3x^2 -3 
 
 
20x^3 - 6x 
 
 
20x^3 + 6x 
 
 
-20x^3 + 6x 
 
 
Gabarito 
Comentado 
 
 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Para a equação polinomial x3 - 2x2 + 3x - 2 = 0, calcule 
1/rs + 1/st + 1/rt. 
 
 
3 
 
 
0 
 
 
2 
 
 
4 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
Usando as relações de Girard. 
1/rs + 1/st + 1/rt = (r + s + t)/rst = 2/2 = 1 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Para a equação polinomial x3 - 2x2 + 3x - 2 = 0, calcule r 
+ s + t. 
 
 
2 
 
 
5 
 
 
4 
 
 
3 
 
 
1 
 
 
 
Explicação: 
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https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.asp
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio.aspDe acordo com as relações de Girard, temos: 
r + s + t = -b/a => r + s + t = 2 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Verifique se a equação x4 - x2 - 2 = 0 possui raízes 
racionais. 
 
 
2 e -1 são raízes racionais da equação. 
 
 
 
-1 e 1 são raízes racionais da equação. 
 
 
-2 e -1 são raízes racionais da equação. 
 
 
 
-2 e 1 são raízes racionais da equação. 
 
 
 
A equação não tem raízes racionais. 
 
 
 
 
Explicação: 
Temos que: 
p é divisor de a0, então p é divisor de -2. Portanto, p = ±1 ou p = ±2 
q é divisor de an, então q é divisor de 1. Portanto, q = ±1 
Os possíveis valores das raízes racionais são: p/q = {-2,-1,1,2} 
Agora verificamos quais os valores desse conjunto tornam a equação verdadeira. 
Nesse caso nenhum dos quatro valores é raiz da equação. Logo, a equação não tem raízes racionais. 
 
 
 
 
 
 
8. 
 
Sabemos que o método de Newton é um dos 
procedimentos iterativos que pode ser utilizado na 
determinação de uma raiz do polinômio p(x) 
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localizada em um intervalo [a,b]. A fórmula iterativa 
utilizada pelo método é: