Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 7, DISTÂNCIAS) PARTE II

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Achar a distância de P1 à P2, nos casos: 
9º) P (1, 2, 3) e r: eixo Oz 
Eixo Oz (0, 0, 1) 
P x Oz = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
1 2 3
0 0 1
 = 
2 3
0 1
 𝑖Ԧ - 
1 3
0 1
 𝑗Ԧ + 
1 2
0 0
 𝑘ሬԦ = 
(2 – 0) 𝑖Ԧ – (1 – 0) 𝑗Ԧ + (0 – 0) 𝑘ሬԦ = (-2, -1, 0) 
d = d (P, r) = 
|𝑃𝑥 . 𝑂𝑧|
|𝑂𝑧|
 = 
|(−2,−1,0)|
|(0,0,1)|
 = 
ඥ22+(−1)2+ 02
ඥ02+(0)2+ 12
 = 
ξ5
ξ1
 = ξ5 
10º) P (1, 2, 3) e r: x = 1 e z = -1 
A (1, 0, -1) 
𝑣Ԧ = (0, 1, 0) 
𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ = P – A → (1, 2, 3) – (1, 0, -1) = (0, 2, 4) 
𝑣Ԧ x 𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
0 1 0
0 1 4
 = 
1 0
1 4
 𝑖Ԧ - 
0 0
0 4
 𝑗Ԧ + 
0 1
0 1
 𝑘ሬԦ = 
(4 – 0) 𝑖Ԧ – (0 – 0) 𝑗Ԧ + (0 – 0) 𝑘ሬԦ = (4, 0, 0) 
d = d (P, r) = 
| 𝑣Ԧ x 𝐴𝑃ሬሬሬሬԦ |
|𝑣Ԧ|
 = 
ඥ42+(0)2+ 02
ඥ02+(1)2+ 02
 = 
ξ16
ξ1
 = 4 
 
RESOLUÇÃO DO LIVRO VETORES E 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
 
Achar a distância do ponto P ao plano , nos casos: 
11º) P (2, -1, 2) e : 2x – 2y – z + 3 = 0 
d (P, ) = 
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|
ξ𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2
 
d (P, ) = 
|2 . 2−2 (−1)−1 . 2+3|
ඥ22+ (−2)2+ 12
 = 
|4+2 − 2+3|
ξ9
 = 
7
ξ9
 = 
7
3
 
12º) P (3, -1, 4) e : x + y + z = 0 
d (P, ) = 
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|
ξ𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2
 
d (P, ) = 
|1 . 3+1 .(−1)+1 . 4|
ඥ12+ (1)2+ 12
 = 
|3−1+ 4|
ξ3
 = 
6
ξ3
 = 
6
ξ3
 . 
ξ3
ξ3
 = 
6ξ3
3
 = 2ξ3 
13º) P (1, 3, -6) e : 4x – y + z + 5 = 0 
d (P, ) = 
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|
ξ𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2
 
d (P, ) = 
|4 . 1−1 .(3)+1 . (−6)+5|
ඥ42+ (−1)2+ 12
 = 
|4−3−6+5|
ξ18
 = 
0
ξ18
 = 0 
14º) P (0, 0, 0) e : 3x – 4y + 20 =0 
d (P, ) = 
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|
ξ𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2
 
d (P, ) = 
|3 . 0−4 .(0)+20|
ඥ32+ (−4)2
 = 
20
ξ25
 = 
20
5
 = 4 
15º) P (1, 1, 1) e x = 2 + 2h + 3t 
 : y = -1 + h + t 
 z = 2 – h 
A (2, -1, 2) 
𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ = P – A → (1, 1, 1) – (2, -1, 2) = (-1, 2, -1) 
(𝑢ሬԦ, 𝑣Ԧ, 𝐴𝑃ሬሬሬሬሬԦ) = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
3 1 0
−1 2 −1
 = 
1 0
2 −1
 . 2 - 
3 0
−1 −1
 . 1 + 
3 1
−1 2
 . (-1) = 
(-1 – 0) . 2 – (-3 + 0) . 1 + (6 + 1 ) . (-1) = -2 + 3 – 7 = -6 
𝑣Ԧ x 𝑢ሬԦ = 
𝑖Ԧ 𝑗Ԧ 𝑘ሬԦ
2 1 −1
3 1 0
 = 
1 −1
1 0
 𝑖Ԧ - 
2 −1
3 0
 𝑗Ԧ + 
2 1
3 1
 𝑘ሬԦ = 
(0 + 1) 𝑖Ԧ – (0 + 3) 𝑗Ԧ + (2 – 3) 𝑘ሬԦ = (1, -3, -1) 
d (P, ) = 
|(𝑢ሬԦ,𝑣Ԧ,𝐴𝑃ሬሬሬሬԦ)|
|𝑣Ԧ x 𝑢Ԧ |
 = 
−6
ඥ12+(−3)
2+(−1)2
 = 
6
ξ11
 
16º) Calcular a distância entre os planos parelelos: 
1: x + y + z = 4 e 2: 2x + 2y + 2z = 5 
𝑛ሬԦ1 = (1, 1, 1) e 𝑛ሬԦ2 = (2, 2, 2) 
Fazendo x = y = 0, temos que z = 4, então P (0, 0, 4) 
d (1, 2) = d (P1, 2) = 
|𝑎𝑥0+𝑏𝑦0+𝑐𝑧0+𝑑|
ξ𝑎2+ 𝑏2+ 𝑐2
= 
d (P1, 2) = 
|2 .0 +2 .0 +2 .4−5|
ξ22+ 22+ 22
 = 
|8−5|
ξ12
 = 
3
ξ12
 = 
3
2ξ3
 = 
3
2ξ3
 . 
2ξ3
2ξ3
 = 
6ξ3
4ξ9
 = 
ξ3
2