GEOMETRIA PONTOS E RETAS

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Folheto de MATEMÁTICA 
Professor Dirceu (031)99825-4449 
 
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Estudo dos Pontos 
 Distância entre dois pontos; Ponto médio de um segmento; Condição de 
alinhamento de três pontos. 
Estudo da Reta 
 Equação geral e reduzida da reta; Intersecção entre retas; Distância entre 
ponto e reta. 
Estudo da Circunferência 
 Equação reduzida da circunferência; Posições relativas entre ponto e 
circunferência; Posições relativas entre reta e circunferência; Posições 
relativas entre circunferências. 
Distância entre dois pontos 
 
. 
Se tivermos como base os pontos A (xa, ya) e B (xb, yb), a distância é 
representada pelo segmento de reta AB (dAB). 
Note que a distância entre os pontos A e B é a hipotenusa do triângulo formado 
pelas retas que passam pelos pontos A e B., portanto, vamos utilizar o teorema 
de Pitágoras para definir uma fórmula genérica. 
 
 Exemplo 
Calcule a distância entre os pontos A (0, 0) e B (4, 2). 
 
https://beduka.com/blog/materias/matematica/relacoes-metricas-no-triangulo-retangulo-2/
https://beduka.com/blog/exercicios/matematica-exercicios/exercicios-sobre-o-teorema-de-pitagoras/
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Coordenadas do ponto médio 
 
 
 Exemplo 
Determine o ponto médio do segmento AB, sabendo que A (2, 1) e B (6, 5). 
 
 
Condição de alinhamento de três pontos 
 
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Considere três pontos genéricos: A (xa, ya), B (xb, yb) e C (xc, yc). Dizemos 
que os pontos são colineares se o determinante entre eles for nulo (igual a 
zero). 
Lembre-se: determinante é uma função que vem da matriz, sempre sinalizada 
pelos dois traços ao lado dela! Ele transforma aquela matriz, resumindo suas 
informações em um único número final! 
 
Equação da reta 
Para encontrar a equação geral da reta, utilizaremos duas fórmulas: 
 
Em que (xp, yp) é um dos pontos que conhecemos. 
 
 
Exemplo: Equação da reta que passa pelos pontos A (2,1) e B (5,7) 
 
Método 1 
 
1º passo: encontrar o coeficiente angular m. 
 
2º passo: escolher um dos pontos e substituir os valores de m e desse ponto 
na equação, igualando-a a zero. 
 
y – yp = m (x – xp) 
 
Sabendo que m = 2, e escolhendo o ponto A(2,1), temos que: 
y – 1 = 2 (x – 2) 
y – 1 = 2x – 4 
y – 2x – 1 + 4 = 0 
 
 Equação geral da reta r.  – 2x + y + 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
https://beduka.com/blog/materias/matematica/determinante/
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Método 2 
Vamos construir a matriz com os dois pontos que conhecemos: os valores A (xA, 
yA), B (xB, yB) e um ponto arbitrário, e C (x,y). 
 
1º passo: montar a matriz. 
 
 
2º passo: resolver a equação det (M) = 0. 
 
Para que os pontos estejam alinhados, o valor do determinante da matriz tem que 
ser igual a zero, por isso, igualamos o determinante da matriz M a zero. 
 
Exemplo: Utilizando os pontos do exemplo anterior, encontraremos a 
equação geral da reta. 
A(2,1), B(5,7) e C(x,y) 
 
Primeiro vamos montar a matriz: 
 
 
Agora calcularemos o seu determinante: 
det(M) = 14 + x + 5y – 7x – 5 – 2y = 0 
 
det(M) = 3y – 5x + 9 = 0 
 
Note que essa é a equação de uma reta, sendo assim, a equação geral da reta 
 
que passa pelos pontos A, B e C é – 5x + 3y + 9 = 0. 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA 
"Estabelecendo a equação geral da reta s: ax + by + c = 0 e a coordenada do 
ponto P(x0,y0), conseguimos chegar à expressão capaz de calcular a distância 
entre o ponto P e a reta s: 
 
 
 
https://www.preparaenem.com/matematica/matrizes-determinantes.htm
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"Dado o ponto A(3, -6) e r: 4x + 6y + 2 = 0. Estabeleça a distância entre A e r 
utilizando a expressão dada anteriormente. 
 
Temos que: 
x: 3 
y: -6 
a: 4 
b: 6 
c: 2 
 
" 
 
 
 
 
DISTÂNCIA ENTRE RETAS PARALELAS 
Duas retas paralelas tem mesmos valores de a e b só sendo diferente o c 
R: 4x +2y +3=0 S :4x + 2y +8 =0 
Observe que os coeficientes a e b das duas retas, R e S, são iguais e o c é 
diferente. Logo as duas retas são paralelas. 
A distância entre r e r’ é dada por: 
 
 
 Exemplo: Calcular a distância entre as retas: 
r: 2x + 3y = 4 
r’: 2x + 3y=1 =1 
 Temos: 
a = 2 
b = 3 
c = 4 
c’ = 1 
 
 
 
 
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Equação reduzida da reta 
Outra forma de representar a equação da reta é a equação reduzida. A diferença 
da equação geral para a equação reduzida é que, na equação geral, o segundo 
membro é sempre igual a zero, agora, na equação reduzida, vamos sempre 
isolar o y no primeiro membro. A equação reduzida da reta é sempre descrita 
por y = mx + n, em que m e n são números reais, com m diferente de zero. 
Conhecendo a equação geral da reta, é possível encontrar a reduzida apenas 
isolando o y. 
Exemplo: – 5x + 3y + 9 = 0 
Vamos isolar o y no primeiro membro: 
 
Equação segmentária da reta 
Assim como a equação geral e a equação reduzida da reta, a equação segmentária 
é uma maneira de representar a equação da reta. A equação segmentária tem esse 
nome porque ela nos informa os pontos em que a reta intercepta os eixos x e y. 
A equação segmentária da reta é descrita por: 
 
Exemplo: Encontre a equação segmentária da reta -5x + 3y – 9 = 0. 
Vamos isolar o termo independente 9 no segundo membro: 
-5x + 3y = 9 
Agora vamos dividir toda a equação por 9: 
 
 
Agora vamos reescrever cada um dos termos colocando c/a e c/b. 
 
Segue  
https://www.preparaenem.com/matematica/equacao-reduzida-reta.htm
https://www.preparaenem.com/matematica/divisao.htm
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EXERCÍCIO RESOLVIDO 
 
Questão 1 – A equação geral da reta representada no plano cartesiano é: 
 
 
 
A) 2x + 2y – 6 = 0 
B) x + y – 9 = 0 
C) 2x – y + 3 = 0 
D) -2x + y + 3 = 0 
E) x + 2y – 3 = 0 
 
Resolução 
 
Primeiro vamos identificar os dois pontos, são eles A (2,1) e B (3,3). Seja P (x, y) 
um ponto qualquer da reta, devemos calcular o determinante da matriz M e 
igualar a zero, colocando em cada linha o valor de x, y e 1. 
 
 
 
det (M) = 6 + x + 3y – 3x – 3 – 2y = 0 
 
det (M) = -2x + y + 3 = 0 Opção D