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Ve rs ão 2 .0 .1 Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br SUMÁRIO MATEMÁTICA Teoria de Conjuntos 3 Representação de Conjuntos 3 Operação com Conjuntos 3 Conjuntos Numéricos 3 Função – Parte I 8 Conceito 8 Função – Parte II 14 Função – Parte III 19 Função Exponencial 25 Logarítmos 30 Geometria de Posição 35 Geometria Plana I 40 Geometria Plana II 47 Lei dos Senos, Cossenos e Cálculo de Área 53 Áreas de Figuras 60 Progressão Aritmética (PA) 66 Progressão Geométrica (PG) 71 Matemática Financeira 77 Porcentagem 77 Estatística 82 Trigonometria I - Triângulo Retângulo 90 Trigonometria II - Circunferência 96 Trigonometria III - Equações Trigonométricas 102 Relação trigonométrica fundamental 102 Matrizes 106 Determinantes 112 Sistemas Lineares 116 Poliedros 121 Prismas 127 Fórmulas 127 Cilindros 132 Pirâmides 138 Classificação 138 Cones 143 Esferas 149 Análise Combinatória 155 Binômio de Newton 160 Números Binomiais 160 Números Binomiais Complementares 160 Triângulo de Pascal ou Tartaglia 160 Probabilidade 165 Probabilidade de um Evento 165 Geomatria Analítica I - Pontos e Retas 171 Geomatria Analítica II - Circunferência 176 Geometria Analítica III - Retas e Planos 181 Números Complexos 186 Polinômios 191 Equações Polinomiais 195 Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , Trigonometria III - Equações Trigonométricas dis trib uiç ão , Trigonometria III - Equações Trigonométricas do aç ão ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br FÍSICA Velocidade Média e Movimento Retilíneo e Uniforme (MRU) 205 Movimento Uniformemente Variado 210 O que é um vetor? 215 Lançamento Vertical e Lançamento Oblíquo 219 Movimento Circular e Uniforme 224 Leis de Newton I 228 Leis de Newton II 232 Energia e Trabalho 238 Dinâmica Impulsiva 243 Equilíbrio de ponto material e corpo extenso 247 Hidrostática 253 Gravitação Universal 259 Termologia e Transferência de Calor Temperatura 265 Dilatação Térmica 272 Calorimetria 278 Termodinâmica 284 Princípios da Óptica 293 Reflexão em Espelhos Planos e Esféricos 299 Refração da Luz 303 Lentes Esféricas, Instrumentos Ópticos e Problemas de Visão 309 Introdução à Ondulatória 315 Fenômenos Ondulatórios - I 320 Fenômenos Ondulatórios – II 325 Acústica 331 Lei de Coulomb e Processos de Eletrização 338 Campo Elétrico (E) 345 Energia Potencial Elétrica (Ep) 352 Eletrodinâmica 359 Resistores 365 Geradores e Receptores Elétricos 372 Capacitores 379 Leis de Kirchhoff 385 Magnetismo 392 Campo Magnético 399 Força Magnética 406 Indução Magnética 413 QUÍMICA Substâncias e Misturas 426 Reações e Leis Ponderais 432 Método de separação 436 Modelos atômicos 441 Modelos atômicos Quântico e Distribuição Eletrônica 445 Estrutura da Tabela Periódica 449 Ligações Químicas 453 Geometria e Polaridade 458 Ácidos e Bases 464 Sais e Óxidos 469 Grandezas Química 474 Cálculos Estequiométricos 479 Gases 484 Pr oib ida Campo Magnético Pr oib ida Campo Magnético a c óp ia, Geradores e Receptores Elétricos có pia , Geradores e Receptores Elétricos dis trib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Lentes Esféricas, Instrumentos Ópticos e Problemas de Visãove nd a! Lentes Esféricas, Instrumentos Ópticos e Problemas de Visão Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br Soluções e Dispersões 488 Cálculos e Concentrações 494 Propriedades Coligativas 498 Termoquímica 504 Oxirredução 510 Pilhas 515 Eletrólise 522 Radioatividade 529 Cinética 536 Equilíbrio Químico I 543 Equilíbrio Químico II 550 Introdção a Química Orgânica 557 Classificação de cadeias carbônicas 563 Hidrocarbonetos 569 Funções Oxigenadas 574 Funções Nitrogenadas 580 Isometria Plana 586 Isometria Espacial 591 Reações Orgânicas I 598 Reações Orgânicas II 603 Reações Orgânicas III 610 Petróleo e Polímeros 617 Biomoléculas 623 BIOLOGIA Núcleo 634 Membrana Plasmática 641 Organelas Celulares 641 Respiração Celular 648 Interfase 655 Mitose 655 Meiose 655 Teorias da Origem da Vida 661 Teoria da Biogênese 661 Evolução Química 662 Água 669 Sais minerais 669 Carboidratos 669 Lipídios 669 Proteínas 676 Ácidos Nucléicos 676 Expressão do Material Genético 676 Vitaminas 676 Embriologia 683 Histologia 690 Epitelial 690 Epitelial de Revestimento 690 Classificações do tecido epitelial de revestimento 690 Epitelial Glandular 690 Classificação das glândulas quanto a secreções 690 Conjuntivo 690 Tecido Conjuntivo Propriamente Dito 691 Tecido Conjuntivo Especializado 696 Pr oib ida Teorias da Origem da Vida Pr oib ida Teorias da Origem da Vida a có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br Muscular 702 Neural 702 Sistema Digestório 710 Sistema Respiratório 710 Sistema Cardiovascular 710 Sistema Excretor 717 Sistema Endócrino 717 Sistema Neural 717 Sistemática dos Seres Vivos 723 Vírus 723 Viroses 723 Reino Monera 730 Bacterioses 730 Protozoários 736 Protozooses 743 Poríferos (espongiários) 751 Cnidários 751 Platelmintos 758 Nematelmintos 758 Anelídeos 764 Moluscos 764 Artrópodes 770 Equinodermos 770 Superclasse Agnatha 776 Superclasse Gnathostomata 776 Anfíbios 783 Répteis 783 Aves 790 Mamíferos 790 Algas 796 Reino Fungi 796 Grupos Vegetais e Reprodução 802 Histologia Vegetal 808 Tecidos Embrionários (Meristemas) 808 Tecidos Permanentes 808 Raiz 808 Caule 814 Folha 814 Flor 814 Fruto 821 Semente 821 Teoria de Condução de Seivas 821 Fitormônios 821 Categorias Ecológicas 827 Divisão dos Seres de uma Comunidade 827 Hábitat e Nicho Ecológico 827 Ecótono 827 Cadeia e Teia Alimentar 827 Pirâmides Ecológicas 827 Biomas 834 Relações Ecológicas 834 Dinâmica de População 842 Sucessão Ecológica 842 Pr oib ida Tecidos Embrionários (Meristemas) Pr oib ida Tecidos Embrionários (Meristemas) Tecidos Permanentes Pr oib ida Tecidos Permanentes a Tecidos Embrionários (Meristemas)a Tecidos Embrionários (Meristemas) có pia , Grupos Vegetais e Reprodução có pia , Grupos Vegetais e Reprodução dis trib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br Ciclos Biogeoquímicos 842 Introdução 850 1ª Lei de Mendel 850 2ª Lei de Mendel 850 Polialelismo 857 Sistema ABO 857 Eritroblastose fetal (doença hemolítica do recém-nascido) 857 Herança Quantitativa 857 Linkage 864 Mapa Gênico 864 Herança do Sexo 864 HISTÓRIA História do Brasil Formação do Estado Português 879 Período Pré-Colonial (1500-1530) 887 União Ibérica 894 Revoltas Nativistas, Era Pombalina e Tratados Territoriais 902 O ciclo do Ouro, Revoltas e Inconfidências 909 A Chegada da Família Real 917 Processo de Independência 924 I Reinado 924 Período Regencial e II Reinado 931 Revoltas Rurais 938 Revoltas Urbanas 938 Economia e Cultura 939 Era Vargas e Populistas 947 Os populistas 947 Ditadura Militar 954 Castelo Branco (1964-1967) 954 Costa e Silva (1967-1969) 954 Médici (1969-1974) 954 Geisel (1974-1979) 954 João Figueiredo (1979-1985) 954 Brasil pós 1985 962 História Geral Egito Antigo 973 Fenícia 973 Suméria 973 Babilônia 973 Judeus 973 Grécia 980 Roma 980 O Império Bizantino e a Idade Média 987 Reforma Protestante 995 A Reação da Igreja Católica 996 Consequências 996 Expansão Marítima 1004 A América Pré-Colombiana 1004 Sistema Colonial Espanhol 1004 Enquanto isso, na América do Norte 1005 Pr oib ida João Figueiredo (1979-1985) Pr oib ida João Figueiredo (1979-1985) a c óp ia, di str ibu ição, do aç ão ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br A Revolução Inglesa 1013 O Iluminismo 1013 As ideias iluministas chegam à América 1013 A Revolução Francesa 1013 A Era Napoleônica 1014 Revolução Industrial 1021 Simón Bolívar e San Martin 1030 O Caso do México 1030 Cuba 1030 Haiti 1031 Introdução 1040 Unificação da Itália 1040 Unificação da Alemanha 1040 A Guerra de Secessão (EUA) 1040 I Guerra Mundial 1040 Revolução Russa 1049 Crise de 1929 1049 O Caso da Itália 1058 O Caso da Alemanha 1058 Segunda Guerra Mundial 1058 EUA x URSS 1068 A Guerra Fria no Mundo 1068 Caso da China 1068 O Caso de Cuba 1069 GEOGRAFIA Movimentos da Terra 1081 Localização e Orientação 1081 Cartografia 1081 Fórmulas para calcular escala: 1081 Estrutura Interna da Terra 1087 Tipos de Rochas 1087 Estrutura Geológica da Terra 1087 Formas de Relevo 1087 Hidrografia 1094 Conceito de Bacia Hidrográfica 1094 Bacias Hidrográficas Brasileiras 1094 Atmosfera 1102 Fatores que Influenciam o Clima 1102 Tipos de Climas 1102 Tipos de Climas no Brasil 1103 Principais Formações Vegetais da Terra 1110 Formações Vegetais do Brasil 1110 Demografia 1118 Regionalização Brasileira 1119 Espaço Urbano 1127 Espaço Rural 1127 Fontes Energéticas 1135 Processo de Industrialização 1135 Transportes 1135 Conflitos no Mundo Atual 1142 Processo de Globalização 1150 Blocos Econômicos 1150 Pr oib ida Estrutura Geológica da Terra Pr oib ida Estrutura Geológica da Terra Conceito de Bacia HidrográficaPr oib ida Conceito de Bacia Hidrográfica a Estrutura Geológica da Terraa Estrutura Geológica da Terra c óp ia, di str ibu içã o, do aç ão ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br Ásia 1158 Continente Europeu 1158 Oceania 1159 América 1165 América Latina 1165 América do Sul 1165 África 1165 Antártida 1166 FILOSOFIA Cosmogonia: A explicação a partir dos Deuses 1176 Os pré-Socráticos e a busca pela Arché 1185 Tales de Mileto – (623-546 a.C.) 1185 Anaximandro de Mileto – (610-547 a.C.) 1185 Anaxímenes de Mileto – (588-524 a.C.) 1185 Pitágoras de Samos – (570-490 a.C.) 1185 Heráclito de Éfeso – (535-475 a.C.) 1185 Parmênides de Eleia – (510-470 a.C.) 1185 Empédocles (490-430 a.C.) 1186 Zenão de Eleia (488-430 a.C.) 1186 Sócrates: A sistematização da ontologia 1193 Patrística e Escolástica 1202 Francis Bacon: A destruição dos ídolos 1209 Maquiavel: O Verdadeiro Príncipe 1217 Thomas Hobbes: O Grande Leviatã 1217 Jean-Jacques Rousseau: O bom selvagem 1217 John Locke: A propriedade privada 1218 A crise da Ciência 1226 O Círculo de Viena – A morte da Metafísica 1226 Auguste Comte – A Sacralidade da Ciência 1226 Karl Popper – O Falseabilidade 1226 por método 1226 Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos 1226 Paul K Feyerabend – O Anarquista Epistemológico 1227 Fenomenologia: O Resgate da Consciência 1235 Edmund Husserl: O Pai da Fenomenologia 1235 Existencialismo: A Legitimidade do Existir 1235 SØren Kierkegaard – O Homem religioso 1235 Friedrich Nietzsche: 1235 A Genealogia da Moral 1235 Jean-Paul Sartre: 1235 O Homem Condenado a Ser Livre 1235 Arthur Schopenhauer: A Angústia e o Tédio 1236 Pr oib ida Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos Pr oib ida Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos Paul K Feyerabend – O Anarquista Epistemológico Pr oib ida Paul K Feyerabend – O Anarquista Epistemológico Fenomenologia: O Resgate da Consciência Pr oib ida Fenomenologia: O Resgate da Consciência Edmund Husserl: O Pai da FenomenologiaPr oib ida Edmund Husserl: O Pai da Fenomenologia a Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos a Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos c óp ia, Auguste Comte – A Sacralidade da Ciência có pia , Auguste Comte – A Sacralidade da Ciência Karl Popper – O Falseabilidade có pia , Karl Popper – O Falseabilidade Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos c óp ia, Thomas Kuhn – Os Paradigmas Científicos dis trib uiç ão , O Círculo de Viena – A morte da Metafísica dis trib uiç ão , O Círculo de Viena – A morte da Metafísica Auguste Comte – A Sacralidade da Ciência dis trib uiç ão , Auguste Comte – A Sacralidade da Ciência do aç ão ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br SOCIOLOGIA Sociologia: A Ciência da Sociedade 1246 O surgimento da Sociologia 1246 Auguste Comte: O Pai da Sociologia 1246 Sociedade e educação – Émile Durkeim 1255 Processo de socialização 1255 Fato Social – Émile Durkheim 1255 As formas de solidariedade 1255 Anomia Social 1255 O Suicídio (1897) 1256 Max Weber – A importância do Indivíduo 1264 Ação social 1264 Estratificação Social em Weber 1264 Forma de Dominação para Max Weber 1264 Karl Marx – Censura à Sociedade capitalista 1273 Materialismo dialético 1273 Luta de Classe 1273 Cultura Popular 1283 Cultura Erudita 1283 Cultura de Massa 1283 Indústria Cultural 1283 Os Contratualistas 1292 Surgimento do Estado Moderno 1292 Neoliberalismo 1292 Estado para o Marxismo 1292 Democracia no Brasil 1292 Movimentos Sociais 1293 As Religiões no Brasil 1301 Religião para Karl Marx 1301 Religião para Émile Durkheim 1302 Religião para Max Weber 1302 Sérgio Buarque de Holanda 1311 Gilberto Freyre 1311 Florestan Fernandes 1311 Darcy Ribeiro 1312 Octavio Ianni 1312 Caio Prado Jr 1312 GRAMÁTICA Fonética 1324 Acentuação Tônica 1330 Classes Gramaticais I 1335 Classes Gramaticais II 1340 Sintaxe do Período Simples 1345 Sintaxe do Período Composto 1350 Concordância Verbal e Nominal I 1355 Concordância Verbal e Nominal II 1360 Regência Verbal e Nominal 1365 Crase 1370 Figuras de Linguagem 1375 Pontuação 1380 Pr oib ida a Sérgio Buarque de Holanda a Sérgio Buarque de Holanda có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br LITERATURA Quinhentismo 1389 Barroco 1399 Arcadismo 1409 Romantismo I: Poesia 1420 Romantismo II: Prosa 1430 Realismo 1440 Naturalismo 1450 Parnasianismo e Simbolismo 1460 Pré-Modernismo 1470 Modernismo 1º fase 1480 Modernismo 2º fase 1488 Modernismo 3º fase 1500 Produções contemporâneas 1500 Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br QUÍMICAQUÍMICA Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , d oa çã o o u v en da ! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 3 M at em át ic a AULA O1 Teoria de Conjuntos Introdução Alguns conceitos na Matemática não têm definição. Esses conceitos são a base de todas as definições da Matemática. Os conjuntos passam uma ideia de agrupamento de coi- sas e objetos em geral. Esses objetos formadores dos conjuntos são denomina- dos de elementos do conjunto. Exemplo 1: Conjunto dos números pares positivos: P = {2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}. Exemplo 2: Conjunto de dias da semana que começam com a letra D: S = {domingo}. Um elemento pode ou não pertencer ao conjunto. Utili- zamos para indicar a pertinência o símbolo ∈ (Pertence) e para a não pertinência usamos o símbolo ∉ (Não pertence). Representação de Conjuntos Por Extensão ou por Enumeração dos Elementos Escrevem-se os elementos entre chaves e separados por vírgula. Exemplo: Conjunto das vogais da palavraMATEMÁTICA. M = {a, e, i} Obs: Cada elemento aparece uma única vez na enumeração, ou seja, nunca são repetidos. Pela Propriedade Característica dos Elementos Exemplo: Conjunto dos números Naturais menores que 9. I = {x ∈ a N | x < 9} Pelo diagrama de Venn Os diagramas de Venn são utilizados para denotar grafica- mente algumas propriedades dos conjuntos. Exemplo: Conjunto dos números Naturais menores ou iguais a 6 e maiores que 0. TIPOS DE CONJUNTOS VAZIO: Não possui elementos. Indica-se { } ou Ø; UNITÁRIO: É o conjunto que possui apenas um elemento; UNIVERSO: É o conjunto formado por todos os elementos que fazem parte do assunto em questão; FINITO ou INFINITO: Um conjunto é dito finito ou infinito dependendo da quantidade de elementos diferentes per- tencentes a ele. Operação com Conjuntos União Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, cha- mamos união, um conjunto C, formado pelos elementos que pertencem a A ou B. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Interseção Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, chamamos interseção, um conjunto C, formado pelos elementos que pertencem a A e B, simultaneamente. A ∩ B = {4, 5} Diferença ou Complementar Dados dois conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7}, chamamos diferença ou complementar, um conjunto C, formado pelos elementos que pertencem a A e não per- tencem a B. B AC = A – B = {1, 2, 3} ***Leitura: Complementar de B em relação a A é igual a A menos B. Conjuntos Numéricos Conjunto dos Números Naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos Números Inteiros (Z) Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...} Conjuntos dos Números Racionais (Q) Compreende o conjunto dos números Naturais e os con- juntos dos números Inteiros, além das frações decimais finitas ou periódicas. Q = {x | x = a/b, com a ϵ Z, b ϵ Z e b ≠ 0}. Conjuntos dos números irracionais (I) É o conjunto formado pelas decimais infinitas não peri- ódicas e pelas raízes não exatas, ou qualquer número que não possa ser escrito na forma a/b. *** Um número irracional muito conhecido é o π (Pi) = 3,1415926535... Pr oib ida Os diagramas de Venn são utilizados para denotar grafica Pr oib ida Os diagramas de Venn são utilizados para denotar grafica mente algumas propriedades dos conjuntos.Pr oib ida mente algumas propriedades dos conjuntos. a c óp ia, : Conjunto dos números Naturais menores que 9. có pia , : Conjunto dos números Naturais menores que 9.d ist rib uiç ão , : Conjunto dos números Naturais menores que 9. dis trib uiç ão , : Conjunto dos números Naturais menores que 9. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} dis trib uiç ão , N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} Conjunto dos Números Inteiros (Z) dis trib uiç ão , Conjunto dos Números Inteiros (Z) Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...} dis trib uiç ão , Z = {..., – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, ...} do aç ão Conjunto dos Números Naturais (N) do aç ão Conjunto dos Números Naturais (N) do aç ão N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}do aç ão N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} ou Conjuntos Numéricos ou Conjuntos Numéricosve nd a!relação a A é igual a A menos B. ve nd a!relação a A é igual a A menos B. Conjuntos Numéricosve nd a! Conjuntos Numéricos Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 4 M at em át ic a Conjuntos dos Números reais (R) União do conjunto dos números Racionais com o conjunto dos números Irracionais. R = Q ∪ Ir = {x | x ∈ Q ou x ∈ Ir} O diagrama a seguir relaciona os conjuntos numéricos vistos até aqui. EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) (Udesc 2019) Foi solicitado que um grupo de 64 pes- soas escolhesse um número natural maior do que 3. Após análise das escolhas, constatou-se que: 12 pessoas escolheram um número primo, 30 um número par, 14 um múltiplo de 3 e 6 um múltiplo de 6 O número de pessoas que escolheu um número ímpar, não múltiplo de 3 foi igual a: a) 14 b) 26 c) 12 d) 20 e) 34 2) (Esam – PI) Sejam os conjuntos X e Y, cujos elementos são as letras das palavras Maria e Mariana, respectiva- mente. O número de elementos do conjunto X ∩ Y é: a) 11 b) 9 c) 6 d) 5 e) 4 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ∩ N = {1, 2} e N – M = {3, 4}. Assinale a alternativa correta. a) M = {1, 2, 3} b) M = {1, 2, 5, 6} c) N = {1, 2, 4} d) N = {1, 2} e) M = {1, 2, 3, 4} 4) (PUC-MG) Considere os seguintes subconjuntos de nú- meros naturais: N = { 0, 1, 2, 3, 4, ...} P = { x ∈ |N / 6 ≤ x ≤ 20} A = { x ∈ P / x é par} B = { x ∈ P / x é divisor de 48} C = { x ∈ P / x é múltiplo de 5} O número de elementos do conjunto (A – B) ∩ C é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 5) (UFPI)Considerando os conjuntos A, B e C na figura a seguir, a região hachurada representa: a) B – (A – C) b) B ∩ (A – C) c) B (A ∩ C) d) B ∩ (A C) e) B – (A C) 6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam no rol de preocupações das adolescentes que costumam frequentar as “baladas” belenenses – é o que aponta a pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária en- tre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presen- tes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 apare- cem nos locais onde acontecem as “baladas” com traje inédito e depois de uma “escova” no cabeleireiro. Per- gunta-se: quantas são as adolescentes consultadas que não se preocupam em ir ao cabeleireiro fazer “escova”, nem em vestir uma roupa inédita? a) 39 b) 63 c) 102 d) 165 e) 177 7) (PUC-RJ) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 15 pessoas utilizam pelo menos um dos produtos A ou B. Sabendo que dez destas pessoas não usam o produto B e que duas destas pessoas não usam o produto A, qual é o número de pessoas que utilizam os produtos A e B? 8) (Acafe-SC) Dos 540 alunos inscritos em uma academia, 200 fazem musculação, 250, natação e 240 fazem outras modalidades de esportes. Assinale a alternativa correta. a) O número de alunos que faz apenas musculação é 100. b) O número de alunos que faz apenas natação é 50. c) 450 alunos fazem natação ou musculação. d) 150 alunos fazem natação e musculação. e) 300 fazem apenas uma modalidade de esporte. Pr oib ida 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M Pr oib ida 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ∩ N = {1, 2} e N – M = {3, 4}. Assinale Pr oib ida {1, 2, 3, 4, 5, 6}, M ∩ N = {1, 2} e N – M = {3, 4}. Assinale a 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M a 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M c óp ia, 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M c óp ia, 3) (UFPI)Considere os conjuntos M e N tais que M dis trib uiç ão , pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária en dis trib uiç ão , pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária en tre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de dis trib uiç ão , tre 15 e 19 anos. Destas, 205 comparecem a esse tipo de festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presen dis trib uiç ão , festa se adquirem um traje inédito; 382 se fazem presen tes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 apare dis trib uiç ão , tes após uma boa “escova” no cabeleireiro; 102 apare do aç ão 6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam do aç ão 6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam no rol de preocupações das adolescentes que costumam do aç ão no rol de preocupações das adolescentes que costumam do aç ão frequentar as “baladas” belenenses – é o que aponta a do aç ão frequentar as “baladas” belenenses – é o que aponta a pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária endo aç ão pesquisa realizada com 650 meninas, na faixa etária en ou 6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam o u 6) (UEPA) Cabelo e vestuário são itens que se destacam ve nd a!d) B ∩ (A ve nd a!d) B ∩ (A Ma ria Ed ua rd a d e O liveir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 5 M at em át ic a Gabarito 1.B 2. E 3. B 4. A 5.E 6. D 7. 03 8. D 9. B 10. D 9) (Cefet – CE) Qual dos conjuntos abaixo é unitário? a) {x ∈ Z / x < 1} b) {x ∈ N / 1 < 2x < 4} c) {x ∈ R / x² = 1} d) {x ∈ Q / x² < 2} e) {x ∈ Z / x² > 0} 10) (Ufsm) Assinale verdadeira (V) ou falsa (F) em cada uma das afirmações a seguir. ( ) A letra grega pi representa o número racional que vale 3,14159265. ( ) O conjunto dos números racionais e o conjunto dos nú- meros irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum. ( ) Toda dízima periódica provém de uma divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional. A sequência correta é: a) F – V – V b) V – V – F c) V – F – V d) F – F – V e) F – V – F EXERCÍCIOS EXTRAS 01. (PUC-RS) Dados os conjuntos A = {a, b, c}, B = {a, d} e C = {a, b, d}, o conjunto X tal que A C = B X e B ∩ X = Ø é: a) {a} b) {b} c) {c} d) {a, b} e) {b, c} 02. (Unifor-CE) Dados os conjuntos A = {x ∈ Z | -2 ≤ x < 3}, B = {x ∈ Q | x² = 2} e C = {x ∈ N | 1 ≤ x < 4} é verdade que: a) A ⊃ C b) B ⊂ (A ∩ C) c) B C = Ø d) A ∩ B = A e) (A B) ⊂ (A ∩ C) 3. (G1 - cftmg 2017 – Adaptado) Sejam os conjuntos A= {x ∈ R| 0 < x ≤ -5}, B= {x ∈ R| x ≥ 5} e C= {x ∈ R |x ≤ 0}. Pode-se afirmar que a) (A – B) C = C b) (A – C) ∩ A = Ø c) (B C) ∩ A = R d) (B ∩ C) ∩ A = A e) Nenhuma das alternativas 4. (Cefet-PR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. O número de elementos do conjunto C é: a) 6 b) 7 c) 3 d) 4 e) 5 5. (ITA-SP) Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}: I. Ø ∈ U e n(U) = 10 II. Ø ⊂ U e n(U) = 10 III. 5 ∈ U e {5} ⊂ U IV. {0, 1, 2, 5} ∩ {5} = 5 Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s): a) apenas I e III. b) apenas II e IV. c) apenas II e III. d) apenas IV. e) todas as afirmações 6. (UEFS) Sejam os conjuntos A com 2 elementos, B com 3 elementos e C com 4 elementos, então: Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , dis trib uiç ão , EXTRAS dis trib uiç ão , EXTRAS X e B ∩ dis trib uiç ão , X e B ∩ 4. (Cefet-PR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, dis trib uiç ão , 4. (Cefet-PR) Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. dis trib uiç ão , 5, 6, 7}; C – A = {7, 8, 9}; C – B = {3, 8, 9} e A ∩ B ∩ C = {4}. O número de elementos do conjunto C é: dis trib uiç ão , O número de elementos do conjunto C é: do aç ão 8. D do aç ão 8. D EXTRASdo aç ão EXTRAS ou 8. Dou 8. D ve nd a! 4. Ave nd a! 4. A Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 6 M at em át ic a Qual a porcentagem dos empregados que não se enqua- dra em nenhuma das situações anteriores? (Sugestão: utilize o diagrama de VENN para facilitar os cálculos.) a) 25% d) 40% b) 30% e) 45% c) 35% 11. (Ufla-MG) Em um avião os passageiros são de quatro nacionalidades: argentina, brasileira, colombiana e do- minicana, nas seguintes proporções: 20% de argentinos, 85% de não colombianos e 70% de não dominicanos. As porcentagens de passageiros que são brasileiros, que são argentinos, e que não são brasileiros e não são do- minicanos, são respectivamente: a) 50%, 35% e 35% b) 35%, 50% e 30% c) 35%, 35% e 35% d) 30%, 50% e 35% e) 25%, 30% e 60% 12. (Unesp) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam de Matemática e 20, de História. O número de alunos desta classe que gosta de Matemática e de História é: a) exatamente 16 d) no mínimo 6 b) exatamente 10 e) exatamente 18 c) exatamente 6 13. (Uneb-BA) Em um vestibular, 80 alunos acertaram pelo menos uma questão entre as questões nº 1 e nº 2. Sabe-se que 70 deles acertaram a questão nº 1 e 50 acer- taram a questão nº 2. O número de alunos que acertou ambas as questões é igual a: a) 40 d) 60 b) 35 e) 120 c) 20 14. (UFMG) Em uma pesquisa de opinião, foram obtidos estes dados: • 40% dos entrevistados lêem o jornal A. • 55% dos entrevistados lêem o jornal B. • 35% dos entrevistados lêem o jornal C. • 12% dos entrevistados lêem os jornais A e B. • 15% dos entrevistados lêem os jornais A e C. • 19% dos entrevistados lêem os jornais B e C. 01. A ∩ B não pode ter mais que 2 elementos. 02. A C tem no máximo 5 elementos. 04. (A ∩ B) ∩ C tem no máximo 2 elementos. 08. (A B) ∩ C tem no máximo 2 elementos. 16.A ∩ Ø tem pelo menos 2 elementos. Some os itens corretos. 7. (Unifei-SP) No diagrama abaixo, é correto afirmar que a parte sombreada representa: a) (F ∩ G) – E c) F ∩ G ∩ E b) G – (E ∩ F) d) (E ∩ G) – F 8. (UFF-RJ) Os muçulmanos não se limitam aos países de etnia árabe, como muitos imaginam. Por exemplo, a maior concentração de muçulmanos do mundo encon- tra-se na Indonésia, que não é um país de etnia árabe. Adaptado da Superinteressante, ed. 169, out. 2001. Considere T o conjunto de todas as pessoas do mundo; M o conjunto de todas aquelas que são muçulmanas e A o conjunto de todas aquelas que são árabes. Sabendo que nem toda pessoa que é muçulmana é árabe, pode- -se representar o conjunto de pessoas do mundo que não são muçulmanas nem árabes por: a) T – (A ∩ M) b) T – A c) T – (A U M) d) (A – M) ∩ (M – A) e) M – A 9. (UFAC) Numa universidade estudam, nos diversos cursos oferecidos, 1.500 alunos. Destes, 35 cursam En- genharia Elétrica, 30 cursam Engenharia Civil e 8 cursam ambos os cursos. O número de estudantes da universi- dade que não estuda em nenhum dos dois cursos é: a) 1.450 d) 1.435 b) 1.443 e) 1.427 c) 1.440 10. (PUC-PR) Em uma pesquisa feita com 120 emprega- dos de uma firma, verificou-se o seguinte: – têm casa própria: 38 – têm curso superior: 42 – têm plano de saúde: 70 – têm casa própria e plano de saúde: 34 – têm casa própria e curso superior: 17 – têm curso superior e plano de saúde: 24 – têm casa própria, plano de saúde e curso superior: 15 Pr oib ida 9. (UFAC) Numa universidade estudam, nos diversos Pr oib ida 9. (UFAC) Numa universidade estudam, nos diversos cursos oferecidos, 1.500 alunos. Destes, 35 cursam EnPr oib ida cursos oferecidos, 1.500 alunos. Destes, 35 cursam En a c óp ia, di str ibu içã o, d) 30%, 50% e 35% dis trib uiç ão , d) 30%, 50% e 35% e) 25%, 30% e 60% dis trib uiç ão , e) 25%, 30% e 60% 12. (Unesp) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam dis trib uiç ão , 12. (Unesp) Numa classe de 30 alunos, 16 alunos gostam -se representar o conjunto de pessoas do mundo que dis trib uiç ão , -se representar o conjunto de pessoas do mundo que do aç ão b) 35%, 50% e 30% do aç ão b) 35%, 50% e 30% c) 35%, 35% e 35% do aç ão c) 35%, 35% e 35% d) 30%, 50% e 35%do aç ão d) 30%, 50% e 35% ou a) 50%, 35% e 35% ou a) 50%, 35% e 35% b) 35%, 50% e 30%ou b) 35%, 50% e 30% ve nd a! porcentagens de passageiros que são brasileiros, que ve nd a! porcentagens de passageiros que são brasileiros, que são argentinos, e que não são brasileiros e não são do ve nd a!são argentinos, e que não são brasileiros e não são do minicanos, são respectivamente: ve nd a! minicanos, são respectivamente: Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 7 M at em át ic a 18. (Udesc) Seja A o conjunto dos naturais menores que 10 e seja B o outro conjunto tal que: A B = A, A ∩ B é o conjunto dos pares menores que 10. Então o conjunto B é: a) vazio b) A ∩ B c) {x ∈ N | x < 10} d) {x ∈ N | x é par} e) qualquer conjunto de números pares que contenha A ∩ B 19. (PUC-MG) Sendo A= {x ∈ R / –2 ≤ x < 3} e B = {x ∈ Z/–2 < x ≤ 3}, é correto afirmar: a) A U B = A b) A U B ⊂ Z c) A ∩ B = A d) A ∩ B ⊂ Z e) A ∩ B = B 20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação e uma conclusão. “Como 1/3 = 0,333..., multiplicandoambos os membros por 3 encontramos 1 = 0,999... . Por- tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que: a) A conclusão está incorreta, pois 0,999... < 1. b) A argumentação está incorreta, pois 1/3 não é igual a 0,333... . c) A argumentação está incorreta, pois 3 x 0,333... não é igual a 0,9999... . d) A argumentação e a conclusão estão incorretas. e) A argumentação e a conclusão estão corretas. Gabarito 1. E 2. B 3. A 4. E 5. C 6. 05 (01 + 04) 7. A 8. C 9. B 10. A 11. C 12. D 13. A 14. B 15. D 16. E 17. C 18. B 19. D 20. E • 7% dos entrevistados lêem os três jornais. • 135 pessoas entrevistadas não lêem nenhum dos três jornais. Considerando-se esses dados, é correto afirmar que o nú- mero total de entrevistados foi: a) 1.200 c) 1.250 b) 1.500 d) 1.350 15. (UPF-RS) Feita uma pesquisa com 600 estudantes sobre as universidades em que pretendem prestar ves- tibular, observou-se que 245 pretendem prestar vestibu- lar na universidade A; 270, na universidade B; 285, na universidade C; 130, nas universidades A e B; 120, nas universidades A e C; 110, nas universidades B e C; e 50, nas três universidades citadas (A, B e C). Com base na pesquisa, é incorreto o que se afirma na alternativa: a) 230 estudantes pretendem prestar vestibular apenas em uma universidade. b) 110 estudantes não pretendem prestar vestibular nas três universidades. c) 80 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na universidade B. d) 70 estudantes pretendem prestar vestibular apenas na universidade C. e) 210 estudantes pretendem prestar vestibular em duas das três universidades citadas. 16. (Vunesp) Suponhamos que numa equipe de 10 estu- dantes, 6 usam óculos e 8 usam relógio. O número de es- tudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é: a) exatamente 6. b) exatamente 2. c) no mínimo 6. d) no máximo 5. e) no mínimo 4. 17. (UEL-PR) Um grupo de estudante resolveu fazer uma pesquisa sobre as preferências dos alunos quanto ao car- dápio do Restaurante Universitário. Nove alunos opta- ram somente por carne de frango, 3 somente por peixes, 7 por carne bovina e frango, 9 por peixe e carne bovina e 4 pelos três tipos de carne. Considerando que 20 alunos se manifestaram vegetarianos, 36 não optaram por car- ne bovina e 42 não optaram por peixe, assinale a alter- nativa que apresenta o número de alunos entrevistados. a) 38 b) 42 c) 58 d) 62 e) 78 Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que: dis trib uiç ão , tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que: a) A conclusão está incorreta, pois 0,999... < 1. dis trib uiç ão , a) A conclusão está incorreta, pois 0,999... < 1. b) A argumentação está incorreta, pois 1/3 não é igual a dis trib uiç ão , b) A argumentação está incorreta, pois 1/3 não é igual a 0,333... . dis trib uiç ão , 0,333... .tudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é: dis trib uiç ão , tudantes que usam, ao mesmo tempo, óculos e relógio é: do aç ão 20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação do aç ão 20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação e uma conclusão. “Como 1/3 = 0,333..., multiplicando do aç ão e uma conclusão. “Como 1/3 = 0,333..., multiplicando ambos os membros por 3 encontramos 1 = 0,999... . Por do aç ão ambos os membros por 3 encontramos 1 = 0,999... . Por tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que:do aç ão tanto, 0,999...= 1”. Assim, podemos afirmar que: ou 20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação ou 20. (Inatel-MG) No texto a seguir há uma argumentação ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 8 M at em át ic a Função Crescente e Decrescente Pode ser considerada a classificação de uma função o valor do coeficiente a. Se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. Função Par e Ímpar Quando o gráfico de uma função apresenta simetria em re- lação ao eixo das ordenadas, é considerada uma função PAR. Definição: Uma função f é denominada par quando f(x)=f(-x), para todo x do Dom f. Já quando o gráfico de uma função apresenta simetria em relação a origem, é considerada uma função Ímpar. Definição: Uma função f é denominada ímpar quando f(x)=-f(-x), para todo x do Dom f. Função – Parte I Conceito Sendo dois conjuntos A e B, não vazios, uma função de A em B é uma Lei (regra) em que é associado cada elemento do conjunto A (Domínio) a um e apenas um elemento do conjunto B (Contradomínio). Notação F: A →B ***Leitura f é uma função de A em B. Noção de Função Através de Conjuntos – Condições de Existência Domínio, Imagem e Contradomínio Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {0, 2, 4, 5, 6, 7}; va- mos considerar a função f: A→ B definida por y = x + 4 ou f(x) = x + 4. Dada uma função f de A em B, o conjunto A é denomi- nado DOMÍNIO da função, sendo o conjunto B o CONTRA- DOMÍNIO desta função. Já o conjunto de todas as respos- tas obtidas, chama-se IMAGEM da função. Sistema Cartesiano Ortogonal É um sistema constituído por dois eixos x e y, perpendicu- lares entre si. AULA O2 Pr oib ida Pr oib ida Domínio, Imagem e ContradomínioPr oib ida Domínio, Imagem e Contradomínio a c óp ia, có pia , d ist rib uiç ão , dis trib uiç ão , Função Par e Ímpar dis trib uiç ão , Função Par e Ímpar Quando o gráfico de uma função apresenta simetria em re dis trib uiç ão , Quando o gráfico de uma função apresenta simetria em re lação ao eixo das ordenadas, é considerada uma função PAR. dis trib uiç ão , lação ao eixo das ordenadas, é considerada uma função PAR. do aç ão do aç ão Função Par e Ímpar do aç ão Função Par e Ímpar ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 9 M at em át ic a Função Inversa Podemos dizer que a inversa de uma função f, denotada por f-1, é a função que desfaz a operação executada pela função f. Exemplo: Dada a função y = 7x – 3 determinaremos a sua inversa da seguinte maneira: 1º passo: isolar x. y = 7x – 3 → y + 3 = 7x → x = (y + 3)/7 2º passo: troca-se x por y e y por x. y = (x + 3)/7 Portanto, a função f(x) = 7x – 3 terá inversa igual a f –1 (x) = (x + 3)/7 Função Composta Tomando uma terceira função denominada C, formada pela junção das funções A e B, é considerada função com- posta. Temos que f: A → B e g: B → C, denomina a for- mação da função composta de g com f, sendo h: A → C. Dizemos função g composta com a função f, representada por gof ou g(f(x)). Exemplo: Dadas as funções f(x) = 2x – 1 e g(x) = 3x + 2, encontre fog. fog = 2(3x + 2) – 1 fog = 6x + 4 – 1 fog = 6x + 3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1) (INFO) Dadas as proposições: p: Existem funções que não são pares nem ímpares. q: O gráfico de uma função par é uma curva simétrica em relação ao eixo dos y. r: Toda função de A em B é uma relação de A em B. s: A composição de funções é uma operação comutativa. t: O gráfico cartesiano da função y = x / x é uma reta. Podemos afirmar que são falsas: a)nenhuma b) todas c) p,q e r d) s e t e) r, s e t 2. (UFU-MG) Quais dos seguintes diagramas definem uma função de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}? a) II, III e IV. b) IV e V. c) I, II e V. d) I e IV. e) I, IV e V. 3. (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é: a) 4 b) -4 c) 5 d) -5 e) 0 4. (PUC-RS) A função real f é definida por f(x) = g(x). A representação gráfica de g está na figura a seguir. O domínio da função f é: a) [– 12; 4] b) [0; 4] c) (0; 4) d) (– 2; 2) e) [– 2; 2] Pr oib ida de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}? Pr oib ida de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}? Pr oib ida a de X em Y, com X = {a, b, c, d} e Y = {x, y, z, w}?a de X em Y, com X = {a, b, c, d}e Y = {x, y, z, w}? có pia , 2. (UFU-MG) Quais dos seguintes diagramas definem có pia , 2. (UFU-MG) Quais dos seguintes diagramas definem dis trib uiç ão , = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos dis trib uiç ão , = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos dis trib uiç ão , (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é: dis trib uiç ão , (a,b) e (c,d). Nestas condições o valor de d + c - b - a é: a) 4 dis trib uiç ão , a) 4 b) -4 dis trib uiç ão , b) -4 do aç ão 3. (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) do aç ão 3. (UCSal) O gráfico da função f de R em R, dada por f(x) = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos do aç ão = ½ 1 - x½ - 2, intercepta o eixo das abcissas nos pontos ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 10 M at em át ic a 9) (INFO) Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é: a) 2 - 2x b) 3 - 3x c) 2x - 5 d) 5 - 2x e) uma função par. 10) (PUC-RS) Seja a função definida por f(x) = (2x - 3) / 5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é: a) 0 b) 2/5 c) -3 d) 3/4 e) 4/3 Gabarito 1. D 2. D 3. A 4. E 5. E 6. C 7. B 8. D 9. D 10.D 5. (Unifor-CE) Se f é uma função real de variável real, tal que ( ) ( ) 5 1 + - f x f x = x, é correto afirmar que o domínio de f é: a) R* d) R – {5} b) R+ e) R – {1} c) R 6) (Unicamp) Se f é uma função de IR em IR tal que f(x) = 3x3 + x2, então f(0) + f(1) + f(–1) é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 7) (PUC – PR) Considere 2 1( ) 2 xf x x - = - e ( ) 1g x x= - . Calcule f(g(x)) para x = 4: a) 6 b) 8 c) 2 d) 1 e) 4 8) (SEDUC RJ – 2011). Considere a função de variável real f(x) = (3x + 8)/2. Qual o valor de f-¹(10)? a) 1 ⁄ 19 b) 6 c) 0,25 d) 4 e) 19 EXERCÍCIOS EXTRAS 1. (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e co- bra de acordo com a seguinte tabela de preços: Número de cópias Preço, em reais por cópia 20 ou menor 0,10 maior que 20 até 50 0,08 maior que 50 até 100 0,05 maior que 100 0,04 Segundo essa tabela, uma pessoa ao fotocopiar, por exemplo, 28 cópias, pagará R$ 0,08 a cópia. Se y for o preço total e x a quantidade de cópias, a função preço pode ser representada pelo gráfico: 2. (Uel) Se uma função f, do primeiro grau, é tal que f(1) = 190 e f(50) = 2.052, então f(20) é igual a a) 901 b) 909 c) 912 d) 937 e) 981 Pr oib ida Pr oib ida Pr oib ida Pr oib ida Preço, em reais por Pr oib ida Preço, em reais por a bra de acordo com a seguinte tabela de preços:a bra de acordo com a seguinte tabela de preços:c óp ia, có pia , EXERCÍCIOS có pia , EXERCÍCIOS 1. (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e co có pia , 1. (UEL-PR) Uma papelaria faz cópias xerográficas e co bra de acordo com a seguinte tabela de preços:có pia , bra de acordo com a seguinte tabela de preços: dis trib uiç ão , 6. C dis trib uiç ão , 6. C 7. B dis trib uiç ão , 7. B dis trib uiç ão , EXERCÍCIOS dis trib uiç ão , EXERCÍCIOS do aç ão 2. Ddo aç ão 2. D ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 11 M at em át ic a Dessa forma, o número médio de hóspedes por semana, a) em 1995, foi de 322 b) em 1994, foi de 345 c) em 1993, foi de 370 d) em 1992, foi de 392 e) em 1991, foi de 411 7. (Uepg-pss 1 2019) O lucro semanal, em reais, de uma empresa é representado pela função L(x) = -x² + 32x - 31 onde x é a quantidade semanal vendida. Em relação ao exposto, assinale o que for correto. 01) O lucro semanal é máximo quando a quantidade ven- dida for maior que 31. 02) Para um lucro semanal de R$ 161,00 a quantidade se- manal vendida deve ser de no mínimo 8. 04) O lucro semanal é nulo quando a quantidade semanal vendida for 1 ou 31. 08) O lucro máximo semanal é de R$ 225,00 8. (ESPM-SP) O gráfico mostra como variam as vendas de um certo produto conforme o preço cobrado por unida- de. Com base somente nesses dados, podemos determi- nar o preço que fornece a máxima receita. Esse preço é: a) R$ 8,00 b) R$ 10,00 c) R$ 12,00 d) R$ 14,00 e) R$ 16,00 9. (Cesgranrio-RJ) Os pontos de intersecção da parábola y = x² – 3x + 4 com a reta y = x + 1 são: a) (2, 3) e (–1, 0) d) (1, 2) e (2, 3) b) (1, 2) e (3, 4) e) (3, 4) e (–1, 0) c) (1/2, 3/2) e (–1, 0) 10. (Uespi) O lucro mensal de uma fábrica é dado por L (x) = –x² + 60 x – 10, em que x é a quantidade mensal de unidades fabricadas e vendidas de um certo bem, pro- duzido por esta empresa, e L é expresso em reais (Obs.: Real é unidade monetária). O maior lucro mensal possível que a empresa poderá ter é dado por: a) R$ 890,00 d) R$ 1.080,00 b) R$ 910,00 e) R$ 1.180,00 c) R$ 980,00. 3. (FEFISA – SP) O gráfico mostra como o dinheiro gasto (y) por uma empresa de cosméticos na produção de per- fume varia com a quantidade de perfume produzida (x). Assim, podemos afirmar que: a) Quando a empresa não produz, não gasta. b) Para produzir três litros de perfume, a empresa gasta R$ 76,00. c) Para produzir dois litros de perfume, a empresa gasta R$ 54,00. d) Se a empresa gastar R$ 170,00, então ela produzirá cin- co litros de perfume. e) Para fabricar o terceiro litro de perfume, a empresa gas- ta menos do que fabricar o quinto litro. 4. (UERGS-RS) Observe o gráfico apresentado. A função representada nesse gráfico é: a) y = – 3/2 x + 3 d) y = 2/3 x + 3 b) y = 3/2 x + 2 e) y = 2/3 x + 2 c) y = – 2/3 x + 3 5. (UFPE) A poluição atmosférica em metrópoles aumenta ao longo do dia. Em certo dia, a concentração de poluentes no ar, às 8h, era de 20 partículas em cada milhão de partículas e, às 12h, era de 80 partículas em cada milhão de partículas. Admitindo que a variação de poluentes no ar durante o dia é uma função afim do tempo, qual o número de partículas poluentes no ar em cada milhão de partículas, às 10h20? a) 45 d) 60 b) 50 e) 65 c) 55 6. (Fatec) O dono de uma rede hoteleira verificou que em certa região tem havido um decréscimo no número de hóspedes em seus pacotes promocionais, e esse decrés- cimo tem sido linear em relação ao tempo. Em 1982, a média foi de 600 pessoas por semana, enquanto que em 1990 a média semanal foi de 432. Pr oib ida e) y = 2/3 x + 2 Pr oib ida e) y = 2/3 x + 2 a c óp ia, di str ibu içã o, do aç ão nar o preço que fornece a máxima receita. Esse preço é: do aç ão nar o preço que fornece a máxima receita. Esse preço é: do aç ão do aç ão ou de. Com base somente nesses dados, podemos determi ou de. Com base somente nesses dados, podemos determi nar o preço que fornece a máxima receita. Esse preço é: ou nar o preço que fornece a máxima receita. Esse preço é: ve nd a!8. (ESPM-SP) O gráfico mostra como variam as vendas de ve nd a!8. (ESPM-SP) O gráfico mostra como variam as vendas de um certo produto conforme o preço cobrado por unidave nd a! um certo produto conforme o preço cobrado por unida de. Com base somente nesses dados, podemos determive nd a! de. Com base somente nesses dados, podemos determi Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 12 M at em át ic a Com base nessas informações, considere as seguintes afirmativas: I. A função q(t) é crescente no intervalo [0, 48]. II. A quantidade máxima de bactérias é atingida 24 horas após o contágio, aproximadamente. III. 60 horas após o contágio, a quantidade de bactérias está abaixo de 1500 por mm3 . Assinale a alternativa correta: a) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. d) Somente a afirmativa I é verdadeira. e) Somente a afirmativa III é verdadeira. 14. (PUC-MG)Considere f(x) = X + 3 e f(g(x)) = 3X + 4. Valor de g(3) é: a) 6 b) 8 c) 10 d) 13 e) 16 15. (FGV) Considere as funções f(x) e g(x), definidas para todos os números reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x + 3. Se h(x) é a função inversa de g(x), então o valor de f(h(x)), para x = 7 é igual a: a) 4 b) 22 c) 7 d) 17 e) 52 16. (UNICAMP – 2016) O gráfico abaixo exibe o lucro lí- quido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014. Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que a) A teve um crescimento maior do que C. b) C teve um crescimento maior do que B. c) B teve um crescimento igual a A. d) C teve um crescimento menor do que B. 17. (FGV – SP) Uma locadora A de automóveis cobra R$ 90,00 por dia de aluguel de um certo carro. Uma outra loca- dora B cobra, pelo mesmo modelo de carro, um valor fixo de R$ 210,00, mais R$ 80,00 por dia de aluguel. Seja n o número de dias que um cliente pretende alugar este carro. 11. (UFPE) Um laboratório farmacêutico, após estudo do mercado, verificou que o lucro obtido com a venda de x milhares do produto A era dado pela fórmula: L (x) = 100 • (12.000 – x) • (x – 4.000). Analisando-se as afirmações, tem-se que: 01. o laboratório terá lucro para qualquer quantidade ven- dida do produto A. 02. o laboratório terá lucro, se vender mais de 4.000 e menos de 12.000 unidades do produto A. 04. se o laboratório vender mais de 12.000 unidades do produto A, ele terá prejuízo. 08. o lucro do laboratório será máximo se forem vendidas 8.000 unidades do produto A. 16. se o laboratório vender 4.000 unidades do produto A, não terá lucro. 12. (PUC – PR) Sejam as funções reais definidas por f(x) = x – 1, g(x) = ax + b e f(g(x)) = –2x, o gráfico de g(x) é: 13. (UFPR) Um estudo feito com certo tipo de bactéria detectou que, no decorrer de uma infecção, a quantida- de dessas bactérias no corpo de um paciente varia apro- ximadamente segundo uma função q(t) que fornece o número de bactérias em milhares por mm³ de sangue no instante t. O gráfico da função q(t) encontra-se esboçado ao lado. O tempo é medido em horas, e o instante t = 0 corresponde ao momento do contágio. Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , d) 17 dis trib uiç ão , d) 17 e) 52 dis trib uiç ão , e) 52 do aç ão ou f(h(x)), para x = 7 é igual a: ou f(h(x)), para x = 7 é igual a: v en da !15. (FGV) Considere as funções f(x) e g(x), definidas para ve nd a!15. (FGV) Considere as funções f(x) e g(x), definidas para todos os números reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x ve nd a!todos os números reais, tais que f(x) = 3x + 1 e g(x) = 2x + 3. Se h(x) é a função inversa de g(x), então o valor de ve nd a! + 3. Se h(x) é a função inversa de g(x), então o valor de f(h(x)), para x = 7 é igual a: v en da ! f(h(x)), para x = 7 é igual a: Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 13 M at em át ic a a) Após ter sido administrado, quantos minutos de- corre- rão para que o analgésico comece a fazer efeito; b) Por quanto tempo a ação do analgésico permanecerá. 20. (Uepg-pss 1 2019) Considerando as funções f(x) = x² + 2x - 15 e g(x) = 3x – 1, assinale o que for correto. 01) f( g(x)) = 9x² - 16. 02) Os zeros da função f(x) não estão contidos no domínio da função h(x) = log(x² + 2x - 24) 04) Se g-1(x) representa a função inversa de g(x), g�1(5) – f(2) é um número múltiplo de três. 08) Se j(x) = 2g(x) – 1 então j(1) é um número par. Gabarito 1. C 2. C 3. C 4. A 5. C 6. E 7. 14 (02 + 04 + 08) 8. D 9. B 10. A 11. 30 12.C 13. A 14. C 15. C 16. B 17. A 18. C 19. a) 48 minutos após a ingestão b) 5 horas e 12 minuto 20. 07 (01 + 02 + 04) a) n < 25 b) n > 25 c) n > 12 d) n > 21 e) n < 21 18. (UEM – PR) Um artesão produz lembranças que ven- de a turistas por x reais cada uma. Com esse preço, ele sabe, por experiência, que seu lucro mensal é obtido da expressão L(x) = 400 (15 – x) (x – 3). Determine, em re- ais, o preço pelo qual ele deverá vender cada lembrança para obter o maior lucro mensal possível. a) 144 b) 1.440 c) 14.400 d) 24.400 e) 2.440 19) (Vunesp) Uma empresa farmacêutica lançou no mer- cado um analgésico. A concentração do analgésico, de- notada por C (t), em decigramas por litro de sangue, t horas após ter sido administrado a uma pessoa, está re- presentada no gráfico esboçado. Sabe-se que esse anal- gésico só produz efeito se a sua concentração for supe- rior a 1 decigrama por litro de sangue. Analisando o gráfico, determine: Pr oib ida Pr oib ida a có pia , có pia , d ist rib uiç ão , Gabarito dis trib uiç ão , Gabarito 1. C dis trib uiç ão , 1. C 6. E dis trib uiç ão , 6. E do aç ão ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 14 M at em át ic a Zero ou Raíz da Função Uma função do 1º grau pode ser escrita da seguinte ma- neira: ( ) , 0f x ax b onde a= + ≠ Sendo assim, o zero de uma função do 1º grau é dado por: ( ) 0 0f x ax b ax b= = + → + = Sendo assim, o zero da função é encontrado pelo valor de x que faz que a função assuma o valor zero. Para encon- trar esse valor de x, basta resolver a equação do 1º grau. Geometricamente, o zero da função do 1º grau é a abs- cissa (valor de x) do ponto em que a reta corta o eixo x. Sinal da função Afim Gráfico no Sistema Cartesiano 1º CASO (a > 0) f(x) = 2x – 1 x y = f(x) -2 -5 -1 -3 0 -1 1 1 2 3 Função – Parte II Definição Uma função da forma f: R → R chama-se AFIM quando dada a existência de dois números reais a e b tal que f(x) = ax + b, para x pertencendo aos Reais. Exemplo: y = 8x + 4 onde a = 8 e b = 4 Casos especiais Função identidade: f(x) = x Função constante: f(x) = b Função linear: f(x) = ax AULA O3 Pr oib ida Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , Gráfico no Sistema Cartesiano dis trib uiç ão , Gráfico no Sistema Cartesiano do aç ão do aç ão ou ve nd a! ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 15 M at em át ic a 2º CASO (a < 0) f(x) = – 3x + 2 x y = f(x) -1 5 0 2 1 -1 2 -4 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (UFMA) A representação da função y = -3 é uma reta: a) paralela ao eixo das ordenadas b) perpendicular ao eixo das ordenadas c) perpendicular ao eixo das abcissas d) que intercepta os dois eixos e) nda 02. (PUC-SP) O gráfico abaixo é o da reta y = ax + b, quando: a) a < 2 d) a > 0 b) a < 0 e) a = 2 c) a = 0 03. (ITAJUBA-MG) O gráfico abaixo pode representar qual das expressões? a) y = 2x - 3 d) 3y = - 2x b) y = - 2x + 3 e) y = - 1,5x + 3 c) y = 1,5 x + 3 4. (FGV-SP) O gráfico da função f(x) = mx + n passa pelos pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é: a) - 13/5 b) 22/5 c) 7/5 d) 13/5 e) 2,4 07. 5) (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0) é igual a : a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1 6. (Fatec) Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg. Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de: a) 67 semanas. d) 70 semanas. b) 68 semanas. e) 71 semanas. c) 69 semanas. 7) (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n in- teiro positivo), uma empresa deve investir R$200.000,00 em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da produção de n peças é uma função de n dada por: a) C(n) = 200 000 + 0,50 b) C(n) = 200 000n c) C(n) = n/2 + 200 000 d) C(n) = 200 000 - 0,50n e) C(n) = (200 000 + n)/2 Pr oib ida Pr oib ida a có pia , d ist rib uiç ão , 5) (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e dis trib uiç ão , 5) (PUC-MG) Uma função do 1º grau é tal que f(-1) = 5 e f(3)=-3. Então f(0)é igual a : dis trib uiç ão , f(3)=-3. Então f(0) é igual a : a) 0 dis trib uiç ão , a) 0 do aç ão ou ve nd a! pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é: ve nd a! pontos ( 4, 2 ) e ( -1, 6 ). Assim o valor de m + n é: Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 16 M at em át ic a 10) (ACAFE) Um táxi começa uma corrida com o taxíme- tro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa R$1,50. Se ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos foi: a)26 b)11 c)33 d)22 e)32 Gabarito 1. B 2. B 3. C 4. B 5. C 6. D 7. C 8. C 9. B 10.D 8) (Ufsm) Seja f: R → R uma função definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos pontos A(0, 4) e B(3, 0), então f-1 passa pelo ponto a) (8, -2) b) (8, 3) c) (8, -3) d) (8, 2) e) (8, 1) 9) (UFPI) A função real de variável real, definida por f (x) = (3 – 2a).x + 2, é crescente quando: a) a > 0 b) a < 3/2 c) a = 3/2 d) a > 3/2 e) a < 3 EXERCÍCIOS EXTRAS 01. (Cefet-MG) Sabendo-se que f(x) = ax + b, que f(– 1) = 4 e que f(2) = 7, deduz-se que f(8) vale: a) 0 d) 23 b) 3 e) 33 c) 13 2) (UNIFOR) A função f, do 1° grau, é definida por f(x) = 3x + k. O valor de k para que o gráfico de f corte o eixo das ordenadas no ponto de ordenada 5 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 5 3) (FGV-SP )Seja a função f de R em R, definida por f(x) = mx + t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições: a) m = 2t d) m = t b) t = 2m e) m – t = 4 c) m + t = 0 4) (Acafe-SC) Dois atletas A e B fazem teste de cooper numa pis- ta retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A dis- tância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaixo. Com base no gráfico, a alternativa correta é: a) A é mais veloz que B, pois percorre 600 m em 20 min. b) B percorre 1 km em 20 min. c) B é mais veloz que A, pois percorre 400 m em 5 min. d) A e B correm na mesma velocidade. e) A percorre 400 m em 30 min. 5) (UEPB) Em um telefone residencial, a conta mensal para as ligações locais é dada pela função y = ax + b, em que x é o número de chamadas mensais e y é o total a ser pago em reais. No mês de abril, houve 100 chamadas e a conta mensal foi de 170 reais. Já no mês de maio, houve 120 chamadas, e a conta mensal foi de 198 reais. Qual o total a ser pago no mês com 180 chamadas? a) R$ 320,00 d) R$ 251,00 b) R$ 282,00 e) R$ 305,00 c) R$ 222,00 6) (G1 – ifce 2019) Rafael chamou um Uber para ir ao cinema com sua namorada, mas a atendente informou que o valor final a ser pago é compreendido por uma parcela fixa de R$ 3,00, mais R$ 1,50 cobrado por qui- lômetro rodado. Sabendo que Rafael pagou R$ 48,00, a distância de casa de Rafael para o cinema, em km, é Pr oib ida 3) (FGV-SP )Seja a função f de R em R, definida por f(x) = mx Pr oib ida 3) (FGV-SP )Seja a função f de R em R, definida por f(x) = mx + t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições:P roi bid a + t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições: a c óp ia, di str ibu içã o, Com base no gráfico, a alternativa correta é: dis trib uiç ão , Com base no gráfico, a alternativa correta é: do aç ão do aç ão ou ve nd a! ve nd a! ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 17 M at em át ic a TEXTO PARA AS PRÓXIMAS 2 QUESTÕES. 10. (Faap) Medições realizadas mostram que a tempe- ratura no interior da terra aumenta, aproximadamente, 3°C a cada 100m de profundidade. Num certo local, a 100m de profundidade, a temperatura é de 25°C. Nessas condições, podemos afirmar que: A temperatura a 1.500m de profundidade é: a) 70°C b) 45°C c) 42°C d) 60°C e) 67°C 11. (Faap) Encontrando-se uma fonte de água mineral a 46°C, a profundidade dela será igual a: a) 700 m b) 600 m c) 800 m d) 900 m e) 500 m 12. (INFO) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a: a) 2x + 3 b) 3x + 2 c) (2x + 3) / 2 d) (9x + 1) /2 e) (9x - 1) / 3 13. (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em fita de vídeo e prevê uma venda de 20.000 cópias. O cus- to fixo de produção do filme foi R$150.000,00 e o custo por unidade foi de R$20,00 (fita virgem, processo de co- piar e embalagem). Qual o preço mínimo que deverá ser cobrado por fita, para não haver prejuízo? a) R$ 20,00 d) R$ 27,50 b) R$ 22,50 e) R$ 35,00 c) R$ 25,00 14. (Pucmg) O gráfico da função f(x) = ax + b está repre- sentado na figura. O valor de a + b é: a) -1 b) 2/5 c) 3/2 d) 2 a) 40. d) 60. b) 50. e) 70. c) 30. 7) (FMTM-MG) Um termômetro descalibrado indica 10 °C quando a temperatura real é 13 °C. Quando indica 20 °C, a temperatura real é de 21 °C. Porém, mesmo estan- do descalibrado, a relação entre a temperatura real e a temperatura indicada é linear. Assim sendo, a única tem- peratura em que a leitura do termômetro descalibrado corresponderá à temperatura real é: a) 22 °C d) 25 °C b) 23 °C e) 26 °C c) 24 °C 8) (FGV-SP) Um terreno vale hoje R$ 40.000,00 e estima-se que daqui a 4 anos seu valor seja R$ 42.000,00. Admitindo que o valor do imóvel seja função do 1º grau do tempo (medido em anos e com valor zero na data de hoje), seu valor daqui a 6 anos e 4 meses será aproximadamente: a) R$ 43.066,00 b) R$ 43.166,00 c) R$ 43.266,00 d) R$ 43.366,00 e) R$ 43.466,00 9) (Ufsm) Recomendações Da frieza dos números da pesquisa saíram algumas re- comendações. Transformadas em políticas públicas, po- deriam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia urbana do trânsito. A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a gravidade dos acidentes. A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos corres- pondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. O pedestre forma o contingente mais vulnerável no trân- sito e necessita de maior proteção, diz a terceira reco- mendação da pesquisa. Entre a 0h e as 18h da quinta-fei- ra, as ambulâncias vermelhas do Resgate recolheram 16 atropelados nas ruas de São Paulo. Fonte: "Folha de São Paulo", 1Ž.06.03, p. C1 (adaptado). Conforme o texto, num dia de trabalho, são necessárias 12 entregas para um motoboy receber R$24,00. Por me- dida de segurança, a empresa limitará a 10 a quantidade de entregas por dia. Como compensação, pagará um adi- cional fixo de p reais ao dia a quem atingir esse limite, porém reduzirá para R$1,80 o valor pago por cada entre- ga. O valor de p que manterá inalterada a quantia diária recebida pelo motoboy, ou seja, R$24,00, será: a) R$ 5,40 d) R$ 6,00 b) R$ 5,60 e) R$ 6,20 c) R$ 5,80 Pr oib ida A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja Pr oib ida A segunda recomendação trata dos motociclistas, cuja frota equivale a 10% do total, mas cujos custos corres Pr oib ida frota equivale a 10% do total, mas cujos custos corres Pr oib ida pondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a Pr oib ida pondem a 19%. O 'motoboy' ganha R$2 por entrega, a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. P roi bid a empresa, R$8. É um exército de garotos em disparada. a c óp ia, deriam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia có pia , deriam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a có pia , A primeira é a adoção de práticas que possam reduzir a dis trib uiç ão , d) (9x + 1) /2 dis trib uiç ão , d) (9x + 1) /2 e) (9x - 1) / 3 dis trib uiç ão , e) (9x - 1) / 3 13. (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em dis trib uiç ão , 13. (Ufes) Uma produtora pretende lançar um filme em comendações. Transformadas em políticas públicas, po dis trib uiç ão , comendações. Transformadas em políticaspúblicas, po- dis trib uiç ão , - dis trib uiç ão , deriam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia dis trib uiç ão , deriam reduzir a gravidade e as dimensões da tragédia do aç ão c) (2x + 3) / 2 do aç ão c) (2x + 3) / 2 d) (9x + 1) /2do aç ão d) (9x + 1) /2 ou ve nd a!12. (INFO) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas ve nd a!12. (INFO) A função f é tal que f(2x + 3) = 3x + 2. Nestas condições, f(3x + 2) é igual a:ve nd a! condições, f(3x + 2) é igual a: Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 18 M at em át ic a 19. (Enem PPL 2018) Na intenção de ampliar suas fa- tias de mercado, as operadoras de telefonia apresentam diferentes planos e promoções. Uma operadora oferece três diferentes planos baseados na quantidade de mi- nutos utilizados mensalmente, apresentados no gráfico. Um casal foi à loja dessa operadora para comprar dois celulares, um para a esposa e outro para o marido. Ela utiliza o telefone, em média, 30 minutos por mês, en- quanto ele, em média, utiliza 90 minutos por mês. Com base nas informações do gráfico, qual é o plano de menor custo mensal para cada um deles? a) O plano A para ambos. b) O plano B para ambos. c) O plano C para ambos. d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. 20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por f(x) = x² -13x + 36 e g(x) = -2x + 12. a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas funções. b) Encontre os valores reais de x para os quais f(x) ≥ g(x). c) Encontre os valores reais de x que satisfazem f(x+1) = g(x-2). Gabarito 1. C 2. D 3. D 4. B 5. B 6. C 7. D 8. B 9. D 10. E 11. C 12. D 13. D 14. C 15.D 16. A 17.30(02 + 04 + 08 + 16) 18. a) F=95 b) C = 160 19. E 20.a. (3, 6) e (8, -4) b. x 3 ou x 8 c. x = 1 ou x = 8 15. (Enem 2019) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe R$ 1.000,00,00 por sema- na. Os outros funcionários são diaristas. Cada um trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. Chamando de X a quantidade total de funcionários da em- presa, a quantia Y, em reais, que esta empresa gasta se- manalmente para pagar seus funcionários é expressa por a) Y = 80X + 920. d) Y = 160X + 840. b) Y = 80X + 1.000. e) Y = 160X + 1.000. c) Y = 80X + 1.080. 16. (Faap) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linear- mente. Expresse a taxa de inscrição em função do nú- mero de semanas transcorridas desde o início do curso: a) T = 12,50 (12 - x) b) T = 12,50x c) T = 12,50x -12 d) T = 12,50 (x + 12) e) T = 12,50x + 12 17. (Uem 2018) A maior e mais importante artéria do corpo humano é a aorta. Sua porção ascendente possui em tor- no de 5 cm e seu diâmetro D, em milímetros, usualmente é estimado em função da idade i, em anos, do indivíduo, pela fórmula D(i) = 31 + 0,16i. O diâmetro d da porção des- cendente da aorta, também em milímetros, é estimado em função da idade i, pela fórmula d(i) = 21 + 0,16i. Assinale o que for correto. 01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é levado do ventrículo direito até o pulmão, onde é oxigenado. 02) Pelas fórmulas dadas, quanto maior a idade do indiví- duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen- dente e descendente da aorta. 04) Pelas fórmulas dadas, a diferença entre os diâmetros da aorta ascendente e da aorta descendente deve ser sem- pre de 1 cm, independentemente da idade do indivíduo. 08) O sistema circulatório dos humanos é fechado, o cora- ção tem quatro câmaras, e não ocorre mistura entre san- gue venoso e arterial. 16) Os diâmetros das porções ascendente e descendente da aorta, em um indivíduo típico de anos, devem ser, res- pectivamente, 39 mm e 29 mm. 18. (Unicamp) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula: C = 5 (F - 32) / 9 Onde F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados. a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit. b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do número de graus centígrados? Pr oib ida duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen Pr oib ida duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen 04) Pelas fórmulas dadas, a diferença entre os diâmetros Pr oib ida 04) Pelas fórmulas dadas, a diferença entre os diâmetros da aorta ascendente e da aorta descendente deve ser semPr oib ida da aorta ascendente e da aorta descendente deve ser sem pre de 1 cm, independentemente da idade do indivíduo. P roi bid a pre de 1 cm, independentemente da idade do indivíduo. a duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascena duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascenc óp ia, 01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é có pia , 01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é levado do ventrículo direito até o pulmão, onde é oxigenado. có pia , levado do ventrículo direito até o pulmão, onde é oxigenado. 02) Pelas fórmulas dadas, quanto maior a idade do indivícó pia , 02) Pelas fórmulas dadas, quanto maior a idade do indiví duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascenc óp ia, duo, maiores devem ser os diâmetros das porções ascen dis trib uiç ão , 20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por dis trib uiç ão , 20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por f(x) = x² -13x + 36 e g(x) = -2x + 12. dis trib uiç ão , f(x) = x² -13x + 36 e g(x) = -2x + 12. a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas dis trib uiç ão , a) Encontre os pontos de interseção dos gráficos das duas funções. dis trib uiç ão , funções. 01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é dis trib uiç ão , 01) A aorta é importante porque, por meio dela, o sangue é do aç ão d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. do aç ão d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. do aç ão e) O plano C para a esposa e o plano B para o marido. 20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por d oa çã o 20) (Pucrj 2017) Dadas as funções f, g: R → R definidas por ou c) O plano C para ambos. ou c) O plano C para ambos. d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. ou d) O plano B para a esposa e o plano C para o marido. ve nd a!a) O plano A para ambos. ve nd a!a) O plano A para ambos. b) O plano B para ambos. ve nd a!b) O plano B para ambos. c) O plano C para ambos. ve nd a! c) O plano C para ambos. Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 19 M at em át ic a Δ = 0 = a parábola é tangente ao eixo Ox. Δ > 0 = a parábola intercepta o eixo Ox em dois pontos distintos. Coordenadas do Vértice da Parábola 2v x b a - = 4v y a -∆ = Valor MÍNIMO: a > 0. Valor MÁXIMO: A < 0. Gráfico no Sistema Cartesiano 1º CASO (a > 0) f(x) = x2 – 2x – 3 x y -2 5 -1 0 0 -3 1 -4 2 -3 3 0 4 5 Função – Parte III Definição Função Polinomial do 2o Grau ou Função Quadrática é a função real definida por: f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são coeficientes reais, sendo a ≠ 0. Exemplos de função quadrática: a) y = x2 – 6x + 5, na qual a = 1, b = -6 e c = 5 b) y = - x2 +2 x + 4, na qual a = - 1, b = 2 e c = 4 c) y = 3x2 – 6x, na qual a = 3, b = -6 e c = 0 d) y = 2x2 – 3, na qual a = 2, b = 0 e c = -3 Gráfico de uma Função Quadrática O gráfico da Função Polinomial do 2o Grau y = ax2 + bx + c é uma parábola em que o eixo de simetria é uma reta para- lela ao eixo das ordenadas ou pode ser até o próprio eixo y,passando pelo vértice da parábola. A representação gráfica de uma função do 2º grau é uma parábola, que dependendo do sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. Raízes ou Zeros da Função Significa determinar os pontos de interseção da parábola com o eixo das abscissas no plano cartesiano. Dada a fun- ção f(x) = ax² + bx + c, podemos determinar sua(s) raiz(es) considerando f(x) = y = 0. Assim sendo, conseguimos a equação do 2º grau ax² + bx + c = 0, que pode ser resolvida pela fórmula Bháskara. 2 4 2 b b acx a - ± - = Sendo ∆ = b2 – 4ac, podemos abranger que: Δ < 0 = a parábola não intercepta o eixo Ox. AULA O4 Pr oib ida pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. Pr oib ida pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. Pr oib ida a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. có pia , A representação gráfica de uma função do 2º grau é có pia , A representação gráfica de uma função do 2º grau é uma parábola, que dependendo do sinal do coeficiente a có pia , uma parábola, que dependendo do sinal do coeficiente a pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo.c óp ia, pode ter concavidade voltada para cima ou para baixo. dis trib uiç ão , d oa çã o do aç ão ou ve nd a! ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 20 M at em át ic a 2º CASO (a < 0) f(x) = – x2 + 2x + 3 x y -2 -5 -1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 4 -5 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 01. (PUCCamp-SP) Seja a função f, de R em R, definida por f(x) = x² – 3x + 4. Num sistema de coordenadas ortogonais, o vértice da parábola que representa localiza-se: a) no primeiro quadrante. b) no segundo quadrante. c) no terceiro quadrante. d) sobre o eixo das ordenadas. e) sobre o eixo das abscissas. 02) (UFMG) O trinômio y = ax2 + bx + c está representado na figura. A afirmativa correta é: a) a > 0, b > 0 e c < 0 b) a < 0, b < 0 e c < 0 c) a < 0, b > 0 e c < 0 d) a < 0, b < 0 e c > 0 e) a < 0, b > 0 e c > 0 03. (UFRR ) A única função cujo gráfico pode ser a pará- bola representada na figura abaixo é: a) y = x² + 6x + 9 b) y = x² – 6x + 9 c) y = x² + 3x – 10 d) y = x² + 7x + 10 e) y = x² – 7x + 10 04. (UFAM) Em relação ao gráfico da função f(x) = –x2 + 7x – 10. pode-se afirmar que: a) intersecta o eixo das abscissas em P(5, 0) e Q(–5, 0). b) seu vértice é o ponto 7 9, 2 4 . c) é uma parábola de concavidade voltada para cima. d) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas. e) intercepta o eixo das ordenadas em R (0,10). 5) (Funcab) Dada a função quadrática f(x) = -2.x² + 4.x – 9, as coordenadas do vértice do gráfico da parábola de- finida por f(x), é: a) V = (-7; 1) b) V = (1; -7) c) V = (0; 1) d) V = (-7; 0) e) V = (0; 0) Pr oib ida a có pia , có pia , d ist rib uiç ão , dis trib uiç ão , dis trib uiç ão , + bx + c está representado dis trib uiç ão , + bx + c está representado a) y = x² + 6x + 9 dis trib uiç ão , a) y = x² + 6x + 9 b) y = x² – 6x + 9 dis trib uiç ão , b) y = x² – 6x + 9 do aç ão do aç ão ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 21 M at em át ic a EXERCÍCIOS EXTRAS 9) (Efomm 2019) Examine a função real f(x) = 2x – 3x² quan- to à existência de valores e pontos de máximos e mínimos. Analise o problema e assinale a alternativa CORRETA. a) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x = 1/3 b) A função atinge o valor mínimo de 1/3, no ponto x = 1/3 c) A função atinge o valor máximo de 1/3, no ponto x = 2/3 d) A função atinge o valor mínimo de 2/3, no ponto x = 1/3 e) A função atinge o valor máximo de 2/3, no ponto x = 1/3. 10) (Ueg 2019) Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada, que descreve uma parábola até cair novamente no gramado. Sabendo-se que a parábola é descrita pela função y = 20x – x² a altura máxima atingi- da pela bola é a) 100 m b) 80 m c) 60 m d) 40 m e) 20 m Gabarito 1. A 2. B 3. E 4. B 5. B 6. A 7. A 8. B 9. E 10. A 6) (Funcab). Determine o valor de x que provoca o valor máximo da função real f(x) = -x² + 7x – 10. a) 3,5 b) – 2 c) 0 d) 10 e) – 1,5 7) (Fatec) A função f, de IR em IR, definida por f(x) = ax² + bx + c, admite duas raízes reais iguais. Se a >0 e a sequ- ência (a,b,c) é uma progressão aritmética de razão 3 , então o gráfico de f corta o eixo das ordenadas no ponto a) (0, 2 + 3 ) b) (0, 1 - 3 ) c) (0, 3 ) d) (2 - 3 , 0) e) (2 + 3 , 0) 08) (Ueg 2019) As raízes da função quadrática y = ax² + bx + c são -1 e 3. Sabendo-se que o vértice é o ponto (1, -4) os valores de a, b e c são, respectivamente: a) -1, -2 e -3 d) 1, 2 e 3 b) 1, -2 e -3 e) -1, -2 e 3 c) 1, 2 e -3 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia um alvo desenhado. Quando estava exatamente 25 m acima do alvo, soltou uma bomba que caiu em queda livre forman- do uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante do alvo, qual a função que descreve a trajetória da bomba? a) y = –x2 + 25 d) y = –x2 +10x – 25 b) y = x2 – 25 e) y = –10x2 + 50x – 60 c) y = x2 – 10x + 25 02. (Fuvest 2019) Considere a função polinomial f: → definida por f(x) = ax² +bx + c em que a, b, c e a 0. No plano cartesiano xy, a única intersecção da reta y = 2 com o gráfico de f é o ponto (2; 2) e a intersecção da reta x = 0 com o gráfico de f é o ponto (0; 6). O valor de a + b + c é a) -2 d) 4 b) 0 e) 6 c) 2 03. (FURB-SC) O gráfico abaixo representa uma função quadrática: y = ax2 + bx + c. Os valores de a, b e c, respec- tivamente, são: a) – 1, – 2 e – 1 b) 1, – 2 e 1 c) – 1, – 2 e 1 d) – 1, 2 e – 1 e) 1, 2 e 1 Pr oib ida 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia Pr oib ida 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia um alvo desenhado. Quando estava exatamente 25 m acima Pr oib ida um alvo desenhado. Quando estava exatamente 25 m acima Pr oib ida do alvo, soltou uma bomba que caiu em queda livre forman Pr oib ida do alvo, soltou uma bomba que caiu em queda livre forman do uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante Pr oib ida do uma trajetória parabólica. Se a bomba caiu 5 m distante do alvo, qual a função que descreve a trajetória da bomba?P roi bid a do alvo, qual a função que descreve a trajetória da bomba? a 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia a 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia c óp ia, có pia , EXERCÍCIOS có pia , EXERCÍCIOS 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia có pia , 01. (Cefet-SP) Um avião sobrevoou um campo onde havia dis trib uiç ão , Gabarito dis trib uiç ão , Gabarito 1. A dis trib uiç ão , 1. A 2. B dis trib uiç ão , 2. B 6. A dis trib uiç ão , 6. A do aç ão Gabarito do aç ão Gabarito ou ve nd a! Ma ria Ed ua rd a d e O liv eir a S an to s - 05 53 48 78 50 9 - du da .sa nt oo s@ ya ho o.c om .br 22 M at em át ic a 07. (Vunesp) Considere os conjuntos A e B: A = {– 30, – 20, – 10, 0, 10, 20, 30} B = {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}, e a função f: A → B, f(x) = x² + 100 O conjunto imagem de f é: a) {– 30, – 20, – 10, 0, 10, 20, 30}. b) {100, 200, 500, 1000}. c) {300, 400, 600, 700, 800, 900}. d) {100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000}. e) conjunto vazio. 08. (UFPE) Um laboratório farmacêutico, após estudo do mercado, verificou que o lucro obtido com a venda de x milhares do produto A era dado pela fórmula: L (x) = 100 · (12.000 – x) · (x – 4.000). Analisando-se as afirmações, indique a soma da(s) pro- posição(ões) CORRETA(S). 01. o laboratório terá lucro para qualquer quantidade ven- dida do produto A. 02. o laboratório terá lucro, se vender mais