Aa2 - Cálculo Diferencial e Integral II

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Aa2 - Cálculo Diferencial e Integral II
Questão 1
Uma das grandes aplicações do Cálculo Diferencial e Integral está relacionado com o cálculo da área de uma região abaixo da curva e limitada pelo eixo Ox. Considere a função f, de R em R, definida pela seguinte lei: 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 + 5 e o intervalo 𝐼 = [0; 1]. Analise as seguintes afirmativas abaixo.
I – A sua primitiva é uma função polinomial de 3º grau.
II – A função 𝐹(𝑥) = (𝑥44) + 𝑥2 + 5𝑥 + 4 é uma primitiva dessa função.
III – A área da região abaixo da curva e limitada pelo eixo x é igual a 104 u.a..
Assinale a alternativa que apresenta somente a (s) correta (s).
a) Somente a afirmativa I está correta.
b) Somente a afirmativa II está correta.
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas.
d) Somente a afirmativa III está correta.
e) Somente as afirmativas II e III estão corretas.
Questão 2
Integrar uma função consiste em encontrar a primitiva associada à função. Dessa forma, somos autorizados a afirmar que a derivada a integral são operadores matemáticos inversos. Atentando-se para o fato de a função ser contínua no intervalo de integração, seja 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3. Determine a primitiva (F(x)) da função f(x).
Questão 3
Calcule as integrais indefinida: 
∫(4𝑥2−8𝑥+1) 𝑑𝑥 
∫(1𝑧3−3𝑧2) 𝑑𝑧 
∫(3√𝑢+1√𝑢) 𝑑𝑢 
∫(2𝑥−5) (3𝑥+1) 𝑑𝑥
Questão 3
Considere que a parte interna de um copo é formada girando-se a parábola 𝑦=𝐴√𝑥 em torno do eixo x. Determine A de modo que com o comprimento de 6 cm o copo tenha uma capacidade de 500 cm³.
Questão 4
A taxa de variação na receita para uma determinada empresa de 2002 a 2009 pode ser modelada por
𝑑𝑅/𝑑𝑡 = 320,1 𝑒0,0993𝑡
em que 𝑅 é a receita (em milhões de dólares) e t é o tempo (em anos), com 𝑡= 2 correspondendo a 2002. Em 2007, a receita para essa empresa foi de 𝑅$ 6484,5 milhões.
(a) Encontre um modelo para a receita dessa empresa.
(b) Encontre a receita dessa empresa em 2009.
Questão 5
Na física podemos utilizar as integrais de funções de uma variável real para o cálculo da velocidade de um corpo dada a sua aceleração em um intervalo de tempo. Com base nessas informações encontre a velocidade aproximada de um carro cuja aceleração é dada por 𝑎(𝑡)= 𝑡 ln 𝑡,
no intervalo 1 ≤ t ≤ 10. Qual a velocidade aproximada desse corpo?
Questão 6
Em uma empresa têxtil uma máquina parou de funcionar. A taxa de variação do prejuízo (em reais) em função do tempo (em horas) em que a máquina fica parada é dada por: 𝑑𝑃/𝑑𝑡 = 400 / (𝑡+1) + 40
Sabe-se que com a máquina funcionando não há prejuízo.
a) Encontre a função que descreve o prejuízo em função do tempo que a máquina fica parada.
b) Calcule o prejuízo aproximado que gerará se a máquina ficar parada 8 horas.
Questão 7
Não existem regras de integração diretas para todas as funções que podemos vir a querer integrar, mas existem métodos que nos permitem usar recursos matemáticos para simplificar a expressão e chegar em regras conhecidas. Um desses métodos é chamado de “regra da substituição trigonométrica”. Analise e resolva a integral a seguir:
Questão 8
(Adaptado de STEWART, 2014, p.375) Uma empresa de tecnologia produz, dentre outros itens, calculadoras de diversos tipos, como as científicas e as gráficas, empregadas nas mais variadas atividades. Esta empresa, após diversas pesquisas, preparou uma linha de montagem para fabricar um novo modelo de calculadora gráfica. Sabe-se que a taxa de produção dessas calculadoras, após t semanas, é dada por r(t)=5000(1−100(t+10)2) calculadoras/semana
Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo. No entanto, a produção inicial é baixa devido aos trabalhadores ainda não estarem familiarizados com as novas técnicas de produção.
Com base nestas informações, qual a quantidade de calculadoras produzidas no período compreendido entre o começo da quarta semana até o fim da quinta semana?
Questão 9
Calcule as integrais, utilizando o método adequado. 
1.∫1(4−5𝑡)4 𝑑𝑡 
2.∫𝑡−2(𝑡2−4𝑡+3)3 𝑑𝑡 
3.∫𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥