04-Negação de Proposições Lógicas

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Negação de Proposições Lógicas
endo p, q proposições, a negação de uma conjugação é a dada
por:
~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
 
Exemplos:
 p: 2 é um número par.
 q: 2 é um número primo.
 (p ∧ q): 2 é um número par e 2 é um número primo.
~(p ∧ q): 2 não é um número par ou 2 não é um número primo.
 
 p: Usar roupa preta.
 q: Ir ao cinema.
 (p ∧ q): Usar roupa preta e ir ao cinema.
~(p ∧ q): Não usar roupa preta ou não ir ao cinema.
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma disjunção é dada por:
~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
 
Exemplos:
 p: 2 é um número par.
 q: 2 é um número primo.
 (p ∧ q): 2 é um número par ou 2 é um número primo.
~(p ∧ q): 2 não é um número par e 2 não é um número primo.
 
 p: Usar roupa preta.
 q: Ir ao cinema.
 (p ∨ q): Usar roupa preta ou ir ao cinema.
~(p ∨ q): Não usar roupa preta e não ir ao cinema.
 
Sendo p, q proposições, a negação de uma condicional simples é dada
por:
~(p → q) ⇔ p ∧ ~q
 
Exemplos:
 p: 7 é um número racional. (7∈ Q)
 q: 7 é um número real. (7∈ R)
(p → q): Se 7 é um número racional então 7 é um número real. (7∈ Q
→7∈ R)
~(p → q): 7 é um número racional e 7 não é um número real. (7∈ Q e 7∉
R)
p: Usar roupa preta.
 q: Ir ao cinema.
 (p → q): Se usar roupa preta então irá ao cinema.
~(p → q): Usar roupa preta e não ir ao cinema.
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador universal é dada
por:
~(∀x)(p(x)) ⇔ (∃x)(~p(x))
 
Exemplos:
p(x): x fala alemão.
(∀x)(p(x)): Toda pessoa fala alemão.
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos uma pessoa fala que alemão.
 
p(x): x+7=1. 
(∀x∈ R)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7=1
~(∀x)(p(x)): Existe pelo menos um x∈ R tal que x+7≠1.
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial é
dada por:
~(∃x)(p(x)) ⇔ (∀x)(~p(x))
 
Exemplos:
p(x): x foi a Marte.
(∃x)(p(x)): Existe uma pessoa que foi a Marte.
~(∃x)(p(x)): Todas as pessoas não foram a Marte.
 
p(x): x+7=1.
(∃x∈ R)(p(x)): Existe um x ∈ R tal que x+7=1.
~(∃x)(p(x)): Para todo x ∈ R, x+7≠1.
 
Sendo p uma proposição, a negação do quantificador existencial com
unicidade é dada por:
~(∃!L)(p(L)) ⇔ (∀L)(~p(L)) ∨ (∃L ₁,L₂)(p(L ₁) ∧ p(L₂))
 
Exemplos:
p(L): O losango L é um quadrado.
(∃!L∈ R)(p(L)): Existe um único losango L que é um quadrado.
~(∃!L)(p(L)): Para todo losango L temos que L não é um quadrado, ou
existem pelo menos dois losangos L ₁ e L₂ que não são quadrados.
 
 
 
Atividade extra
Ler o Capítulo 17 do livro Iniciação a Lógica Matemática, de Edgard de
Alencar Filho, sobre o tópico de negação de quantificadores múltiplos.
 
 
Referência Bibliográfica
Iezzi, Gelson Carlos Murakami. Fundamentos de Matemática Elementar,
1: Conjuntos, Funções. 9ª edição. Editora Atual. São Paulo, 2013.
Alencar Filho, Edgard de. Iniciação a Lógica Matemática. Editora Nobel.
São Paulo, 2002.
Morgado, Augusto C. Cesar, Benjamin. Raciocínio Lógico-Quantitativo. 4ª
edição. Editora Campus Concursos.
 
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