Tópicos Especiais em Álgebra

Prévia do material em texto

Página inicial 
DESENVOLVIMENTO 
DA ÁLGEBRA 
Professora : Me. Camila Hiromi Tamura 
Objetivos de aprendizagem 
Apresentar uma breve história sobre a evolução da álgebra. 
Apresentar o desenvolvimento da álgebra no Brasil afim de identificar os problemas enfrentados nos dias atuais no ensino da 
álgebra. 
Apresentar a trajetória do desenvolvimento do pensamento algébrico para uma melhor compreensão das dificuldades vividas 
até hoje. 
Discutir o uso de padrões no desenvolvimento do pensamento algébrico. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
Uma breve história da álgebra 
Ensino da álgebra no Brasil 
Desenvolvimento do pensamento algébrico 
Padrões do desenvolvimento algébrico 
Introdução 
O ensino-aprendizagem da álgebra é um tema muito abordado nos dias atuais tanto no Brasil como no exterior. O que vimos hoje 
no ensino da álgebra no Brasil é reflexo de várias fases da evolução, assim, uma breve revisão do ensino dessa área e de resultados 
de pesquisas torna-se necessário para a compreensão do que acontece hoje na sala de aula. 
Alfabetizar algebricamente os alunos é um desafio, e as dificuldades desse processo provêm da forma de como a álgebra é 
introduzida aos alunos, de maneira pronta, assim é comum ouvir dos alunos que não sabem quais suas utilizações, aplicações 
práticas. 
O entendimento do desenvolvimento histórico da álgebra é uma ferra- menta que pode auxiliar o professor a perceber a 
complexidade desse campo e buscar na prática docente desenvolver atividades que promovam o desenvolvimento do pensamento 
algébrico. 
O uso da história da matemática para introduzir a álgebra se mostra muito eficaz, conhecendo a história do desenvolvimento do 
pensamento algébrico os alunos tomam ciência de que ele foi construído no decorrer de dois milênios a partir das necessidades do 
homem. Conhecendo as fases do seu desenvolvi- mento, que começa com a álgebra retorica, depois a álgebra sincopada até a 
álgebra simbólica como conhecemos hoje, os alunos podem perceber como a linguagem algébrica é importante para simplificar e 
facilitar as operações e resoluções de problemas. Dessa forma o aluno pode compreender e se apropriar da linguagem algébrica de 
forma significativa, contornando as dificuldades que forem surgindo com relação ao pensamento abstrato. 
Avançar 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/unidade-1
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
Página inicial 
UMA BREVE HISTÓRIA DA ÁLGEBRA 
Caro(a) aluno(a) aqui estudaremos uma breve história da álgebra, com o intuito de conhecermos um pouco sobre o 
desenvolvimento histórico dessa área. 
Conforme os estudos realizados por Eves (1997), as raízes da álgebra encontram-se por volta de 2000 a.C. através da formalização 
e sistematização de algumas técnicas de resolução de problemas da antiguidade. Os primeiros estudos de álgebra foram 
encontrados no Egito, no papiro de Rhind (ou Ahmes) (aproximadamente 1650 a.C.), na qual encontram-se resoluções de 85 
problemas de aritmética e álgebra. Esse papiro é considerado um dos documentos mais antigos e ricos em informações referente a 
matemática egípcia antiga. 
Figura 1: Papiro de Rhind 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
Fonte: Wikipedia (online). 
Alguns séculos depois, chegamos a Muhammad ibn Musa Al-Khowârizmî, que segundo Eves (1997) foi o primeiro matemático a 
usar o termo “álgebra”, originado a partir do título Hisâb al-jabr wa’l muqâ-balah , esse livro fala sobre soluções de equações de 
primeiro e segundo graus, tratados de forma retórica, sem emprego de símbolos. Esse título foi traduzido como “ciência da reunião 
e da oposição”, ou mais livremente como “ciência da transposição e do cancelamento”. Mas o nome álgebra tornou-se conhecido 
pela tradução latina da palavra Al-jabr , sinônimo de ciência das equações. Segundo Sostisso (2011), Al-Khowârizmî divide com 
Diofantino de Alexandria os créditos de fundador da álgebra. As obras de Diofantino buscam soluções exatas, positivas e racionais 
de equações determinadas e indeterminadas, o que o difere da álgebra numérica babilônica. 
De acordo com Gimenez e Lins (1997), comparado ao Diofanto, Al-Khowârizmî desenvolveu uma álgebra pobre pelo ponto de 
vista técnico. Segundo os autores, para Al-khowârizmî os números são associados a segmentos e áreas, ou seja, são vistos como 
grandezas geométricas, já para Diofanto isso não é número. 
O desenvolvimento da álgebra prosseguiu com Al-Karagi, segundo Mol (2013), Al-Karagi teve o mérito de tornar o cálculo 
algébrico independente da geometria. O principal sucessor de Al-Karagi,Al-Samaw’al foi e Al-Samaw’al que estabeleceu várias 
regras algébricas, o que significou um avanço em termos de eficiência em relação à álgebra retórica e um importante passo para o 
desenvolvimento do simbolismo algébrico. 
Um outro nome que se destaca é Scipione del Ferro, de acordo com Sostisso (2011) Scipione foi o primeiro a resolver a equação 
geral do 3° grau, ele não publi- cou seu trabalho, mas revelou o segredo ao seu discípulo Antonio Fior. Alguns anos depois, Nicolo 
Fontana de Brescia, mais conhecido como Tartaglia, anunciou ter descoberto a solução algébrica para a equação cúbica, que foi 
publicado sem autorização por Cardano na sua Ars Magna , um grande tratado em latim de álgebra. Um tempo depois, a equação de 
4° grau foi resolvida por Ludovico Ferrari, um dos discípulos de Cardano, e este também foi publicado em Ars Magna . Em 1824 o 
matemático norueguês Niels Henril Abel demonstrou que as raízes das equações gerais de grau cinco ou maior, não podem ser 
expressas por meio de radicais em termos dos coeficientes respectivos. E em 1858, Charles Hermite apresentou a solução da 
equação geral de 5° grau por meio de funções elípticas. 
Com os processos de resolução das equações algébricas do 3° grau que surgiu a necessidade da introdução 
de um novo tipo de número, denominado números complexos. 
Fonte: Ponte et al. (2009). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
Para saber mais, acesse: <https://w ww.ime .usp.br/~martha/caem/comple xos.pdf>. 
Cardano deixou uma vasta obra abrangendo vários assuntos, mas dentre seus livros, o mais importante é a Ars Magna , o primeiro 
grande tratado em latim dedicado exclusivamente a álgebra 
De acordo com Ponte et al. (2009) uma questão central da teoria das equações é a de saber quantas soluções se pode ter em uma 
equação de grau n. O primeiro matemático a afirmar que uma equação de grau n tem sempre n soluções foi Albert Girard (1595- 
1632), em 1629, num livro intitulado Invention nouvelle em l’algèbre . 
Este Teorema designado com Teorema Fundamental da Álgebra, tem muitas propostas de demonstração, todas elas refutadas, 
numa história muito interessante em que intervêm matemáticos como Leibniz, Euler, d’Alembert e Lagrange. A demonstração foi 
feita de modo considerado satisfatório por Argand e Gauss. 
Segundo Eves (1997), podemos destacar o advogado francês François Viète nascido em 1540, como o pai da álgebra. Embora 
formado em advocacia,tinha paixão pela matemática e dedicava a maior parte do tempo de lazer à matemática. Viète tinha 
trabalhos na trigonometria, álgebra e geometria, mas o seu mais famoso trabalho foi In artem , nesse texto Viéte introduziu a 
prática de se usar vogais para representar incógnitas e consoantes para representar constantes. Viète realizou importantes 
progressos no cálculo algébrico e em suas aplicações. Foi Descartes em 1637 que introduziu a convenção atual de se usar as 
primeiras letras do alfabeto para indicar constantes e as últimas às incógnitas. 
Em função das fases evolutivas da álgebra, segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), alguns historiadores da matemática 
consideram, em geral, três estágios: a fase primitiva ou retórica, o intermédio ou sincopado e a fase final ou simbólica. 
A fase retórica se estende dos babilônios até Diofanto, onde tudo era escrito por palavras, ou seja, não eram utilizados símbolos 
nem abreviações, está seria a álgebra dos egípcios, babilônios e gregos prédiofantinos. Segundo Hanke (2008) uma solução 
retórica exigia uma atenção mental muito mais elevada; na fase sincopada foram adotadas algumas abreviações e/ou símbolos 
específicos para expressar suas equações, que surgiu com Diofanto e foi até o início do século XVI. O quadro a seguir mostra uma 
relação entre a linguagem na escrita de equações utilizada por Diofanto, no século IV e a linguagem escrita nos dias atuais. 
Quadro 1: Símbolos gregos x símbolos atuais 
Fonte: Hanke (2008, p. 44) 
Mesmo com sincopação da álgebra, muitas civilizações continuaram usando a álgebra retórica por muitos anos; a fase simbólica é 
marcada pelo momento em que são usados apenas símbolos, que ocorreu por volta do século XVI, com François Viète, mas que se 
consolidou a partir de Descartes, em 1637, e essa simbologia é usada até os dias de hoje. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.ime.usp.br%2F%257Emartha%2Fcaem%2Fcomple-&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNG-WtvgWAbozHz9PvgW-NroASxImQ
História da Matemática no Ensino 
A matemática é uma atividade humana, os conceitos são construídos ou desfeitos de acordo com as necessidades de solucionar 
problemas. Segundo Valati e Pacheco, a abstração é a principal característica da matemática e, um dos principais objetivos do 
ensino é a formação de conceitos decorrentes de representações simbólicas que compõem uma linguagem específica. Todavia, a 
apropriação desta linguagem, cons- titui uma grande dificuldade para muitos alunos, que trazem questões como: “Para que serve 
isso?”, “Por que estudar esse conteúdo?” A História da matemática permite ao professor elaborar e organizar abordagens 
pedagógicas que podem contribuir no processo de ensino e aprendizagem da álgebra. 
Grunetti e Rogers (2000 apud Vailati e Pacheco) identificam os debates relativos à história da matemática sob três aspectos 
distintos: 
Aspecto filosófico: A necessidade de visualização da matemática como uma atividade humana e suas relações sócio culturais. 
Aspecto interdisciplinar: A matemática ligada a outras disciplinas. A compreensão do conteúdo matemático torna-se mais 
efetiva mediante as conexões históricas entre diversas áreas do conhecimento. 
Aspecto cultural: A análise das contribuições de várias culturas ou de uma cultura especifica para a evolução da ciência 
matemática. 
Valati e Pacheco acreditam que uma abordagem histórica do desenvolvimento da álgebra pode propiciar aos alunos a participação 
na construção da linguagem simbólica e do conhecimento algébrico. Um percurso pela história da evolução do pensamento 
algébrico pode conduzir o aluno à compreensão de novos significados para a linguagem algébrica, e com isso, suavizar as 
dificuldades relativas ao abstrato e a generalização. 
ENSINO DA ÁLGEBRA NO BRASIL 
Os problemas encarados nos dias atuais no ensino da álgebra no Brasil podem ser um reflexo da evolução da álgebra desde quando 
foi introduzido no currículo até os dias de hoje. Diante disso, é importante sabermos um pouco sobre como tudo aconteceu para 
entendermos o que acontece com seu ensino hoje. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Ensino da Álgebra antes do Movimento da 
Matemática Moderna 
Segundo Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), a preocupação de introduzir o ensino da álgebra no Brasil, em forma de aulas, ocorreu 
com a carta Régia de 19 de agosto de 1799. 
A matemática nas escolas eram divididas em compartimentos estanques, ou seja, de forma isolada, onde se estudava primeiro a 
aritmética, depois a álgebra e em seguida a geometria e trigonometria. Esses conteúdos tinham programas e livros diferentes, e 
não existia a disciplina Matemática. De acordo com os autores a álgebra apresentava um caráter instrumental, útil para resolver 
problemas e equações. 
A Reforma Francisco Campos (Decreto N.21.241- de 4 de abril de 1932) que assumiu a denominação “Matemática” em vez de 
Aritmética, Álgebra, Geometria e Trigonometria. Essa reforma tenta imprimir organicidade ao ensino, onde foi estabelecido 
definitivamente o currículo seriado. 
Ao longo de todo período republicano até meados da década de 60, no ensino da álgebra elementar, a análise dos livros didáticos 
de nossas escolas nos mostraram que os objeto de ensino permaneceram praticamente inalterados: cálculo algébrico 
(compreensão das operações com polinômios), razão e proporção, equações e inequações do 1° grau a uma incógnita, equações de 
várias incógnitas, sistemas de equações, radicais (operações e propriedades), equações do 2° grau, o trinômio do 2° grau, equações 
redutíveis ao 2° grau, problemas do 2° grau e sistema de equações de 2° grau. 
Segundo Araújo (2008) no ensino da álgebra, a maior ênfase era dada às transformações das expressões algébricas, e quase 
sempre os conteúdos eram apresentados de forma mecânica e automatizada, na qual eram trabalhados apenas as regras e os 
“passos” na solução de um problema. Por exemplo, em seu livro-texto de Álgebra Elementar, Trajano (1947) propunha a seguinte 
regra para encontrar o Mínimo Múltiplo Comum (M.M.C.) entre expressões: 
Para se achar o M.M.C. de duas ou mais expressões, escrevem-se todas, em linha separadas por vírgulas e 
sublinham-se. Acha-se um fator primo que divide exatamente uma destas expressões, e escreve-se debaixo 
os quocientes, bem como as expressões que não forem divisíveis por ele. Divide-se esta nova linha de 
expressões por um fator primo, que divide uma das expressões; e assim se procede em seguida; e as 
expressões primas dividem-se por si mesmas, para que todos os fatores fiquem à direita, e todos os 
quocientes sejam 1. O continuado produto de todos os fatores primos será o M.M.C. (1947, p. 58). 
De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), na primeira metade do século XX os manuais didáticos de Álgebra e Geometria 
apresentavam uma visão dualista, con forme o seguinte texto: 
Para os estudantes a Matemática devia assemelhar-se a um monstro de duas cabeças: uma estritamente 
racional, que seria desenvolvida pela Geometria, demonstrando-lhe todas as afirmações com o objetivo de 
elevar o seu espírito – ainda que tudo isso lhe fosse de difícil entendimento – e a outra, estrita- mente 
pragmática, que seria desenvolvida pela Aritmética e pela Álgebra, desfiando regras e fórmulas – 
geralmente aceitas sem justificativas com a finalidade de resolver problemas, em sua maior parte artificiais 
(1992, p. 43). 
O dualismo entre Geometria e Álgebra tem sua origem no pensamento grego, principalmente no pensamento platônico, onde a 
teoria era supervalorizada em relação a prática, assim atribuía à Geometria teórica um caráter nobre, enquanto que à Álgebra um 
caráter inferior. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1https://getfireshot.com
Ensino da Álgebra no Movimento da Matemática Moderna e Pós 
Movimento da Matemática Moderna 
Na década de 60, surgiu o Movimento da Matemática Moderna com o propósito de tentar unificar o ensino dos três campos 
fundamentais da matemática escolar, introduzindo os elementos unificadores, tais como a teoria dos conjuntos, funções, as 
estruturas algébricas. 
A álgebra passou a ocupar um lugar de destaque. Segundo Dieudonné (1973) o ensino da álgebra não se identificava mais com a 
“aplicação cega de regras aritméticas” e nem com “a teoria puramente abstrata de grupos, anéis e corpos”, mas passou a receber 
um maior rigor e assumiu uma acentuada preocupação com as propriedades estruturais dos conteúdos e a precisão da linguagem. 
Assim, a álgebra perdeu seu caráter pragmático, associado à necessidade de resolver problemas. A partir daí, o programa de 
álgebra começava pelo estudo da teoria de conjuntos e a ênfase era nas operações e suas propriedades. 
Na década de 60, surgiu o Movimento da Matemática Moderna com o propósito de tentar unificar o ensino dos três campos 
fundamentais da matemática escolar, introduzindo os elementos unificadores, tais como a teoria dos conjuntos, funções, as 
estruturas algébricas. 
A álgebra passou a ocupar um lugar de destaque. Segundo Dieudonné (1973) o ensino da álgebra não se identificava mais com a 
“aplicação cega de regras aritméticas” e nem com “a teoria puramente abstrata de grupos, anéis e corpos”, mas passou a receber 
um maior rigor e assumiu uma acentuada preocupação com as propriedades estruturais dos conteúdos e a precisão da linguagem. 
Assim, a álgebra perdeu seu caráter pragmático, associado à necessidade de resolver problemas. A partir daí, o programa de 
álgebra começava pelo estudo da teoria de conjuntos e a ênfase era nas operações e suas propriedades. 
De acordo com Araújo (2008), através do Movimento da Matemática Moderna, os conteúdos de geometria deixaram de ser vistos 
como potencialmente ricos e per- deram seu lugar no currículo, dando lugar à álgebra. 
Para Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), a álgebra não recebe a devida atenção nos estudos, reflexões e debates a respeito do 
ensino da matemática, apesar de ocupar boa parte dos livros didáticos atuais. Os autores comentam sobre o ensino da álgebra: 
... o modo como a maioria dos professores ainda trabalha a Álgebra – de forma mecânica e automatizada, 
dissociada de qualquer significação social e lógica, enfatizando simplesmente a memorização e a 
manipulação de regras, macetes, símbolos e expressões – tal como ocorria há várias décadas, mostra que o 
seu ensino não tem recebido a devida atenção (1992, p. 40). 
Segundo os mesmos autores, mesmo com o movimento moderno, o ensino da matemática não conseguiu sair da crise em que se 
encontrava, ao contrário disso, a crise tomou outras características, uma vez que a matemática perdeu principalmente seu caráter 
informativo e pragmático, e a prática modernista não conseguiu realizar seu projeto formativo, onde o aluno deveria ter a 
capacidade de aplicar as formas estruturais de pensamento aos mais variados domínios dentro e fora da matemática. No artigo 
publicado em Pró-posições os autores dizem: 
É diante desse quadro contraditório, que se expressa na polarização entre a ênfase tecnicista no “fazer” e a 
ênfase estruturalista no “compreender via fundamentação lógica”, que matemáticos e educadores 
matemáticos passaram a questionar os próprios pressupostos que embasavam o ideário modernista (1992, 
p. 50). 
No final da década de 70, o Movimento da Matemática Moderna entrou em declive no mundo todo e surgem críticas aos 
propósitos desse movimento e tentativas de correções de distorções e excessos cometidos ao longo da trajetória (ARAÚJO, 2008). 
De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992), a álgebra pós matemática moderna retomou seu papel anteriormente ocupado, 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
ou seja, um estudo com a finalidade de resolver problemas e equações. 
Para Lins e Gimenez (1997, p. 106) destacam sobre a álgebra apresentada nos livros didáticos: “técnica (algoritmo) / prática 
(exercícios), na maioria dos livros didáticos disponíveis no mercado brasileiro, encontramos apenas isso”. 
A partir da década de 90, percebemos uma nova forma de pensar a educação algébrica, onde a maior preocupação deixa de ser 
com as regras de manipulações e o foco principal passa a ser a proposta de experiências que desenvolvam o pensa- mento 
algébrico conduzindo à elaboração de uma linguagem simbólica. 
Os PCNs do Ensino Fundamental destacam que à respeito da educação algébrica é necessário: 
... deve-se ter, evidentemente, clareza de seu papel no currículo, além da reflexão de como a criança e o 
adolescente constroem o conhecimento matemático, principalmente quanto à variedade de 
representações. Assim, é mais proveitoso propor situações que levem os alunos a construir noções 
algébricas pela observação de regularidades em tabelas e gráficos, estabelecendo relações, do que 
desenvolver um estudo da Álgebra apenas enfatizando as “manipulações” com expressões e equações de 
uma forma meramente mecânica (BRASIL, 1998, p. 116). 
DESENVOLVIMENTO DO 
PENSAMENTO ALGÉBRICO 
Aqui veremos um pouco sobre a trajetória do desenvolvimento do pensamento algé- brico para um melhor entendimento dos 
problemas vividos hoje em nossas escolas no processo ensino aprendizagem da álgebra. É fundamental percorrermos fatos da 
evolução da matemática que levam à constituição. 
Segundo Hanke (2008), ao longo da história a evolução do pensamento em várias civilizações ocorre de acordo com a Tabela 1. 
Tabela 1: As civilizações e as formas de representação do pensamento algébrico 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Fonte: Hanke (2008, p. 43). 
No Brasil, a preocupação com o desenvolvimento do pensamento algébrico surgiu apenas no final do século XX. O foco até então 
era a manipulação de expressões algébricas obedecendo determinas regras. 
Diversos autores tem abordado o conceito de pensamento algébrico. Segundo Hanke (2008) o pensamento algébrico existe em 
todas as fases de seu desenvolvimento, até mesmo na sua fase retórica, onde havia ausência total da linguagem simbólica. A 
linguagem algébrica utilizada naquela época era uma linguagem natural. 
Caraça (1984) diz que o pensamento algébrico surgiu antes mesmo de qualquer formalização: 
... o homem na sua necessidade de lutar contra a natureza e no seu desejo de dominá-la, foi levado, 
naturalmente, à observação e ao estudo dos fenômenos, procurando descobrir as suas causas e o seu 
encadeamento. Os resultados, lentamente adquiridos e acumulados, vão constituindo o que, no decurso dos 
séculos da vida consciente da Humanidade, se pode designar pelo nome de Ciência (CARAÇA, 1984, p. 107). 
De acordo com Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), o pensamento algébrico pode ser expressado por meio de várias linguagens: 
... não existe uma única forma de se expressar o pensamento algébrico. Ele pode expressar-se através da 
linguagem natural, através da linguagem aritmética, através da linguagem geométrica ou através da criação 
de uma linguagem específica para esse fim, isto é, através de uma linguagem algébrica, de natureza 
estritamente simbólica (FIORENTINI, MIGUEL E MIORIM, 1993, p. 88). 
Como na construção da álgebra, o pensamento algébrico estava presente em todos os momentos. Fiorentini, Fernandes e 
Cristóvão (2006) defendem que antes mesmo da existência de uma linguagem simbólica, o pensamento algébrico pode ser de- 
senvolvido gradativamente. Eles apontam alguns aspectos a serem desenvolvidos, os quais denominam como caracterizadores do 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
pensamento algébrico: 
Estabelecer relações/comparações entre expressõesnuméricas ou padrões geométricos; 
Perceber e tentar expressar as estruturas aritméticas de uma situação problema; 
Produzir mais de um modelo aritmético para uma mesma situação problema; 
Produzir vários significados para uma expressão numérica; 
Interpretar uma igualdade como equivalência entre duas grandezas ou entre duas expressões numéricas; 
Transformar uma expressão aritmética em outra mais simples; 
Desenvolver algum processo de generalização; 
Perceber e tentar expressar regularidades ou invariâncias; 
Desenvolver/criar uma linguagem mais concisa ou sincopada ao expressar-se matematicamente. 
Os PCNs (1998), e Fiorentini, Miguel e Miorim (1993) acreditam que seria adequado introduzir o desenvolvimento do pensamento 
algébrico por meio de atividades que certifique o exercício dos aspectos caracterizadores desse pensamento. 
A sugestão dos PCNs do Ensino Fundamental em relação à educação algébrica é: 
Os adolescentes desenvolvem de forma bastante significativa a habilidade de pensar “abstratamente”, se 
lhes forem proporcionadas experiências variadas envolvendo noções algébricas, a partir dos ciclos iniciais 
de modo informal, em um trabalho articulado com aritmética. Assim, os alunos adquirem base para uma 
aprendizagem de Álgebra mais sólida e rica em significados (BRASIL, 1997, p. 117). 
Assim, não há como continuarmos com o que percebemos na educação algébrica, ou seja, o trabalho listado apenas no 
transformismo algébrico. Hanke (2008) diz, se o objetivo, além de construir uma linguagem simbólica é desenvolver o pensamento 
algébrico, a educação algébrica não pode mais se deter a um único caminho: expressões – equações – problemas. Se faz necessário 
encontrar uma nova proposta de educação algébrica, que vai além das manipulações, que se preocupe com questões sobre o 
desenvolvimento do pensamento algébrico e com a construção do simbolismo como uma linguagem que expressa uma 
generalidade. 
Para Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), um trabalho reflexivo faz-se necessário para a construção de uma linguagem que seja 
significativa para o estudante. Dividida em três etapas, onde a primeira é a análise de situações concretas com o objetivo de se 
chegar a uma expressão simbólica. Na segunda percorre-se o caminho inverso, e apenas na terceira a ênfase é o transformismo 
algébrico. Para os autores: 
É esse trabalho reflexivo e analítico sobre situações problema de naturezas diversas, isto é, sobre o modo 
como conduzimos e expressamos o nosso pensamento visando a à resolução de tais situações, que 
possibilitará a construção de uma linguagem simbólica que seja significativa para o estudante (FIORENTINI, 
MIGUEL E MIORIM, 1993, p. 90). 
Eles ainda afirmam que esses trabalhos devem se iniciar nas séries iniciais do Ensino Fundamental, contrapondo a ideia de que o 
aluno deve primeiro dominar o conteú- do de Aritmética e depois aprender a Álgebra. 
Para Lins & Gimenez (1997) a ideia do ensino da álgebra ser precedido pela Aritmética é infundada e prejudicial, segundo eles, “é 
preciso começar mais cedo o trabalho com Álgebra, de modo que ela e a Aritmética desenvolvam-se juntas, uma envolvida no 
desenvolvimento da outra”. Ainda para eles: 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
O que precisamos fazer é entender de que modo a Álgebra e a aritmética se ligam, o que elas têm em 
comum. Feito isso, teremos encontrado uma ver- dadeira raiz, o que nos permitirá repensar a educação 
aritmética e algébrica de forma única (LINS & GIMENEZ, 1997, p. 113). 
Muitas pesquisas defendem que a Educação Algébrica deve promover o desenvolvimento do pensamento algébrico desde as 
séries iniciais, e ir construindo gradativamente a linguagem algébrica e, a partir daí, proporcionar a compreensão e o domínio dos 
transformismos algébricos. 
Os PCNs com o intuito de alcançar tais objetivos, destacam a importância de se desenvolver atividades que levem o aluno a: 
Reconhecer que representações algébricas permitem generalizações sobre propriedades das operações aritméticas, traduzir 
situações problemas e favorecer as possíveis soluções; 
Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando regularidades e 
identificar os significados das letras; 
Utilizar os conhecimentos sobre as operações numéricas e suas propriedades para construir estratégias de cálculo algébrico 
(BRASIL, 1998, p. 64). 
E ainda: 
Produzir e interpretar diferentes escritas algébricas – expressões, igualdades e desigualdades – identificando as equações, 
inequações e sistemas; 
Resolver situações-problema por meio de equações e inequações do primeiro grau, compreendendo os procedimentos 
envolvidos; 
Observar regularidades e estabelecer leis matemáticas que expressem a relação de dependência entre variáveis (BRASIL, 
1998, p. 81). 
Os PCNs também enfatizam a importância de proporcionar ao aluno atividades que desenvolvam sua capacidade de questionar, 
observar, analisar, argumentar, ou seja, o aluno deve ser uma pessoa ativa no seu processo e ensino-aprendizagem. Para isso, os 
PCNs (1998, p.38) afirmam que é preciso mudar o papel do professor: o papel do professor ganha novas dimensões quando se 
considera o aluno como protagonista da construção de sua aprendizagem. Uma característica desse papel é de organizador da 
aprendizagem; para desempenhá-la além de conhecer as con- dições socioculturais, expectativas e competência cognitiva dos 
alunos, precisará escolher os problemas que possibilitem a construção de conceitos e procedimentos e alimentar os processos de 
resolução que surgirem, sempre tendo em vista os objetivos a que se propõe atingir. 
Qual a sua opinião sobre as mudanças no papel do professor? As escolas dão suporte necessário para que o 
professor realizar ações/atividades em sala de aula? 
Os PCNs do Ensino Fundamental (1998) destacam que o aluno deve estar necessariamente engajado em atividades que 
interrelacionem as diferentes concepções da álgebra, para garantir o desenvolvimento do pensamento algébrico. 
Segundo Araujo (2008) o material mais utilizado pelos professores para acompanhar as solicitações das mudanças são os livros 
didáticos; porém, a maioria deles são escritos para serem usados pelos alunos, assim acabam dando pouco suporte ao trabalho dos 
professores. A autora ainda diz que houve um processo de simplificação nos livros didáticos, que resultou por dificultar o ensino da 
álgebra. Como já dito, dão privilégio a técnica de cálculo com letras que, na maioria das vezes são des- providos de significado. 
Para amenizar esses problemas, é necessário que uma nova postura metodológica se instale na escola, porém os hábitos muito 
consolidados dificultam essa missão. Araujo (2008) acredita na importância de um apoio científico e educacional das universidades 
para que ocorram mudanças. Segundo a autora (2008, p. 342), “o ensino da álgebra nas escolas de ensino básico, deve ser uma das 
preocupações dos cursos de licenciatura em Matemática na busca de uma melhor formação aos professores”. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
O Parecer CNE/CES n° 1302/2001, que define as diretrizes para os Cursos de Matemática, no item 4.2 Licenciatura, recomenda 
que o conteúdo de Fundamentos de Álgebra seja comum em todas as licenciaturas. Afirmam ainda que a parte comum devem 
incluir: 1) conteúdos matemáticos presentes na educação básica nas áreas de álgebra, geometria e análise; 2) conteúdos de áreas 
afins à Matemática, que são fontes originadoras de problemas e campos de aplicação de suas teorias; 3) conteúdos de Ciência da 
Educação, da História e Filosofia das Ciências e da Matemática. 
Como sabemos a ênfase curricular tem recaído sobre a álgebra das estruturas, não havendo orientações específicas quanto ao 
processo de ensino e de aprendizagem da álgebra para os segmentos da educação básica.Segundo os pesquisadores Fiorentini, Miguel e Miorim (1998), Fiorentini, Fernandes e Cristovão (2006), a construção do 
pensamento algébrico se dá de forma gradativa e alguns processos cognitivos envolvidos na aprendizagem da álgebra escolar 
encontram suas raízes no desenvolvimento histórico da álgebra como um sistema simbólico. 
Para Araujo (2008) o entendimento do desenvolvimento histórico da álgebra poderia auxiliar os professores a buscarem na prática 
docente o desenvolvimento de atividades que promovessem o progresso do pensamento algébrico. A autora diz: 
“Por exemplo, o entendimento dos três estágios que ocorrem no desenvolvimento da álgebra, a saber, o 
retórico , o sincopado e o simbólico , pode ser um elemento básico para o professor auxiliar a construção do 
pensamento algébrico do aprendiz desde os primeiros anos da escolaridade, a partir da compreensão dos 
processos individuais de manifestação desse pensamento. Dessa forma, poderá ocorrer uma aprendizagem 
da álgebra de forma mais significativa” (ARAUJO, 2008, p. 344). 
Os PCNs enfatizam sobre a formação inicial e continuada dos professores, que esses programas seriam mais eficientes se 
conduzidos em função das necessidades identificadas na pratica docente. Para muitos alunos a álgebra ainda não tem significado, 
eles ainda se preocupam em gerar métodos para memorizar dados e aplicar fórmulas que logo esquecerão, sem que cheguem a 
desenvolver o pensamento algébrico. Araujo (2008) acredita que para minimizarmos as dificuldades apresentadas aqui, seria 
necessário buscar conscientizar os professores de matemática e os cursos de formação docente de matemática. 
PADRÕES DO DESENVOLVIMENTO 
ALGÉBRICO 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Nos dias de hoje, desde os tempos mais antigos, o homem sempre foi instigado à procura de regularidades. A própria história da 
Física, da Geografia, da Matemática, etc, nos remete a uma busca constante de um padrão para explicação de determi- nados 
fenômenos proporcionando a evolução de algum aspecto da ciência. 
Devlin (2002) diz que podemos encontrar padrões tanto no mundo físico como no mundo das ideias. Ele diz que esses padrões 
podem ser reais ou imaginários, visuais ou mentais, qualitativos ou quantitativos, estáticos ou dinâmicos, puramente utilitários ou 
assumindo um interesse pouco mais que recreativo. 
Os PCNs (1998) apontam que uma das ferramentas usada para desenvolver o pensamento algébrico pode ser a observação e 
generalização de padrões de regularidades. 
A proposta de ensino e aprendizagem apresentada pelos PCNs (1998) tem sido de uma busca constante para uma significação a 
todos os conteúdos abordados. A utilização do padrão na construção do pensamento algébrico, além de dar significado à 
simbologia e às abstrações algébricas, possibilita o exercício dos elementos caracterizadores do pensamento algébrico. 
Vale et al . (2007) diz: 
Quando apelamos aos padrões no ensino da matemática é normalmente porque queremos ajudar os alunos 
a aprender uma matemática significativa e/oi a envolver-se na sua aprendizagem facultando-lhes um 
ambiente de aprendizagem que tenha algo a ver com a sua realidade e experiências. O estudo de padrões 
vai de encontro a este aspecto, apoiando a aprendizagem dos estudantes para descobrirem relações, 
encontrarem conexões, fazerem generalizações e também previsões (VALE et al., 2007, p. 5) 
Segundo Devlin (2002), considerar a Matemática como a “ciência dos padrões” não será vista como uma má descrição. O autor até 
dá ao seu livro o nome de “Matemática: a ciência dos padrões”, devido a importância que a matemática dá à procura de 
regularidades. 
Mas qual o significado para a palavra padrão? Na literatura, não encontramos uma definição precisa padrão. Vale et al. diz: 
Quando nos confrontamos com o termo padrão, pensamos, de imediato, em padrões visuais tais como os 
que se veem nos tecidos, papel de parede e peças de arte, Mas o conceito de padrão não se esgota apenas 
nestes exemplos. Mas genericamente, padrão é usado quando nos referimos a uma disposição ou arranjo de 
números, formas, cores ou sons onde se detectam regularidades (VALE et al., 2007, p. 1). 
Vários tipos de padrões de forma e de figuras podem ser visualizados pelos nossos olhos, como por exemplo em uma estrela do 
mar, podemos encontrar padrões geo- métricos (Figura 2). 
Figura 2: Estrela do mar 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Também encontramos padrões em uma colmeia (Figura 3). 
Figura 3: Colmeia 
A partir de uma padrão, a arte dos crochês, tricôs e bordados dão origem a tapetes, adereços, roupas, etc. (Figura 4). 
Figura 4: Tapete de crochê 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
Dentro da matemática, podemos encontrar várias estruturas de padrões que, de acordo com suas características e 
particularidades, podem ser categorizadas em numéricos, visuais, geométricos, figurativo-numérico, geométrico-numéricos, etc. 
Hanke (2008) diz que vários fenômenos, naturais ou não, explicam-se por meio de padrões matemáticos. Como por exemplo, na 
disposição de pétalas na flor de lírio, na flor de girassol, das folhas de algumas plantas. Nas asas de borboletas ou nas plumas de um 
pavão, podem-se identificar padrões geométricos. 
Vale et al. (2007, p. 6) diz que quando consideramos a Matemática como a ciência dos padrões, estamos fazendo uma descrição, 
não só porque os padrões estão presentes na nossa vida e na própria matemática sob várias formas, mas também porque 
acreditamos “construir um tema unificador”. 
Para Hanke (2008) conduzir o ensino da Matemática a partir de experiências com padrões é uma tentativa de torna-los mais 
significativo, de fazer o educando vivenciar o processo de construção da Matemática dando privilégio ao desenvolvimento do 
pensamento algébrico e a criação de uma linguagem simbólica. 
Assim, os conceitos de álgebra podem ser desenvolvidos desde a educação infantil. Inicialmente, levando a criança a descrever 
algum tipo de regularidade, indicar qual o próximo termo de uma determinada sequência, sem nenhuma preocupação. 
Pesquisadores dizem que as sequências de padrões geométricos podem proporcionar ao aluno a introdução 
ao pensamento algébrico. Eles acre- ditam que a introdução do pensamento algébrico pode ser atingida se a 
sequência de ensino: 
Engajar o aluno em atividades que inter-relacionem diferentes aspectos da álgebra, como resolução de 
problemas e não só para encontrar o valor numérico de uma expressão algébrica o atividades 
meramente mecânicas; 
Propuser situações em que o aluno possa investigar padrões, tanto em sucessões numéricas como em 
representações geométricas, identificando suas estruturas para que possa descrevê-los simbolicamente; 
Propuser situações que levem o aluno a construir noções algébricas pela observação de regularidades, e 
não somente manipulações mecânicas de expressões algébricas. 
Fonte: Modanez (2003). 
As várias orientações para o processo do ensino aprendizagem da Álgebra indicam para o importância do desenvolvimento do 
pensamento algébrico. Os alunos pensam algebricamente e já desenvolvem estratégias pessoais de pensamento, antes mesmo de 
estabelecerem contato com os tópicos formais de domínio da álgebra. Portanto, é função do professor, utilizar metodologias de 
ensino que, partindo dessas estratégias informais do aluno, proporcionar o desenvolvimento do pensamento algébrico com o 
intuito de, gradativamente, alcançar de maneira significativa o formalismo algébrico. 
Modanez (2003) defende que umas das abordagens para dominar as dificuldades apresentadas pelos alunos dos Ensinos 
Fundamentais e Médios na manipulação das expressões algébricas e nas resoluções de equações são as atividades de 
generalização de padrões, estabelecendo um meio eficaz para que o alunoconstrua uma linguagem simbólica significativa. 
Hanke (2008) diz que um trabalho relacionado com atividades que exploram padrões de regularidades podem, além de 
proporcionar o desenvolvimento dos ele- mentos caracterizadores do pensamento algébrico, contemplar todas as concepções 
algébricas, tornando-se adequado para todos os níveis de Educação Básica, desde que devidamente adaptado ao nível de cognição 
do aluno que vai desenvolver a atividade. 
Vale et al. (2007) conclui que a ligação dos padrões à álgebra, é um privilégio, pois permite que a descoberta assuma um papel 
fundamental na aprendizagem, permite pensar num estudo da álgebra desde a pré escola, e ainda diz que a abordagem da álgebra 
através de padrões irá permitir uma maior motivação dos alunos, retirando o negativismo que tem estado associado ao estudo da 
álgebra. Os padrões podem ser um ótimo veículo para uma abordagem poderosa à álgebra, sobretudo nos primeiros níveis, como 
suporte do pensamento pré-algébrico. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/atividades
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/unidade-1
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/atividades
Página inicial 
ATIVIDADES 
1. Uma questão central da teoria das equações é a se saber quantas soluções se pode ter em uma equação de grau n. De acordo 
com nossos estudos é correto afirmar que: 
a) Esse problema foi denominado Teorema Fundamental das Equações. 
b) O primeiro matemático a afirmar que uma equação de grau n tem sempre n soluções foi Albert Girard. 
c) A demonstração considerada de modo satisfatório foi feita por Euler. 
d) A demonstração considerada de modo satisfatório foi feita por Gauss e Lagrange. 
e) O matemático Argand foi o primeiro a afirmar que uma equação de grau n tem n soluções. 
2. No final da década de 70 o Movimento da Matemática Moderna entrou em declive no mundo todo. De acordo com nosso estudo 
é correto afirmar que: 
I) A álgebra pós Matemática Moderna retomou seu papel anteriormente ocupado, ou seja, um estudo com a finalidade de 
resolver problemas e equações. 
II) Somente a partir da década de 90 que sugiram uma nova forma de pensar a educação algébrica, onde o foco passa a ser a 
proposta de experiências que desenvolvam o pensamento algébrico. 
III) A álgebra pós Matemática Moderna conseguiu sair da crise, e o foco foi dar ao aluno a capacidade de aplicar as formas 
estruturais de pensamento aos mais variados domínios. 
IV) A álgebra presente nos livros didáticos dessa época apresentavam: técnica/prática. 
Assinale a alternativa que apresenta as afirmativas corretas: 
a) Somente as afirmativas I, II e III estão corretas. 
b) Somente as afirmativas I e IV estão corretas. 
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas. 
d) Somente as afirmativas I II e IV estão corretas 
e) Somente as afirmativas I III e IV estão corretas. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
3. Vários fenômenos naturais ou não, explicam-se por meio de padrões matemáticos. De acordo com nossos estudos coloca V para 
verdadeiro e F para Falso. 
( ) Padrões podem ser encontrados na disposição de pétalas na flor de lírio, na flor de girassol, das folhas de algumas plantas. 
( ) Nas asas de uma borboleta e nas plumas de um pavão podem ser encontrados padrões geométricos. 
( ) Pesquisadores consideram a Geometria como “Ciência dos Padrões”. 
( ) Experiências com padrões tem o objetivo de tornar o ensino da álgebra mais significativa. 
A sequência correta para a resposta da questão é: 
a) V, F, V, F. 
b) F, V, F, V. 
c) V, V, V, F. 
d) V, F, V, V 
e) V, V, F, V. 
Resolução das atividades 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/atividades
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/resumo
Página inicial 
RESUMO 
No presente estudo apresentamos brevemente os aspectos mais marcantes do desenvolvimento histórico da álgebra, desde os 
anos 2000 a.C., como surgiu o nome álgebra, até os dias atuais. 
Apresentamos também o desenvolvimento da álgebra no Brasil, afim de compreendermos as dificuldades presentes até os dias 
atuais. 
Vimos um pouco sobre a trajetória do desenvolvimento do pensamento algébrico para um melhor entendimento dos problemas 
vividos hoje em nossas escolas no processo ensino aprendizagem da álgebra. 
Estudamos os benefícios da introdução através da exploração dos padrões de regularidades no desenvolvimento do pensamento 
algébrico, na capacidade de generalização e a compreensão da linguagem algébrica, tornando o estudo da álgebra mais 
significativa para os alunos. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/resumo
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/eu-indico
Página inicial 
Material Complementar 
Leitura 
A matemática do amor: padrões e provas na busca da equação 
definitiva. 
Autor: Hannah Fry 
Editora: Alaude 
Sinopse: Em A matemática do amor, a doutora Hannah Fry conduz o 
leitor por uma fascinante jornada entre padrões que regem a vida 
amorosa e prova – com sabedoria e bom humor – que a matemática é 
uma poderosa ferramenta para desvendar os complicados, irritantes, 
enigmáticos e intrigantes padrões do amor. Este é o terceiro volume da 
coleção TED Books, com livros breves o bastante para serem lidos de uma 
só vez, mas longos o suficiente para aprofundar um assunto. Perfeitos 
para quem tem uma mente curiosa e vontade de aprender cada vez mais. 
Filme 
Ágora, mas no Brasil foi traduzido por Alexandria 
Ano: 2009 
Sinopse: O filme relata a história de Hipátia (Rachel Weisz), filósofa e 
professora em Alexandria, no Egito entre os anos 355 e 415 da nossa era. 
Única personagem feminina do filme, Hipátia ensina filosofia, matemática 
e astronomia na Escola de Alexandria, junto à Biblioteca. Resultante de 
uma cultura iniciada com Alexandre Magno, passando depois pela 
dominação romana, Alexandria é agitada por ideais religiosos diversos: o 
cristianismo, que passou de re- ligião intolerada para religião intolerante, 
convive com o judaísmo e a cultura greco-romana. Hipátia tem entre seus 
alunos Orestes, que a ama, sem ser correspondido, e Sinésius, adepto do 
cristianismo. Seu escravo Davus também a ama, secretamente. Hipátia 
não deseja casar-se, mas se dedica unicamente ao estudo, à filosofia, 
matemática, astronomia, e sua principal preocupação, no relato do filme, 
é com o movimento da terra em torno do sol. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/eu-indico
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/refer%C3%AAncias
Página inicial 
REFERÊNCIAS 
ARAUJO, E. A. Ensino de álgebra e formação de professores. Educ. Mat. Pesqui. São Paulo, v.10, n.2, p.331-346, 2008. 
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática, v.3. Brasília, MEC/SEF, 1997. 
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasília: MEC/ SEF, 1998. 
CARAÇA, B. de J. Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa, Sá da Costa, 1984. 
DEVLIN, K. Matemática: a ciência dos padrões. Porto. Editora Porto, 2002. 
EVES, H. Introdução a Históriada Matemática. Campinas, SP. Editora Unicamp, 1997. 
FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P. e CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das potencialidades pedagógicas das investigações 
matemáticas no desenvolvimento do pensamento algébrico. São Paulo, 22fl. Faculdade de Educação. Unicamp, 2006. 
FIORENTINI, D.; MIGUEL, A. e MIORIM, M. A. Contribuição para um repensar... a Educação Algébrica elementar. Pro-Posições, v. 
4, n.1 (10), p. 78-91, 1993. 
HANKE, T. A. F. PADRÕES DE REGULARIDADES: Uma abordagem no desenvolvimento do pensamento algébrico. Dissertação de 
Mestrado. PUC, Minas Gerais, 2008. 
LINS, R. C. e GIMENEZ, J. Perspectivas em Aritmética e Álgebra para o século XXI. Campinas, SP, Papirus. 1997. 
MIGUEL, A.; FIORENTINI, D. E MIORIM M. A. Álgebra ou Geometria: para onde Pende o Pêndulo? Pro-Posições, v.3 n.1 (7) p.39- 
54, 1992. 
MODANEZ, L. Das Sequencias de Padrões Geométricos à Introdução ao Pensamento Algébrico. Dissertação de Mestrado. PUC- 
SP, 2003. 
MOL, R. S. Introdução à História da Matemática. Belo Horizonte, MG. Editora CAED-UFMG, 2013. 
PONTE, J. P.; BRANCO, N. e MATOS, A. Álgebra no Ensino Básico. DGIDC, 2009. 
SOSTISSO, A. F. Considerações iniciais de uma professora em formação sobre o ensino de álgebra. Revista da Graduação, v.4, n.2, 
2011. Disponível em < http://revistaseletronicas.pucrs.br/ojs/index.php/graduacao/article/view/10090/7120 >. Acesso em: 22 out 
2020. 
TRAJANO, A. Álgebra Elementar. 22 ed. Rio de Janeiro, Livraria Francisco Alves, 1947. 
VALATI, J. S. e PACHECO, E. R. Usando a história da matemática no ensino da álgebra. Disponível em: 
< http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/702-4.pdf >.Acesso em: 22 out 2020. 
VALE, I.; PALHARES, P.; CABRITA, I. e BORRALHO, A. Os padrões no Ensino e Aprendizagem Álgebra. 2007. Disponível em: 
< https://dspace.uevora.pt/rdpc/bitstream/10174/1416/1/Padr%C3%B5es%20Caminha.pdf > . Acesso em: 22 out 2020. 
WIKIPEDIA. Rhind Mathematical Papyrus. Domínio Público. Disponível em: 
< https://en.wikipedia.org/wiki/Rhind_Mathematical_Papyrus#/media/File:Rhind_Mathematical_Papyrus.jpg >. Acesso em: 22 out 
2020. 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/refer�ncias
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Frevistaseletronicas.pucrs.br%2Fojs%2Findex.php%2Fgraduacao%2Farticle%2Fview%2F10090%2F7120&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFwAb_igIt9tA9GK9uqg8BvAIZgNg
http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.diaadiaeducacao.pr.gov.br%2Fportals%2Fpde%2Farquivos%2F702-4.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNE_AbLSuwbAtzZKnx81RJi5uTyBcQ
https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fdspace.uevora.pt%2Frdpc%2Fbitstream%2F10174%2F1416%2F1%2FPadr%25C3%25B5es%2520Caminha.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNECdKHrR_Ttche-NY3NK32HYyooow
https://www.google.com/url?q=https%3A%2F%2Fen.wikipedia.org%2Fwiki%2FRhind_Mathematical_Papyrus%23%2Fmedia%2FFile%3ARhind_Mathematical_Papyrus.jpg&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNHD6K5wSLKOdRwg9Ufrs-SCXBwm0g
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/aprofundando
Página inicial 
APROFUNDANDO 
No ensino da álgebra um aspecto relevante é a estrita relação entre o raciocínio matemático e a linguagem algébrica. A linguagem 
dos símbolos é considerada um instrumento fundamental para o ensino da matemática. 
Porém é nítido a dificuldade que muitos alunos apresentam em relação à atribuições de significado às variáveis, aos processos de 
resolução algébrica de equações, e manipulação de estruturas algébricas. 
As seguintes investigações descritas abordam pedagogicamente informações históricas quanto a certos conceitos algébricos. 
A primeira atividade foi denominada “Uma introdução à História da Álgebra”, elaborada a partir de estudos bibliográficos de obras 
que tratam da História da Matemática, desenvolvidas junto a duas classes do 1° ano do Ensino Médio de uma escola pública. 
Algumas semanas antes de iniciar as tarefas, os alunos foram submetidos a uma investigação acerca do que entendiam por álgebra 
e qual o conhecimento sobre a história da mesma: 
71% das respostas obtidas faziam relação entre álgebra e “calculo com letras”. Como nos comentários a seguir: 
“Álgebra são conteúdos que envolvem em seus cálculos, além de números as letras x, y, a, b e assim por diante”. “Cálculos usados no 
cotidiano, aqueles que ajudam a descobrir valores desconhecidos, usam incógnitas, muito úteis”. 
Os 29% restantes disseram não lembrar, não saber o que é álgebra ou destacaram que é uma parte da matemática. 
“É uma matéria dentro da matemática” 
“Álgebra é uma matemática muito complexa e difícil”. 
“Acho que é alguma coisa relacionada com matemática. Mas não sei explicar”. 
100% dos alunos disseram não conhecer a História da Álgebra, mas muitos enfatizaram que tinham curiosidades em saber 
como foi o desenvolvimento da álgebra. 
Na primeira parte, foram apresentados informações referentes à origem do termo “álgebra” e os estágios de desenvolvimento da 
linguagem algébrica (retórico, sincopado e simbólico). 
Na segunda parte a professora fez um relato sobre a álgebra babilônica, destacando os procedimentos utilizados para a resolução 
de problemas típicos encontrados em tabletas de argila (1700 a.C). Os métodos de resolução foram expostos no estilo retórico que 
consistem em descrições verbais de um processo. Foram propostas atividades que pressupõem o uso dos processos verbais para a 
obtenção da solução, com vista à compreensão do raciocínio matemático envolvido, objetivando a generalização do procedimento 
utilizado por meio da álgebra simbólica. 
Foi observado que os alunos não tiveram muita dificuldade em seguir os passos descritos nos métodos babilônicos, mas sim em 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
generalizar os procedimentos da resolução na linguagem simbólica atual. 
Na terceira parte foi apresentado um histórico das primeiras utilizações sistemáticas de símbolos algébricos, o período da álgebra 
sincopada. Nessa fase de desenvolvimento algébrico os sinais (símbolos) eram abreviações de palavras. Alguns exemplos de 
antigos manuscritos e suas interpretações na simbologia atual foram expostos aos alunos. Foi realizado por percurso por fases de 
aprimoramento da álgebra sincopada em direção à álgebra simbólica, apresentando diversas representações de equações desde o 
século XV até o século XVII. No século XVII as notações simbólicas tornaram-se estáveis, decorrente da linguagem algébrica, 
inúmeros campos da matemática puderam evoluir. Após passado todas essas informações, foi solicitado aos alunos que 
resolvessem um problema presente na obra “Arithmetica” de Diofanto, e que fossem expostos sua solução na forma genérica. 
Esse problema trata de obter dois números conhecendo a soma e sua diferença entre eles. 
Nesse problema, tivemos um resultado surpreendente, 90% dos alunos apresentaram a solução correta e, utilizando-se da notação 
simbólica atual, foi demonstrado a solução genérica: 
Dados os números A=14, B=10, C=6 e D=4. Seja A a soma dos dois números e C a diferença, então 
Muitos alunos chegaram a generalização utilizando valores numéricos, mas alguns não fizeram uso dos números para obter a 
solução genérica e apresentaram na forma simbólica, como: 
x + y = z 
x - y = w 
E uma última parte da atividade, constituiu em um trabalho de pesquisa e a apresentação dos resultados à turma. Os alunos foram 
divididos em grupos, e cada grupo ficou responsável pelo estudo da história da matemática em diferentes civilizações. Foram 
pesquisados aspectos históricos, culturais, produções matemáticas, registros ou publicações, biografias e 2 problemas 
matemáticos cujas soluções puderamser expostas pelo métodos históricos ou pela álgebra simbólica. 
Alguns grupos elaboraram cartazes, outros slides. Foi observado que a maioria dos problemas matemáticos históricos expostos, 
foram solucionados utilizando-se linguagem simbólica atual. A exploração das situações problema despertou a curiosidade dos 
grupos de alunos na busca de soluções e, em consequência disso, surgiu uma possibilidade para o desenvolvimento do pensamento 
algébrico. 
Fonte: elaborado pela autora 
PARABÉNS! 
Você aprofundou ainda mais seus estudos! 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/aprofundando
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial/editorial
Página inicial 
EDITORIAL 
DIREÇÃO UNICESUMAR 
Reitor Wilson de Matos Silva 
Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor Executivo de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi 
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; TAMURA , Camila Hiromi. 
Tópicos Especiais em Álgebra . Camila Hiromi Tamura. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
36 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Álgebra. 2. Matemática. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar 
Diretoria de Design Educacional 
Equipe Produção de Materiais 
Fotos : Shutterstock 
NEAD - Núcleo de Educação a Distância 
Av. Guedner, 1610, Bloco 4 - Jardim Aclimação - Cep 87050-900 
Maringá - Paraná | unicesumar.edu.br | 0800 600 6360 
Retornar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p�gina-inicial/editorial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea1/p%C3%A1gina-inicial
Página inicial 
ESTUDO DAS 
CONCEPÇÕES 
ALGÉBRICAS 
Professora : Me. Camila Hiromi Tamura 
Objetivos de aprendizagem 
Apresentar o estudo das concepções algébricas. 
Analisar a presença das concepções algébricas nos livros didáticos. 
Analisar as concepções dos alunos em formação em relação a álgebra. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
Concepções da Álgebra 
Concepções da Álgebra nos Livros Didáticos 
Álgebra e Educação Algébrica: concepções de alunos em formação 
Introdução 
Na história, o desenvolvimento da notação algébrica aconteceu em três estágios: o retórico, onde os procedimentos era 
apresentados por texto, sem qualquer símbolo, o sincopado, onde são adotadas algumas abreviações, especialmente para 
representar incógnitas e por último o simbólico onde as escritas foram substituídos por símbolos e as letras representam 
incógnitas e variáveis. 
Em muitas pesquisas realizadas em Educação Matemática encontramos evidencias das dificuldades relacionadas ao ensino e 
aprendizagem da álgebra. São analisados os obstáculos na compreensão de noções fundamentais ligadas as diversas concepções 
no estudo da álgebra. 
Com a intenção de contribuir para o ensino e aprendizagem da álgebra, estudaremos agora as diferentes concepções da álgebra, 
que correspondem a importância dada aos diversos usos das variáveis. 
O foco é o ensino da álgebra de forma significativa, e para que ocorram mudanças necessárias no ensino da álgebra, é necessário se 
atentar além dos aspectos formais, a construção do pensamento algébrico. 
Para Usiskin (1995) uma ferramenta eficaz para esse trabalho deve estar marcados em atividades que considerem as quatros 
concepções da Álgebra: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como estudo de procedimen tos para se resolver certos 
tipos de problemas, Álgebra como estudo de relação entre grandezas e a Álgebra como estudo de suas estruturas. 
Para os professores e pesquisadores, conhecer as concepções presentes nos livros didáticos é fundamental, pois a organização do 
ensino tem esse recurso como um elemento importante para o ensino-aprendizagem nesse nível de ensino. Conhecendo essas 
concepções, o professor utiliza o livro como ferra- menta, porém utilizando de forma mais autônoma, criativa, complementando os 
aspectos que não aparecem ou que são pouco evidenciados. 
Avançar 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial/unidade-2
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial
https://getfireshot.com
Página inicial 
CONCEPÇÕES DA ÁLGEBRA 
As concepções de álgebra, segundo Fiorentini, Miorim e Miguel (1993), considerando-se o seu desenvolvimento histórico e a 
relação entre o pensamento e a linguagem são denominas: a processológica, a linguístico-estilística, a linguístico-sintático- 
semântico e a linguístico-postulacional. Na Tabela 1 apresentamos a caracterização de casa uma delas. 
Tabela 1: Concepções de Álgebra segundo Fiorentini, Miorim e Miguel 
Fonte: Silva et al. (2015, p. 131). 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p%C3%A1gina-inicial
Agora em relação à educação algébrica, os autores fazem a categorização conforme apresentado na Tabela 2. 
Tabela 2: Concepções de Educação Algébrica segundo Fiorentini, Miorim e Miguel 
Fonte: Silva et al. (2015, p. 132). 
Segundo os autores, o aspecto negativo comum às três primeiras concepções, é a redução do pensamento algébrico à linguagem 
algébrica. Há uma ênfase na linguagem simbólica para a qual os alunos não percebam a necessidade, ou seja, a utilização de 
símbolos desprovidos de significados. E podemos afirmar que o pensamento algébrico e a linguagem algébrica não podem ser 
dissociados. 
Para que ocorram mudanças necessárias no ensino da álgebra, é necessário se atentar além dos aspectos formais, a construção do 
pensamento algébrico. 
Para Usiskin (1995) uma ferramenta eficaz para esse trabalho deve estar marcados em atividades que considerem as quatros 
concepções da Álgebra: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como estudo de procedimentos para se resolver certos 
tipos de problemas, Álgebra como estudo de relação entre grandezas e a Álgebra como estudo de suas estruturas. Ainda para 
Usiskin (1995, p.12), “as variáveis comportam muitas definições, conotações e símbolos. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Tentar enquadrar a ideia de variável numa única concepção implica uma super- simplificação que, por sua vez, distorce os objetos 
da Álgebra”. Ou seja, para o autor quando a variável é enquadrada sobre uma única concepção, os alunos continuam com aquela 
visão distorcida de que variáveis são letras que representam números. 
De acordo com a caracterização do pensamento algébrico, acredita-se que seja necessário que o aluno esteja engajado em 
atividades que comtemplem as quatros concepções da Álgebra para assegurar o desenvolvimento do mesmo. 
Para Usiskin: 
... as concepções que temos da Álgebra e a utilização de variáveis estão intrinsecamente relacionadas. As 
finalidades da Álgebra são determinadas por, ou relacionam-se com concepções diferentes da Álgebra , que 
correspondem à diferente importância relativa dada aos diversos usos das variáveis (USISKIN, 1995, p. 12- 
13) (negritos do autor). 
Como dito anteriormente, Usiskin (1995, p. 13) categoriza essas relações como: “Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra 
como resolução de equações, Álgebracomo estudo das estruturas e Álgebra como estudo das relações entre grandezas”. 
Álgebra como Aritmética Generalizada 
Idealizar a Álgebra como uma aritmética generalizada constitui-se como ferramenta que pode dar um significado maior à ideia de 
variável. Segundo Fiorentini, Miguel e Miorim (1993), quando a Álgebra é trabalhada sob esse ponto de vista, podemos iniciar o 
processo de construção do pensamento algébrico sem esperar até o 3°ciclo. 
Desde os primeiros anos da educação básica, o educador pode explorar atividades algébricas, ainda que de forma intuitiva. 
Para Usiskin (1995) a Álgebra, introduzida como uma aritmética generalizada, proporciona ao aluno um trabalho menos doloroso e 
mais significativo. Inicialmente não deve haver preocupação por parte do educador com a formalização e o rigor matemático. As 
primeiras experiências devem ser apresentadas de forma intuitiva e exploradas de maneira bem natural. Um exemplo está no 
estudo das propriedades operatórias. Perguntando a uma classe sobre as operações: 
2x1 = ? 
3x1 = ? 
10x1 = ? 
100x1 =? 
E anotando os resultados, assim que surgir a expressão bx1 = ? o aluno responderá, naturalmente que o resultado é igual a“b”. 
Nesse instante, a atividade terá proporciona- do, ao mesmo tempo, um primeiro contato com as variáveis e uma experiência com a 
generalização de padrões, assim o aluno estará começando a pensar algebricamente. 
De acordo com Usiskin (1995), as atividades do tipo observar uma sequência e tentar completá-la, também são eficazes na 
abordagem dessa concepção. 
Como por exemplo: 
Observar a tabela abaixo e completar corretamente a sequência, substituindo o valor de b. Qual a expressão que exprima essa 
regularidade para um valor n qualquer? 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Para o desenvolvimento de atividades assim, o aluno deverá observar e descobrir qual a regra de formação da segunda coluna, ou 
seja, descobrir um padrão, e em seguida generalizar e resolver o problema. Ainda para o autor, atividades que envolvem padrões 
são as que mais contribuem para o desenvolvimento do processo de generalização. 
Na concepção da Álgebra como aritmética generalizada, as variáveis (letras) são consideradas como generalizadoras de modelos, e 
sua finalidade é apenas substituir os números. 
Álgebra como Estudo para Resolver certos Tipos de Problemas 
De acordo com Usiskin (1995), essa concepção talvez seja a que receba maior ênfase pelos professores autores de livros didáticos, 
porém se o devido cuidado não for tomado, e os livros forem pautados apenas em métodos, técnicas e regras em que o aluno 
decora e não encontra nenhum significado, perde a sua verdadeira finalidade. 
Para Hanke (2008) ao explorar atividades que abordem resoluções de equações, é muito importante toda atenção e cuidado para 
que não nos detenhamos apenas no desenvolvimento de métodos que, muitas vezes, são decorados e escondem dificuldades, 
constroem conceitos equivocados que podem comprometer todo o desenvolvimento do pensamento algébrico. 
Os Standarts (NCTM, 2000, p. 38) dizem: 
“se os alunos ocupam-se excessivamente na manipulação simbólica antes de desenvolverem uma base 
conceitual para seu trabalho, eles serão incapazes de fazer mais que manipulações mecânicas”. Ainda para o 
autor, é necessário principalmente a construção correta do conceito de equação, do significado de 
equivalência de equações, do significado do sinal de igualdade, e o verdadeiro significado da letra que nesse 
caso deixa de ser apenas algo que substitui um número e é considerada como incógnita. O objetivo central é 
determinar as variáveis que aqui são tratadas como termo desconhecido. No trabalho dessa concepção, 
temos uma ferramenta poderosa, que é a interpretação geométrica da equação de 1° grau e a construção do 
conceito de raiz ou solução como sendo a interseção dessa reta com o eixo “x”. 
Alguns conceitos que para nós professores são muito simples, pelos alunos podem ser vistos como “um bicho de sete cabeças” 
quando trabalhados sem significado. Em uma equação nem sempre o símbolo + significa uma adição a ser efetuada. Por exemplo, 
na equação 3x + 4 = 7, o símbolo + não quer dizer que devemos adicionar 4 a 3x. Diferentemente disso, a regra nos diz que 
devemos realizar operações inversas para determinarmos o valor de x. As regras de transposição, usando operações inversas, na 
maioria das vezes é assimilada pelo aluno como “muda de lado, muda de sinal”, onde começam aparecer os erros tais como: 
3x = 6 
x = 6 - 3 
x = 3 
O sinal do três é positivo, na transposição de membro fica negativo. Muitas vezes fatos como esse decorrem do uso de regras sem 
significado e do uso de técnicas matemáticas desvinculadas de contextos do dia-a-dia. 
Hanke (2008) diz que um outro fato que chama a atenção é o significado que muitos alunos dão ao sinal de igualdade. Eles 
acreditam que a igualdade deter- mina “fazer algo” e nunca enxergam esse sinal como uma noção de equilíbrio, de equivalência. 
Para Freitas (2002), pensar a Álgebra como um método para resolver equações, implica em realizar manipulações orientado pela 
sintaxe (regras) e também pela semântica (significado). Nesse ponto de vista, as regras sintáticas são usadas para manipular ou 
modificar a forma da estrutura algébrica, obtendo equações equivalentes, que proporcionem sua resolução. Devido ao processo 
exigir uma rotina de passos, ele pode levar a uma mecanização. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Álgebra como Estudo das estruturas 
Usiskin (1995) afirma que o estudo das estruturas nos cursos superiores envolve estruturas como grupos, anéis, domínios de 
integridade, corpos e espaços vetoriais. Porém, reconhecemos a álgebra como estudo das estruturas (manipulações algébricas) 
pelas propriedades que atribuímos às operações com números reais e polinômios. Para Hanke (2008) o trabalho com essa 
concepção exige um amadurecimento maior do aluno e uma construção significativa do pensamento pré-algébrico, pois aqui, as 
variáveis tornam-se um objeto arbitrário de uma estrutura determinada por certas propriedades. É necessário que os educandos 
tenham facilidade em manipular simbolismos algébricos para poder tratar abstratamente com técnicas adequadas. 
A maioria dos alunos tem as primeiras experiências com essa concepção no início do 4° ciclo do Ensino Fundamental. Aqui o 
objetivo não é obter um resultado para uma determinada expressão, mas sim manipular variáveis de uma forma diferente, usando 
propriedades tão abstratas quanto a expressão a ser manipulada. 
Hanke (2008) diz que usar técnicas ou regras sem sentido, sem significado, dificulta o trabalho, pois geralmente os alunos não 
veem objetivos em simplificar uma expressão, a menos que seja para determinar o valor da variável. A autora usa o exemplo: 
ao ser solicitado que simplifique a expressão: , o aluno não admite que a solução seja x – 3, e acaba 
questionando: é para resolver e determinar o valor de x? Episódios como estes demonstram a falta de 
significado que o aluno tem das estruturas algébricas, bem como a construção errônea de conceitos básicos 
como: a distinção entre equação e expressões algébricas. (Hanke,2008, p.59) 
A finalidade da abordagem de atividades baseadas nessa concepção é o entendi- mento de sistemas que realizam abstrações e 
proporcionar ao educando uma base para a compreensão de níveis mais abstratos e de formalização. 
Usiskin (1995) diz que é necessário uma abordagem de cálculo algébrico de maneira significativa e que estimule o educando a 
manipular estruturas, buscando uma motivação razoável para simplificar, fatorar ou desenvolver expressões. 
Álgebra como Estudo de Relações entre Grandezas 
Hanke (2008) diz que o desenvolvimento do pensamento algébrico, focado nessa concepção, é que dá significado e compreensão 
ao estudo de funções, no 4° ciclodo Ensino Fundamental. Nos primeiros anos dessa etapa, as atividades que estabelecem relações 
entre grandeza podem ser exploradas. Como por exemplo, se a cada quatro balas que uma criança ganha, ela precisa dar uma. Isso 
nos dá a possibilidade de construir um esquema, como mostrado a seguir: 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
As crianças ainda que nos primeiros anos do Ensino Fundamental, conseguem estabelecer uma relação entre os números de balas 
ganhadas e o número de balas dadas. 
Nessa concepção, as letras são tratadas como variáveis para expressar relações de dependência entre grandezas. 
Nas primeiras séries do Ensino Fundamental, bem antes do aluno ter noção de função, domínio, contradomínio, imagem, etc, o 
desenvolvimento de atividades uti- lizando sequências geométricas (triângulos, quadrados, hexágonos) usando palitos de fósforo, 
são um bom exemplo de relações entre grandezas, onde o objetivo não é a formalização desses conceitos, mas proporcionar ao 
aluno a construção de ideias, mesmo que de forma intuitiva, da relação entre grandezas. 
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio (PCNs+EM, 2002), a compreensão das relações funcionais é uma 
das competências a ser desenvolvida pelo aluno. Formular e indicar generalizações e representar relações são processos essências 
no desenvolvimento do pensamento matemático, que ajudam na compreensão da própria estrutura matemática, bem como 
ajudam na resolução de problemas do cotidiano. Segundo os PCNs+EM: 
... O estudo das funções permite ao aluno adquirir a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, 
necessárias para expressar a relação entre grandezas e modelar situações problema, construindo modelos 
descritivos de fenômenos e permitindo várias conexões dentro e fora da própria Matemática (BRASIL, 
2002, p. 121). 
Essa compreensão pode ocorrer de forma gradativa, começando pelo intuitivo até o formal, no desenrolar da escolarização, para 
que o educando encontre um signifi- cado naquilo que está estudando. 
Para Ponte (2007), levar o aluno a pensar matematicamente é o grande desafio parra o professor de matemática. Para isso, é 
necessário proporcionar a esse aluno, momentos de vislumbre matemático, onde ele possa analisar, observar, argumentar, 
identificar padrões, generalizar, comunicar, formalizar, etc, ou seja, que ele viva momentos de construção da matemática em sala 
de aula. Ainda para o autor, não basta disponibilizarmos uma lista de exercícios gigantescas e sempre com o mesmo objetivo, é 
necessário apresentar atividades que sejam significativas e motivadoras. Segundo Hanke (2008) um dos fatores responsáveis pelo 
fracasso dos alunos no ensino da Álgebra é a falta de entendimento sobre as várias concepções da Álgebra, pois o entendimento 
das mesmas nos permite uma melhor compreensão sobre os vários conceitos de variáveis. Na Tabela 3, apresentamos de forma 
simples, os vários significados das letras em Álgebra, e também suas finalidades. 
Tabela 3: Os significados das letras em Álgebra e sua finalidade 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Fonte: Hanke (2008, p. 61). 
Segundo os PCNs (1998), o desenvolvimento do pensamento algébrico depende fortemente das experiências dos alunos com os 
diversificados significados e finalidades das letras. Ainda para os autores, essas experiências devem estar presentes em todos os 
níveis da Escola Básica, inclusive as séries iniciais do Ensino Fundamental. Os PCNs dizem: 
As atividades algébricas propostas no Ensino Fundamental devem possibilitar que os alunos construam seu 
conhecimento a partir de situações problema que confiram significado à linguagem, aos conceitos e 
procedimentos referentes a esse tema, favorecendo o avanço do aluno quanto às diferentes interpretações 
das letras. Os contextos dos problemas deverão ser diversificados para que eles tenham oportunidade de 
construir a “sintaxe” das representações algébricas, traduzir as situações por meio de equações (ao 
identificar parâmetros, incógnitas e variáveis), e construir as “regras” para re- solução de equações (BRASIL, 
1998, p. 121-122). 
Lins e Gimenez (1997), também reconhecem diversas concepções de atividade al- gébrica e de educação algébrica, que serão 
apresentadas na Tabela 4. 
Tabela 4: Concepções de Álgebra segundo Lins e Gimenez 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Fonte: Silva et al. (2015, p. 132). 
Os autores aqui apresentados, defendem que é preciso repensar a educação aritmética e algébrica, não as tratando de forma 
fracionada, uma antecedendo a outra, mas sabendo que uma depende da outra. 
Para um professor é fundamental conhecer as concepções algébricas e de educação algébrica, que devem ser expostas quando 
estão organizando as suas atividades de ensino. 
CONCEPÇÕES DA ÁLGEBRA NOS 
LIVROS DIDÁTICOS 
A álgebra é um importante campo da matemática, e por consequência, da matemática escolar. Contudo não é nada fácil definir 
álgebra e estabelecer os seus limites e abrangência na matemática e no seu ensino na escola básica. Usiskin diz: 
Já não cabe classificar a álgebra apenas como aritmética generalizada, pois ela é muito mais que isso. A 
álgebra continua sendo um veículo para a resolução de problemas, mas também é mais, ela é mais que isso. 
Ela fornece meios para se desenvolverem e se analisarem relações. E é a chave para a caracterização e 
compreensão das estruturas matemáticas. Dados esses trunfos e a matematização crescente da sociedade, 
não é de surpreender que a álgebra seja hoje a área-chave de estudo da matemática da escola secundária e 
que essa posição de destaque provavelmente perdure por muito tempo (USISKIN, 1995, p. 21). 
Quando a criança começa a trabalhar com os números e as relações entre eles, como as de igualdade e de ordem, já podemos 
afirmar que estão presentes elementos do pensamento algébrico. 
Educadores da matemática têm se preocupado com as concepções de álgebra e de educação algébrica, e com as implicações que 
essas concepções têm na organização dos currículos, nos livros didáticos e no ensino aprendizagem dessa área. 
https://sites.google.com/fabrico.com.br/tea2/p�gina-inicial/unidade-2
https://getfireshot.com
Segundo Silva et al. (2015) mesmo com o avanço da pesquisa em Educação Matemática, o ensino da álgebra tem desafiado 
professores. Os resultados das avaliações realizadas tem indicado para o Brasil posições muito ruins. 
Para os professores e pesquisadores, conhecer as concepções presentes nos livros didáticos é fundamental, pois a organização do 
ensino tem esse recurso como um ele- mento importante para o ensino-aprendizagem nesse nível de ensino. Conhecendo essas 
concepções, o professor utiliza o livro como ferramenta, porém utilizando de forma mais autônoma, criativa, complementando os 
aspectos que não aparecem ou que são pouco evidenciados. 
De acordo com Lajoto (1996), o livro didático é um material escolar assim como as calculadoras, computadores, mapas, vídeos, 
televisão, dentre outros. Devido ao papel que tem para as atividades dos professores, o livro didático é considerado um dos mais 
essenciais. O autor ainda diz: 
Didático, então, é o livro que vai ser utilizado em aulas e cursos, que provavelmente foi escrito, editado, 
vendido e comprado, tendo em vista essa utilização escolar e sistemática. Sua importância aumenta ainda 
mais em países como o Brasil, onde uma precaríssima situação educacional faz com que ele acabe 
determinando conteúdos e condicionando estratégias de ensino, marcado, pois, de forma decisiva, o que se 
ensina e como se ensina o que se ensina (LAJOLO, 1996, p. 4). 
Hanke (2008) diz que os livros didáticos tem enorme influência sobre os professores da Educação Básica, principalmente nas 
escolas públicas. O acesso aos livros didáticos pelos professores e