Aula 1 - Exercícios

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MATEMÁTICA
E SUAS TECNOLOGIAS
F B O N L I N E . C O M . B R
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Professor(a): Jorge Júnior
assunto: números Complexos (C) – parte i
frente: matemátiCa i
OSG.: 122186/17
AULA 01
EAD – MEDICINA
Resumo Teórico
Noções iniciais
Qual o número natural que adicionado a 3 dá soma igual a 1? 
Podemos equacionar esse problema assim:
3 + x = 1, no qual o conjunto universo é U = N e o conjunto 
solução, S = ∅.
Em N, o problema anterior não tem solução, mas considerando 
uma nova categoria de números, a dos números inteiros negativos, 
cuja união com os números naturais nos dá o conjunto dos números 
inteiros (Z), temos a solução x = –2.
Assim, a equação 3 + x = 1, no qual o conjunto universo é 
U = Z, tem conjunto solução S = {–2}, ou seja, existe um número que 
somado com 3 é igual a 1, só não é natural. É inteiro.
Qual o número racional cujo quadrado é igual a 2? Podemos 
equacionar esse problema assim:
x2 = 2, onde o conjunto universo é U = Q e o conjunto solução, 
S = ∅.
Em Q, o problema anterior não tem solução, mas considerando 
os números irracionais, cuja união com os números racionais 
(Q) nos dá o conjunto dos números reais (R), temos as soluções 
x = 2 ou x = 2.−
Assim, a equação x2 = 2, na qual o conjunto universo é 
U = R, tem conjunto solução S = −{ }2 2, , ou seja, existe um número 
cujo quadrado é igual a 2, só não é racional (razão de dois inteiros), é 
irracional (quando representado na forma decimal, apresenta infinitas 
casas decimais sem repetição periódica; não existem dois inteiros cuja 
razão seja igual a 2).
Durante muito tempo, acreditou-se que os números inteiros 
(ou razão de dois inteiros) eram suficientes para se representar todas 
as medidas da natureza, do nosso mundo real. Os pitagóricos (seita 
existente na Grécia no século VI a.C., cujo fundador foi Pitágoras) 
viam os números racionais (inteiros ou razão de dois inteiros) como 
verdadeiras divindades, haja vista a condenação de Hipaso (discípulo 
de Pitágoras) à morte por afogamento, por ter conjecturado que a 
simples medida da diagonal de um quadrado de lado igual a 1 não 
era inteira nem razão de dois inteiros (era irracional, existia no nosso 
mundo real, mas não era racional).
d = 2 é irracionald
1
1
Na época de Pitágoras, os números irracionais não eram 
conhecidos. Hoje, sabemos que os números reais são a união 
dos números racionais com os números irracionais (números 
com infinitas casas decimais sem repetição periódica como 
2 1 41421 3 141592= =, ..., , ...π etc).
Qual o número real cujo quadrado é igual a –1? Podemos 
equacionar esse problema assim:
x2 = –1, onde o conjunto universo é U = R e o conjunto 
solução, S = ∅.
Em R, o problema anterior não tem solução, mas considerando 
uma nova categoria de números, a dos números imaginários, 
cuja união com os números reais nos dá o conjunto dos números 
complexos (C), temos a solução x i= − =1 (unidade imaginária) 
ou x i= − = −1 .
Assim, a equação x2 = 1, na qual o conjunto universo é U = , 
tem conjunto solução S = {– i, i}, isto é, existem números cujo quadrado 
é –1, só não são reais. São imaginários.
Mal os matemáticos ocidentais haviam superado as dificuldades 
com os números negativos e irracionais, já se depararam com os 
números complexos, por volta do século XVI, por meio de trabalhos 
de vários matemáticos italianos, quando da descoberta da solução 
de equações cúbicas.
Ao resolver a equação cúbica incompleta x3 – 15x – 4 = 0, 
o matemático bolonhês Rafael Bombelli (cerca de 1526-1573) obteve 
x = + − + − −2 121 2 1213 3 , passando a operar com a raiz 
quadrada de um número negativo –121( ) .
Note: –121 = –1× (121) = 11 –1 = 11i .
Mais tarde, outros matemáticos também utilizaram o símbolo 
–1 e, a partir daí, os números complexos começaram a perder um 
pouco do caráter sobrenatural que tinham até então, mas só foram 
totalmente aceitos no século XIX.
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Módulo de estudo
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Unidade imaginária
Introduzindo o elemento matemático denominado unidade 
imaginária, que será indicado pela letra i, tal que i ou i= − = −1 12 , 
a equação do 2º grau x2 – 10x + 40 = 0, que no conjunto dos reais 
(R) não tem solução, passa a ter as soluções x = ± −5 15, ou seja, 
x i ou x i= + = −5 15 5 15 , só não são reais. São raízes imaginárias, 
pertencem ao conjunto (C – R), complementar dos números reais em 
relação aos números complexos.
Usando diagramas, podemos representar o conjunto dos 
números complexos (C) e seus principais subconjuntos assim:
• i = −1 • − = − −i 1
• 5 15+ i
• 5 15− i
0,2
0
(Q – Z) (R – Q)
Z
N
1
2
0,333...
0,010020003...
1444444444444442444444444444443
Racionais (Q)
Reais (R)
Imaginários (C – R)
Complexos (C)
Irracionais (R – Q)
p
–1
(Z – N)
–2
–3
2
1
2
Potências de base i = – 1
Observe os seguintes resultados, onde se tem i2 = –1:
• i0 = 1
• i1 = i
• i2 = –1
• i3 = i2 ⋅ i = (–1) ⋅ i = –i
• i4 = i3 ⋅ i = (–i) ⋅ i = –i2 = –(–1) = 1
• i5 = i4 ⋅ i = 1 ⋅ i = i
• i6 = i4 ⋅ i2 = 1 ⋅ (–1) = –1
• i7 = i4 ⋅ i3 = 1 ⋅ (–i) = –i
• i8 = (i4)2 = 12 = 1
• i9 = i8 ⋅ i = 1 ⋅ i = i
• i10 = i8 ⋅ i2 = 1 ⋅ (–1) = –1
• i11 = i8 ⋅ i3 = 1 ⋅ (–i) = –i
Nesses resultados, nota-se, facilmente, que as potências de 
base i e expoentes múltiplos de 4 são todas iguais a 1. Veja:
i0 = i4 = i8 = i12 = i16 = … = i4k = (i4)k = (1)k = 1, onde k ∈ N.
Assim, dado in, com n ∈ n, temos:
n
r
4 ⇒ n = 4k + r
resto: 0, 1, 2 ou 3
k
Daí, i i i i i i
se r
i se r
se r
i se r
n k r k r n r= = ⋅ ⇒ = =
=
=
− =
− =





+4 4
1 0
1
1 2
3
,
,
,
,
1
Exemplo 1:
Sendo U = C, resolva a seguinte equação do 2º grau: 4x2 
– 4x + 3 = 0.
Solução:
Usando a Fórmula de Báskara x =
±



–b
2a
∆
, temos:
x
i
x i=
±
⋅
= ± ⇒ = ±
4 32
2 4
1
2
2
2
– 4
8
4 2
8
Note: – 32 = (–1) = 4 –1 = 4 2i2 2 24 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Resposta: S = −








1
2
2
2
i;
1
2
+
2
2
i
Exemplo 2:
Sendo i a unidade imaginária, i2 = –1, calcule a soma S = 
i + i2 + i3 + i4 + i5 + ... + i2007.
Solução:
Observando que 2007 4 501 3
2004
= ⋅ +123 , temos:
S i i i i i i i i i
S i i i
= + + + + + + + + +
= + + +
( ... ) ( )
(
2 3 4 5 2004 2005 2006 2007
2 3 ii i i i i i i i i i i i
S i i
zer
4 2 3 4 2 3 4 2 3
1 1
) ( ) ... ( ) ( )
( )
+ + + + + + + + + + + +
= − − +
oo zero zero
i i i i i i1 24 34 1 24 34 1 24 34+ − − + + + − − + + − −
−
( ) ... ( ) ( )1 1 1 1 1
11
1
124 34
∴ = = −S
Resposta: –1
Exemplo 3:
Se x é uma raiz da equação x2 + 1 = 0, calcule 
S = x4 + x8 + x12 + x16 + … + x112.
Solução:
I. x2 + 1 = 0 ⇒ x2 = –1
II. S = (x2)2 + (x2)4 + (x2)6 + … + (x2)56
 S = (–1)2 + (–1)4 + (–1)6 + … + (–1)56
 S = [(–1)21]1 + [(–1)2]2 + [(–1)2]3 + ... + [(–1)2]28
 S S
vezes
= + + + + ⇒ =( ... )1 1 1 1 28
28
1 244 344
Resposta: 28
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Módulo de estudo
Definição de números complexos
O conjunto C dos pares ordenados (x; y), no qual x ∈ R e y ∈ R, será 
denominado conjunto dos números complexos.
Em símbolos: Z Z =∈ ⇔ ∈ ∈C R R( , ),x y sendo x e y .
O número complexo Z = (x, y) também pode ser representado 
na forma algébrica Z = x + yi. O primeiro elemento do par ordenado (x) 
chama-se parte real ou componente real do número complexo Z, 
e indica-se por Re(Z) = x. O segundo elemento do par ordenado (y) 
chama-se parte imaginária ou componente imaginário, e indica-se 
por Im(Z) = y.
Assim, por exemplo, são considerados números complexos:
• Z = (0, 2) ou Z = 0 + 2i = 2i (número imaginário puro).
• Z = (2, 0) ou Z = 2 + 0 × i = 2 (número real).
• Z = (2, 2) ou Z = 2 + 2i (número imaginário).
• Z = (–1, 5) ou Z = –1 + 5i.
Propriedades dos números complexos
Igualdade de números complexos
Por tratar-se de pares ordenados, dois números complexos são 
iguais se têm, respectivamente, os mesmos componentes:
(a, b) = (c, d) ⇔ a = c e b = d
a + bi = c + di ⇔
a = c (partes reais iguais)
1
2
3 b = d (partes imaginárias iguais)
Adiçãode números complexos
Sendo dados Z
1
 = (x
1
, y
1
) e Z
2
 = (x
2
, y
2
), por definição, temos:
Z
1
 + Z
2
 = (x
2
 + x
2
; y
1
 + y
2
)
ou
(x
1
 + y
i
i) + (x
2
 + y
2
i) = (x
1
 + x
2
) + (y
1
 + y
2
)i
Soma das
partes reais
Soma das
partes
imaginárias
Exemplos:
a) (–5, 2) + (3, 1) = (–2, 3)
 ou
 (–5 + 2i) + (3 + i) = (–5 + 3) + (2 + 1)i = –2 + 3i
b) (1, –3) + (2, –2) = (3, –5)
 ou
 (1 – 3i) + (2 – 2i) = (1 + 2) + (–3 – 2)i = 3 – 5i
Observação 1:
O número complexo O’ = (0, 0) = 0 + 0i é o elemento neutro 
da adição de números complexos.
De fato, para qualquer Z = (x, y) ∈ C, temos Z + 0’ = 0’ + Z = Z.
Observação 2:
Todo número complexo Z = (x, y) = x + yi apresenta um 
único oposto w = (–x, –y) = –x – yi = –(x + yi) = – (x, y). 
De fato, dados Z = (x, y) e w = (a, b), tais que Z + w = 0’, 
na qual 0’ = (0, 0), temos:
( ; ) ( , )x a y b
x a
e
y b
a x
e
b y
+ + = ⇒
+ =
+ =




⇒
= −
= −




0 0
0
0
Daí, w = (–x, –y) = –x – yi
Multiplicação de números complexos
Sendo Z
1
 = (x
1
, y
1
) e Z
2
 = (x
2
, y
2
), em que Z
1
, Z
2
 ∈ C, definimos 
a multiplicação em C do seguinte modo:
(x
1
; y
1
) ⋅ (x
2
; y
2
) = (x
1
x
2
 – y
1
y
2
; x
1
y
2
 + x
2
y
1
)
ou
(x
1
 + y
1
i) ⋅ (x
2
 + y
2
i) = (x
1
x
2
 – y
1
y
2
) + (x
1
y
2
 + x
2
y
1
)i
Note: y
1
y
2
i2 = y
1
y
2
 ⋅ (–1) = – y
1
y
2
 é real
Exemplo 1: 
Dados Z
1
 = (2, 3), Z
2
 = (–3, –4), calcule:
a) Z
1
 ⋅ Z
2
 Z
1
 ⋅ Z
2
 = (2, 3) ⋅ (–3, –4) = (–6 + 12; –8 – 9) = (6, –17)
 ou
 (2 +3i) ⋅ (–3 – 4i) = (–6 + 12) + (–8i – 9i) = 6 – 17i
 –12i2 = –12(–1) = 12 
b) Z2
1
 Z
1
 ⋅ Z
1
 = (2, 3) ⋅ (2, 3) = (4 – 9; 6 + 6) = (–5, 12)
ou
 (2 + 3i) (2 + 3i) = (4 – 9) + (6i + 6i) = –5 + 12i
 
 9i2 = 9(–1) = –9
c) Z2
2
 Z
2
 ⋅ Z
2
 = (–3, –4) ⋅ (–3, –4) = (9 – 16; 12 + 12) = (–7; 24)
 ou
 (–3 – 4i) ⋅ (–3 – 4i) = (9 – 16) + (12i + 12i) = –7 + 24i
 
 + 16i2 = –16
Exemplo 2:
Dados Z = (x, 2) e w = (3, –2), em que Z, w ∈ C, determine x e Z de 
modo que Z ⋅ w seja:
a) real.
b) imaginário puro.
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Módulo de estudo
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Solução:
Z ⋅ w = (x + 2i) (3 – 2i) ⇒ Z ⋅ w = (3x + 4) + (–2x + 6) i
Re(Zw) Im(Zw)
123 123
Então, devemos ter:
a) –2x + 6 = 0 ⇒ x = 3 ⇒ Z = (3, 2) = 3 + 2i
b) 3x + 4 = 0 e –2x + 6 ≠ 0 ⇒ x e=
− − −



+ ≠ ⇒4
3
2
4
3
6 0
 ⇒ Z i=
−



= − +4
3
2
4
3
2,
Resposta:
a) x = 3 e Z = 3 + 2i
b) x e Z i=
− = − +4
3
4
3
2
Exemplo 3:
Dados Z
1
 = 3 – 4i e Z
2
 = (5, y), em que Z
1
, Z
2
 ∈ C, calcule y para que 
se tenha Z
1
 – 2(Z
2
)2 = (–45, 16)
Solução:
3 – 4i – 2 ⋅ (5 + yi)2 = – 45 + 16i ⇒ 3 – 4i – 2 ⋅ (25 + 10yi + y2i2) =
= – 45 + 16i.
Daí:
(3 – 50 + 2y2) + (–4 – 20y)i = –45 + 16i
Observando a igualdade de números complexos (pares 
ordenados), devemos ter, ao mesmo tempo:
I. – 47 + 2y2 = – 45 ⇒ y2 = 1 ⇒ y = 1 ou y = –1
II. – 4 – 20y = 16 ⇒ y = 1
Assim, y = 1 satisfaz as duas igualdades simultaneamente.
Resposta: y = 1
Observação 1:
O número complexo w = (1, 0) = 1 é o elemento neutro da 
multiplicação de números complexos. De fato, para qualquer Z = 
(x, y) = x + yi ∈ C, temos que:
w ⋅ Z = Z ⋅ w = (x – 0; y + 0) = (x, y) = Z.
Observação 2:
Para qualquer número complexo Z = (x, y) = x + yi ≠ (0, 0), 
existe o inverso multiplicativo w = Z–1, tal que:
Z ⋅ Z–1 = Z–1 ⋅ Z = (1, 0) = 1.
De fato, sendo w = Z–1 = (x
0
, y
0
) ≠ (0, 0), tal que:
(x, y) ⋅ (x
0
, y
0
) = (1, 0) ou (x
0
, y
0
) · ( x, y) = (1, 0), temos:
(xx
0
 – yy
0
; xy
0
 + yx
0
) = (1, 0)
Daí: xx yy
xy yx
xx yy
yx xy
0 0
0 0
0 0
0 0
1
0
1
0
− =
+ ={ ⇒ − =+ ={
Como x2 + y2 ≠ 0, resolvendo o sistema, obtemos:
x
y
x
x y
y x
x
x
x y
e y
x
y
x y
y x
y
y
x y
0 0 2 2 0 0 2 2
1
0
1
0
=
−
−
⇒ =
+
=
−
⇒ = −
+
Logo, para todo Z = (x, y) ≠ (0, 0), existe Z =
x
x +y
;
y
x +y
1
2 2 2 2
− −



, 
tais que Z ⋅ Z–1 = Z–1 ⋅ Z = (1, 0), em que Z, Z–1 ∈ C.
Conjugado de um número complexo Z
–
Chamaremos de conjugado do número complexo Z = (x, y) = x + yi, 
e denotaremos por Z o número complexo da forma Z = (x, –y) = x – yi.
Exemplos:
a) Z = (–3, 0) = –3 ⇒ Z = (–3, –0) = –3
b) Z = (–2, –1) = –2 – i ⇒ Z = (–2, 1) = –2 + i
c) Z = (0, –4) = –4i ⇒ Z = (0, 4) = 4i
d) Z = (5, 5) = 5 + 5i ⇒ Z = (5, –5) = 5 – 5i
Dados os números complexos Z = (x, y) = x + yi e 
Z = (x, –y) = x – yi, saiba que:
• Z e Z são ditos conjugados;
• o conjugado de um número real é o próprio número real.
Veja: Z = (x, 0) = x é real e Z = (x, –0) = (x, 0) = Z, isto é, se Z 
= (x, 0), então, Z = Z = Re(Z) = Re( Z ).
• 
Re( ) Re( )
Im( ) Im( )
Z Z x
Z Z y
= =
= − =



Propriedades dos números complexos conjugados
Dados Z = x + yi e Z = x – yi, em que Z, Z ∈ C, isto é, 
x, y ∈ R, valem as propriedades:
P
1
) 
Z Z
x Z Z
+ = = ∀ ∈
2
Re( ), C .
 ↓
 para todo (ou qualquer que seja)
P
2
) 
Z Z
i
y Im Z Z
+ = = ∀ ∈
2
( ), C .
P
3
) Z Z x y⋅ = +2 2, isto é, Z Z⋅ real não negativo, ∀Z ∈ C.
P
4
) Z Z Z Z Z Z1 2 1 2 1 2+ = + ∀ ∈, , C (o conjugado da soma é a soma dos 
conjugados).
De fato, se Z
1
 = a + bi e Z
2
 = c + di, temos:
• Z
1
 + Z
2
 = (a + c) + (b + d)i ⇒ Z Z1 2+ = (a + c) – (b + d)i
• Z Z1 2+ = (a – bi) + (c – di) ⇒ Z Z1 2+ = (a + c) – (b + d)i
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Módulo de estudo
P
5
) Z Z Z Z Z Z1 2 1 2 1 2⋅ = ⋅ ∀ ∈, , C (o conjugado do produto é o produto 
dos conjugados).
De fato, se Z
1
 = (a, b) e Z
2
 = (c, d), temos:
• Z
1
 ⋅ Z
2
 = (ac – bd; ad + bc) = (ac – bd; –ad – bc)
• Z Z a b c d Z Z ac bd ad bc1 2 1 2⋅ = − ⋅ − ⇒ ⋅ = − − −( , ) ( , ) ( ; )
Divisão de números complexos 
(forma algébrica)
Sejam Z
1
 = x
1
 + y
1
i e Z
2
 = x
2
 + y
2
i, onde Z
1
, Z
2
 ∈ C e Z
2
 ≠ (0, 0).
Observando que Z
Z
Z
Z
Z
Z
1
2
1
2
2
2
= · , temos:
Z
Z
x y x y
x y x y
x x y y x y y x1
2
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2= ( ) ⋅ −( )( ) ⋅ −( ) =
+ − +; ;
; ;
;(( )
+x y22 22
.
Exemplo 1:
Dados Z
1
 = (–2, 3) e Z
2
 = (1, 4), onde Z
1
, Z
2
 ∈ C, calcule:
a) 
 
Z
Z
1
2
 
Z
Z
i
i
i
i
i i
i i
1
2
2 3
1 4
1 4
1 4
2 12 8 3
1 16 4 4
=
− +( )
+( ) ⋅
−( )
−( ) =
− +( ) + +( )
+ − +
⇒
⇒⇒ = + = 



Z
Z
i1
2
10
17
11
17
10
17
11
17
,
b) 
 
1
1Z
 
1 1 1
2 3
2 3
2 3
2 3
4 9 6 6
1
1 1
1
1
1
Z Z
Z
Z i
i
i
i
i i
Z
Z
= ⋅ =
− +( ) ⋅
− −( )
− −( ) =
− −
+ + −
⇒
⇒ = 111
2
13
3
13
2
13
3
13
− =
−
− =
− −



i ,
c) 
 
Z
Z
2
1
 
Z
Z
i
i
i
i
i i
i i
2
1
1 4
2 3
2 3
2 3
2 12 3 8
4 9 6 6
=
+( )
− −( ) ⋅
− +( )
− +( ) =
− −( ) + −( )
+ − +
⇒⇒
⇒ =
−
− =
− −



Z
Z
i2
1
14
13
5
13
14
13
5
13
,
Observação:
Dados os números complexos
Z
1
 = x
1
 + y
1
i e Z
2
 = x
2
 + y
2
i ≠ (0,0), vale a propriedade:
Z
Z
Z
Z
1
2
1
2




= (O conjugado do quociente é o quociente dos 
conjugados)
De fato:
• 
Z
Z
x x y y x y y x
x y
x x y y
x y
x y
1
2
1 2 1 2 1 2 1 2
2
2
2
2
1 2 1 2
2
2
2
2
1 2
=
+ − +( )
+
=
=
+
+
−
−
;
yy x
x y
i
Z
Z
x x y y
x y
x y y x
1 2
2
2
2
2
1
2
1 2 1 2
2
2
2
2
1 2 1 2
+




∴
∴ 



=
+
+
+
−
xx y
i
2
2
2
2+




• Z
Z
x y i
x y i
x y i
x y i
x x y y
x y
x y
1
2
1 1
2 2
2 2
2 2
1 2 1 2
2
2
2
2
1
=
−( )
−
⋅
+( )
+( ) =
= +
+
+ 22 1 2
2
2
2
2
−
+




y x
x y
i
Exemplo 2:
Determine m ∈ R, para que o número complexo Z
i
mi
= +
+
2
1
 
seja:
a) real.
b) imaginário puro.
Solução:
Temos: Z
i
mi
mi
mi
m m i
m
Z
m
m
=
+( )
+( ) ⋅
−( )
−( ) =
+( ) + − +( )
+
⇒
⇒ =
+
+
+
−
2
1
1
1
2 2 1
1
2
1
2
2
22 1
1 2
m
mi
+
+
Então, devemos ter:
a) 
 
− +
+
= ⇒ − + = ⇒ =2 1
1
0 2 1 0
1
22
m
m
m m
b) 
 
2
1
0
2 1
1
0 2
2 2 1
1 2
0
2 2 2
+
+
= − +
+
≠ ⇒ = −
− −( ) +
+ −( )
≠m
m
e
m
m
m e
Resposta:
a) m =
1
2
b) m = –2
Exemplo 3:
Nos complexos, a raiz quadrada do número complexo Z são 
os números complexos da forma Z
k
 = x + yi, tais que (Z
k
)2 = Z, em que 
K ∈ {0, 1}. Calcule, em C, as raízes quadradas de –9.
Solução:
Queremos Z
k
 = x + yi, em que x, y ∈ R, tais que:
 (x + yi)2 = –9 + 0i ⇒ (x2 – y2) + 2xyi = –9 + 0i
6F B O N L I N E . C O M . B R
//////////////////
Módulo de estudo
OSG.: 122186/17
E, da igualdade de números complexos (pares ordenados), 
temos, simultaneamente:
x y
xy
2 2 9
2 0
− = −
=



Daí:
2 0
0 9
3 0 3 0 3
3 0 3 0 3
2
0
1
xy
x y
y Z i
ou
y Z i
= ⇒
= ⇒ − = − ⇒
= ⇒ = + = ( )
= − ⇒ = − = −( )



,
,
= ⇒ = − ⇒ ∉










ou
y x x0 92 R
Logo, as raízes quadradas de –9 são 3i e –3i.
Note: (± 3i)2 = –9
Exercícios
01. Sendo i = −1, as raízes complexas da equação x2 – x + 1 = 0 são 
iguais a:
A) − − − +1
2
3
2
1
2
3
2
i e i
B) − − +1
2
3
2
1
2
3
2
i e i
C) 
1
2
3
2
1
2
3
2
− − +i e i
D)
1
2
3
2
1
2
3
2
− +i e i
02. (Uece) Os números complexos z
1
 = p + qi e z
2
 = m + ni são as 
raízes não reais da equação x3 – 1 = 0. O resultado numérico da 
expressão |p| + |q| + |m| + |n| é:
A) 2 3+
B) 3 2+
C) 1 2+
D) 1 3+
03. Se i é o número complexo cujo quadrado igual a –1, então, 
o valor de 5 · i227 + i6 – i13 é igual a 
A) i + 1
B) 4i – 1
C) –6i – 1
D) –6i
04. Seja Z
i
a i
= +
+
2
2
 um número complexo. Calcule o valor de a de 
modo que Z seja:
A) real.
B) imaginário puro.
05. (UPF - Adaptado) Sendo Z o conjugado do número complexo 
Z, e i a unidade imaginária, o número complexo Z, tal que 
5 12 16Z Z i+ = + , é igual a: 
A) –2 + 2i 
B) 2 – 3i
C) 3 + 1 
D) 2 + 4i 
E) 1 + 2i
06. (IFCE) Sendo i a unidade imaginária tal que i2 = –1, são dados 
os números complexos z
1 
= 9 + 3i e z
2 
= –2 + i. Ao calcular 
corretamente o produto z
1 
· z
2
, obtemos o número 
A) 21 – 6i 
B) –18 – 6i 
C) –18 + 3i
D) 18 – 3i
E) –21 + 3i
07. (EEAR) Sabe-se que os números complexos 
 Z
1
 = [2m (3 + m)] + (3n + 5)i e Z
2
 = (2m2 + 12) + [4(n + 1)]i são 
iguais. Então, os valores de m e n são, respectivamente: 
A) 3 e 1 
B) 2 e 1 
C) 2 e –1 
D) 3 e –1
08. (Uepa) Um dos resultados importantes da produção de 
conhecimentos reside na possibilidade que temos de fazer 
a interação de múltiplos saberes. O conceito de número 
complexo é um bom exemplo dessa possibilidade exploratória 
da produção científica, ao permitir relações com álgebra, 
geometria plana, geometria analítica, trigonometria, séries e 
aritmética. Neste sentido, considere os números complexos 
z
1
 = 2 + 2 · i, z
2
 = 5 – 6 · i, z
3
 = – 4 + 18 · i e os números reais 
k
1
 e k
2
, tais que a soma dos números complexos k
1
z
1
 e k
2
z
2 
 resulta 
o complexo z
3
. Nestas condições, o valor de kk12 é: 
A) 9
B) 8
C) 1
D) 
1
8
E) 
1
9
09. (UVA) Se S i i i i i i
n
= + + + + + +0 10 10 10 10 10
2 3 4
... , onde i = −1 
(unidade imaginária), então S é igual a:
A) –1
B) n – 1
C) n
D) n – 2
7 F B O N L I N E . C O M . B R
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Módulo de estudo
10. (UEPB) O produto dos números complexos (3 – i) (x + 2yi) é um 
número real quando o ponto P(x, y) está sobre a reta de equação: 
A) 6x + y = 0
B) 6x – y = 0
C) x + 6y = 0
D) 6y – x = 0
E) 3y – x = 
11. (Unicamp) Considere o número complexo z
ai
a i
= +
−
1
, onde a 
é um número real e i é a unidade imaginária, isto é, i2 = – 1. 
O valor de z2016 é igual a:
A) a2016
B) 1
C) 1 + 2016i
D) i
12. O valor do número real m, de modo que a expressão 
3 2
2
18+
+
+i
mi
mi 
seja um número real, no qual i é a unidade imaginária, pertence 
ao intervalo:
A) [0, 1[
B) [1, 2[
C) [2, 3[
D) [3, 4]
13. Reduzindo o número complexo 
1
1
+
−
itg
itg
α
α
 à forma algébrica, 
obtemos:
A) cos (2a) + i ⋅ sen (2a)
B) – cos (2a) + i ⋅ sen (2a)
C) cos (2a) – i ⋅ sen (2a)
D) cos a + i ⋅ sen a
14. (FGV) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1 – i)20 
é igual a:
A) – 1024
B) – 1024i
C) 0
D) 1024
E) 1024i
15. (Uece) O conjugado, Z , do número complexo Z = x + 
iy, com x e y números reais, é definido por Z = x – iy. 
Identificando o número complexo Z = x + iy com o ponto 
(x, y) no plano cartesiano, podemos afirmar corretamente que 
o conjunto dos números complexos Z que satisfazem a relação 
Z Z + Z + Z = 0 estão sobre
A) uma reta.
B) uma circunferência.
C) uma parábola.
D) uma elipse.
Anotações
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Resoluções
01. Para a equação dada, temos que:
∆ = − = ⋅ − =1 4 3 1 3( ) i
x
i= ±1 3
2
Assim, as raízes são: z i1
1
2
3
2
= + e z i2
1
2
3
2
= −
 Resposta: D
02. Observando o produto notável (A – B) (A2 + AB + B2) = A3 – B3, 
temos que:
x3 – 1 = 0 ⇒
(x – 1) (x2 + x + 1) = 0
Daí,
x – 1 = 0 ⇒ x = 1 (raiz real)
ou
x x x x x
i2 1 0
1 3
2
1 3 1
2
1
2
3
2
+ + = ⇒ = − ± − ⇒ = − ± ⋅ − ⇒ = − ±
Assim, as raízes não reais (imaginárias) da equação são:
z
i
e z
i
1 2
1
2
3
2
1
2
3
2
= − + = − −
 Daí, 
p m
q n
= =
= =






1
2
3
2
 e, portanto, 
 p q m n+ + + ⇒ ⋅ + ⋅ = +2 1
2
2
3
2
1 3
 Resposta: D
03. Lembre-se que: 
 i0 = 1; i1 = i; i2 = –1, i3 = –i e para n ≥ 4 temos que in = ir, onde r 
é o resto da divisão de n por 4.
 Daí, dividindo-se 227, 6 e 13 por 4, obtemos restos respectivamente 
iguais a 3, 2 e 1. Daí, ficamos com:
 5·i227 + i6 – i13 = 5 · i3 + i2 – i1
 = 5 · (–i) + (–1) – i
 = – 6i – 1
 Resposta: C
04.
 
 
Z
i
a i
Z
i a i
a i a i
Z
a i ai i
a i
= +
+
→ = + ⋅ −
+ −
→ = − + −
−
→2
2
2 2
2 2
2 4 2
4
2
2 2
( ) ( )
( )( )
ZZ
a a i
a
Z
a
a
a
a
i= + + − +
+
→ = +
+
+ − +
+
⋅( ) ( ) ( )2 2 4
4
2 2
4
4
42 2 2
Z
i
a i
Z
i a i
a i a i
Z
a i ai i
a i
= +
+
→ = + ⋅ −
+ −
→ = − + −
−
→2
2
2 2
2 2
2 4 2
4
2
2 2
( ) ( )
( )( )
ZZ
a a i
a
Z
a
a
a
a
i= + + − +
+
→ = +
+
+ − +
+
⋅( ) ( ) ( )2 2 4
4
2 2
4
4
42 2 2
I. Z é real → 
− +
+
=4
4
0
2
a
a
 → – 4 + a = 0 → a = 4 → Z = =10
20
1
2
 
II. Z é imaginário puro → 
2 2
4
0
2
a
a
+
+
= → 2a + 2 = 0 → a = –1 → 
Z i i= − ⋅ = −5
5
 
Resposta: A) a = 4 
 B) a = – 1
05. Sendo Z = a + bi, onde a e b são reais, temos que Z = a bi.− 
 Logo, 
 
5 a + bi + a bi = 12 +16i 6a + 4bi = 12 +16i
a = 2
b = 4
( ) ( ) 

− ⇒ ⇒
 Portanto,
 Z = 2 + 4i
 Resposta: D
06. Lembrando que i2 = –1, temos que:
 
9 + 3i 2 + i = 18 + 9i 6i + 3i
= 18 + 3i + 3 ( 1)
= 21+ 3i
2( ) ( )⋅ − − −
− ⋅ −
− 
 Resposta: E
07. Como Z
1
 = Z
2
, as suas partes reais devem ser iguais, bem como 
as imaginárias. Daí, temos:
 
Z = Z
2m (3 + m) = 2m +12 6m = 12 m = 2
3n + 5 = 4 (n +1) 3n + 5 = 4n + 4 n = 1
1 2
2
⇒ × ⇒ ⇒
× ⇒ ⇒



 Portanto, m = 2 e n = 1 
 Resposta: B
08. Temos que:
k
1
z
1
 + k
2
z
2
 = z
3
 → k
1
(2 + 2 · i) + k
2
(5 – 6 · i) = – 4 + 18 · i →
 → (2k
1
 + 5k
2
) + (2k
1
 – 6k
2
) · i = – 4 + 18 · i
 As partes reais e as partes imaginárias devem ser, respectivamente, 
iguais. Daí, obtemos:
2 5 4
2 6 18
1 2
1 2
k k
k k
+ = −
− ={
Subtraindo membro a membro, encontramos:
11k
2
 = – 22 → k
2
 = – 2 → k
1
 = 3.
Portanto,
k k1
22 3
1
9
= =− .
 
 Resposta: E
09. A soma S apresenta (n + 1) termos; os restos das divisões por 4 de 
102 = 100, 103 = 1000, ..., 10n são todos iguais a zero; e o resto 
da divisão de 10 por 4 é 2. Daí, temos:
S = i0 + i2 + (i0 + i0 + i0 + ... + i0), em um total de (n + 1) termos.
S = i0 + i2 + (n – 1) · i0
S = 1 + (–1) + (n – 1) · 1
S = n – 1
 Resposta: B
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10. Efetuando o produto,obtemos:
(3 – i)(x + 2yi) = 3x + 6yi – ix – 2yi2 = (3x + 2y) + (6y – x)i
 E para que o complexo (3x + 2y) + (6y – x)i seja real, sua parte 
imaginária deve ser nula, ou seja, devemos ter:
6y – x = 0 (equação da reta pedida) 
 Resposta: D
11. Temos que:
I. z
ai
a i
ai
a i
a i
a i
Z
a i a i a
a
Z
i a
a
i
= +
−
= +
−
⋅ +
+
= + + −
+
= +
+
=
1 1
1
1
1
2
2
2
2
( )
II. z2016 = i2016 = i0 = 1
 Resposta: B
12. O resto da divisão de 18 por 4 é 2. Daí, temos:
E
i
mi
m i E
i mi
mi mi
m i E
mi= +
+
+ ⋅ → = + ⋅ −
+ ⋅ −
+ ⋅ → = −3 2
2
3 2 2
2 2
6 318 2( ) ( )
( ) ( )
++ −
−
− → = + + − +
+
− →4 2
4
6 2 3 4
4
2
2 2 2
i mi
m i
m E
m m i
m
m
( ) ( )
 
E
i
mi
m i E
i mi
mi mi
m i E
mi= +
+
+ ⋅ → = + ⋅ −
+ ⋅ −
+ ⋅ → = −3 2
2
3 2 2
2 2
6 318 2( ) ( )
( ) ( )
++ −
−
− → = + + − +
+
− →4 2
4
6 2 3 4
4
2
2 2 2
i mi
m i
m E
m m i
m
m
( ) ( )
→ =
+
+
−



+
− +
+




E
m
m
m
m
m
i
6 2
4
3 4
42 2
Assim, E será real se:
− +
+
= → − + = → = = ∈3 4
4
0 3 4 0
4
3
1 33 1 2
2
m
m
m m , ... [ , [
 Resposta: B
13. 
E
i
sen
i
sen
E
i sen
i sen
E=
+ ⋅
− ⋅
→ = + ⋅
− ⋅
→ =
1
1
α
α
α
α
α α
α α
cos
cos
cos
cos
(cos αα α α α
α α α α
α+ ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
→ = +i sen i sen
i sen i sen
E
)(cos )
(cos )(cos )
cos2 ii sen sen
i sen
⋅ ⋅ −
− ⋅
2 2
2 2 2
cos
cos
α α α
α α
E
i
sen
i
sen
E
i sen
i sen
E=
+ ⋅
− ⋅
→ = + ⋅
− ⋅
→ =
1
1
α
α
α
α
α α
α α
cos
cos
cos
cos
(cos αα α α α
α α α α
α+ ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
→ = +i sen i sen
i sen i sen
E
)(cos )
(cos )(cos )
cos2 ii sen sen
i sen
⋅ ⋅ −
− ⋅
2 2
2 2 2
cos
cos
α α α
α α
E
i
sen
i
sen
E
i sen
i sen
E=
+ ⋅
− ⋅
→ = + ⋅
− ⋅
→ =
1
1
α
α
α
α
α α
α α
cos
cos
cos
cos
(cos αα α α α
α α α α
α+ ⋅ + ⋅
− ⋅ + ⋅
→ = +i sen i sen
i sen i sen
E
)(cos )
(cos )(cos )
cos2 ii sen sen
i sen
⋅ ⋅ −
− ⋅
2 2
2 2 2
cos
cos
α α α
α α
E
sen i sen
sen
E i sen= − + ⋅ ⋅
+
→ = + ⋅(cos ) ( cos )
cos
cos( ) (
2 2
2 2
2
2
α α α α
α α
α 22α)
 Resposta: A
14. 
( ) ( ) [( ) ] [( ) ]
[ ] [
1 1 1 1
1 2 1 2
20 20 2 10 2 10
2 10
+ − − = + − − =
= + + − − +
i i i i
i i i i22 10
10 10
10 10
2 2
1024 1024
0
]
[ ] [ ]
=
= − − =
= − =
=
i i
i i
 Resposta: C
15. Temos que:
ZZ Z Z
x yi x yi x yi x yi
x y i x
x y x
x
+ + =
+ ⋅ − + + + − =
− + =
+ + =
0
0
2 0
2 0
2 2 2
2 2
2
( ) ( )
( ++ + =
+ + − =
2 0
1 0 1
2
2 2 2
x y
x y
)
( ) ( )
[Equação de uma circunferência de centro (–1, 0) e raio = 1]
 Resposta: B
SUPERVISOR/DIRETOR: MARCELO PENA – AUTOR: JORGE JÚNIOR
DIG.: REJANE – 11/12/17 – REV.: LUCELENA