UAM - Cálculo aplicado uma variável - Unidade 3 - Pratique

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UAM – Cálculo aplicado uma variável – Unidade 3 – Pratique
Um recipiente cilíndrico, aberto em cima, deve ter capacidade de , 75 ×10−4π m3. O custo do material usado para a base do recipiente é de R$ 1,5 o metro quadrado e o custo do material usado para a parte curva é de R$ 0,5 por metro quadrado. Se não há perda de material, determine as dimensões que minimizem o custo do material.
Fonte: Elaborada pela autora.
Para responder a essas perguntas, você deve seguir os seguintes passos:
a) Determinar a função custo (ver Figura 2, para o cálculo das áreas):
C(x) = área base × custo base + área lateral × custo lateral $.
C = 1,5π.r² + 0,5*2 πrh
75 x 10 - 4π = π x h x r2 = 0,0075 π
h = 0,0075/r²
C = 1,πr² + 0,*2 πrh
7 × 10−4π = π x h x r2 = 0,007 π
h = 0,007/r²
C = 1,πr² + 0,*2 πrh
7 × 10−4π = π x h x r2 = 0,007 π
h = 0,007/r²
b) Obter números críticos: C′(x)=0 ou C(x) não existe.
(3 πr3 – 0,0075π) = 0 r2 =0
r3 = 0,0025 r = 0
r = 0,1357 arredondando para 0,136
c) Verificar, por meio do teste da primeira ou segunda derivada, o ponto de máximo local, que, nesse caso, coincide com o máximo absoluto, desde quando o intervalo não é fechado.
d) Obter a as dimensões (raio e altura), que minimiza o custo.
r = 0,136m
h = 0,0075 / (0,136^2) = 0,4054m
e) Construir gráfico da função custo para obter, também, a solução gráfica (veja o roteiro na Figura 3 ou utilize um software matemático para a construção gráfica.