problemas-resueltos-de-algebra universidad jimenez (136)

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5.16 Concepto de cuerpo
5.16. Concepto de cuerpo
1. Determinar los elementos invertibles de Z11 y deducir que es un cuerpo.
2. Demostrar que K = {x + y
√
3 : x, y ∈ Q} con las operaciones usuales
suma y producto de números reales, es un cuerpo.
3. Demostrar que cualquier intersección de subcuerpos de un cuerpo K es
subcuerpo de K.
4. Demostrar que todo cuerpo es dominio de integridad.
5. Demostrar que los únicos ideales de un cuerpo K son {0} y K.
6. Demostrar que en un cuerpo K, la ecuación ax = b con a, b ∈ K y a 6= 0
tiene siempre solución única.
Solución. 1. Usando la conocida forma de multiplicar en los anillos Zm :
1 · 1 = 1, 2 · 6 = 6 · 2 = 1, 3 · 4 = 4 · 3 = 1,
5 · 9 = 9 · 5 = 1, 7 · 8 = 8 · 1 = 1, 10 · 10 = 1.
Por tanto, todo elemento no nulo de Z11 = {0, 1, 2, . . . , 10} tiene inverso. Al
ser Z11 anillo conmutativo y unitario, es cuerpo.
2. 1) Veamos que K es subanillo de R, con lo cual estará demostrado que K
es anillo. Claramente, K 6= ∅, y para x+ y
√
3, x′ + y′
√
3 elementos de K :
(x+ y
√
3)− (x′ + y′
√
3) = (x− x′) + (y − y′)
√
3,
(x+ y
√
3)(x′ + y′
√
3) = (xx′ + 3yy′) + (yx′ + xy′)
√
3,
y dado que la suma y producto de números racionales es un número racio-
nal concluimos que la diferencia y el producto de elementos de K está en K.
Por el teorema de caracterización de subanillos, K es subanillo. Es además
conmutativo por serlo R, y unitario pues 1 = 1 + 0
√
3 ∈ K.
2) Veamos que todo elemento no nulo de K tiene inverso en K. Primeramente,
demostremos que en K ocurre:
x+ y
√
3 = u+ v
√
3⇔ x = u e y = v. (1)
⇐) Esta implicación es trivial.
⇒) Si x+ y
√
3 = u+ v
√
3, entonces (x− u) = (v − y)
√
3. No puede ocurrir
v − y 6= 0, pues en tal caso,
√
3 = (x− u)/(v − y) y llegaŕıamos al absurdo
de que
√
3 seŕıa racional. Por tanto, necesariamente v = y lo cual implica
x− u = 0, o sea x = u.
Sea ahora x + y
√
3 ∈ K no nulo. Veamos que existe x′ + y′
√
3 ∈ K tal que
(x+ y
√
3)(x′ + y′
√
3) = 1 = 1 + 0
√
3.