Avaliação Final (Discursiva) Cálculo Diferencial e Integral III

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14/07/2023, 01:43 Avaliação Final (Discursiva) - Individual
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GABARITO | Avaliação Final (Discursiva) - Individual
(Cod.:823827)
Peso da Avaliação 4,00
Prova 67370300
Qtd. de Questões 2
Nota 10,00
Em probabilidade, quando temos duas variáveis aleatórias, X e Y, podemos calcular a probabilidade 
através da integral dupla:
em que f (x, y) é a função densidade de probabilidade e 0 ≤ P(a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) ≤ 1.
Suponha que uma empresa produz uma placa de computador com dois parâmetros X (largura 5 cm) e 
Y (comprimento 5 cm). Na produção dessa placa há pequenas variações nos parâmetros. Determine a 
probabilidade de uma placa escolhida aleatoriamente ter largura entre 4,5 e 4,9 e comprimento entre 
4,5 e 5, sabendo que a densidade de probabilidade é , se 4 < x < 6 e 4 < y < 6 e f (x, 
y) = 0 caso contrário. Justifique cada etapa da sua resolução.
Resposta esperada
Note que a variação que queremos está entre 4 < 4,5 ≤ x ≤ 4,9 < 6 e 4 < 4,5 ≤ x ≤ 5 < 6, então a
probabilidade é dado por:
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Minha resposta
Para determinar a probabilidade de uma placa escolhida aleatoriamente ter largura entre 4,9 e 5,5
e comprimento entre 4,8 e 5,2, precisamos calcular a integral dupla da função densidade de
probabilidade dentro dessa região. A densidade de função de probabilidade é definida como: f(x,
y) = 1 / ((6 - 4) * (6 - 4)) = 1 / 4, se 4 < x < 6 e 4 < y < 6 f(x, y) = 0, caso contrário Vamos
calcular uma integral dupla para obter a probabilidade desejada. A dupla integral representa a
área sob a função de densidade de probabilidade dentro da região especificada. P(4,9 = X = 5,5,
4,8 = Y = 5,2) = ¿¿[4,9 = x = 5,5, 4,8 = y = 5,2] f(x, y) dxdy A primeira etapa é definir os limites
de integração. Para calcular a integral dupla, devemos integrar em relação ax primeiro e, em
seguida, em relação a y. Portanto, os limites de integração são: 4,9 = x = 5,5 4,8 = y = 5,2 Agora
podemos calcular uma integral dupla: P(4,9 = X = 5,5, 4,8 = Y = 5,2) = ¿[4,8 = y = 5,2] ¿[4,9 = x
= 5,5] f(x, y) dxdy Integrando em relação ax primeiro, temos: P(4,9 = X = 5,5, 4,8 = Y = 5,2) =
¿[4,8 = y = 5,2] ¿[4,9 = x = 5,5] (1/4) dx dy A integral interna é uma integral definida simples em
relação ax: ¿[4,9 = x = 5,5] (1/4) dx = (1/4) * (5,5 - 4,9) = 0,15 Agora, substituindo o resultado
da integral interna na integral externa: P(4,9 = X = 5,5, 4,8 = Y = 5,2) = ¿[4,8 = y = 5,2] 0,15 dy
A integral externa é uma integral definida simples em relação ay: ¿[4,8 = y = 5,2] 0,15 dy = 0,15
* (5,2 - 4,8) = 0,06 Portanto, a probabilidade de uma placa escolhida aleatoriamente ter largura
entre 4,9 e 5,5 e comprimento entre 4,8 e 5,2 é de 0,06 ou 6%. Cada etapa da resolução envolveu
a aplicação dos conceitos de integração dupla para calcular a probabilidade.
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Parabéns, acadêmico(a)! Sua resposta atingiu os objetivos da questão e você atingiu o esperado,
demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
argumentos próprios, com base nos materiais disponibilizados. Confira no quadro "Resposta
esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
Em geral, as integrais de linhas não são tão simples de serem calculadas, pois dependem da curva que 
define a sua borda e essa curva pode não ser elementar.
Disserte sobre os três Teoremas estudados, suas principais características e um exemplo onde podem 
ser aplicados.
Resposta esperada
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos
utilizar o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em
duas dimensões sobre uma partícula.
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O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green para três dimensões, ou
seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três dimensões com a
integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é calcular o
trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula.
O Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre
uma integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A
integral dupla do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo
vetorial em três dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o
fluxo de saída.
Minha resposta
O Teorema de Green troca uma integral de linha por um integral dupla da diferença das
derivadas parciais da função vetorial dada sobre a região delimitada pela curva. Podemos utilizar
o Teorema de Green para calcular o trabalho realizado por um campo de forças em duas
dimensões sobre uma partícula. O Teorema de Stokes é uma generalização do Teorema de Green
para três dimensões, ou seja, relaciona uma integral de linha de um campo vetorial em três
dimensões com a integral de superfície do rotacional de um campo vetorial. Uma aplicação é
calcular o trabalho realizado por um campo de forças em três dimensões sobre uma partícula. O
Teorema de Gauss é o teorema mais diferente, já que ele estabelece uma relação entre uma
integral tripla sobre um sólido com uma integral de superfície em sua fronteira. A integral dupla
do campo vetorial é utilizada para calcular o fluxo de saída de um campo vetorial em três
dimensões, assim podemos utilizar o Teorema de Gauss para calcular o fluxo de saída.
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demonstrando a competência da análise e síntese do assunto abordado, apresentando excelentes
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esperada" a sugestão de resposta para esta questão.
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