Matematica avançada

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Disc.: MATEMÁTICA AVANÇADA   
		1a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Limite é um valor ao qual uma função se aproxima à medida que a variável se aproxima de um determinado ponto. Qual é o limite da funçäo f(x)=3x2+x−4x−1�(�)=3�2+�−4�−1 quando x� tende a 1 ?
		
	
	2.
	
	Infinito.
	
	5
	 
	7.
	
	4.
	Respondido em 16/11/2023 18:48:51
	
	Explicação:
Se substituirmos x por 1 no limite, teremos uma indeterminação do tipo 0/0.
Por isso, fatoramos a função:
limx→13x2+x−4x−1=limx→1(x−1)(3x+4)(x−1)=limx→13x+4=3⋅1+4=7lim�→13�2+�−4�−1=lim�→1(�−1)(3�+4)(�−1)=lim�→13�+4=3⋅1+4=7
 
	
		2a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Dada a função abaixo:
f(x)=sen(4x²)
Calcule ∂2f∂x2∂2�∂�2
		
	
	-8sen(4x²)x²+8cos(4x²)
	
	sen(4x²)x²+cos(4x²)
	 
	-64sen(4x²)x²+8cos(4x²)
	
	8sen(4x²)x²+8cos(4x²)
	
	64sen(4x²)x²+8cos(4x²)
	Respondido em 16/11/2023 18:51:31
	
	Explicação:
A função deve ser derivada 2 vezes.
Primeira derivada:
8cos(4x²).x
Na segunda derivada precisamos fazer a regra do produto, portanto:
-64sen(4x²)x²+8cos(4x²)
	
		3a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	A energia cinética de um corpo é dada pela relação k=12mv2�=12��2. Determine a expressão que mostra a taxa de variação de k� com o tempo.
		
	
	dkdt=m⋅v2⋅a.����=�⋅�2⋅�.
	
	dkdt=m⋅v⋅a2.����=�⋅�⋅�2.
	
	dkdt=m2⋅v⋅a.����=�2⋅�⋅�.
	
	dkdt=m⋅v⋅a2.����=�⋅�⋅�2.
	 
	dkdt=m⋅v⋅a.����=�⋅�⋅�.
	Respondido em 16/11/2023 18:50:22
	
	Explicação:
dkdt=?dkdt=d(12mv2)dt=12md(v2)dt����=?����=�(12��2)��=12��(�2)��
Como d(v2)dt=d(v2)dt⋅dvdt�(�2)��=�(�2)��⋅����, temos:
dkdt=12md(v2)dt⋅dvdt=12m⋅2v⋅dvdt=mvdvdt����=12��(�2)��⋅����=12�⋅2�⋅����=������
Como a aceleração é dada por: dvdt=a����=�
dkdt=m⋅v⋅a����=�⋅�⋅�
	
		4a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Constantemente mais de uma técnica é empregada na resoluçäo de integrais. Dessa forma, determine o valor da equação ∫π/303+cos(3x)dx∫0�/33+cos⁡(3�)��.
		
	
	3π / 2.
	
	π / 3.
	 
	π.
	
	2π.
	
	0.
	Respondido em 16/11/2023 18:52:46
	
	Explicação:
∫π/303+cos(3x)dx=∫π/303dx+∫π/30cos(3x)dx∫0�/33+cos⁡(3�)��=∫0�/33��+∫0�/3cos⁡(3�)��
Fica mais fácil resolver trabalhando com as derivadas de seno e cosseno ao invés de integrar diretamente:
Derivando sen(3x)/3sen⁡(3�)/3, temos:
Logo
ddxsen(3x)/3=cos(3x)∫cos(3x)dx=sen(3x)/3���sen⁡(3�)/3=cos⁡(3�)∫cos⁡(3�)��=sen⁡(3�)/3
E a integral
∫3dx=3x∫3��=3�
Agora, juntando tudo temos:
∫π/303+cos(3x)dx=∫π/303dx+∫π/30cos(3x)dx∫π/303+cos(3x)dx=3x+sen(3x)/3|x=π2x=0=π+sen(π)/3−sen(0)/3=π∫0�/33+cos⁡(3�)��=∫0�/33��+∫0�/3cos⁡(3�)��∫0�/33+cos⁡(3�)��=3�+sen⁡(3�)/3|�=0�=�2=�+sen⁡(�)/3−sen⁡(0)/3=�
∫π/303+cos(3x)dx=π∫0�/33+cos⁡(3�)��=�
	
		5a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Obtenha, caso exista, a equação da assíntota horizontal para a função f(x)=7−(13)x�(�)=7−(13)�
		
	
	x = 3
	 
	x = 7
	
	x = -3
	
	Não existe assíntota horizontal
	
	x = -1
	Respondido em 16/11/2023 19:03:54
	
	Explicação:
A resposta correta é: x = 7
	
		6a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Determinar o valor de m + 4p , reais, para que a função h(x) seja derivável em todos os pontos do seu domínio.
		
	
	1
	
	4
	
	0
	
	3
	 
	2
	Respondido em 16/11/2023 19:02:38
	
	Explicação:
A resposta correta é: 2
	
		7a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Seja a função f(x) = x2 - 6x + 9. Sejam duas retas tangentes ao gráfico desta função. Uma das retas é tangente ao ponto P(4,1). A outra tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de  ordenada igual a -1 O ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico de f(x) tem coordenadas ( a , b), com a e b reais. Determine o valor de a + b.
		
	
	6
	
	5
	
	2
	 
	3
	
	4
	Respondido em 16/11/2023 19:00:47
	
	Explicação:
A resposta correta é: 3
 
Seja f(x)=x2−6x+9�(�)=�2−6�+9
A reta tangente a f(x) será dada por:
y=mx+n�=��+�
onde
m=d[f(x)]/dx�=�[�(�)]/��
Derivando f(x):
m=d[x2−6x+9]/dx=2x−6�=�[�2−6�+9]/��=2�−6
Substituindo o P(4,1), temos:
m=2x−6=2.4−6=2�=2�−6=2.4−6=2
Voltando na equação da reta tangente:
y=mx+n=2x+n�=��+�=2�+�
Substituindo o P(4,1), temos:
y=2x+n�=2�+�
1=2.4+n1=2.4+�
n=−7�=−7
Sabemos que a outra reta tangente intercepta a primeira reta tangente no ponto de ordenada -1. Logo,
y=2x−7�=2�−7
−1=2x−7−1=2�−7
x=3�=3
O ponto de interseção é: (3,-1)
Sabemos que o ponto de tangência entre a segunda reta e o gráfico da f(x) tem coordenada (a,b), devemos determine (a + b).
As retas tangentes ao gráfico da f(x) são simétricas em relação ao eixo das ordenadas, então partindo do ponto (4,1) a segunda reta será tangente num ponto (x,1).
Para encontrar o valor de x, basta que façamos y = 1 na f(x), ou seja:
f(x)=x2−6x+9�(�)=�2−6�+9
1=x2−6x+91=�2−6�+9
x2−6x+8=0�2−6�+8=0
x′=4 e x′′=2�′=4 � �″=2
Como x¿=4 já é o ponto da primeira reta tangente, utilizamos x¿¿=2.
Portanto a segunda reta tem coordenada de tangencia à f(x) no ponto (2,1), logo:
a=2; b=1�=2; �=1
a+b=3�+�=3
	
		8a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	A escolha da técnica de integração irá depender da complexidade da integral. Tendo isso em mente, calcule a integral indefinida ∫3e2x2ex(ex−2)(e2x+4)dx∫3�2�2��(��−2)(�2�+4)��.
		
	
	ln(e2x−2)−ln(e2x+4)2+arctg(ex2)2ln⁡(�2�−2)−ln⁡(�2�+4)2+arctg⁡(��2)2.
	 
	ln(ex−2)−ln(e2x+4)2+arctg(ex2)2ln⁡(��−2)−ln⁡(�2�+4)2+arct⁡�(��2)2.
	
	ln(ex−2)−ln(ex+1)2+arctg(exx)2ln⁡(��−2)−ln⁡(��+1)2+arctg⁡(���)2.
	
	ln(ex−4)−ln(e2x+4)4+arctg(ex2)4ln⁡(��−4)−ln⁡(�2�+4)4+arct⁡�(��2)4.
	
	ln(ex−3)−ln(e2x+4)3+arctg(ex2)3ln⁡(��−3)−ln⁡(�2�+4)3+arctg⁡(��2)3.
	Respondido em 16/11/2023 18:55:07
	
	Explicação:
∫3e2x2ex(ex−2)(e2x+4)dx∫=ex+du=exdx∫3e2x2ex(ex−2)(e2x+4)dx=∫3ex+2(ex−2)(e2x+4)exdx=∫3u+2(u−2)(u2+4)du∫3�2�2��(��−2)(�2�+4)��∫=��+��=����∫3�2�2��(��−2)(�2�+4)��=∫3��+2(��−2)(�2�+4)����=∫3�+2(�−2)(�2+4)��
Resolvendo por integral por fraçenes parciais:
3u+2(u−2)(u2+4)=Au−2+Bu+Cu2+43u+2(u−2)(u2+4)=A(u2+4)+(Bu+C)(u−2)(u−2)(u2+4)(0)u2+(3)u+(2)(u−2)(u2+4)=(A+B)u2+(C−2B)u+(4A−2C)(t−2)(u2+4)3�+2(�−2)(�2+4)=��−2+��+��2+43�+2(�−2)(�2+4)=�(�2+4)+(��+�)(�−2)(�−2)(�2+4)(0)�2+(3)�+(2)(�−2)(�2+4)=(�+�)�2+(�−2�)�+(4�−2�)(�−2)(�2+4)
Resolvendo o sistema resultante:
A+B=0C−2B=34A−2C=2A=1;B=−1;C=1�+�=0�−2�=34�−2�=2�=1;�=−1;�=1
Retornando para a integral:
∫3u+2(u−2)(u2+4)du=∫(1u−2+−uu2+4+1u2+4)du∫3�+2(�−2)(�2+4)��=∫(1�−2+−��2+4+1�2+4)��
Resolvendo cada uma delas separadamente:
∫1d−2dt,y=u−2→dy=du∫1ydy=lny=ln(u−2)∫−uu2+4dt,z=u2+4→dz=2udu∫−12(dzz)=lnz−2=−ln(u2+4)2∫1�−2��,�=�−2→��=��∫1���=ln⁡�=ln⁡(�−2)∫−��2+4��,�=�2+4→��=2���∫−12(���)=ln⁡�−2=−ln⁡(�2+4)2
Para a última integral, dividimos por 4, para levar a uma integral tonhecida:
∫(1u2+4)du=∫⎛⎜
⎜⎝1/4(u2)2+1⎞⎟
⎟⎠du∫(1�2+4)��=∫(1/4(�2)2+1)��
Fazendo:
w=u2,→dw=du2+dw2=du4�=�2,→��=��2+��2=��4
∫⎛⎜
⎜⎝1/4(u2)2+1⎞⎟
⎟⎠du=∫⎛⎝dw2(w)2+1⎞⎠=arctg(w)2=arctg(u2)2∫(1/4(�2)2+1)��=∫(��2(�)2+1)=arctg⁡(�)2=arctg⁡(�2)2
Juntando as respostas das 3 integrais:
∫3u+2(u−2)(u2+4)du=∫(1u−2+−uu2+4+1u2+4)du∫3u+2(u−2)(u2+4)du=ln(u−2)−ln(u2+4)2+arctg(u2)2∫3�+2(�−2)(�2+4)��=∫(1�−2+−��2+4+1�2+4)��∫3�+2(�−2)(�2+4)��=ln⁡(�−2)−ln⁡(�2+4)2+arctg⁡(�2)2
Substituindo u=ex�=��
∫3e2x2ex(ex−2)(e2x+4)dx=ln(ex−2)−ln(e2x+4)2+arctg(ex2)2∫3�2�2��(��−2)(�2�+4)��=ln⁡(��−2)−ln⁡(�2�+4)2+arctg⁡(��2)2
	
		9a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Existem três tipos de assintotas que podem ser encontradas em uma função: verticais, horizontais e inclinadas. Calcule a assintota horizontal, se existir, para o limite limx→∞[2x2+x−53x2−7x+2]lim�→∞[2�2+�−53�2−7�+2].
		
	
	3/2.
	
	1/2.
	
	3/4.
	 
	2/3.
	
	0.
	Respondido em 16/11/2023 18:56:16
	
	Explicação:
limx→∞[2x2+x−53x2−7x+2]=limx→∞⎡⎣2x2x2+xx2−5x23x2x2−7xx2+2x2⎤⎦=limx→∞[2+1x−5x23−7x+2x2]=[2+1∞−5∞23−7∞+2∞2]=[2+0−03−0+0]=23lim�→∞[2�2+�−53�2−7�+2]=lim�→∞[2�2�2+��2−5�23�2�2−7��2+2�2]=lim�→∞[2+1�−5�23−7�+2�2]=[2+1∞−5∞23−7∞+2∞2]=[2+0−03−0+0]=23
	
		10a
            Questão  /  
	Acerto: 0,2  / 0,2
	
	Determine a derivada da função f(x)=1−√1+cos2(ex)�(�)=1−1+���2(��)
		
	
	excos(ex)sen(ex)1+cos2(ex)�����(��)���(��)1+���2(��)ex−cos(ex)sen(ex)1+cos2(ex)��−���(��)���(��)1+���2(��)
	
	excos(ex)√1+cos2(ex)�����(��)1+���2(��)
	
	excos2(ex)√1+cos2(ex)�����2(��)1+���2(��)
	 
	excos(ex)sen(ex)√1+cos2(ex)�����(��)���(��)1+���2(��)
	Respondido em 16/11/2023 19:09:08
	
	Explicação:
A resposta correta é: excos(ex)sen(ex)√1+cos2(ex)