Matemática Aplicada - UVA ADMINISTRAÇÃO

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1. Considere a seguinte situação-problema: Carlos e Eduardo são sócios e decidiram abrir juntos um negócio, considerando a ideia de construir um drive thru de bebidas em um terreno. Muito embora o terreno pertença a ambos, ele não está igualmente dividido. Para que fosse utilizada apenas a área em comum, contrataram um engenheiro, que dimensionou a área de cada um deles. Nesse sentido, as áreas de Carlos e de Eduardo foram dimensionadas respectivamente da seguinte maneira:  e .
A partir da situação e das fórmulas apresentadas, pode-se afirmar que, considerando que toda a área em comum será utilizada na construção do drive thru de bebidas, a área que ele deve possuir é de
Alternativas
A)
90m2.
B)
9m2.
C)
22,5m2.
D)
45m2.
E) Gabarito da questão
4,5m2.
2. O conceito de limite ocupa um papel central no cálculo infinitesimal. Isso ocorre porque, no cálculo diferencial, a derivada de uma função, de acordo com a definição de Cauchy, é introduzida por meio de um processo limite e, no cálculo integral, para introduzir a integral de uma determinada função em um dado intervalo, considera-se o limite de uma soma de Riemann. Limite é, portanto, um conceito básico do Cálculo e da Análise Matemática.
  
Assim, considerando uma função arbitrária , quando escrevemos, que se lê “o limite da função  quando  tende a  é ”, isso significa que  pode ser feita tão próxima de  quanto desejarmos, tomando valores de  suficientemente próximos de , mas, em geral, diferentes de . 
 
Formalmente, considere uma função  definida em um intervalo aberto que contém o número . Dizemos que o limite da função  é , quando  tende a , e representamos este fato por, se, e somente se, para todo número  houver um número , tal que  sempre que . 
 
MARQUES, Gil da Costa. Fundamentos de Matemática I. São Paulo: USP/Univesp/Edusp, 2014.
  
Com base nessas informações, considere a função , explicitada no gráfico a seguir. 
 
Considerando o que se pode concluir do exposto, julgue os itens a seguir.
I. O gráfico da função  coincide com o gráfico da função , exceto no ponto , onde  não está definida.
 
II. O limite de  quando  tende a 4 não existe, pois a função não está definida em .
 
III. A função  é contínua em todo ponto do seu domínio, sendo .
  
É correto o que se afirma em
Alternativas
A)
I, II e III.
B)
I e II, apenas.
C)
III, apenas.
D)
II e III, apenas.
E) Gabarito da questão
I, apenas.
3. Várias empresas privadas e também muitas estatais de alguns países têm se empenhado na tarefa de possibilitar viagens interplanetárias. Estão em jogo a exploração do turismo espacial, a mineração da Lua e Marte, o estabelecimento de colônias humanas em Marte, a construção de uma base científica na Lua etc.
O estágio atual de desenvolvimento dos sistemas de lançamentos de naves envolve, na maioria dos casos, a utilização de foguetes. Estes são lançados numa posição vertical, utilizando uma quantidade enorme de combustível (a maior parte da massa do conjunto é formada pelos tanques com combustível).
A engenharia encontra-se suficientemente desenvolvida de forma que a trajetória futura do foguete pode ser determinada com precisão quase absoluta. Estes cálculos são imprescindíveis para o sucesso deste tipo de empreendimento (segurança dos astronautas e cumprimento dos objetivos da viagem).
 
Considere que a trajetória inicial de um foguete é descrita pela função logarítmica seguinte:
 
 
Nesta, o termo  é o logaritmando, e  é a base do logaritmo.
 
O domínio desta função é formado pelo conjunto
 
Alternativas
A)
B) Gabarito da questão
C)
D)
E)
4. Uma função é uma lei matemática que relaciona um elemento de um conjunto numérico a um único elemento de outro conjunto numérico. Existem várias formas de representar uma função: diagramas, gráficos, tabelas e expressões algébricas. Com relação à representação algébrica de uma função, podemos classificá-las em relação a sua estrutura em: polinomiais, exponenciais, logarítmicas, etc. As funções exponenciais são aquelas que apresentam a variável independente no expoente e possuem a forma geral: , em que b é a base da função exponencial (que deve ser um número maior que 0 e diferente de 1), x é a variável independente e y a variável dependente.
 
A função logarítmica apresenta a variável independente dentro de um operador matemático conhecido como logaritmo, cuja forma geral é , no qual b é a base do logaritmo (que deve ser um número positivo e diferente de 1). A resolução de um logaritmo pode ser feita pela definição, ou seja, .
O logaritmo apresenta algumas propriedades, dentre as quais se destaca a propriedade da potência: . Tal propriedade nos mostra que, em qualquer base, o logaritmo de uma potência de base real e positiva é igual ao produto da base da potência pelo expoente.
 
Uma classe de problemas recorrentes em Matemática é a resolução de equações exponenciais. As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente como, por exemplo, a equação . A resolução de equações como essa pode ser feita com o auxílio dos logaritmos, aplicando o logaritmo em ambos os lados da igualdade e utilizando a propriedade da potência dos logaritmos, a fim de isolar (e calcular) o valor da incógnita, conforme mostrado a seguir.
 
 
Perante o exposto, pode-se afirmar que a solução de maior valor da equação exponencial  é
Alternativas
A)
2,0.
B) Gabarito da questão
3,1.
C)
0,8.
D)
1,6.
E)
1,0.
5. Uma função do segundo grau é uma lei matemática que apresenta a forma geral: , com . As raízes da função do segundo grau, ou seja, o ponto em que f(x) = 0, podem ser obtidos pela muito conhecida fórmula de Bhaskara
 
 
O gráfico de uma função do segundo grau é uma curva característica conhecida como parábola. A concavidade da parábola pode ser determinada pelo valor do coeficiente “a”, de tal forma que: se a > 0, a concavidade é para cima e, se  a < 0, a concavidade é para baixo. O ponto de interseção da linha, que passa no centro da parábola (eixo de simetria), com a parábola define um ponto conhecido como vértice da parábola. As coordenadas do vértice podem ser obtidas a partir do ponto médio entre as raízes, f(x) = 0, e são calculadas por
 
 
A análise do vértice da função e o valor de “a” nos fornece uma importante ferramenta à resolução de problemas de otimização (problemas de máximos e mínimos), pois para um valor de “a” positivo, o vértice da parábola corresponde a um ponto de mínimo, e para “a” negativo, o vértice corresponde a um ponto de máximo, como ilustra a função , que apresenta valor de “a” igual a 1, “b” igual a -5 e “c” igual a 6. Portanto, a coordenada “x” do vértice será dada por
 
 
Como o valor de “a” é 1 (a>0), podemos dizer que a função apresenta um ponto de mínimo em x = 2,5.
 
Sendo assim, considere que o custo C de uma empresa (em reais) é calculado pelo valor do preço de venda x (em reais) do seu único produto. Sabendo que a relação do custo com o preço é descrita pela função , assinale a alternativa que apresenta corretamente o valor, em reais, do custo mínimo da empresa.
Alternativas
A)
30.
B)
20.
C)
500.
D)
100.
E) Gabarito da questão
300.
6. Na Matemática, as funções exponencial e logarítmica são inversas. Isso significa que uma desfaz o cálculo da outra. Abordando mais especificamente o logaritmo, ele representa o expoente ao qual se deve elevar a base  para se obter o logaritmando . Matematicamente, temos:
 
 
em que  é a base,  é o logaritmando,  é o logaritmo, sendo  e  números reais e positivos e .
 
A função  é uma função logarítmica de base . O domínio de uma função representa os valores de  para os quais a função é definida. Nesse sentido, para determinar o domínio da função logarítmica , é preciso levar em consideração as condições de existência do logaritmo. Assim, a base deve ser um número real, positivo e diferente de 1 e o logaritmando deve ser um número real e positivo.
 
Uma vez conhecidas as principais características da função logarítmica, assinale a alternativa que apresenta o conjunto dos números reais  que satisfazem ainequação a seguir.
 
Alternativas
A)
B)
C)
D)
E) Gabarito da questão
7. Como aplicação imediata da definição de integral, quando f é uma função contínua, positiva, definida em [a, b], a , fornece o valor da área da região limitada pelo gráfico de f, pelas retas x = a, x = b e pelo eixo x. Se a função f for uma função contínua que assume valores positivos e negativos no intervalo [a, b], então o valor da integral será a diferença entre o valor da área da região que está acima do eixo x e o valor da área da região que está abaixo do eixo x. Esse fato torna-se claro ao se observar a figura a seguir e lembrar que, por definição, a integral é o limite de somas de Riemann.
As parcelas , que correspondem aos retângulos que estão abaixo do eixo x, são negativas, e seus valores absolutos fornecem o valor das áreas de cada um desses retângulos.
 
INTRODUÇÃO à Integral: cálculo de áreas e integrais definidas. Rio de Janeiro: UFRJ, [20--]. Disponível em: http://www.im.ufrj.br/waldecir/calculo1/calculo1pdf/capitulo_21.pdf. Acesso em: 3 ago. 2021.
 
Considere a função f(x) = xcos(x), cujo gráfico está explicitado a seguir.
 
Considerando as informações apresentadas, pode-se afirmar que  será
Alternativas
A)
0.
B) Gabarito da questão
-2.
C)
1.
D)
2.
E)
-1.
8. Função é um conceito da Matemática que relaciona duas grandezas variáveis. Está presente no dia a dia e tem diversas aplicações. Essa relação é dada a partir de uma lei de formação algébrica que toda função possui e essa lei permite relacionar dois ou mais conjuntos. Existem diversos tipos de função, como função do 1º grau, função do 2º grau, função exponencial, função logarítmica, entre outras. Cada uma dessas funções possui uma formulação e um gráfico característico. A função do 2º grau, por exemplo, é definida da forma f(x) = ax2 + bx + c, em que a, b e c são números reais e a  0 e seu gráfico é uma parábola.
 
DEMANA, F. D. et al. Pré-Cálculo. São Paulo: Pearson, 2009 (adaptado).
 
Tendo em vista essas informações, considere a situação apresentada a seguir.
 
Uma empresa vende materiais hospitalares e, por causa de um surto de gripe, no inverno de 2019, em determinado estado, ampliou suas vendas. Um dos equipamentos mais vendidos é a máscara facial e o número de máscaras vendidas a cada dia x é dado pela função f(x) = 500 + 2x + x2.
 
A partir dos dados apresentados, assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a quantidade de máscaras vendidas no 10º dia.
Alternativas
A) Gabarito da questão
620.
B)
695.
C)
668.
D)
500.
E)
643.