Aula 2 - Intervalos reais

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DEINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE
MATO GROSSO – Campus Alta FlorestaMATO GROSSO – Campus Alta Floresta
Bacharelado em ZootecniaBacharelado em Zootecnia
INTERVALOS REAISINTERVALOS REAIS
Prof. Mestre: Leonardo AngeloProf. Mestre: Leonardo Angelo
Intervalos reais são subconjuntos dos números reais, o que nos garante aIntervalos reais são subconjuntos dos números reais, o que nos garante a
validade de todas as propriedades e operações da teoria dos conjuntos.validade de todas as propriedades e operações da teoria dos conjuntos.
A representação geométrica de um intervalo é muito importante poisA representação geométrica de um intervalo é muito importante pois
podemos observar o comportamento dos intervalos, facilitando a suapodemos observar o comportamento dos intervalos, facilitando a sua
classificação e as suas possíveis operações.classificação e as suas possíveis operações.
Vamos, por exemplo, dizer que o conjunto A é um subconjunto dos númerosVamos, por exemplo, dizer que o conjunto A é um subconjunto dos números
naturais e que será representado por:naturais e que será representado por:
Leia-se: x pertence ao conjunto dos números naturais tais que x está entre 1Leia-se: x pertence ao conjunto dos números naturais tais que x está entre 1
e 2.e 2.
Nesse caso, o conjunto A = { }, pois não existe nenhum número naturalNesse caso, o conjunto A = { }, pois não existe nenhum número natural
compreendido 1 e 2.compreendido 1 e 2.
Agora, se x é um número real compreendido entre 1 e 2, como em lR sãoAgora, se x é um número real compreendido entre 1 e 2, como em lR são
infinitos números entre 1 e 2, por exemplo temos os valores 1,1; 1,12; 1,13;infinitos números entre 1 e 2, por exemplo temos os valores 1,1; 1,12; 1,13;
1,1244; 1,5; 1,34; 1,56 e etc, simplesmente escrevemos:1,1244; 1,5; 1,34; 1,56 e etc, simplesmente escrevemos:
 ou A = (1,2) ou A = ]1,2[ ou A = (1,2) ou A = ]1,2[
Por isso, em termos matemáticos, foi necessária a criação de um sistemaPor isso, em termos matemáticos, foi necessária a criação de um sistema
representativo que facilitasse a escrita de um intervalo real.representativo que facilitasse a escrita de um intervalo real.
Por meio de retas ou escrita extensa, é possível delimitar valores reais ePor meio de retas ou escrita extensa, é possível delimitar valores reais e
descrever infinitos elementos.descrever infinitos elementos.
-- TIPOS DE INTERVALOS REAIS –TIPOS DE INTERVALOS REAIS –
1- Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ ou (a,b) = {x 1- Intervalo aberto em a e aberto em b, ]a,b[ ou (a,b) = {x ЄЄ R / a < x < b}. R / a < x < b}.
Aberto à esquerda e aberto à direita.Aberto à esquerda e aberto à direita.
2- Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b] ou (a,b] = {x 2- Intervalo aberto em a e fechado em b, ]a,b] ou (a,b] = {x ЄЄ R / a < x R / a < x ≤≤ b}. b}.
Aberto à esquerda e fechado à direita.Aberto à esquerda e fechado à direita.
3- Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, ou [a,b) = {x 3- Intervalo fechado em a e aberto em b, [a,b[, ou [a,b) = {x ЄЄ R / a R / a ≤≤ x < b}. x < b}.
Fechado à esquerda e aberto à direita.Fechado à esquerda e aberto à direita.
4- Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b] = {x 4- Intervalo fechado em a e fechado em b, [a,b] = {x ЄЄ R / a R / a ≤≤ x x ≤≤ b} b}
Fechado à esquerda e fechado à direita.Fechado à esquerda e fechado à direita.
•• Representação de intervalos infinitos:Representação de intervalos infinitos:
I - {x I - {x ЄЄ R / x > a}; R / x > a};
II - {x II - {x ЄЄ R / x < a}; R / x < a};
III - {x III - {x ЄЄ R /x R /x ≥≥ a}; a};
IV - {x IV - {x ЄЄ R / R / ≤≤ a}. a}.
-- OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS –OPERAÇÕES COM INTERVALOS REAIS –
Como vimos, intervalos reais são subconjuntos do conjunto dos númerosComo vimos, intervalos reais são subconjuntos do conjunto dos números
reais. Dai, as operações de união, intersecção, diferença e complementarreais. Dai, as operações de união, intersecção, diferença e complementar
também se aplicam para estes subconjuntos.também se aplicam para estes subconjuntos.
Vale notar que nem toda solução de um problema matemático é umVale notar que nem toda solução de um problema matemático é um
número.número.
Muitas vezes essa solução é um conjunto numérico contido em no conjuntoMuitas vezes essa solução é um conjunto numérico contido em no conjunto
dos números reais.dos números reais.
Para fazer estas operações devemos:Para fazer estas operações devemos:
•• Marcar sobre uma mesma reta, em ordem crescente, todos osMarcar sobre uma mesma reta, em ordem crescente, todos os
números que são extremos dos intervalos;números que são extremos dos intervalos;
•• Abaixo da reta traçamos os intervalos que representam os conjuntos,Abaixo da reta traçamos os intervalos que representam os conjuntos,
usando “bolinha aberta” para a exclusão do extremo e “bolinhausando “bolinha aberta” para a exclusão do extremo e “bolinha
fechada” para a inclusão dos extremos;fechada” para a inclusão dos extremos;
•• Os trechos comuns dos intervalos determinam a intersecção e osOs trechos comuns dos intervalos determinam a intersecção e os
trechos que estão em pelo menos um dos intervalos indicam a união.trechos que estão em pelo menos um dos intervalos indicam a união.
Exemplo 1: Exemplo 1: Considere os intervalos A = [3,5] e B = (3,7].Considere os intervalos A = [3,5] e B = (3,7].
Façamos a união entre eles:Façamos a união entre eles:
Exemplo 2: Exemplo 2: Sejam os intervalos A = ]2,5] e B = [3,9[.Sejam os intervalos A = ]2,5] e B = [3,9[.
Façamos a intersecção entre eles:Façamos a intersecção entre eles:
Exemplo 3: Exemplo 3: Considere os intervalos A = ]-2,4] e B = (1,8).Considere os intervalos A = ]-2,4] e B = (1,8).
Façamos a diferença entre eles:Façamos a diferença entre eles:
Obs: Obs: Para realizar o complementar entre intervalos, basta verificar aPara realizar o complementar entre intervalos, basta verificar a
condição de um estar contido no outro. Se isso acontecer, basta realizar acondição de um estar contido no outro. Se isso acontecer, basta realizar a
diferença entre eles.diferença entre eles.
Exemplo 4:Exemplo 4:
Exemplo 5: Exemplo 5: Considere os intervalos reais A = (-2, 4), B = [0, 5], C = [-1, 1[Considere os intervalos reais A = (-2, 4), B = [0, 5], C = [-1, 1[
e D = (3, 6]. Faça:e D = (3, 6]. Faça: