Aprendendo_Geometria_Analítica_com_PSTricks_2010_Régis_da_Silva

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Prática IV - Seminários de Matemática Aplicada e Pesquisa em Ensino
APRENDENDO GEOMETRIA
ANALÍTICA COM PSTRICKS
Régis da Silva Santos
Orientador: Prof. Dr. Frederico José Andries Lopes
JUNHO / 2010 2010/ 1
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
UFMT
UNIVERSIDADE FEDERAL DE MATO GROSSO
APRENDENDO GEOMETRIA
ANALÍTICA COM PSTRICKS
Régis da Silva Santos
Como orientador do trabalho Aprendendo Geometria
Analítica com PSTricks realizado pelo discente Régis da
Silva Santos, aprovo esta versão final, como requisito
para disciplina “Prática de Ensino de Matemática IV
- Seminários de Matemática Aplicada e Pesquisa em
Ensino”.
Cuiabá, 30 de junho de 2010.
Prof. Dr. Frederico José Andries Lopes
APRENDENDO GEOMETRIA
ANALÍTICA COM PSTRICKS
Régis da Silva Santos
Discente do Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Orientador: Prof. Dr. Frederico José Andries Lopes
Professor do Departamento de Matemática
RESUMO
O objetivo deste trabalho é apresentar uma nova proposta de ensino de Geometria
Analítica através do PSTricks. Para tanto faremos uso do LATEX como recurso com-
putacional de forma que o estudante “dialogue” com o computador através de códigos
e o mesmo dê um “feedback ” rápido dos resultados. A intenção é que o estudante
construa os elementos da Geometria Analítica através de atividades desenvolvidas
com o PSTricks, usando o computador como recurso auxiliar.
Palavras-chave: LATEX, PSTricks, Ensino de Geometria, Geometria Analítica.
Sumário
1 História, Objetivos e Metodologia 6
2 O Ambiente de Trabalho 9
3 Sistema de Coordenadas e Pontos 12
4 Distância e Segmentos de Reta 37
5 Circunferência 49
6 Outras Possibilidades 56
7 Conclusão 58
Referências Bibliográficas 60
A Cônicas e Quádricas 61
B Instalando o LATEX 68
C Recursos do PSTricks 71
Agradecimentos 90
4
Introdução
A Geometria Analítica é um dos diversos ramos da Matemática, e este se fun-
damenta na idéia de representar algebricamente elementos geométricos, e reciproca-
mente, representar geometricamente elementos algébricos.
A proposta deste trabalho é apresentar uma alternativa de ensino e aprendizagem
de Geometria Analítica com o uso de recursos computacionais. Para ser mais es-
pecífico, o aprendizado de Geometria Analítica com o PSTricks, pacote para edição
de figuras geométricas do sistema de tipografia LATEX.
A seguir faremos uma descrição sobre como se originou a idéia deste trabalho,
objetivos e metologia, em seguida, uma breve apresentação do sistema LATEX e do
pacote de desenho PSTricks. Depois veremos três módulos exemplificando o uso
do PSTricks para se aprender Geometria Analítica: o primeiro sobre sistema de
coordenadas e pontos, o segundo sobre distância e segmentos de reta, e o terceiro
sobre circunferências. São muitos os temas de Geometria Analítica, mas por este ser
um trabalho introdutório, nos concentraremos apenas neste módulos. Em seguida
veremos mais algumas possibilidades do uso do PSTricks.
5
Capítulo 1
História, Objetivos e Metodologia
História
A idéia se originou com experiências que fui adquirindo na produção de ilus-
trações matemáticas para elaboração de apostilas. Inicialmente pesquisei sobre qual
seria a melhor ferramenta para se desenhar em LATEX de modo a produzir figuras
matemáticas, como por exemplo, um triângulo equilátero ou o gráfico de uma função
real, e ainda oferecer uma boa qualidade de impressão. O LATEX dispõe de pelo menos
dois pacotes de desenho: PSTricks e TikZ. A escolha do PSTricks como ferramenta
de trabalho se deu pela familiaridade de seus comandos com os elementos da Ge-
ometria Analítica, ou seja, cada comando faz uma associação direta ao objeto, por
exemplo, \psline refere-se a linha.
Em 2008 participei na construção dos gráficos de funções dos fascículos “Ma-
temática I (Introdução ao Cálculo Diferencial)” e “Matemática II (Introdução ao
Cálculo Integral)”, de autoria de Luzia Aparecida Palaro e Heliete Martins Moreno,
do curso de Administração na modalidade a distância, oferecido pela Faculdade de
Administração, Economia e Ciências Contábeis (FAeCC) e pelo Núcleo de Ensino à
Distância (NEAD) da UFMT. Todas as figuras foram desenhadas com o PSTricks,
6
e a escolha por esta ferramenta se deu pela flexibilidade e gama de opções que o
PSTricks oferece, além da qualidade de impressão.
Em 2009 desenvolvi ilustrações para os fascículos “Organização, Sistemas e Méto-
dos” e “Microeconomia e Macroeconomia” também para o NEAD. E no mesmo ano
apresentei um trabalho entitulado “Quádricas com PSTricks” no XXXII CNMAC.
Atualmente, mantenho o site http://latexbr.blogspot.com onde faço uma
introdução ao LATEX e falo sobre o uso do PSTricks para a criação de ilustrações
matemáticas.
Objetivos
Este trabalho apresenta uma proposta alternativa de ensino de Geometria Analítica
usando o PSTricks como recurso computacional.
Além disso, o aluno pode, através do LATEX e do PSTricks, confeccionar seus
próprios desenhos e ilustrações matemáticas a partir dos conhecimentos adquiridos
com a Geometria Analítica.
Metodologia
A metodologia de ensino inicia-se com o uso direto dos comandos PSTricks
através de exercícios, desafios e soluções de problemas simples na construção de
figuras elementares, como ponto, reta, etc. A intenção é que o aluno “dialogue” com
o computador através de códigos, de maneira a construir para si os elementos fun-
damentais da Geometria Analítica. Além disso, o resultado obtido permite ao aluno
refletir sobre o que foi solicitado ao computador. Se o resultado não corresponde ao
que era esperado, o aluno tem que depurar a idéia original através da aquisição de
conteúdos e estratégias atualizadas, repensando sobre o conteúdo anterior.
7
http://latexbr.blogspot.com
Esta idéia pode ser aplicada a partir do Ensino Fundamental, onde o aluno já
tem uma noção de Geometria Euclidiana plana. A partir daí, ele poderá construir as
noções de Geometria Analítica proposta neste trabalho, lembrando que seu “diálogo”
com o computador consiste em: o aluno escreve os códigos e o computador responde
com as figuras, dessa forma ele irá analisar e construir as idéias aqui propostas.
8
Capítulo 2
O Ambiente de Trabalho
O nosso ambiente de trabalho será o programa de produção de textos LATEX.
Apesar de ser classificado com esta funcionalidade, nossa intenção é expandir sua
utilização para a criação de figuras geométricas, mais especificamente o desenho de
elementos da Geometria Analítica, como ponto e reta.
O LATEX
O LATEX é um sistema de tipografia. É muito utilizado para a produção de textos
científicos e matemáticos por oferecer uma excelente qualidade tipográfica. O LATEX
também é útil para produzir vários tipos de documentos, desde simples cartas até
livros completos.
Um documento em LATEX é formado pelo texto propriamente dito, mais alguns
comandos (incluindo pacotes de macros) na parte inicial, que comumente chamamos
de preâmbulo. Esses comandos definem tipo de letra, formatação do texto, símbolos
especiais, expressões matemáticas, etc.
9
Para entender melhor um arquivo LATEX podemos compará-lo a um arquivo html,
onde escrevemos o código e só depois de um processo de compilação que vemos o
resultado final. Veja como compilar um arquivo do LATEX no Apêndice C.
O PSTricks
Para desenhar em PSTricks é aconselhável que se faça um rascunho num papel e
depois escreva os códigos. Assim, o trabalho se tornará mais produtivo é com menos
chance de erros.
PSTricks é uma coleção de macros do TEX baseado em PostScript
1, compatível
com a maioria dos pacotes de macros TEX, incluindo LATEX. A funcionalidade do
PSTricks é que torna possível se desenhar no LATEX.
O pacote básico do PSTricks consiste de alguns elementos gráficos primitivos
tais como pontos, linhas, quadros, entre outros. Mas existem outros pacotes in-
ternos como pst-plot, pst-node e pst-tree, formando assim, o núcleo do PSTricks.
Esses pacotes são conjuntos de macros com recursos adicionais para aplicaçõesparticulares, com eles podemos desenhar praticamente qualquer figura com pro-
priedades matemáticas, por exemplo: linhas, polígonos, círculos, curvas, gráficos de
funções reais, cônicas, quádricas, figuras com propriedades da Geometria Euclidiana
e Analítica, inserir e editar textos TEX, etc.
O PSTricks é distribuído pela MikTeX (Windows) www.miktex.org e TeXLive
(Linux/Mac OS) www.tug.org/texlive.
1Linguagem de programação direcionada para a criação de letras e figuras em geral.
10
www.miktex.org
www.tug.org/texlive
O Ambiente pspicture
Para fazer um desenho no LATEX, é necessário uma estrutura composta por duas
partes: o preâmbulo e o ambiente do documento. No preâmbulo inserimos uma classe
de documento com o comando \documentclass{}; e carregamos o pacote pstricks
com o comando \usepackage{}. Para o ambiente de texto usamos os comandos
\begin{document} e \end{document}. E por fim, o ambiente pspicture, onde é
desenhado um retângulo imaginário e todos os elementos da figura ficam dentro dele.
A sintaxe do comando pspicture é
\begin{pspicture}(x0,y0)(x1,y1)
objetos
\end{pspicture}
onde (x0,y0) é o canto inferior esquerdo do retângulo e (x1,y1) é o canto superior
direito.
O opção ∗ faz com que apareça somente o figura no interior do retângulo, ou
seja, caso o desenho transpasse o retângulo, com esta opção, a região externa não
aparecerá. Veja a sintaxe.
\begin{pspicture*}(x0,y0)(x1,y1)
objetos
\end{pspicture*}
Vejamos, agora, um exemplo de como ficará nosso ambiente de trabalho:
\documentclass{article}
\usepackage{pstricks}
\begin{document}
\begin{pspicture*}(x0,y0)(x1,y1)
objetos
\end{pspicture*}
\end{document}
11
Capítulo 3
Sistema de Coordenadas e Pontos
O ponto é o objeto mais elementar, porém é o que fundamenta toda a estrutura
da Geometria Analítica quando trabalhamos com o conceito de coordenadas.
Como é definido um ponto no plano? Como representá-lo? Para isto vamos usar
o PSTricks como nossa ferramenta de trabalho.
Para definir um ponto no PSTricks use o comando \psdots.
Lembre-se que usaremos o ambiente pspicture, conforme vimos na seção 2.
Então omitiremos os comandos \begin{pspicture} e \end{pspicture} para nos
concentrar apenas nos comandos de desenho.
Vejamos o primeiro exercício:
12
3.1 Escreva o seguinte código e veja o resultado:
\psdots(0,0)
Solução:
b \psdots(0,0)
3.2 Escreva o seguinte código e veja o resultado:
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
Solução:
b b
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
Obs: Observe que o ponto (0,0) é preto e o ponto (1,0) é azul. Para escrever
este segundo usamos o seguinte comando \psdots[linecolor=blue](1,0), então
daqui em diante vamos considerar sempre este modelo, ou seja, todos os pontos
diferentes de zero em azul, porém omitiremos este código (que é opcional) para uma
melhor visualização dos resultados.
13
3.3 Verifique o comportamento dos pontos no seguinte código.
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
Solução:
b b b
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
3.4 Verifique o comportamento dos pontos no seguinte código.
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(3,0)
Solução:
b b b b
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(3,0)
14
3.5 Compare os quatro desenhos anteriores.
a) O que você observou?
b) Meça as distâncias com a régua. Que relação você faz entre os pontos e as
distâncias?
c) Que relação existe entre os números dentro dos parênteses e as distâncias?
Observe que, ao variar a primeira entrada do par ordenado, percorremos todos
os números reais positivos. Assim, podemos associar cada um desses números aos
números de uma régua. Então pegue uma régua e trace uma linha, conforme mostra
a figura a seguir.
0 1 2 3 4 5
Figura 3.1
Desta maneira podemos representar cada um desses números numa reta, con-
forme Fig. 3.2.
0 1 2 3 4 5
Figura 3.2: Reta.
3.6 Escreva o seguinte código e veja o resultado:
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
15
Solução:
bb
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
3.7 Verifique o comportamento dos pontos no seguinte código.
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
Solução:
bbb
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
3.8 Compare os exercícios 3.6 e 3.7.
a) O que você observou nos três desenhos anteriores?
b) De que maneira podemos usar uma régua para medi-los?
c) Qual a relação entre os números dentro dos parênteses e os números dos primeiros
exercícios?
d) Neste caso os pontos se movimentam em qual sentido?
e) Existe alguma forma de representar todos esses pontos (positivos e negativos)
numa única reta?
16
Agora surge a necessidade de representar esses pontos (com valores negativos)
numa outra reta. Mas como fazer isso?
Pegue uma régua e coloque-a na posição conforme a figura a seguir, em seguida
trace uma reta e marque os pontos.
012345
Figura 3.3
Observe que a partir daí os números “caminham” para a esquerda. Então os
números reais negativos podem ser representados numa reta, conforme Fig. 3.4.
0−1−2−3−4−5
Figura 3.4: Reta.
Como as duas retas possuem a mesma direção (horizontal), podemos uni-las,
transformando numa única reta orientada que chamaremos de reta real ou de eixo
x. (Fig. 3.5)
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
origem
Figura 3.5: Reta orientada
Sendo assim, a reta real é uma reta orientada ou um eixo, e a cada ponto está
associado um único número real e vice-versa. O ponto O do eixo ao qual está
associado o número zero é chamado origem.
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Se considerarmos um ponto A qualquer do eixo, quando ele estiver à direita de
O, o número será positivo; quando à esquerda, será negativo; e quando coincidir
com O, será nulo.
Agora vamos continuar estudando os pontos.
3.9 Verifique o comportamento dos pontos no seguinte código.
\psdots(0,0)
\psdots(0,1)
Solução:
b
b
\psdots(0,0)
\psdots(0,1)
3.10 Verifique o comportamento dos pontos no seguinte código.
\psdots(0,0)
\psdots(0,1)
\psdots(0,2)
18
Solução:
b
b
b
\psdots(0,0)
\psdots(0,1)
\psdots(0,2)
3.11 Compare os exercícios 3.9 e 3.10.
a) O que você observou nos três desenhos anteriores?
b) Observe que agora os números que variam são os da segunda entrada do par
ordenado. O que isto muda no comportamento dos pontos?
c) Os pontos se movimentam em qual direção? E em qual sentido?
Observe que, ao variar a segunda entrada do par ordenado, percorremos todos
os números reais positivos. Neste caso, os números “caminham” para cima, então
podemos representá-los numa reta, conforme mostra a Fig. 3.6.
0
1
2
3
Figura 3.6: Reta.
19
3.12 Verifique o comportamento dos pontos no seguinte código.
\psdots(0,0)
\psdots(0,-1)
Solução:
b
b
\psdots(0,0)
\psdots(0,-1)
3.13 Verifique o comportamento dos pontos no seguinte código.
\psdots(0,0)
\psdots(0,-1)
\psdots(0,-2)
Solução:
b
b
b
\psdots(0,0)
\psdots(0,-1)
\psdots(0,-2)
20
3.14 Mais uma vez, compare os exercícios 3.12 e 3.13.
a) De que maneira podemos usar uma régua para medi-los?
b) Qual a relação entre os números dentro dos parênteses e os números dos exercícios
3.9 e 3.10?
c) Neste caso os pontos se movimentam em qual sentido?
d) Existe alguma forma de representar todos esses pontos (positivos e negativos)
numa única reta?
Podemos representar esses pontos numa reta do mesmo modo que fizemos ante-
riormente. Então pegue uma régua e coloque-a na posição conforme a Fig. 3.7, em
seguida trace uma reta e marque os pontos.
0
1
2
3
4
5
Figura 3.7
0
−1
−2
−3
Figura 3.8: Reta.
A partir daí podemos representar esses pontos numa reta. (Fig. 3.8)
21
−3
−2
−1
0
1
2
3
origem
Como as duas retas possuem a mesma direção (verti-
cal), podemos uni-las, transformando numa única reta
orientada que chamaremos de eixo Y .
A cada ponto da reta está associado um único número
real e vice-versa. O ponto O do eixo ao qual está asso-
ciado o número zero é chamado origem.
Se considerarmos um ponto B qualquer do eixo, quando
ele estiver acima de O, o número será positivo; quando
abaixo, será negativo; e quando coincidir com O, será
nulo.
3.15 Apartir de agora é possível relacionar as duas retas e seus respectivos pontos?
Se girarmos a reta horizontal 90◦ no sentido anti-horário, considerando o ponto O
como o centro de giro, obteremos a mesma reta vertical com a mesma representação
dos pontos?
Construindo o plano cartesiano
Respondendo as perguntas do exercício 3.15, podemos sim unir as duas retas
(horizontal e vertical) e representá-las num único ambiente, o qual chamaremos de
plano.
Tomemos duas retas orientadas, a primeira (reta horizontal) chamaremos de
eixo x, cujo “sentido positivo” será para a direita a partir do ponto O, e o “sentido
negativo” para a esquerda em relação a O. A segunda reta é construida a partir
da primeira, girando-a 90◦ no sentido anti-horário, considerando como centro de
rotação o ponto O.
22
Assim, obtemos o eixo y, cujo “sentido positivo” será para cima a partir do ponto
O, e o “sentido negativo” para baixo em relação a O.
x
y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
0
Figura 3.9: Sistema de eixos coordenados cartesianos.
A esse conjunto de retas dá-se o nome de sistema de eixos coordenados cartesianos
ou plano cartesiano.1
3.16 Represente todos os pontos dos exercícios anteriores escrevendo o seguinte
código:
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(0,1)
\psdots(0,2)
\psdots(0,-1)
\psdots(0,-2)
1Nome dado em homenagem a René Descartes, matemático e filósofo francês (1596-1650), um
dos fundadores da Geometria Analítica.
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Solução:
b b bbb
b
b
b
b
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(0,1)
\psdots(0,2)
\psdots(0,-1)
\psdots(0,-2)
Para desenhar um eixo cartesiano use o comando \psaxes.2
3.17 Digite \psaxes{->}(0,0)(-4,-4)(4,4) e escreva novamente os códigos do
exercício anterior.
Solução:
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3
b b b bbbb
b
b
b
b
b
b
\psaxes{->}(0,0)(-3.99,-3.99)(4,4)
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(3,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(-3,0)
\psdots(0,1)
\psdots(0,2)
\psdots(0,3)
\psdots(0,-1)
\psdots(0,-2)
\psdots(0,-3)
Falando ainda um pouco mais sobre retas, repare que mencionamos a palavra
reta real. Isto significa que não estamos limitados apenas aos números inteiros,
2Para usar o comando psaxes é necessário carregar o pacote pstricks-add.
24
mas sim a todos os números reais. Desta forma podemos escrever pontos como no
exercício a seguir:
3.18 Escreva o seguinte código e meça a distância entre eles com a régua.
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(1.5,0)
\psdots(2,0)
\psdots(2,0.25)
\psdots(2,0.5)
\psdots(2,1)
Solução:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
b b b b
b
b
b
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(1.5,0)
\psdots(2,0)
\psdots(2,0.25)
\psdots(2,0.5)
\psdots(2,1)
Observe, a partir do exercício anterior, que podemos usar números decimais. E
isso aumenta, e muito, nossa possibilidade de desenhos com maior precisão.
Ainda no exercício anterior, observe que os pontos (começando da origem (0,0))
movimentam-se para a direita e depois para cima.
Assim, é muito mais intuitivo representar um ponto no eixo cartesiano “cami-
nhando” para a direita (ou esquerda), depois para cima (ou para baixo) a partir da
origem.
25
3.19 Escreva o código a seguir e observe como os pontos se “movimentam” em
relação à origem.
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(2,-1)
\psdots(2,-2)
Solução:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
b b b
b
b
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(1,0)
\psdots(2,0)
\psdots(2,-1)
\psdots(2,-2)
26
3.20 Faça as mesmas observações com o código a seguir.
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(-2,1)
\psdots(-2,2)
Solução:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
bbb
b
b
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(-2,1)
\psdots(-2,2)
Observe no exercício 3.19 que os pontos “movimentam-se” para a direita e depois
para baixo. E no exercício 3.20 eles se “movimentam” para a esquerda e depois para
cima. Faça mais um exercício.
3.21 Faça as mesmas observações com o código a seguir.
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(-2,-1)
\psdots(-2,-2)
27
Solução:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
bbb
b
b
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\psdots(0,0)
\psdots(-1,0)
\psdots(-2,0)
\psdots(-2,-1)
\psdots(-2,-2)
Observe que desta vez os pontos se movimentam para a esquerda e depois para
baixo.
Posições de um ponto em relação ao sistema de coordenadas
A partir de agora podemos representar um ponto em qualquer lugar do plano
cartesiano (e não somente sobre as retas).
3.22 Escreva o código a seguir, e observe em que região do plano se encontra cada
ponto.
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\pnode(0,0){O}\psdots(O)
\pnode(2,2){A}\psdots(A)
\pnode(-2,2){B}\psdots(B)
\pnode(-2,-2){C}\psdots(C)
\pnode(2,-2){D}\psdots(D)
28
Solução:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
b
bb
b b
O
AB
C D
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\pnode(0,0){O}\psdots(O)
\pnode(2,2){A}\psdots(A)
\pnode(-2,2){B}\psdots(B)
\pnode(-2,-2){C}\psdots(C)
\pnode(2,-2){D}\psdots(D)
Primeiro observe que neste exercício usamos um novo comando: \pnode.3 Este
comando “nomeia” um ponto para depois desenhá-lo (com \psdots). A vantagem é
que podemos usar o nome do ponto várias vezes, e isto será muito útil nos próximos
exercícios.
Depois observe que os pontos A, B, C e D encontram-se cada um numa região
diferente do plano cartesiano, chamada quadrantes. Sendo assim, seguindo a ordem
em que aparecem os pontos temos 1◦, 2◦, 3◦ e 4◦ quadrantes, conforme a Fig. 3.10.
x
y
O
1◦ quadrante2◦ quadrante
3◦ quadrante 4◦ quadrante
Figura 3.10: Quadrantes.
3Para usar o comando pnode é necessário carregar o pacote pstricks-add.
29
3.23 Escreva o código a seguir, e diga a qual quadrante pertence cada um deles.
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(2,2){B}\psdots(B)
\pnode(-1,-1){C}\psdots(C)
\pnode(-2,-2){D}\psdots(D)
\pnode(-1,1){E}\psdots(E)
\pnode(-2,2){F}\psdots(F)
\pnode(1,-1){G}\psdots(G)
\pnode(2,-2){H}\psdots(H)
Solução:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
b
b
b
b
b
b
b
b
A
B
C
D
E
F
G
H
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(2,2){B}\psdots(B)
\pnode(-1,-1){C}\psdots(C)
\pnode(-2,-2){D}\psdots(D)
\pnode(-1,1){E}\psdots(E)
\pnode(-2,2){F}\psdots(F)
\pnode(1,-1){G}\psdots(G)
\pnode(2,-2){H}\psdots(H)
\uput[0](A){\blue{$A$}}
\uput[0](B){\blue{$B$}}
\uput[180](C){\blue{$C$}}
\uput[180](D){\blue{$D$}}
\uput[180](E){\blue{$E$}}
\uput[180](F){\blue{$F$}}
\uput[0](G){\blue{$G$}}
\uput[0](H){\blue{$H$}}
Obs: O comando \uput insere um texto usando um ângulo de inclinação em
relação ao ponto onde é inserido, mais informações em [11].
3.24 Escreva o código a seguir, e diga a qual quadrante pertence cada um deles.
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\pnode(2,1){A}\psdots(A)
30
\pnode(-1,2){B}\psdots(B)
\pnode(1,-1){C}\psdots(C)
\pnode(-2,-2){D}\psdots(D)
Solução:
1
2
−1
−2
1 2−1−2
b
b
b
b
A
B
C
D
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-2.99)(3,3)
\pnode(2,1){A}\psdots(A)
\pnode(-1,2){B}\psdots(B)
\pnode(1,-1){C}\psdots(C)
\pnode(-2,-2){D}\psdots(D)
3.25 Preencha o nome de cada ponto e escreva as coordenadas de cada um deles.
Em seguida escreva o código usando os comandos \pnode e \psdots.
x
y
0−4
−4
−3
−3
−2
−2
−1
−1
1
1
2
2
3
3
4
4
A( , )
B( , )
C( , )
D( , )
E( , )
F ( , )
G( , )
H( , )
I( , )
(1, 4)
(0,−2)
(2, 0)
(−4, 0)
(−2,−4)
(0, 1)
(−3, 3)
(3,−3)
(4, 2)
Figura 3.11
31
Solução:
\pnode(4,2){A}\psdots(A)
\pnode(1,4){B}\psdots(B)
\pnode(-3,3){C}\psdots(C)
\pnode(2,0){D}\psdots(D)
\pnode(0,1){E}\psdots(E)
\pnode(-4,0){F}\psdots(F)
\pnode(-2,-4){G}\psdots(G)
\pnode(0,-2){H}\psdots(H)
\pnode(3,-3){I}\psdots(I)
3.26 Escreva o seguinte código, e observea diferença entre os pontos A e B.
\psaxes{->}(0,0)(-1.99,-1.99)(4,4)
\pnode(3,2){A}\psdots(A)
\pnode(2,3){B}\psdots(B)
Solução:
1
2
3
−1
1 2 3−1
b
b
A
B
\psaxes{->}(0,0)(-1.99,-1.99)(4,4)
\pnode(3,2){A}\psdots(A)
\pnode(2,3){B}\psdots(B)
Como você já deve ter observado, a notação (x, y) é usada para indicar o par
ordenado de números reais x e y, no qual o número x é a primeira coordenada e o
número y é a segunda coordenada. Observe no exercício 3.26 que os pares ordenados
32
(3, 2) e (2, 3) são diferentes, pois a primeira coordenada de (3, 2) é 3, enquanto a
primeira coordenada de (2, 3) é 2.
Dado um ponto P do plano cartesiano, dizemos que os números x e y são as
coordenadas do ponto P , em que x é a abscissa e y é a ordenada.
Observe que a cada par ordenado de números reais corresponde um ponto do
plano cartesiano e, reciprocamente, a cada ponto do plano corresponde um par
ordenado de números reais. Essa correspondência biunívoca entre pares de números
reais e pontos do plano permite escrever conceitos e propriedades geométricas em
uma linguagem algébrica e, reciprocamente, interpretar geometricamente relações
entre números reais. Esta é a essência da Geometria Analítica.
3.27 Analise os seguintes códigos:
a) \pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(3,1){B}\psdots(B)
\pnode(2,1){M}\psdots(M)
b) \pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(1,-1){C}\psdots(C)
\pnode(1,0){N}\psdots(N)
Existe alguma relação entre as coordenadas do ponto M e as coordenadas dos
pontos A e B? A mesma relação vale se compararmos o ponto N com A e C?
Solução:
1
1 2 3 4
b bb
A BM
\pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(3,1){B}\psdots(B)
\pnode(2,1){M}\psdots(M)
33
1
−1
1 2 3 4
b
b
b
A
C
N
\pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(1,-1){C}\psdots(C)
\pnode(1,0){N}\psdots(N)
Ponto médio entre dois pontos
Muitos livros definem o ponto médio de um segmento de reta, mas podemos
definir o ponto médio em relação a dois pontos distintos.
Definição 3.1 Dados dois pontos distintos A e B, um ponto M é ponto médio dos
pontos A e B se, e somente se, M está entre A e B e d(A, M) = d(M, B).
d(A, M) d(M, B)
A BM
Figura 3.12: M é ponto médio dos pontos A e B.
Num sistema de eixos coordenados podemos definir o ponto médio M(x, y) como
sendo a média aritmética dos pontos A e B em cada coordenada, ou seja, dados os
pontos A(x1, y1) e B(x2, y2) temos que
x =
x1 + x2
2
e y =
y1 + y2
2
então, o ponto médio entre A e B é dado por M
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
.
34
3.28 Calcule e escreva o código do ponto médio M entre os pontos A e B a seguir.
\pnode(-2,1){A}\psdots(A)
\pnode(4,3){B}\psdots(B)
Solução:
Seja M(x, y). Então
x =
−2 + 4
2
= 1 e y =
1 + 3
2
= 2
Logo, M(1, 2). E o código é:
\pnode(1,2){M}\psdots(M)
1
2
3
1 2 3 4−1−2
b
b
b
A
B
M
\pnode(-2,1){A}\psdots(A)
\pnode(4,3){B}\psdots(B)
\pnode(1,2){M}\psdots(M)
35
3.29 Considere M o ponto médio entre os pontos C e D. Dados
\pnode(-3,1){C}\psdots(C)
\pnode(0,-0.5){M}\psdots(M)
calcule e escreva o código do ponto D.
Solução:
Seja D(x, y). Então
0 =
x + (−3)
2
⇒ 0 = x − 3 ⇒ x = 3
−0.5 = y + 1
2
⇒ −1 = y + 1 ⇒ y = −2
Logo, D(3,−2). E o código é:
\pnode(3,-2){D}\psdots(D)
1
−1
−2
1 2 3−1−2−3
b
b
b
C
D
M
\pnode(-3,1){C}\psdots(C)
\pnode(3,-2){D}\psdots(D)
\pnode(0,-0.5){M}\psdots(M)
Nosso estudo sobre pontos foi longo por este ser o objeto mais elementar da
Geometria Analítica e por servir de base para a construção de outros elementos,
como por exemplo, um segmento de reta.
36
Capítulo 4
Distância e Segmentos de Reta
Vale lembrar que a intenção deste material não é abordar todos os conteúdos
de Geometria Analítica, e sim fazer uma breve apresentação e introdução de al-
guns tópicos em especial; lembrando ainda, que a intenção é que o leitor perceba o
potencial do PSTricks para aprender conteúdos de Geometria Analítica.
Distância entre dois pontos
4.1 Escreva o código a seguir e calcule a distância entre os pontos A e B.
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,3)
\pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(3,1){B}\psdots(B)
37
Solução:
1
2
1 2 3 4
b b
A B
d(A, B) = 2
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,3)
\pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(3,1){B}\psdots(B)
4.2 Escreva o código a seguir e calcule a distância entre os pontos C e D.
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-2.99)(5,2)
\pnode(1,-2){C}\psdots(C)
\pnode(1,1){D}\psdots(D)
Solução:
1
−1
−2
1 2 3 4
b
b
C
D
d(C, D) = 3
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-2.99)(5,2)
\pnode(1,-2){C}\psdots(C)
\pnode(1,1){D}\psdots(D)
38
4.3 A partir dos pontos dado no código a seguir, calcule a distância de:
a) O a A;
b) O a B;
c) A a B.
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,4)
\pnode(0,0){O}\psdots(O)
\pnode(4,0){A}\psdots(A)
\pnode(4,3){B}\psdots(B)
Solução:
1
2
3
1 2 3 4
b
O
b
A
b
B
5 c
m
4 cm
3 cm
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,4)
\pnode(0,0){O}\psdots(O)
\pnode(4,0){A}\psdots(A)
\pnode(4,3){B}\psdots(B)
4.4 Dado o ponto A(1, 1) encontre um ponto B que esteja a 2 cm de distância e
que tenha a mesma ordenada que A. E encontre um ponto C que esteja a 3 cm de
distância e que tenha a mesma abscissa de A. Escreva os códigos dos pontos A, B
e C.
39
Solução:
1
2
3
4
1 2 3 4
b
b
b
0
A
B
C
\pnode(1,1){A}\psdots(A)
\pnode(1,3){B}\psdots(B)
\pnode(4,1){C}\psdots(C)
Para resolver os exercícios 4.3 e 4.4, provavelmente você tenha usado o teorema
de Pitágoras; é exatamente com este teorema que obtemos uma fórmula que indica
a distância entre dois pontos no plano cartesiano.
Considere os pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), conforme Fig. 4.1.
x
y
0
A
B
x1
y1
x2
y2
∆x
∆y
Figura 4.1
40
A partir daí obtemos o triângulo ABC, conforme a Fig. 4.2, onde ∆x é a variação
de x1 à x2, ou seja, ∆x = x2 − x1 e ∆y = y2 − y1.
A
B
C∆x
∆yd(A
,B
)
Figura 4.2
Indicaremos a distância entre os pontos A e B por d(A, B), sendo assim:
[d(A, B)]2 = ∆x2 + ∆y2
⇒ d(A, B) =
√
∆x2 + ∆y2
⇒ d(A, B) =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Obs: Note que a expressão geral obtida independe da localização de A e B.
4.5 Calcule a distância entre os pontos
\pnode(-2,-1){E}\psdots(E) e
\pnode(3,2){F}\psdots(F)
Solução:
d(E, F ) =
√
(3 − (−2))2 + (2 − (−1))2
=
√
52 + 32
=
√
25 + 9
d(E, F ) =
√
34
41
A maioria dos livros abordam o conceito de reta a partir de seus diversos formatos
de equações, mas abordaremos aqui apenas alguns dos recursos do PSTricks que é o
segmento de reta. O PSTricks também desenha retas a partir de suas equações, mas
para isso fica a cargo do leitor buscar informações sobre funções, equação reduzida
da reta e ler o manual do PSTricks [11].
Segmento de Reta
Para desenhar um segmento de reta (ou linha), usaremos o comando \psline.
4.6 Escreva o seguinte código e veja o resultado:
\psline(0,0)(2,1)
Solução:
1
2
1 2 3
\psline(0,0)(2,1)
Repare que não há necessidade de desenhar os pontos.
42
4.7 Escreva o seguinte código e compare com o exercício anterior.
\psline(0,0)(2,2)
Solução:
1
2
1 2 3
\psline(0,0)(2,2)
4.8 Escreva o seguinte código e compare com o exercício anterior.
\psline(1,2)(3,1)
Solução:
1
2
1 2 3
A
;
B
;
\psline(1,2)(3,1)
Como podemos observar, dois pontos são suficientes para definirmos um segmento
de reta. Então, usando a notação AB, temos que o segmento de reta AB possui
extremidades nos pontos A e B.
43
Então escrevemos o comando
\psline(x0,y0)(x1,y1)
onde (x0,y0) são as coordenadas do primeiro ponto e (x1,y1) são as coordenadas
do segundo ponto.
4.9 Escreva o seguinte código e observe as diferenças no código em relação ao
exercício anterior.
\psline(0,0)(2,2)(4,0)
Solução:
1
2
1 2 3 4
\psline(0,0)(2,2)(4,0)
Note que podemos desenhar duas retas (emendadas) usando apenas um comando
\psline.
44
4.10 Desenhe um triângulo cujos vértices sejam os pontos (1, 1), (1, 4) e (3, 3).
Solução:
1
2
3
4
1 2 3 4
\psline(1,1)(1,4)(3,3)(1,1)
4.11 Escreva o seguinte código.
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,3)
\pnode(0,0){A}
\pnode(2,2){B}
\pnode(2,1){C}
\pnode(4,2){D}
\psline(A)(B)\psline(C)(D)
\psdots(A)(B)(C)(D)
45
Solução:
1
2
1 2 3 4
b
b
b
b
A
B
C
D
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,3)
\pnode(0,0){A}
\pnode(2,2){B}
\pnode(2,1){C}
\pnode(4,2){D}
\psline(A)(B)
\psline(C)(D)
\psdots(A)(B)(C)(D)
Nota: Observe que, apesar do comando \psline não requerer identificação de
pontos, usaremos o comando \pnode para nomeá-los e em seguida traçar a linha.
4.12 Desenhe um triângulo passando pelos pontos a seguir e complete o código.
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,5)
\pnode(0,0){A}
\pnode(3,1){B}
\pnode(1,4){C}
\psline...
Solução:
1
2
3
4
1 2 3 4
b
b
b
A
B
C
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,5)
\pnode(0,0){A}
\pnode(3,1){B}
\pnode(1,4){C}
\psline(A)(B)(C)(A)
46
4.13 Os pontos A(−1, 3); B(−1, 1); C(2, 1) e D(x, y) são vértices de um retângulo.
Encontre as coordenadas do ponto D e desenhe o retângulo completando o código
a seguir.
\psaxes{->}(0,0)(-1.99,-0.99)(3,4)
\pnode...
\psdots(A)(B)(C)(D)
\psline...
Solução:
1
2
3
1 2−1
b
b b
b
A
B C
D
\psaxes{->}(0,0)(-1.99,-0.99)(3,4)
\pnode(-1,3){A}
\pnode(-1,1){B}
\pnode(2,1){C}
\pnode(2,3){D}
\psdots(A)(B)(C)(D)
\psline(A)(B)(C)(D)(A)
4.14 Dado o ponto A(−1, 2) desenhe uma linha horizontal de comprimento 4 cm
cuja abscissa seja positiva. Considere \psaxes(0,0)(-1.99,-0.99)(4,3)
Solução:
1
2
1 2 3−1 0
b
A
b
B
\psaxes{->}(0,0)(-1.99,-0.99)(4,3)
\psline(-1,2)(3,2)
\psdots(-1,2)
\psdots(3,2)
47
4.15 Trace uma linha do ponto A(0, 1) ao ponto B(2, 3) e outra linha de C(−2, 1) a
D(2,−3). Em seguida trace uma linha do ponto médio da primeira ao ponto médio
da segunda.
Solução:
O ponto médio da linha AB é M(1, 2) e o ponto médio da linha CD é N(0,−1).
Então,
1
2
3
−1
−2
−3
1 2−1−2
b
b
b
b
b
b
A
B
C
D
M
N
\pnode(0,1){A}\pnode(2,3){B}
\pnode(-2,1){C}\pnode(2,-3){D}
\pnode(1,2){M}\pnode(0,-1){N}
\psline(A)(B)
\psline(C)(D)
\psline(M)(N)
\psdots[linecolor=blue](A)(B)(C)(D)
\psdots[linecolor=red](M)(N)
48
Capítulo 5
Circunferência
O que é uma circunferência? Que elementos precisamos para desenhá-la? Como
desenvolver sua equação?
Seguindo a mesma idéia dos módulos anteriores vejamos alguns exercícios, mas
desta vez usaremos o comando \pscircle sem se preocupar com sua sintaxe, pois
a partir dela já podemos responder a segunda pergunta feita inicialmente.
5.1 Escreva o seguinte código e veja o resultado:
\pscircle(0,0){1}
Solução:
1
1
−1
−1
\pscircle(0,0){1}
49
5.2 Escreva o seguinte código e identifique a relação entre a variação dos números
entre chaves e um dos elementos da circunferência.
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){3}
Solução:
1
2
3
−1
−2
−3
1 2 3−1−2−3
b
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(0,0){2}
\pscircle(0,0){3}
5.3 Escreva o seguinte código e veja o resultado:
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(2,0){1}
\pscircle(4,0){1}
50
Solução:
1
−1
1 2 3 4 5−1
b b b
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(2,0){1}
\pscircle(4,0){1}
5.4 Escreva o seguinte código e identifique a relação dos números entre parênteses
com o segundo elemento da circunferência.
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(2,1){1}
\pscircle(4,2){1}
Solução:
1
2
3
−1
1 2 3 4 5−1
b
b
b
\pscircle(0,0){1}
\pscircle(2,1){1}
\pscircle(4,2){1}
Até aqui já podemos identificar os elementos para construir uma circunferência,
que são o centro e o raio. Agora precisamos definir o que é uma circunferência, para
isso vamos tentar relacionar com o exercício a seguir.
51
5.5 Escreva o código a seguir e calcule a distância de cada ponto até o ponto C.
\pnode(0,0){C}\pnode(1,0){A}
\pnode(-0.46,0.89){B}
\pnode(-0.75,-0.66){D}
\pnode(0.7,-0.71){E}
\psline(C)(A)\psline(C)(B)
\psline(C)(D)\psline(C)(E)
\psdots[linecolor=red](C)
\psdots(A)\psdots(B)
\psdots(D)\psdots(E)
\uput[180](C){$C$}
\uput[0](A){$A$}
\uput[135](B){$B$}
\uput[225](D){$D$}
\uput[-45](E){$E$}
Solução:
b b
b
b b
C A
B
D E
\pnode(0,0){C}\pnode(1,0){A}
\pnode(-0.46,0.89){B}
\pnode(-0.75,-0.66){D}
\pnode(0.7,-0.71){E}
\psline(C)(A)\psline(C)(B)
\psline(C)(D)\psline(C)(E)
\psdots[linecolor=red](C)
\psdots(A)\psdots(B)
\psdots(D)\psdots(E)
\uput[180](C){$C$}
\uput[0](A){$A$}
\uput[135](B){$B$}
\uput[225](D){$D$}
\uput[-45](E){$E$}
52
Agora podemos definir a circunferência, que é a mesma definição segundo a
Geometria plana:
Dado um ponto C num plano e uma distância r > 0, chama-se circunferência o
conjunto dos pontos do plano que estão à distância r do ponto C.
A partir da definição podemos concluir que dado um ponto P (x, y) pertencente
à circunferência sendo o ponto C(a, b) o seu centro, a distância entre os pontos P e
C é constante e igual ao raio.
d(P, C) = r
5.6 Tente escrever a equação da circunferência lembrando-se da distância entre
dois pontos e de conceitos da Geometria plana.
Solução:
Da definição de circunferência e lembrando da equação de distância entre dois
pontos, temos que
d(P, C) = r
√
(x − a)2 + (y − b)2 = r
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
Esta é a equação reduzida da circunferência.
53
5.7 A partir do código abaixo escreva a equação da circunferência.
\pscircle(2,1){3}
Solução:
1
2
3
4
−1
−2
1 2 3 4 5−1
b
\psaxes{->}(0,0)(-1.99,-2.99)(6,5)
\psdots[linecolor=blue](2,1)
\pscircle(2,1){3}
A equação da circunferência é (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9.
5.8 A partir do código abaixo escreva a equação da circunferência.
\pscircle(0,0){1}
Solução:
1
−1
1−1
b
\psaxes{->}(0,0)(-1.99,-1.99)(2,2)
\psdots[linecolor=blue](0,0)
\pscircle(0,0){1}
A equação da circunferência é x2 + y2 = 1.
54
5.9 Desenhe em PSTricks a circunferência dada pela equação
(x + 1)2 + (y − 2)2 = 4.
Solução:
O centro da circunferência é C(−1, 2) e o raio é 2. Logo,
1
2
3
4
1−1−2−3
b
\psaxes{->}(0,0)(-3.99,-0.99)(2,5)
\psdots[linecolor=blue](-1,2)
\pscircle(-1,2){2}
55
Capítulo 6
Outras Possibilidades
Vimos até aqui apenas três módulos com a intenção de descrever os conceitos
apresentados neste trabalho. Seria um grande desafio abordar todos os tópicos
da Geometria Analítica, principalmente levando em consideração nosso foco, que
é o aprendizado de Geometria Analítica de forma autonôma pelo aluno, porém,
deixamos aqui algumas idéias e sugestões para o desenvolvimento de mais alguns
tópicos.
Os desafios vêm a tona quando precisamos trabalhar com os comandos PSTricks,
pois nem sempre são comandos simples, precisaríamos de novos conceitos como
funções, curvas paramétricas, superfícies paramétricas, coordenadas polares e esféri-
cas, entre outros.
Uma outra característica importante é a qualidade que o PSTricks oferece para
saída de impressão, recurso este que o PSTricks não oferece quando se trabalha com
equações implícitas, como é o caso das cônicas; para estas equações o PSTricks dispõe
de uma versão beta que transforma as figuras em bitmap, fornecendo assim, uma
imagem de baixa resolução. Uma alternativa seria o uso de equações paramétricas.
Porém, levando em consideração o nosso tema, deixamos aqui uma proposta so-
bre como explorar outros dois tópicos da Geometria Analítica, que são as cônicas
56
e as quádricas. Como trabalhar os comandos PSTricks de forma que o aluno fosse
levado a descobrir as definições e equações que geram as cônicas? Como são apresen-
tadas as quádricas em sala de aula? Como poderíamos desenvolver essa idéia? Este
seria mais um desafio de aprendizado de Geometria Analítica. Veja no Apêndice A
alguns exemplos de cônicas e quádricas escritas com PSTricks.
57
Capítulo 7
Conclusão
Geralmente podemos usar o PSTricks como ferramenta de aplicação, ou seja,
sabemos Matemática, desenhamos as figuras e vemos o resultado, com a intenção
apenas de produzir algum material. Mas a proposta deste trabalho foi exatamente
o contrário, de aprender Matemática através dos códigos PSTricks para a partir daí
analisar os resultados obtidos pelas figuras.
Apesar de não termos abordado todos os conteúdos de Geometria Analítica, vi-
mos que alguns de seus tópicos podem ser analisadose desenvolvidos através do
PSTricks, sendo este um recurso computacional usado como método alternativo de
ensino e aprendizagem. O estudo de Geometria Analítica é algo consideravelmente
complexo, e a possibilidade do uso de uma linguagem computacional torna mais
flexível e estimulante o aprendizado, além de servir como mediador e verificador de
resultados, ou seja, o PSTricks também pode ser usado para visualização e confe-
rência de exercícios, assim, se o aluno tiver uma dúvida sobre como é a figura que
representa a solução do seu exercício ele poderá recorrer ao PSTricks para visualizar
o resultado do mesmo.
Este método pode ser aplicado numa sala de aula para alunos de qualquer idade
a partir do Ensino Fundamental, desde que configurado e adaptado para cada série.
58
Para isto, basta apenas que o professor, enquanto orientador, prepare atividades
convenientes levando em consideração o nível de dificuldade. E para os alunos, pode
ser interpretado como uma forma de desenvolver o pensamento matemático para a
solução de problemas ao se construir figuras da Geometria Analítica.
59
Referências Bibliográficas
[1] BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. Um tratamento vetorial. 3a ed. São
Paulo: Prentice Hall, 2005.
[2] CARMO, Manfredo P. do. Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies.
Coleção Textos Universitários. 2a ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006.
[3] DANTE, Luiz Roberto. Matemática: Contexto & Aplicação. Ensino Médio.
Vol. Único. Ed. Parma: São Paulo, 2000.
[4] IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar. Vol. 7 e 9. 7a ed. São
Paulo: Atual, 1993.
[5] LAMPORT, Leslie. A Document Preparation System. Addison-Wesley Publish-
ing Company: USA, 1994.
[6] OETIKER, Tobias. Et. Al. Introdução ao LATEX2ε. www.ctan.org/
tex-archive/info/lshort/portuguese-BR/lshortBR.pdf,2001.
[7] RODRIGUEZ, Dominique. The pst-euclide Package. ftp://tug.ctan.
org/pub/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-eucl/euclide_
english.pdf, 2005.
[8] TANTAU, Till. The TikZ and PGF Packages. www.ctan.org/tex-archive/
graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf, 2010
[9] VIGNAULT, Jean Paul. et. al. pst-solides3d: The Documentation - The
Basics. http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/
pst-solides3d/pst-solides3d-doc.pdf, 2008.
[10] VOß, Herbert e RODRIGUEZ, Dominique. pstricks-add - additionals Macros
for pstricks. http://ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/
pstricks-add/pstricks-add-doc.pdf, 2009.
[11] ZANDT, Timothy Van. PSTricks - PostScript macros for Generic TEX. http://
ctan.tche.br/graphics/pstricks/base/doc/pstricks-doc.pdf, 2003.
60
www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/portuguese-BR/lshortBR.pdf
www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/portuguese-BR/lshortBR.pdf
ftp://tug.ctan.org/pub/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-eucl/euclide_english.pdf
ftp://tug.ctan.org/pub/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-eucl/euclide_english.pdf
ftp://tug.ctan.org/pub/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-eucl/euclide_english.pdf
www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf
www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf
http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-solides3d/pst-solides3d-doc.pdf
http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-solides3d/pst-solides3d-doc.pdf
http://ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pstricks-add/pstricks-add-doc.pdf
http://ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pstricks-add/pstricks-add-doc.pdf
http://ctan.tche.br/graphics/pstricks/base/doc/pstricks-doc.pdf
http://ctan.tche.br/graphics/pstricks/base/doc/pstricks-doc.pdf
Apêndice A
Cônicas e Quádricas
Cônicas
No capítulo 5 vimos a circunferência, que é um caso particular das cônicas.
Veremos agora alguns exemplos dos códigos que geram as cônicas em PSTricks. A
definição de cada cônica pode ser encontrada em Paulo Boulos [1].
Exemplo A.1 Elipse.
1
2
−1
−2
1 2 3−1−2−3
\psellipse[linecolor=blue](0,0)(3,2)
Note que o comando usa o centro e as extremidades da elipse para sua construção.
61
Exemplo A.2 Parábola.
1
2
−1
−2
1 2 3 4
\rput{-90}(0,0){
\psplot[algebraic,linecolor=blue
]{-2.0}{2.0}{x^2}
}
Observe que a parábola foi girada 90◦ para a direita. Para ter a parábola com
concavidade para cima digite apenas a segunda linha.
Exemplo A.3 Hipérbole.
1
−1
1−1
%%requer o pacote pst-func.
\psplotImp[algebraic,linecolor=blue
](-6,-6)(4,2.4){x^2-y^2-1}
Repare que para desenhar a hipérbole usamos o comando \psplotImp, porém,
esta é uma versão beta do pacote pst-func. A única desvantagem é que ele torna
a figura numa imagem bitmap, ou seja, perde qualidade no resultado final.
62
Quádricas
As quádricas podem ser consideradas como a versão tridimensional das cônicas,
que de uma forma geral, são superfícies em R3. Por definição, quádrica é qualquer
subconjunto de R3 que possa ser descrito, em relação a um sistema ortogonal de
coordenadas, por uma equação de segundo grau
ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + j = 0
Nos restringiremos apenas a apresentação dos códigos PSTricks que geram as
superfícies. A definição de cada quádrica pode ser encontrada em Paulo Boulos
[1], além disso, representaremos as quádricas na sua forma paramétrica, pois o pst-
solides3D [9] não dá suporte às equações implícitas, o qual é definida as quádricas
em coordenadas cartesianas. Mais informações sobre superfícies paramétricas em
M. P. Do Carmo [2].
Veremos agora, alguns exemplos das quádricas escrita em linguagem PSTricks.
63
Exemplo A.4 Parabolóide elíptico1
F(u, v) = (u senv, 1.5u cos v, 0.5u2); 0 < u < π, 0 < v < 2π
x
y
z
\psset{unit=0.5}
\begin{pspicture*}(-6,-2.7)(6,8.5)
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=50 40 30
rtp2xyz,Decran=50}
\psset{ngrid=.25 .25,linewidth=0.5pt}
%superficie parametrica
\defFunction[algebraic]{Paraboloid}(u,v)
{u*sin(v)}{1.5*u*cos(v)}{0.5*u^2}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=0.001 pi 0.001 2 pi mul,
hue=0 .15,incolor=yellow,
function=Paraboloid]
\axesIIID(0,0,3)(5,5,8)
\end{pspicture*}
Exemplo A.5 Parabolóide hiperbólico
F(x, y) = y
2 − x2
4
;−4 < x < 4,−4 < y < 4
x
y
z \psset{unit=0.7}
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=80 30 30
rtp2xyz,Decran=50}
\psset{ngrid=.5 .5,linewidth=0.1pt}
\begin{pspicture*}(-4,-3.5)(4,4)
\psSurface[algebraic,hue=.3 0]
(-4,-4)(4,4)
{(y^2-x^2)/4}
\axesIIID(0,3,0)(10,6,6)
\end{pspicture*}
1O domínio das funções deve ser escrito no formato RPN (Reversed Polish Notation), veja em
[9].
64
Exemplo A.6 Elipsóide
F(u, v) = (cos u senv, 2 senu senv, cos v); 0 < u < 2π, 0 < v < 2π
x y
z
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture*}(-4,-2)(4,3)
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=40 40 20
rtp2xyz,Decran=20}
\psset{linewidth=0.5pt}
\defFunction[algebraic]{ellipsoid}(u,v)
{cos(u)*sin(v)}
{2*sin(u)*sin(v)}{cos(v)}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=0 2 pi mul 0.001 2 pi mul,
hue=.3 0,incolor=yellow,
function=ellipsoid,
unit=3,ngrid=40]
\axesIIID(6,6,4)(8,8,5)
\end{pspicture*}
Exemplo A.7 Hiperbolóide de uma folha
F(u, v) =
(√
1 + u2 senv,
√
1 + u2 cos v, u
)
;
−π < u < π,−π < v < π
x
y
z
\psset{unit=0.7}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(4,3.8)
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=30 30 20
rtp2xyz,Decran=20}
\psset{ngrid=.25 .25,linewidth=0.5pt}
\defFunction[algebraic]{hyperboloidOne}%
(u,v)
{sqrt(1+u^2)*sin(v)}
{sqrt(1+u^2)*cos(v)}
{u}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=pi neg pi pi neg pi,hue=0 .3,
incolor=yellow,
function=hyperboloidOne]
\axesIIID(1,1,1)(7,5,5)
\end{pspicture*}
65
Exemplo A.8 Hiperbolóide de duas folhas
Neste caso precisaremos dividir a equação em duas partes porque devemos ter
u > 1.
F(u, v) =
(
−2u,
√
u2 − 1 cos v,
√
u2 − 1 senv
)
;
1 < u < 2π, 0 < v < 2π
F(u, v) =
(
2u,
√
u2 − 1 senv,
√
u2 − 1 cos v
)
x
y
z
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture*}(-5.5,-4)(5.5,3.5)
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=60 50 30
rtp2xyz,Decran=20}
\psset{algebraic,ngrid=.25 .25,
linewidth=0.5pt}
%superficie parametrica\defFunction{hyperboloidTwoN}(u,v)
{-2*u}
{sqrt(u^2-1)*cos(v)}
{sqrt(u^2-1)*sin(v)}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=1.001 2 pi mul 0.01 2 pi mul,
hue=.3 0,incolor=yellow,
function=hyperboloidTwoN]
%superficie parametrica
\defFunction{hyperboloidTwo}(u,v)
{2*u}
{sqrt(u^2-1)*sin(v)}
{sqrt(u^2-1)*cos(v)}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=1.001 2 pi mul 0.01 2 pi mul,
hue=.3 0,incolor=yellow,
function=hyperboloidTwo]
\axesIIID(-2,0,0)(16,8,8)
\end{pspicture*}
66
Exemplo A.9 Cone
F(u, v) = (u senv, u cos v, u);−2 < u < 2, 0 < v < 2π
x y
z
\psset{unit=0.6}
\psset[pst-solides3d]{viewpoint=30 50 20
rtp2xyz,Decran=50}
\begin{pspicture*}(-5.5,-4.5)(4.5,6)
\psset{linewidth=0.5pt}
\defFunction[algebraic]{cone}(u,v)
{u*sin(v)}{u*cos(v)}{u}
\psSolid[object=surfaceparametree,
base=-2 2 0 2 pi mul,
hue=0 .3,incolor=yellow,
function=cone,
ngrid=25 40]
\axesIIID(-1,-1,0)(3,3,3)
\end{pspicture*}
67
Apêndice B
Instalando o LATEX
O LATEX funciona em todos os sistemas operacionais conhecidos, MacOS (Apple),
Linux e Windows. Seguindo a ordem, no primeiro podemos usar os programas
TeXShop junto com o TeXLive; no Linux basta instalar o Kile que ele carregará
os pacotes automaticamente, cujo distribuidor também é o TeXLive. No Windows,
são necessários os seguintes programas:
• GhostScript e GhostView - interpretador e visualizador, respec.;
• MikTeX 2.8 - pacote de macros do LATEX; O LATEX precisa destes pacotes
para funcionar;
• Winedt ou TeXnicCenter ou WinShell - são os editores onde podemos
digitar o trabalho;
• Adobe Acrobat Reader - Visualizador de PDF.
Obs: Instale os programas nesta ordem. Todos os programas são de distribuição
gratuita, exceto o WinEdt.
68
Onde encontrar
• GhostScript e GhostView - http://pages.cs.wisc.edu/~ghost/
• MikTeX 2.8 - www.miktex.org
• Winedt - www.winedt.com
• TeXnicCenter - http://www.texniccenter.org/
• WinShell - http://www.winshell.de/
• Adobe Acrobat Reader - http://get.adobe.com/br/reader/
Alguns sites interessantes
• http://latexbr.blogspot.com
Meu site, onde faço uma introdução ao LATEX e sobre o uso do PSTricks e
TikZ.
• www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/portuguese-BR/lshortBR.pdf
Manual IshortBR.pdf. É um manual indispensável para quem quer aprender
LATEX.
• http://www.dm.ufscar.br/~sadao/latex/tex-examples.php?lang=pt
Neste site você aprende LATEX através de exemplos. É mantido por Sadao
Massago, prof. da UFSCar.
• www.ctan.org
Distribuidor de conteúdo LATEX. Nele você encontra todos os pacotes, docu-
mentação, etc.
• www.tex-br.org
Site brasileiro, ideal para iniciantes e intermediários. Contém várias dicas,
interessantes.
69
http://pages.cs.wisc.edu/~ghost/
www.miktex.org
www.winedt.com
http://www.texniccenter.org/
http://www.winshell.de/
http://get.adobe.com/br/reader/
http://latexbr.blogspot.com
www.ctan.org/tex-archive/info/lshort/portuguese-BR/lshortBR.pdf
http://www.dm.ufscar.br/~sadao/latex/tex-examples.php?lang=pt
www.ctan.org
www.tex-br.org
• www.tug.org
Informações sobre o LATEX e PSTricks.
• http://ctan.tche.br/graphics/pstricks/base/doc/pstricks-doc.pdf
Manual do Pstricks.
• http://ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pstricks-add/
pstricks-add-doc.pdf
Manual do Pstricks-add.
• ftp://tug.ctan.org/pub/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-eucl/
euclide_english.pdf
Manual do PST-Eucl.
• http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-solides3d/
pst-solides3d-doc.pdf
Manual do PST-Solides3D.
• www.tug.org/PSTricks/main.cgi?file=examples
Exemplos de Pstricks.
• www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.
pdf
Manual do PGF/TikZ.
• www.texample.net/tikz/examples/
Exemplos de TikZ.
Nota: Todos os sites foram acessados dia 08 de Junho de 2010.
70
www.tug.org
http://ctan.tche.br/graphics/pstricks/base/doc/pstricks-doc.pdf
http://ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pstricks-add/pstricks-add-doc.pdf
http://ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pstricks-add/pstricks-add-doc.pdf
ftp://tug.ctan.org/pub/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-eucl/euclide_english.pdf
ftp://tug.ctan.org/pub/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-eucl/euclide_english.pdf
http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-solides3d/pst-solides3d-doc.pdf
http://www.ctan.org/tex-archive/graphics/pstricks/contrib/pst-solides3d/pst-solides3d-doc.pdf
www.tug.org/PSTricks/main.cgi?file=examples
www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf
www.ctan.org/tex-archive/graphics/pgf/base/doc/generic/pgf/pgfmanual.pdf
www.texample.net/tikz/examples/
Apêndice C
Recursos do PSTricks
Compilando as figuras PSTricks
Vimos na seção 2 como deve ser a estrutura para criar uma figura em PSTricks.
Então abra o seu editor (Winedt, TeXnicCenter, WinShell ou Kile) e digite as
seguintes linhas de código:
\documentclass{article}
\usepackage{pstricks}
\begin{document}
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psline(0,0)(0.71,0.71)
\pscircle(0,0){1}
\end{pspicture}
\end{document}
Salve o arquivo, por exemplo, Figura.tex depois basta clicar no ícone LATEX.
A partir daí teremos o primeiro arquivo no formato DVI, que já é um arquivo final
tanto para visualização quanto para impressão.
Atenção: Se você quiser o arquivo em PDF precisará converter o arquivo DVI
para PS e depois para PDF. Para isso clique no ícone DVItoPS e depois PStoPDF.
71
Existe o comando PDFLaTeX que compila um arquivo direto para PDF, porém, ele
não gera as figuras PSTricks.
Outros pacotes
O uso de pacotes facilita muito nosso trabalho, pois os pacotes são conjuntos
de macros com comandos pré-definidos que dão mais flexibilidade e consistência aos
desenhos aumentando assim sua produtividade.
Veremos agora dois dos pacotes mais usados para produção de ilustrações matemáti-
cas no PSTricks.
pstricks-add
O pacote pstricks-add é um conjunto de macros com diversas funcionalidades
baseadas no PSTricks, além disso, nele estão embutidos os pacotes pst-plot, pst-
node e multido. O primeiro plota gráfico de funções, o segundo gera conexões
entre legendas, ideal para o desenho de diagramas, por exemplo; e o terceiro é usado
para repetições de comandos.
Obs: Ao usar o pacote pstricks-add não é necessário carregar o pacote pstricks.
Vejamos alguns exemplos:
72
Exemplo C.1 Considere a função real dada por f(x) =
1
2
x + 1. Segue o código
que gera o gráfico.
1
−1
1 2 3−1−2−3 x
y
\psaxes{->}(0,0)(-3.99,-1.99)(4,2)
[$x$,-135][$y$,-45]
\psplot[algebraic,linecolor=blue]
{-4}{4}{0.5*x+1}
Exemplo C.2 Considere a função dada por f(x) = sen(x).
1
−1 π
2
π
3π
2
2π
−π
2
−π
x
y
\psset{trigLabels,dx=\psPiH,dy=1,
trigLabelBase=2}
\psaxes{->}(0,0)(-3.5,-1.99)(7,2)
[$x$,-135][$y$,-45]
\psplot[algebraic,linecolor=blue]
{-3.5}{6.5}{sin(x)}
Exemplo C.3 Considere a curva em coordenadas polares r = 2(1 − cos θ).
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
1 2 3 4−1−2−3−4
x
y
\pnode(0,0){A}\pnode(4.5,4.5){B}
\multido{\iA=0+30}{12}{%
\psRelLine[linestyle=dashed,linecolor=
lightgray,angle=\iA,trueAngle](A)(B)
{1}{EndNode}}
\multido{\r=0+0.5}{6}{%
\pscircle[linestyle=dashed,linecolor=
lightgray](A){\r}}
\psplot[algebraic,labelFontSize=\
footnotesize,linecolor=blue,
linewidth=1.5pt,plotstyle=curve,
polarplot=true]
{0}{\psPiTwo}{2*(1-cos(x))}
\psaxes{->}(0,0)(-4.9,-4.9)(5,5)
[$x$,-135][$y$,-45]
73
Exemplo C.4 Considere a curva escrita na forma paramétrica (θ− senθ, 1−cos θ).
1
2
−1 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π 8π
x
y
b
\psaxes[dx=\psPi ,trigLabels ,trigLabelBase=1,ticksize =-2pt 2pt,
labelFontSize=\small]
{->}(0,0)(-2,-1.9)(26,3)[$x$,-135][$y$,-45]
\parametricplot[algebraic ,linecolor =blue ,linewidth =1.5pt,
plotstyle =curve]
{ -3.1416}{25.1327412287}{t-sin(t)|1-cos(t)}
\pscircle [linecolor =red ,linewidth =1pt](3.1416 ,1) {0.5}
\psdots[dotsize =4pt ](3.1416 ,2)
Exemplo C.5 Considere o gráfico da função exponencial f(x) = ex e a reta tan-
gente a curva no ponto (0.5, 1.648).
1
2
3
1 2−1−2
x
yb
\psaxes{->}(0,0)(-2.99,-0.99)(3,4)
[$x$,-135][$y$,-45]
\psplot[algebraic,linecolor=blue,
linewidth=1.5pt]{-3}{3}{2.72^x}
\psplotTangent[algebraic,linecolor=red]
{0.5}{2}{2.72^x}
\psdots[linecolor=red](0.5,1.648)
74
Exemplo C.6 Considere o gráfico da função f(x) =
√
x e seu intervalo de inte-
gração.
1
2
3
1 2 3 4
x
y
\psStep[algebraic,linecolor=red,
linewidth=0.2pt,fillstyle=solid,
fillcolor=yellow]
(0.1,4.5){9}{sqrt(x)}
\psplot[algebraic,linecolor=blue,
linewidth=1.2pt]{0}{5}{sqrt(x)}
\psaxes{->}(0,0)(-0.99,-0.99)(5,4)[$x
$,-135][$y$,-45]
pst-eucl
O pacote pst-eucl permite o desenho de figuras geométricas Euclidianas usando
macros do LATEX para construções matemáticas específicas. Com ele é possível fazer
indicação de ângulos e segmentos, transformações de rotação, translação e homote-
tia, determinação do ponto médio de um segmento de reta, bissetriz, mediatriz,
intersecção de objetos, etc.
Exemplo C.7 Triângulo equilátero a partir da intersecção de duas circunferências.
bA b B
b
C
b
D
\pstGeonode[PosAngle={180,0}]
(0,0){A}(2,0){B}
\psset{linestyle=dashed,linewidth=0.5pt}
\pstCircleOA{A}{B}\pstCircleOA{B}{A}
\pstInterCC[RadiusA=\pstDistAB{A}{B},
RadiusB=\pstDistAB{A}{B},
PosAngleA=90,PosAngleB=-90]
{A}{}{B}{}{C}{D}
\psset{linestyle=solid,linecolor=blue,
linewidth=1pt}
\pstLineAB{A}{B}\pstLineAB{B}{C}
\pstLineAB{A}{C}
75
Exemplo C.8 Indicação de ângulos e segmentos num triângulo.
A
B C
///
///
β
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle
={90,225,-45}](3,2){A}(0,0){B}(4,0){
C}
\psset{linewidth=0.5\pslinewidth}
\pstProjection[PointSymbol=none,
PointName=none,CodeFig=true,
CodeFigColor=black]{B}{C}{A}[D]
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslash]{
A}{C}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh
]{A}{B}
\pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashhh
]{B}{C}
\psset{linewidth=0.2pt,MarkAngleRadius
=10pt}
\pstMarkAngle{C}{B}{A}{$\beta$}
Exemplo C.9 Retas tangentes a uma circunferência a partir de um ponto dado.
b O b P
b A
b B
\pstGeonode(0,0){O}(3,0){P}
\pstCircleOA[Radius=\pstDistVal{2}]{O}{}
\pstMiddleAB[PointSymbol=none,
PointName=none]{O}{P}{O’}
\pstInterCC[RadiusA=\pstDistVal{2},
DiameterB=\pstDistAB{O}{P},
CodeFigB=true,CodeFigColor=green]
{O}{}{O’}{}{A}{B}
\psset{linecolor=blue,nodesep=-1}
\pstLineAB{P}{A}\pstLineAB{P}{B}
76
pst-solides3D
O pacote pst-solides3D é dedicado a visualização 3D de sólidos pré-definidos,
como esferas, cilindros, entre outros. O pst-solides3D também gera superfícies tridi-
mensionais definidas por funções de duas variáveis (z = f(x, y)) e quádricas através
de equações paramétricas, como vimos no Apêndice A. A seguir, um exemplo de
uma função de duas variáveis.
Exemplo C.10 Considere a função dada por f(x, y) =
1
3
sen(x2 + y2)). Segue o
código que gera o gráfico.
x
y
z
\psset{viewpoint=50 20 30 rtp2xyz,
Decran=70}
\psSurface[algebraic,ngrid=.15 .15,
hue=0 1,linewidth=0.1pt](-3,-3)(3,3){
(sin(x^2+y^2))/3}
\axesIIID(2,2,1)(4,4,3)
Exemplo C.11 Considere a superfície paramétrica a seguir. Esta superfície é
chamada de toro.
x
y
z \psset{lightsrc=30 30 20, viewpoint=100
30 30 rtp2xyz,Decran=50}
\psset{ngrid=.25 .25,linewidth=0.5\
pslinewidth}
\psSolid[r1=3,r0=1,ngrid=18 36,
object=tore,
linewidth=0.1\pslinewidth,
fillcolor=yellow]
\axesIIID(4,4,0)(6,5,4)
77
PGF/TikZ
Além do PSTricks, um outro pacote do LATEX que não poderia deixar de ser
mencionado é o PGF/TikZ. Ele faz quase tudo que o PSTricks faz, porém, seus
comandos são bem diferentes. Um recurso interessante é que com o TikZ podemos
posicionar as figuras em qualquer lugar da página; ou colocar no meio do texto,
como é o caso deste losango ou “conectar” duas figuras diferentes independente da
sua posição na página.
... losango \tikz[x=1ex,y=1ex]{\ draw[rotate =45,red] (0,0)
rectangle (1,1);} ou ‘‘conectar ’’ duas figuras ...
Vejamos alguns exemplos:
Exemplo C.12 Para desenhar uma linha e um círculo escrevemos
\documentclass{article}
\usepackage{tikz}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}
\draw (0,0) -- (45:2);
\draw[blue] (0,0) circle (2);
\end{tikzpicture}
\end{document}
Observe o espiral que pode ser inserido como plano de fundo da página.
78
Exemplo C.13 O setor circular deste exemplo pode ser “conectado” à figura
do próximo exemplo.
Exemplo C.14 A figura a seguir está “conectada” à figura do exemplo anterior.
Veja o código:
O setor circular \tikz[x=3ex,y=3ex,remember picture ]
\node (n1) {
\tikz[remember picture ]{
\draw[fill=cyan] (1,0) -- (1,1) arc (90:180:1) -- cycle;
}
}; deste exemplo pode ser ‘‘conectado ’’ à figura do próximo
exemplo.
A figura a seguir está ‘‘conectada ’’ à figura do exemplo
anterior .
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[ remember picture ,overlay ,yshift =-1cm]
\node (n2) {};
\draw[->] (n1) to [out=-90,in =135] (n2);
\draw[fill=cyan] (-1,0) -- (0,0) -- (0,1) arc (90: -180:1) --
cycle;
\end{tikzpicture}
\end{center}
79
Exemplo C.15 Rosáceas em coordenadas polares.
Figura C.1: Rosáceas.
Exemplo C.16 Um diagrama mostrando as probabilidades de lançamento de duas
moedas.
K
K0, 5
C0, 50, 5
C
K0, 5
C0, 5
0, 5
Figura C.2: Exemplo de diagrama.
80
Exemplo C.17 Sistema de coordenadas esféricas.
x
y
z
O
Pólo Norte
Pólo Sul
ρ
P
Q
φ
θ
Meridiano
principal
Equador
Figura C.3: Coordenadas esféricas.
81
Inserindo figuras PSTricks no corpo do texto
Uma figura PSTricks pode ser escrita diretamente no corpo do texto, como no
exemplo abaixo:
\documentclass{article}
\usepackage{pstricks}
\begin{document}
Texto antes da figura.
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psline(0,0)(0.71,0.71)
\pscircle(0,0){1}
\end{pspicture}
Texto depois da figura.
\end{document}
Mas geralmente queremos a figura centralizada e com uma legenda. Então digite:
\documentclass{article}
\usepackage{pstricks}
\begin{document}
Texto antes da figura.
\begin{figure}[!htb]
\centering
\begin{pspicture}(-1,-1)(1,1)
\psline(0,0)(0.71,0.71)
\pscircle(0,0){1}
\end{pspicture}
\caption{Reta e círculo}\label{fig01}
\end{figure}
Texto depois da figura.
\end{document}
A partir daí podemos inserir quantas figuras quisermos no corpo do texto.
82
Importando figuras PSTricks externas
Por uma questão de organização e produtividade podemos desenhar as figuras
em arquivos externos e importá-las para o corpo do texto. Então faça duas figuras
diferentes:
\begin{pspicture}(0,0)(2,2)
\psline(0,0)(2,0)(2,1)(0,0)
\end{pspicture}
Salve como figTriangulo.tex.
\begin{pspicture}(0,0)(2,2)
\pscircle(1,1){1}
\end{pspicture}
Salve como figCirculo.tex.
Obs: Salve os arquivos na mesma pasta do seu arquivo tex principal.
83
No seu arquivo principal digite:
Este é o exemplo de duas figuras
PSTricks inseridas no corpo de
texto do arquivo principal.
Figura C.4: Triângulo
A partir daí podemos inserir
várias figuras no texto.
Figura C.5: Círculo
E continuar escrevendo normal-
mente.
\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[brazil]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{pstricks}
\begin{document}
Este é o exemplo de duas figuras
PSTricks inseridas no corpo de
texto do arquivo principal.
\begin{figure}[!htb]
\centering
\input{figTriangulo}
\caption{Triângulo}\label{figTriang}
\end{figure}
A partir daí podemos inserir várias
figuras no texto.
\begin{figure}[!htb]
\centering
\input{figCirculo}
\caption{Círculo}\label{figCirculo}
\end{figure}
E continuar escrevendo normalmente.
\end{document}
A partir daí é só compilar o arquivo principal normalmente. Lembrando dos
passos necessários para converter para PDF. (Apêndice C)
84
Convertendo figuras para outros formatos
No LATEX também é possível gerar figuras PSTricks em outros formatos, neste
caso, veremos o formato EPS e PDF. Saiba que trabalharemos apenas com a figura,
então crie um único arquivo, e salve como, por exemplo, figCirculo.tex. Em
seguida digite o seguinte código:
\documentclass{article}
\usepackage{pstricks}
\usepackage{pst-eps}\pagestyle{empty}
\begin{document}
\begin{TeXtoEPS}
\begin{pspicture}(0,0)(2,2)
\pscircle(1,1){1}
\end{pspicture}
\end{TeXtoEPS}
\end{document}
Note o uso do pacote pst-eps para gerar a figura em EPS e o comando
\pagestyle{empty} para suprimir o número da página.
Salve as alterações e abra a linha de comando do DOS, ou o terminal (console)
no Linux, e execute os seguintes comandos:
latex figCirculo
dvips figCirculo.dvi -E -o figCirculo.eps
Lembrando que você deve estar na mesma pasta onde foi salvo seu arquivo.
Agora, já temos a figura em EPS. Para converter a figura de EPS para PDF digite:
epstopdf figCirculo.eps
85
Softwares de Desenho
Existem alguns softwares que podem facilitar nosso trabalho na produção de
desenho em PSTricks, principalmente se ele exigir alguma propriedade matemática,
como um pentágono regular ou o gráfico de uma função, que exige exatidão na
sua construção; ou mesmo quando a figura é muito complexa para se desenhar
diretamente no LATEX.
Alguns softwares disponíveis gratuitamente na internet são:
Geogebra - www.geogebra.org
O Geogebra é popularmente conhecido como software de Geometria Dinâmica
por oferecer recursos interativos, como alteração das propriedades da figura e ani-
mações. Ele exporta em PSTricks e TikZ.
Figura C.6: Tela do Geogebra.
86
www.geogebra.org
LaTeXDraw - http://latexdraw.sourceforge.net/
O LaTeXDraw é ideal para desenhos a mão-livre, inclusive com degradês. Ex-
porta para PSTricks, porém, com códigos de baixo nível, mais próximo da linguagem
PostScript.
Figura C.7: Tela do LaTeXDraw.
87
http://latexdraw.sourceforge.net/
Inkscape - www.inkscape.org
O Inkscape também oferece os mesmos recursos que o LaTeXDraw.
Figura C.8: Tela do Inkscape.
88
www.inkscape.org
K3DSurf - http://k3dsurf.sourceforge.net/
Este software não exporta em nenhuma linguagem. Porém, ele é indicado para
visualização de figuras tridimensionais. A partir daí, podemos fazer um estudo das
superfícies e verificar seus intervalos de domínio.
Figura C.9: Tela do K3DSurf.
89
http://k3dsurf.sourceforge.net/
Agradecimentos
Em primeiro lugar, agradeço a Deus por ter me proporcionado condições para
chegar até aqui. E agradeço também pelas pessoas que me deram suporte para o
desenvolvimento deste trabalho; em especial, ao meu orientador, Frederico Lopes,
pelo grande incentivo e disposição com sugestões e críticas construtivas; a profa.
Luzia Palaro e prof. Francisco Trigueiro, pelo reconhecimento e credibilidade; e a
minha família pela paciência e confiança.
90
	História, Objetivos e Metodologia
	O Ambiente de Trabalho
	Sistema de Coordenadas e Pontos
	Distância e Segmentos de Reta
	Circunferência
	Outras Possibilidades
	Conclusão
	Referências Bibliográficas
	Cônicas e Quádricas
	Instalando o LaTeX
	Recursos do PSTricks
	Agradecimentos