Apostila Matematica Financeira - Caixa Econômica e BNB

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• Módulo 01 – Fundamentos 
• introdução; 
• o capital e o juro; 
• relações básicas; 
• regimes de capitalização (simples e composta); 
• Fluxo de caixa de uma operação.
• Módulo 02 – Juros simples: 
• fórmula dos juros simples e do montante; 
• taxas equivalentes; 
• juro exato e juro comercial; 
• operações com hot Money; 
• valor nominal e valor atual (ou presente) a juros 
simples.
• Módulo 03 – Desconto simples: 
• introdução; 
• desconto comercial ou bancário; 
• relação entre taxa de desconto e taxa de juros 
simples; 
• operações com um conjunto de títulos; 
• prazo médio de um conjunto de títulos.
• Módulo 04 – Juros compostos: 
• fórmula do montante; 
Matemática Financeira
• taxas equivalentes; 
• CDB e RDB; 
• valor atual e nominal em juros compostos; 
• compra à vista e compra a prazo; 
• capitalização composta com taxas de juros variáveis 
e taxa acumulada; 
• situação na qual o período da taxa não coincide 
com o período de capitalização; 
• Módulo 05 – Taxa real de juros 
• Inflação e deflação e taxa real de juros; 
• Módulo 06 – Valor Presente:
• introdução; 
• equivalência de dois valores monetários; 
• VP de um conjunto de capitais; 
• análises de alternativas de pagamento pelo valor 
atual; 
• Módulo 07 – Sequências
• Lei de formação de sequências e determinação de 
seus elementos;
• Progressões aritméticas;
• Progressos geométricas;
• Módulo 08 – Amortização de empréstimos
• Introdução;
• Sistema de amortizações constantes (SAC);
• Sistema francês (ou sistema price);
Matemática Financeira
Módulo 01 – Fundamentos
Introdução 7
A Matemática Financeira visa estudar o valor do dinheiro no tempo, nas aplicações de dinheiro e nos pagamentos de 
empréstimos.
Capital Qualquer valor monetário que uma pessoa (física ou jurídica) empresta para outra durante certo tempo.
Juro Tendo em vista que o emprestador abstém-se de usar o valor emprestado, e ainda, em função da perda 
de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não pagamento, surge o conceito de juro, 
que pode ser definido como o custo do empréstimo (para o tomador) ou a remuneração pelo uso do 
capital (para o emprestador).
Taxa de 
Juros O valor do juro em uma certa unidade de tempo, expresso como uma porcentagem do capital.
Exemplo: se um capital de R$ 10.000,00 for emprestado por um mês à taxa de 3% a.m., o juro será igual a R$ 300,00. Para 
achar 3% de R$ 10.000,00, basta multiplicar R$ 10.000,00 por 0,03, que é a forma decimal de 3% (3% = 3/100 = 0,03). 
Montante A soma do capital com o juro. No exemplo acima o montante seria de R$ 10.300,00.
Relações básicas e exercícios 8
Chamando de C o capital, M o montante, J o juro e i a taxa, temos as seguintes relações:
𝐽 = 𝐶. 𝑖 𝑀 = 𝐶 + 𝐽
𝑖 =
𝑀
𝐶
− 1
Exercício 1: um capital de R$ 8.000,00 é aplicado durante um ano à taxa de 22% a.a. 
a) Qual o juro? 
b) Qual o montante?
Exercício 2: Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante três meses, gerando um montante de R$ 12.540,00. Qual a taxa 
de juros no período?
Exercício 3: Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado em cada uma das condições abaixo. Obtenha o juro e o montante em 
cada caso:
a) 50% a.a. com prazo de 1 ano;
b) 30% a.s. com prazo de 1 semestre;
c) 12% a.t. com prazo de 1 trimestre;
d) 0,03% a.d. com prazo de 1 dia.
Exercícios de fixação 9
Exercício 4: Um título, cujo valor de resgate (montante) daqui a seis meses é de R$ 10.000,00, foi adquirido hoje por um 
fundo por R$ 9.600,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período?
Exercício 5: Um título governamental, cujo valor de resgate daqui a 42 dias é de R$ 50.000,00, foi adquirido hoje por um 
fundo por R$ 48.850,00. Qual a taxa de rendimento do papel no período?
Exercício 6: Hoje o valor da cota de um fundo de investimentos é de 17,24 e, há 65 dias, foi de 16,74. Qual a taxa de 
rendimento do fundo no período considerado?
Exercício 7: Um banco anuncia o seguinte “aplique hoje R$ 666,67 e receba R$ 1.000,00 daqui a um ano”. Qual a taxa anual 
de juros paga pelo banco?
Regimes de capitalização 10
Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o montante poderá aumentar de acordo 
com duas convenções, denominadas regimes de capitalização. 
Capitalização simples (Juros simples)
Capitalização composta (Juros compostos)
• Neste regime, o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do capital pela taxa. Além disso, os juros são 
pagos somente no final da operação.
• Neste caso, o juro do 1° período (capital vezes a taxa) agrega-se ao capital, resultando no montante 𝑀1.
• O juro do 2° período, que é igual ao produto de 𝑀1 pela taxa, agrega-se a 𝑀1, resultando no montante 𝑀2.
• O juro do 3° período, que é igual ao produto de 𝑀2 pela taxa, agrega-se a 𝑀2, resultando em um montante 𝑀3 e assim 
por diante.
Portanto, o juro que é gerado em cada período (montante do início do período vezes a taxa) agrega-se ao montante do início 
do período e esta soma passa a render juro no período seguinte.
Regimes de capitalização 11
Exemplo Juros Simples: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros 
simples. 
• Durante o 1° ano, o juro gerado foi de 1.000 x 0,10 = 100;
• Durante o 2° ano, o juro gerado foi de 1.000 x 0,10 = 100;
• Durante o 3° ano, o juro gerado foi de 1.000 x 0,10 = 100.
Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros. O montante após três anos será de R$ 1.300,00.
Exemplo Juros Compostos: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante três anos à taxa de 10% a.a., em regime de juros 
compostos. 
• Durante o 1° ano, o juro gerado foi de 1.000 x 0,10 = 100, e o montante após um ano foi de R$ 1.100,00;
• Durante o 2° ano, o juro gerado foi de 1.100 x 0,10 = 110, e o montante após dois anos foi de R$ 1.210,00;
• Durante o 3° ano, o juro gerado foi de 1.210 x 0,10 = 121, e o montante após três anos foi de R$ 1.331,00.
Portanto, o juros incide sobre o montante do período anterior. 
Regimes de capitalização 12
Exemplo de Juros compostos:
Érica aplicou R$ 12.000,00 a juros compostos à taxa de 1% ao mês. Dois meses depois, fez um saque de R$ 5.000,00 e deixou 
o restante aplicado à mesma taxa. Qual seu montante três meses após o saque?
Resolução:
• Montante após 1 mês: 12.000 + (0,01) x 12.000 = 12.120
• Montante após 2 meses e antes do saque: 12.120 + (0,01) x 12.120 = 12.241,20
• Montante após o saque: 12.241,20 – 5.000 = 7.241,20
• Montante 1 mês após o saque: 7.241,20 + (0,01) x 7.241,20 = 7.313,61
• Montante 2 meses após o saque: 7.313,61 + (0,01) x 7.313,61 = 7.386,75
• Montante 3 meses após o saque: 7.386,75 + (0,01) x 7.386,75 = 7.420,62.
Resposta: R$ 7.460,62.
Fluxo de caixa de uma operação 13
O fluxo de caixa de uma operação é uma representação esquemática muito útil na resolução de problemas. Basicamente, 
consta de um eixo horizontal em que é mercado o tempo, a partir de um instante inicial 0 (origem); a unidade de tempo 
pode ser qualquer (ano, mês, dia etc.). As entradas de dinheiro em um determinado instante são indicadas por setas 
perpendiculares ao eixo horizontal, no instante considerado, e orientadas para cima; as saídas dedinheiro são indicadas da 
mesma forma, só que a orientação das setas é para baixo.
• Desenhe o fluxo de caixa para uma pessoa que aplicou R$ 32.500,00 em 
um produto de investimento e recebeu R$ 7.500,00 de juros após 12 
meses do ponto de vista do aplicador e do ponto de vista do banco.
Exercícios de fixação 14
8) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 1,5% a.m. Obtenha o montante para o prazo de dois meses:
Resposta: R$ 10.300,00
9) Um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 10% a.a. Calcule o montante para o prazo de cinco anos:
Resposta: R$ 16.105,10
10) Um capital A de R$ 1.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 10% a.a. Um outro capital B de R$ 900,00 é aplicado a juros 
compostos, à taxa de 12% a.a. A partir de quantos anos de aplicação (períodos inteiros) o montante produzido por B será superior ao 
produzido por A?
Resposta: 4 anos
11) Pedro recebeu um empréstimo de R$ 8.000,00 para ser pago em duas prestações anuais a juros compostos com taxa de 10% a.a. Se a 
primeira prestação foi de R$ 5.000,00, qual o valor da segunda?
Resposta: R$ 4.180,00
12) Estela recebeu um empréstimo de R$ 15.000,00 para ser pago em 3 prestações mensais a juros compostos com taxa de 2% a.m. Se a 
primeira prestação foi de R$ 5.000,00 e a segunda de R$ 4.000,00, qual o valor da terceira?
Resposta: R$ 6.636,12
Módulo 02 – Juros simples
Fórmula dos juros simples e do montante 16
𝐽 = 𝐶. 𝑖. 𝑛 𝑀 = 𝐶. (1 + 𝑖. 𝑛)
𝑉𝐹 = 𝑉𝑃. (1 + 𝑖. 𝑛)
Juros simples Montante do Juros simples Na fórmula dos juros e do montante, é necessário que i e n 
sejam expressos na mesma unidade (por exemplo, se i for taxa 
mensal, n deve ser expresso em meses).
Exemplo: Um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado a 
juros simples, durante três anos, à taxa de 12% a.a. 
a) Obtenha os juros.
b) Obtenha o montante.
Resolução: 
• J = 5.000 x (0,12) x 3 = 1.800
• M = 5.000 + 1.800 = 6.800
Exemplo: que capital rende juros simples de R$ 
3.000,00 no prazo de cinco meses, se a taxa for 
de 2% a.m.?
Resolução: 
• 3.000 = C x (0,02) x 5
• 3.000 = C x (0,1) → C =
3000
0,1
= 30.000
Fórmula dos juros simples e do montante 17
Exemplo: Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo com R$ 300,00 de entrada mais uma parcela de 
R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento?
Resolução: 
• Capital financiado: C = 1500 – 300 = 1200
• Montante = 1308
• Juros = 1308 -1200 = 108
• Seja i a taxa mensal procurada. Pela fórmula dos juros simples, teremos:
• 108 = 1200 . i . 3
• 3600i = 108
• i =
108
3600
= 0,03 = 3% 𝑎. 𝑚.
Fórmula dos juros simples e do montante 18
Exemplo: Uma aplicação financeira tem prazo de cinco meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a. e incide imposto de 
renda igual a 20% do juro; o imposto é pago no resgate.
a) Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00?
b) Qual capital deve ser aplicado para resultar em um montante líquido de R$ 9.500,00?
Resolução A:
• 𝑀′ = 𝐶 + 𝐽 − 𝐼𝑅
• 𝑀′ = 𝐶 + 𝐽 − 0,2𝐽
• 𝑀′ = 𝐶 + 0,8𝐽 = 8000 + 0,8 8000𝑥(0,22)
5
12
= 8.586,67
• Observe que como a taxa foi dada ao ano, o prazo tem de ser ao ano, isto é n =
5
12
.
Resolução B:
• 9500 = 𝐶 + 𝐽 − 𝐼𝑅
• 9500 = 𝐶 + 𝐽 − 0,2𝐽
• 9500 = 𝐶 + 0,8𝐽
• 9500 = 𝐶 + 0,8 𝐶(0,22)
5
12
• 9500 = 1,0733𝐶 → 𝐶 =
9500
1,0733
= 8.851,21
Exercícios de fixação 19
15001) (Caixa Econômica Federal) Um capital foi aplicado a juros simples e, ao completar um período de 1 ano e 4 meses, 
produziu um montante equivalente a 7/5 de seu valor. A taxa mensal dessa aplicação foi de:
Resposta: 2,5%
Exercícios de fixação 20
15002) (Banco Central) Uma pessoa recebeu um empréstimo de um banco comercial de R$ 10.000,00 para pagar R$ 
12.000,00 ao final de cinco meses, mas foi obrigada a manter R$ 2.000,00 de saldo em sua conta durante a vigência do 
empréstimo. Considerando que a pessoa retirou os R$ 2.000,00 do empréstimo recebido e os utilizou para pagamento do 
montante no final, indique a taxa real de juros paga.
Resposta: 5% ao mês, considerando juros simples.
Exercícios de fixação 21
15003) Gabriel, dispondo de R$ 3.000,00, resolve aplica-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples 
à taxa de 8% a.m., por seis meses, e no segundo, aplicou o restante também a juros simples, por oito meses, à taxa de 10% 
a.m. Quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de R$ 1.824,00?
Resposta: R$ 1.800,00 e R$ 1.200,00
Taxas equivalentes 22
Na fórmula dos juros simples, sabemos que o prazo deve ser expresso na mesma unidade da taxa. O procedimento inverso 
também pode ser adotado, ou seja, podemos expressar a taxa na mesma unidade do prazo; para isto, devemos saber 
converter taxas de um período para outro de modo que sejam equivalentes. Duas taxas são equivalentes a juros simples 
quando, aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, derem juros iguais.
Exemplo: Em juros simples, qual a 
taxa anual equivalente a 1% a.m.?
Resolução: 
• 𝐽 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
• 𝐽 = 𝐶 ∗ 0,01 ∗ 12
• 𝑖 = 0,01 ∗ 12 = 0,12 =
12% 𝑎. 𝑎.
• Portanto, a taxa anual equivalente 
a 1% a.m. é 12% a.a.
Exemplo: Em juros simples, qual a 
taxa mensal equivalente a 9% a.t.?
Resolução: 
• 𝐽 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
• 𝐶. 𝑖. 1 = 𝐶 ∗ 0,09 ∗ 4
• 𝑖 =
0,09 ∗4
12
= 0,03 = 3%𝑎. 𝑚.
As taxas equivalentes podem ser 
chamadas de taxas proporcionais.
• 4% a.b. = 2% a.m.
• 9% a.t. = 3% a.m.
• 15% a.s. = 2,5% a.m.
• 48% a.a. = 4% a.m.
Exemplo: Qual a taxa anual de juros simples 
que um fundo de investimento rendeu, 
sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 
5.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 
5.525,00 após sete meses?
Resolução: 
• Os juros simples da aplicação foram de 
R$ 525,00. 
• 𝐽 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
• 525 = 5000 ∗ 𝑖 ∗ 7
• 525 = 35000𝑖
• 𝑖 =
525
35000
= 0,015 = 1,5%𝑎. 𝑚.
• Consequentemente, a taxa anual foi de 
12 ∗ 1,5% = 18%𝑎. 𝑎.
Juro exato e juro comercial 23
É muito comum certas operações ocorrerem por um ou alguns dias apenas. Nesses casos, é conveniente utilizarmos a taxa 
diária equivalente. O cálculo pode ser feito segundo duas convenções:
• Considerando o ano civil, que tem 365 (ou 366) dias, e cada mês com seu número real de dias (juros exato);
• Considerando o ano comercial, com 360 dias, e o mês comercial com 30 dias (juros comercial).
Exemplo: um capital de R$ 5.000,00 foi aplicado 
por 42 dias à taxa de 30% a.a. no regime de juros 
simples:
a) Obtenha os juros exatos.
b) Obtenha os juros comerciais.
Resolução: 
• 𝐽 = 𝐶 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
• A) 𝐽 = 5000 ∗
0,30
365
∗ 42 = 172,60
• B) 𝐽 = 5000 ∗
0,30
360
∗ 42 = 175,00
Exemplo: Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 
72 dias; um outro capital de R$ 5.000,00 foi também aplicado a juros 
simples, à mesma taxa, durante 45 dias. Determine a taxa anual 
(convenção de juros comerciais), sabendo-se que a diferença entre os 
juros da 1ª aplicação e da 2ª são iguais a R$ 31,50.
Resolução: 
• Juros da 1ª aplicação: 4000 ∗ 𝑖 ∗ 72 = 288000 ∗ 𝑖
• Juros da 2ª aplicação: 5000 ∗ 𝑖 ∗ 45 = 225000 ∗ 𝑖
• 288000𝑖 − 225000𝑖 = 31,50
• 63000𝑖 = 31,50
• 𝑖 =
31,50
63000
= 0,0005 = 0,05%𝑎. 𝑑.
• Taxa anual = 360 ∗ 0,05 = 18%𝑎. 𝑎.
Exercícios de fixação 24
15004) Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 4,4% a.b.?
Resposta: 6,6% a.t.
Exercícios de fixação 25
15005) Calcule os juros simples auferidos em uma aplicação de R$ 4.000,00 à taxa de 35% a.a. pelo prazo de sete meses
Resposta: R$ 816,67
Exercícios de fixação 26
15006) Um capital de R$ 25.000,00 foi aplicado a juros simples à taxa de 30% a.a. pelo prazo de 67 dias. Obtenha os juros 
exatos e comerciais para esta aplicação.
Resposta: exato = R$ 1.376,71 e comercial = R$ 1.395,83
Exercícios de fixação 27
15007) Willian depositou em uma instituição financeira a quantia de R$ 680,00 por 83 dias e, em outra, depositou R$ 800 
por 47 dias. Os juros auferidos na primeira aplicação excederam em R$94,20 os juros auferidos na segunda. Determine a 
taxa anual de juros, sabendo-se que foi a mesma em ambas as aplicações. Use a convenção de juros comerciais.
Resposta: 180% a.a.
Exercícios de fixação 28
(Ano: 2022 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco da Amazônia). 
15008) Um banco oferece um financiamento utilizando uma taxa de juros simples de 6% a.a. Qual a taxa trimestral 
equivalente à taxa oferecida pelo banco?
a) 0,0147 a.t.
b) 0,15 a.t.
c) 0,50% a.t.
d) 1,47% a.t
e) 1,50% a.t.
Exercícios de fixação 29
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15009) No boleto bancário da sua prestação, uma pessoa leu que é cobrada uma multa de 1,2% por dia de atraso sobre o 
valor da prestação, condicionada a atrasos não maiores que 30 dias. Em certo mês, essa pessoa pagou uma prestação com 
atraso, tendo de desembolsar R$ 233,20 em vez dos R$ 220,00 normalmente pagos nos meses em que não houve atraso no 
pagamento. Por quantos dias ela atrasou a prestação nesse mês?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
e) 25
Exercícios de fixação 30
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15010) Qual é a taxa de juros simples utilizada por uma aplicação para tornar um capital inicial de R$ 1.000,00 em um 
montante de R$ 1.240,00, em um período de um ano?
a) 0,02 ao mês
b) 0,02% ao mês
c) 0,02 ao ano
d) 0,02% ao ano
e) 0,24% ao ano
Exercícios de fixação 31
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15011) Uma pessoa está planejando comprar uma geladeira no valor de R$ 1.300,00, no futuro. Sabendo-se que ela 
pretende gastar exatamente esse valor e que dispõe de um capital de R$ 1.000,00 que será aplicado no dia de hoje a uma 
taxa de juros simples de 1,5% ao mês, qual será o prazo dessa aplicação, em meses, para que ela consiga comprar a 
geladeira à vista, o mais rápido possível?
a) 2
b) 16
c) 20
d) 50
e) 200
Operações com hot money 32
São operações de empréstimos de curtíssimo prazo (em geral, de um único dia útil) concedidos por instituições financeiras a 
empresas. Geralmente, esses empréstimos visam a suprir necessidades momentâneas de caixa das empresas. O critério de 
cálculo é o de capitalização simples com juros comerciais, sendo as taxas dadas em termos mensais. Frequentemente, essas 
operações são feitas em um único dia útil, com eventuais renovações, desde que acordadas entre as partes.
Exemplo: Uma empresa recebeu um empréstimo tipo hot Money no valor de R$ 500.000,00, pelo prazo de um dia, à taxa de 
3% a.m. No dia seguinte, sem condições de pagar o montante, a empresa solicitou a renovação do empréstimo por mais um 
dia. Sabendo-se que a renovação foi feita à taxa de 3,2% a.m., obtenha:
a) O montante ao final dos dois dias.
b) A taxa efetiva de juros no período considerado. 
Resolução: 
A) 
• 1° dia 
• 𝐽 = 500000 ∗
0,03
30
∗ 1 = 500 → 𝑀 = 500.500
• 2° dia
• 𝐽 = 500.500 ∗
0,032
30
∗ 1 = 533,87 → 𝑀 = 501.033,87
B)
• 𝑖 =
501.033,87
500.000
− 1 = 0,002068 = 0,2068%
Valor nominal e valor atual (ou presente) a juros simples 33
Consideremos que uma pessoa tenha uma dívida de R$ 11.000,00 a ser paga daqui a cinco meses. Se ela puder aplicar seu 
dinheiro hoje, a juros simples e à taxa de 2% am., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu vencimento?
Em situações como essa, costuma-se chamar o valor da dívida, na data de seu vencimento, de valor nominal; ao valor 
aplicado a juros simples, em uma data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao valor 
nominal chamamos de valor atual (ou valor presente).
Indicando por FV o valor nominal (valor futuro ou future value), por PV o valor atual (valor presente ou presente value), por i 
a taxa e por n o prazo da aplicação até o vencimento, teremos esquematicamente:
FV
nPV
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 + 𝑃𝑉 ∗ 𝑖 ∗ 𝑛
No exemplo citado teríamos: 
• 11000 = 𝑃𝑉 + 𝑃𝑉 ∗ 0,02 ∗ 5
• 1,1𝑃𝑉 = 11000
• 𝑃𝑉 =
11000
1,1
= 10000
• Portanto, essa pessoa deverá aplicar R$ 10.000,00 hoje para saldar o 
compromisso mencionado daqui a cinco meses.
Valor nominal e valor atual (ou presente) a juros simples 34
Exemplo: Consideremos que um investidor tenha adquirido por 17.000,00 um título de uma empresa, cujo valor nominal (ou 
valor de resgate) seja de R$ 20.000,00, sendo o prazo de vencimento igual a 12 meses. Essa operação dará ao investidor o 
direito de receber R$ 20.000,00 daqui a 12 meses.
a) Qual taxa de juros dessa aplicação, no período e ao mês, no regime de juros simples?
b) Supondo que seis meses antes do vencimento do título, o investidor, precisando de dinheiro, decida vender o título para 
outro investidor; supondo ainda que, nessa data, a taxa de juros para esse tipo de aplicação tenha caído para 1,3% a.m., 
diga qual o preço de venda do título.
Resolução:
• 𝑎) 𝑖 =
20000
17000
− 1 = 17,65% 𝑎. 𝑝. → 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒
17,65%
12
= 1,47% 𝑎. 𝑚.
• b) o investidor que adquiriu o título exigiu uma taxa de juros de 1,3% a.m. Assim:
• 20000 = 𝑃𝑉 + 𝑃𝑉 ∗ 0,013 ∗ 6
• 20000 = 1,078𝑃𝑉
• 𝑃𝑉 = 18.552,88
Exercícios de fixação 35
15012) Em três dias úteis consecutivos, vigoraram as seguintes taxas nas operações com hot Money: 2,6% a.m., 2,6% a.m. 
e 2,9% a.m. Qual a taxa acumulada de juros no período?
Resposta: 0,2702%
Exercícios de fixação 36
15013) Pedro fez uma aplicação de R$ 50.000,00 a juros simples à taxa de 2,5% a.m. pelo prazo de nove meses. No 
entanto, dois meses antes do vencimento, precisando de dinheiro, vendeu o título a Pedro. Determine o valor de venda 
(valor atual dois meses antes do vencimento), sabendo-se que, nessa data, a taxa de juros simples para aplicações neste 
título era de 2,8% a.m.
Resposta: R$ 58.001,89
Exercícios de fixação 37
(Ano: 2014 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Petrobras). 
15014) Uma empresa, frente à sua disponibilidade temporária de recursos financeiros, aplicou R$ 140.000,00 para receber 
R$ 168.000,00 ao final de 4 meses. Considerando exclusivamente as informações acima, essa empresa obteve, nessa 
operação financeira, uma taxa anual de juros simples, em percentual, de:
Resposta: 60%
Módulo 03 – Desconto simples.
Desconto simples 39
Desconto é o abatimento dado a um valor monetário em determinadas condições. O desconto costuma ser expresso por um 
porcentual aplicado sobre o preço. Suponha que você queira comprar uma televisão por R$ 2.000,00 e o vendedor oferece 
desconto de 10% sobre o valor caso o pagamento seja realizado à vista. Nesse caso, o desconto é igual a R$ 200,00 (10% de 
R$ 2.000,00), e o novo preço passa a ser R$ 1.800,00.
Outra situação envolvendo desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo e emite uma duplicata, que lhe 
dará o direito de receber do comprador o valor combinado na data futura. Caso o vendedor precise do dinheiro, ele poderá ir 
a um banco e efetuar o desconto da duplicata. O que a empresa faz é ceder ao banco o direito do recebimento da duplicata 
em troca do dinheiro recebido antecipadamente. 
Uma empresa pode ainda descontar notas promissórias ou cheques pré-datados. As notas promissórias surgem quando um 
devedor assume uma dívida perante um credor; ela é um papel que representa uma promessa de pagamento ao credor, a 
qual é feita pelo devedor. As operações de desconto de duplicatas e notas promissórias são bastante comuns no sistema 
financeiro e possuem uma sistemática de cálculo bem caracterizada, chamada de desconto comercial ou bancário.
Desconto comercial ou bancário (ou por fora) 40
Chamamos de valor nominal (ou valor de face) e indicamos por FV o valor do título (duplicata, promissória ou cheque) a ser 
descontado. Seja d a taxa de desconto utilizada na operação (em porcentagem por período) e n o prazo de vencimento do 
título (expresso na mesma unidade de tempo da taxa). O desconto comercial ou bancário ou ainda desconto por fora D é 
dado por:
𝐷 = 𝐹𝑉 ∗ 𝑑 ∗ 𝑛 𝑉𝑑 = 𝐹𝑉 − 𝐷
Valor descontadoDesconto comercial
Exemplo: uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada em um banco dois meses antes dovencimento, a uma taxa de 
desconto comercial de 2,5% a.m.
a) Obtenha o desconto.
b) Obtenha o valor líquido recebido pela empresa.
c) Obtenha o fluxo de caixa da operação do ponto de vista do banco. Calcule também a taxa efetiva de juros da operação.
Resolução:
• 𝑎) 𝐷 = 18.000 ∗ 0,025 ∗ 2 = 900
• 𝑏)𝑉𝑑 = 18000 − 900 = 17100
• 𝑐) 𝑖 =
18000
17100
− 1 = 0,0526 = 5,26%𝑎. 𝑏.
•
5,26
2
= 2,63% 𝑎. 𝑚. (𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠)
17100
18000
20
Desconto comercial ou bancário (ou por fora) 41
Exemplo: ao descontar uma duplicata com prazo de 72 dias até o vencimento, um banco pretende ganhar uma taxa de juros 
de 6% no período. Qual taxa de desconto mensal deverá cobrar?
Resolução:
• Admitamos uma duplicata de valor igual a R$ 100,00, por exemplo. Assim:
•
100
𝑉𝑑
− 1 = 0,06 → 𝑉𝑑 =
100
1,06
= 94,34
• Portanto, o desconto é igual a 100 − 94,34 = 5,66
• Agora, para encontrar a taxa em termos mensais:
• 5,66 = 100 ∗ 𝑑 ∗
72
30
• 𝑑 =
30∗5,66
100∗72
= 0,236 = 2,36% 𝑎. 𝑚.
Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples 42
Sendo FV o valor nominal do título e D o desconto, o fluxo de caixa da operação de desconto, do ponto de vista do banco é:
FV-D
FV
n0 𝑖 =
𝑑
1 − 𝑑 ∗ 𝑛
Exemplo: uma duplicata com prazo de vencimento de dois meses foi descontada em um banco, proporcionando-lhe uma taxa 
efetiva de juros simples igual a 3% a.m. Qual a taxa de desconto utilizada?
Resolução:
• 0,03 =
𝑑
1−𝑑∗2
 → 0,03 ∗ 1 − 2𝑑 = 𝑑 → 0,03 − 0,06𝑑 = 𝑑 → −1,06𝑑 = −0,03 → 𝑑 =
0,03
1,06
= 0,0283 = 2,83% 𝑎. 𝑚.
Exercícios de fixação 43
(Ano: 2015 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15015) Uma instituição financeira efetua o desconto de um título de valor de face de R$ 25.000,00 dois meses antes do 
vencimento, utilizando taxa de desconto simples bancário (por fora) de 9% ao mês. A instituição exige o pagamento de 2% 
do valor de face do título como taxa de administração no momento de desconto do título. A taxa bimestral de juros 
realmente cobrada é de:
a) 20%
b) 25%
c) 11%
d) 16%
e) 22,5%
Exercícios de fixação 44
(Ano: 2011 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BNDES). 
15016) Uma nota promissória com valor nominal de R$ 150.000,00 foi descontada em um banco 100 dias antes do 
vencimento, à taxa de desconto de 2% a.m., mais 5% sobre o valor nominal, a título de despesas bancárias. Considerando a 
sistemática de desconto bancário simples e ano comercial, o valor descontado é, aproximadamente:
a) R$ 132.500,00
b) R$ 135.150,00
c) R$ 137.200,00
d) R$ 140.000,00
e) R$ 142.800,00
Exercícios de fixação 45
(Ano: 2011 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Transpetro). 
15017) Um valor líquido foi creditado na conta de uma determinada empresa, correspondente ao desconto de três 
duplicatas, montando a R$ 23.150,00, todas com prazo de 35 dias. Sabendo-se que o Banco Atlântico S/A cobrou, para 
realizar essa operação, uma taxa de desconto simples de 3,0% ao mês, o valor líquido, em reais, foi:
a) 23.011,15
b) 22.555,55
c) 22.339,75
d) 22.115,89
e) 22.035,45
Exercícios de fixação 46
15018) Uma empresa descontou uma duplicata de R$ 12.000,00, 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu 
um valor líquido de R$ 11.720,00, calcule a taxa de desconto comercial mensal da operação.
Resposta: 1,56% a.m.
Exercícios de fixação 47
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Transpetro Prova: CESGRANRIO - 2018 - Transpetro - Analista Financeiro Júnior
15019) Um título, cujo valor de resgate é de R$ 260.000,00, está sendo negociado exatamente dois meses antes do seu 
vencimento por R$ 244.361,00. Nessas condições, o valor mais próximo da taxa de desconto bancário cobrada nessa 
operação é igual a:
a) 2,0%
b) 2,4%
c) 3,0%
d) 3,8%
e) 4,5%
Exercícios de fixação 48
Ano: 2018 Banca: CESGRANRIO Órgão: Petrobras Prova: CESGRANRIO - 2018 - Petrobras – Auditor Júnior
15019-2) Um cliente de uma loja de eletrodomésticos deseja antecipar duas parcelas iguais de R$ 1.000,00 de seu 
financiamento, com vencimento para, respectivamente, 30 e 60 dias a partir de hoje.
Considerando-se uma taxa de desconto de 2% a.m., desconto comercial simples e calendário comercial, quanto será 
exigido do cliente para quitar as duas parcelas?
a) R$ 1940,00
b) R$ 1940,40
c) R$ 1941,93
d) R$ 1960,00
e) R$ 2000,00
Operações com um conjunto de títulos 49
Caso tenhamos um conjunto de títulos (chamado borderô, no caso de duplicatas), o seu valor atual comercial (ou valor 
líquido) é a soma dos valores atuais de cada título.
Exemplo: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para serem descontadas em um banco à taxa de desconto 
comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela empresa?
Resolução:
• Duplicata A: 𝐷𝐴 = 20.000 ∗ 0,02 ∗ 1 = 400, → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑅$19.600,00
• Duplicata B: 𝐷𝐵 = 40.000 ∗
0,02
30
∗ 65 = 1.733,33 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑅$38.266,67
• Duplicata C: 𝐷𝐶 = 80.000 ∗
0,02
30
∗ 82 = 4.373,33 → 𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑙í𝑞𝑢𝑖𝑑𝑜 = 𝑅$75.626,67
Duplicata Valor Prazo até o vencimento
A R$ 20.000 30 dias
B R$ 40.000 65 dias
C R$ 80.000 82 dias
Prazo médio de um conjunto de títulos 50
Chama-se de prazo médio de um conjunto de títulos ao prazo em que se deve descontar o valor total do conjunto, a uma 
certa taxa de desconto comercial, para obter o mesmo resultado que a soma dos descontos de cada título, à mesma taxa de 
desconto.
Exemplo: Qual o prazo médio do conjunto de títulos considerando o mesmo exemplo anterior?
Resolução:
• ത𝑛 =
20000 ∗30+ 40000 ∗65+ 80000 ∗82
20000+40000+80000
= 69,71 𝑑𝑖𝑎𝑠
• Se descontarmos o valor total do borderô (140.000,00) a taxa de 2% a.m. no prazo de 69,71 dias, obteremos:
• 𝐷 = 140000 ∗
0,02
30
∗ 69,71 = 6.506,27
ത𝑛 =
𝑊1 ∗ 𝑛1 + 𝑊2 ∗ 𝑛2 + 𝑊3 ∗ 𝑛3 + ⋯ 𝑊𝑃 ∗ 𝑛𝑃
𝑊1 + 𝑊2 + 𝑊3 + ⋯ + 𝑊𝑝
• W = peso de cada título na carteira;
• n = prazo de cada título na carteira
• ത𝑛 = prazo médio (média ponderada dos prazos dos títulos)
Duplicata Valor Prazo até o vencimento
A R$ 20.000 30 dias
B R$ 40.000 65 dias
C R$ 80.000 82 dias
Módulo 04 – Juros compostos.
Juros compostos 52
𝑀𝑛 = 𝐶(1 + 𝑖)
𝑛
• M = montante;
• C = Capital;
• i = taxa de juros;
• n = prazo.
Exemplo: Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 
três meses, à taxa de 2% a.m. Qual o montante a o total de juros auferidos?
Resolução:
• 𝑀 = 6000(1 + 0,02)3= 6.367,25
Exemplo: que capital, aplicado a juros compostos à taxa de 2,5% a.m., produz um montante de R$ 3.500,00 após um ano?
Resolução:
• 3500 = 𝐶(1,025)12
• 3500 = 𝐶 1,3449
• 𝐶 =
3500
1,3449
= 2.602,42
Juros compostos 53
Exemplo: uma empresa vende determinada matéria-prima por R$ 1.500,00 a tonelada, sendo o pagamento feito dois meses 
após a compra. Para pagamento à vista, a empresa dá um desconto de 5% sobre os R$ 1.500,00. Qual a taxa mensal de juros 
compostos pagos no financiamento?
Resolução:
• O desconto para pagamento à vista é igual a (0,05)*1500=75. Portanto, o preço à vista é de R$ 1425
• Assim, caso o pagamento seja feito a prazo, o capital financiado é de R$ 1425 e o montante correspondente, após dois 
meses, é de R$ 1500. Portanto, a taxa mensal de juros compostos é:
• 1500 = 1425 ∗ 1 + 𝑖 2
• 1,0526 = (1 + 𝑖)2
• Elevando ambos os membros a expoente
1
2
, 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠:
• [(1 + 𝑖)2]
1
2 = 1,0526
1
2 → (1 + 𝑖)1= (1,0526)0,5→ 1 + 𝑖 = 1,0260 → 𝑖 = 0,0260 = 2,6%𝑎. 𝑚.
Exercícios de fixação 54
(Ano: 2023 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15020) A empresa XYZ planeja comprar um equipamento em janeiro de 2023, cujo preço à vista é R$ 300.000,00, pagando 
com uma entrada e mais duas parcelas. A entrada, correspondente à primeira parcela, será paga em janeiro de 2023 (no 
ato da compra); a segunda parcela, em janeiro de 2024, no valor de R$ 150.000,00; e a terceira parcela, em janeiro de 
2025, também no valor de R$ 150.000,00. Considerando-se a equivalência financeira a juros compostos, se a taxa de juros 
cobrada pelo vendedor é de10% ao ano, o valor da entrada (primeira parcela no ato da compra), em R$, será, 
aproximadamente,
a) 20.000,00
b) 39.670,00
c) 48.750,00
d) 54.280,00
e) 63.000,00
Exercícios de fixação 55
(Ano: 2023 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BANRISUL). 
15021) O diretor financeiro de uma agência de veículos fez um empréstimo de 300 mil reais, em janeiro de 2022, junto a 
um banco que cobrava uma taxa de 4% ao mês, no sistema de juros compostos. Após exatos dois meses da data do 
primeiro empréstimo, em março de 2022, o diretor financeiro pegou mais 200 mil reais emprestado, com a mesma taxa e 
sistema de juro. Em maio de 2022, exatamente dois meses após o último empréstimo, liquidou as duas dívidas, zerando o 
seu saldo devedor. O valor pago pela agência de veículos, em milhares de reais, foi de, aproximadamente,
Dados: 1,04²=1,0816; 1,044 = 1,1698; 1,046 = 1,2653
a) 497
b) 528
c) 567
d) 614
e) 684
Exercícios de fixação 56
(Ano: 2023 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BANRISUL). 
15023) Um equipamento no valor de R$ 3.680.000,00 será financiado em 4 parcelas, à taxa de juro de 10% ao ano, no 
regime de juros compostos. A primeira parcela, no valor de R$ 1.000.000,00, será paga no ato da compra; as segunda e 
terceira parcelas serão iguais entre si, pagas 1 e 2 anos após a compra, respectivamente. A última parcela, no valor de R$ 
1.331.000,00, será paga 3 anos após a compra. Considerando-se os fluxos de pagamentos apresentados e a equivalência 
financeira no regime de juros compostos, o valor, em reais, de cada uma das parcelas intermediárias (2ª e 3ª parcelas), 
será de, aproximadamente,
a) 900.000,00
b) 950.000,00
c) 970.000,00
d) 980.000,00
e) 990.000,00
Taxas equivalentes em juros compostos 57
Vimos, na fórmula do montante 𝑀 = 𝐶 ∗ (1 + 𝑖)𝑛, que habitualmente expressamos o prazo n de acordo com a unidade de 
tempo da taxa; todavia, poderíamos expressar i de acordo com a unidade usada para n. Nesse caso, temos de converter uma 
taxa, em um período, em outra, em outro período, de modo que as duas produzam o mesmo montante. Desta ideia de 
transformação surge o conceito de taxas equivalentes. Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, 
aplicadas em um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzem montantes iguais.
Exemplo: em juros compostos, qual a taxa anual 
equivalente a 2% a.m.?
Resolução:
• (1 + 𝑖1)
1= (1,02)12
• 𝑖1 = (1,02)
12−1 = 0,2682 = 26,82% 𝑎. 𝑎.
Exemplo: em juros compostos, qual a taxa trimestral 
equivalente a 15% a.a.?
Resolução:
• (1 + 𝑖)4= (1,15)1
• ((1 + 𝑖)4)
1
4 = (1,15)
1
4
• (1 + 𝑖)1= (1,15)
1
4
• 𝑖 = (1,15)
1
4−1 = 0,0356 = 3,56% 𝑎. 𝑡.
Taxas equivalentes em juros compostos 58
A fórmula das taxas equivalentes pode ainda ser expressa de uma outra maneira, em função dos prazos (em dias) de cada 
taxa. 
Exemplo: em juros compostos, qual a taxa mensal 
equivalente a 8% a.t.?
Resolução:
• A taxa que você quer é mensal, portanto 30 dias;
• A taxa que você tem é trimestral, portanto 90 
dias;
• 𝑖 = (1,08)30/90−1 = 0,0260 = 2,60% 𝑎. 𝑚.
𝑖𝑞 = (1 + 𝑖𝑡)
𝑞
𝑡 −1 
• q = taxa que eu quero encontrar;
• t = taxa que eu tenho.
Exemplo: em juros compostos, qual a taxa anual equivalente 
à taxa de 3% em 45 dias?
Resolução:
• A taxa que você quer é anual, portanto 360 dias;
• A taxa que você tem está em 45 dias;
• 𝑖 = (1,03)360/45−1 = 0,2668 = 26,68% 𝑎. 𝑎.
Exercícios de fixação 59
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15024) Um banco possui, atualmente, um modelo de financiamento em regime de juros compostos, em que as parcelas 
são pagas, mensalmente, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Para um certo perfil de clientes, o banco pretende possibilitar 
o pagamento da dívida a cada três meses, a uma taxa de juros trimestral equivalente à praticada no modelo atual. A 
melhor aproximação para o valor da taxa de juros trimestral desse novo modelo de financiamento é:
a) 2,48%
b) 6,00%
c) 6,12%
d) 7,28%
e) 8,00%
Exercícios de fixação 60
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15025) Uma pessoa tem uma dívida no valor de R$2.000,00, vencendo no dia de hoje. Com dificuldade de quitá-la, pediu o 
adiamento do pagamento para daqui a 3 meses. Considerando-se uma taxa de juros compostos de 2% a.m., qual é o valor 
equivalente, aproximadamente, que o gerente do banco propôs que ela pagasse, em reais?
a) 2.020,40
b) 2.040,00
c) 2.080,82
d) 2.120,20
e) 2.122,42
Exercícios de fixação 61
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15026) Um cliente pagou, via internet banking, quatro duplicatas vencidas com exatamente 12 dias de atraso, cujos valores 
de face são de R$4.200,00; R$3.800,00; R$2.600,00 e R$7.400,00. Nesse caso, para pagamentos até 30 dias após o 
vencimento, são cobrados juros simples à taxa de 6% ao mês, mais uma multa de 2% sobre o valor de face de cada 
duplicata. Considerando-se o mês comercial (30 dias), o valor total pago, em reais, por essas quatro duplicatas vencidas foi 
de
a) 18432,00
b) 18792,00
c) 18872,00
d) 18912,00
e) 18982,00
Valor atual e nominal em juros compostos 62
Estes conceitos são análogos aos vistos em juros simples. Valor nominal (FV) de um compromisso é o valor do compromisso na 
data de seu vencimento. Valor atual (PV) a juros compostos do compromisso (ou valor presente), em uma data anterior ao 
vencimento, é o valor que, aplicado a juros compostos a partir desta data até a data do vencimento, produz um montante igual 
ao valor nominal. 
Exemplo: Uma pessoa tem uma dívida de R$ 10.000,00 vencível daqui a três meses. Qual seu valor atual hoje, considerando 
uma taxa de juros de 1,5% a.m.?
Resolução:
• 𝑉 =
10000
(1,015)3
= 9.563,17
Exemplo: Uma pessoa tem uma dívida de R$ 5.000,00, vencível daqui a dois meses, e outra de R$ 7.000,00, vencível daqui a 
cinco meses. Quanto deverá aplicar hoje, no mínimo, a juros compostos e à taxa de 1% a.m. para fazer frente aos 
compromissos?
Resolução:
• O valor atual da dívida de R$ 5.000,00 é
5000
(1,01)2
= 4.901,48 enquanto que o VP da dívida de R$ 7.000,00 é
7000
(1,01)5
=
6.660,26 → portanto, o valor atual de ambas é de R$ 11.561,74.
Compra à vista e compra a prazo 63
Uma importante aplicação do conceito de valor atual é a análise da melhor decisão para um comprador frente às alternativas 
de pagamento à vista e a prazo. O procedimento consiste em calcular o valor atual do pagamento a prazo e compará-lo com o 
preço à vista. A melhor alternativa é a que produz o mínimo entre os valores comparados (também chamado de preço 
econômico).
Exemplo: o que é melhor para um comprador: pagar um terreno por R$ 50.000,00 daqui a 50 dias ou pagar à vista com 3% de 
desconto sobre aquele preço. Suponha que o comprador consiga aplicar seu dinheiro à taxa de 1,4% a.m. no regime de juros 
compostos.
Resolução:
• Preço à vista = 50000 − 0,03 ∗ 50000 = 48.500
• Valor presente do pagamento a prazo: 𝑉 =
50000
(1,014)50/30
= 48.854,74
• Portanto, a melhor alternativa é pagar à vista.
Exercícios de fixação 64
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15027) Para ampliar o capital de giro de um novo negócio, um microempreendedor tomou um empréstimo no valor de 
R$20.000,00, em janeiro de 2021, a uma taxa de juros de 5% ao mês, no regime de juros compostos. Exatamente dois 
meses depois, em março de 2021, pagou 60% do valor do empréstimo, ou seja, dos R$20.000,00, e liquidou tudo o que 
devia desse empréstimo em abril de 2021. A quantia paga, em abril de 2021, que liquidou a referida dívida, em reais, foi 
de
a) 11352,50
b) 11152,50
c) 10552,50
d) 10452,50
e) 10152,50
Exercícios de fixação 65
(Ano: 2023 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BANRISUL). 
15028) Um empresário pegou um empréstimo de 500 mil reais, a uma taxa de juro de 5% ao mês, no sistema de juros 
compostos. Após 6 meses, sem pagar absolutamente nada do empréstimo, resolveu renegociar a dívida com o banco, que 
lhe concedeu um desconto de 10% sobre o saldo devedor, financiando os 90% restantes em 24 prestações mensais e iguais, 
com a primeira aser paga um mês após a data da renegociação, a uma taxa de juro de 3% ao mês. O valor da prestação 
mensal, em milhares de reais, que o empresário devedor vai pagar, nessa nova negociação, é de, aproximadamente,
Dados: 1,056 = 1,34 𝑒 1,0324 = 2,03
a) 35,6
b) 37,8
c) 39,6
d) 40,8
e) 42,8
Exercícios de fixação 66
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15030) Um cliente deseja fazer uma aplicação em uma instituição financeira, que paga uma taxa de juros compostos de 
10% ao ano, por um período de 3 anos, já que, ao final da aplicação, planeja comprar uma TV no valor de R$ 3.500,00 à 
vista. Qual o valor aproximado a ser investido para esse objetivo ser alcançado?
a) R$ 2.629,60
b) R$ 2.450,00
c) R$ 2.692,31
d) R$ 2.341,50
e) R$ 2.525,00
Capitalização composta com taxas de juros variáveis e taxa acumulada 67
𝑀 = 𝐶 ∗ 1 + 𝑖1 ∗ 1 + 𝑖2 … 1 + 𝑖𝑛
• M = montante;
• C = capital;
• i = taxa de juros
𝑖𝑎𝑐 = 1 + 𝑖1 ∗ 1 + 𝑖2 … 1 + 𝑖𝑛 − 1
Exemplo: em três meses consecutivos, um fundo de investimento rendeu, respectivamente, 1,3%, 1,7% e 2,1%. Se o capital 
aplicado no início do primeiro mês foi de R$ 16.000,00, pede-se:
a) O montante ao final do terceiro mês.
b) A taxa de rentabilidade acumulada deste fundo no trimestre.
Resolução:
• 𝑀 = 16000 ∗ 1,013 ∗ 1,017 ∗ 1,021 = 16.829,69
• 𝑖𝑎𝑐 =
16829,69
16000
− 1 = 0,0519 = 5,19%
• A taxa acumulada também poderia ser obtida por meio da fórmula: 𝑖𝑎𝑐 = 1,013 ∗ 1,017 ∗ 1,021 − 1 = 0,0519 = 5,19%
Situação na qual o período da taxa não coincide com o da capitalização 68
Quando a taxa não coincide com a capitalização, é convenção adotar-se a taxa por período de capitalização (taxa efetiva) 
como proporcional à taxa considerada (taxa nominal).
Exemplo: um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante um ano à taxa de 12% a.a., mas com capitalização mensal de juros. 
Qual o montante?
Resolução:
• 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 = 12% 𝑎. 𝑎.
• 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 =
12%
12
= 1%𝑎. 𝑚.
• 𝑚𝑜𝑛𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 1000 ∗ 1,0112 = 1.126,83
Módulo 05 – Taxa real de juros.
Inflação e deflação e taxa real de juros 70
A inflação nada mais é do que o aumento persistente e generalizado dos preços dos bens e de serviços, acarretando a perda 
do poder aquisitivo da moeda. A inflação gera incertezas e distorções nos preços. Inversamente, o fenômeno da deflação é 
caracterizado pela queda persistente nos preços dos bens e serviços da economia. A expectativa de queda dos preços gera 
adiamento do consumo e dos investimentos, acarretando queda na produção e aumento do desemprego.
A taxa real de juros é aquela em que o ganho real é expresso como porcentagem do capital corrigido (descontado o efeito da 
inflação ou deflação). Sua fórmula é conhecida conforme abaixo:
1 + 𝑟 =
1 + 𝑖
1 + 𝑗
• r = taxa real;
• i = taxa nominal;
• j = taxa de inflação.
• Se i = j, então, r = 0 (taxa real nula);
• Se i > j, então, r > 0 (taxa real positiva);
• Se i < j, então, r < 0 (taxa real negativa).
Exemplo: um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros 
igual a 12% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 7%. 
Qual a taxa real de juros?
Resolução:
• 1 + 𝑟 =
1,12
1,07
= 0,0467 = 4,67% 𝑎. 𝑎.
Exercícios de fixação 71
(Ano: 2023 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BANRISUL). 
15031) Um cliente aplicou R$ 100.000,00 em um tipo de investimento, no início de 2021, e, no final de 2022, resgatou todo 
o montante, pagando 15% de Imposto de Renda (IR) sobre os juros proporcionados pelo investimento, antes da aplicação 
do IR. No primeiro ano do investimento, a taxa de juro foi positiva, mas no segundo ano foi negativa, conforme se mostra 
na Tabela a seguir.
Considere que as taxas apresentadas representem variações sucessivas, ou seja, incidam sobre o acumulado anterior. 
Assim, a taxa de juro líquida proporcionada pelo investimento (em todo o período do investimento), comparando o valor 
investido com o valor resgatado após descontado o IR, foi igual a
a) 11,9%
b) 12,8%
c) 13,6%
d) 14,0%
e) 15,0%
ANO 2021 2022
Taxa anual de juro proporcionada 
pelo investimento na comparação 
com o ano anterior
20% -5%
Exercícios de fixação 72
(Ano: 2018 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15032) Admita que um fundo de pensão norte-americano, em determinado momento t0 , pretenda investir o equivalente 
a US$100 milhões em títulos públicos brasileiros, expressos em reais e aplicados por um ano à taxa fixa de 6,5% a.a. 
Admita, adicionalmente, que a taxa de câmbio no mercado à vista no momento t0 seja cotada a R$ 3,25/US$, e a taxa de 
câmbio no mercado a termo para 360 dias seja cotada a R$ 3,20/US$.
Considerando-se que os títulos sejam resgatados na data de vencimento (após um ano) e que a taxa de câmbio no 
mercado à vista coincida, na data de resgate, com a negociada no mercado a termo, a rentabilidade do investidor, em 
dólares (cupom cambial) será, aproximadamente, de
a) 8,5% a.a.
b) 8,2% a.a.
c) 1,7% a.a.
d) 4,9% a.a.
e) 6,5% a.a.
Módulo 06 – Valor presente
Valor presente e taxa interna de retorno 74
Consideremos os valores 𝑦0, 𝑦1, 𝑦2, … , 𝑦𝑛, nas datas 0, 1, 2,..., n, respectivamente. Chamamos de valor atual na data 0 (ou 
simplesmente valor atual) desse conjunto, a uma taxa de juros i, a soma dos valores equivalentes desses capitais na data 0. 
Os valores monetários referidos podem ser pagamentos de uma dívida ou então rendas recebidas.
𝑦0 𝑦1 𝑦2 𝑦𝑛
0 1 2 n
𝑉 = 𝑦0 +
𝑦1
(1 + 𝑖)1
+
𝑦2
(1 + 𝑖)2
+
𝑦3
(1 + 𝑖)3
+ ⋯ +
𝑦𝑛
(1 + 𝑖)𝑛
𝑉 = ෍
𝑗=0
𝑛
𝑦𝑗
(1 + 𝑖)𝑗
Valor presente e taxa interna de retorno 75
Exemplo: uma empresa prevê o pagamento de R$ 2.000,00 daqui a um mês, R$ 3.000,00 daqui a dois meses e R$ 5.000,00 
daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos à taxa de 1,5% a.m., para fazer frente a essas despesas, 
sobrando saldo nulo após o último pagamento?
Resolução:
• O valor que deverá ser aplicado hoje é, por definição, o valor atual desse conjunto, ou seja:
• 𝑉 =
2000
(1,015)1
+
3000
(1,015)2
+
5000
(1,015)3
= 9.664,01
Exemplo: uma loja vende um conjunto de sofás por R$ 500,00 de entrada, mais três prestações mensais de R$ 800,00 cada 
uma. Se um comprador consegue aplicar seu dinheiro à taxa de 1,2% a.m., quanto deverá dispor hoje para poder efetuar a 
compra?
Resolução:
• 𝑉 = 500 +
800
(1,012)1
+
800
(1,012)2
+
800
(1,012)3
= 2.843,53
Valor presente e taxa interna de retorno 76
Exemplo: uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo em três prestações mensais iguais sem entrada. 
Qual o valor de cada prestação se a loja pretende ganhar 3% a.m. no financiamento?
Resolução:
• Seja x o valor de cada prestação. Se a loja pretende ganhar 3% a.m. sobre o valor financiado, então R$ 1.500,00 é o valor 
atual das prestações à taxa de 3% a.m. isto é:
• 1500 =
𝑥
(1,03)1
+
𝑥
(1,03)2
+
𝑥
(1,03)3
• 1500 =
1
(1,03)1
𝑥 +
1
(1,03)2
𝑥 +
1
(1,03)3
𝑥
• 0,9709𝑥 + 0,9426𝑥 + 0,9151𝑥 = 1500
• 2,8286𝑥 = 1500
• 𝑥 =
1500
2,8286
= 530,30
Análise de alternativas de pagamento pelo valor atual 77
Frequentemente somos colocados em situações nas quais são oferecidas várias alternativas para o pagamento de um bem ou 
serviço. Se os valores monetários forem calculados em uma mesma data, podemos facilmente efetuar sua comparação. Isto 
pode ser feito pela comparação dos valores atuais de cada alternativa. Nesse caso, utilizando a taxa de juros compostos que 
podemos aplicar o dinheiro, é possível calcular o valor atual de cada alternativa. Aquela que produzir o menor valor atual 
(menor custo) é a melhor.
Exemplo: uma casa é vendida à vista por R$ 326.000,00 ou, a prazo, por R$ 90.000,00 de entrada mais três prestações 
mensais e iguais de R$ 80.000,00 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa de 
pagamento para um comprador que consegue aplicar seu dinheiro á taxa de juros compostos de 1% a.m.?
Resolução:
• V = 90000 +
80000
(1,01)1
+
80000
(1,01)2
+
80000
(1,01)3
• 𝑉 = 325.278,82• Como o valor à vista de R$ 326.000,00 é maior do que o valor presente líquido de R$ 325.278,82, a melhor alternativa 
para o comprador é o pagamento à prazo.
Análise de alternativas de pagamento pelo valor atual 78
Chamamos de investimento a toda aplicação de dinheiro visando a ganhos. No caso de uma aplicação em capital físico de 
uma empresa ou em bens reais, o investimento pode ou não ser aceitável para quem está investindo. Isto porque o dinheiro 
aplicado no investimento poderia ter outro destino, por exemplo, o mercado financeiro. Imagine que um empresário tenha a 
opção de investir em projetos de sua empresa ou tivesse a oportunidade de auferir ganhos em outra aplicação de risco 
semelhante ao investimento. À taxa que o investidor conseguiria auferir nessa outra aplicação damos o nome de taxa de 
atratividade ou taxa requerida de retorno.
• Caso o Valor presente líquido > taxa de atratividade → o investimento deve ser aceito;
• Caso o valor presente líquido < taxa de atratividade → o investimento não deve ser aceito;
• Deve-se sempre escolher o projeto que proporcione o maior valor presente líquido (desde que seja positivo).
Análise de alternativas de pagamento pelo valor atual 79
Exemplo: um investidor, prevendo a valorização dos imóveis em uma certa região em decorrência da construção de uma 
futura estrada, resolve investir R$ 200.000,00 na compra de um terreno e construção de um galpão. Ele estima alugar o 
galpão por R$ 12.000,00 ao final de cada ano, durante três anos, e, em seguida daqui a três anos, vender o imóvel por R$ 
220.000,00 em consequência da valorização. Considere que todos os valores monetários estejam em valores reais e que a 
taxa de atratividade seja de 6% a.a. Verificar se o investidor deve ou não aceitar o investimento, pelo método do valor 
presente.
Resolução:
• V =
12000
(1,06)1
+
12000
(1,06)2
+
232000
(1,06)3
= 216.792,39
• Como o valor presente líquido é maior do que o investimento de R$ 200.000,00, isso significa que ao realizar o 
investimento, há um ganho extra de R$ 16.792,39 relativamente à aplicação à taxa de 6% a.a.
Exercícios de fixação 80
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15033) Um cliente montou uma estratégia financeira, aplicando parte de seu décimo terceiro salário, sempre no início de 
janeiro, de 2018 a 2021, conforme mostrado a seguir:
A partir da orientação financeira de um especialista, ele conseguiu obter nesse período, com essas aplicações, uma taxa de 
retorno de 10% ao ano, sempre na comparação com o ano anterior. Ele pretende atingir o valor total acumulado de 65 mil 
reais no início de Jan/2023. Considerando-se que essa taxa de retorno se mantenha, o valor mínimo, em reais, que esse 
cliente precisará depositar em Jan/2022, para atingir a meta em Jan/2023, a partir das aproximações dadas, pertence ao 
intervalo:
Dados: 1,15 = 1,611 1,14 = 1,464 1,13 = 1,331.
a) R$ 8.000,00 a R$ 8.199,00
b) R$ 8.200,00 a R$ 8.399,00
c) R$ 8.400,00 a R$ 8.599,00
d) R$ 8.600,00 a R$ 8.799,00
e) R$ 8.800,00 a R$ 8.999,00
Jan/2018 Jan/2019 Jan/2020 Jan/2021
R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00 R$ 10.000,00
Exercícios de fixação 81
(Ano: 2018 – Banca: FGV – órgão: Banestes). 
15034) O diagrama a seguir apresenta as projeções dos fluxos de caixa líquidos de um projeto, em reais, durante dez 
meses.
Se a Taxa Interna de Retorno (TIR) é 4% a.m., então o valor de P é: 
Dados: 1,049 = 1,42 1,0410 = 1,48 1,0411 = 1,54
a) R$ 1.370,00
b) R$ 1.427,00
c) R$ 1.480,00
d) R$ 1.565,00
e) R$ 1.623,00
Exercícios de fixação 82
(Ano: 2018 – Banca: FGV – órgão: Banestes). 
15035) Um dos métodos para se analisar a viabilidade de um projeto de investimento é o do VPL (Valor Presente Líquido). 
Para utilizá-lo, estimam-se os fluxos de caixa líquidos gerados pelo projeto e, com o auxílio da taxa de custo do capital, 
calcula-se o valor presente desses fluxos. Um resultado positivo indica que o projeto é economicamente viável caso a 
estimativa de fluxos de caixa esteja correta e se o projeto completar seu prazo. A seguir estão as projeções dos fluxos de 
caixa líquidos de um projeto. 
Se essas projeções são válidas e se o custo do capital ao ano é de 10%, conclui-se que o projeto é economicamente:
a) Inviável, porque o VPL é igual a -15.000 reais;
b) Inviável, porque o VPL é igual a -1.500 reais;
c) Viável, porque o VPL é igual a 1.500 reais;
d) Viável, porque o VPL é igual a 5.000 reais;
e) Viável, porque o VPL é igual a 15.000 reais.
ANO 0 1 2 3
FLUXO EM 
REAIS
(32500) (11000) 25410 26620
Módulo 07 – Sequências.
Lei de formação de sequências e determinação de seus elementos 84
Sequência numérica é uma sucessão de números que geralmente possui uma lei de formação, com especificidades, como a 
sequência de números pares, ou de números primos etc. o que torna possível prever quais serão os próximos termos 
conhecendo os seus antecessores.
• Sequência de números pares: (0,2,4,6,8...);
• Sequência dos naturais menores que 6: (1,2,3,4,5);
• Sequência de números primos: (2,3,5,7,11...).
• Sequência finita: quando possui uma quantidade limitada de termos (1,2,3,4,5);
• Sequência infinita: quando possui uma quantidade ilimitada de termos (10,100,1000,10000 ...)
• Sequência crescente: quando o termo é sempre menor que seu sucessor (0,1,2,3,4,5,6, ...)
• Sequência decrescente: quando o termo é sempre maior que seu sucessor (10,7,4,1,-2,-5, ...)
• Sequência constante: quando o termo é sempre igual ao seu sucessor (1,1,1,1,1,1,1)
• Sequência oscilante: quando há termos maiores e menores que o seu sucessor (1,-2,4,-8,16,-32,64...)
Existem casos especiais de sequência conhecidos como progressão aritmética ou progressão geométrica.
Lei de formação de sequências e determinação de seus elementos 85
Geralmente demonstramos as sequências fazendo uma lista dos seus termos, entre parênteses e separados por vírgula. Essa 
lista é conhecida como lei de ocorrência de uma sequência numérica.
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, … , 𝑎𝑛
Onde: 
𝑎1 → 1° termo da sequência;
𝑎2→ 2° termo da sequência e assim por diante.
Exemplo: lei de ocorrência da 
sequência dos números 
múltiplos de 3:
(0,3,6,9,12,15,...)
Exemplo: lei de ocorrência da 
sequência dos números 
primos:
(2,3,5,7,11,13,17,19,23,...)
Exemplo: lei de ocorrência da 
sequência dos números 
inteiros negativos:
(-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7...)
Exemplo: sequência formada por quadrados perfeitos, cuja lei de 
formação é 𝑎𝑛 = (𝑛 − 1)
2 :
(0,1,4,9,16,25,36,64,...) qual o termo que ocupa a posição número 
10 na sequência?
• 𝑎10 = (10 − 1)
2= 92 = 81
Lei de formação de sequências e determinação de seus elementos 86
Exemplo: liste os termos da sequência cuja lei de 
formação é 𝑎𝑛 = 2𝑛 − 5 (esse é um exemplo de termo 
geral).
Resolução:
• Para listar, encontraremos os primeiros termos da 
sequência:
• 𝑎𝑛 = 2 ∗ 1 − 5 = −3
• 𝑎𝑛 = 2 ∗ 2 − 5 = −1
• 𝑎𝑛 = 2 ∗ 3 − 5 = 1
• 𝑎𝑛 = 2 ∗ 4 − 5 = 3
• 𝑎𝑛 = 2 ∗ 5 − 5 = 5
• Então a sequência é: (-1,1,3,5...)
• Pelo termo Geral: descobre-se todos os números da sequência a partir do zero.
• Por recorrência: sempre é dado um dos termos da sequência para descobrir os próximos.
Lei de formação de uma 
sequência numérica
Exemplo:
• 𝑎1 = 5 
• 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 3, 𝑛 ∈ 2,3
Resolução:
• Nesse caso iremos descobrir apenas o segundo e 
terceiro termo 𝑎2 e 𝑎3.
• 𝑎2 = 𝑎2−1 + 3 = 𝑎1 + 3 = 5 + 3 = 8
• 𝑎3 = 𝑎3−1 + 3 = 𝑎2 + 3 = 8 + 3 = 11
• Então a sequência é: (5,8,11)
Exercícios de fixação 87
15036) Determine o nono termo da sequência definida por: 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 7 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ∈ 𝑁
∗
Resolução:
• (𝑎1, 𝑎2, … 𝑎9)
• 𝑎9 = 2 ∗ 9 + 7 = 25
15037) Encontre a lei de formação da sequência: (2,6,10,14,18)
Resolução:
• Cada termo foi somado o número 4 para se chegar no próximo;
• 𝑎2 = 𝑎1 + 4
• 𝑎3 = 𝑎2 + 4, portanto:
• 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 4 → 𝑒𝑠𝑠𝑎 é 𝑎 𝑙𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎.
Progressões aritméticas 88
Progressão aritmética (PA): quando conhecemos o primeiro termo da sequênciae, para encontrar o segundo, somamos o 
primeiro a um valor r e, para encontrar o terceiro termo, somamos o segundo a esse mesmo valor r, e assim sucessivamente.
Exemplo: (4,9,14,19,24)
Resolução:
• Vamos começar fazendo a diferença entre cada um de seus termos, a partir do segundo termo, com o seu antecessor:
• 9 − 4 = 5
• 14 − 9 = 5
• 19 − 14 = 5
• 24 − 19 = 5
• O resultado deu um valor constante 5, esse valor é chamado de razão da progressão (r). E ele que caracteriza que essa 
sequência é uma progressão aritmética. 
Exemplo: (1,5,9,13,17,21,...)
Resolução:
• Essa é uma progressão aritmética de razão igual a 4 e primeiro termo igual a 1.
• Note que, para encontrar o sucessor de um número na sequência, basta somar 4, por 
isso dizemos que 4 é a razão dessa progressão aritmética.
• Classificado como PA crescente.
Progressões aritméticas 89
Exemplo: (11,8,5,2)
Resolução:
• Essa é uma progressão aritmética de razão igual a 
-3 (8-11 = -3
• Classificado como PA decrescente
Exemplo: (7,7,7,7,...)
Resolução:
• Essa é uma progressão aritmética de razão igual a 
0.
• Classificado como PA constante
Termo geral de uma PA
Exemplo: (2,5,8,11,...)
Resolução:
• Se a gente quiser representar cada termo dessa PA por um símbolo, podemos levar em consideração a posição em 
que os termos estão;
• Exemplo: se quiser representar o 2 por um símbolo, poderia representa-lo por 𝑎1;
• E se eu quiser saber o 20° termo dessa PA? Eu poderia descobrir utilizando a razão = +3 ou recorreríamos a 
fórmula da PA:
• 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝑟 → 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒐 𝒈𝒆𝒓𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒖𝒎𝒂 𝑷𝑨
Progressões aritméticas 90
Exemplo: determine 𝑎20 na PA (4,6,8,10,...)
Resolução:
• 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝑟
• 𝑎20 = 4 + 20 − 1 ∗ 2
• 𝑎20 = 4 + 19 ∗ 2
• 𝑎20 = 42
Exemplo: numa PA, o primeiro termo é 2 e o quarto 
é 14. Qual é a razão desta PA?
Resolução:
• 𝑎1 = 2
• 𝑎4 = 14
• 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝑟
• 𝑎4 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝑟
• 14 = 2 + 4 − 1 ∗ 𝑟
• 2 + 3𝑟 = 14
• 3𝑟 = 12
• 𝑟 = 4
Exemplo: calcule a soma dos 20 primeiros termos da PA (2,4,6,...)
Resolução:
• 𝑆𝑛 =
𝑎1+𝑎𝑛 ∗𝑛
2
• 𝑆20 =
2+𝑎20 ∗20
2
• Agora utiliza a outra fórmula:
• 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑛 − 1 ∗ 𝑟
• 𝑎20 = 2 + 19 ∗ 2
• 𝑎20 = 40
• 𝑆20 =
2+40 ∗20
2
• 𝑆20 =
840
2
= 420
𝑆𝑛 =
𝑎1 + 𝑎𝑛 ∗ 𝑛
2
Progressões aritméticas 91
Exemplo: calcule a soma dos múltiplos de 5 maiores 
que 10 e menores que 50. 
Resolução:
• Sequência seria (15,20,25,30,35,40,45)
• 𝑆𝑛 =
𝑎1+𝑎𝑛 ∗𝑛
2
• 𝑆7 =
15+45 ∗7
2
• 𝑆7 =
60∗7
2
=
420
2
= 210
Progressões geométricas 92
Na progressão geométrica, também existe uma razão, mas, nesse caso, para encontrar o sucessor de um termo, devemos 
multiplicar o termo pela razão. Em sua definição, a PG é uma sequência numérica na qual o quociente entre um termo, a partir 
do segundo, e seu antecessor é sempre igual a q.
Exemplo: (5,10,20,40,...) 
Resolução:
• Cada valor da sequência foi multiplicada por 2 
(valor fixo); esse valor 2 é a razão da PG, 
chamado de q.
Exemplo: (2,6,18,54,162,...)
• Essa é uma PG de razão igual a 3 e primeiro 
termo igual a 2;
• Note que, para encontrar o sucessor de um 
número nessa sequência, basta multiplicar por 
3;
Exemplo: (1,3,9,27,...)
• Dividindo 3 por 1 = 3
• Dividindo 9 por 3 = 3
• Dividindo 27 por 9 = 3
• Sua razão q = 3
Exemplo: (-4,-8,-16,...)
• Dividindo -8 por -4 = 2
• Dividindo -16 por -8 = 2
• Sua razão q = 2
Exemplo: (3,-6,12,-24,...)
• Dividindo -6 por 3 = -2
• Dividindo 12 por -6 = -2
• Dividindo -24 por 12 = -2
• Sua razão q = -2
Exemplo: (7,7,7,7,...)
• Dividindo 7 por 7 = 1
• Dividindo 7 por 7 = 1
• ...
• Sua razão q = 1
PG crescente PG decrescente
PG alterada PG constante
Progressões geométricas 93
Termo geral da PG
Exemplo: em uma PG, 𝑎1 = 3 𝑒 𝑞 = 4. Calcule o 
quinto e o sexto termos.
• 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑞
𝑛−1
• 𝑎5 = 3 ∗ 4
5−1 = 3 ∗ 256 = 768
• 𝑎6 = 𝑎5 ∗ 4 = 768 ∗ 4 = 3072
Exemplo: (2,4,8,16,...) qual o 𝑎7?
• Essa é uma PG de razão q igual a 2;
• 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑞
𝑛−1
• 𝑎7 = 2 ∗ 2
7−1
• 𝑎7 = 2 ∗ 64 = 128
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑞
𝑛−1
Exemplo: considere a PG em que 𝑎1 = 1 𝑒 𝑎4 =
8. Qual é a razão dessa PG?
• 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑞
𝑛−1
• 𝑎4 = 𝑎1 ∗ 𝑞
4−1
• 8 = 1 ∗ 𝑞3
• 𝑞3 = 8
• 𝑞 =
3
8 = 2
Progressões geométricas 94
Soma dos termos 
de uma PG
Exemplo: dada a PG (1,3,9,...), calcule a soma dos 
oito primeiros termos.
• 𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
• 𝑞 =
3
1
= 3
• 𝑆8 = 1
(38−1)
3−1
• 𝑆8 = 1
(6560)
2
= 3280
𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑞𝑛 − 1)
𝑞 − 1
Exemplo: determine o número de termos de uma 
PG, sabendo que 𝑎1 = 5, 𝑞 = 2 e que a soma de 
todos os termos é 315.
• 𝑆𝑛 = 𝑎1
(𝑞𝑛−1)
𝑞−1
• 315 = 5
(2𝑛−1)
2−1
• 315 =
5∗2𝑛−5
1
•
315
1
=
5∗2𝑛−5
1
• 5 ∗ 2𝑛 − 5 = 315 → 5 ∗ 2𝑛 = 320
• 2𝑛 =
320
5
= 64
• 𝑛 = 6
Módulo 08 – Amortização de empréstimos.
Amortização de empréstimos 96
Frequentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões metodológicas ou contábeis, as operações de 
empréstimos são analisadas período por período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente 
dita do capital emprestado também chamado de principal. O Saldo devedor é o valor da operação financeira contratada 
adicionado os juros constantes no contrato de financiamento. A prestação é utilizada para representar o pagamento acrescido 
de impostos e outros encargos. Desconsiderando-se os impostos e encargos, a prestação se reduz à chamada amortização, 
que é o que de fato reduz o saldo devedor em cada período.
𝑃𝑀𝑇 = 𝐴𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 + 𝑗𝑢𝑟𝑜𝑠
𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 =
𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
CONSTANTE (SAC)
AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
PARCELA DECRESCENTE
JUROS DECRESCENTE
SALDO DEVEDOR DECRESCENTE
Sistema de amortização constante (SAC) 97
Exemplo: um empréstimo de 800 mil dólares deve ser devolvido em cinco prestações semestrais pelo SAC à taxa de 4% a.s. 
Obtenha a planilha.
Resolução:
• 𝐴 =
𝑑í𝑣𝑖𝑑𝑎
𝑃𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎𝑠
• 𝐴 =
800
5
= 160
SEMESTRE
SALDO 
DEVEDOR
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO
0 800 - - -
1 640 160 32 192
2 480 160 25,60 185,60
3 320 160 19,20 179,20
4 160 160 12,80 172,80
5 - 160 6,40 166,40
Total 800 96 896
Exercícios de fixação 98
(Ano: 2023 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BANRISUL). 
15038) Para fugir dos riscos da pandemia, uma família comprou um terreno na serra, por meio de um financiamento 
realizado em 120 parcelas mensais, no sistema SAC (Sistema de Amortização Constante), a uma taxa de juro de 0,8% ao 
mês, sendo a primeira prestação paga um mês após a assinatura do contrato. Do valor do terreno, a família optou por 
financiar 240 mil reais. Assim, considerando-se apenas as premissas fornecidas, o saldo devedor da família, imediatamente 
após as 12 primeiras prestações pagas, será, em reais, de, aproximadamente,
a) 215.000,00
b) 216.000,00
c) 228.000,00
d) 238.000,00
e) 239.000,00
Exercícios de fixação 99
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15039) Um empréstimo deve ser pago pelo sistema SAC em 5 parcelas mensais com juros de 3% ao mês. Se a terceira 
parcela paga no financiamento do empréstimo for igual a R$26.160,00, o valor total do empréstimo, em reais, será de
a) 120.000,00
b) 124.000,00
c) 128.500,00
d) 132.800,00
e) 135.600,00
Exercícios de fixação 100
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15040) Um banco oferece a um cliente um empréstimo de financiamento imobiliário pelo sistema SAC, no valor de 
R$120.000,00, pelo prazo de 12 meses, com taxa de juros de 1% ao mês. Qual é o valor da segunda prestação, em reais, a 
ser paga pelo cliente?
a) 10.000,00
b) 10.500,00
c) 10.900,00
d) 11.100,00
e) 11.200,00
Exercícios de fixação 101
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15041) Um banco ofereceu a um cliente um financiamento de R$ 120.000,00, pelo sistema SAC, a uma taxa de juros de 
10% a.m., para ser pago em 4 prestações mensais ao final de cada mês, sendo a primeira prestação no valor de R$ 
42.000,00. A Tabela abaixo poderá ser usada para seuscálculos. Quais os valores aproximados que serão pagos, pelo 
cliente, a título de juros e prestação, respectivamente, ao final do terceiro mês?
a) R$ 12.000,00; R$ 42.000,00
b) R$ 3.000,00; R$ 39.000,00
c) R$ 12.000,00; R$ 30.000,00
d) R$ 6.000,00; R$ 36.000,00
e) R$ 9.000,00; R$ 33.000,00
Período Saldo inicial Juros Amortização Prestação Saldo Final
0 120.000,00
1 120.000,00 42.000,00
2
3
4
Exercícios de fixação 102
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15042) Uma pessoa faz um financiamento no valor de R$10.000,00 em 10 vezes, a uma taxa de juros de 4,9% ao mês, 
sendo que o financiamento usa o sistema de amortização constante. Qual é o valor, em reais, a ser pago na 7a prestação 
desse financiamento?
a) 1.490
b) 1.334
c) 1.292
d) 1.196
e) 1.100
Sistema Francês (ou sistema price) 103
SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
FRANCÊS (PRICE)
AMORTIZAÇÃO CRESCENTE
PARCELA CONSTANTE
JUROS DECRESCENTE
SALDO DEVEDOR DECRESCENTE
Nesse sistema, as prestações são iguais e periódicas, a partir do instante em que começam a ser pagas. Como as prestações 
são sempre iguais, a amortização vai subindo com o passar do tempo e o juros caindo, bem como o saldo devedor. 
𝑅 =
𝑃
(1 + 𝑖)𝑛−1
(1 + 𝑖)𝑛∗ 𝑖
Sistema Francês (ou sistema price) 104
Exemplo: um empréstimo de R$ 800.000,00 foi obtido por uma empresa por ocasião da compra de um prédio. O empréstimo 
deve ser devolvido pelo sistema francês em cinco prestações semestrais à taxa de 4% a.s. Obtenha a planilha.
Resolução:
• 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 =
𝑃
(1+𝑖)𝑛−1
(1+𝑖)𝑛∗𝑖
• 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎çã𝑜 =
800000
(1,04)5−1
(1,04)5∗0,04
•
800000
4,451822
= 179.701,70
• 𝐽𝑢𝑟𝑜𝑠 = 800000 ∗ 0,04 = 32.000,00
• 𝑎𝑚𝑜𝑟𝑡𝑖𝑧𝑎çã𝑜 = 179701,70 − 32000 = 147.701,70
SEMESTRE
SALDO 
DEVEDOR
AMORTIZAÇÃO JUROS PRESTAÇÃO
0 800.000,00 - - -
1 652.298,30 147.701,70 32.000,00 179.701,70
2 498.688,53 153.609,77 26.091,93 179.701,70
3 338.934,37 159.754,16 19.947,54 179.701,70
4 172.790,04 166.144,33 13.557,37 179.701,70
5 - 172.790,04 6.911,60 179.701,64
Total 800.000,00 98.508,44 898.508,44
Exercícios de fixação 105
(Ano: 2022 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco da Amazônia). 
15029) Uma loja anuncia uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 3.500,00. Não dispondo deste capital, um cliente se 
propõe a pagar a geladeira, com juros compostos de 4% a.m., em quatro prestações mensais, de mesmo valor, sendo a 
primeira no ato da compra. Qual o valor aproximado da prestação que o cliente está se propondo a pagar em reais?
a) 875,00
b) 910,00
c) 927,13
d) 964,22
e) 1.023,63
Exercícios de fixação 106
(Ano: 2023 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BANRISUL). 
15022) Um casal acaba de ter um filho e resolve iniciar uma poupança programada para a criança. Para isso, pretende 
realizar 120 depósitos de 1.500 reais, um em cada mês, durante 10 anos, começando em janeiro/2023, e terminando em 
dezembro de 2032. Assim, essa poupança funciona como se o casal estivesse pagando, pelo sistema PRICE, um bem em 
120 prestações mensais e iguais. Considere que o investimento renda a uma taxa de juro 1% ao mês sobre o saldo 
acumulado no mês anterior, ou seja, o dinheiro cresce no regime de juros compostos.
Se o casal agir conforme o planejado, o valor total, em reais, que ele terá em dezembro de 2032, imediatamente após 
efetuar o último depósito, será de, aproximadamente,
Dados: 1,01120 = 3,3
a) 180.000,00
b) 240.000,00
c) 285.000,00
d) 345.000,00
e) 594.000,00
Exercícios de fixação 107
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15043) Um imóvel pode ser comprado à vista pelo valor de R$240.000,00 ou pode ser financiado em 24 prestações 
mensais, a serem pagas de acordo com o sistema Price de amortização. Um potencial comprador, ciente da taxa de juros 
do financiamento, calculou quanto seria a soma das 24 prestações, encontrando, corretamente, o valor de R$272.331,64. A 
melhor aproximação para o valor da terceira parcela do financiamento, em reais, é de
a) 10.200,00
b) 10.240,00
c) 10.460,08
d) 11.124,12
e) 11.347,15
Exercícios de fixação 108
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Caixa). 
15044) Um cliente de um banco está tentando simular o valor de financiamento imobiliário que pode conseguir para 
adquirir uma casa. Fazendo seu orçamento, estabeleceu que poderia pagar uma prestação inicial (1º mês) de R$2.669,33. 
Sabendo-se que o banco utiliza o sistema Price em seus financiamentos, uma taxa de juros de 1% a.m., um prazo de 60 
meses e uma amortização inicial (1º mês) de R$1.469,33, qual o valor máximo aproximado, em reais, que ele pode 
receber?
a) 120.000,00
b) 146.933,00
c) 160.159,80
d) 266.933,00
e) 413.866,00
Exercícios de fixação 109
(Ano: 2021 – Banca: CESGRANRIO – órgão: Banco do Brasil). 
15045) Devido à pandemia, um microempreendedor precisou tomar um empréstimo no valor de R$ 20.000,00, em 
dez/2020, a ser pago em 24 prestações mensais iguais e postecipadas no sistema PRICE, de modo que a primeira fosse 
paga em jan/21, e a última, em dez/22. Considere que o Banco cobre R$ 660,00 de taxas, que serão financiadas 
juntamente com o valor do empréstimo, por escolha do cliente, e que a taxa de juros cobrada, devido ao risco da 
operação, seja de 3% ao mês. Desconsiderando-se o IOF na operação e supondo-se que a primeira prestação foi paga na 
data de vencimento, o valor da segunda prestação, em sua respectiva data de vencimento será de, aproximadamente,
Dados: 1,0324 = 2,033
a) R$ 1.120,00
b) R$ 1.220,00
c) R$ 1.320,00
d) R$ 1.420,00
e) R$ 1.520,00
Exercícios de fixação 110
(Ano: 2013 – Banca: CESGRANRIO – órgão: BNDES). 
15046) Um cliente solicitará um empréstimo bancário e, para tirar suas dúvidas, antes de ir ao banco, contratou um 
consultor particular. Ele informou ao consultor que gostaria de que o empréstimo fosse nas seguintes condições: na 
prestação calculada, já estivesse incluída parte da amortização da dívida e que, no final da operação, tivesse pagado a 
menor quantidade de juros possível. Ele não tem restrições quanto ao valor das prestações. Baseando-se nas informações 
do seu cliente, qual sistema de amortização o consultor deve indicar?
a) Americano
b) Alemão
c) Francês (price)
d) SAC (amortização constante)
e) SAM (amortização misto)
Tópico extra – Técnicas de divisão
Técnicas de divisão 112
Regra única para divisão: baixar um número e dividir.
Resolva as divisões abaixo:
• 231/3
• 639/3
• 150/4
• 230/3
• 3/4
• 1,596/1,2
• 9,066/6
• 204/2
• 1332/9
• 1/50
• 56,4/6
• 29,04/12
Técnicas de subtração 113
Resolva as subtrações abaixo:
• 2000 - 538
• 6001 – 4675
• 801 – 545
• 7231 – 998
• 9003 - 1874
	Slide 1
	Slide 2
	Slide 3
	Slide 4
	Slide 5
	Slide 6
	Slide 7
	Slide 8
	Slide 9
	Slide 10
	Slide 11
	Slide 12
	Slide 13
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
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	Slide 21
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	Slide 31
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	Slide 107
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	Slide 109
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