Modelos Probabilísticos

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INTRODUÇÃO AOS 
MODELOS 
PROBABILÍSTICOS
PROFESSOR: FELIPE FERNANDES 
Probabilidade
Em estatística estamos interessados em
lidar com resultados de experimentos
aleatórios, cujos resultados possuem certa
probabilidade de acontecer e não podem ser
previstos com certeza.
“O termo probabilidade se refere ao estudo 
da aleatoriedade e da incerteza.”
Algumas definições iniciais são
necessárias:
➢ Experimentos aleatórios: são experimentos com resultado incerto
ou casual, que pode ser repetido inúmeras vezes.
➢ Espaço amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis do
experimento (Ω).
➢ Evento: é qualquer subconjunto do espaço amostral (E).
Exemplos de um Experimento Aleatório
E1: Jogar um dado e observar a face acima.
E2: Jogar uma moeda quatro vezes e observar o número de caras obtidas.
E3: Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência obtida.
E4: Em uma linha de produção contar o número de peças defeituosas em
um período de 8h.
E5: Duração de vida de uma lâmpada (em horas).
Exemplos de Espaço Amostral
Ω1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Ω2 = {0, 1, 2, 3, 4}.
Ω3 = {kk, cc, kc, ck}, em que k = coroa e c = cara.
Ω4 = {0, 1, 2, . . . , N}, onde N é o número máximo de peças produzidas.
Ω5 = {t|t ≥ 0}, onde t é uma quantidade em horas.
Exemplos de Eventos
Evento1: um número par ocorre, A1 = {2, 4, 6}.
Evento2: duas caras ocorrem, A2 = {2}.
Evento3: pelo menos uma caras ocorrem, A3 = {cc, kc, ck}.
Evento4: todas as peças são perfeitas, A4 = {0}.
Evento5: a lâmpada queima em menos de 3h, A5 = {t|0 ≤ t ≤ 3}.
Axiomas de probabilidade
■ Considere um experimento com espaço amostral Ω.
■ Para cada evento A do espaço amostral Ω, existe um número
P(A), chamado de probabilidade do evento A tal que:
i) 0 ≤ 𝑃 𝐴 ≤ 1, qualquer evento A em Ω;
ii) 𝑃 Ω = 1;
iii) Seja 𝐴1, 𝐴2, … uma sequencia de eventos disjuntos, isto é,
𝐴i ∩ 𝐴𝑗 = ∅, 𝑖 ≠ 𝑗, então:
𝑃 ራ
𝑖=1
∞
𝐴𝑖 =෍
𝑖=1
∞
𝑃 𝐴𝑖
Axiomas de probabilidade
■ Axioma 1 diz que a probabilidade de um evento é um número
entre 0 e 1;
■ Axioma 2 afirma que o evento certo deve ter probabilidade 1;
■ Axioma 3 diz que a união de eventos disjuntos deve ser igual à
soma das probabilidades individuais.
Algumas Propriedades
i) 𝑃 ∅ = 0
ii) 𝑃[𝐴𝑐] = 1 − 𝑃 𝐴 , em que 𝑃 𝐴 é o evento complementar
iii) Se 𝐴 ⊂ 𝐵, então 𝑃(𝐴) ≤ 𝑃(𝐵)
iv) 𝑃 𝐴⋃𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃[𝐴⋂𝐵]
v) 𝑃 𝐴⋂𝐵 = 0, se os eventos forem mutuamente exclusivos.
■ Exemplo 1: Lançamento de uma moeda
Ω = {C, R}; C=cara e R=coroa
P(∅) = 0
P({C}) = 𝑝
P({R}) = 1 – 𝑝
P(Ω) = 1
onde 𝑝 é um número real fixo do intervalo [0, 1]
Se 𝑝 = Τ1 2, a moeda é não viciada (honesta)
Probabilidade
■ Exemplo 2: Dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Seja 𝑃({𝑖}) = 𝑝𝑖 , 𝑖 = 1,… , 6, tal que cada 𝑝𝑖 é um número
real fixo do intervalo [0, 1] e a soma dos 𝑝𝑖 é igual a 1.
A probabilidade de um evento A é dada por:
𝑃 𝐴 = σ𝑖∈𝐴 𝑝𝑖 , para qualquer 𝐴 ⊂ Ω.
Probabilidade
■ Exemplo 3: Um estabelecimento aceita cartões Visa ou
Mastercard. Dentre os clientes:
- 22% possuem Mastercard
- 58% possuem Visa
- 14% possuem ambos cartões
a) Se escolhermos um cliente aleatoriamente, qual a
probabilidade de que ele tenha pelo menos um destes cartões?
b) E a probabilidade que o cliente não tenha nenhum dos
cartões?
Probabilidade
■ Exemplo 3: Ω = {𝑁, 𝑉,𝑀, 𝑉𝑀}
𝑃(𝐴) = P(cliente possui Mastercard) = 0,22
𝑃(𝐵) = P(cliente possui Visa) = 0,58
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,14
Solução:
a) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) – 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 0,66
b) 𝑃({𝑁}) = 1 – 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 0,34
Probabilidade
■ É comum em alguns experimentos assumir que todos os
resultados do espaço amostral tenham a mesma chance de
acontecer.
■ Seja Ω = {1, 2, 3,..., N} um conjunto finito
■ Se 𝑃({1}) = 𝑃({2}) = … = 𝑃({𝑁}), usando axiomas 2 e 3,
isso implica que:
𝑃({𝑖}) = 1/𝑁, 𝑖 = 1,2,… , 𝑁
■ Então a probabilidade de um evento A é tal que:
𝑃 𝐴 =
𝐴
Ω
, para qualquer 𝐴 ⊂ Ω,
onde |A| representa o número de elementos (cardinalidade) de A e
|Ω| a cardinalidade de Ω
Espaços Amostrais Equiprováveis
■ Exemplo: Suponha que dois dados comuns são lançados.
Cada um dos 36 possíveis resultados tem a mesma chance
de acontecer. Qual a probabilidade da soma dos dados ser
6? E 7?
Espaços Amostrais Equiprováveis
Solução:
A = {soma 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), 
(4, 2), (5, 1)}
B = {soma 7} = {(1, 6), (2, 5), (3, 4), 
(4, 3), (5, 2), (6, 1)}
𝑃(𝐴) = 5/36 e 
𝑃(𝐵) = 6/36 = 1/6
Espaço amostral (Ω)
■ Suponha que um experimento, com espaço amostral Ω,
seja repetido 𝑛 vezes ( 𝑛 grande) sob as mesmas
condições;
■ Para cada evento 𝐴, definimos 𝑛(𝐴) como o número de
vezes que este evento ocorre nas 𝑛 repetições;
■ Então, P(A) é definida como:
𝑃 𝐴 = lim
𝑛→∞
𝑛(𝐴)
𝑛
Probabilidade – Frequência Relativa
■ Exemplo: Considere o lançamento de uma moeda. 
Calcular a probabilidade de A={resultado obtido é cara}
Probabilidade – Frequência Relativa
■ Seja {𝐴1, 𝐴2, … } uma sequência crescente de eventos, isto 
é, tal que 𝐴1 ⊂ 𝐴2 ⊂ 𝐴3, … , e 𝐴 seu limite:
𝐴 =ራ
𝑖=1
∞
𝐴𝑖 = lim
𝑖→∞
𝑃(𝐴𝑖)
Então,
𝑃 𝐴 = lim
𝑖→∞
𝑃(𝐴𝑖).
Probabilidade – Continuidade
■ De forma similar, seja {𝐵1, 𝐵2, … } uma sequência 
decrescente de eventos, tal que 𝐵1 ⊃ 𝐵2 ⊃ 𝐵3, … , e 𝐵 seu 
limite:
𝐵 =ሩ
𝑖=1
∞
𝐵𝑖 = lim
𝑖→∞
𝑃(𝐵𝑖)
Então,
𝑃 𝐵 = lim
𝑖→∞
𝑃(𝐵𝑖).
Probabilidade – Continuidade
Probabilidade Condicional 
■ A probabilidade de um evento A
pode mudar quando nos é dada
informação a respeito da
ocorrência (ou não) de um
evento B relacionado com A?
■ Isso nos leva a considerar a
probabilidade condicional.
Probabilidade Condicional 
Sejam A e B dois eventos, denotamos P[B/A] a probabilidade de
ocorrência de B dado que A já tenha ocorrido. Em situações simples,
quando os resultados são igualmente prováveis, o cálculo de
probabilidades condicionais pode se basear na intuição. No entanto,
quando os experimentos são mais complicados, a intuição pode nos
enganar, portanto uma definição geral de probabilidade condicional é
dada por:
𝑃 𝐵/𝐴 =
𝑃 𝐴⋂𝐵
𝑃[𝐴]
Probabilidade Condicional 
■ Definição: Sejam A e B dois eventos no mesmo espaço
amostral Ω. Se P(B) > 0, então a probabilidade
condicional de A dado B é dada por:
𝑃 𝐴/𝐵 =
𝑃 𝐴⋂𝐵
𝑃[𝐵]
Exemplo: Certa vacina pode ser produzida por duas maneiras diferentes: M1 e M2. A maneira M1 usa
uma tecnologia mais antiga que M2, de forma que é mais lenta e um pouco menos confiável, porém mais
barata. Suponha que em determinado dia, a maneira M1 gerou 800 vacinas, dos quais 20 ficaram
inadequadas e 780 ficaram adequado, ao passo que a maneira M2 gerou 10 vacinas inadequadas e 890
adequadas.
Selecionando uma vacina aleatoriamente qual a probabilidade de ela ser produzida pela maneira 1 dado
que ela seja inadequada?
𝑃 𝑀1/𝐼 =
𝑃 𝑀1⋂ 𝐼
𝑃[𝐼]
=
20
1700
30
1700
=
20
30
=
2
3
no caso de união: 𝑃 𝑀1 ∪ 𝐼 = 𝑃 𝑀1 + 𝑃 𝐼 − 𝑃 𝑀1 ∩ 𝐼 =
800
1700
+
30
1700
−
20
1700
=
810
1700
=
81
170
Asp. físico 
Total
Inadequada (I) Adequada (A)
Maneira 
M1 20 780 800
M2 10 890 900
Total 30 1670 1700
Eventos independentes 
A probabilidade condicional nos permite entender melhor o conceito de
independência entre eventos e do cálculo da probabilidade da interseção
entre estes eventos.
Regra da Multiplicação: Se em um experimento ambos os eventos A e
B podem ocorrer, então:
𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 𝑃[𝐴] × 𝑃[𝐵|𝐴]
Mas se dois eventos forem independentes: 𝑃[𝐵|𝐴] = 𝑃[𝐵]
Assim podemos compreender o seguinte teorema:
Teorema: Dois eventos são independentes se e só se
𝑃[𝐴 ∩ 𝐵] = 𝑃[𝐴] × 𝑃[𝐵]
Exemplo: Considere o experimento de lançar 2 moedas e observar a
face virada para cima (C=cara; R=coroa).
Ω = {CC, CR, RC, RR} 
A: sair cara na 1ª moeda 
B: sair cara na 2ª moeda
𝑃 𝐴 =
2
4
=
1
2
; 𝑃[𝐵] =
2
4
=
1
2
𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 =
1
4
=
1
2
×
1
2
= 𝑃[𝐴]×𝑃[𝐵]
Logo o lançamento das duas moedas é independente. 
Veja que não funciona para o caso do exemplo anterior,pois M1 e I não
são independentes:
𝑃 𝑀1 ∩ 𝐼 = 𝑃 𝑀1 × 𝑃 𝐼 𝑀1 =
800
1700
×
20
1700
≠ 𝑃[𝑀1] × 𝑃[𝐼] =
800
1700
×
30
1700
OBS: Geralmente este teorema é utilizado ao contrário: afirma-se que os
eventos são independentes para calcular a probabilidade da interseção
pelo produto.
	Slide 1: Introdução aos modelos Probabilísticos professor: Felipe Fernandes 
	Slide 2: Probabilidade
	Slide 3: Algumas definições iniciais são necessárias:
	Slide 4: Exemplos de um Experimento Aleatório
	Slide 5: Exemplos de Espaço Amostral
	Slide 6: Exemplos de Eventos
	Slide 7: Axiomas de probabilidade
	Slide 8: Axiomas de probabilidade
	Slide 9: Algumas Propriedades
	Slide 10: Probabilidade
	Slide 11: Probabilidade
	Slide 12: Probabilidade
	Slide 14: Probabilidade
	Slide 15: Espaços Amostrais Equiprováveis
	Slide 17: Espaços Amostrais Equiprováveis
	Slide 18: Probabilidade – Frequência Relativa
	Slide 19: Probabilidade – Frequência Relativa
	Slide 20: Probabilidade – Continuidade
	Slide 21: Probabilidade – Continuidade
	Slide 22: Probabilidade Condicional 
	Slide 23: Probabilidade Condicional 
	Slide 24: Probabilidade Condicional 
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	Slide 26
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