Aula01-ME323

Prévia do material em texto

INTRODUÇÃO AOS 
MODELOS 
PROBABILÍSTICOS
PROFESSOR: FELIPE FERNANDES
Noções sobre conjuntos e análise 
combinatória 
Conjuntos
■ Um conjunto pode ser pensado como uma coleção de “elementos”
elemento
elemento
Coleção de elementos
conjunto
■ Cada elemento pode ser chamado de unidade elementar ou
conjunto elementar;
■ Na estatística estamos interessados, em especial, na coleção de
números.
elemento
elemento
Coleção de elementos
conjunto
■ Vamos representar o nosso conjunto pela letra grega Ω
Ω
pertence ao conjunto Ω
∈ Ω
não pertence ao conjunto Ω
∉ Ω
■ Tem-se também conjuntos sem elementos, os quais
chamamos de conjunto vazio;
■ É importante definir este conjunto, uma vez que, algumas
propriedades e outras definições fazem o uso dele;
■ Por ser importante, tem-se uma notação especial para o
conjunto vazio 𝜙.
■ Dois conjuntos muito conhecidos na matemática são o conjunto
dos números naturais e o conjunto dos números inteiros:
ℕ = {1, 2, 3, 4, … }
ℤ = {… ,−2,−1, 0, 1, 2, … }
naturais
inteiros
2 ∈ ℕ
2 ∈ ℤ
−2 ∉ ℕ
−2 ∈ ℤ
3 ∉ ℤ
3 ∉ ℕ
■ Além da representação de conjuntos entre chaves, uma forma
muito usada é a utilização de diagramas
1
5
7
1
6
7
9
5
4
A
B
■ Todo elemento de A também é elemento de B
𝜔 ∈ 𝐴 ⇒ 𝜔 ∈ 𝐵
■ A é subconjunto de B, desta forma podemos dizer que A está
contido em B: A ⊂ B.
1
5
7
1 5
7
4
9
6
A
B
■ Nem todo elemento de A também é elemento de C
■ A não é subconjunto de C, desta forma podemos dizer que A não
está contido em C: A ⊄ C.
1
5
8 1
5
4
9
6
A
C
■ É comum representarmos um conjunto como sendo formado
por elementos de um “conjunto maior” ou “conjunto universo”
■ Digamos que, os elementos de Ω que satisfazem uma
determinada lei ou propriedade de 𝒢
{𝜔 ∈ Ω:𝜔 satisfaz 𝒢}
{2, 4, 6, 8, 10, … }
{𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 é par}
{𝑛 ∈ ℕ: 𝑛 é divisível por 2}
■ Existem outros conjuntos, como dos números racionais e
complexos por exemplo.
Relações entre conjuntos
■ Lembremos que as operações básicas em teoria de
conjuntos permitem definir novos conjuntos a partir de
conjuntos dados. Mais precisamente, sejam A e B
subconjuntos de um mesmo conjunto Ω.
■ Definimos a união entre A e B, como o conjunto que
contém todos os elementos de A ou de B, e apenas estes
A ∪ B = {s ∈ Ω : s ∈ A ou s ∈ B}
Ω
■ A interseção de A e B é o conjunto dos elementos em comum
entre A e B:
A ∩ B = {s ∈ Ω : s ∈ A e s ∈ B}
■ A diferença de conjuntos de B e A é o conjunto dos elementos
que estão em B mas não em A:
B \ A = {s ∈ Ω : s ∈ B e s ∉ A}.
Ω
Ω
𝐴 𝐵
■ O complementar de A é o conjunto de elementos de Ω que não
estão em A:
𝐴𝐶 = {s ∈ Ω : s ∉ A} = Ω \ A
■ Dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos se sua interseção
for o conjunto vazio:
A ∩ B = ∅
Ω
Ω
Exemplo: Considere que Ω é o conjunto dos números naturais, e que
dois eventos A = {1, 3, 5, 6, 7} e B = {2, 4, 6, 8} , temos:
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8}
A ∩ B = {6}
B \ A = {2, 4, 8}
𝐴𝐶 = {2, 4, 8, 9, 10, ...}
𝐵𝐶 = {1, 3, 5, 7, 9, 10, ...}
Como A ∩ B ≠ ∅, então os eventos não são disjuntos.
Análise combinatória
■ Os problemas de contagem fazem parte da chamada análise
combinatória.
■ Em geral, a dificuldade não está em como contar mas o que
contar.
■ O princípio multiplicativo constitui a ferramenta básica para
resolver problemas de contagem sem que seja necessário
enumerar seus elementos (como veremos nos exemplos a
seguir).
Exemplo 01: Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a
roupa que usará, separou 2 saias e 3 blusas. Vejamos de quantas
maneiras ela pode se arrumar.
Se uma decisão d1 pode ser tomada de n maneiras e, em
seguida, outra decisão d2 puder ser tomada de m
maneiras, o número total de maneiras de tornarmos as
decisões d1 e d2 será n × m.
Neste exemplo há duas decisões a serem tomadas:
d1 : escolher uma dentre as 3 blusas
d2 : escolher uma dentre as 2 saias
Assim, Maria dispõe de 3 × 2 = 6 maneiras de tomar as
decisões d1 e d2 , ou seja, 6 possibilidades diferentes de
se vestir.
O primeiro cabo C1 pode ocupar qualquer uma das 20 entradas, logo o
segundo cabo C2 pode ocupar qualquer uma das 19 restantes, o
número total de maneiras de conectar os dois cabos C1 e C2 será:
Exemplo 02: Um laboratório da Unicamp adquiriu um novo
equipamento que possui um adaptador de cabo de rede com 20
entradas. Atualmente existe a necessidade de utilizar duas dessas
entradas. De quanto modos distintos esses cabos podem ser
conectados.
× =20 19 380 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
𝐶1 𝐶2
Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação simples
dos n elementos qualquer sequência (agrupamento ordenado) desses
n elementos, diferindo apenas pela ordem dos elementos. Para
determinar o número de permutações em um grupo com n elementos,
basta calcular o fatorial desse n.
𝑷𝒏 = 𝒏!
Permutação simples
Exemplo: Uma veterinária tem três calopsitas de
características diferentes, das quais ela quer
fotografar para um álbum. De quantas maneiras
essa fotografia pode ser tirada:
𝑃3 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠
Fonte: Guia Animal
São agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos,
isto é, qualquer mudança na ordem dos elementos altera o
agrupamento.
Por exemplo, ao formar números naturais de 3 algarismos distintos
escolhido entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos arranjando
esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o número 246 é diferente
de 642. Note que os algarismos são os mesmos, mas diferem pela
ordem.
Arranjos Simples
Dado um conjunto de n elementos distintos, chama-se arranjo
dos n elementos, tomados de p a p, (n ≥ p) a qualquer
sequência ordenada de p elementos distintos escolhidos entre
os n existentes.
𝑨𝒏,𝒑 =
𝒏!
𝒏 − 𝒑 !
São agrupamentos em que não se considera a ordem dos
elementos, isto é, mudanças na ordem dos elementos não
alteram o agrupamento.
Por exemplo, ao formar conjuntos de números naturais de 3
algarismos distintos, escolhido entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8,
estaremos combinando esses 5 algarismos 3 a 3. Por exemplo, o
conjunto {2, 4, 6} é igual ao conjunto {6, 4, 2}. Note que a ordem
dos algarismos mudou, mas o conjunto é o mesmo, ou seja, os
elementos não diferem pela ordem.
Combinação Simples
Para encontrar essa quantidade de agrupamentos formados em uma 
combinação simples utilizamos a seguinte fórmula:
𝑪𝒏,𝒑 =
𝒏!
𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
n é a quantidade de elementos de um conjunto;
p é um número natural menor ou igual a n, que representa a
quantidade de elementos que irão formar os agrupamentos.
Exemplo para ser feito com os alunos: Quantas comissões de 4
elementos podemos formar com 10 alunos de uma turma de
ciência da computação?
𝑪𝒏,𝒑 =
𝒏!
𝒑! 𝒏 − 𝒑 !
= 𝑪𝟏𝟎,𝟒 =
𝟏𝟎!
𝟒! 𝟏𝟎 − 𝟒 !
= 𝑪𝟏𝟎,𝟒 =
𝟏𝟎!
𝟒! 𝟔!
=
𝑪𝟏𝟎,𝟒 =
𝟏𝟎 × 𝟗 × 𝟖 × 𝟕 × 𝟔!
𝟒! 𝟔!
= ?
■ Os coeficientes multinomiais são uma extensão natural dos
coeficientes binomiais;
■ É a alocação de n elementos em g grupos;
■ Coeficiente binomiais: caso particular quando g=2.
Teorema: Sejam 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑔 inteiros naturais tais que 𝑟1 +
𝑟2, +⋯ ,+𝑟𝑔 = 𝑛. O número de maneiras que uma população de
tamanho 𝑛 pode ser dividida em g subpopulações, cujas
respectivas frequencias absolutas são 𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑔 é o coeficiente
multinomial
𝑛
𝑟1, 𝑟2, … , 𝑟𝑔
=
𝑛!
𝑟1! 𝑟2! … 𝑟𝑔!
Coeficientes Multinomiais
Quantos anagramas podemos formar com a palavra PEPPER ?
Podemos utilizar o coeficiente multinomal para encontrar quantas
anagramas distintos podemos obter. Seja 𝑛 o número total de
letras e 𝑟𝑖 a multiplicidade de cada letra.
Então temos 𝑛 = 6 letras e 3𝑃𝑠, 2𝐸𝑠 𝑒 1𝑅 . O número de
anagramas distintos é:
6
3, 2, 1
=
6!
3! 2! 1!
= 60
Coeficientes Multinomiais
	Slide 1: Introdução aos modelos Probabilísticos professor: Felipe Fernandes 
	Slide 2: Noções sobre conjuntos e análise combinatória 
	Slide 8: Conjuntos
	Slide 9
	Slide 14
	Slide 15
	Slide 16
	Slide 17
	Slide 18
	Slide 19
	Slide 20
	Slide21
	Slide 22
	Slide 23
	Slide 25
	Slide 26: Análise combinatória
	Slide 27
	Slide 28
	Slide 29: Permutação simples
	Slide 30: Arranjos Simples
	Slide 31
	Slide 32: Combinação Simples
	Slide 33
	Slide 34
	Slide 35: Coeficientes Multinomiais
	Slide 37: Coeficientes Multinomiais
	Slide 38