Lista 04 - Completa

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ME323B – INTRODUÇÃO AOS MODELOS 
PROBABILÍSTICOS 
4ª LISTA DE EXERCÍCIOS 
 Prof. Felipe Fernandes 
PED. Angie Soler 
 
1. Lançamos repetidas vezes uma moeda. Seja X o número de caras até que 
consigamos sete coroas. Qual é a probabilidade de que o número de caras seja 
igual a cinco até que consigamos as sete coroas? 
 
2. Considere o tempo para recarregar o flash de uma câmera de celular. Assuma que 
a probabilidade de que uma câmera instalada no celular durante sua montagem 
passe no teste é de 0,80, e que cada câmera tem seu desempenho independente. 
Determine as seguintes probabilidades. Qual é a probabilidade de que a segunda 
falha ocorra no teste de quatro ou menos câmeras? 
(a) Qual é a probabilidade de que a segunda falha ocorra na décima câmera 
testada? 
(b) Qual é a probabilidade de que a segunda falha ocorra no teste de quatro ou 
menos câmeras? 
(c) Qual é o valor esperado do número de câmeras testadas para obter a terceira 
falha? 
 
 
3. Um vendedor de porta em porta consegue realizar a venda em 40% das visitas que 
faz. Ele planeja efetuar no mínimo duas vendas por dia. Seja X o número de visitas 
feitas até que a segunda venda seja efetivada. 
(a) Qual a distribuição de X? 
(b) Calcule a probabilidade de que o vendedor faça no máximo seis visitas para 
concluir as duas vendas. 
 
4. Um comprador de componentes elétricos os compra em lotes de 10. É sua política 
inspecionar 3 componentes de um lote aleatoriamente e aceitar o lote se todos os 
3 itens inspecionados não apresentarem defeito. Se 30% dos lotes têm 4 
componentes defeituosos e 70% têm apenas 1 componente defeituoso, que 
proporção de lotes é rejeitada pelo comprador? 
 
5. Um aluno estuda 12 exercícios, dos quais o professor vai escolher 6 
aleatoriamente para uma prova. O estudante sabe resolver 9 dos 12 problemas. 
Seja X o número de exercícios resolvidos por ele na prova. 
(a) Qual a distribuição de X? 
 
 
(b) Calcule a probabilidade de que o aluno resolva ao menos 5 exercícios da prova. 
 
6. Considere um experimento que consiste em contar o número de partículas 
𝛼perdidas em um intervalo de 1 segundo por 1 grama de material radioativo. Se 
sabemos de experiências anteriores que, em média, 3,2 partículas como essa são 
perdidas, qual é uma boa aproximação para a probabilidade de que não mais que 
2 partículas 𝛼 apareçam?. 
 
7. Um contador Geiger registra o número de partículas emitidas por um material 
radioativo. Suponha que o número de partículas que o material emite por segundo 
é uma variável aleatória com distribuição de Poisson de parâmetro 3. Obtenha a 
probabilidade de que, em um segundo, sejam registradas 
(a) no máximo duas partículas. 
(b) no mínimo duas partículas. 
 
8. O número X de acidentes de trabalho que ocorrem em uma fábrica por semana 
segue uma distribuição de Poisson. Sabendo que a porcentagem de semanas em 
que ocorre um acidente é um terço da porcentagem de semanas em que não 
acontece nenhum, calcule: 
(a) o parâmetro da distribuição. 
(b) a probabilidade de que ocorra um acidente em uma semana e também um na 
semana seguinte. 
A partir de uma data, a direção da fábrica vai registrar o número Y de semanas 
decorridas até uma semana com ao menos um acidente. 
(c) Qual a distribuição de Y ? 
(d) Obtenha a probabilidade de que a semana com acidente seja a quarta na 
contagem. 
 
9. Sabe-se que 0,6% dos parafusos produzidos em uma fábrica são defeituosos. 
Estime a probabilidade de que, em um pacote com 1000 parafusos, 
(a) haja exatamente 4 parafusos defeituosos. 
(b) não haja mais do que 4 parafusos defeituosos. 
(c) encontrem-se pelo menos 3 parafusos defeituosos. 
 
10. Aproximadamente 80000 casamentos foram celebrados no Rio de Janeiro durante 
o ano passado. Estime a probabilidade de que para pelo menos um desses casais 
 
 
ambos os cônjuges tenham nascido no dia 30 de abril. Deixe claras as suas 
hipóteses. 
 
11. Doze por cento da população é canhota. Aproxime a probabilidade de que haja 
pelo menos 20 canhotos em uma escola com 200 alunos. Esclareça as suas 
hipóteses. 
 
12. Se a variável aleatória X é uniformemente distribuída ao longo de (0, 10) (𝑋 ∼
𝑈(0,10)), calcule a probabilidade de que 
(a) X < 3, 
(b) X > 6 e 
(c) 3 < X < 8. 
 
13. Se 𝑌 ∼ 𝑈(0,5), qual é a probabilidade de que as raízes da equação 4𝑥2 + 4𝑥𝑌 +
𝑌 + 2 = 0 sejam ambas reais? 
 
14. Ônibus chegam em uma determinada parada em intervalos de 15 minutos 
começando as 7:00. Isto é, eles chegam às 7:00, 7:15, 7:30, 7:45, e assim por 
diante. Se um passageiro chega na parada em um instante de tempo que é 
uniformemente distribuído entre 7:00 e 7:30, determine a probabilidade de que 
ele espere 
(a) menos que 5 minutos por um ônibus; 
(b) mais de 10 minutos por um ônibus. 
 
15. Seja X uma variável aleatória com distribuição uniforme em (0, π/2) (𝑋 ∼
𝑈(0, 𝜋/2)). Obtenha a densidade de Y = sen X. 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBS: O gabarito não contém as resoluções completas dos exercícios, somente a resposta 
final para que os alunos verifiquem se acertaram as questões. Para a resolução da 
atividade os alunos devem fazer as respostas completas com as resoluções dos exercícios. 
 
Gabarito: 
1. P(X = 5) = 0,1128 
 
2. a) P(X = 10) = 0,0604 
b) 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 0,1808 
c) E(Y) = 15 
 
3. a) 𝑋 ∼ 𝐵𝑁(2,2/5) 
b) 0,7667 
 
4. 46% dos lotes são rejeitados. 
 
5. a) 𝑋 ∼ 𝐻𝑖𝑝(12,6,9) 
b) 1/2 
 
6. O número de partículas 𝛼 perdidas será uma variável aleatória de Poisson com 
parâmetro 𝜆 = 3,2 (𝑋 ∼ 𝑃𝑜(3,2)). A probabilidade é 𝑃(𝑋 ≤ 2) ≈ 0.3799. 
 
7. a) 0,4232 
b) 0,8009 
 
8. a) 1/3 
b) 0,057 
c) 𝑋 ∼ 𝐺(1− 𝑒−1/3) 
d) 0,1043 
 
9. a) 0,1339 
b) 0,2851 
c) 0,9380 
 
10. 0,4515 
 
11. 0,8363 
 
12. a) 3/10 
b) 4/10 
c) 1/2 
 
13. 3/5 
 
14. 𝑋 ∼ 𝑈(0,30) 
a) 1/3 
b) 1/3 
 
 
 
15. 𝑓𝑌(𝑦)= {
2
𝜋√1−𝑦2
, 0 < 𝑦 < 1
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎
´
𝑟𝑖𝑜