Aula05-Unicamp

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INTRODUÇÃO AOS 
MODELOS 
PROBABILÍSTICOS
PROFESSOR: FELIPE FERNANDES 
Relação entre Esperança e Probabilidade
Considere um evento aleatório A
Defina a v.a. indicadora do evento A, tal que:
𝐼𝐴 𝜔 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜔 𝜖 𝐴
0 𝑐. 𝑐.
Note que a função indicadora é um v.a. discreta com valores 0 e 1 e 
função de massa p descrita por:
𝑝 1 = 𝑃(𝐴) e 𝑝 0 = 𝑃 𝐴𝑐 = 1 − 𝑃(𝐴)
Proposição (Esperança de Função Indicadora)
Para qualquer evento A, tem-se:
𝐸 𝐼𝐴 = 𝑃(𝐴)
Variáveis Aleatórias
Aula passada...
Independente de um experimento gerar resultados qualitativos ou
quantitativos, geralmente estamos interessados em aspectos numéricos
dos resultados.
Uma variável aleatória é uma função que
associa números reais com os resultados de
experimentos aleatórios. Denota-se por uma
letra maiúscula: X, Y, Z.
𝑋:Ω → ℝ
Variável Aleatória Contínua
Se a escala de medida de uma variável aleatória puder ser subdividida
tanto quanto desejar, a variável será contínua. Neste tipo de variável é
impossível enumerar todos os valores possíveis, assim não
conseguimos montar uma tabela com X e 𝑃[𝑋 = 𝑥].
Figura : Exemplo de histograma para uma variável contínua, sendo
medida cada vez com mais precisão.
Variável Aleatória Contínua
Definição: Uma v.a. 𝑋 é dita contínua se sua função de distribuição
acumulada F for uma função contínua.
Equivalentemente, 𝑋 é contínua se e somente se:
𝑝 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 = 0, para todo 𝑥 ∈ ℝ
Como não temos probabilidades pontuais, o cálculo das probabilidades
é diferente do caso das v.a.’s discretas
Não temos a função de massa de probabilidade, já que 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0,
para todo 𝑥.
Para uma variável aleatória contínua temos uma função de densidade de
probabilidade (fdp). Que é uma curva, em função de x, cuja área abaixo
corresponde as probabilidades.
Definição: A função 𝑓(𝑥) é a função de densidade de probabilidade para
a variável aleatória contínua X, definida no conjunto dos reais se:
1) 𝑓 𝑥 ≥ 0;
2) ∞−׬
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1
3) 𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = 𝑎׬
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Figura: Em variáveis aleatórias contínuas a probabilidade de a 
variável X pertencer a um intervalo (a,b) é a área abaixo da 
curva neste intervalo.
OBS: Os itens 1 e 2 constituem condição
necessária e suficiente para que f(x) seja uma
função de densidade de probabilidade.
Exemplo 01: Seja 𝑋 a variável aleatória que representa o erro na temperatura de reação (em
°C), para um experimento realizado no laboratório. A fdp de 𝑋 é dada por:
a) Verifique se f(x) é uma fdp.
Como
𝑥2
3
> 0 sempre, basta verificar agora que a integral de f(x) em todo o seu domínio é
igual a 1. ,
න
−∞
+∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
−1
2 𝑥2
3
𝑑𝑥 =
𝑥3
9
ቤ
2
−1
=
8
9
+
1
9
= 1
Logo como os itens 1 e 2 da definição são atendidos, então f(x) é uma fdp.
Um problema muito comum consiste em encontrar o valor de 𝜆 para que f(x) seja uma fdp,
no caso do exemplo λ =
1
3
.
𝑓 𝑥 = ൞
𝑥2
3
, −1 < 𝑥 < 2;
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
b) Calcule P[0 < X < 1]
𝑃[0 < 𝑋 < 1] = න
0
1 𝑥2
3
𝑑𝑥 =
𝑥3
9
ቤ
1
0
=
1
9
Exemplo 02: O tempo em horas que um computador funciona antes de quebrar 
é uma v.a. contínua com f.d.p. dada por:
𝑓 𝑥 = ቊ𝜆𝑒
− Τ𝑥 100, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
Qual deve ser o valor de λ tal que f(x) seja uma densidade?
Discreta vs Contínua
Discreta: quantidade de filhos, número de coroas até a 1ª cara;
Contínua: peso de uma pessoa, duração de uma chamada.
Função de Distribuição Acumulada
A função de distribuição acumulada 𝐹(𝑥) de uma variável aleatória contínua
𝑋, com fdp f(x), é dada por:
𝐹 𝑥 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = න
−∞
𝑥
𝑓 𝑡 𝑑𝑡 , −∞ < 𝑥 < +∞
Nesse caso, a probabilidade de 𝑋 pertencer a um intervalo pode ser reescrita
como:
𝑃(𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑏) − 𝑃(𝑋 ≤ 𝑎) = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
Função de Distribuição Acumulada
No exemplo do computador, qual a probabilidade de que funcionará menos que
100 horas?
𝑃 𝑋 < 100 = ?
𝑃 𝑋 < 100 = න
−∞
100 1
100
𝑒 Τ−𝑥 100𝑑𝑥 = 1 − 𝑒−1 ≈ 0,633
A probabilidade de que o computador funcionará menos que 100 horas é de
aproximadamente 63,3%
Relação entre 𝐹(𝑥) e 𝑓(𝑥)
Vimos no slide anterior que a 𝐹(𝑥) é expressa em termos de 𝑓(𝑥) pela relação:
𝐹 𝑎 = න
−∞
𝑎
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Se diferenciarmos a equação acima de ambos os lados:
𝐹′ 𝑎 = 𝑓(𝑎)
Portanto, a densidade de 𝑋 é a derivada da função de distribuição acumulada.
Exemplo:
Exemplo (Triangular): Seja 𝑋 uma v.a. com f.d.p.
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
2 − 𝑥, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Verifique que 𝑓(𝑥) satisfaz as condições para ser uma f.d.p. e encontre a
probabilidade de 𝑃(0 ≤ 𝑋 ≤ 0,8).
Pela definição de 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) ≥ 0 para todo 𝑥 e
න
0
2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
0
1
𝑥𝑑𝑥 + න
1
2
2 − 𝑥 𝑑𝑥 =1
𝑃 0 ≤ 𝑋 ≤ 0,8 = න
0
0,8
𝑥𝑑𝑥 = 0,32
Valor Esperado de uma v.a. contínua
Valor esperado: Seja 𝑋 uma v.a. contínua com densidade 𝑓. O valor esperado
de 𝑋 é dado por:
𝐸 𝑋 = න
−∞
+∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
O k-ésimo momento é definido como:
𝐸 𝑋𝑘 = න
−∞
+∞
𝑥𝑘𝑓 𝑥 𝑑𝑥
A variância é dada por:
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋 = 𝐸 𝑋 − 𝐸 𝑋 2 = 𝐸 𝑋2 − 𝐸 𝑋 2
Desvio padrão: 𝜎 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋)
Valor Esperado de uma função de uma v.a. contínua
Seja 𝑔(𝑋) uma função da v.a. 𝑋 é v.a. contínua. 
Então,
𝐸 𝑔(𝑥) = න
−∞
+∞
𝑔(𝑥)𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Assim,
𝐸 𝑋2 = න
−∞
+∞
𝑥2𝑓 𝑥 𝑑𝑥
Esperança e Variância
Exemplo (Triangular): Seja 𝑋 uma v.a. com f.d.p.
𝑓 𝑥 = ቐ
𝑥, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
2 − 𝑥, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Calcule a esperança e variância de 𝑋:
A esperança é dada por:
𝐸 𝑋 = න
−∞
+∞
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
0
1
𝑥2𝑑𝑥 +න
1
2
𝑥(2 − 𝑥)𝑑𝑥 = 1
E a variância:
𝑉𝑎𝑟 𝑋 = න
−∞
+∞
𝑋 − 𝐸 𝑋 2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = න
−∞
+∞
(𝑥 − 1)2 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 =
1
6
Principais Modelos Probabilísticos
Discretos
• Uniforme Discreta
• Bernoulli
• Binomial
• Geométrica
• Poisson
• Hipergeométrica
• Binomial Negativa
Contínuos
• Uniforme
• Normal
• Exponencial
• Qui-Quadrado
• t
• F
• Gama
• Beta
	Slide 1: Introdução aos modelos Probabilísticos professor: Felipe Fernandes 
	Slide 2: Relação entre Esperança e Probabilidade
	Slide 3: Variáveis Aleatórias
	Slide 4: Variável Aleatória Contínua
	Slide 5: Variável Aleatória Contínua
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