Dinâmica em Plano Inclinado

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FÍSICA 1C
Professor: Gustavo Gil da Silveira
Slides baseados no material do Prof. Leandro Langie
OS SLIDES NÃO SUBSTITUEM OS LIVROS!
SÃO APENAS UM RESUMO PARA USAR COMO GUIA!
Aula 009 2
6.7.3 – Blocos, corda e o famigerado Plano Inclinado:
Sendo 𝑚𝐴 = 2,00 kg ,
𝑚𝐵 = 1,50 kg e con-
siderando a corda e a
polia como ideais,
responda:
a) Como	fica	o	D.C.L.	para	cada	bloco;
b) Para	qual	lado	o	sistema	se	move;
c) Quais	os	valores	da	tensão	na	corda	e	da	aceleração;
d)Quanto	tempo	levará	para	o	bloco	𝐴 deslizar	2,50 m sobre	o	
plano,	se	o	sistema	for	liberado	do	repouso.
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 3
𝐴
30,0°
Sup
erfíc
ie	se
m	at
rito
𝐵
a)	D.C.L.
Em problemas com plano inclinado, é muito mais conveniente usar
um sistema de eixos inclinado como referencial do corpo que está
sobre o plano, onde o eixo 𝑥’ estará sempre na direção do plano e o
eixo 𝑦’ sempre na direção perpendicular ao plano.
𝐵𝑥
𝑦𝑦’
𝑥’ 𝐴
𝑦
𝑥 𝜃
𝜃
Aula 011 4
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
𝑃!
𝑇
𝐵
𝑃"
𝑇
𝑁
𝐴
𝜃
𝑃"#! = 𝑚"g cos 30° = 2,0 kg 9,81 m/s$ cos 30° = 17,0 N
𝑃"%! = 𝑚"g sen 30° = 2,0 kg 9,81 m/s$ sen 30° = 9,81 N
Aula 011 5
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
𝐵𝑥
𝑦
𝑃!
𝑇
𝑦’
𝑥’
𝑃"
𝑇
𝑁
𝑃"#!
𝑃"%!
𝑦
𝑥 30°
30°
𝐴
30°
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 6
b)	Para	qual	lado	o	sistema	se	move
Depende	das	forças	externas atuando	na	direção	de	movimento
- Todo	𝑃! atua	na	direção	do	movimento
- Parte	de 𝑃" atua	na	direção	do	movimento
- A	𝑁 NÃO atua	na	direção	do	movimento
Quem	for	maior	entre	𝑃! e	𝑃"%! dará	o	sentido	de	movimento
Nesse caso, 𝑃! = 14,7 N > 𝑃"%! = 9,81 N, logo:
➢ Bloco A sobe o plano para a direita e bloco B desce na
vertical
𝑃!
𝑃"
𝑁
𝑃"#!
𝑃"%!
Bonus	track	#1 Bonus	track	#2
c)	Quais	os	valores	da	tensão	e	da	aceleração
𝐹789,#! = 𝑚!g − 𝑇
𝑚!g − 𝑇 = 𝑚!𝑎#
𝑇 = 𝑚!g − 𝑚!𝑎
𝐹789,#!
" = 𝑁 −𝑚"g cos 30°
0 = 𝑁 −𝑚"g cos 30°
𝑁 = 16,991…N = 17,0 N
Redefina	os	sentidos	dos	
eixos	para	acompanhar	o	
sentido	de	movimento!
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 7
𝐵𝑥
𝑦
𝑃!
𝑇
𝑦’
𝑥’
𝑃"
𝑇
𝑁
𝑃"#!
𝑃"%!
30°
𝐴
𝐹789,#! = 𝑚!𝑎#
(1)
𝑇 = 𝑚"g sen 30° + 𝑚"𝑎 𝑇 = 𝑚!g − 𝑚!𝑎
𝑚!g − 𝑚!𝑎 = 𝑚"g sen 30° + 𝑚"𝑎
−𝑎 𝑚" +𝑚! = g 𝑚" sen 30° − 𝑚!
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 8
𝑎 =
g 𝑚! −𝑚" sen 30°
𝑚" +𝑚!
=
(9,81 m/s$) 1,5 kg − (2,0 kg) sen 30°
2,0 kg + 1,5 kg
𝑎 = 1,40 m/s$
𝐹789,%!
" = 𝑇 −𝑚"g sen 30°
𝑇 −𝑚"g sen 30° = 𝑚"𝑎
𝑎 =
(9,81 m/s$) 0,5 kg
2,0 kg + 1,5 kg
= 1,401428571428571 m/s$
(1)(2)
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 9
𝑇 = 𝑚"g sen 30° + 𝑚"𝑎
𝑇 = 2,0 kg 9,81 m/s! sen 30° + 2,0 kg (1,401428571428571 m/s!)
𝑇 = 9,81 kg m/s! + 2,802857142857142 kg m/s!
𝑇 = 12,612857142857142 kg m/s$ = 12,6 N
𝑇 = 𝑚!g − 𝑚!𝑎
𝑇 = 1,5 kg 9,81 m/s$ − 1,5 kg (1,401428571428571 m/s$)
𝑇 = 14,715 kg m/s$ − (2,102142857142857 kg m/s$)
𝑇 = 12,612857142857144 kg m/s$ = 12,6 N
d) Quanto tempo levará para o bloco A deslizar 2,50 m sobre
o plano, se o sistema for liberado do repouso
Como as forças externas atuando no sistema são constantes, a
aceleração do sistema é constante➢ blocos emMRUV
𝑥; = 𝑥<; + 𝑣<𝑡 +
𝑎
2
𝑡$
∆𝑥"; = 𝑣<"𝑡 +
𝑎
2 𝑡
$ = 0𝑡 +
𝑎
2 𝑡
$
𝑡 = 1,88885890723942 s = 1,89 s
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 10
𝑡 =
2∆𝑥";
𝑎
=
(2)(2,50 m)
1,401428571428571 m/s$
Aula 011 11
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
A inclinação pode ser indicada em graus ou em
porcentagem:
ℎ
𝑏
𝑃(%
)
𝑃 % =
ℎ
𝑏 ×100
Fica mais fácil estimar a relação dos catetos do que medir
um ângulo (possivelmente com um transferidos).
Aula 011 12
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Algumas relações de inclinação para uma altura fixa de 1 m:
Fonte: https://www.archdaily.com/895487/how-to-design-and-calculate-a-ramp
Indicações de mobilidade: https://archoverflow.com/slopes-ramps/
https://www.archdaily.com/895487/how-to-design-and-calculate-a-ramp
https://archoverflow.com/slopes-ramps/
Aula 011 13
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Caso % Razão
Inclinação mínima recomendada para drenagem 1,5 1,5:100
Calçadas próximas a prédios não devem exceder 4
Inclinação máxima para ruas usadas por veículos 10 1:10
Inclinação máxima para rampas usadas por veículos
onde pedestres são permitidos 12 1:8,33
Inclinação máxima que veículos podem subir por um
período sustentado de tempo sem danos de longo
prazo ao automóvel
15 1:6,66
Inclinação máxima para rampa de veículo quando
pedestres são proibidos 20 1:5
Inclinação de 45º 1 1:1
Indicações de mobilidade: https://archoverflow.com/slopes-ramps/
https://archoverflow.com/slopes-ramps/
Aula 011 14
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Rua mais inclinada da mundo: Baldwin Street (NZ) - mapa
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_steepest_roads_and_streets
35% 1:3,41
https://goo.gl/maps/2YxBFhW3TP9ELDMF6
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_steepest_roads_and_streets
6.7.4 – Dois Blocos em contato:
Superfície	sem	atrito
�⃗�
Os blocos de massa𝑚𝐴 = 6,0 kg
e 𝑚𝐵 = 2,0 kg estão em contato
quando uma força horizontal
𝐹 = 20 N é aplicada ao bloco 𝐴.
Determine:
a) Qual	é	a	aceleração	de	cada	bloco?
b)Qual	é	a	força	resultante	sobre	cada	bloco?
c) Faça	um	D.C.L.	para	cada	bloco,	identificando	os	pares
ação-reação;
d) Calcule	a	força	que	cada	bloco	exerce	sobre	o	outro;
e) Muda	alguma	coisa	se	𝐹 for	aplicada	no	bloco	𝐵?
Se	os	blocos	se	mantém	em	contato➢mesma	aceleração
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 15
𝐴 𝐵
a)	Para	o	sistema de	dois	blocos: 𝐹789 = 𝑚" +𝑚! 𝑎
𝑎 = 2,5 m/s$
b)	Para	cada	um dos	blocos	ao	longo	da	direção	𝑥:
𝐹789" = 𝑚"𝑎 = (6,0 kg)(2,5 m/s$) 𝐹789" = 15 N
𝐹789! = 𝑚!𝑎 = (2,0 kg)(2,5 m/s$) 𝐹789! = 5,0 N
Aula 011 16
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
𝑎 =
20 N
2,0 kg + 6,0 kg
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 17
Ação Reação
�⃗� −�⃗�
�⃗�"→! −�⃗�!→"
𝑃" −𝑃"
𝑃! −𝑃!
𝑁" −𝑁"
𝑁! −𝑁!
c)	D.C.L.
𝐵
𝑃!
𝑁!
�⃗�"→!
𝐴
�⃗�
𝑁"
𝑃"
�⃗�!→"
𝐹"→! = 𝐹789! = 5,0 N
𝐹789" = 𝐹 − 𝐹!→" 𝐹!→" = 𝐹 −𝑚"𝑎
𝐹!→" = 20 N − 15 N = 5,0 N
e) Se a força horizontal 𝐹 = 20 N for aplicada no bloco 𝐵...
Ø O	módulo	da	aceleração	do	sistema	não	muda
Ø O	módulo	da	força	resultante	sobre	cada	bloco	não	muda
Ø A	força	que	cada	bloco	exerce	sobre	o	outro	muda
𝐹!→" = 𝐹789" = 𝑚"𝑎 = 15,0 N
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 18
d)
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 19
𝐵
𝑃!
𝑁!
�⃗�"→!
𝐴
�⃗�
𝑁"
𝑃"
�⃗�!→"
Aula 011 20
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 21
6.7.5 – Peso aparente em um referencial acelerado:
Uma passageira de massa 70,0 kg entra num elevador onde há
uma balança presa ao piso. Curiosa, ela sobe na balança e
confere a leitura de 686 N (balança de físico dá a resposta em
força, não emmassa). Até então o elevador está em repouso.
a) Faça um D.C.L. para a passageira e identifique
qual é a força lida na balança.
𝑃
𝑁 A	força	lida	na	balança	é	a	normal,	pois	
é	a	força	que	a	balança	exerce	na	
pessoa.
Quando	o	elevador	está	em	repouso:
𝑦
𝐹789 = 𝑁 −𝑚g = 0
𝑁 = 𝑚g = 686 N
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 22
b) O elevador começa então a subir com aceleração de
3,00 m/s2. Enquanto a aceleração é mantida nesse valor, a
passageira vê a leitura na balança aumentar para 896 N.
Ela pensa que a balança está com defeito, pois seu peso
não poderia aumentar. Explique por que a leitura aumenta,
do ponto de vista de um observador num referencial
inercial (fora do elevador).
𝑃
𝑁
𝑦
�⃗� Agora	o	sistema	está	acelerado,	de	
forma	que	há	uma	força	resultante	
para	cima	e	a	relação	𝑁 = 𝑃 não	pode	
mais	ser	verdadeira.
𝐹789 = 𝑁 −𝑚g = 𝑚𝑎
𝑁 = 𝑚g +𝑚𝑎
𝑁 = 686 + 210 = 896 N
c) Enquanto a passageira ainda tenta entender o seu
“aumento de peso”, o elevador começa a desacelerar, com
aceleração para baixo de 3,00 m/s2 . Durante a
desaceleração, ela vê a leitura na balança diminuir para
476 N e pensa que a balança realmente está com defeito.
Explique por que a leitura da balança diminuiu.
𝑃
𝑁
𝑦
Agora	a	força	resultante	está	no	
sentido	oposto	ao	do	item	anterior,	de	
forma	que	a	aceleração	tem	que	ter	
sinal	oposto.
𝐹789 = 𝑁 −𝑚g = −𝑚𝑎
𝑁 = 𝑚g−𝑚𝑎
𝑁 = 686 − 210 = 476 N
Aula 011 23
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
�⃗�
d) O elevador chega ao seu destino e pára. A passageira ainda
está dentro do elevador pensando sobre a balança quando
os cabos do elevador se rompem e ele entra em queda
livre. Qual é a leitura da balança nesse caso?
𝑃
𝑁 = 0
𝑦
Nesse	caso	o	elevador,	a	balança	e	a	
passageira	estarão	todos	sob	a	mesma	
aceleração	g para	baixo.	A	passageira	não	
pressiona	mais	a	balança,	de	forma	que	a	
leitura	é	zero e	a	passageira	tem	a	
sensação	de	“perda	total	de	peso”.
𝐹789 = 𝑁 −𝑚g = −𝑚𝑎
𝑁 = 𝑚g −𝑚g
𝑁 = 0 N
Aula 011 24
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
g
Aula 011 25
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Vídeo sobre viajar a Zero G
https://www.youtube.com/watch?v=G8gZRWJ4jSo
https://www.youtube.com/watch?v=G8gZRWJ4jSo
Aula 011 26
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aviões de gravidade reduzida
Movimento parabólico em relação à Terra com momentos de
gravidade próxima de zero.
https://en.wikipedia.org/wiki/Reduced-gravity_aircraft
https://en.wikipedia.org/wiki/Reduced-gravity_aircraft
Aula 011 27
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Cats in the air
https://www.youtube.com/watch?v=O9XtK6R1QAk
https://www.youtube.com/watch?v=O9XtK6R1QAk
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 28
Bonus track	#1:
Massa	adicional	sobre	o	bloco	𝐴 para	parar	o	movimento
Como o bloco 𝐵 traciona o bloco 𝐴 com uma força de 14,7 N,
precisamos achar a massa necessária para incrementar a
componente 𝑃"%! para contrabalançar a 𝑃!.
Logo, a massa adicional deve ser de 1,55 kg.
𝑃"%! = 𝑚"g sen 30° = 𝑃! = 17,4 N
𝑚" =
17,4 N
g sen 30°
=
17,4 kg m/s$
(9,81 m/s$) sen 30°
= 3,547400611620796 kg
CAPÍTULO 6 – DINÂMICA
Aula 011 29
Bonus track	#1:
Qual	a	inclinação	que	evitaria	o	movimento	mantendo	as	massas
Como o bloco 𝐵 traciona o bloco 𝐴 com uma força de 14,7 N,
precisamos achar a inclinação necessária para incrementar a
componente 𝑃"%! para contrabalançar a 𝑃!.
Logo, a inclinação deve ser de 62,5°.
𝑃"%! = 𝑚"g sen 𝜃 = 𝑃! = 17,4 N
sen 𝜃 =
17,4 N
g𝑚"
=
17,4 kg m/s$
(9,81 m/s$)(2,00 kg)
= 0,886850152905199
𝜃 = arcsen 0,886850152905199 = 62,480068750797378°