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UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA ALUNA: Mayara Adelita Barbosa Ferreira PROFESSORA: Adriana Maria Balena Tostes MATRÍCULA: 20213301635 TRABALHO DE MATEMÁTICA FINANCEIRA RIO DE JANEIRO BARRA DA TIJUCA 2022 Matemática Financeira Mayara Adelita 20213301635 Trabalho da disciplina Matemática Financeira apresentado como exigência para obtenção da avaliação 1 do grau de Administração, à Universidade Veiga de Almeida. ORIENTADORA: Adriana Maria Balena Tostes ENUNCIADO DA ATIVIDADE Caro (a) Estudante, A Matemática Financeira tem como principal objetivo analisar o comportamento do dinheiro em função do tempo, tendo como importante variável a taxa de juros. E tal estudo se dá por meio da aplicação dos regimes de capitalização: simples e composto. O regime de juros simples é menos utilizado pelo sistema financeiro atual, mas pode ser aplicado à cobrança em financiamentos, compras a prazo, impostos atrasados, aplicações bancárias, etc. Nesse regime, a taxa de juros é somada ao capital inicial durante o período de aplicação. Já a capitalização composta consiste na incorporação dos juros do período anterior ao capital, para efeito de cálculo dos juros do período seguinte. Este regime é conhecido como “juros sobre juros”. Objetivando associar essas questões teóricas à prática, e buscando fortalecer a capacidade de solução de problemas e avaliação de resultados, seguem instruções para a elaboração do primeiro Trabalho da Disciplina (TD), a partir da realização de algumas situações propostas práticas e comparativas envolvendo os Regimes de Capitalização de Juros Simples e Composto. A Empresa ABC Construção Ltda, presente no mercado a 10 anos, trabalha na construção de unidades habitacionais de populares. Tem como meta, a geração de rentabilidade aos sócios e investidores, agindo com ética e profissionalismo no mercado. Busca oferecer produtos de baixo custo e acessível aos consumidores, contribuindo com a responsabilidade social e ambiental. Buscando aumentar a sua área de atuação e cumprir a sua missão empresarial, a empresa deverá realizar operações de financiamento no mercado, fazendo para isso algumas simulações comparativas dos regimes de capitalização simples e composto. Você faz parte do setor financeiro da empresa, e recebeu a missão de realizar algumas simulações que facilitará o processo de decisão. Nesse sentido resolver as seguintes situações propostas, aplicando os regimes de capitalização, apresentando um breve parecer para cada uma destas: Situação 1 – A Empresa ABC fará um empréstimo no Banco Alfa Investimentos, no valor de R$ 250.00,00. O Banco cobra uma taxa de 2,75% ao mês, e a empresa deverá pagar ao final de 4 anos. Nesta situação, quanto a empresa pagará de juros e qual será o montante a pagar? Demanda-se simular para os dois regimes e analisar comparativamente os resultados. Situação 2 – Já o Banco Beta Soluções Financeiras ofereceu uma proposta diferenciada à ABC Peças. O empréstimo seria no valor de R$ 250.000,00, com uma taxa mensal de 3,87% ao mês, a ser paga em 3 anos. Nesta situação, quanto a empresa pagará de juros e qual será o montante a pagar? Demanda-se simular para os dois regimes e analisar comparativamente os resultados. A Empresa ABC deve optar por qual instituição? E caso optasse por antecipar o pagamento da dívida em 18 meses, e utilizando as mesmas taxas de juros, qual Instituição concederia o melhor desconto? (Utilizar o Desconto Bancário Composto) Situação 3 – Pensando em reduzir o pagamento de Juros, a ABC Peças questiona os bancos da seguinte forma: Se pegasse emprestado R$ 200.000,00, pagasse um montante total de R$ 280.000,00 após 2 anos, qual seria a taxa de juros cobrada? Situação 4 – Outra possibilidade da ABC Peças seria fazer o empréstimo de R$ 200.000,00, pagando ao final da operação, um montante de R$ 280.000,00, a uma taxa de 1,5% ao mês. Quantos meses seriam necessários para quitar essa dívida? Demanda- se simular para os dois regimes de capitalização. RESOLUÇÃO DA ATIVIDADE REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO Para ter um melhor entendimento sobre a atividade oferecida, devemos entender um pouco sobre o que são os regimes de capitalização. O regime de capitalização é um regime financeiro com um modo de gerar reservas dependendo de si mesma e por seus rendimentos no mercado financeiro, com capacidade de garantir o pagamento de determinados benefícios ou coberturas contratadas. Esse regime, que é muito utilizado nos dias de hoje em previdências de seguros. Com isso, pode-se distinguir os regimes de capitalização em dois subgrupos: o primeiro é o regime de capitalização de juros simples. E o segundo é o regime de capitalização de juros composto. O regime de capitalização de juros simples nada mais é do que uma forma de ser remunerado por uma quantia de dinheiro que foi investido, ou melhor dizendo, o juros simples funciona como, o retorno sobre um investimento que inicialmente foi aplicado. Isso significa que quanto mais o tempo passa o valor de juros total só aumentará, mas a taxa sempre será a mesma. Em países com baixa inflação, este formato de remuneração é o mais usado, pois ele é de pouco impacto nas aplicações financeiras, porém, a mesma pode aparecer em negociações com variações, independentemente de qualquer preço da economia. Já o regime de capitalização composto, tem como formato de remuneração, uma determinada quantia investida ou emprestada, ou seja, a forma de capitalização composta nada mais é do que o cálculo dos juros compostos de uma determinada aplicação financeira. Como o capital cresce de forma geométrica, podemos dizer que a forma de capitalização geométrica composta é uma função exponencial, onde há um determinado intervalo pra que os juros sejam acrescentados ao capital, e este processo é chamado de capitalização. SITUAÇÃO 1 Para realizar a determinação de quanto a empresa ABC pagará de juros e qual será o montante a pagar junto ao banco Alfa Investimentos, será necessário realizar os procedimentos a seguir: A) Simular em regime de juros simples. O primeiro passo é determinar o montante do juros a pagar, considerando o tempo que foi informado no enunciado, que foi: 4 anos = (48 meses): J=C ×i × t J=250.000,00× 0,0275× 48 J=R$ 330.000,00 Após saber o juros a pagar, vamos determinar o montante total a ser pago nessa operação a seguir: M= C + J M= 250.000,00+330.000,00 M= R$ 580.000,00 B) Simulação em regime de juros compostos: Para realizar esse processo, vamos considerar o prazo que está no enunciado, que é de 4 anos = 48 meses. De forma que dê para identificar o montante a pagar. M =C× (1+ⅈ )t M =250.000,00 × (1+0,0275 )48 M =R $ 919.322,47 Desta forma, conseguimos determinar os juros da seguinte forma: J=M – C J= 919.322,47−250.000 J=R $ 669.322,47 Após a realização dos cálculos acima, podemos ver os 2 casos de forma comparativa no quadro abaixo: Capitalização - juros simples Capitalização - juros composto Cálculo do montante de juros a pagar Cálculo do montante a pagar J=C ×i × t M =C× (1+ⅈ )t J=250.000,00× 0,0275× 48 M =250.000,00 × (1+0,0275 )48 J=R$ 330.000,00 M =R $ 919.322,47 Montante total a ser pago Juros a ser pago M= C + J J=M – C M= 250.000,00+330.000,00 J= 919.322,47−250.000 M= R$ 580.000,00 J=R $ 669.322,47 SITUAÇÃO 2 No cenário 2 a proposta ofererica é de calcular os valores solicitados , para que ambos regimes de capitalização A) Simulação em regime de juros simples: J= C ×i × t J= 250.000,00× 0,0387 ×36 J= R$ 348.300,00 Após o cálculo acima, podemos calcular o montante a pagar da seguinte forma: M =C +J M= 250.000,00+348.300,00 M= R$ 598.300,00 B) Simulação em regime composto: Levando em consideração o tempo de 3 anos= 36 meses. Podemos determinar o montante a pagar da seguinte forma: M= C × (1+ⅈ )t M = 250.000,00 × (1+0,0387 )36 M = R$ 980.809,69 Com isso, consegue-se determinar os juros da seguinte forma: J = M – C J = 980.809,69−250.000,00 J = R$ 730.809,69 Após a realização dos calculos, podemos ver os dois cenários de forma comparativa: Capitalização - juros simples Capitalização - juros composto Cálculo do montante de juros a pagar Cálculo do montante a pagar J= C ×i × t M =C× (1+ⅈ )t J= 250.000,00× 0,0387 ×36 M = 250.000,00 × (1+0,0387 )36 J= R$ 348.300,00 M = R$ 980.809,69 Montante total a ser pago Juros a serem pagos M =C +J J = M – C M= 250.000,00+348.300,00 J = 980.809,69−250.000,00 M= R$ 598.300,00 J = R$ 730.809,69 Após obter os resultados e fazer a simulação dos cenários acima, pode-se ter a conclusão que a empresa ABC Construção Ltda, deve tomar sua decisão pela proposta proveniente do banco Alfa Investimentos. A base para dar essa orientação e que, tanto para o regime de capitalização de juros simples como a de juros composto, o banco selecionado apresenta taxa de juros menor em relação ao concorrente para o pagamento do empréstimo, pode-se observar na tabela abaixo: Regime de capitalização Banco beta Banco Alfa Juros Simples R$348.300,00 R$330.000,00 Juros Composto R$730.809,69 R$669.322,47 Levando em consideração o cenário da antecipação do pagamento da dívida, é de extrema necessidade sabermos que o desconto aplicado sobre o valor, é futuro utilizado comumente nas instituições financeira e em comércios em geral, principalmente em operações bancárias de curto prazo e em operações comerciais. Para efetuarmos o cálculo da antecipação do pagamento da dívida, é preciso saber o valor atual do racional composto, sendo calculado pela fórmula V Rc= , onde N é o valor nominal (valor futuro) da dívida, i é a taxa de juros e t é o período do tempo. Já o desconto racional composto pode ser calculado com a fórmula: DRc=N −VRc . Com isso, podemos fazer o cálculo da antecipação de pagamento da dívida para ambos os bancos, da seguinte forma: A) antecipação de pagamento de dívida Banco Alfa. Inicialmente calculamos o Valor Atual Racional Composto: V Rc= VRc= VRc = R$ 564.150,43 Após isso, podemos determinar o desconto racional composto a seguir: D Rc= N – V Rc D Rc= 919.322,47−564.150,43 D Rc= R$ 355.172,04 B)Antecipação do pagamento da dívida do Banco Beta. Inicialmente calculamos o Valor Atual Racional Composto: V Rc= V Rc= V Rc= R$ 495.179,18 Após o cálculo acima, determinamos o desconto racional composto da seguinte forma: D Rc= N – V Rc D Rc= 980.809,69−495.179,18 D Rc= R$ 485.630,51 Após o termino dos cálculos relacionados aos seus respectivos cenários, tanto para o banco beta quanto para o banco alfa, podemos determinar que o banco beta oferece descontos maiores na hipótese de uma antecipação de pagamento da dívida. O mesmo representa um desconto de R$ 485.630,50 (R$ 130.458,47 a mais que o desconto que o banco alfa ofereceu). SITUAÇÃO 3 Para efetuarmos o cálculo da taxa de juros cobrado, tanto no regime de capitalização simples quanto no regime de capitalização composta, precisamos realizar as seguintes operações: A) taxa de juros cobrado sobre regime de capitalização simples. Calculo dos juros pagos: J= M – C J= 280.000,00−200.000,00 J= R$ 80.000,00 Desta forma, podemos realizar o cálculo da taxa de juros da seguinte forma: i= i= i= 1,67 % a . m. B) Taxa de juros cobrado sobre regime de capitalização composto. Sabendo que temos as informações do capital, do montante e tempo, a taxa de juros pode ser calculada da seguinte forma: M =C× (1+ⅈ )t 280.000,00=200.000,00× (1+ ⅈ )24 (1+ ⅈ )24= (1+ ⅈ )24= 1,4 1+ⅈ =2√ 4 1,4 ⅈ= 1,0141-1 i=1,41 % a . m. Após a finalização dos cálculos, podemos ter a conclusão que a taxa de juros cobrada após dois anos sob o regime de capitalização composto será de 1,41% a.m. e para o regime de capitalização simples será de 1,67% a.m. SITUAÇÃO 4 Para podermos saber quantos meses seriam necessários para quitar a dívida descrita na situação 4, levando em consideração ambos os regimes de capitalização, será preciso seguir os seguintes cálculos: A) Cálculo dos meses sobre regime de capitalização simples: J= M – C J= 280.000,00−200.000,00 J= R$ 80.000,00 O tempo poderá ser calculado da seguinte forma: t= t= t =26,67 t =27 meses B) Cálculo dos meses sobre regime de capitalização composta: Como a taxa, o capital e montante já é de nosso conhecimento, o cálculo pode ser realizado da seguinte forma: M =C× (1+ⅈ )t 280.000,00= 200.000,00 x (1+ 0,015)t 1,015t= 1,015t= 1,4 Log 1,015t = log 1,4 t x 1,015t = log 1,4 t= t= 22,60 t=23 meses Após a realização dos cálculos, pode-se concluir que para quitar a dívida sob o regime de capitalização simples seriam necessários 27 meses, e sob o regime de capitalização composto seriam necessários 23 meses. CONSIDERAÇÕES FINAIS Após o termino das simulações realizadas e considerando os conceitos descritos referentes aos regimes de capitalização, pode-se distinguir com clareza que os juros Simples formam uma porcentagem fixa do principal valor que foi emprestado pela investidor. Sobre a capitalização composta, podemos ver que os juros são somados adicionalmente aos juros acumulados de períodos passados, ou melhor dizendo, juros sobre juros. É importante destacar que umas das grandes diferenças entre os regimes, é que nos juros simples, a taxa reflete sempre sobre o valor inicial. Já nos juros compostos, incide sempre sobre o valor que se acumula. Há também outra diferença importante e que é de fácil percepção, que entre ambos os regimes há uma influência do tempo, principalmente no regime de capitalização composto, onde é possível notar que à uma frequência considerável de períodos, onde pode haver um efeito sobre os ganhos ou quanto será necessário pagar de juros, ou seja, quanto mais tempo, mais juros acumulados. Com isso, podemos observar que para quem necessita de pegar dinheiro emprestado, o regime de capitalização composto não é o mais indicado, devido ao grande impacto que esse regime possui com o passar do tempo. Sobre a dívida adquirida pelo solicitante, também não é um bom negócio para quem empresta ou investe, tudo dependerá de cada situação e também de como o mercado se comportará no momento requerido. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS (31) MATEMÁTICA FINANCEIRA: Regime de Capitalização Simples - YouTube (31) Aula 07 - Matemática Financeira - Capitalização Composta (Juro Composto) - YouTube (31) JUROS SIMPLES - Matemática financeira - YouTube (31) TAXA EQUIVALENTE (Proporcional) - Juros Simples - YouTube https://www.youtube.com/watch?v=AcAjc-MKO-I https://www.youtube.com/watch?v=58iisF_lTj8 https://www.youtube.com/watch?v=58iisF_lTj8 https://www.youtube.com/watch?v=ij5fdb1cClE&list=PLGoyMjCG9tkDQPLSseDLPX6kj6fcftwXn https://www.youtube.com/watch?v=3TMdO6o3Ko0&list=PLGoyMjCG9tkDQPLSseDLPX6kj6fcftwXn&index=6