O Romance das Equacoes Algebricas - Gilberto Geraldo Garbi

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O Romance das Equações Algébricas 
Copyright© 1997, MAKRON Books do Brasil Ltda. 
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EDITOR: MILTON MIRA DE ASSUMPÇÃO FILHO 
Produtor Gráfico: José Roberto Petroni 
Editoração e fotolitos em alta resolução: JAG 
Dados de Catalogação na Publicação (CIP) Internacional 
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) 
Gilberto Geraldo Garbi, 
O Romance das Equações Algébricas / Gilberto Geraldo Garbi ; - São Paulo 
Makron Books, 1997. 
ISBN 85-346-0730-3 
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Este livro 
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Matemática pod 
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16 O Romance das Equações Algébricas Cap. V 
Ilustração 5.2: Pitágoras, de Samos e, depois, Crotona (David Smith Collection). 
Neste ponto de nosso relato é importante esclarecermos o leitor que este 
livro não tem condições de abordar de uma forma abrangente todo o 
desenvolvimento histórico da Matemática, embora o estudo de tal matéria seja 
altamente recomendado. 
O que está sendo contado restringe-se aos fatos e personagens ligados mais 
diretamente às Equações Algébricas e objetiva facilitar o entendimento de como 
se deu a evolução de nosso tema central ao longo do tempo. Por isso, matemáticos 
e episódios maravilhosos serão passados ao largo sempre que não tenham estado 
na rota principal das Equações Algébricas. 
Agora voltemos a Pitágoras. Quando ele demonstrou que em um triângulo 
retângulo vale a relação 
produziu-se, pela primeira vez na Europa, uma equação do 2° grau, com um atraso 
de pelo menos 1200 anos em relação ao que já havia acontecido na Babilônia. 
O que houve na Grécia Clássica, entre os séculos VI e II antes de Cristo, 
pode ser resumido numa palavra: milagre. Jamais existirá o risco de exagero ao 
dedicar-se elogios às realizações do espírito grego em tal período e é quase 
impossível expl 
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hoje, passados 1 
Fídias, a arquite 
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do Nilo (Egito) 
clássica. 
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Cap. XI François Viete Recorre à Trigonometria 57 
p 
Este resultado é correto e pode-se demonstrar que é equivalente ao obtido 
por Tartaglia, embora pareçam diferentes. Permaneciam, entretanto, todas as 
dúvidas sobre quantidades de raízes e operações com números complexos quando 
A<O. 
Viête debateu-se com equações como a famosa x 3 
- 1 Sx - 4 = O , ( cujas 
raízes, todas reais, não podiam ser achadas pela fórmula de Cardano ou pela que 
ele próprio deduzira, pois implicavam trabalhar com números "imaginários") até 
que, num lampejo de genialidade, encontrou uma solução trigonométrica para o 
problema. 
O caminho, como não poderia deixar de ser, tratando-se de Viête, foi uma 
substituição de incógnitas. Estamos lembrados de que a Fórmula de Cardano foi 
achada por Tartaglia fazendo-se a substituição x =A+ B. No método 
trigonométrico de Viête faz-se a substituição x = k cos0. 
Seja 
x 3 +px+q = O 
(kcos0)3 + p(kcos0) + q = O 
cos3 0+_p_ cos0+� = O 
k2 k3 
Como grande conhecedor de trigonometria, Viête sabia que 
( ) 
3 cos30 
cos30 = COS0 4cos
2 
0- 3 OU COS
3 0 -
4 
COS0 - -
4
- = Ü
Assim, fez as seguintes equivalências: 
70 O Romance das Equações Algébricas Cap. XII 
Matemática. Seu mais famoso livro, Discurso Sobre o Método de Bem Utilizar a 
Razão e de Encontrar a Verdade nas Ciências, publicado em 1.637 (um ano após 
a carta de Fermat a Roberval) trouxe como apêndice um trabalho denominado La
Géométrie e que é considerado a pedra fundamental da Geometria Analítica. 
Ilustração 12.2: René Descartes - 1.596-1.650 (Mansell Collection). 
72 O Romance das Equações Algébricas Cap. Xll 
figura 12.2 
X 
pode-se demonstrar que os valores x e y estão relacionados pela equação 
Ax+By+C = O 
onde A, B e C são constantes características daquela reta em particular. 
Quando o ponto P(x,y) se encontra sobre uma circunferência, como na 
figura 12.3, a equação que relaciona x e y é (x - a)2 + (y - b )
2 
= r 2
, onde a e b 
são as coordenadas do centro e r o raio da circunferência. 6
y 
b .... 
a 
(x-a)
2 
+ (y-b)2 = r2
X 
figura 12.3 
X 
E assim, elipses, parábolas, hipérboles, enfim, curvas das mais diversas 
naturezas, passaram a ser tratadas através de equações, o que abriu um horizonte 
inesgotável para as pesquisas matemáticas, inclusive para o próprio conhecimento 
6 Este fato já era conhecido pelos Babilônios há quase 4.000 anos. 
80 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIII 
Assim, partindo de um contato com um livro de Astrologia em 1.663 e após 
um mergulho de pouco mais de um ano nos melhores livros de Matemática que 
pôde encontrar, Newton realizou em dois anos (1.665 e 1.666) as maiores 
descobertas até então feitas na Matemática e na Física desde que o homem 
começara a pensar. Tinha, então, menos de 24 anos e, em suas próprias palavras, 
encontrava-se no auge de sua idade inventiva e ocupava-se daquelas duas ciências 
mais do que o fez em qualquer outra época. 
Como poder-se-ia esperar, sua personalidade era bastante distinta daquilo 
que se encontra normalmente e não devemos fazer qualquer avaliação de caráter 
pessoal sobre um homem necessariamente excêntrico e cuja vida transcorreu em 
uma época em que os valores sociais eram totalmente diferentes dos de hoje. 
Isto precisa ser dito porque, inevitavelmente para quem atinge as proporções 
míticas por ele alcançadas, Newton acabou por receber alguns julgamentos que 
arranharam sua imagem sobrenatural. As razões principais foram: a obsessiva 
relutância em publicar o que descobria, confidenciando-o apenas a um pequeno 
círculo de amigos; uma triste polêmica que travou com Leibiniz quanto à primazia 
na invenção dos cálculos diferencial e integral; e os longos esforços que dedicou à 
alquimia e a questões de fundo místico-religioso. 
É fato que Newton produzia muito mas publicava pouco, procurando, de 
todas as formas, evitar as discussões e contestações que sempre surgem quando 
alguém descobre algo novo. Sua maior obra, Philosophiae Naturalis Principia 
Mathematica, considerado o mais importante livro científico de todos os tempos, 
somente foi publicada, em 1.687, por insistência de seu amigo Edmond Halley (o 
astrônomo que emprestou seu nome ao chamado Cometa de Halley), mais de 20 
anos após as descobertas nela contidas terem sido feitas. Realmente, o desejo de 
ser deixado em paz em seus estudos e de guardar excessivo segredo de seus 
trabalhos era um traço eventualmente neurótico mas este é um detalhe ínfimo em 
alguém que foi tão grande e que tanto bem trouxe à Humanidade. 
A polêmica com Leibniz foi um episódio lamentável ocorrido entre duas 
pessoas maravilhosas. É indiscutível que Newton inventara o cálculo diferencial 
(que ele chamava de fluxões) em 1.665. Entretanto, nada divulgou a respeito, 
apenas circulando seus papéis entre um pequeno grupo de íntimos. Em 1.684, 
Leibniz publicou a mesma idéia, hoje acredita-se desenvolvida 
independentemente, e isto deu origem à disputa. Seguramente Newton não 
desejava qualquer polêmica mas o caso converteu-se em questão de honra 
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Cap. XIII Newton Entra em Cena 81 
patriótica entre ingleses e alemães e Newton viu-se envolvido em um episódio em 
que as ofensas proferidas de parte a parte merecem seresquecidas. 
Ilustração /3.2: Edmond Halley, o astrônomo amigo de Newton, 
que o convenceu a escrever os Principia. 
É, também, verdade que Newton dedicou grandes esforços e consumiu 
muito tempo em estudos teológicos e experiências com alquimia. Ora, sendo estes 
dois campos um território muito mais místico do que científico, alguns 
entenderam que tal interesse pudesse, no mínimo, significar certo desequilíbrio da 
parte do incomparável sábio. Ninguém tem condições de emitir qualquer 
julgamento a este respeito e o melhor que as pessoas comuns devem fazer é 
acreditar que um homem excepcional como ele, capaz de ver e sentir o que outros 
não conseguiam, seguramente· possuía motivos válidos para conduzir tais estudos. 
Infelizmente, o objetivo deste livro não permite que se fale muito mais sobre 
a vida e a obra de Isaac Newton. Entretanto, é importante relatar algumas 
características básicas de sua genialidade porque elas nos trazem grandes 
ensinamentos. A rapidez com que ele fazia suas descobertas e os caminhos que 
seguia nos raciocínios permitem-nos concluir ter sido ele dotado de uma 
l 
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) 
Cap. Xlll Newton Entra em Cena 89 
A secante PP' forma com o eixo dos x o ângulo <I> de tal forma que 
tg<I> = Liy / Lll. 
A reta tangente à curva forma com aquele eixo o ângulo 0. Mas 0 é o ângulo 
ao qual tende o ângulo <I> quando P' se aproxima cada vez mais de P. Dizemos, 
então, que 0 é o limite ao qual tende o ângulo <I> quando P' tende a P ou, o que é 
o mesmo, quando LU. tende a zero. Em simbologia matemática escrevemos:
tg0 = lim tg<I> = lim Liy / LU. 
6"�0 6"�0 
Em cada ponto da curva, em geral, existe uma tangente diferente, ou seja, 
para cada valor de x existe um valor de tg0 . Esta nova função de x, a saber, tg0 , é 
denominada a "função derivada" da função y = f(x) e é representada por y' ou 
f'(x). 
Os valores LU. e Liy são, respectivamente, as diferenças das abcissas e das 
ordenadas dos pontos P' e P e a relação Liy/LU. é chamada de coeficiente 
diferencial. Este conceito bastante simples de tendência a valores ou linhas limites 
teve conseqüências gigantescas pois, a partir dele, construíram-se o Cálculo 
Diferencial e o Cálculo Integral, com incontáveis aplicações na Matemática Pura, 
na Física, na Engenharia e em outros ramos do conhecimento. 
Quem por primeiro desenvolveu o Cálculo Diferencial, que é o estudo das 
funções derivadas, foi Newton mas ele declarou em um manuscrito que sua idéia 
baseara-se no método inventado por Fermat para o traçado de tangentes e que fôra 
a causa da di:;puta entre ele e Descartes, até que este reconheceu que o advogado 
achara uma solução melhor que a sua. 
É bastante fácil demonstrar que a derivada da soma de várias funções é a 
soma das derivadas de cada uma delas. É, também, simples provar que a derivada 
da função 
Y = ax n é y' = naxn-l 
Se não, vejamos: por definição 
90 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIII 
y' = lim L1y I .1x 
t.x�O 
[a(x + füc_füc)º - axº J y' = lim 
t.x�O 
y'= lim 
t.x�o 
ax" +( � )ax"-'âx +(; )ax"-'(8x)'+ ... +a(Áx)" -ax" 
L'.1X 
( � )ax"_, 8x + (; )ax "-' (âx)' + ... +a(8x)"
y'= lim 
t.x�o füc 
Quando fazemos füc tender a zero, todas estas parcelas, exceto a primeira, se anulam. Assim 
É, também, evidente que a derivada de qualquer valor constante é zero. 
Estes conhecimentos nos bastam para explicar o Método de Newton mas é difícil acreditar que um Primeiro Ministro possa ter sido ensinado sobre isto durante um jantar e, mais ainda, que tenha compreendido ... Agora, o Método. Encontrar as raízes da equação f(x) = O é achar os pontos onde o gráfico da função y = f (x) corta o eixo dos x (pois, ali, y =O) 
92 O Romance das Equações Algébricas Cap. X/ll 
ou 
-y
0 
= x
1
tg0-x
0
tg0 
X
1 
= X0 - y O / tg0
Mas tg0 = f'(x
0
) e y
0 
= f(x
0
). Portanto 
Esta fórmula pertence à família das chamadas fórmulas de recorrência, 
pois, dada a função f, calculada sua derivada f' e tomado x0 como ponto de 
partida, calcula-se x1, para, em seguida, partindo-se de x1 e recorrendo-se à 
mesma fórmula, calcular-se x2: 
e assim por diante 
em uma seqüência que somente termina quando estivermos satisfeitos com a 
aproximação obtida. 
O Método de Newton é realmente brilhante porque, em princípio, aplica-se 
a qualquer função e não apenas às funções algébricas. Ele pode, por exemplo, ser 
empregado em equações tão estranhas quanto 
x + e-x + cos x = O 
Entretanto, uma de suas limitações é que somente as raízes reais são 
pesquisáveis por ele. Além disso, há circunstâncias em que a seqüência 
94 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIII 
primeiros termos da equação são positivos e crescentes para x>O. Se x = 1, sua 
soma vale 13, menor do que 20. Se x = 2, tal soma é 36, maior do que 20. 
Portanto, uma da raízes está entre 1 e 2 e podemos começar com xo = 1,5. 
Neste caso 
f(x) = x 3 +2x2 +lOx- 20 
f'(x) = 3x2 + 4x + 10 
X1 = 1,5 - 2,875/22,75 = 1,3736263736 
X2= 1,3736263736 - 0,1017886829/21,155053737 = 1,36881481963 
X3 = 1,36881481963 - 0,00014159349/21,09622130981 = 1,36880107 
que é o resultado correto até à 8ª casa decimal. Em apenas 3 ciclos foi obtida esta 
impressionante aproximação e é por isto que o Método continua atual até os dias 
de hoje, depois de ter sido simplificado pelo matemático Raphson (1.690). 
Quanto aos critérios desenvolvidos por Newton para a pesquisa de raízes, 
dois deles merecem atenção especial. 
Suponhamos, por exemplo, que se deseje saber se o número 17 pode ser raiz
da equação x7 + 12x6 
- l0x
5 + 2lx
4 
- 9x
3 + 6x
2 + 3x + 68 = O. Realizar a simples
substituição de x por 17 e verificar se o resultado é zero é um procedimento
correto mas extremamente trabalhoso e sujeito a erros ( 17 7 é o número
410.338.673 e leva-se bastante tempo para calculá-lo aritmeticamente).
Entretanto, Newton descobriu uma forma prática de testar possibilidades valendo­
se do fato de ser muito fácil elevar os números 1 e -1 a qualquer potência inteira.
Se um número R é raiz de uma equação polinomial P(x) =O , então 
P(x) = (x- R)Q(x) , onde Q(x) é um polinômio de grau imediatamente abaixo do 
de P(x). 
Fazendo-se x = 1 e x = -1 tem-se 
96 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIII 
P(l) = -Q(l) + P(m) 
m-1 m-1 
e 
P(-1) = -Q(-1) 
+ P( m)
m+l m+l
Basta que P(m) seja divisível por m - l e por m + 1 para que m passe pelo
teste sem ser raiz. 
Para finalizar, falemos sobre as chamadas cotas inferiores e superiores. Seja,
por exemplo, a equação 
x9 -8x 8 +3x7 +5x 6 +3x 5 +2x4 -l lx3 +2x2 +l lx+2 1 =0.
Observando-a atentamente vemos que ela pode ser assim reescrita:
x8 (x-8)+3x7 +5x6 +3x5 +2x 3
( x-�
1)+2x2 +l lx+2 1 = O
Para qualquer x> �
1
, 2x3 (x-�
1
)>0 .Para qualquer x>8, x2 (x-8))0.
Como 8 > 1 1 / 2 , então para qualquer x > 8 não pode haver raízes daquela
equação pois o valor do polinômio sempre será > O. Neste caso, dizemos que
L = 8 é uma cota superior das raízes daquela equação, significando que para todo
x>L, P(x)>O. 
A simples observação, como acabamos de fazer, nem sempre permite a
determinação de uma cota superior pois, em geral, é difícil ou impossível
visualizar diretamente, nos polinômios, relações que indiquem limitações para
suas raízes. Neste caso deve-se proceder por tentativas. 
Seja o polinômio P(x) = a0x
º + a,x º-1 + ... +a
0
_
1
x + a
0
• 
Dividindo-o por um binômio x -L tem-se
Se encontrarmos um valor de L que faça todos os bi e R(resto) positivos,
então P(x) > O para qualquer x > L. 
O dispositivo de Briot-Ruffini permite o encontro de tal L partindo de um
valor qualquer, por exemplo 1 , e aumentando-o sucessivamente, 2,3 ,4,etc., até que
somente sejam obtidos valores positivos. 
Cap. XIII Newton Entra em Cena 97 
Seja a equação x5 -2x4 
+ 3x 3 -7x2 -8x + 23 = O e procuremos uma cota 
superior de suas raízes 
1 -2 3 -7 -8 23 
1 1 -1 2 -5 -13 10 
2 1 o 3 -1 -10 3 
3 1 1 6 11 25 98 
Como, a partir de 3, todos os números são positivos, L = 3 é uma cota 
superior. 
Para encontrarcotas inferiores, basta um pequeno artifício. Seja o polinômio 
P(x) e, nele, substituamos x por -x. Teremos, então, um polinômio P(-x) que, 
igualado a zero, produzirá uma nova equação, para a qual já sabemos como 
calcular uma cota superior de raízes, digamos L. Significa que, na nova equação, 
as raízes reais são sempre x < L , ou seja, -x , raiz da equação original, é sempre 
> -L. Este valor - L é, evidentemente, uma cota inferior da equação original,
costumeiramente representada por l.
Usando o mesmo exemplo, calculemos uma cota inferior de 
x5 
- 2x 4 
+ 3x 3 
- 7x 2 
- 8x + 23 = O. Fazendo a substituição de x por -x temos a
equação x5 
- 2x4 
+ 3x 3 
- 7x2 -8x + 23 =O, para a qual procuraremos uma cota
superior L. 
1 
2 
1 
1 
1 
2 
3 
4 
3 
6 
11 
7 
13 
29 
-8
5 
50 
-23
-18
82
Sendo L = 2 uma cota superior da nova equação, l = -2 é cota inferior da 
equação original. Portanto, as raízes reais de x5 -2x4 
+ 3x 3 -7x2 -8x + 23 = O 
estão situadas entre -2 e +3. Esta informação facilita bastante a determinação das 
raízes por métodos numéricos. 
E aqui termina nossa breve visita ao grande Isaac Newton, o homem que 
abriu as portas do mundo científico e tecnológico em que vivemos hoje. 
�. -----------------· 
-_;p CAPÍTULO XIV 
MAKRON 
Books 
• 
EULER DOMINA OS NÚMEROS COMPLEXOS 
O passeio que temos feito pelo país das Equações Algébricas pennitiu-nos, 
até aqui, conhecer alguns personagens fascinantes do romance da Matemática, 
cada um com suas características peculiares: Ahmes, o mais antigo dos autores 
cujo nome a História registrou; Tales, o rico comerciante que teve o coração 
conquistado pela Geometria; Pitágoras, o primeiro a perceber que o mundo fala a 
linguagem dos números; Euclides, o maior dos sintetizadores; Al-Khwarizmi, o 
pai da Álgebra; Leonardo Fibonacci, o primeiro cristão a escrever sobre o método 
hindu-árabe; Cardano, o brilhante mau-caráter; Tartaglia, o pobre menino 
autodidata que venceu as equações do 3° grau; Bombelli, o destemido 
manipulador dos números complexos; Fermat, o advogado dos números; 
Descartes, o unificador da Geometria à Álgebra; Newton, o descobridor das Leis 
do Cosmos. 
Agora, neste capítulo, seremos apresentados a alguém que, além de ter sido 
indiscutivelmente o matemático que mais produziu e publicou em todos os 
tempos, não encontra termo de comparação quanto a suas características de 
encantadora pessoa humana: o suíço Leonhard Euler (pronuncia-se Óiler), de 
quem foi dito que "calculava com a facilidade com que os outros respiram". 
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, no ano de 1. 707, quando o 
Cálculo, inventado por Newton e Leibniz, ainda expandia suas fronteiras e 
proporcionava aos estudiosos inúmeras e inesperadas aplicações. Foi discípulo de 
Jean Bernoulli, o mesmo que ajudou Leibniz a difundir as idéias do Cálculo em 
98 
100 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIV 
Ilustração 14.2: Jean Bernoulli, que propôs a Newton o problema da 
Braquistócrona, professor de Euler (David Smith Collection). 
Euler era gentil, bem humorado, afável e generoso. Nada escondia de suas 
pesquisas e as publicava sem ciúmes ou receios. Somente não publicou, e foi 
muito, aquilo que as editoras não conseguiram dar vazão durante sua fecunda vida 
produtiva. Estima-se que sua obra ultrapasse 800 trabalhos versando sobre 
Cálculo, Teoria dos Números, Álgebra, Mecânica, Óptica, Teoria das 
Probabilidades, Topologia (interessantíssimo ramo da Matemática que estuda as 
propriedades das posições e onde as figuras não têm formas ógidas), cálculo das 
variações, música, números complexos, etc. 
Esta torrente matemática que jorrava de seu cérebro era concebida em um 
ambiente que nada tinha de frio, fechado ou mesmo silencioso: Euler era o 
Cap. XIV Euler Domina os Números Complexos /OI 
paciente pai de 13 filhos e escrevia ao mesmo tempo em que os atendia a todos. 
Um amigo que presenciara sua vida doméstica disse: "Uma criança no colo, um 
gato sobre o ombro, assim escrevia ele suas obras imortais". 
O grande Laplace, que ocupa destacada posição dentre os maiores de todos 
os tempos, dizia aos matemáticos mais novos: "Leiam Euler, leiam Euler, é o 
mestre de todos nós!" 
Ilustração 14.3: Pierre-Simon de Laplace, grande matemático francês, 
profundo admirador de Euler (Jean-Louis Charmet). 
É impossível sintetizar em alguns parágrafos a obra de um gigante de suas 
proporções. Por isso, ficaremos restritos a apenas 3 de seus trabalhos que mais 
diretamente estão relacionados às Equações Algébricas, tema deste livro: a 
Simbologia (Notação), o número "e" (Número de Euler) e os Números 
Complexos. 
Comecemos pela Simbologia (Notação). Quando vemos hoje uma equação 
- -----
- -----
102 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIV 
ser escrita, por exemplo, ax 2 + bx + c = O ou a raiz quadr�da de um núm�ro ser
simbolizada por J , imaginamos que as coisas tenham sido sempre assim. Na
realidade, esta simbologia é relativamente mo�ema pois até o século XVI a soma
era representada por p (plus) e não por+ e a subtração por m (minus) e não por - , 
sem falar de outras operações mais complicadas como raízes, potências, etc. O 
sinal da multiplicação x foi introduzido em 1631 pelo inglês Oughtred (autor de
um dos livros estudados por Newton em seu mergulho matemático); Descartes foi 
o primeiro a representar potências na forma ab; a raiz quadrada era indicada pelas
letras Rq até ser expressa por F em 1526; os sinais > (maior) e < (menor)
surgiram em 1631, e assim por diante. Para que se tenha uma idéia de como a 
simbologia moderna tomou mais clara a visualização e o tratamento dos 
problemas basta mostrar como a equação 3x2 + 5x = 21 seria representada no 
passado por alguns matemáticos famosos: 
Rudolff (1525) 
Bombelli (1572) 
François Viete (1590) 
René Descartes (1637) 
John Wallis (1693) 
sit3 Z + 5 � aequatus 21 
2 1 
u u 
3 p 5 Eguale á 21 
3Q + 5N aequatur 21 
3ZZ+ 5Z a21 
3XX+ 5X= 21 
A equação do 3° grau 2x 3 + 5x = 17 seria assim expressa por Cardano: 
2cub'p:5reb'ae q lis 17 
Acrescente-se a isto que as obras científicas, até inícios do século XIX, 
vinham escritas em Latim e pode-se imaginar o sofrimento dos estudantes em sua 
tentativa de entender e enxergar os fatos matemáticos na obscuridade dos livros 
104 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIV 
este crescimento teria algum limite caso os créditos dos juros fossem sendo feitosem períodos cada vez mais curtos: anualmente, semestralmente, semanalmente,diariamente, a cada hora, minuto, segundo, etc. Sim, existe um limite e o estudodeste problema levou ao chamado número e, assim definido: 
e = lim(l + !)n 
n�oo n 
Ilustração 14.4: Jacques Bernoulli, irmão de Jean Bernoulli, cuja pergunta 
sobre juros deu origem ao número e (David Smith Collection). 
106 O Romance das Equações Algébricas Cap. XJV 
de um ângulo 0, batizado de argumento. Chamando "'1a2 + b2 de p , batizado de 
módulo, o número Z pode ser expresso pela fórmula 
z = p( cose + i sen e) 
Imagine-se, agora, dois números complexos Z1 e Z2
Z
1 = p
1 (cos8
1 
+isene
i
) 
Z
2 = p 2 ( cos 0 
2 
+ i sen 0 i) 
Multiplicando-os, obtém-se 
e como i2 = -1 
Ora, lembrando que 
e 
tem-se 
Este é um resultado importantíssimo: quando se multiplicam dois números 
complexos, multiplicam-se os módulos e somam-se os argumentos (ângulos). 
108 O Romance das Equações Algébn·cas Cap. XIV 
Elevando à potência n tem-se
(n)
° = p'n (cosn<1>+.i sen n<1>)
Para que este resultado seja igual a Z= p(cos0+isen�) é necessário e
suficiente que, simultaneamente, 
p'n=p p'=w
{cos nq> = cos 0 
sen n<I> = sen 0
Nossa primeira tentação é concluir, apressadamente, através das duasúltimas igualdades, que nq> = 0 mas isto é apenas uma parte da verdade. O fato de
serem cosnq> = cos0 e sen nq> = sen0 não significa que os ângulos sejam iguais.
Se eles diferirem entre si por um número inteiro de 21t radianos as igualdades desenos e cossenos também estarão asseguradase este é ponto fundamental doraciocínio. 
Assim, conclui-se que:
n<I> = 0 + 2k7t (onde k é um inteiro qualquer)
ou 
Como se vê, fazendo variar k (inteiro) vão sendo obtidos diferentes valoresde <I>, ou seja, diferentes raízes enésimas do número Z. Mas, se k é qualquerinteiro, haverá então infinitas raízes? Não , e isto é fácil de ser compreendido.Façamos k tomar sucessivamente os valores 0,1,2,3, ........ ,n-1,n,n+l,n+2, etc. evejamos o que acontece. 
k <I>
o <I>,
1 <1>2 
2 <1>3 
3
<1>4 
e
n
=: +( 2:)
=: +2( 2:)
=: +3( 2:)
Cap. XIV Euler Domina os Números Complexos /09 
n-1 <I> n e (2n)= n +(n-1) � 
n <l>n+l =e+ n( 27t) =e+ 21tn n n 
n+l e ( 2n) e ( 2n) <l>n+z = n + (n + 1) � = n + � + 21t
A partir de k = n os ângulos começam a diferir entre si por múltiplos inteiros
de 2 7t, ou seja, as raízes enésimas p' (cos<I> + isen<I>) passam a se repetir, de modo
que somente n delas são distintas e a belíssima descoberta de Euler estádemonstrada. 
Como seriam, na prática, as extrações de raízes cúbicas, por exemplo?
Consider�mos os números 8 e -8
8 = a + ib = 8 + iO
a=8
b=O
o sen0=-;::::===Ü.Jg2 + 02 
:. e= zero
110 O Romance das Equações Algébricas Cap. XIV 
8 cos0=--;:::=== 1,J32 + 02 
p = ,J32 + 02
= 8 
Portanto, as 3 raízes cúbicas de 8 são: 
:. p' = 2 
1/8 = 2(coH+(
2
3n)J+isen[�+(
2
;)]) = 2(-½+: f (-1 +-Í3i) 
2(coH+z(2;)J+isen[�+z(2;)])= 2(- � +: }(-hfü) 
-8 = a+ib = -8+i0
a=-8 
b=O 
o 
sen e = -;=== = o,J32 + o2 
-8 cose=--;:::=== -1
,J32 + 02 
p = ,J32 + 02 = 8
e as raízes cúbicas de -8 são: 
:. e= n
:. p'= 2 
Cap. XIV Euler Domina os Números Complexos 111 
2(cos; +isen ;) = 2( ½+:} (1+v'Ji)
� = i(c0{; +(2;)J+isen[; +(23�)]) = 2(-!+0i)= -2
i(co{; +i(2;)J+isen[; +2(2;)])= 2(½-:} (1-v'Ji) 
Finalmente, depois de quase 200 anos, aprendera-se a extrair raízes de 
números complexos, aquele mistério que intrigou Bombelli e tantos outros que 
haviam tentado aplicar a fórmula de Cardano nos casos em que �<0. 
O achado de Euler revolucionou a teoria das Equações Algébricas que, a 
partir de então, ganhou novo impulso, conforme será visto adiante. Embora seja 
este o fato que mais nos interesse no momento, porque estamos tratando da 
resolução de equações, é preciso ser dito que Euler fez outras descobertas ainda 
mais admiráveis no reino dos números complexos. Uma delas acabou por produzir 
a mais bela equação de toda a Matemática. 
A fórmula de de Moivre diz que 
(cose+ i sen0)" = cos(n0)+ i sen(n0) 
Se chamarmos cos 0 + isen 0 de f( 0 ), a fórmula citada pode ser reescrita 
[f(e)r = f(n0) 
Ora, sabemos bastante bem que esta é uma propriedade das funções 
exponenciais pois, por exemplo, 
[f(b )r = f(nb) 
e isto pode ter levado Euler a conjecturar que cos 0 + isen 0 , embora não o pareça 
à primeira vista, deveria ser algum tipo de função exponencial com variáveis 
complexas. Através de um método que será exposto no capítulo final deste livro, 
MAKRON 
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CAPÍTULO XV 
GAUSS DEMONSTRA O 
TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA 
Quem foi o maior matemático de todos os tempos? 
Levantar esta interessante pergunta é tão inevitável quanto impossível é dar 
a ela uma resposta absoluta. Afinal, como comparar matemáticos que, por terem 
vivido em épocas distintas, herdaram de seus antecessores níveis totalmente 
diferentes de conhecimentos acumulados, a partir dos quais puderam realizar seus 
trabalhos? E ninguém menos do que o próprio Newton declarou, certa vez, com 
excessiva modéstia mas com grande propriedade: "Se enxerguei mais longe foi. 
porque me apoiei sobre ombros de gigantes". Portanto, qualquer avaliação relativa 
que se deseje fazer dos talentos dos grandes matemáticos jamais poderá 
ultrapassar os limites da subjetividade e, assim, estará exposta às mais diversas 
críticas e contestações. Apesar disto, é tentador conjecturar sobre o tema e vamos 
fazê-lo sob todos os riscos. É opinião predominante no mundo científico que Isaac 
Newton foi o maior intelecto já produzido pela Humanidade em razão daquilo que 
fez, conjuntamente, nos campos da Matemática e da Física. Entretanto, 
considerada isoladamente sua monumental obra matemática, ele pode ter sido 
igualado ou mesmo superado por dois outros gigantes: Arquimedes, que viveu no 
século m A.C., e o alemão Carl Friedrich Gauss (1.777-1.855), visto por muitos 
como o maior matemático de todos os tempos. 
Rivalizar com o sábio inglês no campo da Matemática é privilégio de 
pouquíssimos mas o que será relatado sobre Gauss demonstra que o alemão 
realmente dispunha de credenciais para tanto embora, em seu modesto julgamento 
113 
114 O Romance das Equações Algébricas Cap. XV 
pessoal, tenha sempre se considerado abaixo de Newton e Arquimedes. Carl 
Friedrich Gauss nasceu em Brunswick em 1. 777, filho de um rude trabalhador 
braçal que, mesmo sendo uma pessoa honesta e dedicada à farm1ia, não conseguia 
compreender os anseios intelectuais do filho . Felizmente, para este e para o 
mundo, sua mãe, Dorothea, malgrado a pequena escolaridade, era uma mulher de 
grande lucidez e não poupou esforços para que o menino tivesse o desejado acesso 
aos estudos. 
Quando falamos da genialidade de Newton, comparâmo-lo, com 
propriedade, a Mozart, em razão da inspiração divina de que ambos pareciam ser 
dotados. Entretanto, se a precocidade for levada em conta, o verdadeiro Mozart da 
Matemática foi Gauss, cujos feitos na mais tenra infância tornaram-se lendários. 
Aos 3 anos de idade já corrigia as desastradas contas feitas pelo pai. Aos 9, tendo 
o professor ordenado à classe que somasse os números de 1 a 50, observou que
1+50, 2+49, 3+48, etc., totalizavam sempre 51. Como o número de tais pares era
25 (com 50 números, formam-se 25 pares), a soma procurada era 51 x 25 = 1275
produto que, aliás, calculou de cabeça.
Aos 12 anos discutia os axiomas dos Elementos, aos 13 percebeu que o 
postulado das paralelas poderia ser formulado diferentemente do que o fizera 
Euclides ( anos mais tarde pesquisou profundamente a matéria e incursionou 
bastante no território das geometrias não euclidianas), aos 15 elaborou a primeira 
demonstração rigorosa do teorema geral das potências binomiais, coisa que 
Newton descobrira mas não provara satisfatoriamente. 
Estas proezas não tardaram a chegar aos ouvidos do Duque de Brunswick, 
Ferdinand, que passou a custear os estudos de Gauss nas melhores escolas até seu 
doutoramento, gesto pelo qual o matemático demonstrou sempre a maior gratidão. 
Como se não bastassem seus excepcionais dons matemáticos, Gauss era 
também um prodígio lingüistico, analogamente a Euler, dominando com 
facilidade um grande número de idiomas. Aliás, até sua entrada na Universidade 
de Gõttingen, aos 18 anos, ainda não optara entre a Matemática e a Filologia 
somente vindo a fazê-lo por um acontecimento ocorrido em 29/05/1.795 e que 
hoje é considerado um marco histórico: naquele dia Gauss demonstrou como 
construir, com régua e compasso, um polígono regular de 17 lados, coisa 
insuspeitada desde a Grécia Clássica. E foi mais além: provou que aquelas 
construções são possíveis quando os números dos lados dos polígonos são primos 
da forma 2 2" + 1 , de modo que são também construtíveis com régua e compasso 
116 O Romance das Equações Algébricas Cap. XV 
Ilustração /5./: Carl Friedrich Gauss - 1.777-1.855 (Mary Evans Picture Library). 
Quando se estuda a obra matemática da Gauss tem-se a sensação de que em 
todos os campos onde atuou ele não apenas fez o melhor possível mas, também, 
nada deixou para que outros, no futuro, viessem a superá-lo. Assim, por exemplo, 
aconteceu com seu doutoramento, aos 21 anos, em 1.799, quando apresentou o 
que ainda hoje é considerado a maior tese de doutorado em Matemática de todos 
os tempos. Ela nos interessa diretamente por ser o mais importante dos alicerces 
da teoria das equações algébricas e é conhecida como o Teorema Fundamental da 
Álgebra (denominação dada pelo próprio Gauss). Este teorema afirma que toda 
equação polinomialde coeficientes reais ou complexos tem, no campo 
complexo, pelo menos uma raiz. 
Desde os tempos de Cardano suspeitava-se que, por exemplo, as equações 
do 3° grau tinham 3 raízes, as do 4° grau 4 e assim por diante. Quando Euler 
demonstrou que qu 
se estava muito p1 
raízes das equaçõc 
enunciar que elas t 
lo. 
O mais famo: 
le Rond d' Alembe 
uma prova do refei 
Teorema de d'Al 
inteligência e ale� 
sociedade francesa 
humilde. Filho ile 
d' Alembert foi aba 
Jean le Rond, pró:x 
orfanato para, algi 
conhecimento de q 
por eles abandonad 
seu país, vez ou ou 
valor, fraqueza que 
teve que vencer m 
característica, que 
temporariamente e 
divergência em tor 
de uma corda tet 
amadurecido pela , 
ao Imperador Fredi 
desde longa data, q 
matemático oficial , 
A obra de d')
e inspirou uma lon� 
Laplace, Legendre 
perplexidade pelo 
demonstração inq1 
adicionalmente, o 
d' Alembert anos ar 
certo em suas afirm 
216 O Romance das Equações Algébricas Cap. XXlll
relação ao tamanho da Terra, consegue-se ver o que acontece ( como o Sol estámuito distante, seus raios podem ser considerados paralelos).
. . 
.
.. . 
. �e ... 
• .l- ... . 
. . . 
. · .. .. 
figura 23.2 
Lu�do Sol 
Luz do Sol 
É fácil ver que o ângulo que o raio do Sol faz com a vertical em Alexandriaé exatamente o ângulo, sobre um círculo máximo da Terra, entre Alexandria eSiena. Pela projeção da sombra, Eratóstenes não teve dificuldades em calcular que
0 era aproximadamente 7°, ou seja, cerca de 1/50 dos 360° abrangidos pelocírculo. Portanto, a circunferência da Terra deveria ser mais ou menos 50 vezes adistância entre Alexandria e Siena. 
Conta a tradição que Eratóstenes pagou a um escravo para que, a pé,medisse aquela distância que, multiplicada por 50, conduziu aos 40.000Km hojeconhecidos, com um erro de apenas 10%.
O Novo Dicionário da Língua Portuguesa, de Aurélio Buarque de HolandaFerreira, dá a seguinte definição para a palavra Elegância:
É impossível ir 
nosso planeta ... 
O grande Eraté 
de números primos, 1 
doença infecciosa ( e 
olhos, cegando-o. Pri 
4. Arquim
Arquimedes, 
indiscutivelmente o 
como o alemão Fefu 
3 maiores matemáti, 
de um astrônomo, J 
até retomar a sua cic 
Como Newto 
empregando seus ci 
máquinas. Na Físic 
ponto de apoio e 
enunciado o princíI 
seu nome (Todo co1 
para cima igual ao 
descobriu quando n 
saber se o ourives d 
ouro que confeccio 
correndo pelas ruas 
encontrava durante 
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