Função Logarítmica e Cálculos

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Moderna PLUS MATEMÁTICA
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Parte II
Capítulo 9 Função logarítmica 
PAIVA
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1 MANOEL 
PAIVA
TEXTO COMPLEMENTAR
Técnica para o cálculo aproximado 
de um logaritmo neperiano
O valor de ln 5 é a área S limitada pelo eixo Ox e pelo gráfico da função 
f (x) 5 1 __ x , para 1 < x < 5.
1 5 x
y
Uma técnica para obter uma aproximação da área S é subdividir o intervalo 
[1, 5] em intervalos menores, de preferência de mesmo comprimento, e construir 
trapézios cujas bases liguem os extremos desses intervalos ao gráfico da função 
 f (x) 5 1 __ x . Por exemplo, subdividindo o intervalo [1, 5] em quatro intervalos de mesmo 
comprimento e construindo os trapézios, temos:
1 2 3 4 5
1
1
21
3
1
4
1
5 0 x
y
Embora a soma T das áreas desses quatro trapézios seja um pouco maior que 
a área S sombreada, já temos uma boa aproximação dessa área. Calculando T, 
chegamos a:
T 5 
 @ 1 1 1 __ 
2
 # 3 1
 __________ 
2
 1 
 @ 1 __ 
2
 1 1 __ 
3
 # 3 1
 ___________ 
2
 1 
 @ 1 __ 
3
 1 1 __ 
4
 # 3 1
 ___________ 
2
 1 
 @ 1 __ 
4
 1 1 __ 
5
 # 3 1
 ___________ 
2
 5 1,68333...
Para ter uma ideia da precisão desse método, o valor de ln 5 com nove 
casas decimais é 1,609437912. Portanto, com quatro subdivisões do intervalo 
[1, 5], obtivemos a certeza da parte inteira (1) e da primeira casa decimal (6) 
do ln 5. Se aumentarmos o número de subdivisões do intervalo [1, 5], vamos 
nos aproximar mais do ln 5. Por exemplo, com quarenta subdivisões de [1, 5], 
em intervalos de comprimentos iguais, a soma das áreas dos trapézios passa a 
1,6098, aproximadamente.
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PAIVA
Exercício proposto
1 Nos itens a seguir, está representada a função f : VR1 p V definida por 
f (x) 5 1 __ x .
a) Calcule a área da região sombreada, com 1 < x < 8, sabendo que 
ln 2 5 0,693.
b) Calcule a área da região sombreada, com 2 < x < 3, sabendo que 
ln 2 5 0,693 e ln 3 5 1,099.
1 8 x
y
f
2 3 x
y
f
Em vez de usar trapézios para aproximar a área sob a curva, também podemos 
usar retângulos, como os das figuras abaixo.
1 2 3 4 5 x
y
� gura 1
1 2 3 4 5 x
y
� gura 2
A soma q das áreas dos quatro retângulos sob a curva da figura 1 é menor que ln 5, e a 
soma Q das áreas dos quatro retângulos da figura 2 é maior que ln 5. Assim, temos:
q , ln 5 , Q
Generalizando, se efetuarmos n subdivisões de [1, 5], a soma qn das áreas dos 
n retângulos sob a curva, como na figura 1, será menor que ln 5, e a soma Qn das 
áreas dos n retângulos, como na figura 2, será maior que ln 5. Então teremos:
qn , ln 5 , Qn
Aumentando n indefinidamente, vamos nos aproximar tanto quanto quisermos 
do ln 5.
A ideia de calcular a área sob a curva foi usada pelo cientista inglês Isaac Newton 
(1642-1727) na criação do Cálculo Diferencial e Integral, um dos mais admiráveis 
trabalhos intelectuais da história da humanidade.
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TEXTO COMPLEMENTAR
Tabela dos logaritmos decimais
John Napier publicou em 1614 seu sistema de logaritmos, resultado de vinte 
anos de estudo. Um ano mais tarde, Napier recebeu a visita do matemático inglês 
Henry Briggs, um entusiasta admirador da teoria dos logaritmos. Nesse encontro, 
Briggs sugeriu a base dez para uma tabela de logaritmos. Napier concordou com a 
sugestão, deixando a cargo de Briggs a construção da tabela.
R
EP
R
O
D
U
Ç
Ã
O
 Tabela de 
logaritmos 
decimais 
publicada por 
Henry Briggs 
em 1624.
A propriedade básica utilizada por Briggs para a construção da tabela foi a 
seguinte: 
“A média geométrica de dois números positivos distintos, a e b, está entre esses 
números”, ou seja:
{a, b} - VR1 e a , b ] a , dlll ab , b (I)
Para calcular log 2, por exemplo, Briggs partiu da desigualdade:
1 , 2 , 10
Por (I), temos 1 , dlllll 1 3 10 , 10, ou seja, 1 , dlll 10 , 10.
Mas, como dlll 10 . 2, podemos escrever:
1 , 2 , dlll 10 
Repetimos então o procedimento. Por (I), temos 1 , dllllll 1 3 dlll 10 , dlll 10 , ou seja, 
1 , 4 dll 10 , dlll 10 . Mas, como 4 dll 10 , 2, podemos escrever:
 4 dll 10 , 2 , dlll 10 
Repetimos o procedimento. Por (I), temos 4 dll 10 , dllllllll 4 dll 10 3 dlll 10 , dlll 10 , ou seja, 
 4 dll 10 , 8 dlll 103 , dlll 10 . Mas, como 2 , 8 dlll 103 , podemos escrever:
 4 dll 10 , 2 , 8 dlll 103 
Vamos interromper, por um momento, as repetições do procedimento e obter 
uma aproximação para log 2. Pela última desigualdade, chegamos a:
log 4 dll 10 , log 2 , log 8 dlll 103 ] 1 __ 
4
 , log 2 , 3 __ 
8
 ,
ou seja, 0,250 , log 2 , 0,375
Obtivemos assim uma aproximação para log 2. Repetindo o procedimento mais 
algumas vezes, chegamos a 0,300 , log 2 , 0,305, o que já dá certeza sobre duas 
casas decimais para log 2. Quanto mais repetições do procedimento, mais casas 
decimais corretas serão obtidas para log 2.
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