9_descobrindo_e_aplicando_mat_leonardoportal

Prévia do material em texto

ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO
PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO
9ano
O
Descobrindo e aplicando a
MATEMMATEMMATEMMATEMMATEMMATEMAAAAAATITITITITITICACACACACACACACACACACACA
Descobrindo e aplicando aDescobrindo e aplicando aDescobrindo e aplicando a
Matemática
MANUAL DO PROFESSOR
Ensino
Fundamental
selinho_obras_aprovadas_10mai13_.indd 6 10/05/13 16:43
9!BMM@L>:PXTRPU!
ISBN 978 85-7319-531-6
 Ouviram do Ipiranga as margens plácidas
De um povo heroico o brado retumbante,
E o sol da Liberdade, em raios fúlgidos,
Brilhou no céu da Pátria nesse instante.
 Se o penhor dessa igualdade
Conseguimos conquistar com braço forte,
 Em teu seio, ó Liberdade,
Desafi a o nosso peito a própria morte!
 Ó Pátria amada,
 Idolatrada,
 Salve! Salve!
Brasil, um sonho intenso, um raio vívido
De amor e de esperança à terra desce,
Se em teu formoso céu, risonho e límpido,
A imagem do Cruzeiro resplandece.
Gigante pela própria natureza,
És belo, és forte, impávido colosso,
E o teu futuro espelha essa grandeza.
 Terra adorada,
 Entre outras mil,
 És tu, Brasil,
 Ó Pátria amada!
Dos fi lhos deste solo és mãe gentil,
 Pátria amada,
 Brasil!
Deitado eternamente em berço esplêndido,
Ao som do mar e à luz do céu profundo,
Fulguras, ó Brasil, fl orão da América,
Iluminado ao sol do Novo Mundo!
 Do que a terra mais garrida
Teus risonhos, lindos campos têm mais fl ores;
 “Nossos bosques têm mais vida”,
“Nossa vida” no teu seio “mais amores”.
 Ó Pátria amada,
 Idolatrada,
 Salve! Salve!
Brasil, de amor eterno seja símbolo
O lábaro que ostentas estrelado,
E diga o verde-louro desta fl âmula
– Paz no futuro e glória no passado.
Mas, se ergues da justiça a clava forte,
Verás que um fi lho teu não foge à luta,
Nem teme, quem te adora, a própria morte.
 Terra adorada,
 Entre outras mil,
 És tu, Brasil,
 Ó Pátria amada!
Dos fi lhos deste solo és mãe gentil,
 Pátria amada,
 Brasil!
Hino Nacional
 Letra: Joaquim Osório Duque Estrada 
 Música: Francisco Manuel da Silva
M
A
TE
M
M
A
TE
M
M
A
TE
M
M
A
TE
M
M
A
TE
M
M
A
TE
M
M
A
TE
M
M
A
TE
M
M
A
TE
M
AAAAAAAAA
TITITITITITITITITI
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
C
A
De
sco
br
ind
o e
 a
pli
ca
nd
o a
9an
oO
E
n
si
n
o
 F
u
n
d
am
en
ta
l
M
at
em
át
ic
a
dimensao_matematica_9ano.indd 1-3 5/13/13 5:17 PM
ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO 
•	 Bacharel, licenciado e especialista em Matemática pela UFMG. Atuou como: chefe dos Departamen-
tos de Matemática do Centro Pedagógico, do Colégio Universitário e do Instituto de Ciências Exatas 
da UFMG; coordenador da área de Matemática do Projeto de Inovação Curricular e Capacitação de 
Docentes do Ensino Fundamental da Secretaria Estadual de Educação do Estado de Minas Gerais; 
coordenador da área de Matemática do Projeto de Correção do Fluxo Escolar para o Ensino Funda-
mental da Secretaria Estadual de Ensino do Estado da Bahia; e membro da equipe de consultores do 
Projeto de Capacitação de Professores de Ensino Médio da Rede Estadual de Ensino de Minas Gerais.
PAULO ANTÔNIO FONSECA MACHADO
•	 Bacharel e mestre em Matemática pela UFMG, doutor em Matemática pela Unicamp/UFBA. Atualmente 
é professor associado do Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exatas da UFMG, do 
qual foi chefe em vários mandatos.
1ª edição, Belo Horizonte, 2012
ALCEU DOS SANTOS MAZZIEIRO
PAULO ANTôNIO FONSECA MAChADO
9ano
O
Descobrindo e aplicando a
MATEMATICA
Ensino
FundamEntal
Descobrindo e aplicando a
matemática
manual do proFEssor
INICIOCap9_NOVA2012.indd 1 10/05/13 19:32
Copyright © 2004 by Alceu dos Santos Mazzieiro
 Paulo Antônio Fonseca Machado
Fundadores 
Gilberto Gusmão de Andrade
Zélia Almeida
Diretora editorial 
Zélia Almeida
Editor 
Maurício Bouissou
Editor de arte 
Jan Deckers
Coordenadora de produção 
Ana Gabriela
 
Assistente editorial
Rúbia Calais
PRODUÇÃO EDITORIAL 
Projeto gráfico/Capa 
Reginaldo Almeida
Ilustrações 
 Júlia Bianchi, Son Salvador e Duke
 desenho técnico: Sérgio Pessoa, Tuim,
 Nivaldo Marques e Carlos Jorge
PRODUÇÃO GRÁFICA
Editoração eletrônica 
Tuim
Pré-impressão 
Tuim
Todos os os direitos reservados à
EDITORA DIMENSÃO
Rua Rosinha Sigaud, 201 - Caiçara
Telefax: (31) 3527-8000 
30770-560 - Belo Horizonte (MG) 
www.editoradimensao.com.br
 M477d Mazzieiro, Alceu dos Santos
 Descobrindo e aplicando a matemática; 
9º ano / texto de Alceu dos Santos Mazzieiro e 
Paulo Antônio Fonseca Machado;
— Belo Horizonte: Dimensão, 2012.
 304 p. il. – (6º ao 9º ano do ensino 
fundamental – Matemática)
 ISBN - 978 - 85 - 7319 - 502 - 6 (LA)
 ISBN - 978 - 85 - 7319 - 531 - 6 (LP)
1.Matemática-ensino fundamental. I.Machado, 
Paulo Antônio Fonseca. II.Título. III.Série.
 
CDU 51(075.2)
Ficha elaborada por Rinaldo de Moura Faria CRB/6 nº 1006
2012 
INICIOCap9_NOVA2012.indd 2 10/05/13 19:32
Estudante,
 Este livro foi elaborado para que você converse bastante na aula de 
Matemática. Calma, não estamos dizendo para você perturbar o ambiente. 
Nada disso. A conversa a que nos referimos tem a ver com os exercícios 
e atividades aqui propostos, que vão estimular você a participar da aula o 
tempo todo, sozinho ou em grupo.
De que maneira? Fácil: respondendo perguntas, resolvendo e inventando 
problemas ligados ao dia a dia, montando e desmontando objetos, fazendo 
contas com a calculadora, interpretando ou fazendo gráficos, desenhando 
figuras ou interpretando desenhos de figuras, discutindo como resolver ou 
inventar problemas, descobrindo propriedades dos números e das figuras. 
Sobretudo, aplicando suas descobertas em problemas da vida prática e em 
situações relacionadas com as outras matérias que você estuda.
Você verá como a aula de Matemática se torna agradável com a parti-
cipação de todos.
Uma última recomendação: crie o hábito de, assim que chegar em casa, 
fazer os exercícios marcados pelo professor. Principalmente por dois moti-
vos: o primeiro, porque ainda estão em sua memória os assuntos estudados 
em aula, e o segundo porque, ao deixar para depois, imprevistos podem 
impedi-lo de resolver os exercícios. E esses são muito importantes para o 
complemento de sua aprendizagem.
Um abraço,
os autores.
INICIOCap9_NOVA2012.indd 3 10/05/13 19:32
Como você vai usar o livro
 
Este livro é formado de nove capítulos e um glossário. Cada um dos 
sete primeiros capítulos é dividido em cinco partes, que têm os títulos em 
destaque a seguir, bem como seus conteúdos e objetivos descritos.
O capítulo 8 visa uma revisão dos assuntos estudados e o capítulo 9 
contém atividades complementares a cada um dos sete primeiros capítulos.
O glossário que se vê após o capítulo 9 permite a você rever os signi-
ficados de termos usados no livro ou conhecer os significados de novos 
termos, principalmente ligados ao dia a dia.
TÍTULOS DAS CINCO PARTES DOS SETE PRIMEIROS CAPÍTULOS: 
EXPLORANDO O QUE VOCÊ JÁ SABE
Perguntas sobre assuntos que você já sabe e que são importantes para 
o estudo que se inicia.
APRENDENDO EM SALA DE AULA
Diversos exercícios e atividades em sala de aula, que você vai fazer so-
zinho ou, na maioria das vezes, em grupo, sempre orientado pelo professor 
ou pela professora.
APRENDENDO EM CASA
Exercícios e atividades para você resolver em casa. Nunca deixe de fazê-
-los. Você e seus colegas vão apresentar e discutir as soluções na aula 
seguinte.
EXPLORANDO O QUE VOCÊ APRENDEU E APRENDENDO MAIS
Exercícios e atividades propostos no fim de cada capítulo como revisão 
e, principalmente, aplicação do que você aprendeu em problemas práticos.
VERIFIQUE SE VOCÊ APRENDEU
Lista de assuntos estudados no capítulo e números dos exercícios cor-
respondentes. Essa lista é muito importante para que você reveja o estudo, 
descobrindo se aprendeu todos os assuntos, ou, caso contrário, voltando 
aos exercícios correspondentes e estudando-os novamente.
 
INICIOCap9_NOVA2012.indd 4 10/05/13 19:32
Aos pais
Não faz muito tempo era bastante comum as pessoas terem aversãoa Matemática. Motivo 
havia de sobra, basta reparar nas maneiras como se ensinava: exercícios sem qualquer aplicação 
prática, relacionados apenas e tão somente com a própria disciplina, davam a sensação de que 
havia dois mundos, o da Matemática e aquele em que vivemos.
Felizmente, os estudos sobre Educação Matemática e alguns documentos oficiais, como os 
Parâmetros Curriculares Nacionais, estão contribuindo de maneira decisiva para uma nova visão.
É com base principalmente nesses textos e documentos que propomos uma Matemática agra-
dável, participativa e voltada para todos os contextos do nosso dia a dia. Este livro é feito para 
que seus filhos sejam preparados para os desafios do mundo atual, no qual, todos sabemos, as 
transformações ocorrem de forma cada vez mais veloz. Essas rápidas transformações requerem 
de cada um de nós capacidade de decidir sobre situações novas, criatividade, compreensão das 
diversas linguagens, além de coragem e competência para o exercício da cidadania.
Para que a aprendizagem de seu filho seja a mais eficiente possível, é necessário que vocês 
colaborem acompanhando os estudos dele em casa, discutindo as atividades propostas (nunca 
as resolvendo) e participando do projeto pedagógico da Escola.
Por fim, justificamos com um exemplo cotidiano por que Matemática se deve aprender fa-
zendo. Para entender, observe a reação de uma criança bem pequena que “briga” para tomar 
a colherzinha da mão de quem a alimenta. Quando consegue, ela começa a levar a colherzinha 
ao nariz, à testa, até acertar a boca. E daí em diante não admite mais ser alimentada por outra 
pessoa. Ou seja, ela quer “resolver o problema” sozinha.
Esta criança nos ensina, assim, que desde os primeiros meses de idade o ser humano apre-
senta como característica essa vontade, essa necessidade de aprender fazendo, em vez de 
esperar que alguém faça por ele.
Um abraço,
os autores.
INICIOCap9_NOVA2012.indd 5 10/05/13 19:32
CapItulo 1 - Os números reais
Conhecendo um pouco mais sobre números ........................... 11
Calculando com números reais ................................................. 26
Coordenadas e aplicações ....................................................... 33
Verifique se você aprendeu ....................................................... 40
CapItulo 2 - Matemática financeira
Porcentagem, principal e taxa ................................................... 43
Aumentos e descontos percentuais – comissões ...................... 46
Calculando juros simples e juros compostos ............................. 50
Verifique se você aprendeu ....................................................... 60
CapItulo 3 - Calculando com letras e com números
Monômios e polinômios ............................................................ 63
Calculando com monômios e polinômios .................................. 76
Produtos notáveis ..................................................................... 82
Usando e deduzindo fórmulas .................................................. 86
Funções, fórmulas, tabelas e gráficos ....................................... 88
As funções e seus gráficos cartesianos .................................... 97
Verifique se você aprendeu ....................................................... 106
SumArio
-
-
-
-
INICIOCap9_NOVA2012.indd 6 10/05/13 19:32
CapItulo 4 - Equações e sistemas de equações
Resolvendo equações e problemas .......................................... 109
Resolvendo sistemas de equações e problemas ....................... 115
As expressões fatoradas e as equações ................................... 122
Resolvendo equações do segundo grau ................................... 127
Verifique se você aprendeu ....................................................... 136
CapItulo 5 - Proporcionalidade e trigonometria
Semelhança – Revendo e ampliando conhecimentos ............... 139
Semelhança e os triângulos retângulos ..................................... 143
As razões trigonométricas ......................................................... 147
Verifique se você aprendeu ....................................................... 160
CapItulo 6 - Descobrindo e explorando 
 propriedades das figuras geométricas
Desenhando, descobrindo e usando propriedades
de figuras geométricas .............................................................. 163
Recordando e descobrindo outros fatos sobre polígonos ......... 169
Ângulos na circunferência ......................................................... 173
As circunferências e os polígonos ............................................. 182
Atividades opcionais: Semelhança na circunferência ................. 191 
Verifique se você aprendeu ....................................................... 194
-
-
-
INICIOCap9_NOVA2012.indd 7 10/05/13 19:32
CapItulo 7 - Estatística, amostras e probabilidades
Um pouco mais sobre Estatística .............................................. 197
Probabilidades, amostras e Estatística ...................................... 213
Verifique se você aprendeu ....................................................... 218
CapItulo 8 - Revendo e aprendendo mais
Calorias, anos-luz e altitudes .................................................... 221
Explorando medidas ................................................................. 223 
Áreas, comprimentos e distâncias ............................................ 226
Salada de problemas ................................................................ 228
As razões trigonométricas e as áreas ........................................ 233
Os expoentes fracionários e os radicais .................................... 238
Quocientes e produtos de expressões literais ........................... 243
 
CapItulo 9 - Atividades complementares
Atividades complementares do capítulo 1 ................................. 249
Atividades complementares do capítulo 2 ................................. 253
Atividades complementares do capítulo 3 ................................. 256
Atividades complementares do capítulo 4 ................................. 272
Atividades complementares do capítulo 5 ................................. 278
Atividades complementares do capítulo 6 ................................. 281
Atividades complementares do capítulo 7 ................................. 286
Glossário .................................................................................. 295
Sugestões de leituras e sites para os alunos ............................. 303
-
-
-
INICIOCap9_NOVA2012.indd 8 10/05/13 19:32
CapItulo 1
-
Os números reais
M
ar
bo
 | 
D
re
am
st
im
e.
co
m
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 9 10/05/13 19:34
Neste capítulo, você vai aprender como:
• Identificar números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
• Identificar números reais como racionais ou irracionais.
• Representar números racionais como dízimas periódicas.
• Escrever dízimas periódicas como frações.
• Representar números reais na reta numerada.
• Interpretar expoentes negativos e seu uso particular nas potências de base 10.
• Simplificar escrita de números usando produtos por potências de dez.
• Calcular raízes quadradas aproximadas de números reais.
• Resolver problemas relacionados com os conceitos de porcentagem, principal e taxa.
• Resolver problemas relacionados com juros simples e juros compostos.
• Resolver problemas de proporcionalidade inversa e proporcionalidade composta.
• Calcular ou simplificar radicais usando fatoração.
• Localizar pontos no plano cartesiano usando pares ordenados de números reais: 
suas coordenadas.
• Identificar: eixos cartesianos, plano cartesiano, quadrantes, abscissas e ordenadas.
• Construir figuras simétricas no plano cartesiano.
• Identificar figuras simétricas no plano cartesiano.
• Construir polígonos no plano cartesiano,dadas as coordenadas de seus vértices.
Ao lado, explicita-
mos os objetivos gerais 
do capítulo. Sugerimos 
um breve comentário 
sobre os mesmos, uti-
lizando as ilustrações 
da página.
Observação im-
portante: Sempre que 
possível, em todas as 
seções deste e outros 
capítulos proponha 
atividades coletivas 
aos alunos, explorando 
situações-problema 
que propiciem diversos 
procedimentos como 
analisar, interpretar, 
discutir, argumentar, 
formular hipóteses, 
planejar estratégias 
de resolução, apli-
car as estratégias na 
resolução, explicitar 
verbalmente a estraté-
gia utilizada, verificar 
e validar resultados. 
Explorar também o 
uso de exemplos, con-
traexemplos, desco-
bertas de diferenças, 
descobertas de seme-
lhanças.
Ao início de cada 
seção, esclareça as 
principais razões de 
se estudarem os temas 
das mesmas. 
–2 –1 0 +1 +2 +3
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
–1
(g)
0 +1
–0,7 (h) (i) +0,3 (j) (l)
1º quadrante2º quadrante
4º quadrante3º quadrante
y
x0x
y
A (3,4)A’ (–3,4)
B (–4,–2) B’ (4,–2)
R (3,2)
y
x
R’ (3,–2)
Q (–1,3)
P (–2,1)
P’ (–2,–1)
Q’ (–1,–3)
Professor(a): Neste e em outros capítulos, são exploradas diversas situações para que os alunos “descubram”, a partir de casos particulares, propriedades de 
números, de figuras, regras de cálculos etc. É extremamente importante que, após estas “descobertas”, sejam feitas observações afirmando que tais conclusões 
são verdadeiras (e, eventualmente, provar estes fatos) para que não fique a falsa ideia de que, a partir de poucos casos particulares, é possível generalizar. Sempre 
que possível, use expressões algébricas para expressar tais generalizações, bem como algumas regularidades relacionadas com sequências númericas.
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 10 10/05/13 19:34
11
•	 Quais são os números naturais entre 18 e 25?
•	 Quais são os números inteiros negativos entre –9 e –1?
•	 Quais são os números inteiros positivos entre +4 e +11?
•	 Toda fração representa número natural?
•	 Se uma fração representa o número natural 3, o que se pode dizer do numerador e 
do denominador dela?
Recado ao(à) profes sor(a): 
Aproveitamos este espaço para 
comunicação direta entre nós. Nele, 
fazemos diversas observações e 
sugestões.
Todas as atividades que iniciam 
os estudos dos temas têm, como 
título, “Explorando o que você já 
sabe” e devem ser respondidas 
oralmente pelos alunos. Quando 
julgar necessário, explore mais as 
situações com outras perguntas. 
Procure verificar se todos os alu-
nos compreendem os significados 
dos termos nelas usados.
Sempre que possível, crie 
situações semelhantes no quadro 
e explore-as.
ATIVIDADES ORAIS
•	 19,	20,	21,	22,	23,	24.
•	 –8,	–7,	–6,	–5,	–4,	–3,	–2.
•	 +5,	+6,	+7,	+8,	+9,	+10.
•	 Não.
•	 O	 numerador	 é	 o	 triplo	 do	
denominador.
Peça a um aluno que leia cada 
item com marcadores e, após cada 
um, dê e peça exemplos de: con-
junto união, conjunto interseção, 
subconjunto, números racionais na 
forma de fração, na forma decimal 
finita ou periódica, simplificação 
de frações e frações irredutíveis.
Explore também os exemplos 
dos dois significados diferentes 
do “ou”.
1º.) Na linguagem corrente, se o 
professor diz: “amanhã, tragam 
um jornal ou uma revista”, está 
dando uma opção para que cada 
um traga ou um jornal, ou uma 
revista. Este “ou” é chamado 
de “ou exclusivo”: deve ser 
entendido como “ou... ou”, não 
obrigando às duas condições 
serem satisfeitas ao mesmo 
tempo. 
2º.) Na linguagem matemática, 
se dizemos: “conjunto união de 
dois conjuntos A e B é o conjun-
to cujos elementos pertencem a 
A ou a B”, devemos entender 
que, se um elemento pertence a 
um único dos dois conjuntos ou 
se pertence a ambos, pertence 
também ao conjunto união dos 
dois. Este “ou” é chamado “ou 
inclusivo” e tem o significado 
de “ou” e de “e” ao mesmo 
tempo. Se necessário, explore 
mais exemplos.
 Neste ano, vamos retornar a vários conceitos já estudados, com uma 
abordagem um pouco mais precisa. Inicialmente, recordaremos fatos 
sobre conjuntos, lembrando que, no nível da Matemática que estudamos 
aqui, os conjuntos têm como elementos, principalmente, números ou 
figuras geométricas. 
Você já sabe que:
✓	Dados um elemento a e um conjunto C, ou a pertence a C, ou a não pertence a C, 
e se representam esses fatos assim, respectivamente: a  C ou a  C.
✓	 {a, b, c, d} se lê: conjunto cujos elementos são: a, b, c, d.
✓	 Se um elemento x pertence a, pelo menos, um de dois conjuntos A ou B, dizemos 
que ele pertence ao conjunto união de A e B, representado por A  B, que se lê 
A união B. 
✓	 Se um elemento pertence simultaneamente a dois conjuntos A e B, dizemos que 
ele pertence ao conjunto interseção de A e B, representado por A  B, que se lê 
A interseção B. 
✓	 Se todo elemento que pertence a um conjunto X pertence também a outro conjunto 
Y, dizemos que X é subconjunto de Y e escrevemos: XY 
✓	 0,	1,	2,	3,	4,	5,	6,	7,	8,	9,	10,	11,...	representam	os	números naturais.
✓	As frações cujos termos são números naturais representam números racionais 
 (lembre-se de que denominador não pode ser o zero).
✓	Entre todas as frações que representam um mesmo número racional, existe sempre 
uma cujos termos são primos entre si, chamada fração irredutível.
✓	Os números racionais também são representados por expressões decimais finitas ou 
periódicas. 
✓	Na prática, medir é verificar, fixada uma grandeza como unidade, quantas vezes ela, 
ou parte dela, está contida em outra grandeza de mesma espécie.
✓	Contar objetos de uma coleção é fazer corresponder a cada um dos objetos, suces-
sivamente, um único dos números naturais 1, 2, 3, 4,... até que, completada a cor-
respondência, se diz que a quantidade de objetos da coleção é expressa pelo último 
número natural utilizado na correspondência. 
Aprendendo em sala de aula
Explorando o que você já sabe
Conhecendo um pouco mais sobre números
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 11 10/05/13 19:34
12
Professor(a): para a se-
quência das atividades das 
aulas, recomendamos criar 
o hábito de ler as sugestões 
que faço, antes de explorar 
os exercícios cujos números 
das respostas são colocados 
posteriormente a essas su-
gestões, porque a maior parte 
delas ou reforça atividades 
anteriores, ou, principalmen-
te, prepara os alunos para as 
atividades seguintes.
Explore no quadro situa-
ções de medidas de segmen-
tos e como interpretá-las. 
Não se esqueça das divisões 
dos segmentos unitários em 
10 partes iguais, que per-
mitem obter medidas deci-
mais. Use réguas graduadas 
para facilitar as subdivisões. 
Explore, também, usando 
material concreto, medidas 
de áreas (por exemplo, de 
cartões, com um cartão uni-
dade), medidas de volumes 
etc. 
Lembre aos alunos que 
este livro é não consumível. 
Portanto, não devem escrever 
ou desenhar nas páginas dele, 
nem recortar qualquer figura.
1.	a)	A)	0,	2,	4,	6,	8;
	 	 B)	1,	3,	5,	7,	9;
	 	 D)	2,	3,	5,	7,	11;
	 	 E)	2,	4,	8,	16,	32;
	 	 F)	0,	5,	10,	15,	20;	
	 b)	1,	3,	5,	15;	
 c) 1º.) N;
	 	 2º.)	A;
	 	 3º.)	B;
 4º.) N;
	 d)1º.)	{0,	2,	4,	6}
 2º.) {múltiplos de 10} 
3º.) {2}
 4º.) D 
2.	a)	38;	
		 b)	22;
 c) 18 + 1 + 1 + 1 + 1 = 22 
(ou	18	+	4	=	22);
	 d)	n	+	1;
	 e)	Adição;	4	×	6;		
	 f)	 4	<	7	porque	7	=	4	+	3;	
 g) Porque 14 = 9 + 5.
Recorde: se a e b repre-
sentam	números,	a	×	b,	(a)(b)	
e a ∙ b representam o produto 
desses números.
 Uma noção intuitiva do que são números pode ser expressa assim: nú-
meros representam resultados de contagens ou de medidas. São usados 
para avaliar diferentes quantidades ou qualidades de uma grandeza. 
 Exemplificando:
 a) Ao contar os elementos de A = {a, b, c, d}, encontramos o número natural 4.
 Representamos o conjunto dos números naturais assim:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, … }
b) Ao medir segmentos usando um segmento dado como unidade de medida, é pos-
sível	obter	como	medida	números	racionais	como	5;	7;	13;	2,5;	 4
3
4
. Veja que os 
três primeiros números são números naturais, que também podem ser associadosa 
números racionais através das relações 5
5
1
7
7
1
, ,= = etc. 
 Resolvendo exercícios: 
1. No quadro a seguir, você vê vários conjuntos de números naturais:
A = { números naturais pares } E = {2n, n  , n ≠ 0}
B = { números naturais ímpares } F = {múltiplos de 5}
C = { 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 } G = {divisores de 15}
D = {números primos}
 Use os conjuntos do quadro acima e escreva em seu caderno:
 a) Os cinco primeiros números dos conjuntos A, B, D, E, F.
b) Todos os números do conjunto G.
c) O conjunto união de cada um dos pares de conjuntos a seguir: 
 1º.) A e B;							2º.) A e E;							3º.) B e G;							4º.) N e F.
d) O conjunto interseção de cada um dos pares de conjuntos a seguir: 
 1º.) A e C;							2º.) A e F;							3º.) A e D;							4º.) B e D.
2. Responda ou faça o que se pede:
a) O professor afirmou que o sucessor de 4 é 5,	o	sucessor	de	5	é	6,	o	sucessor	de	6	é	
7, e continuou... Qual número ele deve ter afirmado ser o sucessor de 37?
b) Qual número natural é o sucessor do sucessor do sucessor do sucessor de 18? 
c) Você conhece algum modo de responder à pergunta do item (b) fazendo uma ope-
ração? Qual seria ela?
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 12 10/05/13 19:34
13
3.	a)	4	<	11	e	7	<	11;
 b) A soma de dois números 
naturais diferentes de zero 
é maior que qualquer um 
deles.
4. a < c.
Se julgar conveniente, explore, 
dada uma implicação “P => Q”, 
como obter: sua recíproca (“Q 
=> P”), sua contrária (“não P => 
não Q”) e sua contrarrecíproca 
(“não Q => não P”), destacando o 
fato de que uma implicação e sua 
contrarrecíproca têm o mesmo 
“valor verdade” (ou ambas são V 
ou ambas são F). Estes e outros 
conceitos de lógica foram apre-
sentados no volume do oitavo ano, 
nas páginas 234 a 237. Site sobre 
lógica (muito prático):
h t t p : / / w w w . i m e . u s p .
br/~glaucio/textos/LogicaInic.
pdf. 
5.	a)	V;
	 b)	F;	contraexemplos:	qualquer	
diferença entre naturais cujo 
minuendo seja menor que o 
subtraendo;	
	 c)	V;	
 d) V.
Promova uma discussão sobre 
a frase relacionada com a inter-
pretação de medidas fracionárias 
do texto. Sugestões (usando o 
quadro): a) Explore medidas com 
denominadores 2, 4, 8 etc., usan-
do tiras de papel como unidade de 
medida e dobrando-as ao meio, 
depois novamente etc., obtendo 
partes fracionárias: metades, 
quartas partes etc. b) Explore 
medidas decimais usando régua 
graduada.
Recorde, usando a tabela desta 
página, como representar as medi-
das ou valores da segunda coluna 
usando números negativos, e, da 
quarta coluna, usando números 
positivos.
Explique ainda aos alunos 
que o nome “comensurável” 
quer dizer, na verdade, que os 
dois segmentos – o que vai ser 
medido, e o que serve como 
unidade, podem ser subdivididos 
em segmentos menores de mesmo 
tamanho. Por exemplo, no caso do 
primeiro exemplo citado, em que 
um segmento é 2,5 vezes maior 
que o escolhido como unitário, 
podemos tomar um terceiro seg-
mento v que seja a metade do 
unitário (ou seja, que mede ½), 
d) Se n representa um número natural, como você representa o sucessor de n?
e) Observe a expressão 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Qual o nome da operação que ela repre-
senta e como se representa esta expressão de outro modo, usando outra operação? 
 f) 7 é o sucessor do sucessor do sucessor de 4. Por isto se diz que 4 é menor que 7 
e se escreve: 4 < 7. Copie e complete em seu caderno: 4 < 7 porque 7 = 4 +...?...
g) Por que 9 é menor que 14? 
3. As frases “Se P, então Q” ou “P implica Q” significam a mesma coisa, 
e são chamadas de implicações. Em lógica matemática são expressas 
simbolicamente assim: “P  Q”. 
a) Copie em seu caderno a implicação a seguir e substitua o sinal de interrogação pelo 
sinal < ou > para obter uma implicação verdadeira:
 4 + 7 = 11  4 ...?... 11 e 7 ...?... 11
b) Escreva uma frase que traduza a relação entre dois números naturais diferentes de 
zero e a soma desses números.
4. Considere três números naturais representados por a, b e c, tais que 
a < b e b < c. O que você conclui sobre a e c?
5. Classifique como verdadeira ou falsa cada frase a seguir:
a) A soma ou o produto de dois números naturais é um número natural.
b) A diferença de dois números naturais é um número natural.
c) Dados dois números naturais a e b, ou a < b ou a = b ou a > b.
d) Dados três números naturais a, b e n, sendo n diferente de zero, se a < b, então 
a + n < b + n e a.n < b.n
 Medidas, números racionais e os segmentos comensuráveis
 Dizer que a medida de um segmento em relação a um segmento uni-
dade é 2,5 significa que o comprimento do segmento medido equivale 
a duas vezes o comprimento do segmento unidade, mais a metade 
deste (lembre que 0 5
1
2
, = ). 
 Pense! Como interpretar medidas como 4
3
4
 ou, também, 19
4
?
 Tanto para os segmentos dos exemplos anteriores, quanto para todos 
os casos em que é possível obter como medida números racionais, di-
zemos que o segmento unitário e o segmento medido são segmentos 
comensuráveis. 
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 13 10/05/13 19:34
14
 Grandezas no dia a dia e os novos números: os números inteiros
 Veja como diversas do dia a dia, envolvendo atividades com grandezas 
que variam em dois sentidos opostos, que você já teve oportunidade 
explorar, inspiraram a descoberta de novos números. 
 Vamos resumir algumas delas na tabela a seguir:
Altitudes 7 metros abaixo 
do nível do mar Ao nível do mar 104 metros cima 
do nível do mar
Valores 
monetários
Débitos: 
15 reais
Nem débito nem 
crédito
Créditos 
32 reais
Marcos de 
estradas
18 km antes do 
ponto de encontro
Ponto de encontro 
de duas vias (km 0)
19 km depois 
do ponto de 
encontro
Temperaturas 13 graus abaixo 
de zero grau 0 grau 32 graus acima 
de zero grau
 Na primeira reta da ilustração a seguir, você vê os números naturais 
que podem ser utilizados para representar partes inteiras das grandezas 
correspondentes aos valores vistos na última coluna da tabela anterior. 
 Na segunda reta, você vê pontos que correspondem aos novos núme-
ros descobertos que representam os valores inteiros da segunda coluna 
da tabela. Eles foram obtidos usando o mesmo segmento unidade da 
primeira figura, a partir do zero, na semirreta oposta à da primeira figura. 
Note que os números naturais passam a ter um sinal + antecedendo 
suas escritas, sendo também chamados de números inteiros positivos; 
os novos números, antecedidos do sinal –, são chamados de números 
inteiros negativos.
Segmento unitário
Segmento unitário
e vemos então que o segmento 
unitário mede 2, e o outro seg-
mento mede 5, em relação a v. 
Se, dados dois segmentos a e b, 
não existir nenhum segmento v 
tal que as medidas de a e b sejam 
números naturais em relação a 
v, então dizemos que estes seg-
mentos são “incomensuráveis”. 
Por exemplo: um segmento que 
mede √2 e outro que mede 1 são 
incomensuráveis. Voltaremos a 
este assunto mais adiante. Para 
aprofundar o assunto sugerimos 
ao professor o artigo “Grandezas 
incomensuráveis e números irra-
cionais” na Revista do Professor 
de Matemática 5, e os sites http://
www.ime.usp.br/~pleite/pub/
artigos/avila/rpm7.pdf e http:// 
143.54.226.61/	~vclotilde/publi-
cacoes/GRÁFICA-IRRACIO-
NAIS.pdf
Verifique se os alunos recor-
dam o conceito de semirretas 
opostas. Sugestão: no quadro, 
desenhe uma reta e 4 pontos A, 
B, C, D, nesta ordem, e explore: 
semirretas de origem B (uma 
que passa por A e outra por C e 
D;	semirretas	de	origem	C	etc.).	
Observação importante: neste 
e em outros capítulos exploramos 
situações para que os alunos 
“descubram”, a partir de casos 
particulares, propriedades de 
números, de figuras, regras de 
cálculos etc. Em algumas delas, 
deixamos clara a validade do fato 
explorado, seja demons-trando, 
seja afirmando que é possível 
demonstrar, seja utilizando uma 
ilustração de um professor afir-
mando, ou, até mesmo, dizendo: 
“os matemáticos provam que...”. 
Quando não o fazemos, é 
extremamente importante que, 
após estas “descobertas”, sejam 
feitas observaçõesafirmando que 
tais conclusões são verdadeiras 
(e, eventualmente, provar estes 
fatos) para que não fique a falsa 
ideia de que, a partir de poucos 
casos particulares, é possível 
generalizar.
Recomende ou explore a lei-
tura de:
“A invenção dos números” – 
(p.	35-46)
Oscar Guelli.
Coleção Contando a História 
da Matemática
Editora Ática.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
– 6 – 5 – 4 0– 1– 2– 3 + 1 + 5+ 4+ 3+ 2 + 6
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 14 10/05/13 19:34
15
 O número correspondente a cada ponto denomina-se abscissa do ponto 
e representa medida, em relação ao segmento unitário escolhido, do 
segmento com extremos na origem e no ponto, antecedida de sinal + 
ou –, de acordo com a semirreta à qual o ponto pertence a que contém 
o segmento unitário ou a semirreta oposta a esta. A abscissa também 
é chamada de coordenada do ponto.
 Os números inteiros negativos, o zero e os números inteiros positivos 
formam o conjunto dos números inteiros que se representa assim:
 
 = {...–6; –5; –4; –3; –2; –1; 0; +1; +2; +3; +4; +5; +6;...}
 Aplicando o que você aprendeu
6. Verdadeiro ou falso:
a) Todo número natural é um número inteiro. Justifique. 
b) Todo número inteiro é um número natural. Justifique.
c) O conjunto dos números naturais é um subconjunto do conjunto dos números inteiros.
d) Se um número é par, seu quadrado é par.
e) Se um número é ímpar, seu quadrado é ímpar.
f) Se o quadrado de um número é par, esse número é par.
g) Se o quadrado de um número é ímpar, esse número é ímpar.
7. Considere os seguintes conjuntos: 
A = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,... }, C = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... }
B = { –4, –3, –2, –1, 0 } D = { +1, +2, +3, +4 }
 a) Quais deles são subconjuntos do conjunto dos números naturais? 
b) Quais deles são subconjuntos do conjunto dos números inteiros?
c) Como se chamam os elementos dos conjuntos A e B? 
d) Represente um conjunto que seja subconjunto do conjunto A.
e) Quais desses 4 conjuntos são conjuntos finitos? Quais são conjuntos infinitos?
8. Diga como você representaria usando decimais:
a) 7,3 metros abaixo do nível do mar.
b) 18,25 km antes do ponto de encontro das duas estradas.
c) 13,7 graus abaixo de zero grau.
6. a)Verdadeiro porque o zero é 
natural e inteiro, e os outros 
números naturais correspon-
dem aos inteiros positivos 
(1	e	+1,	2	e	+2	etc.);	
 b) Falso. Contraexemplo: –8 
é número inteiro e não é 
número natural. 
	 c)	V;		
	 d)	V;
	 e)	V;
	 f)	 V;	
 g) V. 
Se julgar ao alcance dos alunos, 
demonstre a proposição do item 
(e)	 do	 exercício	 6	 e	 proponha	
que um aluno demonstre, no 
quadro, o item (d), ajudado pe-
los demais. Comece explorando 
as representações de naturais 
pares e ímpares nas formas 2n e 
2n + 1, respectivamente, sendo n 
um natural qualquer. Use o fato de 
que (2n + 1)2 = (2n + 1)(2n + 1), 
e a distributividade para concluir: 
(2n + 1)2 = 4n2 + 4n+1 = 2(2n2 + 2n) +1. 
Explore o fechamento da multiplica-
ção e da adição para concluir que este 
segundo membro representa número 
natural ímpar. 
Comente que negar as proposições 
(f) e (g) é contradizer as duas proposi-
ções	anteriores	que	demonstrou;	logo,	
a contradição leva a concluir que (f) e 
(g) são verdadeiras. 
Professor: Esclareça que um 
contraexemplo de uma afirmação 
é um exemplo que a contradiz, le-
vando à conclusão de que ela é uma 
afirmação falsa. Exemplifique: para 
verificar que o item (b) do exercício 
6	é	 falso,	basta	 exibir	 um	 inteiro	
negativo como contraexemplo, ou 
seja, um exemplo de que esta afir-
mação é falsa.
7.	a)	A,	B,	D;	
	 b)	A,	B,	C,	D;
 c) Números pares e números 
ímpares,	respectivamente;	
	 d)	Respostas	variadas;	
	 e)	C	e	D	são	conjuntos	finitos;	A	
e B são conjuntos infinitos.
Observação: No item 7 (e), 
exploramos uma ideia intuitiva 
de conjuntos finitos e conjuntos 
infinitos. Explore os dois fatos 
recíprocos: (a) a cada número 
natural n corresponde um número 
par 2n;	(b)	a	cada	número	par	2n 
corresponde um número natural n. 
Por isso dizemos que o conjunto 
dos números naturais é infinito. 
Diga que, em geral, se diz: “Um 
conjunto é infinito se pode ser 
estabelecida correspondência 
entre todos os elementos dele e os 
elementos de um subconjunto tam-
bém dele, sendo ambos diferentes, 
de modo que a cada elemento do 
conjunto corresponda exatamente 
um elemento do subconjunto e 
vice-versa” (correspondência 
biunívoca).
 
8.	a)	–7,3	m;		
	 b)	–18,25	km;	
 c) –13,7 graus.
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 15 10/05/13 19:34
16
9. Observe as retas numeradas a seguir. Responda ou faça o que se pede:
 
9.a)	Três	partes;	
	 b)	Cinco;
	 c)	5/3;	
	 d)	YZ;	a	abscissa	do	ponto	Z;	
	 e)	1/3,	7/3,	–3	e	–4/3;
f) À direita, porque:
				–4	=	–12/3<–11/3;	
 g) Para que cada uma destas 
partes	meça	0,1;	
	 h)	l:	–0,9;	m:	–0,1	n:	1,1;		
 i) Em cem partes iguais, cada 
uma medindo 0,01.
Recorde os conceitos de dízi-
mas periódicas, suas notações, 
a maneira de classificá-las ou 
identificá-las como dízimas sim-
ples ou compostas. 
Esclareça que 5,343434 é um 
decimal finito e pode ser con-
siderado como dízima periódica 
de período zero: 5,343434000... 
Também os números –13 e 18, 
por exemplo, podem ser con-
siderados como as dízimas: 
–13,000... e 18,000, respecti-
vamente.
No exercício 10, dividimos 
500 centésimos por 4 porque sa-
bíamos antecipadamente que irí-
amos obter um quociente exato.
Esclareça, com exemplos, que 
na prática, procede-se assim: ao 
executar o algoritmo da divisão, 
escreve-se o dividendo afastado 
da barra vertical que antecede 
o divisor para que seja possível 
acrescentar zeros aos restos não 
nulos que surgirem.
Se o dividendo não é múltiplo 
do divisor, acrescenta-se um zero 
à direita do mesmo, escreve-se 
uma vírgula após o quociente en-
contrado e divide-se o novo resto 
(acrescido	do	zero)	pelo	divisor;	
o quociente assim obtido é escrito 
como algarismo dos décimos do 
quociente. Se não obtivermos 
o novo resto como zero, acres-
centamos à direita do mesmo 
um zero e dividimos o número 
obtido novamente pelo divisor, 
e assim sucessivamente, obten-
do algarismos dos centésimos, 
milésimos etc., até se obter um 
resto zero, ou que se configure o 
aparecimento de um quociente na 
forma de dízima periódica. 
Veja como obter o decimal correspondente a essa 
fração. Como uma unidade tem 100 centésimos, 
5 unidades têm 500 centésimos. Logo, dividir 5 por 
4 é equivalente a dividir 500 centésimos por 4. 
5,00 4
10 1,25
 20
 0
P Z N Q R M Y S T V W X
–1 0 1
(1) – 0,3 m 0,2 (j) 0,9 n
– – – – – – – – –3
8
3
7
3
2
5
3
4
3
1
2
3
1
3
0
1
3
2
3
1
4
3
5
3
2
7
3
8
3
3
 Em relação à primeira reta: 
a) Em quantas partes iguais está dividido o segmento unitário YV? 
b) Quantas dessas partes o segmento YW contém?
c) A abscissa do ponto W representa a medida do segmento YW em relação ao segmento 
unitário. Qual é essa medida?
d) –
7
3
 é a medida de um segmento em relação ao segmento unitário, antecedida do 
sinal –. 
 Que segmento é esse? Como se chama esse número?
e) Alguns pontos são identificados pelas letras S, X, P e Q. 
 Quais são as abscissas dos pontos identificados pelas letras S, X, P e Q?
 f) O ponto de abscissa –
11
3
deve ser marcado à direita ou à esquerda do ponto de 
 abscissa –4? Justifique. 
 Em relação à segunda reta:
g) Com qual objetivo se dividiu o segmento unitário neste número de partes iguais?
h)	 Alguns	pontos	têm	suas	abscissas	representadas	por	letras;	quais	são	essas	abscissas?
i) Se você tivesse que marcar nessa reta o ponto de abscissa –0,32, em quantas partes 
iguais iria dividir o segmento unitário?
10. Você se lembra? Uma fração representa o quociente do numerador pelo 
denominador. Estes quocientes também podem ser expressos como 
decimais finitos ou periódicos. 
 Por exemplo, a fração 5
4
 representa o quociente de 5 por 4. 
–1 0 1
(l) – 0,3 m 0,2 (j) 0,9 n
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 16 10/05/13 19:34
17
 Agora, calcule os decimais finitos correspondentes a cada fração a 
seguir, acrescentando ao dividendo,em cada caso, tantos algarismos 
zero quantos forem necessários, até obter resto zero.
a) –
11
5
 b) 
124
16
 c) –
15
8
1 1 . Se você calcular os decimais correspondentes às frações 
 
14
11
 e 
41
90
, 
 verá que, por mais que acrescente zeros na parte decimal, ao continuar 
sucessivamente a divisão, nunca surgirá um resto nulo, e você obterá 
os decimais periódicos a seguir:
 
14
11
127272727272727, ...=
 
41
90
0 455555555555, ...=
a) Qual dos dois decimais é chamado de dízima periódica simples e qual é chamado 
dízima periódica composta?
b) Qual grupo de algarismos é chamado de período da dízima nos dois casos?
c) Como se representa cada uma dessas dízimas escrevendo apenas uma vez o 
período?
d) Verifique que as frações a seguir correspondem a decimais periódicos, calculando-os: 
 1ª.) 134
37
 2ª.) 129
55
 3ª.) 1
7
 Aprendendo mais fatos sobre as dízimas
 Observe a fração e a dízima correspondente a seguir:
 1/19 = 0,05263157894736842105263157894736842105...
 Você deve estar se perguntando: será que existem divisões nas quais, 
por mais que eu continue o procedimento, não vou saber quando co-
meça a repetição do período? 
 A resposta a esta pergunta é “não”, em toda divisão é possível saber 
quando o período se repete, e é muito fácil entender a razão.
11. a) O primeiro é chamado de 
dízima periódica simples, 
e	o	segundo,	composta;
	 b)	1º.)	27;		2º.)	5;
 c) O primeiro 1,27 (com um 
traço horizontal sobre o 
período 27), e o segundo, 
0,45 (com um pequeno 
ponto sobre o algarismo 
5);	
	 d)	1ª.)	3,621621...;
	 	 2ª.)	 2,345;	
 3ª.) 0,142857... 
10.	a)	–2,2;		
	 b)	7,75;	
 c) –1,875.
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 17 10/05/13 19:34
18
 Como você sabe, em uma divisão, o resto não pode ser maior que o 
divisor. 
 Veja que, no item (d) do exercício 11, ao calcular a dízima correspondente 
à fração 1
7
, dividindo 1 por 7, você obteve, pela ordem, os restos 3, 
2, 6, 4, 5, 1, quando então surgiu o primeiro algarismo da repetição do 
período. O único resto possível, sem repetir os já obtidos, seria o zero, 
e a fração seria equivalente a um decimal finito, como a fração 5
4
, cujo 
 decimal correspondente é finito (1,25), mas que pode ser visto como 
dízima de período zero: (1,250000...) . Veja, então, que no caso de de-
cimais não finitos o maior número de restos diferentes possíveis é, no 
máximo, igual ao antecessor do denominador. Se este fato acontece, 
obrigatoriamente o novo resto será igual a um que já tenha aparecido 
no algoritmo da divisão, e aí começará a aparecer a repetição que ca-
racteriza o período.
 Agora, veja como, dada uma dízima, obter a fração correspondente, 
chamada fração geratriz da dízima:
Explique aos alunos que no 
cálculo de expansões decimais 
de frações, nem sempre todos 
os restos possíveis aparecem. 
No caso da fração 1/7, como 
citado, aparecem todos os restos 
não nulos, mas no caso de 1/3 
= 0,333..., só aparece o resto 1. 
Outro exemplo: no cálculo de 
1/13	=	0,07692307...	 aparecem	
os restos 9, 12, 3, 4, 1.
Explore o exemplo da expan-
são de 1/19 em decimal dado 
nesta página. Separe os alunos 
em grupos e peça que cada um 
calcule esta divisão passo a 
passo, anotando atentamente os 
restos. Depois devem comparar 
seus resultados e corrigir eventu-
ais erros, e responder à seguinte 
pergunta: de todos os restos 
possíveis numa divisão por 19, 
qual o único que não aparece 
nesta conta? R: 10.
Exiba para os alunos várias 
frações irredutíveis, com de-
nominadores contendo fatores 
diferentes de 2 e 5. Eles devem 
observar que elas correspondem 
a dízimas periódicas:
Exemplos:
9/11 = 0,818181…,
17/15 = 1,1333…, 
13/6	=	2,1666…,	etc.
Explore, agora, frações irre-
dutíveis cujos denominadores só 
contenham fatores 2 ou 5. Elas 
correspondem a decimais exatos.
Exemplos:
11/4	=	2,75;	7/20	=	0,35.
Lembre-se da observação 
da página 14 relacionada com 
generalizações.
Verifique se os alunos sabem a 
razão de se afirmar que a fração 
131/90 da segunda coluna da 
tabela desta página é irredutível.
Leia primeiro esta coluna Depois, leia esta coluna
Dízima periódica simples 1,272727... Dízima periódica composta 1,455555...
Seja x a fração 
geratriz Logo, x =1,4555...
a Seja x a fração 
geratriz Logo, x = 1,2727... a Calcule 10x 10x = 14,555...
Vamos multiplicar por 100 para 
deslocar a vírgula para imediatamente 
após o primeiro grupo de algarismos 
que formam o período. 
Observe que assim você obteve uma 
dízima simples. Agora é fazer como na 
coluna da esquerda.
b Calculando 100x 100x = 127,2727... b Calculando 
(10)(10)x = 100x 100x = 145,555...
c Subtraindo b – a
100x – x = 9x
 
99x = 127 – 1 = 126
c Subtraindo b – a
100x – 10x = 90x 
90x = 145 – 14 = 131
d Logo d Logo 
Dividimos 126 e 99 pelo m.d.c. = 9 A fração obtida é irredutível: 131 e 90 
são números primos entre si.
 
x = 
126
99
 = 
14
11 
x = 
131
90
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 18 10/05/13 19:34
19
 Para o caso dos decimais finitos, é melhor interpretá-los na forma de 
frações decimais, como, por exemplo:
 125 125
100
5
4
, = = (simplificamos, dividindo 125 e 100 pelo m.d.c. deles: 25)
 Veja, no quadro a seguir, em maiores detalhes, o conceito de número 
racional.
Comente que as razões em 
geometria são coisas conhecidas 
há milhares de anos, mas que o 
conceito de número racional é 
uma ideia mais recente, elabo-
rada por volta do século XIII, e 
que permitiu, resolver equações 
como 7x = 3 na forma algébrica 
feita hoje em dia. Em particular, 
os gregos resolviam equações 
deste tipo pensando que x era algo 
equivalente ao comprimento de 
um segmento. Tal como resolver 
3x = 21 é encontrar o número cujo 
produto por 3 é 21, resolver 7x = 3 
é procurar o número cujo produto 
por 7 é 3, que, usando números 
racionais, se faz assim: 3/7 x 7 
= 3, donde a raiz de 7x = 3 é 3/7.
12.	a)233/99;
	 b)	–31/9;
	 c)	11333/3	300	(simplificada);
	 d)	–15	227/4	950;
	 e)	2	513/333;
	 f)	5377/660.
 Obs.: use divisibilidade para 
simplificar. Por exemplo, 
na (f), divisibilidade por 3 
e por 5. 
13. a) 4,75 expressão decimal 
finita;	
 b) 1,5454... dízima periódica 
simples;
	 c)	–1,6428571428571...	 dí-
zima periódica composta.
Escreva no quadro as frases: (a) 
“Dado um número racional, den-
tre todas as frações que o repre-
sentam existe sempre uma fração 
a/b	irredutível”;	(b)	“Uma	fração	
é irredutível se seus termos são 
números primos entre si”. Explore 
frações	como	468/	832	e	peça	que	
calculem a fração irredutível a ela 
equivalente (verifique se sabem 
simplificar ou por cancelamento, 
ou pelo m.d.c. dos termos).
Frações positivas ou negativas e os decimais a elas equivalentes, finitos 
ou periódicos, representam números racionais. 
Reciprocamente, os números racionais são representados por frações 
positivas ou negativas, ou pelos decimais finitos ou periódicos equi-
valentes a elas.
O conjunto dos números racionais é representado pelo símbolo: .
 Aplicando o que você aprendeu 
12. Calcule as geratrizes das seguintes dízimas:
a) 2,35353535... d)	–3,07616161...	
b) –3,44444... e) 
c) 3,4342424242... f) 8 1469, 
 
13. Calcule as expressões decimais correspondentes às frações dadas e 
classifique como finitas ou dízimas (simples ou compostas):
 a) 19
4
 b) 17
11
 c) –
23
14
 Os segmentos incomensuráveis e os números irracionais
 Você já viu o que são segmentos comensuráveis. Mas o que prova-
velmente você ainda não sabe é que existem segmentos que não são 
comensuráveis. 
 Vamos provar, por exemplo, que a hipotenusa de um triângulo retângulo 
isósceles e um dos catetos não são segmentos comensuráveis, isto é, a 
medida da hipotenusa considerando o cateto como unidade de medida 
não é um número racional.
 Pelo teorema de Pitágoras, se os catetos de um triângulo retângulo 
isósceles têm medida 1, sua hipotenusa mede 2 .
 Vamos supor que esta medida seja um número racional, isto é, que seja 
possível escrever: 2 = a
b
 sendo a e b números inteiros primos entre si.
 7,546
Mat9Cap1_NOVA2012.indd19 10/05/13 19:34
20
 Você vai ver que esta hipótese vai nos conduzir a um absurdo. De fato, 
da igualdade anterior, resultam as seguintes implicações:
 2 2 2 2 2 2= = =
a
b
b a b a a é par a é par, ou seja, 
a = 2m, m natural.
 Se a = 2m, a2 = 4m2  2b2 = 4m2  b2 = 2m2  b2 é par  b é par
 Observe que as frases em destaque azul nos levam a uma contradição: 
sendo a e b números inteiros primos entre si, não podem ser ambos 
números pares. 
 Esta contradição é consequência de se ter feito a hipótese de que 2
seria um número racional, porque, a partir dela, todas as implicações 
seguintes são verdadeiras.
 Este fato nos permite dizer que a hipotenusa do triângulo isósceles e 
seus catetos não são segmentos comensuráveis, e por isso diz-se que 
são segmentos incomensuráveis. E, como 2 não pode ser escrito 
na forma de fração de termos inteiros, diz-se que 2 é um número 
irracional. 
 O que se viu até aqui pode ser estabelecido com raciocínio bem se-
melhante, para provar que números da forma n , sendo n um número 
natural que não seja quadrado perfeito, por exemplo 3, 5, 7, 8 etc., são 
números irracionais. 
 O que se disse até agora não deve levar você a pensar que números 
irracionais são somente os que têm a forma n sendo n um dos núme-
ros naturais citados. Para dar exemplos de decimais que representam 
números irracionais, basta criar leis de formação para a parte decimal 
que mostrem, claramente, que são decimais infinitos e não periódicos. 
 Veja alguns:
 1º.) 0,01001000100001... (a quantidade de zeros aumenta gradati-
vamente)
 2º.) 0,151617181920... (na sequência, viriam 212223242526 etc.)
 3º.) 0,41442444144442... (a quantidade de algarismos 4 aumenta 
gradativamente e os algarismos 1 e 2 alternam sucessiva-
mente)
 Observe que, de propósito, os exemplos mostram irracionais entre zero e 1.
Proponha a atividade a 
seguir, que visa a explorar 
situação semelhante à da 
indução matemática:
Imagine peças de dominó 
dispostas em pé, em linha 
reta. Agora, considere que 
foi afirmado que: 
1º) alguém derrubou uma 
peça em direção a outra e 
esta	caiu;	
2º.) sempre que uma peça 
derruba a seguinte, esta tam-
bém derruba a seguinte a 
ela. Diga se você pode ou 
não tirar conclusão sobre o 
que ocorrerá com as demais. 
Justifique.
R) Sim: a partir da pri-
meira peça derrubada, todas 
as demais cairão. De fato, a 
1ª informação diz que uma 
determinada peça derrubou 
a seguinte. Já a 2ª informa-
ção garante que a seguinte 
derrubará a seguinte, esta a 
seguinte, esta a seguinte etc. 
Chame a atenção para um 
fato prático: para a brincadei-
ra funcionar a distância entre 
as peças deve ser adequada, 
isto é, não pode ser maior 
do que o comprimento das 
peças, senão a peça anterior 
não derrubará a seguinte. 
Este fato é que garante a 
continuidade do processo – 
daí a importância da segunda 
informação.
Professor(a): Explore 
mais a atividade anterior, 
propondo aos alunos a cria-
ção de duas outras situações: 
uma que garanta que as peças 
vão cair continuamente, e 
outra na qual este fato não 
ocorra.
    
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 20 10/05/13 19:34
21
 Veja que, com criatividade, é possível exibir uma infinidade de exem-
plos com leis de formação diferentes, de números irracionais somente 
entre o zero e o 1. Esta é uma observação simples com a intenção de 
despertar em você uma possível resposta à pergunta: quantos números 
irracionais existem?
 Lembramos finalmente que, em anos anteriores você usou, para calcular 
comprimento de circunferências e áreas de círculos, valores aproxi-
mados de um dos mais importantes números irracionais: o número π. 
Observamos ainda que os matemáticos provam que π é, de fato, um 
número irracional. 
 Observe a figura a seguir. Nela você vê um triângulo retângulo isósce-
les de catetos de medida 1; logo, sua hipotenusa mede 2 . Com um 
compasso, marcou-se na reta o ponto Q, cuja medida é o irracional 
 2 ; portanto, a abscissa do ponto Q é este irracional. Um segundo tri-
ângulo tem catetos de medidas 2 e 1; logo, sua hipotenusa mede 3 . 
Com um compasso marcou-se o ponto de abscissa 3 . Prosseguindo 
o processo, obtêm-se os pontos de abscissas 2 e 5 .
 Evidentemente é possível continuar indefinidamente este processo, ob-
tendo números naturais (3, 4, 5,... etc.) e pontos de abscissas irracionais 
n ,n = 7, 8, 10 etc. (n não sendo quadrado perfeito). 
1 2 3 52
2
0
 Sejam, em uma reta, um ponto O, origem de duas semirretas opos-
tas da reta, e OP um segmento contido em uma dessas semirretas. 
Convencionemos que OP seja a unidade de medida de comprimento. 
Consideremos, agora, um ponto X qualquer da reta. Se X coincidir com 
o ponto O, sua abscissa é 0 (zero), e se coincidir com P sua abscissa é 
1. Excluídas estas duas hipóteses, podemos ter:
a) OX e OP são comensuráveis;	ou	seja,	a	medida	de	OX	em	relação	a	OP	é	um	número	
racional. 
b) OX e OP são incomensuráveis;	ou	seja,	a	medida	de	OX	em	relação	a	OP	é	um	número	
irracional. 
1.) Desenvolva no quadro, usando 
o Teorema de Pitágoras, o 
cálculo das hipotenusas. 
2.) Explore, no quadro, atividades 
que esclareçam o texto ao 
lado:
a) Desenhe uma ou mais retas, se 
necessário, contendo números 
inteiros positivos e números 
inteiros negativos, como se 
vê na página 14.
b) Identifique o ponto origem 
(O), de abscissa zero e o ponto 
P de abscissa 1, e convencione 
que o segmento cujos extre-
mos são estes dois pontos 
é a unidade de medida de 
comprimento. 
c) Peça que alunos leiam o último 
parágrafo da página e depois 
localizem as posições (exatas 
ou aproximadas) de pontos 
A, B, C, D etc., extremos de 
segmentos de origem O, cujas 
medidas sejam racionais ou 
irracionais dados, positivos ou 
negativos como, por exemplo, 
2,5, –3/2, irracionais na forma 
de raiz quadrada (de 2, 5 
etc.).
Explore, no quadro, usando 
régua e compasso, a construção 
da figura relacionada com o texto, 
para que os alunos comprovem 
a existência, na reta numerada, 
de pontos que correspondem a 
números irracionais. Justifique, 
usando o Teorema de Pitágoras, 
nos sucessivos triângulos retân-
gulos, o valor de cada abscissa 
que se vê na figura. 
O P
1
Q
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 21 10/05/13 19:34
22
 Em ambos os casos, dizemos que a abscissa de X é a medida de OX 
se X pertencer à semirreta OP, e a medida de OX antecedida do sinal 
“–” (sinal de menos) se X pertencer à semirreta oposta à semirreta OP.
 A reta OP chama-se reta real, e o conjunto cujos elementos são as 
abscissas de todos os seus pontos chama-se conjunto dos números 
reais, que se representa por .
O conjunto dos números reais é a união do conjunto dos números 
racionais com o conjunto de todos os números irracionais, ou 
seja, seus elementos são números racionais ou irracionais.
A cada ponto da reta real corresponde um único número real 
chamado abscissa do ponto, e a cada número real corresponde 
um único ponto da reta real.
 Aplicando o que você aprendeu 
14. Considere a origem O e um ponto X da reta real e responda:
a) A abscissa de X pode ser um número natural? Justifique.
b) A abscissa de X pode ser um número inteiro? Justifique.
c) Qual a condição para que a abscissa de X seja um número racional? 
d) Qual a condição para que a abscissa de X seja um número irracional?
15. Verdadeiro ou falso: (nos casos falsos, dê contraexemplo)
a) Todo número racional é número inteiro.
b) Todo número inteiro é número racional.
c) Se um decimal não é finito nem periódico, então representa um número irracional.
d) N é subconjunto de  e  é subconjunto de .
16. Dê exemplos de:
a) Um número inteiro que não seja número natural.
b) Um racional positivo e outro negativo, ambos na forma de fração.
c) Um racional positivo e outro negativo, ambos na forma decimal.
d) Números racionais opostos. 
14. a) Sim. Se a medida do 
segmento OX com o 
segmento unitário for 
um número natural: e 
x pertencer à semirreta 
OP.
 b) Sim, nas mesmas 
condições anteriores, 
sendo a abscissa po-
sitiva se X pertencerà 
semirreta que contém 
o segmento unitário, e 
negativa, se pertencer 
à semirreta oposta à 
semirreta	citada;
 c) É que OX e o segmento 
unitário sejam segmen-
tos	comensuráveis;
 d) É que OX e o segmento 
unitário sejam segmen-
tos incomensuráveis.
15. a) Falso. Contraexemplo: 
3/5	e	0,76	são	números	
racionais que não são 
inteiros;
	 b)	V;
	 c)	V;
 d) V.
Obs.: Este capítulo contém 
muitas das propostas 
contidas nos textos:
 1.) A Matemática do En-
sino Médio – 
 Volume 1 – Coleção do 
Professor de Matemáti-
ca da SBM, de autoria 
de Elon Lages Lima e 
outros.
 2.) Conceitos Fundamen-
tais da Matemática – 
Bento de Jesus Caraça 
– Livraria Sá da Costa 
Editora. 
16.	Respostas	 variadas;	 por	
exemplo:
	 a)	–32;
	 b)	+12/17	e	–	8/31;
	 c)	0,32	e	–1,25;
 d) 3/4 e –3/4.
O P
0 1x2 x1
positivosnegativos
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 22 10/05/13 19:34
23
 Como calcular com números reais na forma decimal?
 Você deve estar se perguntando: muito bem, já entendi a diferença entre 
números racionais e números irracionais representados por decimais. 
Mas, como efetuar cálculos com esses números com tantas ordens 
decimais?
 Para entender o que você verá a seguir, é preciso lembrar que os nú-
meros são, no dia a dia, associados a medidas. E como você sabe, as 
medidas, por mais preciso que seja o instrumento de medida, com raras 
exceções, têm suas representações decimais com duas as três ordens 
decimais. 
 Este fato justifica que, dado um decimal que representa um racional ou 
um irracional, possamos usar valores aproximados dele. 
 Veja, então, exemplos de como obter valores aproximados do número 
irracional N = 3,73747576... e do número racional M = 9 38, . 
17. Agora é com você:
 Escreva os valores aproximados, por falta, dos números P = 5 47, e 
Q = 3,262728...:
a) A menos de uma unidade.
b) A menos de um décimo.
c) A menos de um centésimo. 
18. Calcule a soma P + Q com as seguintes aproximações, por falta:
a) A menos de uma unidade.
b) A menos de um décimo.
c) A menos de um centésimo.
17.	a)	5	e	3;	
	 b)	5,4	e	3,2;		
	 c)	5,47	e	3,26.	
18.	a)	7;		
	 b)	8,6;		
 c) 8,73.
Números reais dados N = 3,73747576... M = 9,38 
Valor aproximado a menos de uma 
unidade, por falta: 3 9
Valor aproximado a menos de um 
décimo, por falta: 3,7 9,3
Valor aproximado a menos de um 
centésimo, por falta: 3,73 9,38
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 23 10/05/13 19:34
24
Ao verificar os exercícios 
do “Aprendendo em casa”, 
solicite, sempre que julgar 
necessário, as justificativas 
para as respostas, bem como 
desenhos representativos das 
situações descritas.
19. Porque 5,343434 não 
contém reticências ou 
traços indicativos de 
períodos.
Pergunte: Como represen-
tar 5,343434 como dízima?
20.	a)	1,75;
	 b)	3,25;
	 c)	7,5625;
 d) 2,75.
21. Respostas variadas.
22. a) F porque frases do tipo 
P e Q somente são 
verdadeiras se P e Q 
forem	verdadeiras;
 b V porque para que 
frases do tipo P ou 
Q sejam verdadeiras 
basta que uma das 
duas componentes seja 
verdadeira;
 c) V porque, sendo núme-
ro natural, é número 
racional;
 d) V porque se é irra-
cional não é racional, 
e número natural é 
racional.
23. a)	Racional;
 b) Natural, inteiro e racio-
nal;
	 c)	Racional;
	 d)	Inteiro	e	racional;
	 e)	Irracional;
	 f)	 Irracional;
 g) Natural, inteiro e racio-
nal (é igual a 4).
24.	a)	–9/4;
	 b)	–6/4;
	 c)	–2/4;
	 d)	+2/4;
	 e)	+7/4;
	 f)	+10/4;
	 g)	–0,9;
	 h)	–0,5;
	 i)	–0,2;
	 j)	+0,5;
 l) +0,8.
– 2 – 1 0 + 1 + 2 + 3
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
– 1
(g)
0 + 1
– 0,7 (h) (i) + 0,3 (j) (l)
–
4
4
0
4
+ 5
4
19. Délio disse que 5,343434... ou 5,34 representam uma dízima de período 
34, mas 5,343434 não. Justifique por que Délio tem razão. 
20. Escreva como decimais as frações a seguir:
 a) 7
4
 b) 13
4
 c) 121
16
 d) 55
20
21. Em cada caso, dê dois exemplos de:
a) Números inteiros que não são números naturais.
b) Números inteiros que são números naturais.
c) Números racionais na forma de fração que não sejam equivalentes a números inteiros.
d) Números racionais na forma de fração que sejam equivalentes a números inteiros.
22. Verdadeiro ou falso? Justifique.
a) Todo número natural é número inteiro e todo número inteiro é natural.
b) Todo número natural é número inteiro ou todo número inteiro é natural.
c) Se um número é natural, então não é irracional.
d) Se um número é irracional, então não é natural.
23. Classifique cada número a seguir como natural, inteiro, racional ou ir-
racional:
a) 3,27 d) –5 g) 16
b) 2 e) – 2 
c) 1,234 f) 2 
24. Observe as retas numeradas a seguir e escreva os números reais que 
devem substituir corretamente cada letra:
Aprendendo em casa
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 24 10/05/13 19:34
25
25. Um pouco de Geografia.
 Dados os conjuntos: 
 Conjunto C dos habitantes de Curitiba, 
 Conjunto B dos habitantes do Brasil, 
 Conjunto P dos habitantes do Paraná,
 Conjunto A dos habitantes da América do Sul, 
 escreva todos os pares possíveis de conjuntos em que um é subconjunto 
do outro usando as letras que representam os conjuntos dados.
26. Observe o diagrama a seguir e resolva ou responda:
a) Qual dos dois conjuntos (A ou B) é subconjunto do outro?
b)	 O	conjunto	A	pode	ser	representado	assim:	A	=	{	2;	3;	6	}.	Represente	agora	de	
maneira análoga o conjunto B.
c) Faça um desenho como o anterior representando os conjuntos N dos números natu-
rais e  dos números inteiros. Identifique os dois com etiquetas como no desenho 
anterior.
27. Faça o que se pede:
a) Faça um desenho usando quatro ovais para representar os conjuntos N dos números 
naturais,  dos números inteiros,  dos números racionais e  dos números reais, 
relacionando-os entre si. Identifique cada um deles com uma etiqueta.
 b) No desenho que você fez, escreva no espaço correto cada um dos seguintes números: 
 1) 12 4) 0,333... 
 2) –5 5) 4/3 
 3) 0,3 6) 0,010010001... 
25. C  B;	C	 P 
 B  A;	
 C  A;	
 P  A;	P B
26.	a)	A	é	subconjunto	de	B;
	 b)	B	=	{1,2,3,4,5,6};
 c) Desenho do aluno com 
ovais representando, 
de dentro para fora: N, 
e depois Z.
27. a) Desenho do aluno com 
ovais representando, 
de dentro para fora: N, 
Z, Q e R.
 b) Desenho do aluno com 
12 em N, –5 dentro 
de Z e fora de N, 0,3, 
0,333... e 4,3 dentro 
de Q e fora de Z e 
0010010001... dentro 
de R e fora de Q.
Aproveite a oportunidade 
para explorar interdiscipli-
naridade, dando exemplos 
de conjuntos e subconjuntos 
utilizando-se da Geografia 
(capitais como parte de todas 
as cidades do Brasil, estados 
de regiões como subconjuntos 
de todos os estados do Brasil 
etc);	 de	 Português	 (vogais	
ou consoantes como parte 
do	alfabeto);	de	História;	de	
Ciências etc.
1
2
3
6
4
5
BA
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 25 10/05/13 19:34
26
ATIVIDADES ORAIS
•	 É	igual	a	1.
•	 Base:	2/5	e	expoente:	5.
•	 0,01.
•	 Porque	62	=	36.
•	 Porque	23 = 8.
•	 3	e	4.
•	 Verdadeiro.
•	 b0 = 1 (b � o)
•	 a1 = a. 
A atividade a seguir é 
mais um exemplo da utiliza-
ção de regularidades para a 
“descoberta” de novos fatos 
matemáticos. 
Faça desenhos para ajudar 
a compreensão da ta bela do 
exercício 28: um retângulo de 
comprimento suficiente para 
ser dividi do inicialmente ao 
meio (metade de l = 1/2), 
depois em quatro partes (me-
tade de 1/2 = 1/4 ), e assim 
sucessivamente. “
28. a) 8, 2 e 1, respectiva-
mente;
	 b)	A	metade;
 c) 2–4	=	1/16;	2–5	=	1/32;
 d) 2–4	=	1/16	=	(1/2)4;
 2–5 = 1/32 = (1/2)5;
 2–6	=	1/64	=	(1/2)6;
 e) Verdadeiro.
 f) Ve r d a d e i r o , p o i s 
an × a–m = an × (1/a)m 
= (an/am) 
 
Faça notar que cada nú-
mero da segunda linha é a 
metade do anterior. Esta é a 
razão de completar, após o 
1, com as frações 1/2, 1/4 e 
1/8 (metades de 1, 1/2 e 1/4, 
respectivamente).
 Professor, 
existem potências
 com expoentes
 negativos? 
 Sim. E você verá 
como é fácil calcular os seus 
valores, acompanhando os 
exercícios e letras a 
seguir.
Potências 
de dois 24 23 22 21 20 2–1 2–2 2–3
Valores 16 8 4 2 1 1
2
1
4
1
8
Anterior 
dividido por 28 = 16: 2 4 = 8: 2 2 = 4: 2 1 = 2: 2 1
2
1 2:= 1
4
1
2
2:= 1
8
1
4
2:=
•	 Qual é o produto de duas frações inversas como 4
3
3
4
e ?
•	 Na expressão 
2
5
5



 , qual número é a base e qual é o expoente?
•	 Qual é o número decimal equivalente à fração 1
100
?
•	 Por	que	a	raiz	quadrada	de	36	é	6?
•	 Por que a raiz cúbica de 8 é 2?
•	 (3,5)2 está entre o quadrado de dois números naturais. Quais são eles? 
•	 V ou F: a an
m
n m( ) = . (a, n e m, positivos).
•	 Se b é um número racional diferente de zero, qual o valor de b0?
•	 Se a é um número racional, qual o valor de a1?
28. Observe a tabela e responda:
a) Qual	é	a	metade	de	16?	E	de	4?	E	de	2?
b) Na segunda linha, cada número é qual fração do anterior?
c) Observando a tabela, copie e complete: 2–4	=...?...	;		2–5 = ...? ... .
d) Em seu caderno, complete com mais três igualdades a sequência de cálculos:
 
2
1
2
1
2
2
1
4
1
2
1
1
2– –;= =




=




=




=




=




2
3
3
2
1
8
1
2
; –
 2–4	=	...?...	;									2–5	=	...?...	;								2–6 = ...?... 
e) Verdadeiro ou falso: Sendo a um número natural diferente de zero, a
a
n
n
– =




1
.
f) Verdadeiro ou falso: Sendo a um número natural não nulo, an	×	a–m = an–m.
 
Aprendendo em casa
Explorando o que você já sabe
Calculando com números reais
S
on
 S
al
va
do
r
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 26 10/05/13 19:34
27
 Você já viu que, se o produto de duas frações é igual a 1, elas se cha-
mam frações inversas.
 Por exemplo, 3
4
4
3
e são frações inversas porque 3
4
4
3
12
12
1
1
1.× = = = 
 Agora, veja que este é um fato particular do que se afirma a seguir:
Dois números reais são números inversos se e somente se o seu 
produto for 1. 
 Observe os exemplos:
a) 23 e 2–3 são números inversos porque 23×	2–3 = 23–3 = 20 = 1.
b) 
3
4
3
4
1








−
e são números inversos porque 
3
4
3
4
3
4
1
1 0




×




=




=
−
. 
c) 
3
4
3
4
2 2








−
e são números inversos porque 3
4
3
4
3
4
1
2 2 0




×




=




=
−
.
 Veja agora as observações relacionadas com esses exemplos:
a) Como 23 e 2–3 são números inversos e 23 = 8, concluímos que 2
1
8
1
2
3
3
− = =




.
b) Como 
3
4
4
3
e são frações inversas e também 
3
4
3
4
1








−
e são inversas, 
 concluímos que 3
4
4
3
1




=
−
. 
c) Como 
3
4
3
4
2 2








−
e são inversas e 3
4
9
16
2




= , concluímos que 3
4
16
9
4
3
2 2




= =




−
.
 
29. Resolva:
a) Verifique que 2–2 e 22 são números inversos. Justifique. 
b) Diga se verdadeiras ou falsas as afirmações:
 1ª.) 2
1
2
1
4
2
2
– =




= 2ª.) 2
1
2
1
8
3
3
– =




= 3ª.) 3
2
2
3
3 3




=




−
. 
 
c) As bases das potências da 3ª afirmação do item (b) têm uma relação. Qual é ela?
d) O número zero não tem inverso. Justifique.
e) Se r representa um número real diferente de zero, como representar seu inverso? 
Justifique.
 Perfeito! 
É exatamente 
isso o que se 
deve fazer.
Professor, veja 
se a regra que vou descrever é 
correta:Para calcular uma potência de 
expoente negativo: a) Invertemos a 
base. b) Trocamos o expoente 
pelo oposto.c) Calculamos a 
potência obtida.
Antes de resolver o exercí-
cio 29, recorde o conceito de 
números opostos. O oposto 
de +7 é –7, o oposto de –5 
é +5 etc.
29. a) 2 2 × 2 – 2 = 2 2 – 2 = 2 0 = 1 
e 22×2–2	 =	 4×1/4	 =	 
4/4	=	1;	
 b) Todas são verdadei-
ras;	
 c) Elas são frações inver-
sas;	
 d) Supor que zero tem in-
verso é admitir a exis-
tência de um número 
que, multiplicado por 
zero, tenha como pro-
duto o número 1, o 
que é absurdo porque 
o produto de qualquer 
número real por zero é 
zero;	
 e) O inverso de um nú-
mero real r diferente 
de zero se representa 
por r–1 porque:
	 	 r	×	r–1 = r0 = 1. 
Destaque para os alunos o 
caso particular de inversos de 
números inteiros. Para isso, 
por exemplo, use o argumento 
de	que	3	=	3/1;	logo,	o	inverso	
de 3 é 1/3.
Faça notar que:
3/1 x 1/3 = 3/3 = 1.
Ao responder, o professor 
está validando a regra descri-
ta pelo aluno.
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, o diálogo 
desta página.
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 27 10/05/13 19:34
28
30. Observe como usar a regra confirmada pelo professor, para calcular 
potências de expoente negativo:
 Calcule as seguintes potências usando a mesma regra:
a) 2
5
3




−
 b) 3
4
2




−
 c) 10–1 d) 10–3
31. Nos itens (c) e (d) do exercício anterior, você calculou 10–1 e 10–3 e con-
cluiu que:
 
 Agora, copie a frase a seguir em seu caderno e discuta com seus co-
legas como se deve completá-la.
 Se a letra n representa um número natural, 10–n é uma fração de numera-
dor 1 e o denominador é uma potência de dez que tem ... ... algarismos 
zero.
 Você sabe também que:
? ? ? ?
????
30. a)	125/8;
	 b)	16/9;
	 c)	1/10;
 d) 1/1000.
31. n algarismos.
Os exercícios que seguem 
visam a preparar os alunos 
para a “notação científica”.
32. a)	1,3;
	 b)	0,13;
	 c)	0,013;
	 d)	0,0013;
	 e)	13,4;
	 f)	 1,34;
	 g)	0,134;
 h) 0,0134.
33. n ordens.
10
1
10
0 1 10
1
1000
0 0011 3− −= = = =, , .e que
a 4 × 0,1 = 0,4 c 57 × 0,1 = 5,7 e 57 × 0,001 = 0,057
b 134 × 0,1 = 13,4 d 4 × 0,001 = 0,004 f 134 × 0,001 = 0,134
a 4 × 10–1 = 4 × 0,1 = 0,4 d 4 × 10–3 = 4 × 0,001 = 0,004
b 134 × 10–1= 134 × 0,1 = 13,4 e 57 × 10–3 = 57 × 0,001 = 0,057
c 57 × 10–1 = 57 × 0,1 = 5,7 f 134 × 10–3 = 134 × 0,001 = 0,134
2
3
3
2
9
4
2 2




=




=




−
3
5
5
3
25
9
2 2




=




=




−
?
?
 Portanto, 
32. Agora, copie em seu caderno e complete:
a) 13 × 10–1 = b) 13 × 10–2 = c) 13 × 10–3 = d) 13 × 10–4 = 
e) 134 × 10–1 = f) 134 × 10–2 = g) 134 × 10–3 = h) 134 × 10–4 =
33. Observe:
 (A) 13,4 x 10–1 = 1,34 (C) 1345,7 x 10–3 = 1,3457
 (B) 134,5 x 10–2 = 1,345 (D) 134 x 10–4 = 0,0134 
 Copie em seu caderno e complete: Multiplicar um número por 10–n é 
deslocar a vírgula do número ... ... ordens decimais para a esquerda.
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 28 10/05/13 19:34
29
Observe:
 a) 145,34 = 1,4534 x 102 c) 12 000 000 = 1,2 x 107
 b) 12345 = 1,2345 x 104 d) 0,000356 = 3,56 x 10–4
34. Agora, escreva em seu caderno os números a seguir como produto de 
um decimal com um algarismo na parte inteira, multiplicado por uma 
potência de dez:
a) 1256,9	 b)12	569	 c) 250 000 000 d) 0,00037 
 
36. Copie e complete em seu caderno: 
a) 36 = b) 4 = c) 9 = 
37. Use as letras N e R para descrever o que é a raiz quadrada ( R ) de um 
número natural N que é um quadrado perfeito. Começamos para você: A 
raiz quadrada de um número natural N que é um quadrado perfeito é... 
 Até aqui, você calculou raízes quadradas de números naturais que 
são quadrados de outros. Mas diversos números naturais não são 
quadrados de outros números naturais. Como calcular essas raízes 
quadradas? É o que você verá a seguir.
 a) Como	se	chama	o	número	cujo	quadrado	é	64?	Qual	é	ele?
b) Qual	é	a	raiz	quadrada	de	16?
 Você se lembra?
 A raiz quadrada de um número é representada pelo símbolo 
 Assim, 36 se lê: raiz quadrada de 36.
35. Observe a tabela e responda:
Número natural 64 25 49 100 81
Raiz quadrada do número 8 5 7 10 9
 Você tem duas possibilidades: uma, se tiver à mão uma calculadora, e 
outra, se não tiver uma calculadora ou não for permitido usá-la, como, 
por exemplo, em diversas provas de concursos.
 Vamos, inicialmente, dar um exemplo de como calcular 6 sem calcu-
ladora.
No exercício 34 os alunos 
são solicitados a trabalhar 
aplicações da “notação cien-
tíf ica”. Sugira que façam 
uma pesquisa sobre este 
tema.
34. a)	1,2569	x	103;
	 b)	1,2569	x	104;
 c) 2,5 x 108;
 d) 3,7 x 10–4.
 
35. a)	Raiz	quadrada	de	64;
	 	 É	o	número	8;
 b) Quatro.
36. a)	6;
	 b)	2;
 c) 3.
37. A raiz quadrada de umnúmero natural N que é 
um quadrado perfeito, é 
outro número natural R 
tal que R2 = N.
? ? ?
?
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 29 10/05/13 19:34
30
 Observe que esse cálculo equivale a procurar um número cujo quadrado 
seja 6. Observe também que, como 4 < 6 < 9, a raiz quadrada de 6 deve 
ser um número entre a raiz quadrada de 4 (que é 2) e a raiz quadrada 9 
(que é 3). Portanto, a raiz quadrada de 6 é um decimal entre 2 e 3, ou 
seja, tem na parte inteira o algarismo 2 e, nas ordens decimais, alguns 
algarismos.
 Veja, no quadro a seguir, como podemos encontrar um valor aproximado 
de 6 por tentativas. Chamemos de x esse valor procurado.
 Comecemos as tentativas pelo valor x = 2,6. Temos:
Explique aos alunos que 
o estudo das raízes quadra-
das tem vários objetivos, 
dentre os quais possibilitar 
calcular medidas de lados 
de quadrados conhecidas as 
áreas destes, bem como na 
resolução de equações do 
segundo grau que vão ser 
estudadas neste ano.
Visite ou recomende o 
site
http://amp746.wordpress.
com/2008/03/02/matemati-
ca-raiz-quadrada-nos-tem-
pos-de-cristo/.
38. a)	a	=	6,0025;
	 b)	6,0025	 >	 6	 (2,455	 é	
muito)	c	=	5,9535;
	 	 c)	5,9536	<	6	(2,44	é	
pouco).
39. 2,44.
 Pelo quadro você observa que 6 é um decimal entre 2,4 e 2,5. Você 
pode então dizer que 2,4 é um valor aproximado para a raiz quadrada 
de 6 “por falta”, e que 2,5 é um valor aproximado da raiz quadrada de 
6 “por excesso”. Em geral, é costume dar o valor aproximado por falta. 
Assim, podemos concluir:
A raiz quadrada aproximada de 6 a menos de um décimo, por falta, 
é 2,4. E podemos escrever:
 
 (lê-se: raiz quadrada de 6 é aproximadamente igual a 2,4).
39. Com base nos resultados obtidos no quadro anterior, qual é o valor 
aproximado de 6 a menos de um centésimo por falta?
 Se você quiser, pode calcular a raiz quadrada de 6 a menos de um cen-
tésimo, isto é, com duas ordens decimais. Basta agora fazer tentativas 
dando valores a x desde 2,41 até 2,49. É recomendável começar por 
2,45 e ir aumentando, caso os quadrados de x permaneçam menores 
que 6, ou ir diminuindo, caso os quadrados de x permaneçam maiores 
que 6.
38. Observe o quadro a seguir e escreva os valores que substituem corre-
tamente cada letra:
Tentativas Valor de x x2 Comentário
1a tentativa 2,6 (2,6)(2,6) = 6,76 6,76 > 6 (2,6 é muito)
2a tentativa 2,5 (2,5)(2,5) = 6,25 6,26 > 6 (2,5 é muito)
3a tentativa 2,4 (2,4)(2,4) = 5,76 5,76 < 6 (2,4 é pouco)
Tentativas Valor de x x2 Comentário
1a tentativa 2,45 (2,45)(2,45) = a b
2a tentativa 2,44 (2,44)(2,44) = c d
6 2 4,≅
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 30 10/05/13 19:34
31
40. Escreva usando símbolos: a raiz quadrada de 6 é aproximadamente 
igual a 2,44.
O cálculo da raiz quadrada de um número usando a calculadora é 
extremamente simples: basta digitar o número e o símbolo da raiz 
quadrada ( ) , que imediatamente surgirá uma aproximação do 
valor no visor, de acordo com a quantidade de casas decimais que 
a calculadora é capaz de manipular.
 Use sua calculadora e:
 Digite 6
 Digite 
 Observe no visor: 2,4494897
 Logo, você pode afirmar que:
 A raiz quadrada de 6 a menos de um décimo, por falta, é 2,4.
 A raiz quadrada de 6 a menos de um centésimo, por falta, é 2,44.
 A raiz quadrada de 6 a menos de um milésimo, por falta, é 2,449,
 ...e assim por diante.
Uma última observação sobre raízes quadradas. Se você tiver que calcular raízes quadradas 
de decimais por tentativas, deve seguir o processo anterior. Por exemplo, para calcular 
14 27, ,	comece	observando	que,	como	9	<	14,27	<	16,	a	raiz	quadrada	de	14,27	deve	
ser	um	decimal	entre	3	(que	é	raiz	quadrada	de	9)	e	4	(que	é	raiz	quadrada	de	16).	Portanto,	
comece tentando 3,5.
 
41. Faça as tentativas sugeridas e escreva suas conclusões.
a) Use a calculadora e verifique que 14 27, 	3,7775653.
 Escreva os valores aproximados, por falta, de 14 27, :
b) A menos de um décimo.
c) A menos de um centésimo.
d) A menos de um milésimo.
e) A menos de um décimo de milésimo.
42. Divida o numerador pelo denominador e calcule as raízes quadradas 
aproximadas ou exatas das seguintes frações, usando a calculadora:
a) 4
7
 c) 2
15
 e) 5
11
 g) 9
100
b) 8
9
 d) 13
12
 f) 16
100
 h) 1
100
 
43. Transforme os resultados dos itens (f), (g) e (h) anteriores em frações.
40. 6 2 44,≅ 
Em casa, os alunos devem 
anotar, no caderno, os qua-
dros em destaque do exer-
cício 40 (os dois quadros).
Anteceda o exercício 42 
com estimativas feitas pelos 
alunos, perguntando quanto 
à parte inteira de: a) raízes 
quadradas de números entre 
zero e 1 (decimais de parte 
inteira	 zero);	 b)	 raízes	 qua-
dradas de números entre 1 e 4 
(decimais	de	parte	inteira	1);	
c) raízes quadradas de núme-
ros entre 4 e 9 (parte inteira 
2). Peça que justifiquem as 
respostas.
42. a)	0,75;
	 b)	0,94;
	 c)	0,36;
	 d)	1,04;
	 e)	0,67;
	 f)	 0,4;
	 g)	0,3;
 h) 0,1.
43. (f) 4/10, (g) 3/10, (h) 
1/10.
O objetivo do exercício 44 
é que os alunos “descubram” 
que, para números positivos, 
.
Explore mais exemplos 
com esta característica.
41. a)	Verificação	do	aluno;	
	 b)	3,7;
	 c)	3,77;
	 d)	3,777;
 e) 3,7775.
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 31 10/05/13 19:34
32
44. Usando os resultados anteriores, copie e escreva em seu caderno as 
raízes quadradas a seguir na forma de fração. Depois, discuta com 
seus colegas se descobriram algum fato interessante. Caso afirmativo, 
descreva que conclusões foram tiradas.
a) 16
100
= b) 9
100
= c) 1
100
= 
45. Observe a tabela:
 Responda:
a) Qual é a terça parte de 81? E de 27? E de 9?
b) Na segunda linha, cada número é igual ao anterior, dividido por quanto?
c) Qual é a terça parte de 1
3
?
d) Qual é a terça parte de 1
9
?
46. Copie e complete:
a) 2
5
5
2
2 2




=




=
−
 b) 3
8
8
3
2 2




=




=
−
47. Copie em seu caderno e complete:
a) 25 × 10–1 = d) 25 × 10–4 = g) 253 × 10–3 = 
b) 25 × 10–2 = e) 253 × 10–1 = h) 253 × 10–4 = 
c) 25 × 10–3 = f) 253 × 10–2 = 
48. Escreva os números a seguir como produto de um decimal com um 
algarismo na parte inteira multiplicado por uma potência de dez:
a)	356,98	 c) 32 000 000 000 e) 0,000007
b)	23	687	 d) 0,00045 
? ?
?
?
?
?
?
?
44. a)	4/10;
	 b)	3/10;
 c) 1/10.
Possível resposta:
Concluímos que, se a e b são 
números positivos,
 
Comente com a turma que 
o procedimento descrito na 
resposta 44 é válido, em geral, 
sistematizando a regra corres-
pondente. Veja a observação da 
página 14. 
No capítulo 8, ao estudarem 
os expoentes fracionários, esta 
conclusão será justificada. Aqui, 
abordamos apenas o caso de nu-
meradores e denominadores que 
são quadrados perfeitos.
Explore atividades análogas 
às anteriores para produtos. 
Assim:
a ) D a d a s a s r a í z e s 
, proponha que 
os alunos calculem os produtos 
e depois, usando a calculadora, 
calculem as raízes quadradas. 
Depois, em cada caso, que calcu-
lem as raízes quadradas de cada 
fator, multipliquem os resultados 
e comparem com as raízes qua-
dradas dos produtos.
 b) Em seguida, descrevam 
com suas palavras o que ob-
servaram.
Também aqui o objetivo é, para 
positivos: . 
Faça breve abordagem oral 
sobre as atividades do “Apren-
dendo em casa” para verificar 
se os alunos estão aptos a re-
solvê-las.
47. a)	2,5;
	 b)	0,25;
	 c)	0,025;
	 d)	0,0025;
	 e)	25,3;
	 f)	 2,53;
	 g)	0,253;
 h) 0,0253.
48. a)	3,5698	x	102;
	 b)	2,3687	x	104;
 c) 3,2 x 1010;
 d) 4,5 x 10–4;
 e) 7 x 10–6.
?
? ? ?
Potências de três 34 33 32 31 30 3–1 2–2 2–3
Valores 81 27 9 3 1
1
3
1
9
1
27
a
b
a
b
.=
?
45. a)	27,	9,	3,	respectivamente;
	 b)	Dividido	por	três;
	 c)	1/9;
 d) 1/27. 
46. a)	25/4;
	 b)	64/9.
Aprendendo em casa
Mat9Cap1_NOVA2012.indd 32 10/05/13 19:34
33
49. Use a calculadora e verifique que 17 48,  4,1809089. 
 Use este resultado e escreva os valores aproximados, por falta, 
 de 17 48, :
a) A menos de um décimo.
b) A menos de um centésimo.
c) A menos de um milésimo.
d) A menos de um décimo de milésimo.