Apostila 2 ano - 2 bimestre anna

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ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento é composto por duas etapas sucessivas e independentes de tal maneira que o número de possibilidades na 1a etapa é m e o número de possibilidades na 2a etapa é n, então o número total de possibilidades do evento ocorrer é dado por m ∙ n.
Exemplo 1
Em um restaurante, é oferecido o famoso prato feito. Todos os pratos possuem arroz, e o cliente pode escolher uma combinação entre 3 possibilidades de carne (bovina, de frango e vegetariana), 2 tipos de feijão (caldo ou tropeiro) e
2 tipos de bebida (suco ou refrigerante). De quantas maneiras distintas um cliente pode fazer o pedido?
Exemplo 2
Matheus foi até a concessionária para comprar o seu tão sonhado carro zero. Chegando à loja, ele encontrou 3 carros que cabiam no seu orçamento. Todos os 3 eram vendidos com 2 opções de câmbio, manual ou automático. Além da escolha do veículo e do tipo e câmbio, há 4 opções de cor, branco, preto, prata ou vermelho. De quantas maneiras distintas Matheus pode tomar essa decisão?
	TIPOS DE FEIJÃO
	TIPOS DE CARNE
	TIPOS DE BEBIDAS
	TOTAL
	2	X	3	X	2	=	12
	N° DE CARROS
	OPÇÕES DE CÂMBIO
	CORES
	TOTAL
	3	X	2	X	4	=	24
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ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
1 - Uma pessoa quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo-se que há 5 roteiros diferentes de Recife a São Paulo e 4 roteiros diferentes de São Paulo a Porto Alegre, de quantas maneiras possíveis essa pessoa poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
2 - Ao lançarmos duas moedas, usando c para
cara e k para coroa. Determine:
a) Quantas são as possibilidades de resultados?
b) Mostre quais são as possibilidades de resultados construindo uma tabela.
3 - Um casal planeja ter dois filhos, usando M para filho do sexo masculino e F para filho do sexo feminino. Determine:
a) Quantas são as possibilidades?
b) Mostre quais são as possibilidades construindo uma tabela
4 - Existem 2 vias de locomoção de uma cidade A para uma cidade B e 3 vias de locomoção da cidade B a uma cidade C. De quantas maneiras pode- se ir de A a C, passando por B?
5 - Uma montadora de automóveis apresenta um carro em 4 modelos diferentes e em 5 cores diferentes. Um consumidor que quiser adquirir esse veículo terá quantas opções de escolha?
6 - De quantas maneiras diferentes pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2 pares de meias e 2 pares de sapatos?
7 - Numa lanchonete há 5 tipos sanduíches, 4 tipos de refrigerantes e 3 tipos de sorvetes. De quantas maneiras podemos tomar um lanche composto por 1 sanduíche, 1 refrigerante e 1 sorvete?
8 - Quatro clubes de futebol (Grêmio, Santos, São
Paulo e Flamengo) disputam um torneio. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?
9 - A diretoria de um clube é composta por 10 membros, que podem ocupar a função de presidente, secretário ou tesoureiro. De quantas maneiras possíveis podemos formar com os 10 membros, chapas que contenham presidente, secretário e tesoureiro?
10 - (Supletivo 2010). Na figura, abaixo, estão
representadas três cidades pelos pontos P, R, S e as seis rodovias existentes, que interligam essas cidades.
João partirá da cidade P em direção à cidade
S. Quantos trajetos diferentes João pode escolher para realizar essa viagem?
11 - (Praticando matemática). Observe na figura a localização das cidades A, B, C, D, E, F;
De quantas maneiras se pode ir de A até C,
passando por B?
12 - (SEDUC-GO) Mateus saiu de Petrolina com destino a Quatambí e passará por Maraí, como mostra a figura a seguir.
De quantas maneiras distintas Mateus poderá realizar essa viagem?
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ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
CONCEITOS NUMÉRICOS
Número e algarismo - Os números de contagem são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...
observa-se que são infinitos.
Os algarismos do nosso sistema numérico são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9
observa-se que são finitos, em quantidade de 10. Exemplo: O número 234 tem os algarismos 2, 3 e 4, sendo:
Exemplos:
1 - Quantos números de 2 algarismos podem ser formados usando apenas os algarismo: 3, 4, 5, 6, e 7?
Como dispomos de 5 algarismos,	são	5
possibilidades de escolha para a 1ª casa (esquema abaixo); depois dessa escolha temos novamente 5 possibilidades para a 2ª casa, uma vez que podemos repetir algarismo.
2 - No exemplo anterior, quantos números de
dois algarismos distintos podemos formar?
Para a 1ª casa temos	5
possibilidades, depois dessa escolha teremos para 2ª casa apenas
4 possibilidades, pois não
podemos repetir algarismo.
3 - Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os algarismos do sistema decimal?
Para a 1ª casa temos 9 possibilidades (1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9), já que o zero não pode ocorrer na casa das dezenas; depois dessa escolha temos 10 possibilidade (0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9) para a 2ª casa.
13 - Quantos números de 2 algarismos podemos formar com os algarismos 2, 3, 5, 6, 7, 8?
14 - No exercício anterior, quantos números
de dois algarismos distintos podemos formar?
15 - Quantos números de dois algarismos distintos podemos formar com os algarismos do sistema decimal?
16 - Quantos números de três algarismos podemos formar com os algarismos 3, 4, 5, 6 e 7?
17 - Quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
18 - Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6?
19 - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7:
a) Quantos	números	de	3	algarismos podemos formar?
b) E de 3 algarismos distintos?
20 - Utilizando-se dos algarismos 2, 4, 6 e 8
a) Quantos	números	de	4	algarismos
podemos formar?
b) E de 4 algarismos distintos?
MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO
Múltiplos de 2
M(2) = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, ...}
Múltiplos de 3
M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, ...}
Múltiplos de 5
M(5) = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ...}
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ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
21 - Quantos números de dois algarismos podemos formar sabendo que o algarismo das dezenas é múltiplo de 2 (diferente de zero) e o algarismo das unidades é múltiplo de 3?
22 - Quantos números de 3 algarismos podem ser escritos nas seguintes condições: o algarismo das centenas é múltiplo de 3 (diferente de zero), o das dezenas é 4 ou 7 e o das unidades é múltiplo de 5?
NÚMEROS PARES
Números pares são todos aqueles terminados em
0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos:
· O número 13572 é par, pois termina em 2.
· O número 22225 não é par, pois termina em 5.
· 	O número 2 000 007 não é par, pois termina em 7.
Observações:
· 	Quando um número não é par é chamado ímpar, pela consequência da definição de número par, número ímpar é todo aquele terminado em 1, 3, 5, 7 ou 9.
· 	O que determina um número ser par, ou ímpar, é somente o algarismo da unidade, os demais algarismos (dezena, centena, unidade de milhar, etc) é indiferente.
23 - Usando somente os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e
6, podemos formar:
a) Quantos números de 2 algarismos?
b) Quantos números de 2 algarismos distintos?
c) Quantos números pares de 2 algarismos?
d) Quantos números ímpares de 2 algarismos?
e) Quantos números de 2 algarismos pares?
24 - Uma sorveteria oferece 10 sabores de sorvete. Se uma pessoa vai tomar 3 bolas, do mesmo sabor ou não, quantas opções diferentes ela tem?
FORMAÇÃO DE NOVAS PALAVRAS
Quantas palavras podem ser formadas com as quatro letras da palavra ROSA, sem repetir nenhuma letra?
Para a 1ª casa temos 4 possibilidades (4 letras), depois dessa escolha termos para a 2ª casa apenas 3, para a 3ª , 2 possibilidades e para a 4ª casa apenas 1.
Total 4 x 3 x 2 x 1 = 24
25 - Usando as 26 letras e os 10 algarismos conhecidos, quantas placas diferentes de automóvel podem ser feitas de modo que, em cada uma, existam 3 letras (não repetidas) seguidas de 4 algarismos?
26 - Quantas “palavras” de cinco letras distintaspodem ser formadas com as letras da palavra baixo?
FATORIAL DE UM NÚMERO
DEFINIÇÕES ESPECIAIS
0! = 1
1! = 1
Exemplos de números fatoriais
· Fatorial de 0: 0! (lê-se 0 fatorial) 0! = 1
· Fatorial de 1: 1! (lê-se 1 fatorial) 1! = 1
4
	
	ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
	· Fatorial de 2: 2! (lê-se 2 fatorial) 2! = 2 . 1 = 2
· Fatorial de 3: 3! (lê-se 3 fatorial) 3! = 3 . 2 . 1 = 6
· Fatorial de 4: 4! (lê-se 4 fatorial) 4! = 4. 3 . 2 . 1 = 24
· Fatorial de 5: 5! (lê-se 5 fatorial) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
· Fatorial de 6: 6! (lê-se 6 fatorial)
6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
· Fatorial de 7: 7! (lê-se 7 fatorial) 7! = 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 5040
· Fatorial de 8: 8! (lê-se 8 fatorial) 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 40320
· Fatorial de 9: 9! (lê-se 9 fatorial)
9! = 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 362.880
· Fatorial de 10: 10! (lê-se 10 fatorial)
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 3.628.800
Observação: O número fatorial também pode ser
representado da seguinte maneira:
5!
5 . 4!;
5 . 4 . 3!;
5 . 4 . 3 . 2!
Esse processo é muito importante quando se utiliza a simplificação de números fatoriais.
27 - Simplifique as expressões:
	28 - Calcule o valor ou simplifique:
ARRANJOS SIMPLES
Considere o seguinte problema: Dado o conjunto A = {2, 5, 7}, escreva todos os números de dois algarismos distintos com os elementos de A:
	
São eles: 25, 27, 52, 57, 72, 75
Assim, com o conjuntos A = {2, 5, 7}. De 3 elementos, podem-se escrever 6 números de dois algarismos distintos, onde um grupo difere do outro ou pela natureza dos seus elementos	(25 e 27, por exemplo) ou seja pela ordem dos elementos (25 e 52, por exemplo).	Esses	grupos	chamam-se ARRANJOS SIMPLES.
FÓRMULA: ARRANJO SIMPLES
no qual:
· An,p – é a quantidade de grupos formados;
· n – é a quantidade total de elementos dados
(geralmente a maior);
· p – é a quantidade de elementos nos grupos formados (geralmente a menor).
Quando aplicar: quando o exercício vem pedindo os elementos distintos ou sem
repetição nos grupos formados.	5
	
	ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
	Exemplos:
Treino de fórmula: a) Calcular 𝐴5,2:
Interpretação de problemas:
b) Quantos números de dois algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
c) Num concurso de beleza em que participam 10 candidatas, de quantos modos diferentes pode ser formado o grupo das 3 primeiras colocadas?
Observação: Nada impede que os exercícios sejam resolvidos pelo princípio fundamental da contagem.
28 - Calcule:
a) 𝐴4,2	c) 𝐴8,2	e) 𝐴5,1
b) 𝐴6,3	d) 𝐴4,4	f) 𝐴7,0
29 – Calcule:
30 - De quantos modos podem ser escolhidos o presidente e o vice-presidente de uma empresa entre 8 sócios?
31 - Quantas “palavras” (sequência de letras) de 5 letras distintas podem ser formadas com as letras da palavra JANEIRO?
	32 - Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números naturais de dois algarismos distintos podemos formar?
33 - De quantas maneiras 5 meninos podem sentar-se num banco que tem apenas 3 lugares?
34 - Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os estados da região sudeste do Brasil (São Paulo, Rio de Janeiro, Minas Gerais e Espírito Santo), cada um de uma cor?
35 - Quantas frações diferentes (e não iguais a 1) podemos escrever usando os números 2, 3, 5, 7, 11 e 13?
36 - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos maiores que 300 podemos formar?
37 - Quantos números ímpares de 4 algarismos não repetidos podemos escrever com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?
38 - Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do sistema decimal 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 de modo que:
a) comecem com 1?
b) comecem com 2 e termine com 5?
c) sejam divisíveis por 5?
39 - Tenho 6 livros diferentes de Português e 6 diferentes de Matemática. Quero colocar 4 livros de Português e 3 de Matemática na prateleira de uma estante. De quantas maneiras posso fazer isso, de modo que livros da mesma matéria fiquem juntos?
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ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
PERMUTAÇÕES SIMPLES
É um caso particular de arranjo simples, no qual n é igual a p, isto é:
Esse tipo de arranjo recebe o nome de permutação simples. Indicamos por Pn o número de permutações simples de n elementos:
𝑷𝒏 = n!
, no qual:
· 𝑃𝑛 – é a quantidade de grupos formados;
· n – é a quantidade total de elementos dados e a quantidade de elementos nos grupos.
Exemplos:
I) Calcular:
II) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3? Resolução:
𝑃3 = 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
III) Considere o seguinte problema: Dado o conjunto A = {2, 5, 7}, escreva todos os números de 3 algarismos distintos com os elementos de A:
· 257. 275, 527, 572, 725, 752
40 - Calcule o valor das expressões:
a) y = 5𝑃3+ 𝑃2	b) y = 3𝑃4𝑃4 2 𝐴6,2
41 - Quantos números de 5 algarismos distintos
podem ser formados por 1, 2, 3, 5 e 8?
42 - De quantas maneiras podem ser arrumados de forma horizontal três selos: 1 da Argentina, 1 do Brasil e 1 do Chile?
43 - Utilizando-se dos algarismos 2, 4, 6 e 8
a) Quantos números de 4 algarismos distintos
podemos formar?
b) Quantos números de 4 algarismos
podemos formar?
44 - De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto?
45 - De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares, ficando duas delas (por exemplo, pai e mãe) sempre juntas, em qualquer ordem?
46 - Um automóvel “acomoda” duas pessoas nos bancos dianteiros e três no banco traseiro. De quantas maneiras distintas podem cinco pessoas ocupar esse automóvel? Imagine que todos saibam dirigir.
PERMUTAÇÃO CIRCULAR
Permutação circular é um tipo de permutação composta por n elementos distintos em ordem cíclica (formando uma circunferência).
Exemplo: Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Em quantas disposições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa?
47 - Sabendo-se que determinada mesa circular tem 4 lugares, qual o total de maneiras distintas como Ana, Bruno, César e Davi podem sentar-se nessa mesa?
48 - Seis funcionários de uma loja participaram de uma reunião e todos tiveram de se sentar em uma mesa circular, com espaço disponível para seis pessoas. Considerando-se essa situação hipotética, a
7
	
	ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
	quantidade de maneiras possíveis para que cada
funcionário se sente à mesa é igual a:
ANAGRAMA
Um anagrama é uma palavra formada a partir da transposição das letras de outra palavra, ou seja, fazemos a reorganização das letras para formar uma nova palavra, que pode ter um significado ou não. Por exemplo, ao escrevermos “ROMA” e “RMAO” temos dois exemplos de anagramas da palavra “AMOR”.
EXEMPLOS DE ANAGRAMAS
· "amor" é um anagrama de "roma"
· "fado" é um anagrama de "dofa"
· "saudade" é um anagrama de "aduesad"
· "astro" é um anagrama de "sorta"
· "amigo" é um anagrama de "magio“
Veja na imagem a seguir um exemplo com todos os 6 anagramas da palavra “UVA”:
EXEMPLOS:
a) Quantos	são	os	anagramas	da	palavra VALOR?
𝑃5 = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
b) Quantos são os anagramas da palavra ALEX que começam por vogal?
2 . 𝑃3 = 2 . 3 . 2 . 1 = 12
c) Quantos são os anagramas (sequencia de letras) da palavra PEDAÇO que começam por vogal?
Se quiséssemos saber quantos começam por E, teríamos P5, pois basta calcular as
permutações com as letras PDAÇO e colocar o E na frente; da mesma forma para as
palavras que começam por A e por O. Assim, o total será:
3 x 𝑃5 = 3 . 5! = 3 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 360
	ANAGRAMAS COM REPETIÇÃO
Quantos são os anagramas que podemos formar com a palavra MATEMÁTICA?
Para calcular a quantidade de anagramas possíveis, primeiramente contaremos quantas letras a palavra tem. No caso, n = 10.
· A letra M repete 2 vezes.· A letra A repete 3 vezes.
· A letra T repete 2 vezes
Assim, a quantidade de anagramas possíveis pode ser calculada por:
49 -	Quantos	anagramas	têm	a	palavra
DEUS?
50 - Responda:
a) Quantos	anagramas	têm	a	palavra
EDITORA?
b) E que começam com a letra A?
c) E que começam com A e terminam com E?
51 - Responda:
a) Quantos são os anagramas da palavra
PERDÃO?
b) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO que iniciam com P e terminam por O?
c) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e nessa ordem (AO)?
d) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que as letras A e O aparecem juntas e em qualquer ordem?
e) Quantos são os anagramas da palavra PERDÃO em que P e O aparecem nos extremos?	8
ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
52 - Determine o número de anagramas que podem ser formados com as letras do nome ALEMANHA.
53 - Quantos são os anagramas da palavra
BATATA?
54 - Quantos são os anagramas da palavra
PAPA?
55 - Quantos são os anagramas da palavra
ARARA?
56 - Quantos são os anagramas da palavra
CAMARADA?
57 - Quantos são os anagramas da palavra
CAMARADA que começa por C?
58 - Paulo estava contabilizando anagramas. Quando se deparou com a palavra METÁFORA, calculou o número de anagramas dessa palavra que	começam	e		terminam	com	consoantes. Sabendo que o acento agudo presente na palavra não difere as duas letras iguais desta palavra, podemos	dizer		que	Paulo		encontrou	uma quantidade de anagramas igual a:
a) 3600	b) 4320	c) 5160	d) 20160
59 - Utilizando o nome COPACABANA, calcule o número de anagramas formados desconsiderando aqueles em que ocorrem repetições consecutivas de letras.
COMBINAÇÃO SIMPLES
É a quantidade de conjuntos de p elementos
utilizando-se de n elementos dados, sendo n ≥p.
no qual:
· cn,p – é a quantidade de conjuntos formados;
· n – é a quantidade total de elementos dados
(geralmente a maior);
· p – é a quantidade de elementos nos conjuntos (geralmente a menor).
Observação: Vale lembrar, que em conjunto a
ordem dos elementos não importa.
EXEMPLOS:
a)
b) Com um grupo de 8 pessoas, quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas/
Os grupos (comissões) formados neste problema são combinações simples, pois os elementos de cada grupo são distintos e um grupo difere do outro pela natureza dos elementos.
Seja n = 8 (número total de elementos) e p =
3 (número de elementos em cada grupo).
60 – Calcule a expressão abaixo:
61 - Após uma reunião com 9 pessoas, elas se despedem com um aperto de mão. Quantos são os apertos de mão?
62 - Quantos times diferentes de basquete podemos formar com 12 atletas? (obs.: um time de basquete tem 5 jogadores)
63 - Numa prova de 10 questões, o aluno pode fazer apenas 6. De quantas maneiras diferentes ele poderá escolher essas questões?
64 - Quantas comissões de 5 elementos podem formar com os 30 alunos de uma classe?
65 - Quantas duplas diferentes podemos
formar com um grupo de 8 tenistas?
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	ANALISE COMBINATÓRIA(EM13MAT310)
	66 - Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2 mulheres?
67 - Num grupo de 4 rapazes e 7 moças, quantas comissões com 2 rapazes e 2 moças podemos formar?
68 - Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas com 10 pessoas, sendo que uma determinada pessoa deve figurar em todas as comissões?
69 - (UEPA-2006) O presidente de uma Comissão Parlamentar Mista de Inquérito (CPMI) escolheu 5 senadores e 6 deputados federais para formação de subcomissões com 5 parlamentares, sendo 2 senadores e 3 deputados federais. Assim, o número de subcomissões que podem ser formadas com os parlamentares escolhidos é:
a) 30	c)90 e) 150
b) 200	d) 240
ARRANJO OU COMBINAÇÃO
Tanto arranjo como combinação são agrupamentos de p elementos distintos escolhidos a partir de um conjunto de n elementos. A diferença é que, no arranjo se mudarmos a ordem dos elementos de certo agrupamento, obteremos um novo agrupamento (altera a natureza), enquanto na combinação mudando a ordem dos elementos de certo agrupamento, obtemos o mesmo agrupamento (não altera a natureza).
70 - Marque com “A” se for arranjo, “C” se for combinação, “P” para permutação ou “PFC” para princípio fundamental da contagem:
a)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de 2 algarismos podemos formar?
b)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar?
c)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de 3 algarismos podemos formar?
d)( ) Utilizando-se de 1, 2 e 3 quantos números de
	3 algarismos distintos podemos formar?
e)( ) Um hospital tem 10 médicos quantas duplas diferentes de plantonistas dão para formar?
f)( ) Seis times de futebol disputam um torneio. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares?
g)( ) Quantos times diferentes de futebol
podemos formar com 22 jogadores?
h)( ) Dispondo-se de 4 frutas de quantas maneiras diferentes pode-se fazer um suco com 2 frutas?
i)( ) Em uma sorveteria há 4 sabores de sorvete. Se uma pessoa vai tomar 2 bolas, do mesmo sabor ou não, quantas opções diferentes ela tem?
j)( ) Em uma sorveteria há 4 sabores de sorvetes de quantas maneiras pode-se fazer um copo de sorvete de 2 sabores diferentes? l)(	)	Um	globo	de	sorteios	tem	bolas enumeradas de 1 a 60, quantas são as possibilidades	de	retirar	duas	bolas		com resultados diferentes?
71 - Marque com “A” se for arranjo ou “C” se
for combinação:
a) ( ) Utilizando-se de 1, 2, 3 e 4 quantos números de 2 algarismos distintos dão para formar?
b) ( ) Utilizando-se de 1, 2, 3 e 4 quantos números de 4 algarismos distintos dão para formar?
c) ( ) Um hospital tem 10 médicos quantas duplas diferentes de plantonistas dão para formar?
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	PROBABILIDADE - (EM13MAT106); (EM13MAT311A)
	FENÔMENOS ALEATÓRIOS
Aleatório é um termo utilizado para descrever algo que ocorre ou é escolhido de forma imprevisível, sem seguir um padrão ou uma ordem específica. É um conceito amplamente utilizado em diversas áreas do conhecimento, como matemática, estatística, ciência da computação, física, entre outras.
No contexto matemático, a aleatoriedade está relacionada à teoria das probabilidades, que estuda os fenômenos que envolvem incerteza e imprevisibilidade. Nesse sentido, um evento aleatório é aquele cujo resultado não pode ser previsto com certeza, mas pode ser quantificado por meio de uma probabilidade.
EXEMPLOS:
· Lançamento de dado;
· Resultado de um jogo de roleta;
· O resultado de uma extração da Mega-Sena;
Pelo fato de não sabermos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos os resultados prováveis, as chances, as probabilidades de um determinado resultado ocorrer.
CONCEITOS INICIAIS
ESPAÇO AMOSTRAL - É o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um fenômeno aleatório. É simbolizado pela letra grega ômega Ω.
EVENTO - É qualquer subconjunto de um espaço amostral. É simbolizado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.
Exemplo: No lançamento de um dado e registro dos res. Determine:
a) O espaço amostral Ω;
O espaço amostral de um dado são todas as
	possibilidades de resultados ao lançarmos um dado, logo Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6};
b) O evento A: ”ocorrência de número ímpar” Evento A: “ocorrência de número ímpar” do espaço amostral do dado, logo A = {1, 3, 5}.
1 - No lançamento de uma moeda, usando c para cara e k para coroa, determine:
a) o espaço amostral Ω;
b) o evento A: “sair cara”.
2 - No lançamento de um dado, defina:
a) o espaço amostral Ω;
b) o evento A: ocorrência de número par;
c) o evento B: ocorrência de número ímpar;
d) o evento C: ocorrência de número menor que 4;
e) o evento D: ocorrência de múltiplo de 3;
f) o evento E: ocorrência de número menor
que 1;
g) o evento F: ocorrência de número maior que zero e menor que 7.
3) No lançamento de um tetraedro (pirâmide de quatro faces triangulares congruentes), cujas faces estão numeradas de 1 a 4, defina:a) o espaço amostral Ω;
b) o evento A: ocorrência de número par;
c) o evento B: ocorrência do número 3;
d) o evento C: ocorrência de número menor que 4.
(Obs: Considera-se que “saiu o número 4” se a face numerada pelo 4 esta apoiada na mesa, após o lançamento.)
4 - Numa caixa há fichas numeradas de 1 a
10. Defina:
a) o espaço amostral Ω do experimento ”retirar fichas ao acaso da caixa”;
b) o evento A: ocorrência de número ímpar;
c) o evento B: ocorrência de número primo1; 1
	
	PROBABILIDADE - (EM13MAT106) ;(EM13MAT311A)
	d) o evento C: ocorrência de número maior que 4;
e) o evento D: ocorrência de número múltiplo de 4;
f) o evento E: ocorrência de número não múltiplo de 4;
g) o evento F: ocorrência de número com dois algarismos;
h) o evento G: ocorrência de número com três
algarismos.
5 - No lançamento simultâneo de duas moedas distinguíveis, usando c para cara e k para coroa, defina:
a) o espaço amostral Ω;
b) o evento A: ocorrência de exatamente uma
cara;
c) o evento B: ocorrência de coroa em ambas;
d) o evento C: ocorrência de pelo menos uma cara.
6 - No lançamento simultâneo de uma moeda e um dado, determine: (na moeda use
c para cara e k para coroa)
a) o espaço amostral Ω do experimento, numa tabela ou diagrama da árvore;
b) o evento A: ocorrência de cara e número par;
c) o evento B: ocorrência de coroa e número múltiplo de 3;
d) o evento C: ocorrência de coroa e número ímpar.
7 - Um casal planeja ter dois filhos, usando M para filho do sexo masculino e F para filho do sexo feminino. Determine:
a) todos os arranjos possíveis de meninos e meninas, usando uma tabela
b) o evento A: todas as crianças são meninos;
c) o evento B: nenhuma criança é menino;
d) o evento C: todas as crianças são do mesmo sexo.
8 - No lançamento de dois dados, determine:
a) o espaço amostral, utilizando
b) uma tabela;
b) evento A: ”sair o mesmo número em ambos os dados”;
	c) evento B: ”sair soma 7”;
d) evento C: ”sair soma maior que 10”;
e) evento D: ”sair soma menor que 5”;
f) evento E: ”sair soma maior que 12”;
g) evento F: ”sair soma maior que 1 e menor que 13”.
9 - Do experimento “retirar uma carta, ao
acaso, de um baralho de 52 cartas”,
Determine:
a) o evento A: ocorrência de ás;
b) o evento B: ocorrência de ás de ouros;
c) o evento C: ocorrência de número 2.
10 - Uma urna contém uma bola vermelha e três azuis, do experimento ”retirar uma bola ao acaso“. Defina:
a) o espaço amostral Ω;
b) o evento A: retirar bola vermelha;
c) o evento B: retirar bola azul.
11 - No lançamento simultâneo de 3 moedas distinguíveis, ou no lançamento de uma moeda
três vezes, determine: (use c para cara e k para coroa)
a) o espaço amostral Ω;
b) o evento A: ”sair 3 caras”;
c) o evento B: ”sair mais do que uma cara”;
d) o evento C: ”sair exatamente 2 coroas”. 12
	
	PROBABILIDADE - (EM13MAT312)
	CÁLCULO DE PROBABILIDADE
A probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por P(A), é um número que mede essa chance e é dado por:
𝑶 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒖 𝒒𝒖𝒆𝒓𝒐
Probabilidade =
𝑶 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒖 𝒕𝒆𝒏𝒉𝒐
Exemplo: Consideremos o experimento aleatório do lançamento de uma moeda perfeita. Qual é a probabilidade de sair cara?
Resolução:
Usando c para cara e k para coroa, segue, Espaço amostral: Ω = {c, k} ⟹ n(Ω) = 2
Evento A: ocorrência de cara → A = {c} ⟹ n(A) =
1.
Comentário: Isso não significa que, se jogarmos duas vezes a moeda, numa das jogadas sairá “cara” e, na outra, sairá “coroa”. Significa sim que, após um grande número de jogadas, em aproximadamente 50% (metade) delas sairá “cara”.
12 - No lançamento de um dado perfeito, qual é a
probabilidade de sair número maior do que 4?
13 - No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de que o resultado seja:
a) um número par?
b) um número primo?
c) o número 3?
d) um número menor que 3?
e) um número menor que 1?
f) um número menor que 7?
g) múltiplo de 4?
	14 - Escreva em pedaços iguais de papel os números de 1 a 10. Dobre-os igualmente, de modo que qualquer um deles tenha a mesma “chance” de ser retirado de uma caixa. Qual é a probabilidade de que o número retirado seja:
a) par?
b) divisível por 3?
c) um número primo?
d) maior que 8?
e) menor que 10?
f) um número entre 5 e 10?
g) múltiplo de 4?
15 - Em certa cidade, os táxis de uma frota são numerados de 1 a 200. Uma pessoa toma um táxi dessa frota ao acaso.
a) Qual a probabilidade de o número do táxi ser 85?
b) Qual a probabilidade de o número do táxi ser maior que 122?
16 - Qual é a probabilidade de sair “dois”, ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas?
17 - Em uma sala, assistindo a uma palestra, 40 pessoas estão usando crachás numerados de 1 a 40. Uma pessoa é escolhida ao acaso e convidada a sair da sala. Qual é a probabilidade de que esse número seja:
a) menor que 10?
b) múltiplo de 10?
18 - Nove válvulas perfeitas estão misturadas com	uma		válvula	defeituosa.		Elas		são testadas, uma a uma, até que a válvula defeituosa	seja	encontrada.	Qual		é		a probabilidade	de		que	a	primeira	válvula testada seja a defeituosa?
19 - Oito válvulas perfeitas estão misturadas com duas válvulas defeituosas. Elas são testadas, uma a uma, até que a válvula defeituosa seja encontrada. Qual é a probabilidade de que:
a) a primeira válvula testada seja a defeituosa?	13
	
	PROBABILIDADE - (EM13MAT312)
	b) a segunda seja defeituosa, sabendo-se que a
primeira retirada foi defeituosa.
20 - Seis casais estão numa festa. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de ser mulher?
21 - Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao acaso, retirar: (Obs.: para indicar o evento “sair bola vermelha” use índices assim A = {V1, V2, V3, V4})
a) uma bola vermelha?
b) uma bola branca?
22 - Um lote é formado de 12 calças perfeitas, 6 com algum defeito pequeno e 6 com defeitos graves. Se escolhermos uma calça ao acaso, qual será a probabilidade de que a calça:
a) tenha defeitos?
b) não tenha defeitos graves?
c) não tenha defeitos?
23 - Qual é a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, obter:
a) carta de copas?
b) ás?
c) ás de copas?
d) carta com naipe vermelho?
e) “três” vermelho?
24 - No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que: (use c para cara e k para coroa)
a) em ambas ocorra ”cara”?
b) em uma ocorra ”cara” e na outra “coroa”?
c) não ocorra nenhuma “cara”?
d) ocorra exatamente uma “coroa”?
25 - Um casal planeja ter exatamente 2 crianças.
Qual é a probabilidade de que:
a) todas as crianças sejam meninas?
b) todas as crianças sejam do mesmo sexo?
c) uma criança seja menino e a outra menina?
	PROBABILIDADE DE EVENTOS
COMPLEMENTARES
Seja, no lançamento de um dado, o evento A “sair número par” → A = {2, 4, 6} e o evento B “sair número ímpar” → B = {1, 3, 5}. Observe que A ∩ B = ∅ e A 𝖴 B = Ω,
A e B são chamados eventos complementares.
Sendo 𝐴− notação para “complementar do evento A”, segue a expressão,
26 - No lançamento de um dado perfeito, qual
é a probabilidade de não sair o 6?
27 - No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é probabilidade de não sair soma 5?
PROBLEMAS DE PROBABILIDADE QUE ENVOLVEM CONJUNTOS
14
	
	PROBABILIDADE - (EM13MAT312); (EM13MAT511A); (EM13MAT511B)
	b) a segunda seja defeituosa, sabendo-se que a
primeira retirada foi defeituosa.
20 - Seis casais estão numa festa. Uma pessoa é escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de ser mulher?
21 - Numa caixa há 6 bolas brancas e 4 bolas vermelhas. Qual é a probabilidade de, ao acaso, retirar: (Obs.: para indicar o evento “sair bola vermelha” use índices assim A = {V1, V2, V3, V4})
a) uma bola vermelha?
b) uma bola branca?
22 - Um lote é formado de 12 calças perfeitas, 6 com algum defeito pequeno e 6 com defeitos graves. Se escolhermos uma calça ao acaso, qual será a probabilidade de que a calça:
a) tenha defeitos?
b) não tenha defeitos graves?
c) não tenha defeitos?
23 - Qual é a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, uma carta de um baralho de 52 cartas, obter:
a) cartade copas?
b) ás?
c) ás de copas?
d) carta com naipe vermelho?
e) “três” vermelho?
24 - No lançamento simultâneo de duas moedas perfeitas e distinguíveis, qual é a probabilidade de que: (use c para cara e k para coroa)
a) em ambas ocorra ”cara”?
b) em uma ocorra ”cara” e na outra “coroa”?
c) não ocorra nenhuma “cara”?
d) ocorra exatamente uma “coroa”?
25 - Um casal planeja ter exatamente 2 crianças.
Qual é a probabilidade de que:
a) todas as crianças sejam meninas?
b) todas as crianças sejam do mesmo sexo?
c) uma criança seja menino e a outra menina?
	PROBABILIDADE DE EVENTOS
COMPLEMENTARES
Seja, no lançamento de um dado, o evento A “sair número par” → A = {2, 4, 6} e o evento B “sair número ímpar” → B = {1, 3, 5}. Observe que A ∩ B = ∅ e A 𝖴 B = Ω,
A e B são chamados eventos complementares.
Sendo 𝐴− notação para “complementar do evento A”, segue a expressão,
26 - No lançamento de um dado perfeito, qual
é a probabilidade de não sair o 6?
27 - No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é probabilidade de não sair soma 5?
PROBLEMAS DE PROBABILIDADE QUE ENVOLVEM CONJUNTOS
· UNIÃO DE CONJUNTOS
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}
e B = {3, 4, 5, 6}, A 𝖴 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
· INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6}, A ∩ B = {3, 4}.
15
	
	PROBABILIDADE - (EM13MAT312); (EM13MAT511A); (EM13MAT511B)
	
28 - Numa enquete foram entrevistados 100 estudantes. Setenta deles responderam que frequentavam um curso de microcomputadores, 28 responderam que frequentavam um curso de inglês e 10 responderam que frequentavam ambos, micro- computadores e inglês. Qual é a probabilidade de um desses estudantes selecionados ao acaso:
a) estar frequentando somente o curso de micro- computadores?
b) estar frequentando somente o curso de inglês?
c) estar	frequentando	o	curso	de
microcomputadores e curso de inglês?
d) estar	frequentando	o	curso	de microcomputadores ou curso de inglês?
e) não	estar	frequentando	nenhum	desses cursos?
29 - Num grupo de 75 jovens, 44 gostam de música; 39 gostam de esporte; 41 gostam de leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam d música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 16 gostam de música, esporte e leitura.
a) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso, um desses jovens e ele gostar somente de música?
b) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso, um desses jovens e ele gostar somente de esporte?
c) Qual é a probabilidade de eles gostarem somente de leitura?
d) Qual é a probabilidade de eles gostarem somente de música e esporte?
e) Qual é a probabilidade de eles não gostarem de nenhuma dessas atividades?
30 - Numa enquete foram entrevistadas 80 pessoas sobre os meios de transporte que utilizavam para ir ao trabalho e/ou à escola. Quarenta e dois responderam ônibus, 28 responderam carro e 30 responderam moto. Doze utilizavam-se de ônibus e carro, 14 de carro e moto e 18 de ônibus e moto. Cinco utilizavam-se dos três: carro, ônibus e moto. Qual é a probabilidade de que uma dessas pessoas, selecionada ao acaso, utilize:
	a) somente ônibus?
b) somente carro?
c) carro e ônibus, mas não moto?
d) nenhum dos três veículos?
e) apenas um desses veículos?
31 - Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de música, esporte e leitura; 24 gostam de música e esporte; 30 gostam de música e leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6 gostam somente de música; 9 gostam somente de esporte; e 5 jovens gostam somente de leitura.
a) Qual é a probabilidade de, ao apontar ao acaso, um desses jovens, eles gostam de música?
b) Qual é a probabilidade de, ao apontar, ao acaso, um desses jovens, eles não gostam de nenhuma dessas atividades?
PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS
EVENTOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
Exemplo: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4}
e B = {3, 4, 5, 6}, A 𝖴 B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Conhecendo as probabilidades de dois eventos quaisquer A e B e procuramos a probabilidade de ocorrer o evento A 𝖴 B, ou seja, conhecendo P(A) e P(B) querendo encontrar P(A 𝖴 B), utilize a expressão,
Exemplo: Ao retirarmos uma bola de uma urna que contém 15 bolas numeradas de 1 a 15, qual a probabilidade da bola ser um número múltiplo de 3 ou ser primo?
Evento A : múltiplo de 3 A = {3, 6, 9, 12, 15}
	 16
	
	PROBABILIDADE - (EM13MAT312); (EM13MAT511A); (EM13MAT511B)
	Evento B : número primo B = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
32 - No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual é probabilidade de se obter soma par ou soma múltipla de 3?
33 -	No	lançamento	de	um	dado	perfeito,
determine as probabilidades dos eventos:
a) sair número par;
b) sair número múltiplo de 3;
c) sair número par e múltiplo de 3;
d) sair número par ou múltiplo de 3;
e) não sair par nem múltiplo de 3;
f) não sair par ou não sair múltiplo de 3.
34 - Numa urna existem bolas numeradas de 1 a
17. Qualquer uma delas tem a mesma chance de ser retiradas. Qual a probabilidade de se retirar uma bola cujo número seja:
a) par?
b) primo?
c) par e primo?
d) par ou primo?
e) nem par nem primo?
f) par mas não primo?
g) primo mas não par?
35 - No lançamento de dois dados perfeitos, qual é a probabilidade de se obter soma 8 ou números iguais nas faces superiores?
36 - Uma moeda e um dado são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de se obter ”cara” ou um 6?
37 - Numa pesquisa feita com um grupo de rapazes sobre a preferência entre dois refrigerantes: guaraná e Coca-Cola, obtivemos os seguintes resultados:
	· 15 tomam guaraná;
· 12 tomam Coca-Cola;
· 10 tomam os dois;
· 3 não tomam nenhum dos dois.
Sorteando um rapaz desse grupo, calcule a probabilidade dele tomar guaraná ou coca cola.
38 - Numa pesquisa com um grupo de 200 estudantes sobre a leitura de todos os romances publicados de Machado de Assis e de todos de Graciliano Ramos, foi constatado que:
· 10 leram todos os romances de Machado de Assis;
· 8 leram todos os romances de Graciliano Ramos;
· 3 leram os todos os romances dos dois autores.
Sorteando um aluno desse grupo, calcule a
probabilidade do escolhido ter lido:
a) Machado de Assis;
b) Apenas Graciliano Ramos;
c) Machado ou Graciliano;
d) Nenhum dos dois.
40 - Há muitos anos atrás num grupo de estudantes do curso colegial clássico, exatamente:
· 50% estudavam francês;
· 80% estudavam grego;
· 15% não estudavam nem francês nem grego.
Escolhendo aleatoriamente um estudante desse grupo, qual a probabilidade que estudasse francês e grego?
41 - (Fuvest-SP) Uma urna contém 20 bolas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento: retirada de uma bola. Considere os eventos: A
= {a bola retirada possui um múltiplo de 2}; B
= {a bola retirada possui um múltiplo de 5}.
Então, a probabilidade do evento A 𝖴 B é:
17
	
	PROBABILIDADE (EM13MAT106)
	PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE
EVENTOS INDEPENDENTES
Dois eventos A e B são eventos independentes, se a probabilidade de ocorrer um deles não depende do fato de ter ou não ter ocorrido o outro. Segue a expressão,
EXEMPLO: Lançarmos um dado e uma moeda. Qual a probabilidade de ocorrer o número 3 no dado e cara na moeda?
Evento A : número 3 no dado P(A) = 1
6
Evento B: cara na moeda P(B) = 1
2
42 - Lançando uma moeda duas vezes, qual é a probabilidade de sair cara nas duas vezes?
43 - Lançando uma moeda e um dado, qual a probabilidade de ocorrer coroa e um número menor que 5?
44 - Numa urna há 8 bolas vermelhas e 6 bolas pretas. Qual a probabilidade de se retirarem sucessivamente duas bolas com reposição, sendo a primeira vermelha e a segunda preta?
45 - Qual a probabilidade de um casal ter 3 filhos,
todos do sexo masculino?
46 - São realizados dois lançamentos sucessíveis de um dado perfeito. Qual é a probabilidade de ocorrer, nos dois casos, o número 5?
47 - No lançamento de 3 dados, qual a probabilidade de ocorrer o número 2 em cada um deles?
49 - Lançando um dado 3 vezes, qual é a probabilidade de:
a) ocorrer o número 6 nos três lançamentos;
b) não ocorrer o número 6 nos três lançamentos
	
Exercícios de vestibulares
1 - (Enem-2012) João decidiu contrataros serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número do protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotasse. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número
1 3 9 8 2 0 7,
sendo que o espaço vazio é o algarismo que João não entendeu. De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de
a) centena	d) milhão
b) dezena de milhar	e) centena de milhão
c) centena de milhar
2 - (Enem-2012) Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a paciência que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas 7 colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas. A quantidade de cartas que forma o monte é
a) 21 b) 24 c) 26 d) 28 e) 31
3 - (UFES) Um shopping center possui 4 portas de entrada para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento. De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de fora do shopping center pode atingir o segundo pavimento usando os acessos mencionados?
a) 12 b) 17 c) 19 d) 23 e) 60
4 - (UEPA-2007, modificada) Para coleta de resíduos sólidos do prédio, o síndico pretende
18
	
	EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
	utilizar os 6 recipientes que se encontram enfileirados na área de serviço. Para tanto, deseja pintá-los, cada um de uma só cor, utilizando as quatro cores do código de cores do quadro III (cores: amarelo, azul, verde e vermelho). O número de maneiras que poderá fazer essa pintura é:
a) 4 096	b) 1 296	c) 972	d) 720	e) 360
5 - (UF-BA) Dispondo-se de abacaxi, acerola, goiaba, laranja, maçã, mamão e melão, calcule de quantos sabores diferentes pode-se preparar um suco, usando-se três frutas distintas?
6 - (UEPA-2006) O presidente de uma Comissão Parlamentar Mista de Inquérito (CPMI) escolheu 5 senadores e 6 deputados federais para formação de subcomissões com 5 parlamentares, sendo 2 senadores e 3 deputados federais. Assim, o número	de	subcomissões	que	podem	ser formadas com os parlamentares escolhidos é:
a) 30	b) 90	c) 150	d) 200	e) 240
7 - (UEPA-2011) Na floresta amazônica, há vários animais em processo de extinção e, dentre eles, vários mamíferos. O peixe-boi é um deles. O processo de extinção está ligado, principalmente, a pesca predatória. Se decidirmos pela procriação do peixe-boi em cativeiro, num lago especialmente preparado		para	isso,	e	tivermos	10	desses animais,	sendo	6	machos	e	4	fêmeas,	a quantidade de maneiras distintas de escolha de um casal para ocupar o lago será:
a) 10	b) 24	c) 40	d) 48	e) 60
8 - (UF-SE) Uma classe de tem 17 alunos, sendo 10 rapazes e 7 moças. Quantas comissões de 4 alunos podem ser formadas com os alunos dessa classe, nas qual participou somente uma moça?
9 - (UEPA-2011) O termo SUSTENTABILIDADE
está relacionado a manutenção das condições econômicas, sociais, culturais e ambientais da sociedade humana. O número de anagramas
	possíveis, com as 6 letras que se repetem desse termo será:
a) 720 b) 540 c) 120 d) 48 e) 24
10 - (UEPA-2005, modificada) O cacique, ao homenagear a filha, deu o nome à fruta, fazendo apenas a inversão das letras da palavra IAÇA. Porém, com essas letras, o total de anagramas que poderiam ser formados é de:
a) 36 b) 24 c) 18 d) 12 e) 6
11 - (UFPA-2010) É do grande poeta português Fernando Pessoa a belíssima frase:
“Tudo vale a pena se a alma não é pequena”
Tomados pelo espírito dessa frase, queremos formar novas sequências de palavras, permutando-se as palavras do verso, indiferentemente de constituir ou não frases, por exemplo: “A pena não vale tudo se pequena é a alma” ou “A a é pena não se vale pequena tudo alma”. É correto afirmar que o número de sequências distintas de palavras que se pode construir, utilizando todas as dez palavras, é igual a:
a) 453.600	d) 1.814.400
b) 7.257.600	e) 0907.200
c) 3.628.800
12 - (Enem-2015) Em uma central de atendimento, cem pessoas receberam senhas enumeradas de 1 até 100. Uma das senhas é sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de a senha sorteada ser um número de 1 a 20?
13 - (UEPA-2009) Um grupo de 12 artistas analisou duas obras de artes, 10 deles gostaram da primeira obra; 6 deles gostaram da segunda obra e 4 deles gostaram da primeira e da segunda obra. A probabilidade, ao acaso, de um desses artistas, gostar só da segunda obra é:
 19
	
	EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES
	14 - (Enem-2013) Uma escola com 1200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas. Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
15 - (Enem-2015) No próximo final de semana, um grupo de alunos participará de uma aula de campo. Em dias chuvosos, aulas de campo não podem ser realizadas. A ideia é essa aula seja no sábado, mas, se estiver chovendo no sábado, a aula será adiada para o domingo. Segundo a meteorologia,	a	probabilidade	de	chover	no sábado é de 30% e a de chover no domingo é de 25%. A probabilidade de que a aula de campo ocorra no domingo é de:
a) 5,0%	c) 22,5%	e) 75,0%
b) 7,5%	d) 30,0%
16 - (UFPA-2005) As últimas eleições têm surpreendido os institutos de pesquisa, principalmente quando dois candidatos se encontram empatados tecnicamente. Tentando entender essa questão, um estudante investigou a opção de votos de seus colegas de classe e verificou que, dos trinta investigados, 15 votaram no candidato A e 15 votaram no candidato B. Fez- se, então, a seguinte consideração: se um instituto de pesquisa fizesse uma sondagem, consultando apenas quatro alunos escolhidos aleatoriamente, a probabilidade de o instituto acertar o resultado da eleição na sala, por meio dessa amostra, seria, de, aproximadamente,
a) 27% b) 40% c) 50% d) 78% e) 92%
17 - (UFPA-2009) Quatro pássaros pousam em uma rede de distribuição elétrica que tem quatro fios paralelos. A probabilidade de que em cada fio pouse apenas um pássaro é:
a) 3/32	b) 1/256	c) 1/24	d) 1/4	e) 3/4
	19 - (UEPA-2006) O professor de matemática Magno, ao realizar sua prova de 4a avaliação, resolveu dar ’’uma colher de chá’’ para seus alunos. O professor propôs uma prova que continha 12 questões, numeradas de 1 a 12, das quais cada aluno deveria escolher exatamente 4 questões para serem resolvidas; destas, obrigatoriamente, deveriam ser 2 de questões de numeração ímpar e 2 de questões de numeração par. Considerando todas as possibilidades de escolha das 4 questões, de acordo com o exigido, a probabilidade de se escolher apenas questões com numeração menor que 7 é:
20 - (UEPA-2004) Os cursos ofertados pela UEPA no UEPA e UEPA, no município de IGARAPÉ-AÇU, com as respectivas vagas, constam na tabela abaixo:
Supondo que todas as vagas serão preenchidas, a probabilidade de sortearmos, ao acaso, um aluno do Curso de Licenciatura em Matemática ou um aluno aprovado no UEPA é de:
a) 25% b) 50% c) 60% d) 75% e) 100%
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