Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
GEOMETRIA ANALÍTICA AULA 2 Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 2 CONVERSA INICIAL Agora que sabemos o que são vetores e qual a importância destes elementos na resolução de diversos problemas reais, podemos tratar de operações relacionadas a eles. A primeira operação que estudaremos é a multiplicação de um vetor por um número, também conhecida como multiplicação de um vetor por um escalar. Em seguida, veremos como é possível efetuarmos a soma e a subtração de vetores. Estudaremos, ainda, as multiplicações entre vetores. Uma delas é conhecida como produto escalar, pois o resultado é um número, e outra é o produto vetorial, pois é uma multiplicação entre dois vetores do R3 cujo resultado é um vetor. Estudaremos também o produto misto, que consiste em uma combinação do produto escalar com o produto vetorial. A cada tema, teremos aplicações reais relacionadas ao que estamos estudando. TEMA 1 – MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR A primeira operação que iremos estudar é simples, mas muito importante. Consiste na multiplicação de um vetor por um número pertencente ao conjunto dos reais. A multiplicação é conhecida como multiplicação de um vetor por um escalar e, além dos aspectos conceituais, possui diversas aplicações. Uma delas, por exemplo, é bem simples. Se um automóvel está se deslocando para o leste a uma velocidade de 30 km/h o respectivo vetor é )0 ,30(=v . Se o motorista aumentar em três vezes esta velocidade, ele estará trafegando a 90 km/h e o vetor passa a ser )0 ,90(.3 =v . E como obtemos a multiplicação de um vetor por um escalar? A resposta é bem simples. Esta multiplicação consiste em multiplicarmos cada componente do vetor por um número. O vetor resultante terá a mesma direção do vetor original. Se o escalar for positivo, o sentido do vetor resultante é o mesmo e se o escalar for negativo, o sentido é oposto ao sentido do vetor inicial. A respeito do módulo, também temos uma relação fácil de ser observada. Ao multiplicarmos um vetor por um número k, o módulo deste vetor também fica multiplicado por k. Se k=0, o resultado da multiplicação de um vetor por k resulta no vetor nulo. Para entendermos melhor, vamos acompanhar um exemplo. 3 Exemplo: sabendo que )6 ,5(=v , obtenha o vetor v 2 . Faça a representação gráfica, calcule o módulo de v e o módulo de v 2 . Resolução: como )6 ,5(=v , para obtermos v 2 , basta multiplicarmos cada componente de v por 2: )6 ,5(=v )6 ,5.(22 =v )21 ,10(2 =v Graficamente, temos o seguinte: O vetor )6 ,5(=v : Figura 1 – Gráfico 1 4 O vetor )21 ,10(2 =v : Figura 2 – Gráfico 2 Os vetores )6 ,5(=v e )21 ,10(2 =v no mesmo sistema de eixos coordenados: Figura 3 – Gráfico 3 5 Módulo de )6 ,5(=v : 22 65|| +=v 3625|| +=v 61|| =v 81,7|| =v Módulo de )21 ,10(2 =v : 22 1210|2| +=v 144100|2| +=v 244|2| =v 62,15|2| =v Assim, o módulo de v é igual a 7,81 e o módulo de v 2 é igual a 15,62, o que corresponde ao dobro do módulo de v . Exemplo: considere o vetor )6 ,5(=v . Obtenha o vetor v 2− e em seguida faça a representação gráfica, calcule o módulo de v e o módulo de v 2− . Resolução: como )6 ,5(=v , para obtermos v 2− , basta multiplicarmos cada componente de v por 2: )6 ,5(=v )6 ,5.(22 −=− v )21- ,10(2 −=− v Graficamente, temos o que se segue (Figura 4). 6 Figura 4 – Gráfico 4 Módulo de )6 ,5(=v : 22 65|| +=v 3625|| +=v 61|| =v 81,7|| =v Módulo de )21- ,10(2 −=− v : 22 )12()10(|2| −+−=− v 144100|2| +=− v 7 244|2| =− v 62,15|2| =− v Observe que o vetor v 2− tem a mesma direção de v , mas com sentido contrário. E, ainda, o módulo de v é igual a 7,81 e o módulo de v 2− é igual a 15,62, o dobro do módulo de v . Generalizando, temos em R2: 21 ... vkvkvk += , em que ),( 21 vvv = e Rk e em R3: 321 .... vkvkvkvk ++= , em que ),,( 321 vvvv = e Rk A mesma ideia pode ser utilizada para vetores do Rn: nvkvkvkvk .... 21 +++= , em que ),...,,( 21 nvvvv = e Rk Dentre diversas aplicações, na computação, por exemplo, vetores são utilizados para armazenar informações. Se estas informações forem números, ao multiplicarmos um vetor por um escalar, estamos multiplicando cada elemento do vetor por este número. Para compreendermos melhor, temos alguns exemplos: Exemplo: no vetor )20 ,130 ,60(=v temos as medidas (altura, largura e profundidade), em polegadas, de um armário. Sabendo que uma polegada corresponde a 2,54 cm, obtenha o vetor w que contém as mesmas medidas, mas em centímetros. Resolução: como uma polegada é igual a 2,54 centímetros, precisamos multiplicar o vetor v por 2,54 para obtermos w : vw 54,2= )20 ,130 ,60(54,2=w )0,85 ;30,23 ;4,152(=w Observe que neste caso a vírgula separa as casas decimais. Sendo assim, para separarmos as componentes do vetor, estamos utilizando o ponto e vírgula. 8 Se dividirmos um vetor v pelo módulo de v , o resultado é um vetor unitário que tem mesmo sentido de v e denominado versor de v . Há diferentes notações utilizadas para a representação de um versor. Utilizaremos um acento circunflexo (^) sobre a letra para indicarmos um versor. Por exemplo, v̂ indica o versor de v . Exemplo: dado o vetor )13 ,11(=v , obtenha o versor de v . Resolução: inicialmente, precisamos calcular o módulo de v : 22 1311|| +=v 169121|| +=v 290|| =v 029,17|| =v Agora, precisamos dividir cada componente de v por 17,029, ou, de forma equivalente, multiplicarmos v por 1/17,029: )13 ,11( 029,17 1 ˆ =v = 029,17 13 , 029,17 11 v̂ ( ),760 ;65,0ˆ =v Podemos afirmar que o vetor ( ),760 ;65,0ˆ =v tem módulo igual a 1 e é o versor do vetor v . A seguir, veremos duas outras importantes operações relacionadas a vetores. A soma e a subtração. TEMA 2 – SOMA E SUBTRAÇÃO DE VETORES Quando temos duas ou mais forças aplicadas sobre um objeto, podemos determinar uma força resultante dada pela soma de vetores. Por exemplo, ao mantermos suspensa uma planta, temos um vetor que indica a força que estamos fazendo para cima e outro vetor decorrente da ação da gravidade (força peso) sobre a planta. 9 Figura 5 – Vetores Créditos: AtlasStudio/Shutterstock. A resultado é a soma do vetor decorrente da gravidade (força peso) com a força necessária para segurar a planta. Também é possível observarmos a soma de vetores em estruturas, tais como treliças. Figura 6 – Treliça A soma de vetores também auxilia no cálculo do contrapeso de uma plataforma. 10 Figura 7 – Contrapeso em plataforma Muitas aplicações relacionadas a vetores serão estudadas em disciplinas futuras. O processo para realizarmos a adição de vetores é bem simples. Basta somarmos as respectivas componentes de cada vetor. De uma forma geral, temos a soma dada por: ),...,,( 2211 nn vuvuvuvu +++=+ , em que ),...,,( 21 nuuuu = e ),...,,( 21 nvvvv = e, de maneira análoga, a subtração de vetores é dada pela subtração das respectivas componentes: ),...,,( 2211 nn vuvuvuvu −−−=− , em que ),...,,( 21 nuuuu = e ),...,,( 21 nvvvv = A subtração é um caso particular da soma, pois podemos escrever vu − na forma )( vu −+ . Exemplo: dados os vetores )3 ,1(=u e )4 ,2(=v , calcule vu + . Em seguida, faça a representação gráfica. 11 Resolução: )4 ,2()3 ,1( +=+ vu )43 ,21( ++=+ vu )7 ,3(=+ vu A soma de )3 ,1(=u e )4 ,2(=v correspondeao vetor )7 ,3(=+ vu . Vamos agora fazer a representação gráfica. Figura 8 – Representação gráfica 1 Exemplo: dados os vetores )3 ,1(=u e )4 ,2(=v , calcule vu − . Em seguida, faça a representação gráfica. 12 Resolução: )4 ,2()3 ,1( +=− vu )43 ,21( −−=− vu )1 ,1( −−=− vu A subtração de )3 ,1(=u e )4 ,2(=v corresponde ao vetor )1 ,1( −−=− vu . Vamos agora fazer a representação gráfica. Figura 9 – Representação gráfica 2 Mas por que essa subtração resultou no vetor )1 ,1( −−=− vu ? A resposta é bem simples. A subtração vu − é equivalente à soma )( vu −+ . Vamos fazer a representação gráfica considerando agora o vetor v − . 13 Figura 10 – Representação gráfica 3 Note que, tanto na soma quanto na subtração, podemos colocar a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro vetor para obtermos o vetor resultante. Chamamos este procedimento de regra do paralelogramo. Figura 11 – Vetores 14 Isso porque a imagem resultante corresponde a um paralelogramo: Figura 12 – Regra do paralelogramo De forma análoga, podemos representar graficamente a subtração de vetores. )( vuvu −+=− Figura 12 – Subtração de vetores As diagonais de um paralelogramo de lados iguais a u e v correspondem a vu + e vu − . Figura 13 – Diagonais do paralelogramo 15 Temos uma aplicação relacionada à soma de vetores, chamada de combinação linear. Podemos dizer que um vetor qualquer v é uma combinação linear dos vetores nvvv ,...,, 21 quando v é a soma dos múltiplos dos vetores nvvv ,...,, 21 : nnvvvv +++= 2211 , onde Rn ,...,, 21 Por exemplo, o vetor )4 ,2(=v é uma combinação linear dos vetores )0 ,1(=i e )1 ,0(=j . Observe que, se multiplicarmos i por 2 e j por 4, temos o vetor )4 ,2(=v : )1 ,0(4)0 ,1(242 +=+ ji )4 ,0()0 ,2(42 +=+ ji )4 ,2(42 =+ ji Os vetores i e j são chamados de vetores canônicos. Além de serem vetores unitários, formam uma base para o espaço vetorial R2. Observe que estes vetores estão sobre os eixos x e y, respectivamente. Figura 14 – Vetores nos eixos x e y No caso do espaço tridimensional R3, temos que os vetores canônicos são )0 ,0 ,1(=i , )1 ,0 ,0(=j e )1 ,0 ,0(=k . 16 Figura 15 – Vetores no espaço tridimensional Os vetores canônicos )0 ,0 ,1(=i , )1 ,0 ,0(=j e )1 ,0 ,0(=k são importantes, pois podemos escrever qualquer vetor de R3 como uma combinação linear destes vetores. Por exemplo, o vetor )5 ,2 ,3(=v pode ser escrito como kjiv 523 ++= . Graficamente, podemos representar vetores com duas ou com três componentes. No entanto, como na geometria analítica temos propriedades que garantem que as operações de soma e de subtração podem ser realizadas para vetores de n componentes, podemos efetuar a soma e a subtração de vetores do Rn mesmo sem a respectiva representação gráfica. Exemplo: dados os vetores )1 ,3 ,4 ,6( −=u e )11 ,7 ,3 ,2(−=v , calcule a soma vu + . Resolução: )11 ,7 ,3 ,2()1 ,3 ,4 ,6( −+−=+ vu )111 ,73 ,34 ),2(6( ++−+−+=+ vu )12 ,4 ,7 ,4(=+ vu TEMA 3 – PRODUTO ESCALAR Uma operação vetorial bastante importante é o produto escalar. O produto escalar é utilizado, por exemplo, para calcularmos o ângulo entre vetores, o ângulo entre retas e o ângulo entre planos. Também podemos utilizar o produto 17 escalar para calcularmos a média ponderada onde os valores são representados por um vetor e os respectivos pesos por outro. O nome produto escalar foi escolhido, pois o resultado desta multiplicação é um número, também denominado de escalar. Para determinarmos o produto escalar entre dois vetores, basta multiplicarmos as respectivas componentes e somarmos os resultados. No R2, por exemplo, o produto escalar é dado por 2121. yyxxvu += e no R3 o produto escalar é dado por 212121. zzyyxxvu ++= . De uma forma geral, temos: nn vuvuvuvu .... 2211 +++= , em que ),...,,( 21 nuuuu = e ),...,,( 21 nvvvv = . Para compreendermos melhor, vamos acompanhar alguns exemplos. Exemplo: dados os vetores )4 ,7 ,2(=u e )3 ,6 ,5(=v , determine vu . . Resolução: o produto escalar vu . é obtido a partir da soma dos produtos das componentes dos vetores u e v , ou seja, 3x46x75x2. ++=vu . Fazendo as multiplicações, temos: 124210. ++=vu que resulta em 64. =vu . Exemplo: determine o produto escalar vu . em que: )7 ,3 ,5 ,1 ,2(=u e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(=v . Resolução: o produto escalar vu . pode ser calculado como segue. nn vuvuvuvu .... 2211 +++= . Em particular, o produto vu . com )7 ,3 ,5 ,1 ,2(=u e )1 ,3 ,8 ,2 ,5(=v é igual a: 1x73x38x52x15x2. ++++=vu 7940210. ++++=vu 68. =vu 18 Logo, o produto escalar vu . é igual a 68. Podemos definir também o produto escalar por meio da expressão cos.||.||. vuvu = Em que é o ângulo entre os vetores u e v e 1800 . Figura 16 – Ângulo entre vetores Exemplo: calcule o produto escalar entre os vetores )0 ,5(=u e )6 ,0(=v utilizando a expressão cos.||.||. vuvu = . Resolução: a figura a seguir ilustra os vetores u e v . Figura 17 – Vetores u e v 19 Como o ângulo entre esses vetores é igual a 90°, pois cada um desses vetores está sobre cada um dos eixos coordenados, temos ++= 90cos.60.05. 2222vu Vamos calcular as potências e o valor de cos 90°: 0.360.025. ++=vu Efetuando as somas, temos: 0.36.25. =vu Calculando as raízes, temos: 0.6.5. =vu Finalmente, vamos efetuar as multiplicações: 0. =vu Ou seja, o produto escalar vu . é igual a 0. O produto escalar entre dois vetores ortogonais é sempre igual a 0, ou seja, u é ortogonal a v se e somente se 0. =vu . Dentre diversas aplicações do produto escalar, uma delas é o cálculo de médias ponderadas. Exemplo: um estudante obteve nota 67 na prova objetiva, nota 84 na prova discursiva e nota 99 em uma atividade prática. Sabendo que os pesos dessas avaliações correspondem, respectivamente, a 50%, 30% e 20%, utilize o vetor u para armazenar as notas, o vetor v para armazenar os pesos de cada avaliação produto escalar vu . para calcular a respectiva média ponderada. Resolução: sejam os vetores )99 ,48 ,67(=u e ),20 ;,30 ;5,0(=v , o produto escalar vu . é dado por ),20 ;,30 ;5,0).(99 ,48 ,67(. =vu 20 ,20x99,30x845x0,67. ++=vu 8,192,255,33. ++=vu ,578. =vu Como o produto escalar também pode ser escrito na forma: cos.||.||. vuvu = Em que é o ângulo entre os vetores u e v , podemos obter de forma análoga a expressão: ||.|| . cos vu vu = . Com essa fórmula, é fácil calcular o ângulo formado pelos vetores não nulos u e v . Exemplo: qual é o ângulo formado pelos vetores )7 ,3( −=u e )2 ,4(=v ? Resolução: o ângulo entre u e v é dado por: ||.|| . cos vu vu = Inicialmente, vamos calcular vu . : )2 ,4).(7 ,3(. −=vu 1412. −=vu 2. −=vu Em seguida, os termos do denominador da fórmula: 22 )7(3|| −+=u 499|| +=u 58|| =u 22 24|| +=v 416|| +=v 20|| =v 21 20.58||.|| =vu 1160||.|| =vu 058773,34||.|| =vu Substituindo esses termos na fórmula: ||.|| . cos vu vu = Temos: 058773,34 2 cos − = -0,058722cos = ( )0,058722-cos 1−= = 37,93 TEMA 4 – PRODUTO VETORIAL Quando precisamos obter a equação de uma reta ortogonal a outras duas ou para escrevermos a equação geral de um plano,precisamos de um vetor que forme 90° com outros dois vetores. Para isso, temos uma operação definida em R3 e denominada de produto vetorial. O produto vetorial, também conhecido como produto externo, é realizado a partir de dois vetores não colineares e o resultado é um terceiro vetor ortogonal aos outros dois, ou seja, o produto vetorial gera um vetor que forma 90° com os vetores utilizados no respectivo produto. 22 Figura 18 – Produto vetorial Podemos obter o produto vetorial de uma forma bem simples utilizando a Regra de Sarrus para o cálculo de determinantes. Veremos os detalhes no exemplo a seguir: Exemplo: dados os vetores )2 ,1 ,3( −=u e )6 ,3 ,5(=v , obtenha um vetor w ortogonal aos vetores u e v . Resolução: o produto vetorial é dado por 635 213 −= kji vu Vamos repetir as duas primeiras colunas: 35635 13213 −−= jikji vu 23 Agora basta fazermos as multiplicações no sentido da diagonal principal e, em seguida, as multiplicações no sentido da diagonal secundária. Note que para as multiplicações no sentido da diagonal secundária fazemos a troca dos respectivos sinais. A sequência de multiplicações, de forma detalhada, é: )5).(1).(()3).(2).(()6).(3).(()3).(3).(()5).(2).(()6).(1).(( −−−−++−= kijkjivu que resulta em: kijkjivu 56189106 +−−++−= Somando os termos semelhantes, temos: kjivu 14812 +−−= ou, de forma equivalente: )41 ,8- ,12(−=vu O módulo do produto vetorial está associado à área de um paralelogramo em que a base corresponde ao vetor u e a altura ao vetor v . Assim, || vuA = . Figura 19 - Paralelogramo 24 Quando tratamos de produto vetorial, a associatividade não é válida, ou seja ( ) wvu é diferente de ( )wvu . No entanto, são válidas as seguintes propriedades: i) ( ) wuvuwvu +=+ e ( ) wvwuwvu +=+ II) ( ) ( ) ( )vkuvukvuk ... == III) ( ) ( )wvuwvu .. = Em que u , v e w são vetores quaisquer e k é um escalar. TEMA 5 – PRODUTO MISTO Quando temos uma combinação do produto escalar e do produto vetorial dos vetores u , v e w , temos um produto denominado de produto misto e é dado por 321 321 321 ).( www vvv uuu wvu = . Geometricamente, podemos interpretar o módulo do produto misto como sendo o volume de um paralelepípedo cujas arestas são definidas pelos vetores não coplanares u , v e w . Figura 20 – Produto misto 25 Exemplo: considere os vetores )0 ,3 ,2(=u , )1 ,2 ,0(=v e )3 ,1 ,1( −=w . Calcule ).( wvu . Resolução: o produto misto é dado por: 411 120 032 ).( − =wvu Repetindo as duas primeiras colunas, temos: 11411 20120 32032 ).( − =wvu 0200316).( −−−++−=wvu 15).( −=wvu FINALIZANDO No decorrer da aula, estudamos operações relacionadas a vetores. A multiplicação de um vetor por um escalar é dada pela multiplicação de cada componente do vetor pelo escalar. A soma de dois vetores consiste na soma das respectivas componentes dos vetores. A subtração de vetores é dada pela subtração das respectivas componentes destes vetores. Vimos que o produto escalar cujo resultado é um número é dado pela soma das multiplicações das respectivas componentes dos vetores. O produto vetorial cujo resultado é um vetor está definido apenas no espaço tridimensional R3 e gera um vetor ortogonal a cada um dos vetores utilizados na operação. 26 REFERÊNCIAS BORIN JUNIOR, A. M. S. (org). Geometria analítica. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2014. FERNANDES, L. F. D. Geometria Analítica. Curitiba: InterSaberes, 2016. SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Artmed, 2009. THOMAS, G. B.; HASS, J.; WEIR, M. D. Cálculo. 12.ed. São Paulo: Pearson, 2008. 2 v. WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Pearson, 2014.
Compartilhar