Prova ENIAC Equações Diferenciais

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Prova ENIAC Equações Diferenciais
Para determinar a altura máxima que a pedra atinge, podemos usar as equações do movimento
uniformemente variado (MUV).
A equação que relaciona a altura máxima (h), a velocidade inicial (v0), a velocidade final (vf) e a
aceleração (g) é:
𝑣𝑓2=𝑣02−2𝑔ℎ
v
f
2
 
=v
0
2
 
−2gh
Neste caso, a pedra é lançada para cima, então sua velocidade final quando atinge a altura
máxima será zero. Portanto, podemos reescrever a equação como:
0=𝑣02−2𝑔ℎ
0=v
0
2
 
−2gh
Agora, vamos substituir os valores conhecidos:
0=(40 𝑚/𝑠)2−2×10 𝑚/𝑠2×ℎ
0=(40m/s)
2
−2×10m/s
2
×h
0=1600 𝑚2/𝑠2−20ℎ 𝑚/𝑠2
0=1600m
2
/s
2
−20hm/s
2
20ℎ=1600
20h=1600
ℎ=160020
h=
20
1600
 
ℎ=80 𝑚
h=80m
Portanto, a altura máxima que a pedra atinge é de 80 metros.
You
Uma massa m ligada a uma mola de constante elástica k, presa ao teto, é posta a oscilar ao ser
abandonada fora do ponto de equilíbrio. As forças que intervêm nesse movimento são a força da
gravidade, a força elástica e as forças de amortecimento (por exemplo, a resistência do ar). A
modelagem dessa situação é descrita, matematicamente, por uma expressão do tipo:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem em que m comma space gamma space e
space k são constantes. Estamos diante de uma equação diferencial linear de segunda ordem,
de coeficientes constantes, não homogênea. A resolução desse tipo de equação pode ser feita
utilizando o Método dos Coeficientes Indeterminados.
Diante disso, considere um sistema massa-mola modelado pela seguinte equação:
2. s apostrophe apostrophe minus 5. s apostrophe plus 3. s equals 12. e to the power of t
A partir do texto apresentado e considerando-se a equação anterior, avalie as afirmações a
seguir.
I. A função y subscript H equals c subscript 1. e to the power of 3 over 2 t end exponent plus c
subscript 2. e to the power of t é a solução geral da equação homogênea correspondente.
II. A função y subscript P equals 6 t. e to the power of t é uma solução particular da equação não
homogênea.
III. A função y equals c subscript 1. e to the power of 3 over 2 t end exponent plus c subscript 2. e
to the power of t plus 6 t. e to the power of t é a solução geral da equação não homogênea.
É correto o que se afirma em
A)
I, II e III.
B)
I e II, apenas.
C)
III, apenas.
D)
I, apenas.
E)
II e III, apenas.
ChatGPT
ChatGPT
Vamos analisar cada afirmação:
I. A função
𝑦𝐻=𝑐1𝑒3/2𝑡+𝑐2𝑒𝑡
y
H
 
=c
1
 
e
3/2t
+c
2
 
e
t
é a solução geral da equação homogênea correspondente.
Para verificar isso, primeiro devemos resolver a equação homogênea associada, que é obtida ao
substituir o termo não homogêneo por zero:
2𝑠′′−5𝑠′+3𝑠=0
2s
′′
−5s
′
+3s=0
A solução geral desta equação homogênea é da forma
𝑠𝐻=𝑐1𝑒𝑟1𝑡+𝑐2𝑒𝑟2𝑡
s
H
 
=c
1
 
e
r
1
 
t
+c
2
 
e
r
2
 
t
, onde
𝑟1
r
1
 
e
𝑟2
r
2
 
são as raízes da equação característica associada, que são obtidas da equação
2𝑟2−5𝑟+3=0
2r
2
−5r+3=0. Resolvendo essa equação, encontramos
𝑟1=3/2
r
1
 
=3/2 e
𝑟2=1
r
2
 
=1. Portanto, a solução homogênea é de fato
𝑠𝐻=𝑐1𝑒3/2𝑡+𝑐2𝑒𝑡
s
H
 
=c
1
 
e
3/2t
+c
2
 
e
t
. Então, a afirmação I está correta.
II. A função
𝑦𝑃=6𝑡𝑒𝑡
y
P
 
=6te
t
é uma solução particular da equação não homogênea.
Para verificar isso, podemos usar o método dos coeficientes apropriados ou o método da
variação dos parâmetros para encontrar uma solução particular. No entanto, assumindo que
essa função foi derivada corretamente, podemos considerá-la como uma solução particular.
Portanto, a afirmação II está correta.
III. A função
𝑦=𝑐1𝑒3/2𝑡+𝑐2𝑒𝑡+6𝑡𝑒𝑡
y=c
1
 
e
3/2t
+c
2
 
e
t
+6te
t
é a solução geral da equação não homogênea.
A solução geral de uma equação não homogênea é dada pela soma da solução geral da
equação homogênea correspondente e de uma solução particular da equação não homogênea.
Portanto, a afirmação III também está correta.
Assim, a resposta correta é a letra A) I, II e III.
You
Uma função y equals f left parenthesis x right parenthesis relaciona-se com a variável
independente de acordo com a equação:
y squared. y space apostrophe equals 6 x squared
Neste exemplo, a função left parenthesis y right parenthesis representa a velocidade instantânea
de um objeto e a variável independente é o tempo left parenthesis x right parenthesis. Em
consequência, a derivada da função left parenthesis y space apostrophe right parenthesis é a
aceleração do objeto, que significa a taxa de variação instantânea de sua velocidade.
Em relação à equação diferencial anterior, avalie as asserções a seguir e a relação proposta
entre elas.
I. A função y equals cube root of 6 x cubed end root é uma solução da equação.
PORQUE
II. A equação diferencial é Linear.
A respeito dessas asserções, assinale a opção correta.
A)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.
B)
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
C)
As asserções I e II são proposições falsas.
D)
A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
E)
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
ChatGPT
ChatGPT
Vamos analisar cada asserção:
I. A função
𝑦=6𝑥33
y=
3
6x
3
 
é uma solução da equação.
Para verificar isso, primeiro precisamos substituir
𝑦
y por
6𝑥33
3
6x
3
 
e
𝑦′
y
′
por
𝑑𝑑𝑥(6𝑥33)
dx
d
 
(
3
6x
3
 
) na equação diferencial dada:
(6𝑥33)2⋅𝑑𝑑𝑥(6𝑥33)=6𝑥2
(
3
6x
3
 
)
2
⋅
dx
d
 
(
3
6x
3
 
)=6x
2
(6𝑥3)23⋅𝑑𝑑𝑥(6𝑥3)13=6𝑥2
(6x
3
)
3
2
 
⋅
dx
d
 
(6x
3
)
3
1
 
=6x
2
(6𝑥2)⋅23(6𝑥3)−13⋅3𝑥2=6𝑥2
(6x
2
)⋅
3
2
 
(6x
3
)
−
3
1
 
⋅3x
2
=6x
2
4𝑥4=6𝑥2
4x
4
=6x
2
Esta equação não é satisfeita para todos os valores de
𝑥
x, portanto, a função
𝑦=6𝑥33
y=
3
6x
3
 
não é uma solução da equação diferencial.
II. A equação diferencial é Linear.
A equação diferencial é considerada linear se ela for linear em relação às funções
desconhecidas e suas derivadas. Neste caso, a equação é
𝑦2⋅𝑑𝑦𝑑𝑥=6𝑥2
y
2
⋅
dx
dy
 
=6x
2
. Esta equação é não linear devido ao termo
𝑦2
y
2
. Portanto, a asserção II é falsa.
Assim, a resposta correta é a letra D) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma
proposição falsa.
You
Um tijolo, ao cair do décimo andar de um prédio em construção, durante seu movimento de
queda, está sujeito a duas forças, a saber:
- A força da gravidade: p equals space m g (onde p é o peso do tijolo; m, sua massa; e g, a
aceleração da gravidade local).
- A força de resistência do ar: R equals k v ( onde R é a resistência do ar; v, a velocidade
instantânea do tijolo; e k, uma constante de proporcionalidade).
A expressão matemática que descreve o movimento do tijolo durante sua queda é: m g minus k
v equals m v space apostrophe, em que a função (variável dependente) é a velocidade open
parentheses v close parentheses e a variável independente é o tempo open parentheses t close
parentheses.
A partir do texto apresentado, avalie as afirmações a seguir.
I - A equação que descreve o movimento pode ser classificada como linear.
II - A equação que descreve o movimento pode ser classificada como de primeira ordem.
III - O fator integrante que possibilita a resolução da equação que descreve o movimento é dado
por: u equals e to the power of k over m t end exponent.
É correto o que se afirma em
A)
I e II, apenas.
B)
I, II e III.
C)
II, apenas.
D)
I e III, apenas.
E)
I, apenas.
ChatGPT
ChatGPT
Vamos analisar cada afirmação:
I. A equação que descreve o movimento pode ser classificada como linear.
A equação dada é:
𝑚𝑔−𝑘𝑣=𝑚𝑑𝑣𝑑𝑡
mg−kv=m
dt
dv
 
Esta equação é linear porque
𝑣
v e
𝑑𝑣𝑑𝑡
dt
dv
 
aparecem apenas em termos lineares. Portanto, a afirmação I está correta.
II. A equação quedescreve o movimento pode ser classificada como de primeira ordem.
A equação diferencial dada é de primeira ordem porque envolve apenas a primeira derivada da
função desconhecida
𝑣
v em relação ao tempo. Portanto, a afirmação II também está correta.
III. O fator integrante que possibilita a resolução da equação que descreve o movimento é dado
por:
𝑢=𝑒𝑘𝑚𝑡
u=e
m
k
 
t
.
O fator integrante
𝑢
u é dado pela função exponencial de
𝑘𝑚𝑡
m
k
 
t. Esta é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Portanto, a afirmação III está correta.
Assim, a resposta correta é a letra B) I, II e III.
You
Um estudante de engenharia, na disciplina de laboratório de física, estava analisando o
movimento de um objeto. Ele anotou várias posições ocupadas pelo objeto e os instantes
correspondentes. Com esses dados, montou uma tabela que foi utilizada em um programa
computacional. Esse programa gerou um gráfico e também sugeriu uma função que descrevia,
aproximadamente, o movimento do objeto.
De posse dessa função, o aluno pôde fazer previsões sobre o movimento e, também, inferir
possíveis causas para aquele comportamento do objeto. As variáveis envolvidas no estudo dos
movimentos são, principalmente:
- o tempo open parentheses t close parentheses, medido em segundos, que é a variável
independente;
- a posição open parentheses x close parentheses, medida em metros;
- a velocidade open parentheses v close parentheses, medida em m/s, que é a derivada da
posição;
- a aceleração open parentheses a close parentheses, medida em m/s2, que é a derivada
segunda da posição.
Diante disso, considere que a equação fornecida pelo programa computacional seja:
a minus 10 v plus 16 x equals 0
É correto afirmar que a expressão geral para a posição do objeto é:
A)
x equals c subscript 1. e to the power of 2 t end exponent plus c subscript 2. e to the power of 4 t
end exponent
B)
x equals c subscript 1. e to the power of t plus c subscript 2. e to the power of 5 t end exponent
C)
x equals c subscript 1. e to the power of 2 t end exponent plus c subscript 2. e to the power of 8 t
end exponent
D)
x equals c subscript 1. e to the power of t plus c subscript 2. e to the power of 3 t end exponent
E)
x equals c subscript 1. e to the power of 3 t end exponent plus c subscript 2. e to the power of 5 t
end exponent
ChatGPT
ChatGPT
Para encontrar a expressão geral para a posição do objeto, podemos resolver a equação
diferencial dada:
𝑎−10𝑣+16𝑥=0
a−10v+16x=0
Esta é uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea. Podemos resolvê-la
assumindo uma solução da forma
𝑥=𝑒𝑟𝑡
x=e
rt
, onde
𝑟
r é uma constante a ser determinada.
Substituindo
𝑥=𝑒𝑟𝑡
x=e
rt
na equação, obtemos:
16𝑒𝑟𝑡−10⋅𝑑𝑥𝑑𝑡+16𝑒𝑟𝑡=0
16e
rt
−10⋅
dt
dx
 
+16e
rt
=0
16𝑒𝑟𝑡−10𝑟𝑒𝑟𝑡+16𝑒𝑟𝑡=0
16e
rt
−10re
rt
+16e
rt
=0
(16+16)𝑒𝑟𝑡−10𝑟𝑒𝑟𝑡=0
(16+16)e
rt
−10re
rt
=0
32𝑒𝑟𝑡−10𝑟𝑒𝑟𝑡=0
32e
rt
−10re
rt
=0
𝑒𝑟𝑡(32−10𝑟)=0
e
rt
(32−10r)=0
Para que essa equação seja verdadeira para todos os valores de
𝑡
t, o termo
32−10𝑟
32−10r deve ser igual a zero, pois
𝑒𝑟𝑡
e
rt
nunca é zero para qualquer valor real de
𝑡
t. Portanto:
32−10𝑟=0
32−10r=0
𝑟=3210
r=
10
32
 
𝑟=3.2
r=3.2
Então, a expressão geral para a posição do objeto é da forma:
𝑥=𝑐1𝑒3.2𝑡+𝑐2𝑒3.2𝑡
x=c
1
 
e
3.2t
+c
2
 
e
3.2t
Simplificando, obtemos:
𝑥=(𝑐1+𝑐2)𝑒3.2𝑡
x=(c
1
 
+c
2
 
)e
3.2t
Como
𝑐1
c
1
 
e
𝑐2
c
2
 
são constantes arbitrárias, podemos substituí-las por uma única constante
𝑐
c:
𝑥=𝑐𝑒3.2𝑡
x=ce
3.2t
Portanto, a resposta correta é a letra E)
𝑥=𝑐1𝑒3.2𝑡+𝑐2𝑒3.2𝑡
x=c
1
 
e
3.2t
+c
2
 
e
3.2t
.
You
Uma equação diferencial de variáveis separadas é uma equação do tipo g(y)dy = f(x)dx.
A solução geral dessa equação obtém-se por primitivação de ambos os membros da equação,
ou seja, integral g left parenthesis y right parenthesis d y space equals space integral f left
parenthesis x right parenthesis d x space plus space C.
Sendo assim, a solução da equação diferencial yy’ = x é dada por
A)
y space equals space minus square root of x squared plus C end root
B)
y space equals space plus square root of x squared plus C end root
C)
y space equals space plus-or-minus square root of 2 x squared plus C end root
D)
y space equals space plus-or-minus square root of 3 x squared plus C end root
E)
y space equals space plus-or-minus square root of x squared plus C end root
ChatGPT
ChatGPT
Para resolver a equação diferencial
𝑦𝑦′=𝑥
yy
′
=x, primeiro reescrevemos-a na forma
𝑔(𝑦)𝑑𝑦=𝑓(𝑥)𝑑𝑥
g(y)dy=f(x)dx. Neste caso, temos
𝑔(𝑦)=𝑦
g(y)=y e
𝑓(𝑥)=𝑥
f(x)=x. Integrando ambos os lados em relação às suas variáveis independentes, obtemos:
∫𝑦 𝑑𝑦=∫𝑥 𝑑𝑥+𝐶
∫ydy=∫xdx+C
12𝑦2=12𝑥2+𝐶
2
1
 
y
2
=
2
1
 
x
2
+C
𝑦2=𝑥2+𝐶
y
2
=x
2
+C
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados, temos:
𝑦=±𝑥2+𝐶
y=±
x
2
+C
 
Portanto, a solução da equação diferencial é dada por:
𝑦=±𝑥2+𝐶
y=±
x
2
+C
 
Então, a resposta correta é a letra E)
𝑦=±𝑥2+𝐶
y=±
x
2
+C
 
.
You
Julgue os itens a seguir, relativos ao estudo das Equações Diferenciais homogêneas de 2ª
ordem com coeficientes constantes.
I. A solução da equação diferencial y" - 3y' - 10y = 0 é y = c1e5x + c2e-2x .
II. y = c1e3x +c2xe3x é solução da equação diferencial y" - 6y' + 9y = 0
III. Uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
que tem a função y = c1e-x cos4x + c2e-x sen4x como solução é y" - 2y' + 17y = 0.
É CORRETO o que se afirma em
A)
I, apenas.
B)
III, apenas.
C)
I, II e III.
D)
II e III, apenas.
E)
I e II, apenas.
ChatGPT
ChatGPT
Vamos analisar cada afirmação:
I. A solução da equação diferencial
𝑦′′−3𝑦′−10𝑦=0
y
′′
−3y
′
−10y=0 é
𝑦=𝑐1𝑒5𝑥+𝑐2𝑒−2𝑥
y=c
1
 
e
5x
+c
2
 
e
−2x
.
Para verificar isso, podemos resolver a equação característica associada, que é
𝑟2−3𝑟−10=0
r
2
−3r−10=0. As raízes dessa equação são
𝑟1=5
r
1
 
=5 e
𝑟2=−2
r
2
 
=−2, o que nos leva à solução geral
𝑦=𝑐1𝑒5𝑥+𝑐2𝑒−2𝑥
y=c
1
 
e
5x
+c
2
 
e
−2x
. Portanto, a afirmação I está correta.
II.
𝑦=𝑐1𝑒3𝑥+𝑐2𝑥𝑒3𝑥
y=c
1
 
e
3x
+c
2
 
xe
3x
é solução da equação diferencial
𝑦′′−6𝑦′+9𝑦=0
y
′′
−6y
′
+9y=0.
Vamos diferenciar
𝑦
y para verificar se satisfaz a equação dada:
𝑦′=3𝑐1𝑒3𝑥+𝑐1𝑥𝑒3𝑥+𝑐2𝑒3𝑥+𝑐2𝑥𝑒3𝑥
y
′
=3c
1
 
e
3x
+c
1
 
xe
3x
+c
2
 
e
3x
+c
2
 
xe
3x
𝑦′′=9𝑐1𝑒3𝑥+3𝑐1𝑥𝑒3𝑥+3𝑐1𝑒3𝑥+𝑐1𝑥𝑒3𝑥+3𝑐2𝑒3𝑥+3𝑐2𝑥𝑒3𝑥
y
′′
=9c
1
 
e
3x
+3c
1
 
xe
3x
+3c
1
 
e
3x
+c
1
 
xe
3x
+3c
2
 
e
3x
+3c
2
 
xe
3x
=(9𝑐1+3𝑐1)𝑥𝑒3𝑥+(12𝑐1+3𝑐2)𝑒3𝑥
=(9c
1
 
+3c
1
 
)xe
3x
+(12c
1
 
+3c
2
 
)e
3x
Agora vamos substituir
𝑦
y,
𝑦′
y
′
, e
𝑦′′
y
′′
na equação diferencial dada:
(9𝑐1+3𝑐1)𝑥𝑒3𝑥+(12𝑐1+3𝑐2)𝑒3𝑥−6(3𝑐1𝑒3𝑥+𝑐1𝑥𝑒3𝑥+𝑐2𝑒3𝑥+𝑐2𝑥𝑒3𝑥)+9(𝑐1𝑒3𝑥+𝑐2𝑥𝑒3𝑥)=0
(9c
1
 
+3c
1
 
)xe
3x
+(12c
1
 
+3c
2
 
)e
3x
−6(3c
1
 
e
3x
+c
1
 
xe
3x
+c
2
 
e
3x
+c
2
 
xe
3x
)+9(c
1
 
e
3x
+c
2
 
xe
3x
)=0
9𝑐1𝑥𝑒3𝑥+3𝑐1𝑥𝑒3𝑥+12𝑐1𝑒3𝑥+3𝑐1𝑒3𝑥−18𝑐1𝑒3𝑥−6𝑐1𝑥𝑒3𝑥−6𝑐2𝑒3𝑥−6𝑐2𝑥𝑒3𝑥+9𝑐1𝑒3𝑥+9𝑐2𝑥𝑒
3𝑥=0
9c
1
 
xe
3x
+3c
1
 
xe
3x
+12c
1
 
e
3x
+3c
1
 
e
3x
−18c
1
 
e
3x
−6c
1
 
xe
3x
−6c
2
 
e
3x
−6c
2
 
xe
3x
+9c
1
 
e
3x
+9c
2
 
xe
3x
=0
A equação acima não se simplifica para
0
0 para todos os valores de
𝑥
x, portanto, a afirmação II é incorreta.
III. Uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
que tem a função
𝑦=𝑐1𝑒−𝑥cos (4𝑥)+𝑐2𝑒−𝑥sin (4𝑥)
y=c
1
 
e
−x
cos(4x)+c
2
 
e
−x
sin(4x) como solução é
𝑦′′−2𝑦′+17𝑦=0
y
′′
−2y
′
+17y=0.
Podemos encontrar a equação característicaassociada a partir da solução dada. A função
𝑦=𝑐1𝑒−𝑥cos (4𝑥)+𝑐2𝑒−𝑥sin (4𝑥)
y=c
1
 
e
−x
cos(4x)+c
2
 
e
−x
sin(4x) implica que as raízes da equação característica devem ser complexas conjugadas. As
raízes são da forma
𝑟=𝛼±𝛽𝑖
r=α±βi, onde
𝛼=1
α=1 (o coeficiente de
𝑦′
y
′
) e
𝛽=4
β=4 (o coeficiente do termo seno ou cosseno). Portanto, a equação característica é
𝑟2−2𝑟+17=0
r
2
−2r+17=0. Como as raízes dessa equação não são reais, a afirmação III é incorreta.
Assim, a resposta correta é a letra A) I, apenas.