Cálculo Diferencial: Derivação Implícita

Prévia do material em texto

1
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer
Cálculo Diferencial
Aula 5
Conversa Inicial
O que esperar desse curso?
Cálculo diferencial
Derivação implícita
Exemplos de derivação implícita
Problemas de taxas relacionadas
Guia para resolver problemas de taxas 
relacionadas
Outro problema de taxas relacionadas
Derivação implícita O que é a função implícita e como encontrar 
sua derivada?
1 2
3 4
5 6
2
Até o momento, todas as funções que buscamos 
resolver estavam em sua forma explícita. Nesse 
formato, temos uma expressão do tipo:
𝒚 𝒇 𝒙
Em que a variável dependente está 
completamente isolada em um dos termos da 
equação. Essa forma, além de permitir um 
cálculo rápido da resposta para dado valor de 
entrada, ainda é mais fácil de ter sua derivada 
calculada
Função explícita
Quando não está na forma explícita, dizemos 
que a função está na forma implícita, por 
exemplo, a expressão está na forma:
𝒇 𝒙,𝒚 𝟎
Isso significa que, geralmente, você 
não consegue escrever a variável 𝒚
explicitamente. Quando isso ocorre, a 
forma de derivação envolve um uso correto 
da regra da cadeia e uma álgebra especial
Função implícita
Vejamos a seguinte função:
𝒚 𝒙
Escrita na forma explícita
E a seguinte função:
𝒚𝟐 𝒙 𝟎
Em sua forma implícita
Vamos encontrar 𝒅𝒚/𝒅𝒙
Exemplo
Para isso, vamos ao quadro!
Exemplos de derivação implícita Como compreender de forma adequada a 
derivação implícita com base em exemplos?
7 8
9 10
11 12
3
Vamos considerar o primeiro exemplo em 
que:
𝒚𝟑 𝒚 𝟐𝒙𝟑 𝒙 𝟖
Vamos encontrar 𝒅𝒚/𝒅𝒙
Exemplo 1
Vamos considerar o segundo exemplo em 
que:
𝒙𝟐𝒚𝟑 𝟔𝒙𝟐 𝒚 𝟏𝟐
Vamos encontrar 𝒅𝒚
 𝒅𝒙 𝟏,𝟐
Exemplo 2
Problemas de taxas relacionadas Como resolver um primeiro problema 
envolvendo taxas relacionadas?
Considere que o número de novas construções e 
a taxa de financiamento estejam relacionados a 
partir de:
𝟗𝑵𝟐 𝒓 𝟑𝟔
𝑵 𝒕 : milhões de novas construções
𝒓 𝒕 : taxa de financiamento em %
Encontre a taxa de variação de novas 
construções à medida que o tempo passa quando 
a taxa de financiamento é de 𝟏𝟏%, aumentando a 
𝟏,𝟓%/𝒂𝒏𝒐
Problema 1
Para isso, vamos ao quadro!
13 14
15 16
17 18
4
Guia para resolver problemas de 
taxas relacionadas
Como discutir uma estratégia em formato de 
guia para resolver problemas de taxas 
relacionadas?
Inicialmente, devemos associar uma variável 
a cada quantidade
Passo 1
É preciso escrever os dados do problema
Passo 2
Você deve determinar uma equação entre as 
variáveis
Passo 3
Deve diferenciar a equação para encontrar 
seu objetivo
Passo 4
19 20
21 22
23 24
5
Deve substituir os valores na equação 
objetivo
Passo 5
Outro problema de taxas 
relacionadas
Como utilizar a estratégia descrita para 
resolver outro problema envolvendo taxas 
relacionadas?
Considere o seguinte problema envolvendo 
um navio e um petroleiro, no qual ambos 
deixam determinado porto
Considera-se que o percurso do navio é 
seguir indefinidamente ao Norte a uma 
velocidade de 40 milhas por hora, 
enquanto o percurso do petroleiro é 
seguir indefinidamente a Leste a uma 
velocidade de 25 milhas por hora
Problema 2
Também foi verificado que, ao meio-dia, o 
navio estava afastado 40 milhas do porto 
e o petroleiro estava afastado 30 milhas 
do porto. Então, alguém poderia estar 
interessado em responder:
Com que velocidade ambos os navios 
estão se distanciando?
Na Prática
25 26
27 28
29 30
6
Admitindo que a equação determina uma 
função diferenciável 𝒇 tal que 𝒚 𝒇 𝒙 ,
calcule 𝒚’
𝒙𝟐 𝒚𝟐 𝟏𝟎
𝟐𝒙𝟑 𝒙𝟐𝒚 𝒚𝟑 𝟏
𝟓𝒙𝟐 𝒙𝒚 𝟒𝒚𝟐 𝟏
𝒙 𝒚 𝟏𝟎𝟎
𝒙𝟐 𝒙𝒚 𝟕
Na Prática
Resolva os seguintes problemas:
1. Uma escada com 10 m de comprimento está 
apoiada em uma parede vertical. Se a base 
da escada desliza, afastando-se da parede a 
uma taxa de 1 m/s, quão rápido o topo da 
escada está escorregando para baixo na 
parede quando a base da escada está a 
6 m da parede?
2. Uma escada de comprimento igual a 2 m 
desliza no chão, mantendo-se apoiada em 
uma parede. Em determinado instante, sua 
base dista 0,6 m da parede e se afasta dela 
à razão de 0,3 m/s. Calcule a velocidade 
com que seu topo desliza parede abaixo 
no instante em questão
3. Uma escada de 5 m de comprimento está 
apoiada em uma parede. O alto da escada 
está escorregando para baixo ao longo da 
parede com uma velocidade de 3 m/s. Com 
que velocidade a base da escada está se 
afastando da parede quando o alto se 
encontra a 3 m do chão?
Finalizando
Finalizando
31 32
33 34
35 36