Derivação Implícita em Cálculo

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Olá a todos(as)! 
Nesta aula, iremos discutir uma das principais aplicações do cálculo 
diferencial, que é a solução de problemas de taxas relacionadas. Porém, antes 
de falar disso, precisamos compreender a técnica de derivação implícita que será 
a base da resolução desse tipo de problema. 
TEMA 1 – DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
1.1 O que é a Função Implícita e como encontrar sua Derivada 
O nome de tal regra vem porque nos ensina como devemos proceder ao 
derivar o produto de funções. 
Até o momento, todas as funções que buscamos resolver estavam em sua 
forma explícita. Nesse formato, temos uma expressão do tipo: 
𝒚 = 𝒇(𝒙) 
Em que a variável dependente está completamente isolada em um dos 
termos da equação. Essa forma, além de permitir um cálculo rápido da resposta 
para um dado valor de entrada, ainda é mais fácil de ter sua derivada calculada. 
Quando não está na forma explícita, dizemos que a função está na forma 
implícita, i.e., a expressão está na forma: 
 
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟎 
 
O que significa que, geralmente, você não consegue escrever a variável 
𝒚 explicitamente. Quando isso ocorre, a forma de derivação envolve um uso 
correto da regra da cadeia e uma álgebra especial. 
Para verificar que a técnica que pretendemos desenvolver apresenta o 
mesmo resultado discutido anteriormente, vejamos a seguinte função: 
𝒚 = √𝒙 
Escrita na forma explícita é a seguinte função: 
𝒚𝟐 − 𝒙 = 𝟎 
 
 
 
3 
Em sua forma implícita. Por mais que não sejam a mesma função, visto 
que a segunda também pode ser escrita na forma 𝒚 = −√𝒙, podemos analisar 
sua derivada para verificar o que está ocorrendo. 
Então, na primeira forma, ao encontrar 𝒅𝒚/𝒅𝒙, temos: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐√𝒙
 
 
O que já fizemos várias vezes ao longo do curso. Entretanto, para chegar 
nesse resultado a partir de sua forma implícita, precisamos aplicar o operador 
diferencial em ambos os lados da equação, obtendo: 
 
𝒅
𝒅𝒙
(𝒚𝟐 − 𝒙) =
𝒅
𝒅𝒙
𝟎 
 
A escolha em relação a qual variável irá derivar é relevante aqui e será 
discutido exaustivamente ao longo dos problemas de taxas relacionadas. Mas, 
para continuidade, o que você deve observar aqui é que 𝒚 = 𝒇(𝒙), mesmo que 
não consiga escrever isso de forma explícita. Note: Uma mudança em 𝒙 causa 
uma mudança em 𝒚! Mas 𝒚𝟐 é uma função composta de 𝒚, de forma que 
precisamos usar a regra da cadeia, obtendo: 
 
𝟐𝒚.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
− 𝟏 = 𝟎 
 
Essa passagem precisa ser entendida com todo o cuidado, visto que 
representa a principal dificuldade na análise desta aula. De qualquer forma, 
como nosso objetivo é encontrar 𝒅𝒚/𝒅𝒙 podemos isolá-lo na equação que 
encontramos, obtendo: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐𝒚
 
 
Note que tal resultado é equivalente ao anterior, visto que 𝒚 = √𝒙. Nesse 
caso, obteríamos que: 
 
 
 
4 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐√𝒙
 
 
Além disso, caso fizéssemos todo o desenvolvimento considerando 𝒚 =
−√𝒙, obteríamos a mesma derivada independentemente do método escolhido. 
TEMA 2 – EXEMPLOS DE DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
2.1 Como compreender de forma adequada a derivação implícita a partir 
de exemplos? 
 
Vamos considerar o primeiro exemplo, em que 
 
𝒚𝟑 − 𝒚 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙 = 𝟖 
 
Note que, ao contrário do exemplo anterior, além desse exemplo estar na 
forma implícita, você não consegue isolar o valor de 𝒚 a partir de alguma álgebra 
específica. Então, começamos a visualizar que a técnica discutida é necessária 
para resolver alguns problemas centrais quando desejamos encontrar 𝒅𝒚/𝒅𝒙. 
Aqui, nossa estratégia ainda é aplicar o operador diferencial em ambos os lados 
da equação. Como desejamos encontrar 𝒅𝒚/𝒅𝒙 aplicamos 𝒅/𝒅𝒙. Caso nosso 
interesse fosse encontrar 𝒅𝒙/𝒅𝒚 ou outra taxa de variação qualquer, 
aplicaríamos 𝒅/𝒅𝒚 ou outro equivalente. Assim, obtemos: 
 
𝒅
𝒅𝒙
(𝒚𝟑 − 𝒚 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙) =
𝒅
𝒅𝒙
𝟖 
 
Para não se perder, vale a pena fazer de forma gradual, por exemplo, 
iniciando separando cada um dos termos. Assim, reescrevemos a expressão 
como: 
 
𝒅
𝒅𝒙
𝒚𝟑 −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟐.
𝒅
𝒅𝒙
𝒙𝟑 −
𝒅
𝒅𝒙
𝒙 =
𝒅
𝒅𝒙
𝟖 
Nessa expressão, note que as três últimas derivadas são simples de 
resolver. Isso porque são todas escritas na forma explícita e podemos encontrá-
las facilmente em consulta às tabelas de derivação. Nesse caso, obtemos: 
 
 
5 
 
𝒅
𝒅𝒙
𝒚𝟑 −
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 
 
Note, também, que na expressão já encontramos um termo 
representando 𝒅𝒚/𝒅𝒙 que é o resultado que estamos buscando. Entretanto, não 
podemos escrever a derivada desejada em função de outra, de forma que 
precisamos operar 𝒚𝟑. Nesse caso, note em detalhes que: 
 
𝒅
𝒅𝒙
𝒚𝟑 = 𝟑𝒚𝟐.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
 
Usando a regra da cadeia. Assim, escrevemos: 
 
𝟑𝒚𝟐.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
−
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟔𝒙𝟐 − 𝟏 = 𝟎 
 
A partir desse ponto, utilizamos uma álgebra elementar com o objetivo de 
isolar 𝒅𝒚/𝒅𝒙: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
(𝟑𝒚𝟐 − 𝟏) = 𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏 − 𝟔𝒙𝟐
𝟑𝒚𝟐 − 𝟏
 
 
Essa é a solução do problema. Claro que não conseguimos escrever a 
resposta em termos apenas da variável 𝒙, justamente porque não conseguimos 
isolar 𝒚 em função de 𝒙. Mas podemos encontrar a derivada em cada ponto. 
Vejamos em detalhes como isso funciona, no próximo exemplo. 
No segundo caso, vamos considerar que precisamos encontrar a taxa de 
variação de 𝒚 em relação a 𝒙 no ponto de coordenadas (𝟏, 𝟐), i.e., 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
|
(𝟏,𝟐)
 
E vamos considerar que 𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟔𝒙𝟐 = 𝒚 + 𝟏𝟐 representando outra 
expressão escrita na forma implícita. Então, aplicamos o operador diferencial em 
ambos os lados, obtendo: 
 
 
6 
 
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟐𝒚𝟑 + 𝟔𝒙𝟐) =
𝒅
𝒅𝒙
(𝒚 + 𝟏𝟐) 
 
Aqui, devemos utilizar a regra do produto combinada com a regra da 
cadeia para derivar 𝒙𝟐𝒚𝟑: 
 
𝒅
𝒅𝒙
(𝒙𝟐𝒚𝟑) = 𝟐𝒙. 𝒚𝟑 + 𝒙𝟐. 𝟑𝒚𝟐.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
 
Assim, substituímos na expressão para continuar o processo de 
derivação: 
 
𝟐𝒙𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
+ 𝟏𝟐𝒙 =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
 
Reagrupamos os termos: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
(𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟏) = −𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝒚𝟑 
 
E isolamos 𝒅𝒚/𝒅𝒙: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟏𝟐𝒙 − 𝟐𝒙𝒚𝟑
𝟑𝒙𝟐𝒚𝟐 − 𝟏
 
 
Como nosso objetivo é encontrar a derivada no ponto (𝒙, 𝒚) = (𝟏, 𝟐), basta 
substituirmos 𝒙 = 𝟏 e 𝒚 = 𝟐, obtendo: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
|
(𝟏,𝟐)
= −
𝟐𝟖
𝟏𝟏
 
 
 
 
 
7 
TEMA 3 – PROBLEMAS DE TAXAS RELACIONADAS 
3.1. Como resolver um primeiro problema envolvendo taxas 
relacionadas? 
Vejamos um primeiro problema sobre taxas relacionadas. Para isso, 
considere a situação sobre o impacto das taxas de financiamento fornecidas por 
bancos para a construção de casas próprias na quantidade de novas 
construções construídas. Aparentemente, taxas de financiamento menores 
incentivam a construção civil e podemos, a partir do cálculo diferencial, extrair 
informações sobre esse aumento. 
Para isso, é preciso estipular uma função que relacione ambas as 
variáveis. Infelizmente, a forma de determinar uma função que descreve um 
conjunto de dados ou um fenômeno da realidade é estudo de disciplinas mais 
avançadas de matemática, como estatística, análise de dados ou modelagem 
matemática, mas considere que conseguimos, de alguma forma, determinar tal 
função. Suponha que um economista chegou na seguinte expressão: 
𝟗𝑵𝟐 + 𝒓 = 𝟑𝟔 
Em que 𝑵 representa a quantidade de novas construções em milhões de 
unidades, enquanto 𝒓 representa a taxa de financiamento em %. Suponha que 
desejamos responder qual a taxa de variação de novas construções ao longo do 
tempo quando a taxa de financiamento é de 𝟏𝟏% e está aumentando a razão de 
𝟏, 𝟓%/𝒂𝒏𝒐. Veja que, na leitura da problemática, observamos que ambas as 
variáveis variam em função do tempo. À medida que passa, mudam-se a taxa 
de financiamentoe a quantidade de novas construções. Mas note, também, que 
a variável tempo está escrita de forma implícita, visto que 𝑵(𝒕) e 𝒓(𝒕), mas a 
variável 𝒕 nem aparece na expressão. Além disso, desejamos encontrar 
𝒅𝑵
𝒅𝒕
 
Como vimos nos exemplos anteriores, devemos aplicar o operador 
diferencial em ambos os lados da expressão para desenvolver esse problema. 
Aqui a escolha em relação a qual variável devemos derivar deve ficar clara. 
Poderíamos derivar em relação a 𝒓 ou em relação a 𝑵, mas 𝒅𝑵/𝒅𝒓 nos daria a 
taxa de variação de novas construções para cada mudança na taxa de 
 
 
8 
financiamento, enquanto 𝒅𝒓/𝒅𝑵 daria a mudança da taxa para cada nova 
construção (o que aparentemente não faz sentido, visto que parece ser a 
mudança na taxa que causa a mudança nas novas construções, ressaltando, 
então, o conceito de variável dependente e variável independente). Finalmente, 
aplicando o operador diferencial, obtemos: 
𝒅
𝒅𝒕
(𝟗𝑵𝟐 + 𝒓) =
𝒅
𝒅𝒕
(𝟑𝟔) 
𝟏𝟖𝑵
𝒅𝑵
𝒅𝒕
+
𝒅𝒓
𝒅𝒕
= 𝟎 
Como desejamos 𝒅𝑵/𝒅𝒕, escrevemos: 
𝒅𝑵
𝒅𝒕
= −
𝒅𝒓
𝒅𝒕
𝟏𝟖𝑵
 
Então, precisamos de 𝒅𝒓/𝒅𝒕, além de 𝑵 para determinar 𝒅𝑵/𝒅𝒕. Uma 
leitura breve no enunciado nos traz os seguintes dados: 
𝒓 = 𝟏𝟏% 
𝒅𝒓
𝒅𝒕
= 𝟏, 𝟓 %/𝒂𝒏𝒐 
Veja que, aparentemente, não temos informações sobre 𝑵. Entretanto, 
mesmo escrito na forma implícita, 𝑵 e 𝒓 estão relacionados pela expressão dada, 
de forma que, ao conhecer o valor de 𝒓, imediatamente podemos escontrar o 
valor de 𝑵. Para isso, basta substituir na expressão conhecida: 
𝟗𝑵𝟐 + 𝒓 = 𝟑𝟔 
𝟗𝑵𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝟑𝟔 
𝟗𝑵𝟐 = 𝟐𝟓 
𝑵𝟐 =
𝟐𝟓
𝟗
 
𝑵 = ±
𝟓
𝟑
 
Aqui precisamos descartar 𝑵 = −𝟓/𝟑 o que representaria demolições (?). 
Então, confirmamos que 𝑵 = 𝟓/𝟑. Assim, escrevemos: 
𝒅𝑵
𝒅𝒕
= −
𝒅𝒓
𝒅𝒕
𝟏𝟖𝑵
= −
𝟏, 𝟓
𝟏𝟖. (
𝟓
𝟑)
= −𝟎, 𝟎𝟓 
 
 
9 
Finalmente, enquanto a taxa de financiamento está aumentando a 
𝟏, 𝟓%/𝒂𝒏𝒐 (no nível de 𝟏𝟏%), vemos um decréscimo na quantidade de novas 
construções de 𝟎, 𝟎𝟓 milhões por ano. 
TEMA 4 – GUIA PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TAXAS RELACIONADAS 
4.1. Como discutir uma estratégia em formato de guia para resolver 
problemas de taxas relacionadas? 
Aqui, separei um guia com 5 etapas para que possa desenvolver a maior 
parte dos problemas de taxas relacionadas de forma confiante. Claro que nem 
todos os problemas podem ser resolvidos assim, visto que vários deles 
demandam um certo nível de criatividade, mas pode servir como um ótimo 
começo caso se sinta perdido. 
PASSO 1) Inicialmente devemos associar uma variável a cada 
quantidade. 
No problema anterior, as variáveis já eram conhecidas: taxa de 
financiamento e quantidade de novas construções. Entretanto, é essencial que 
tenha visão de quais são as variáveis envolvidas. No próximo exemplo, esse 
passo será mais claro. 
PASSO 2) Precisa escrever os dados do problema. 
Ainda no problema anterior, escrevemos os dados após ter avançado na 
resolução do problema. Entretanto, pode-se escrever os dados antes para ter 
conhecimento do tipo de informação que possui disponível. É importante que 
escreva esses dados associado às variáveis que você determinou. 
PASSO 3) Você deve determinar uma equação entre as variáveis. 
Como discutido anteriormente, a maior parte dos problemas, 
especialmente os problemas reais, determinam a equação com uma estratégia 
rigorosa que é discutida ao longo dos cursos de exatas. Entretanto, em casos 
simples, como o que será discutido na próxima seção, podemos encontrar uma 
relação entre as variáveis ao levantar alguma característica específica do 
problema. 
PASSO 4) Deve diferenciar a equação para encontrar seu objetivo. 
Nessa etapa, deve aplicar o operador diferencial em ambos os lados da equação 
escolhendo de forma adequada em relação a qual variável está derivando. No 
problema anterior, precisávamos analisar a taxa de variação no tempo do 
 
 
10 
número de novas construções e, por esse motivo, deve escolher o operador 
diferencial em relação ao tempo. A escolha deve ser feita baseada naquilo que 
está desejando encontrar. 
PASSO 5) Deve substituir os valores na equação objetivo. 
Se já encontrou a função derivada, pode substituir os valores dados nessa 
equação para solucionar o problema. 
TEMA 5 – OUTRO PROBLEMA DE TAXAS RELACIONADAS 
5.1. Como utilizar a estratégia descrita para resolver um outro problema 
envolvendo taxas relacionadas? 
Considere o seguinte problema envolvendo um navio e um petroleiro, no 
qual ambos deixam determinado porto. Considera-se que o percurso do navio é 
seguir indefinidamente ao norte a uma velocidade de 40 milhas por hora, 
enquanto o percurso do petroleiro é seguir indefinidamente ao leste a uma 
velocidade de 25 milhas por hora. 
Também se verificou que, ao meio-dia, o navio estava afastado 40 milhas 
do porto enquanto o petroleiro estava afastado 30 milhas do porto. Então, alguém 
poderia estar interessado em responder: Com que velocidade ambos os 
navios estão se distanciando? 
Note que o tipo de pergunta não se refere à velocidade com que o navio 
ou o petroleiro estão se afastando do porto, até porque já temos essas 
informações. Para verificar tudo isso, seguiremos os passos descritos na seção 
anterior. Inicialmente, podemos associar uma variável a cada quantidade. Então, 
poderíamos definir: 
 
𝒙: 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐩𝐨𝐫𝐭𝐨 − 𝐩𝐞𝐭𝐫𝐨𝐥𝐞𝐢𝐫𝐨 
𝒚: 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐩𝐨𝐫𝐭𝐨 − 𝐧𝐚𝐯𝐢𝐨 
 
Entretanto, tais variáveis não são suficientes: primeiro porque descrevem 
uma informação que já possuímos e, depois, pois não considera a análise que 
precisamos realizar. Então, consideramos a variável 𝒛 definida como: 
 
𝒛: 𝐝𝐢𝐬𝐭â𝐧𝐜𝐢𝐚 𝐧𝐚𝐯𝐢𝐨 − 𝐩𝐞𝐭𝐫𝐨𝐥𝐞𝐢𝐫𝐨 
 
 
11 
Veja que a velocidade que estamos buscando é a taxa de variação de 𝒛 
em relação ao tempo, ou seja, é a velocidade com os navios estão se 
distanciando: 
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
: 𝐯𝐞𝐥𝐨𝐜𝐢𝐝𝐚𝐝𝐞 𝐜𝐨𝐦 𝐪𝐮𝐞 𝐚𝐦𝐛𝐨𝐬 𝐨𝐬 𝐧𝐚𝐯𝐢𝐨𝐬 𝐞𝐬𝐭ã𝐨 𝐬𝐞 𝐝𝐢𝐬𝐭𝐚𝐧𝐜𝐢𝐚𝐧𝐝𝐨. 
 
Na sequência, o passo 2 indica que precisamos levantar os dados do 
problema. Sabemos que o navio estava afastado 40 milhas do porto, então: 
 
𝒚 = 𝟒𝟎 
 
E que o petroleiro estava afastado 30 milhas, logo: 
 
𝒙 = 𝟑𝟎 
 
Também sabemos a velocidade do navio e do petroleiro, respectivamente: 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟒𝟎 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟐𝟓 
 
Note que ambas são informações positivas, visto que a distância 𝒙 e a 
distância 𝒚 estão aumentando à medida que o tempo passa (caso os navios 
estivessem retornando, 𝒅𝒚/𝒅𝒕 e 𝒅𝒙/𝒅𝒕 deveriam ser negativos!). 
No terceiro passo, precisamos indicar uma equação entre as variáveis, no 
caso, entre 𝒙, 𝒚 e 𝒛. Se imaginar a situação, consegue perceber que a distância 
𝒛 é a hipotenusa de um triângulo cujos catetos são 𝒙 e 𝒚. Isso porque a direção 
leste e a direção norte são ortogonais, i.e., formam um ângulo reto. Então, a 
equação entre variáveis é o Teorema de Pitágoras: 
 
𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
 
 
 
12 
Na sequência, devemos diferenciar a equação para encontrarmos nosso 
objetivo. Como desejamos encontrar 𝒅𝒛/𝒅𝒕, aplicamos o operador diferencial em 
relação ao tempo em ambos os lados, obtendo: 
𝒅
𝒅𝒕
(𝒛𝟐) =
𝒅
𝒅𝒕
(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐) 
𝟐𝒛.
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒙.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝟐𝒚.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
𝒛.
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝒙.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝒚.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝒙.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝒚.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒛
 
 
Note que utilizamos a regra da cadeia, dividimos ambos os lados da 
equação por 2 e isolamos 𝒅𝒛/𝒅𝒕. Agora, segundo o Passo 5, basta substituirmos 
os dados do problema. Entretanto, ao verificar as informações obtidas, 
percebemos que ainda falta conhecermos 𝒛. Entretanto, 𝒙, 𝒚 e 𝒛 estão 
relacionados pelo Teorema de Pitágoras. Então, 
 
𝒛𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 
𝒛𝟐 = 𝟑𝟎𝟐 + 𝟒𝟎𝟐 
𝒛 = 𝟓𝟎 
 
Assim, 
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝒙.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+ 𝒚.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒛
 
𝒅𝒛𝒅𝒕
=
𝟑𝟎. 𝟐𝟓 + 𝟒𝟎. 𝟑𝟎
𝟓𝟎
= 𝟑𝟗 𝐦𝐢𝐥𝐡𝐚𝐬/𝐡𝐨𝐫𝐚 
 
Que apresenta a solução do problema. 
NA PRÁTICA 
Admitindo que a equação determine uma função diferenciável 𝒇 tal que 
𝒚 = 𝒇(𝒙), calcule 𝒚’ 
 
 
 
13 
1) 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 = 𝟏𝟎 
2) 𝟐𝒙𝟑 + 𝒙𝟐𝒚 + 𝒚𝟑 = 𝟏 
3) 𝟓𝒙𝟐 − 𝒙𝒚 − 𝟒𝒚𝟐 = 𝟏 
4) √𝒙 + √𝒚 = 𝟏𝟎𝟎 
5) 𝒙𝟐 + √𝒙𝒚 = 𝟕 
Resolva os seguintes problemas: 
1) Uma escada com 10m de comprimento está apoiada em uma parede 
vertical. Se a base da escada desliza, afastando-se da parede a uma taxa 
de 1m/s, quão rápido o topo da escada está escorregando para baixo na 
parede quando a base da escada está a 6m da parede? 
2) Uma escada, de comprimento 2m, desliza no chão, mantendo-se apoiada 
em uma parede. Em determinado instante, sua base dista 0,6m da 
parede, e se afasta da mesma à razão de 0,3 m/s. Calcule a velocidade 
com que seu topo desliza parede abaixo, no instante em questão. 
3) Uma escada de 5m de comprimento está apoiada em uma parede. O alto 
da escada está escorregando para baixo ao longo da parede com uma 
velocidade de 3m/s. Com que velocidade a base da escada está se 
afastando da parede quando o alto se encontra a 3m do chão? 
FINALIZANDO 
Note o poder do cálculo diferencial para explicar o comportamento de 
algumas variáveis. Posteriormente ainda veremos como traçar gráficos e 
resolver importantes problemas de otimização! 
 
 
 
 
14 
REFERÊNCIAS 
FACCIN, G. M. Elementos de Cálculo Diferencial e Integral. Curitiba: InterSaberes, 
2015. 
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. v. 1. Rio de Janeiro: LTC. 
HOWARD, A. Cálculo: um novo horizonte. v. 1. Porto Alegre: Bookman, 1999. 
STEWART, J. Cálculo. v. 1. Cengage Learning: São Paulo.