Análise Combinatória e Probabilidade

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PROBABILIDADE E ANÁLISE 
COMBINATÓRIA 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Zaudir Dal Cortivo 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Princípio fundamental de contagem 
A análise combinatória é a parte da matemática que analisa estruturas e 
relações discretas. Essa análise vai além de conceitos que permitem a resolução 
de problemas de contagem de certos tipos de subconjuntos (de um conjunto 
finito), sem, necessariamente, descrever todas as possibilidades. 
A análise combinatória tem diversas aplicações em áreas importantes do 
conhecimento, tais como: 
• Estatística; 
• Ciências atuariais; 
• Controle estatístico de qualidade; 
• Biologia (genética). 
TEMA 1 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DE CONTAGEM – PFC 
Trata-se de um princípio da multiplicação realizado em duas etapas: 
suponha que uma tarefa pode ser dividida em duas etapas consecutivas. Se a 
etapa 1 puder ser realizada de 𝑚 maneiras e, para cada uma delas, a etapa 2 
puder ser realizada de 𝑛 maneiras, então a tarefa em si pode ser realizada de 
𝑚 × 𝑛 maneiras. 
Exemplo 1: 
Suponha que você tenha em seu armário 3 camisas, A, B e C, e 2 calças, 
1 e 2. Assumindo que você se sinta confortável em usar qualquer camisa 
combinada a qualquer calça, quantas combinações diferentes são possíveis? 
Temos 3 (m=3) combinações para as camisas e 2 (n=2) para as calças. 
Assim, o total de possibilidades é: 
3 ⋅ 2 = 6 
 
 
 
3 
Figura 1: Árvore com o total de possibilidades 
 
Crédito: Formulado pelo autor. 
As possibilidades são: 
A1, A2 
B1, B2 
C1, C2 
Princípio Fundamental de Multiplicação: Se uma tarefa pode ocorrer em 𝑟 
etapas consecutivas e independentes: Etapa 1, Etapa 2, ..., Etapa 𝑟, de modo 
que: 
A etapa 1 possa ser executada de 𝑚1 maneiras, 
A etapa 2 possa ser executada de 𝑚2 maneiras, 
A etapa 3 possa ser executada de 𝑚3 maneiras, 
... 
A etapa R possa ser executada de 𝑚𝑟 maneiras, 
Então, a tarefa pode ser concluída em 𝑚1 ⋅ 𝑚2 ⋅ … ⋅ 𝑚𝑟 maneiras. 
 
 
4 
Exemplo 2: 
Em um campeonato de futebol participam 10 times. Quantos resultados 
são possíveis para os 3 primeiros lugares? 
10.9.8 = 720 
Exemplo 3: 
Quantos números pares de três algarismos distintos podem ser formados, 
dispondo dos algarismos de 0 a 9? 
São todos os números maiores que 100 e menores que 1000, cujo 
algarismo da unidade é par 
 _ _ par 
 Final zero. 9.8.1 = 7 
Final 2, 4, 6 ou 8 
8.8.4= 256 
Resposta: 72 + 256 = 328 
Exemplo 4: 
De quantas maneiras 5 meninos e 3 meninas podem ser arranjados com 
as meninas na frente e os meninos na fileira de trás? 
Existem 3 meninas, então existem 3 2 1 = 3! maneiras de organizar a 
primeira linha. 
Existem 5 meninos, então, existem 5 4 3 2 1 = 5! maneiras de organizar a 
segunda linha. 
As meninas e os meninos podem ser organizados de forma independente, 
então a resposta é: 3! 5! = 6 120 = 720 possibilidades. 
TEMA 2 – ORDEM E NATUREZA DOS ELEMENTOS 
 Na análise combinatória, é importante compreender quando um 
agrupamento difere pela ordem ou natureza de seus elementos (os elementos 
são distintos). Por exemplo, em um agrupamento formado com dois algarismos, 
escolhidos dentre 1, 2, 3: 11, 12, 13, 22, 21,23, 33, 31, 32, nem todos os 
elementos diferem pela natureza de seus elementos, pois os agrupamentos 11, 
22, 33 são formados pela repetição de elementos. Já o agrupamento: 12, 13, 21, 
23, 31, 32 diferem pela natureza dos seus elementos, uma vez que todos os 
agrupamentos têm elementos diferentes (distintos) e, como no exemplo anterior, 
 
 
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difere pela ordem de seus elementos: 12 e 21 são números diferentes. Vejamos 
mais exemplos. 
Exemplo 1: 
Quatro atletas (A, B, C, D) participam de uma competição e disputam os 
três primeiros lugares do pódio. O conjunto difere pela natureza (distintos) e pela 
ordem de seus elementos. 
{ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC, BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC, CAB, 
CAD, CBA, CBD, CDA, CDB, DAB, DAC, DBC, DBA, DCA, DCB} 
 4.3.2 =24 elementos. 
Exemplo 2: 
Considere quatro atletas (A, B, C e D). Quantas comissões constituídas 
por três atletas podem ser formadas? 
{ABC, ABD, ACD, BCD} 
Note que as comissões diferem somente pela natureza de seus 
elementos. 
TEMA 3 – FATORIAL 
 Com o objetivo de simplificar as fórmulas, vamos definir o símbolo de 
fatorial. 
Definição: Seja 𝑛 ∈ ℕ um número inteiro não negativo, o fatorial de um 
número 𝑛 é definido como: 
𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1, 𝑛 ≥ 2. 
1! = 1 
0! = 1 
Exemplos: 
1. 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120. 
2. 10! = 3628800 
 
 
6 
 
Crédito: KEN123 /PD. 
1) Calcule 
5!
3!+2!
 . 
5!
3! + 2!
 =
120
3 ⋅ 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 1
=
120
6 + 2
=
120
8
= 15. 
2) Calcule 
11!
9!
. 
11!
9!
=
11 ⋅ 10 ⋅ 9!
9!
= 11 ⋅ 10 = 110 
3) Simplifique a expressão: 
𝑛!
(𝑛 − 2)!
 
𝑛!
(𝑛 − 2)!
= 
𝑛. (𝑛 − 1). (𝑛 − 2)!
(𝑛 − 2)!
= 
= 𝑛. (𝑛 − 1) = 𝑛2 − 𝑛 
4) Resolva a equação: 
(𝑥 + 1)!
(𝑥 − 1)!
= 56, 
𝑥 ≥ 1 
Desenvolvendo o lado esquerdo da igualdade, temos: 
 
 
7 
(𝑥 + 1)!
(𝑥 − 1)!
=
(𝑥 + 1). (𝑥 − 0). (𝑥 − 1)!
(𝑥 − 1)!
= 
(𝑥 + 1). 𝑥=𝑥2+x 
A equação tem a forma: 
𝒙𝟐 + 𝑥 = 56 
𝒙𝟐 + 𝑥 − 56 = 0 
A equação tem solução: 
𝑥 = 7 𝑜𝑢 𝑥 = −8 
Resposta: 𝑥 = 7 
TEMA 4 – PERMUTAÇÃO SIMPLES 
Dado um conjunto de objetos, podemos considerar quantas maneiras 
existem de escrever esse conjunto em uma determinada ordem. 
Alternativamente, podemos perguntar de quantas maneiras podemos 
reorganizar os elementos de um conjunto. Se o conjunto tem 𝑛 elementos, 
existem 𝑛 escolhas para a primeira posição, 𝑛 − 1 escolhas para a segunda 
posição e assim por diante. Quando alcançamos a última posição, temos apenas 
um elemento restante. 
Definição: dado um conjunto de 𝑛 diferentes elementos ou objetos, 
qualquer arranjo ordenado distinto dos 𝑛 elementos é chamado de permutação. 
Então, pela regra de multiplicação, o número de permutações de um conjunto 𝑛 
é 
𝑃𝑛 = 𝑛! = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … 3 ⋅ 2 ⋅ 1 
Exemplo 1: 
Quantos números de 4 algarismos distintos podem ser formados com os 
algarismos (elementos) 1, 2, 3, 4? 
Temos 4 elementos distintos: 𝑛 = 4 
𝑃4 = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24 
 
 
8 
 
Exemplo 2: 
Com base na palavra LIVRO, assinale com V as afirmativas verdadeiras 
e com F as falsas: 
( ) O número de anagramas é igual a 120. 
Solução: verdadeira, pois 5!=5.4.3.2.1=120. 
( ) O número de anagramas que começam por vogal e terminam em 
consoante é igual a 36. 
Solução: temos 2 vogais e 3 consoantes: 2.3!.3=36. 
Verdadeira. 
( ) O número de anagramas que têm as letras L e I juntas e nessa ordem 
é igual a 24. 
Solução: as letras L e I, contam como um caractere, logo temos 4! =24 
Verdadeira. 
Exemplo 3: 
 Quantos anagramas podem ser formados com a palavra CINEMA, cuja 
primeira letra seja m e a última uma vogal? 
1 ⋅ 4! ⋅ 3 = 24 ⋅ 3 = 72 
Exemplo 4: 
 (Faap-SP) Quantos anagramas podem ser formados com a palavra 
VESTIBULAR, de modo que as 3 letras V, E e S, nesta ordem, permaneçam 
juntas? 
(1 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 7!) ⋅ 8 = 40320 
 
 
 
9 
TEMA 5 – APLICAÇÕES 
 Nesta seção, vamos trabalhar com algumas aplicações dos conceitos 
vistos nesta aula. 
Exemplo 1: 
 Resolva a equação (𝑥 + 3)! + (𝑥 + 2)! = 8(𝑥 + 1)! 
 
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2)(𝑥 + 1)! + (𝑥 + 2)(𝑥 + 1)! = 8(𝑥 + 1)! 
Cancelamos o fatorial 
(𝑥 + 3)(𝑥 + 2) + (𝑥 + 2) = 8 
𝑥2 + 6𝑥 + 8 − 8 = 0 
𝑥2 + 6𝑥 = 0 
𝑥 = 0 𝑜𝑢 𝑥 = −6 
Resposta: 𝑥 = 0 
Exemplo 2: 
 Resolva a equação 
𝑛!+(𝑛−1)!
(𝑛+1)−𝑛!
=
5
16
, com 𝑛 ∈ ℕ. 
𝑛! + (𝑛 − 1)!
(𝑛 + 1) − 𝑛!
=
𝑛(𝑛 − 1)! + (𝑛 − 1)!
(𝑛 + 1) ⋅ 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)! − 𝑛 ⋅ (𝑛 − 1)!
=
5
16
 
(𝑛 + 1)(𝑛 − 1)!
((𝑛 + 1) ⋅ 𝑛 − 𝑛)(𝑛 − 1)!
=
5
16
 
Cancelamos o fatorial: 
(𝑛 + 1)
((𝑛 + 1) ⋅ 𝑛 − 𝑛)
=
5
16
 
16𝑛 + 16 = 5(𝑛2 + 𝑛 − 𝑛) 
5𝑛2 − 16𝑛 − 16 = 0 
Resolvemos a equação do segundo grau: 
𝑛 = −0,8 𝑜𝑢 𝑛 = 4 
Resposta: 𝑛 = 4 
Exemplo 3: 
 Quantosnúmeros pares podemos formar com 4 algarismos, com os 
algarismos 0,1, 2, 3, 4, 5, 6? 
 
 
 
10 
Primeiramente, calculamos todas as possibilidades com final par. 
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 4 = 480 
Em seguida, calculamos os que começam com zero. 
1 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 
Resposta: 420 − 60 = 420 
Exemplo 4: 
 Quantos são os números compreendidos entre 3000 e 4000, formados 
com os algarismos distintos escolhidos entre os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9? 
A primeira casa deve do algarismo 3: 
1 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336 
Resposta: 336 números. 
NA PRÁTICA 
 (ENEM – 2014) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar 
dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim 
sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, 
sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma 
estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente, alugará, em cada 
vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades 
de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos 
os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. 
De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta 
em prática? 
Para o cliente poder alugar os 16 filmes, ele terá que fazer isso em um 
intervalo de 8 locações. 
Vejamos: 
8.7.6.5.4.3.2.1 = 8! 
Para os filmes de gênero comédia temos 5 locações, portanto: 
 5.4.3.2.1 = 5! 
 
 
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Para filmes de drama temos 3: 
3.2.1 = 3! 
Então, temos: 
8!,5! e 3! 
A alternativa correta é a B. 
FINALIZANDO 
 Nesta aula, conhecemos os conceitos básicos da análise combinatória. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
MORGADO, A.; CARVALHO, J.; CARVALHO, P.; FERNANDEZ, P. 
Análise combinatória e probabilidade. Rio de Janeiro: Impa/vitae, 1991. 
HAZZAN, S. et al. Fundamentos de Matemática Elementar – combinatória e 
probabilidade. 3. ed. São Paulo: Editora: Atual, 1977.