Cálculos de Integrais e Derivadas

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Atividade pontuada 
Brenda Queiroz 
 
11-14 Encontre a diferencial da função. 
11. 
a) 𝑦 = 𝑥2𝑠𝑒𝑛 2𝑥 
 
 
 
 
 
 
b 𝑦 = 𝑙𝑛√1 + 𝑡2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
12. 
a) 𝑦 =
𝑠
(1+2𝑠)
 
 
 
 
 
b)𝑦 = 𝑒−𝑢𝑐𝑜𝑠𝑢 
 
 
 
13. 
a)𝑦 = 𝑡𝑔√𝑡 
 
 
 
 
 
 
b)𝑦 =
1−𝑣2
1+𝑣2 
 
 
 
 
 
14. 
a)𝑦 = 𝑒𝑡𝑔𝜋𝑡 
 
 
 
 
b)𝑦 = √1 + ln 𝑧 
 
 
 
 
 
 
15-18 encontre a diferencial dy (b) avalie dy para os valores dados de x e dx 
 
 
15.𝑦 = 𝑒
𝑥
10, x = 0, dx=0,1 
 
 
 
 
16.𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 , x=1/3, dx =-0,02 
 
 
 
 
17𝑦 = √3 + 𝑥2 , x=1, dx = -0,1 
 
 
 
 
18.𝑦 =
𝑥+1
𝑥−1
 , x =2, dx=0,05 
 
 
 
 
 
1-4 verifique, por derivação que formula está correta 
1. ∫
𝑥
√𝑥2+1 
𝑑𝑥 = √𝑥2 + 1 + 𝑐 
 
 
 
2. ∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝑥 +
1
4
𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐 
 
 
 
3. ∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥 𝑑𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 
1
3
𝑠𝑒𝑛𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
4. ∫
𝑥
√𝑎+𝑏𝑥
𝑑𝑥 =
2
3𝑏2
(𝑏𝑥 − 2𝑎)√𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
 
 
 
 
 
5-18 Encontre a integral indefinida geral 
5.∫(𝑥2 + 𝑥2)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
6.∫(√𝑥3 + √𝑥2)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
7.∫ (𝑥4 −
1
4
𝑥3 +
1
4
𝑥 − 2) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
8.(𝑦3 + 1,8𝑦2 − 2,4𝑦)𝑑𝑦 
 
 
 
 
 
9.∫(𝑢 + 4)(2𝑢 + 1)𝑑𝑢 
 
 
 
 
 
10.∫ 𝑣(𝑣2 + 2)2 
 
 
 
 
 
11.∫ 𝑥3 −
2√𝑥
𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
12.𝑥2 + 1 +
1
𝑥2+1
 
 
 
 
 
 
13.∫(𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
14.(𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑡 − 2𝑒𝑡)𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
15.∫(𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑐𝑜𝑡𝑔𝜃) 
 
 
 
 
 
 
16. sec 𝑡 (𝑠𝑒𝑐𝑡 𝑡 + 𝑡𝑔 𝑡)𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
17.∫(1 + 𝑡𝑔2𝛼)𝑑𝛼 
 
 
 
 
18.∫ 𝑠𝑒𝑛
2𝑥
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑑𝑥 
 
19-20 encontre a integral indefinida geral 
19.∫(cos 𝑥 +
1
2
𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
20.(𝑒𝑥 − 2𝑥2)𝑑𝑥 
 
 
1-6 calcule a integral fazendo a substituição dada. 
1.∫ cos 3𝑥 𝑑𝑥, 𝑢 = 3𝑥 
 
 
 
 
 
2.∫ 𝑥(4 + 𝑥2)10𝑑𝑥, 𝑢 = 4 + 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
3.∫ 𝑥2√𝑥3
+ 1 𝑑𝑥, 𝑢 = 𝑥3 + 1 
 
 
 
 
 
5. 
𝑑𝑡
(1−6𝑡)4 , 𝑢 = 1 − 6𝑡 
 
 
 
 
 
5.∫ cos3 𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑑𝜃, = 𝑐𝑜𝑠𝜃 
 
 
 
 
 
 
6.∫ sec2
(
1
𝑥
)
𝑥2 dx, u= 1/x 
 
 
 
 
7-48 Calcule a integral indefinida: 
 
7- ∫ 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥2)𝑑𝑥 
 
 
 
8- ∫ 𝑥2𝑒𝑥3
𝑑𝑥 
 
 
 
 
9- ∫(3𝑥 − 2)20𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
10-∫(3𝑡 +)2,4𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
11-∫(𝑥 + 1)√2𝑥 + 𝑥2 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
12- ∫ sec2 20 𝑑𝜃 
 
 
 
 
 
13-∫
𝑑𝑥
5−3𝑥
 
 
 
 
 
 
 
14- ∫ 𝑢√1 + 𝑢2 𝑑𝑢 
 
 
 
 
 
15- ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
16-∫ 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑒𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
17- ∫
𝑒𝑢
(1−𝑒𝑢)2 𝑑𝑢 
 
18-∫
𝑠𝑒𝑛√𝑥 𝑑𝑥
√𝑥
 
 
 
 
19- ∫
𝑎+𝑏𝑥2
√3𝑎𝑥+𝑏𝑥3 
 
 
 
 
 
20-∫
𝑧2
𝑧3+1 
 
 
 
 
 
21- ∫
(𝑙𝑛𝑥)2
𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
23- ∫ sec2𝜃 𝑡𝑔3𝜃 𝑑𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
24-∫ √𝑥 𝑠𝑒𝑛 (1 + 𝑥
3
2) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
25- ∫ 𝑒𝑥√1 + 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
26-∫
𝑑𝑥
𝑎𝑥+𝑏
(𝑎 ≠ 0) 
 
 
 
 
27-∫(𝑥2 + 1)(𝑥3 + 3𝑥)4 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
28-∫ 𝑒cos 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑡 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
29- ∫ 5𝑡𝑠𝑒𝑛(5𝑡)𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
30- ∫
𝑡𝑔−1𝑥
1−𝑥2 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
31- ∫ 𝑒𝑡𝑔𝑥sec2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
32-∫
𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)
𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
33- ∫
𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
34∫
cos (
𝜋
𝑥
)
𝑥2 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
35- ∫ √𝑐𝑜𝑡𝑔𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
36- ∫
2𝑡
2𝑡+3
𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
37-∫ 𝑠𝑒𝑛ℎ2𝑥 cosh 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
38- ∫
𝑑𝑡
cos2 𝑡√1+𝑡𝑔 𝑡 
 
 
 
 
 
 
39- ∫
𝑠𝑒𝑛2𝑥
1+cos2 𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
40- ∫
𝑠𝑒𝑛𝑥
1+cos2 𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
41-∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
42- ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑡 sec2(cos 𝑡)𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
43- ∫
𝑑𝑥
√1−𝑥2𝑠𝑒𝑛−1𝑥
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44-∫
𝑥
1+𝑥4 
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
45- ∫
1+𝑥
1+𝑥²
dx 
 
 
 
 
 
 
 
 
46-∫ 𝑥2√2 + 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
47∫ 𝑥(2𝑥 + 5)8 
 
 
 
 
 
 
48- ∫ 𝑥3√𝑥2 + 1 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49-52 Calcule a integral indefinida. Ilustre e verifique que sua resposta razoável fazendo o 
gráfico da função e de sua primitiva (tome C = 0). 
 
49 ∫ 𝑥(𝑥2 − 1)3 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
50-∫ 𝑡𝑔2𝜃𝑠𝑒𝑐𝜃 𝑑𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
 
51-∫ 𝑒𝑐𝑜𝑠𝑥𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
52- ∫ 𝑠𝑒𝑛 𝑥 cos4𝑥 𝑑𝑥 
1-2 Calcule as integral usando a integração por partes com as escolhas de u e dv indiadas 
 
1- ∫ 𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥; 𝑢 = ln 𝑥, 𝑑𝑣 = 𝑥2𝑑𝑥 
 
 
 
 
2- ∫ 𝜃 cos𝜃 𝑑𝜃; 𝑢 = 𝜃, 𝑑𝑣 = cos𝜃𝑑𝜃 
 
 
 
 
 
 
 
3-36 Calcule a integral 
 
3- ∫ 𝑥 cos5𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
4- ∫ 𝑥𝑒−𝑥𝑑𝑥 
 
 
 
 
5- ∫ 𝑟𝑒
𝑟
2 𝑑𝑟 
 
 
 
6- ∫ 𝑡 𝑠𝑒𝑛2𝑡 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
7- ∫(𝑥2 + 2𝑥) cos𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
8- ∫ 𝑡2𝑠𝑒𝑛 𝛽 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
9- ∫ 𝑙𝑛√𝑥3 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
10- ∫ 𝑠𝑒𝑛−1𝑥 𝑑𝑥 
 
 
11- ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 4𝑡 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
12- ∫ 𝜌3 ln 𝜌 𝑑𝜌 
 
 
 
 
 
 
 
13- ∫ 𝑡 𝑠𝑒𝑐2 2𝑡 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
14- ∫ 𝑠 2𝑠 𝑑𝑠 
 
 
 
 
 
15- ∫(ln𝑥)² 𝑑𝑥 
 
 
 
16- ∫ 𝑡 𝑠𝑒𝑛 𝑚𝑡 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
17- ∫ 𝑒2𝜃 𝑠𝑒𝑛 3𝜃 𝑑𝜃 
 
 
 
 
 
18- ∫ 𝑒−𝜃 cos2𝜃 𝑑𝜃 
 
 
 
 
 
19- ∫ 𝑧3𝑒𝑧 𝑑𝑧 
 
 
 
 
 
 
20- ∫ 𝑥 𝑡𝑔2𝑑𝑥 
 
 
 
 
21- ∫
𝑥2𝑥
(1+2𝑥)2
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
22- ∫(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑥)2𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
23- ∫ 𝑥 𝑐𝑜𝑠𝜋𝑥 𝑑𝑥
1
0 
 
 
 
 
24- ∫ (𝑥2 + 1) 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 
1
0 
 
 
 
 
 
25- ∫ 𝑡 cosh 𝑡 𝑑𝑡 
1/2
0 
 
 
 
 
26- ∫
ln 𝑦 
√𝑦
𝑑𝑦
9
4 
 
 
 
 
 
27- ∫ 𝑟3 ln 𝑟 𝑑𝑟 
3
1 
 
 
 
 
 
28- ∫ 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡 2𝑡 𝑑𝑡 
2𝜋
0 
 
 
 
 
29- ∫
𝑦
𝑒2𝑦
𝑑𝑦 
1
0 
 
 
 
 
30- ∫ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
1
𝑥
) 𝑑𝑟 
√3
1 
 
 
 
 
 
 
31- ∫ cos−1 𝑥 𝑑𝑥
1/2
0 
 
 
 
 
 
32- ∫
(ln 𝑥)²
𝑥³
 𝑑𝑥
2
1 
 
 
 
 
 
 
33- ∫ cos𝑥 ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥)𝑑𝑥 
 
 
 
34- ∫
𝑟³
√4+²
 𝑑𝑟 
1
0 
 
 
 
 
 
35- ∫ 𝑥4(ln𝑥 )² 𝑑𝑥
2
1 
 
 
 
 
 
 
 
36- ∫ 𝑒𝑡𝑠𝑒𝑛 (𝑡 − 𝑠) 𝑑𝑠 
𝑡
0 
 
 
 
 
 
37-42 Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcula a integral. 
 
 
37- ∫ cos√𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
38- ∫ 𝑡3𝑒−𝑟2
 𝑑𝑡 
 
 
 
 
 
 
 
39- ∫ 𝜃3 cos(𝜃2) 𝑑𝜃
√𝜋
√𝜋
2
 
 
 
 
 
 
40- ∫ 𝑒cos𝑡𝑠𝑒𝑛 2𝑡 𝑑𝑡 
𝜋
0 
 
 
41- ∫ 𝑥 ln(1 + 𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
42- ∫ 𝑠𝑒𝑛 (ln 𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
43-46 Calcule a integral indefinida. 
 
 
43- ∫ 𝑥𝑒−2 𝑑𝑥 
 
 
 
 
44- ∫ 𝑥
3
2 ln 𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
45- ∫ 𝑥3√1 + 𝑥2 𝑑𝑥 
 
 
 
46- ∫ 𝑥2𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
47- Use a forma de redução no exemplo 6 para mostra que ∫ 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑑𝑥 =
𝑥
2
−
𝑠𝑒𝑛2𝑥
4
+ 𝑐 
 
 
 
b) use a parte a e a formula de redução ara calcular ∫ 𝑠𝑒𝑛4𝑥 𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
 
1-6 escreva as formas de decomposição em frações parciais da função. Não determine os 
valores numéricos do coef. 
 
1- A) 
1+6x
(4𝑥−3)(2𝑥+5)
 
 
 
b) 
10 
5𝑥2−2𝑥3
 
 
 
2- A) 
𝑥
𝑥2 +𝑥−2 
 
 
 b) 
𝑥²
𝑥2+𝑥+2
 
 
3- A) 
𝑥4 +1
𝑥5 +4𝑥3
 
 
B) 
1
(𝑥2+9)²
 
 
 
4- 
𝑥4−2𝑥3 +𝑥2+2𝑥+1
𝑥2 +2𝑥+1
 
 
 b) 
𝑥2 −1
𝑥3+𝑥2 +𝑥
 
 
 
 
5- 
𝑥6
𝑥2−4
 
 
 b) 
𝑥4
(𝑥2−𝑥+1)(𝑥2+2)²
 
 
 
6- A) 
𝑡6+1 
𝑡6+3
 
 
B) 
𝑥5+1
(𝑥2−𝑥)(𝑥4+2𝑥2+1
 
 
 
 
7-38 Calcule a integral 
 
7- ∫
𝑥
𝑥−6
𝑑𝑥 
 
 
8- ∫
𝑟²
𝑟+4
𝑑𝑟 
 
 
 
 
 
9- ∫
𝑥−9
(𝑥+5)(𝑥−2)
𝑑𝑥 
 
 
 
 
10- ∫
1
(𝑡+4)(𝑡−1)
 
 
 
 
11- ∫
2
2𝑥2 +3𝑥+1 
𝑑𝑥
1
0 
 
 
 
12- ∫
𝑥−4 
𝑥2 +5𝑥+6
1
0 𝑑𝑥 
 
 
 
 
13- ∫
𝑎𝑥
𝑥2−𝑏𝑥
𝑑𝑥 
 
 
14- ∫
1
(𝑥+𝑎)(𝑥+𝑏)
𝑑𝑥 
 
 
 
 
15- ∫
𝑥3 −2𝑥2−4
𝑥3 +2𝑥2
𝑑𝑥
4
3 
 
 
 
16- ∫
𝑥3 −4𝑥−10 
𝑥2−𝑥−6
10 dx 
 
 
 
 
17- ∫
4𝑦2−7𝑦−12 
𝑦(𝑦+2)(𝑦−3)
𝑑𝑦 
2
1 
 
 
 
 
 
18- ∫
𝑥2+2𝑥−1 
𝑥3 −𝑥
 
 
 
 
19- ∫
𝑥2+1 
(𝑥−3)(𝑥−2)2
𝑑𝑥 
 
 
 
 
20- ∫
𝑥2 −5𝑥+16
(2𝑥+1)(𝑥−2)²
𝑑𝑥 
 
 
 
 
21- ∫
𝑥3+4 
𝑥2 +4
𝑑𝑥 
 
 
 
 
22- ∫
𝑑𝑠
𝑠2(𝑠−1)²
 
 
 
 
23- ∫
10
(𝑥−1)(𝑥2+9)
𝑑𝑥 
 
 
24- ∫
𝑥2−𝑥+6
𝑥3+3𝑥 
𝑑𝑥 
 
 
25- ∫
4𝑥
𝑥3+𝑥2 +𝑥+1
𝑑𝑥 
 
 
 
26- ∫
𝑥2+𝑥+1
(𝑥2+1)²
𝑑𝑥 
 
 
 
27- ∫
𝑥3+𝑥2+2𝑥+1
(𝑥2+1)(𝑥2+2)
 
 
 
28- ∫
𝑥2−2𝑥−1
(𝑥−1)²(𝑥2+1)
 
 
 
 
 
29- ∫
𝑥+4
𝑥2+2𝑥+5
𝑑𝑥 
 
 
30- ∫
3𝑥2 +𝑥+4
𝑥4+3𝑥2 +2 
𝑑𝑥 
 
 
 
 
31- ∫
1
𝑥3−1
𝑑𝑥 
 
 
 
 
32- ∫
𝑥
𝑥2 +4𝑥+13
𝑑𝑥
1
0 
 
 
 
33- ∫
𝑥3+2𝑥
𝑥4 +4𝑥2+3
𝑑𝑥
1
0 
 
 
 
34- ∫
𝑥5+𝑥−1 
𝑥3 +1
𝑑𝑥 
 
 
 
35- ∫
𝑑𝑥
𝑥(𝑥2+4)2
𝑑𝑥 
 
 
 
 
36- ∫
𝑥4 +3𝑥2+1
𝑥5+5𝑥3 +5𝑥
𝑑𝑥 
 
 
 
37- ∫
𝑥2 −2𝑥+7
(𝑥2−4𝑥+6)2
𝑑𝑥 
 
 
 
 
 
38- ∫
𝑥3+22+3𝑥−2
(𝑥2+2𝑥+2)2
𝑑𝑥