Poliedros e Prismas

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Poliedros
Poliedros são figuras tridimensionais formadas
pela união de polígonos regulares, na qual os
ângulos poliédricos são todos congruentes. A
união desses polígonos forma elementos que
compõem o poliedro, são eles: vértices, arestas e
faces.
Poliedro convexo e não convexo
Os poliedros podem ser convexos ou não
convexos. Se qualquer segmento de reta que
liga dois pontos de um poliedro estiver
totalmente contido nele, então ele será
convexo.
Uma outra forma de identificar um poliedro
convexo é verificar que qualquer reta não
contida em nenhuma das face e nem paralela a
elas, corta os planos das faces em, no máximo,
dois pontos.
Teorema de Euler
O Teorema ou Relação de Euler é válido para os poliedros
convexos e para alguns poliedros não-convexos. Este
teorema estabelece a seguinte relação entre o número de
faces, vértices e arestas:
F + V = 2 + A ou V - A + F = 2
Onde,
F: número de faces
V: número de vértices
A: número de arestas
Exemplo
Um poliedro convexo é formado por exatamente 4
triângulos e 1 quadrado. Quantos vértices tem esse
poliedro?
Solução
Primeiro precisamos definir a quantidade de faces e
arestas. Como o poliedro possui 4 triângulos e 1
quadrado, então possui 5 faces.
Para encontrar o número de aresta podemos calcular
o número total de lados e dividir o resultado por dois,
visto que cada aresta é a intersecção de dois lados:
O número de faces e arestas, podemos aplicar a
relação de Euler, assim temos:
Portanto, este poliedro possui 5 vértices.
Capítulo 21
Poliedros regulares
Os poliedros convexos são regulares quando
suas faces são compostas por polígonos
regulares e congruentes entre si. Além disso, o
número de aresta que concorre em cada vértice
é o mesmo.
Devemos lembrar que os polígonos regulares são
aqueles que possuem todos os lados e ângulos
congruentes, ou seja, com mesma medida.
Existem apenas cinco poliedros regulares
convexos, que são também chamados de
“Sólidos Platônicos” ou “Poliedros de Platão”. São
eles: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro,
dodecaedro, icosaedro.
Tetraedro: sólido geométrico formado por 4
vértices, 4 faces triangulares e 6 arestas.
Hexaedro: sólido geométrico formado por 8
vértices, 6 faces quadrangulares e 12
arestas.
Octaedro: sólido geométrico formado por 6
vértices, 8 faces triangulares e 12 arestas.
Dodecaedro: sólido geométrico formado por
20 vértices, 12 faces pentagonais e 30
arestas.
Icosaedro: sólido geométrico formado por 12
vértices, 20 faces triangulares e 30 arestas.
Soma dos ângulos internos um polígono
A soma dos ângulos externos dos polígonos
convexos é sempre igual a 360º. Entretanto,
para obter a soma dos ângulos internos de um
polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula:
Sendo:
n: número de lados.do polígono
 Poliedros regulares Prismas
Os prismas são sólidos geométricos que apresentam
duas bases formadas por polígonos congruentes e
localizados em planos paralelos. Suas faces laterais
são paralelogramos ou retângulos.
De acordo com a inclinação das arestas laterais em
relação a base, os prismas são classificados em retos
ou oblíquos.
As faces laterais dos prismas retos são retângulos,
enquanto dos prismas oblíquos são paralelogramos,
conforme imagem abaixo:
Paralelepípedo
Uma piscina possui o formato de um paralelepípedo
com as seguintes dimensões: 10 metros de
comprimento, 6 metros de largura e 1,8 metros de
profundidade. Determine o volume e a capacidade
da piscina.
V = a * b * c
V = 10 * 6 * 1,8
V = 108 m³ ou 108 000 litros
Prisma
Cálculo da área lateral: AL = (base · altura) ·
número de lados da face
Cálculo da área base: AB = 2 · área do polígono
Cálculo da área total: AT = AL + AB
Cubo
Área da Base: Ab = l²
 Área lateral: Al = 4·l²
Área total: At = 2·Ab + Al
Substituindo os valores encontrados
anteriormente para a área da base e área lateral,
teremos:
At = 2·l2 + 4·l2
At = 6·l2
Dizemos que o volume de um corpo é o espaço que
ele ocupa. Esses corpos possuem capacidade de
acordo com o tamanho de suas dimensões.
Observe as principais medidas de volume e sua
correspondência com a capacidade:
1m³ (metro cúbico) = 1 000 litros
1dm³ (decímetro cúbico) = 1 litro
1cm³ (centímetro cúbico) = 1 mililitro
Fórmulas da geometria espacial