Simplificacao de Expressoes

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1 – Simplificação de Expressões Booleanas 
 
1.1 – Motivo da simplificação: 
 
É sempre necessário simplificar expressões booleanas por um motivo básico: 
reduzir o número de componentes em um circuito. 
 
1.2 – Métodos de Simplificação: 
 
1.2.1 Simplificação pela Álgebra de Boole: 
 
 Manipulando as expressões, trabalhando com postulados, identidades, Teorema 
de De Morgan, é possível simplificar expressões. Não é o método mais simples, e é 
comum encontrarmos uma solução, e esta solução não ser a melhor. Muitas vezes, é 
possível simplificar ainda mais e não percebemos. Logo, este método se torna não muito 
eficiente. 
 
A) Postulados: 
 
- Postulado da Complementação: 
 
Trata-se de um postulado muito básico, onde chamamos o inverso de um valor 
de “complemento”. Dizemos a A é o complemento de . 
Se A = 0, = 1; 
Se A = 1, = 0. 
 Convém ressaltar que = A (se invertermos o valor de A por duas vezes, 
voltaremos a ter o mesmo A). 
 
- Postulado da Adição: 
 
 Como já sabemos, temos em uma soma booleana, sempre que uma das ariáveis 
for 1, teremos resultado igual a 1. Vejamos: 
Expresão: A + B 
1º) 0 + 0 = 0 
2º) 0 + 1 = 1 
3º) 1 + 0 = 1 
4º) 1 + 1 = 1 
Esta relação já era de nosso conhecimento. Mas, observando de outro ângulo, 
podemos notar duas observações importantes: 
A + 1 = 1 (qualquer variável somada a um, terá resultado igual a 1). 
A + = 1 (qualquer variável somada ao seu próprio complemento, terá resultado igual 
a 1). 
 
- Postulado da Multiplicação: 
 
 Como já sabemos, temos em uma multiplicação booleana, sempre que uma das 
variáveis for 0, teremos resultado igual a 0. Vejamos: 
Expresão: A . B 
1º) 0 . 0 = 0 
2º) 0 . 1 = 0 
3º) 1 . 0 = 0 
4º) 1 . 1 = 1 
Esta relação já era de nosso conhecimento. Mas, observando de outro ângulo, 
podemos notar duas observações importantes: 
A . A = 1 (qualquer variável multiplicada por ela mesma, resultará no valor dela 
própria); 
A . = 0 (qualquer variável multiplicada pelo seu complemento, resultará em zero). 
 
B) Propriedades: 
 
- Propriedade Comutativa da Adição: 
 
 Assim como se faz em álgebra comum, é possível inverter as posições da 
parcelas, sem alterar o resultado: 
A + B = B + A 
 
- Propriedade Comutativa da Multiplicação: 
 
 Assim como se faz em álgebra comum, é possível inverter as posições dos 
produtos, sem alterar o resultado: 
A . B = B . A 
 
- Propriedade Associativa na Adição: 
 
Podemos agrupar parcelas de formas diferentes, sem alterar o valor final da 
expressão. 
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C 
 
- Propriedade Associativa na Multiplicação: 
 
Podemos agrupar os produtos de formas diferentes, sem alterar o valor final da 
expressão. 
A . (B . C) = (A . B) . C = A . B . C 
 
- Propriedade Distributiva: 
 
Podemos simbolizar a expressão colocando uma (ou várias) variáveis em 
evidência, assim como se tivermos variável em evidência, podemos separar a expressão, 
como bem convier. 
A . (B + C) = AB + AC 
 
C) Teoremos de De Morgan 
 
- Teorema de De Morgan 1: 
 
Isso porque, como já sabíamos, estamos simbolizando as seguintes portas, que 
possuem realmente a mesma função: 
 
 
- Teorema de De Morgan 2: 
 
Isso porque, como já sabíamos, estamos simbolizando as seguintes portas, que 
possuem realmente a mesma função: 
 
 
 
 
D) Identidades Auxiliares: 
 
1ª Identidade: A + AB = A 
Se usarmos a propriedade distributiva, temos que A (1 + B) = A; 
Sabemos que qualquer variável somada a 1, dará resultado de 1, portanto, o termo 
dentro do parêntese será igual a 1. A . 1 = A. Logo, sabemos que A + AB = A. 
 
2ª – Identidade: 
Usando a identidade do complemento: 
 
Usando 2º Teorema de De Morgan: 
 
Usando 1º Teorema de De Morgan: 
 
Usando Propriedade Distributiva: 
, sendo que = 0, temos: 
 
Aplicando novamente 1º Teorema de De Morgan: 
 
Logo, temos que . 
 
3ª Identidade: (A + B) . (A + C) = A + BC 
Usando Propriedade Distributiva: 
(A + B) . (A + C) = A (A + B) + C (A + B) = A . A + A . B + A . C + B . C 
Sabemos que A . A = A, fica: 
A + AB + AC + BC = A + A (B + C) + BC = A [1 + (B + C) + CB] 
= A [1 + (B + C)] + CB; sabemos que 1 + B + C = 1; 
O resultado fica então: 
A + BC 
 
 
 
 
 
 
1.2.2 – Quadro Resumo: