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Circuitos 
Elétricos 
Avançados 
Aula 04: Circuitos 
magneticamente acoplados
Renato Kazuo Miyamoto
• Unidade de Ensino: 4
• Competência da Unidade: Conhecer e saber trabalhar
com circuitos magnéticos acoplados.
• Resumo: Nesta aula serão apresentados conceitos que
permitem a análise de circuitos magneticamente
acoplados.
• Palavras-chave: Circuitos magnéticos. Circuitos acoplados.
Energia em circuito acoplado. Acoplamento magnético.
Transformador.
• Título da Tele aula: Circuitos magneticamente acoplados
• Tele aula nº: 4
Contextualização
Circuitos condutivamente e magneticamente
acoplados;
Os transformadores são um exemplo de circuito
magneticamente acoplado  não há contato
elétrico entre o primário e o secundário;
Como realizar a modelagem matemática de um
transformador?
Fonte: https://goo.gl/images/KiZzKv
Conceitos
Introdução aos 
circuitos acoplados
Introdução aos circuitos acoplados
Fluxo magnético: campo magnético que atravessa 
uma área específica;
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 8
Autoindutância
Como o fluxo é produzido pela corrente que circula 
na bobina:
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 11
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Indutância mútua
Duas bobinas magneticamente acopladas;
A corrente produz um fluxo:
é o fluxo de dispersão;
é o fluxo mútuo;
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 12
Indutância mútua
A tensão induzida na bobina 1 é:
A tensão induzida na bobina 2 é:
Indutância mútua
Invertendo a posição da fonte de alimentação, 
tem-se:
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 14
Indutância mútua
Existe ainda o caso com correntes fluindo em ambas 
bobinas;
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 15
Indutância mútua
As tensões ficam:
Domínio do tempo: Domínio da frequência:
Conceitos
Análise pela regra 
do ponto em 
circuitos acoplados
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9 10
11 12
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Indutância mútua - Regra do ponto:
Uma corrente i(t) que entra num terminal com ponto 
em um enrolamento, induz uma tensão mútua 
com polaridade positiva no terminal com ponto do 
outro enrolamento;
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 18
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 18
Calcule as correntes fasoriais I e I no circuito da Figura.
Fonte: SADIKU, 2013
Energia armazenada
Energia armazenada:
Para o outro caso, a energia em regime permanente é :
A expressão geral da potência total para qualquer 
instante de tempo:
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 29
Energia armazenada
Coeficiente de acoplamento:
É possível estudar as equações da energia para 
definir um limite superior para a indutância mútua;
Chega-se que a indutância mútua deve ser:
Energia armazenada
Coeficiente de acoplamento:
A proporção com que M se aproxima do limite
superior é dada pelo coeficiente de acoplamento:
K pode ser entendido como a fração do fluxo
magnético total que emana de uma bobina que
enlaça outra.
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15 16
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Energia armazenada
Associação de bobinas magneticamente acopladas: 
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 33
Conceitos
Análise de circuitos 
acoplados 
magneticamente
Análise de energia em circuitos acoplados
Determine a energia armazenada nos indutores acoplados no
instante 𝑡 = 1𝑠, se 𝑣 𝑡 = 60 cos 4𝑡 + 30° 𝑉.
Fonte: SADIKU, 2013
Situação Problema: Projeto de um circuito acoplado 
magneticamente
Você deve projetar um circuito magneticamente
acoplado que alimentará uma pequena carga;
Obter o valor exato de M que irá satisfazer a
condição imposta para a tensão de carga;
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 27
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Resolução da Situação Problema
Objetivo: projetar um circuito magneticamente
acoplado que alimentará uma pequena carga de
17,92 kW com fator de potência de 0,95 (indutivo)
a uma tensão de 480 V obter o valor de M;
R = 10 Ω, L1 = 150 mH, L2 = 
130 mH, Vin = 7,97 kV (60 Hz);
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 36
Conceitos
Acoplamento 
magnético em um 
transformador
Transformadores
O transformador é um equipamento cujo princípio
de funcionamento baseia-se no fenômeno da
indutância mútua;
Um transformador é linear se as suas bobinas
forem enroladas em um material magneticamente
linear permeabilidade magnética constante.
Fonte: bit.ly/ 2YED2Re.
Acoplamento magnético - Transformadores
Qual a impedância de entrada vista pela fonte?
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 46
Acoplamento magnético - Transformadores
É possível substituir o transformador por um
circuito equivalente T ou pi;
relações de tensão e corrente de forma matricial:
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 49
Acoplamento magnético - Transformadores
Para o circuito equivalente T, aplicando a análise de
malhas:
Igualando as matrizes de coeficientes, temos a
relação:
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 49
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Acoplamento magnético - Transformadores
Para o circuito equivalente pi, aplicando a análise
dos nós:
Igualando as matrizes de coeficientes, temos a
relação:
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 49
Acoplamento magnético - Transformadores
Transformador ideal é aquele que não apresenta 
perdas durante o processo de transformação 
k=1;
Fonte: https://bit.ly/2zZ2Luc
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 52
Situação Problema: Obtendo um modelo matemático de um 
transformador
Você trabalha para uma fabricante de
transformadores e precisa obter o modelo de um
transformador de 15 kVA e 230/2300 V (60 Hz) que
será utilizado em uma fábrica de automóveis;
Fonte: adaptado de Chapman (2013, p. 103)
Situação Problema 
Objetivo: obter o modelo de um transformador de 
15 kVA e 230/2300 V (60 Hz) que será utilizado em 
uma fábrica de automóveis;
Ensaio a vazio permite a obtenção dos parâmetros 
do ramo de excitação:
Conceitos
Recapitulando
Recapitulando
- Conceitos básicos de circuitos acoplados;
- Energia em um circuito acoplado;
- Acoplamento magnético em um transformador.
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Circuitos condutivamente e
magneticamente acoplados;
Fonte: https://goo.gl/images/KiZzKv
Acoplamento magnético - Transformadores
Transformador ideal é aquele que não apresenta 
perdas durante o processo de transformação 
k=1;
Fonte: https://bit.ly/2zZ2Luc
Fonte: FERNANDES, 2018, pg 52
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