UA10-Taxa media e Prazo medio - Silvia Graf

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Curso de Gestão Empresarial 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
Moeda: Reis, a pataca, cunhada pela Casa da Moeda na Bahia em 1821. 2 
Fonte: Imagens: Coleção Eduardo Rezende - http://www.moedasdobrasil.com.br 
Introdução à Matemática Financeira 
Unidade de Aprendizagem 10 
 
 
Objetivos da unidade de aprendizagem 
Apresentar os conceitos de médias e sua aplicação na matemática 
financeira. Apresentar taxa média e prazo médio em operações 
financeiras. 
 
Competência 
Compreender e calcular taxa média e prazo médio para operações de 
desconto bancário. Calcular taxa média e prazo médio em juros simples. 
 
Habilidades 
Compreender a diferença entre média aritmética, 
ponderada e geométrica, aplicando-as adequadamente. 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 3 
Apresentação 
Médias são usuais no cotidiano de empresas e pessoas. Pense quantas 
vezes comentamos a média de um fato. Sua nota de aprovação em uma 
disciplina é uma média. Fala-se em temperatura média de certa localidade 
em determinada época do ano. A avaliação de um funcionário é uma 
média de suas qualidades profissionais. 
Assim, também na matemática financeira é importante o conceito de 
média. É útil estabelecer média de inflação mensal para previsões futuras. 
A estabilidade financeira de um banco é estabelecida, inicialmente, pela 
média de capitais captados do mercado e de empréstimos realizados. Da 
mesma forma, as taxas e prazos médios ocorrem em investimentos e 
decisões financeiras de empresas. 
 
 
 
Para começar 
Se pretendemos estudar médias na matemática financeira é conveniente 
apresentarmos conhecimentos básicos de somatório e de médias 
matemáticas. 
Somatório (ou somatória) é o operador matemático da soma dos termos 
de uma sequência, com lei de formação. O símbolo utilizado é , a letra 
grega maiúscula sigma. 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 4 
A soma dos cubos dos números naturais de 1 a 6 pode ser facilmente 
representada por um somatório. 

=
=+++++
6
1k
3333333 k654321 
Onde K é denominado índice do somatório e o sobrescrito e subscrito de 
 indicam o início e o final da soma. 
Propriedades do somatório 
I. O somatório de termos multiplicados por uma constante c, é o 
produto de c pelo somatório dos termos divididos por c. 

==
=
m
1k
k
m
1k
k a.ca.c 
II. O somatório da adição de termos é a soma dos somatórios dos 
termos. Chique, não? 
( ) 
===
+=+
m
1k
k
m
1k
k
m
1k
kk baba 
 
Exemplo sempre ajuda: 
I. ( ) 
==
=+++=+++=
4
1k
k43214321
4
1k
k 2.3222232.32.32.32.32.3 
II. ( ) 
===
+=





+++++=





++





++





+=





+
3
1k
3
1k
3
1k k
2
k
3
2
2
2
1
2
321
3
2
3
2
2
2
1
2
1
k
2
k 
 
Média Aritmética 
Dado um rol com m elementos, a média aritmética é a soma dos 
elementos dividida por m. 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 5 
É comum o uso da notação x , ou qualquer outra letra com “barrinha” 
sobreposta, para designar a média. A média aritmética é o conceito inicial 
da estatística e amiúde é empregada no cotidiano. 
A média aritmética de um conjunto de valores, representa um valor central. 
Exemplo: 
Os cinco valores 21, 46, 11, 18 e 19 têm média 23, pois: 
23
5
115
5
1918114621
==
++++
 
Média Ponderada 
Quando, num rol de m elementos, um elemento aparece p vezes, dizemos 
que tem peso p. 
A média ponderada é a soma do produto dos elementos por seus pesos, 
dividida pela soma dos pesos. 
Exemplo sempre ajuda: 
Consideremos o rol de valores 2, 7, 1, 6, 2, 10, 10, 7, 6, 2, 7, 3, 10, 7, 10. 
São 15 elementos (contou?). Vamos listá-los em uma tabela, com seus 
respectivos pesos: 
Valores Pesos 
1 1 
2 3 
3 1 
6 2 
7 4 
10 4 
soma 15 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 6 
A média ponderada destes valores é: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
15
90
15
401281236
414213
4101147261332
XP ==
+++++
=
+++++
+++++
= 
Claro que se somássemos todos os elementos do rol e dividíssemos pelo 
total de elementos obteríamos o mesmo resultado, mas para um rol muito 
extenso, sem dúvida a média ponderada é mais ágil. 
Tanto a média aritmética quanto a média ponderada não refletem 
precisamente diferenças de desempenho e possíveis dispersões dos 
valores considerados. 
Digamos que em uma empresa 11 funcionários exercem a mesma função. 
Dez deles, entre eles o Serafim, têm salário de R$ 800,00 e um tem salário 
de R$ 15.000,00 (deve ser sobrinho do dono). A média entre os salários 
seria de: 
91,090.2
11
000.23
11
1000.1510800
XP ==
+
= 
Ora, então como o Serafim que recebe 800 reais pode requerer um 
aumento de salário, se no departamento pessoal consta média de salário 
de mais de 2000 reais para a função? 
Na estatística, a mediana pode melhorar esse resultado tão inverossímil. 
Média Geométrica 
A média geométrica tem aplicação não só na geometria como na 
matemática financeira e nos fenômenos com grande dispersão nos dados. 
Dados m elementos, média geométrica é a raiz emésima do produto dos 
m elementos. 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 7 
Voltando ao exemplo dos salários dos funcionários, a média geométrica é 
de: 
28,044.1000.15800x
11 10
G == 
um resultado bastante mais plausível para a média dos salários. 
Também nas situações envolvendo aumentos sucessivos a média 
geométrica é muito utilizada. 
Vamos então aumentar sucessivamente o salário de Serafim no 
percentual de 8%, 6% e 12% nos próximos três anos. 
Como você já aprendeu muito bem, seu salário será multiplicado por 1,08, 
depois por 1,06 e finalmente por 1,12. 
Mas vamos calcular a média geométrica destes fatores: 
( )( )( ) 0864,112,1.06,1.08,1x 3
G == 
que corresponde a taxa média de 8,64%. Significa que se aplicarmos essa 
taxa três vezes consecutivas ao salário, teremos o valor que Serafim 
ganhará. Vamos conferir. 
800 mais 8,64% de 800 = 869,12 
869,12 mais 8,64% de 869,12 = 944,21 
944,21 mais 8,64% de 944,21 = 1025,79 
Com os aumentos diretos: 
800 (1,08) (1,06) (1,12) = 1.025,74 
Ops! Cinco centavos de diferença. São por conta da aproximação que 
fizemos na raiz cúbica da média. 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 8 
Portanto, mesmo considerada a simplicidade do conceito de média, é 
importante identificar cada situação adequadamente para não ocorrer em 
discrepâncias nos resultados. 
 
 
TAXA MÉDIA E PRAZO MÉDIO 
Médias em operações de desconto bancário ou comercial 
No desconto de vários títulos de valores nominais diferentes, prazos 
diferentes e taxas diferentes é interessante calcular uma taxa média. 
A taxa média no desconto bancário é uma taxa ponderada em que a 
soma dos produtos VN.i.t é dividida pelo soma dos valores nominais 
multiplicados pelos prazos. Em matematiquês fica mais simples: 


=
=


=
m
1k
kN
m
1k
kkN
D
nV
tiV
i
k
k
 onde Di é a taxa média de desconto dos títulos. 
Exemplinho? 
Vamos considerar três títulos de valor de face R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e 
R$ 6.000,00 com prazos de 5, 7 e 8 meses com taxas de desconto de 2%, 
4% e 3%, respectivamente. A taxa média é de: 
0320408,0
8000.67000.55000.3
803,0000.6704,0000.5502,0000.3
iD =
++
++
= 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 9 
ou seja, a taxa média mensal é de 3,20408%. Se calculássemos a média 
aritmética simples entre 2%, 4% e 3%, obteríamos 3%, o que não é um 
resultado correto. 
Essa taxa média representa a taxa única a que podem ser descontados 
os títulos para produzir o mesmo desconto total caso os títulos fossem 
descontados a suas respetivas taxas. 
Vamos conferir a correção dos cálculos: 
➢ 1º título: DC = 3.000 X 0,02 X 5 = 300 
➢ 2º título: DC = 5.000 X 0,04 X 7 = 1400 
➢ 3º título: DC = 6.000 X 0,03 X 8 = 1440 
➢ soma dos descontos....................3.140,00 
 
Valor do desconto calculado com a taxa média: 
 
➢ 1º título: DC = 3.000 X 0,0320408 X 5 = 480,612 
➢ 2º título:DC = 5.000 X 0,0320408 X 7 = 1.121,428 
➢ 3º título: DC = 6.000 X 0,0320408 X 8 = 1.537,9584 
➢ soma dos descontos....................3.140,00 
 
O cálculo do prazo médio no desconto é também uma média ponderada 
em que a soma dos produtos VN.i.t é dividida pelo soma dos valores 
nominais multiplicados pelas taxas. Em matematiquês: 


=
=


=
m
1k
kN
m
1k
kkN
D
iV
tiV
t
k
k
 onde Dt é o prazo médio no desconto. 
Atenção: a diferença entre as fórmulas está no denominador; no cálculo 
da taxa média, não há i no denominador; no cálculo do prazo médio, não 
há t no denominador. 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 10 
Vamos facilitar (será?) a fórmula do prazo médio. Se já calculamos o prazo 
médio, então podemos simplificar a fórmula assim: 






=
=
=
=
=
=

=

=


=
m
1k
N
m
1k
kN
m
1k
ND
m
1k
kND
m
1k
DN
m
1k
kDN
D
k
k
k
k
k
k
V
tV
V.i
tV.i
iV
tiV
t 
Voltando ao exemplinho vamos calcular o prazo médio pela simplificada: 
7
000.14
000.98
000.6000.5000.3
8000.67000.55000.3
t D ==
++
++
= 
isto é, o prazo médio é de 7 meses. 
Conferindo: se multiplicarmos a soma dos valores de face, pela taxa média 
e prazo médio, devemos encontrar o desconto total, certo? 
(3.000 + 5.000 + 6.000) . (0,0320408) . 7 = 3.140,00 (certo sim! e de novo 
identificamos nosso “João comeu isto tudo”) 
 
Médias em operações de juros simples 
Considerando um conjunto de m transações a juros simples, o 
procedimento do cálculo de taxa e prazo médios é praticamente o mesmo, 
apenas consideraremos os valores atuais ao invés dos valores nominais 
(de face) do desconto. 
As fórmulas passam a ser: 


=
=


=
m
1k
kk
m
1k
kkk
nC
tiC
i para a taxa média, e 


=
=

=
m
1k
k
m
1k
kk
C
tC
t para o prazo médio, 
com a fórmula já simplificada. 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 11 
Uma vez determinados taxa e prazo médio, o juro total das diversas 
transações consideradas é facilmente calculado. Observe: 
( )
===
===
m
1k
k
m
1k
k
m
1k
kT CtitiCJJ 
Exemplo: 
Dona Irinéia emprestou dinheiro a juros simples a seus três cunhados. Os 
valores emprestados, as taxas de juros e os prazos são apresentados na 
tabela: 
Valores Taxa mensal de juros Prazo em meses 
10.000,00 4% 5 
18.000,00 3% 6 
9.000,00 2% 8 
Vamos calcular taxa média, prazo médio e juro total que dona Irinéia 
espera receber dos cunhados. 
 
Taxa média: 
029044,0
000.230
680.6
8000.96000.185000.10
802,0000.9603,0000.18504,0000.10
nC
tiC
i
m
1k
kk
m
1k
kkk
==
++
++
=


=


=
= 
ou 2,90435% a.m. 
 
Prazo médio: 
216,6
000.37
000.230
000.9000.18000.10
8000.96000.185000.10
C
tC
t
m
1k
k
m
1k
kk
==
++
++
=

=


=
= 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 12 
aproximadamente 6,2 meses ou 6 meses e 6 dias (0,2 de mês equivale a 
6 dias). 
Juro total: 
( ) ( )( ) 89,679.6000.9000.18000.10216,6029044,0CtiJ
m
1k
kT =++== 
=
 
que, a menos erro de aproximações, é exatamente o numerador no cálculo 
da taxa média, portanto, já foi calculado. 
 
Médias em operações de juros compostos e rendas 
Também na modalidade de juros compostos e transações com rendas é 
possível e útil o cálculo de taxas e prazos médios. 
Porém torna-se necessário o domínio de cálculo da taxa interna de retorno 
(TIR), conceito que não está inserido no plano de ensino da disciplina e 
que será tema abordado na disciplina Análise de Investimentos 
Antena Parabólica 
Fizemos nossos cálculos através de contas e mais contas. Mas temos 
tecnologia a nosso favor. O Excel é bastante adequado e rápido para 
cálculos de taxa média e prazo médio. Vamos então montar uma planilha 
com 10 valores de títulos diferentes a taxas e prazos diferentes e usar 
nossos conhecimentos adquiridos para uma solução rápida. 
 
 
 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 13 
Valor 
nominal 
Taxa 
mensal 
Prazo em 
meses 
10.000 2% 3 30000 600 
11.000 1,20% 9 99000 1188 
9.000 1% 12 108000 1080 
7.500 2,50% 6 45000 1125 
12.000 3% 8 96000 2880 
3.600 2% 11 39600 792 
14.000 1,80% 4 56000 1008 
5.000 3,20% 5 25000 800 
8.200 4% 6 49200 1968 
3.000 1,50% 7 21000 315 
83.300 568800 11756 
 
Taxa média 0,020668073 ou 
2,067% 
a.m. 
 
Prazo médio 6,828331333 ou 6,8 meses 
 
Na primeira coluna listamos os valores nominais (de face) dos títulos, na 
segunda coluna as taxas mensais de cada título em porcentagens, pois o 
Excel “entende” o símbolo %. Na terceira coluna estão listados os prazos 
em meses de cada título. 
A quarta coluna contém os produtos dos valores nominais pelos prazos; a 
quinta coluna contém os produtos dos valores nominais pelas taxas e 
pelos tempos. 
 
 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 14 
Eis as fórmulas utilizadas. Tente reproduzi-las: 
Valor nominal Taxa mensal Prazo em meses 
10000 
0,02 3 
=A2*C2 =A2*B2*C2 
11000 
0,012 9 
=A3*C3 =A3*B3*C3 
9000 
0,01 12 
=A4*C4 =A4*B4*C4 
7500 
0,025 6 
=A5*C5 =A5*B5*C5 
12000 
0,03 8 
=A6*C6 =A6*B6*C6 
3600 
0,02 11 
=A7*C7 =A7*B7*C7 
14000 
0,018 4 
=A8*C8 =A8*B8*C8 
5000 
0,032 5 
=A9*C9 =A9*B9*C9 
8200 
0,04 6 
=A10*C10 =A10*B10*C10 
3000 
0,015 7 
=A11*C11 =A11*B11*C11 
=SOMA(A2:A11) =SOMA(D2:D11) =SOMA(E2:E11) 
 
Taxa média =E12/D12 ou 2,067% a.m. 
 
Prazo médio =D12/A12 ou 6,8 meses 
 
A rapidez do processo no Excel ou outras planilhas semelhantes é 
inigualável. Imagine o tempo que precisaríamos dispender para encontrar 
taxa média e saldo médio dos 10 títulos apresentados. 
A tecnologia existe e deve ser utilizada a nosso favor, desde que 
entendamos o que queremos calcular. Nada pode substituir nosso sólido 
conhecimento. 
 
 
 
 
UA10 – Taxa média e prazo médio 15 
E agora, José? 
Agora que você aprendeu somatórios e aplicações na matemática 
financeira, vamos nos direcionar às perpetuidades apresentadas na UA11. 
 
BIBLIOGRAFIA DE APOIO 
VIEIRA SOBRINHO, JOSÉ DUTRA. Matemática Financeira. 7 ed. São 
Paulo: Atlas Editora, 2000. 
ALMEIDA, JARBAS THAUNAHY SANTOS DE. Matemática Financeira. 
1 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
SAMANEZ, CARLOS PATRÍCIO. Matemática Financeira: Aplicações à 
Análise de Investimentos. 5 ed. São Paulo, Pearson Prentice Hall, 
2010. 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira fácil. 13 ed. São 
Paulo: Saraiva, 2002. 
VANNUCCI, LUIZ ROBERTO. Cálculos Financeiros aplicados e 
avaliação econômica de projetos de investimento. 1 ed. São Paulo: 
Textonovo, 2003. 
TEIXEIRA, JAMES; DI PIERRO NETTO, SCIPIONE. Matemática 
financeira. 1 ed. São Paulo; Makron Books, 1998.