UA11-Perpetuidades e Capitalização Contínua

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Curso de Gestão Empresarial 
Matemática Financeira 
 
 
 
 
 
Moeda: Mil-réis, cunhada pela Casa da Moeda no Rio de Janeiro, em 1889. 2 
Fonte: Imagens: Coleção Eduardo Rezende - http://www.moedasdobrasil.com.br 
 
Introdução à Matemática Financeira 
Unidade de Aprendizagem 11 
 
 
Objetivos da unidade de aprendizagem 
Estabelecer o conceito e aplicações de perpetuidade de 
rendas. Apresentar capitalização contínua e instantânea. 
Competência 
Compreender séries de pagamentos perpétuas e suas utilizações. Efetuar 
cálculos com capitalizações contínuas. 
 
Habilidades 
Analisar os efeitos de capitalização instantânea em 
operações com taxas de juros reduzidas. 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 3 
 
Apresentação 
 
Já estudamos rendas em várias modalidades, iguais e diferentes, 
contínuas ou não, em progressões aritméticas e geométricas. Agora 
apresentaremos as rendas perpétuas e capitalização contínua. 
Pretendemos abordar os assuntos de forma leve e como noção inicial para 
futuras especializações e pós-graduações em áreas financeiras. 
 
 
Para começar 
 
Rendas perpétuas? Como assim? Perpétua sugere infinitamente, “para 
sempre”. Sim, rendas perpétuas existem sim. Pense em dividendos de 
empresas, pense em ações. É sobre estas aplicações financeiras que 
vamos discorrer. 
E capitalização contínua? Já usamos capitalizações anuais, trimestrais, 
mensais e até diárias. Será que agora falaremos sobre capitalização por 
hora? Não. Abordaremos capitalização instantânea, ocorre a cada 
momento, mesmo que momento não possa ser definido como medida 
temporal. São maravilhas da matemática! 
 
 
 
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Perpetuidades 
 
A ideia de perpetuidade não deve ser traduzida por infinita, mas sim como 
um conjunto de rendas cujo prazo não se pode determinar. Aplicações 
deste conceito são as ações que produzirão dividendos a prazo indefinido. 
Também podemos pensar em perpetuidade para manutenção de 
equipamentos e bens duráveis. Uma estrada de ferro necessita de 
manutenção constantemente, portanto, da disponibilização constante de 
um fundo monetário para obras. Igrejas e edifícios históricos de cidades 
antigas da Europa devem ser constantemente preservadas, uma vez que 
foram edificadas em época em que se desconhecia o concreto. Algumas 
igrejas foram construídas com areia especial e aditivos, mas que sofrem 
desgaste constante. Assim, necessitam de investimento constante, como 
“eternas” parcelas a investir. Já pensou nisto? 
Analogamente às rendas de prazo determinado, rendas perpétuas podem 
ser antecipadas, postecipadas e diferidas. 
Na perpetuidade de rendas, os cálculos são bastante simples. Vamos 
analisar o que ocorre com nossa fórmula do valor presente em relação à 
prestação, quando o tempo n é muito grande; matematicamente dizemos 
que n tende ao infinito. 
 
Sabemos que, para rendas postecipadas: 
 
  i.i1
1i1
PMTPV
n
n


 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 5 
 
Se separarmos o quociente em duas frações, teremos: 
 
      






















i.i1
1
i
1
PMT
i.i1
1
i.i1
i1
PMTPV
nnn
n
 
O primeiro termo foi simplificado, percebeu? 
Agora vamos analisar o termo 
  i.i1
1
n

. Estamos dividindo 1 por uma 
potência de expoente “muito grande”, portanto, a potência também se 
tornará “muito grande”. Se você divide 1 por um número muito, mas muito 
grande mesmo, obterá um número muito próximo de zero. Este é o 
conceito de limite na matemática que considera que se n tende ao 
infinito, o termo que consideramos acima é zero. 
Então teremos a fórmula: 
i
PMT
i
1
PMTPV  
Como, na verdade, não estamos falando de prestações a pagar e sim de 
rendimentos, será mais adequado substituir PMT por R, para obter: 
 
 
Exemplo sempre ajuda: 
Juvêncio e seu cunhado estão fundando uma microempresa em 
sociedade. Juvêncio participará com o capital de R$ 100.000,00 e o 
cunhado com a tecnologia e o trabalho. A partir do primeiro ano, o capital 
de Juvêncio será remunerado a 12% a.a.. Qual será o rendimento anual 
de Juvêncio? 
i
R
PV 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 6 
 
Atenção: quando dizemos que receberá os rendimentos a partir do 
primeiro ano, referimo-nos à renda postecipada. 
Calculando o rendimento “para sempre”, com PV de 100.000,00 reais e 
taxa de 0,12: 
12,0
R
000.100  , portanto o rendimento R será de R$ 12.000,00 a cada 
ano. 
 
Nas rendas antecipadas, a fórmula passará a ser: 
 
 
Então os rendimentos de Juvêncio seriam de: 
 
28,714.10
12,1
)12,0.(000.100
R
12,01
12,0
R
000.100


 
Mas, se Juvêncio já quer um rendimento de R$ 10.714,28 no momento em 
que a microempresa está sendo estabelecida, então na verdade não aplica 
100.000,00 e sim apenas 100.000,00 – 10.714,28 = 89.285,72. Esta 
sociedade de Juvêncio e seu cunhado não começa nada bem, concorda? 
Para rendas diferidas, quando o primeiro rendimento será recebido apenas 
após um tempo n, os cálculos obedecerão a fórmula: 
 
 
 i1
i
R
PV 
 ni1
1
.
i
R
PV


 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 7 
 
Novo exemplo: 
Robenildo aplica mensalmente durante 10 anos o valor de $ 1.200,00 em um 
fundo de previdência privada. A taxa para tal aplicação é de 2% a.m.. Quando 
se aposentar, em 10 anos, receberá o complementar da aposentadoria à taxa de 
12,42% ao ano. Robenildo quer saber quanto receberá mensalmente. 
Neste exemplo vamos aplicar vários conhecimentos que já adquirimos. 
Inicialmente devemos calcular o montante da aplicação em 10 anos: 
 
78,909.585
02,0
102,01
200.1FV
120


 
Perceba que o prazo das aplicações deve ser considerado como 120 
meses, pois a taxa é mensal. 
Ótimo, Robenildo tem o montante de R$ 585.909,78 para receber em 
parcelas mensais “para sempre”. E se você pensou que Robenildo não 
viverá “para sempre”, eu lhe digo que é muito mau. Porque quer matar 
nosso pobre Robenildo? Vamos sim calcular seu rendimento “para 
sempre”. 
A taxa referente aos rendimentos mensal é anual, portanto devemos 
calcular a taxa equivalente mensal. 
1+ im = (1+ 0,1242)1/12 
im = 0,98% a.m. 
Atenção: não divida a taxa anual por 12; você já aprendeu que isto seria 
uma taxa nominal e não efetiva como deve ser. 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 8 
 
Como o cálculo do rendimento deve ser efetuado com o valor presente, 
vamos passar o montante para hoje: 
Então: 
 
47,426.54
02,01
78,909.585
PV
120


 
Poderíamos ter calculado PV imediatamente, mas foi bom saber que em 
10 anos Robenildo terá um montante tão expressivo. 
Enfim, calculando os rendimentos (renda antecipada): 
 
 
 
Robenildo receberá mensalmente R$ 528,20 “para sempre”. 
 
 
 
 
Capitalizações contínuas 
Já entendemos o que significa capitalização. Na matemática financeira 
capitalizar é incorporar os juros ao capital e se dizemos que a capitalização 
é em período k, estamos garantindo a frequência em que os juros serão 
adicionados ao capital, a cada tempo k. 
 
20,528R
0098,01
0098,0
R
47,426.54


 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 9 
 
Na capitalização mensal os rendimentos ocorrerão 12 vezes ao ano, na 
capitalização diária ocorrerão 365 vezes ao ano (não bissextos) e assim 
sucessivamente. 
No regime de capitalização contínua os rendimentos são incorporados ao 
capital continuamente, a cada instante (seja o que for a duração de um 
instante) por todo o período considerado. 
Provavelmente você deve estar pensando: “essa história de capitalização 
instantânea é mais uma loucura dos matemáticos, onde já se viu isso! ”. 
Pois é, capitalização contínua é bastante usada em finanças, na geração 
de lucros de produção de empresas, na depreciação de equipamentos de 
produção, em projetosde investimento e tantos outros trâmites financeiros 
de empresas. 
 
Por falar em cálculos instantâneos, quantos anos você tem mesmo? 
Mentira. O tempo que demorou para responder (um segundo?) já lhe 
tornou mais velho. Sua idade, assim como seu conhecimento em 
Matemática Financeira cresce instantaneamente. 
 
Atenção: Na capitalização contínua consideramos taxa nominal, e não a 
equivalente como deveria ser. 
A tabela a seguir mostra como se comportam as taxas em capitalizações 
a prazos diferente. Consideramos i uma taxa anual. 
 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 10 
 
Prazo Evolução do capital Taxa nominal 
anual C (1+ i) i 
semestral 2
2
i
1C 





 1
2
i
1
2






 
trimestral 4
4
i
1C 





 1
4
i
1
4






 
mensal 12
12
i
1C 





 1
12
i
1
12






 
quinzenal 24
24
i
1C 





 1
24
i
1
24






 
diária 365
365
i
1C 





 1
365
i
1
365






 
por hora 8760
8760
i
1C 





 1
8760
i
1
8760






 
por minuto 525600
525600
i
1C 





 1
525600
i
1
525600






 
 
 
Atenção que lá vem exemplo: 
Para elucidar melhor nossas capitalizações em períodos cada vez 
menores, vamos aplicar um valor de R$ 100,00 com taxa anual de 20%. 
Com cálculos efetuados pela tabela acima, teremos: 
 
 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 11 
 
Prazo Evolução do capital Taxa nominal 
anual 120,00 0,2 
semestral 121,00 0,21 
trimestral 121,55 0,2155 
mensal 121,94 0,21939 
quinzenal 122,04 0,220391 
diária 122,13 0,2213358 
por hora 122,14 0,22139943 
por minuto 122,14 0,221404314 
Mas que maravilha, descobrimos uma fonte inesgotável de dinheiro! 
Quanto menor o período de capitalização, maior será o rendimento. Vou a 
meu banco imediatamente, solicitar capitalização em milionésimos de 
instantes para o investimento de minhas economias. 
Mas não é bem assim. A incrível matemática prova que há um limite nos 
acréscimos do rendimento. 
E este limite envolve o número de Neper e que lhe foi apresentado na UA1. 
A taxa efetiva máxima da capitalização em períodos cada vez menores é 
o número e elevado à taxa nominal vezes o tempo considerado. 
FV = PV . e (i.n) 
Em nosso exemplo de taxa nominal de 20% ao ano, a taxa de capitalização 
instantânea será de: 
1 + e0,2 = (2,71828182...)0,2 = 1,221402758 ou seja, 
a taxa nominal capitalizada instantaneamente é de 22,1403% ao 
ano. 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 12 
 
Exemplos para fixar o conhecimento: 
1. Um capital de R$ 300,00 aplicado durante 20 meses à taxa mensal de 
0,9% gerará um montante de: 
FV = 300 (1 + 0,009)20 = 358,88 capitalizados mensalmente; 
FVinst = 300 . e0,009 x 20 = 359,16 capitalizados instantaneamente. 
Temos uma diferença de 29 centavos (se consideradas todas as casas 
decimais da calculadora). 
 
2. O mesmo capital de R$ 300,00 aplicado por 20 meses, mas a uma taxa 
mensal de 15%, bem mais alta que a do exemplo 1, terá também 
diferença insignificante? Vejamos a diferença entre os montantes: 
FV = 300 (1 + 0,15)20 = 4.909,96 capitalizados mensalmente; 
FVinst = 300 . e0,15 x 20 = 6.025,66 capitalizados instantaneamente. 
Percebe-se então que a taxas baixas a diferença é ínfima, conquanto a 
taxas altas de juros a diferença é considerável. 
 
Mas porque alguém usaria uma taxa instantânea? 
Porque causa impacto. Porque se alguém possui uma carteira de ações 
diversificada em que dividendos e juros são distribuídos frequentemente, 
a capitalização contínua representa melhor estes dividendos. E ainda 
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 13 
 
porque para decisões e aquisições de opções1 no mercado financeiro, em 
que se tornam interessantes cálculos com equações diferenciais, a função 
exponencial fica muito mais fácil se envolve o número e. 
Houve época em que os bancos dos Estados Unidos apregoavam 
capitalização instantânea como apelo publicitário. 
 
Antena parabólica 
Falamos muito sobre capitalização, então acreditamos que seja 
interessante elucidar o que erroneamente é denominado título de 
capitalização pelos bancos comerciais. 
Porque dissemos erroneamente? O texto abaixo, extraído de 
https://pt.wikipedia.org/wiki/ ilustrará o comentário. 
“Um título de capitalização é um título de crédito comercializado por empresas 
de capitalização, com o objetivo de formação de uma aplicação, mas também 
com um caráter lotérico, de sorteio de prêmios de capitalização. 
Neste produto, o capitalizador concorre a prêmios de sorteio, recebendo ao final 
da aplicação seu dinheiro acrescido de reajustes e subtraído taxas de 
administração e cota para sorteio. Os títulos de capitalização são desvantajosos 
 
1 Mercado de opções é o mercado onde se negociam opções, que são instrumentos financeiros 
utilizados no mercado financeiro. Uma opção confere, ao titular, o direito (e não obrigação) de 
comprar ou vender um determinado ativo (ação, título ou bem qualquer) por um valor 
determinado, enquanto o lançador é obrigado a concluir a transação de compra ou venda. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/ 
 
https://pt.wikipedia.org/wiki/
https://pt.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADtulo_de_cr%C3%A9dito
https://pt.wikipedia.org/wiki/Capitaliza%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/Loteria
https://pt.wikipedia.org/wiki/Sorteio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mercado
https://pt.wikipedia.org/wiki/Mercado_financeiro
https://pt.wikipedia.org/wiki/Ativo
https://pt.wikipedia.org/wiki/A%C3%A7%C3%A3o
https://pt.wikipedia.org/wiki/T%C3%ADtulo
https://pt.wikipedia.org/wiki/Bem
https://pt.wikipedia.org/wiki/
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 14 
 
em relação a rentabilidade de outros investimentos, inclusive em relação à 
poupança, porém com o diferencial de concorrer a prêmios sorteados. A maiorias 
dos contratos também estipula prazo de carência para resgate e parte do valor 
capitalizado fica com o banco no caso de resgate anterior ao prazo estipulado 
no contrato. 
Os valores aportados pelo capitalizador são geralmente divididos entre a parte a 
ser capitalizada, a parte de sorteio e a parte referente à administração. Ao fim do 
plano, ou após o período de carência, o capitalizador só terá direito a resgatar a 
parte capitalizada. A parte de sorteio é destinada ao pagamento dos prêmios de 
sorteio e a taxa de administração é destinada a remunerar a empresa que 
administra o título. 
Em razão disso, a capitalização é vista por alguns como uma operação 
desvantajosa ao cliente, pois geralmente o valor do saque ao final do plano é 
pouco ou nada maior que a soma de todos os pagamentos feitos ao longo do 
tempo. Em função disso os títulos de capitalização não devem ser considerados 
como uma aplicação financeira ou uma poupança, pois não se enquadram nem 
como de renda fixa, já que tendem a render quase nada, nem como de risco. 
Título de Capitalização é um produto altamente desvantajoso para o cliente, além 
de altamente lucrativo para a instituição financeira. Os bancos visam 
principalmente pessoas que são atraídas pelos sorteios e geralmente não tem 
muito conhecimento sobre o valor do dinheiro e aplicações financeiras. Abaixo, 
a lista das razões que este produto levam o consumidor ao prejuízo. 
- Título de capitalização não é investimento é um jogo: É mais barato apostar na 
loteria que comprar este produto. 
- O rendimento é inferior ao da poupança: A maior parte dos bancos corrigem o 
valor aplicado a uma taxa diminuta (TR). Além disto, cobram taxas como de 
carregamento, administração e cota para sorteio reduzindo ainda mais a 
rentabilidade. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Caderneta_de_poupan%C3%A7a
https://pt.wikipedia.org/wiki/Aplica%C3%A7%C3%A3o_financeirahttps://pt.wikipedia.org/wiki/Caderneta_de_poupan%C3%A7a
https://pt.wikipedia.org/wiki/Taxa_referencial
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 15 
 
- O dinheiro do cliente fica “preso”: Os bancos estabelecem um prazo de 
carência, impossibilitando ou dificultando resgates antes deste prazo. Se o 
cliente deseja retirar antes, é em geral cobrada uma multa. 
Em suma, os bancos têm um grande lucro com esse tipo de produto, em 
detrimento dos seus correntistas. Conseguem recursos a taxas extremamente 
baixas e somente repassam uma diminuta correção aos seus clientes. 
No Brasil, para trabalhar com capitalização, a empresa deve ter registro na 
Susep, órgão que normatiza e fiscaliza o setor. 
Há duas formas de comercialização desses títulos, de pagamentos periódicos 
ou único. No Brasil são chamados de PM (Pagamento Mensal) e o PU 
(Pagamento Único). 
O PM é um plano em que os pagamentos dos prêmios são periódicos, 
geralmente mensais. É possível que após o último pagamento o plano ainda se 
mantenha em vigor, pois seu prazo de vigência pode ser diferente do que seu 
prazo de pagamento. Os planos PU são aqueles em que o pagamento é único e 
sua vigência fica estipulada na proposta. 
As empresas responsáveis por essa comercialização estão reunidas na Fenacap 
- Federação Nacional de Capitalização.” 
 
E agora José? 
Agora que você percebeu como o esforço de matemáticos para encontrar 
resoluções incríveis que facilitam seus cálculos financeiros e as 
maravilhas que o número e pode produzir em suas finanças, confira alguns 
exercícios para fixação dos conceitos no Momento da Verdade referente 
a esta Unidade de Aprendizagem. 
https://pt.wikipedia.org/wiki/Susep
https://pt.wikipedia.org/wiki/Com%C3%A9rcio
https://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil
https://pt.wikipedia.org/wiki/Pr%C3%AAmio_%28seguro%29
https://pt.wikipedia.org/wiki/M%C3%AAs
https://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Federa%C3%A7%C3%A3o_Nacional_de_Capitaliza%C3%A7%C3%A3o&action=edit&redlink=1
 
 
UA11– Perpetuidades e Capitalizações Contínuas 16 
 
BIBLIOGRAFIA DE APOIO 
VIEIRA SOBRINHO, JOSÉ DUTRA. Matemática Financeira. 7 ed. São 
Paulo: Atlas Editora, 2000. 
ALMEIDA, JARBAS THAUNAHY SANTOS DE. Matemática Financeira. 
1 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
SAMANEZ, CARLOS PATRÍCIO. Matemática Financeira: Aplicações à 
Análise de Investimentos. 5 ed. São Paulo, Pearson Prentice Hall, 
2010. 
CRESPO, A. A. Matemática Comercial e Financeira fácil. 13 ed. São 
Paulo: Saraiva, 2002. 
VANNUCCI, LUIZ ROBERTO. Cálculos Financeiros aplicados e 
avaliação econômica de projetos de investimento. 1 ed. São Paulo: 
Textonovo, 2003. 
TEIXEIRA, JAMES; DI PIERRO NETTO, SCIPIONE. Matemática 
financeira. 1 ed. São Paulo; Makron Books, 1998.