eBook Completo - Engenharia Econômica_SER_V2(versão digital)

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ENGENHARIA ECONÔMICA
Engenharia Econôm
ica
Paula Esquerdo Paula Esquerdo 
GRUPO SER EDUCACIONAL
gente criando o futuro
Esta disciplina tem como um de seus focos a apresentação e utilização de conceitos e 
métodos voltados à operacionalidade e gerenciamento � nanceiro, e como seus resul-
tados se re� etem no resultado econômico.
Você terá uma visão geral sobre como os diferentes agentes econômico-� nanceiros 
interagem entre si a respeito do capital, como administrar o � uxo do capital, como 
administrar a relação dinheiro versus tempo e como de� nir e� ciência em produção. 
Fazem parte do conteúdo alguns exemplos, visando que o entendimento dos itens 
saia da esfera essencialmente teórica para a prática, de forma heurística.
Além disso, espera-se demonstrar como a aplicação da matemática � nanceira na en-
genharia econômica é uma ferramenta capaz de auxiliar a tomada de decisão em fe-
nômenos econômicos � nanceiros.
Por � m, alguns assuntos aqui abordados dizem respeito ao prazo de retorno ou prazo 
de recuperação do capital investido, ao método da taxa interna e externa de retorno, 
ao método do valor presente, ao sistema de capitalização composta, à taxa de juros 
e à série de capitais.
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mentares ou aprofundadas sobre o conteúdo estudado.
CITANDO
Dados essenciais e pertinentes sobre a vida de uma determinada pessoa 
relevante para o estudo do conteúdo abordado.
CONTEXTUALIZANDO
Dados que retratam onde e quando aconteceu determinado fato;
demonstra-se a situação histórica do assunto.
CURIOSIDADE
Informação que revela algo desconhecido e interessante sobre o assunto 
tratado.
DICA
Um detalhe específico da informação, um breve conselho, um alerta, uma 
informação privilegiada sobre o conteúdo trabalhado.
EXEMPLIFICANDO
Informação que retrata de forma objetiva determinado assunto.
EXPLICANDO
Explicação, elucidação sobre uma palavra ou expressão específica da 
área de conhecimento trabalhada.
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Unidade 1 - Introdução à matemática financeira e ao sistema de capitalização 
simples
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 12
Conceitos gerais ................................................................................................................... 13
Matemática financeira ................................................................................................... 13
Mercado: eficiência técnica e financeira da engenharia ........................................ 14
Fluxo de caixa .................................................................................................................. 17
Diagrama de fluxo de caixa ........................................................................................... 18
Período de capitalização ................................................................................................ 18
Conceitos fundamentais ..................................................................................................... 19
Característica do juro ..................................................................................................... 20
Características dos fatores de produção .................................................................... 21
A diferença entre juros e lucro ..................................................................................... 26
O conceito de spread ...................................................................................................... 26
Comparativo entre juros simples e compostos .......................................................... 28
Distinção entre juros simples e compostos e sua representação gráfica ............ 29
Sistema de capitalização simples: considerações básicas ........................................ 31
Cálculo quanto ao prazo inteiro e fracionado, valor atual e nominal ..................... 33
Sintetizando ........................................................................................................................... 36
Referências bibliográficas ................................................................................................. 37
Sumário
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Sumário
Unidade 2 - Sistema de capitalização composta, taxa de juros e série de capitais
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 40
Sistema de capitalização composta ................................................................................. 41
Considerações básicas .................................................................................................. 41
Cálculo: juros, capital e montante ................................................................................ 41
Cálculo: quanto ao prazo inteiro e fracionado ........................................................... 45
Valor atual e nominal ...................................................................................................... 48
Taxa de juros: conceitos de taxa de juros ....................................................................... 48
Nominal e efetivo ............................................................................................................. 51
Equivalência entre taxas de juros ................................................................................ 53
Série de capitais................................................................................................................... 54
Modelo básico de anuidade .......................................................................................... 55
Modelo básico de anuidade com os termos postecipados ..................................... 59
Coeficiente de financiamento ....................................................................................... 60
Sintetizando ........................................................................................................................... 63
Referências bibliográficas ................................................................................................. 64
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Sumário
Unidade 3 - Análise e gerenciamento de investimentos financeiros
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 67
Método do valor presente ................................................................................................... 68
Taxa mínima de atratividade (TMA).............................................................................. 69
Custo de oportunidade: seleção da melhor alternativa ............................................ 70
Análise incremental ........................................................................................................73
Análise exaustiva: alternativas mutuamente excludentes ....................................... 74
Outros métodos de valor equivalente ............................................................................... 76
Método do valor futuro líquido (VFL) ............................................................................ 76
Método do valor uniforme líquido (VUL) ...................................................................... 78
Método das taxas interna e externa de retorno ............................................................. 80
Taxa interna de retorno (TIR) ......................................................................................... 80
Taxa externa de retorno (TER) ....................................................................................... 81
Método da determinação aproximada da taxa de retorno ...................................... 83
Método por tentativas .................................................................................................... 84
Seleção da melhor alternativa ...................................................................................... 86
Determinação do número de TIRs múltiplas ............................................................... 87
Sintetizando ........................................................................................................................... 90
Referências bibliográficas ................................................................................................. 91
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Sumário
Unidade 4 - Análise e gerenciamento de investimentos financeiros
Objetivos da unidade ........................................................................................................... 93
Prazo de retorno ou prazo de recuperação do capital investido ................................ 94
A validade do método ..................................................................................................... 95
Comparação do prazo de retorno com a vida útil do bem ........................................ 95
Vida útil real, vida útil contábil e vida de serviço ..................................................... 100
Custo uniforme em lugar de valores uniformes ....................................................... 102
Cálculo do prazo de retorno por etapas .................................................................... 104
Prazo de retorno a juros nulos .................................................................................... 106
Análise da sensibilidade .................................................................................................. 107
Sensibilidade de uma alternativa ............................................................................... 108
Sensibilidade de várias alternativas .......................................................................... 109
Análise do ponto de equilíbrio ..................................................................................... 114
Condição de certeza e risco ............................................................................................. 115
Fluxo de caixa sob condição de certeza e incerteza .............................................. 116
Tipos de curvas de frequência de ocorrência .......................................................... 118
Probabilidade de viabilidade de um empreendimento ............................................ 119
Sintetizando ......................................................................................................................... 121
Referências bibliográficas ............................................................................................... 122
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Olá alunos(as), sejam bem-vindos(as)!
Esta disciplina tem como um de seus focos a apresentação e utilização de 
conceitos e métodos voltados à operacionalidade e gerenciamento fi nanceiro, 
e como seus resultados se refl etem no resultado econômico.
Você terá uma visão geral sobre como os diferentes agentes econômico-fi -
nanceiros interagem entre si a respeito do capital, como administrar o fl uxo do 
capital, como administrar a relação dinheiro versus tempo e como defi nir efi -
ciência em produção. Fazem parte do conteúdo alguns exemplos, visando que 
o entendimento dos itens saia da esfera essencialmente teórica para a prática, 
de forma heurística.
Além disso, espera-se demonstrar como a aplicação da matemática fi nan-
ceira na engenharia econômica é uma ferramenta capaz de auxiliar a tomada 
de decisão em fenômenos econômicos fi nanceiros.
Por fi m, alguns assuntos aqui abordados dizem respeito ao prazo de retor-
no ou prazo de recuperação do capital investido, ao método da taxa interna e 
externa de retorno, ao método do valor presente, ao sistema de capitalização 
composta, à taxa de juros e à série de capitais.
Bons estudos!
ENGENHARIA ECONÔMICA 9
Apresentação
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Dedico aos meus pais, que tanto fi zeram e fazem pela minha realização 
pessoal e profi ssional.
Paula Esquerdo é mestra (2018) em Teo-
ria Econômica pela Universidade Fede-
ral do Espírito Santo (UFES) e graduada 
(2015) em Ciências Econômicas pela Uni-
versidade Federal Rural do Rio de Janei-
ro (UFRRJ).
Já atuou como consultora econômica 
em prefeituras dos estados do Rio de 
Janeiro e de Minas Gerais e, atualmen-
te, é economista consultora no mercado 
privado em São Paulo. Como docente, 
tem foco em matemática, fi nanças e 
economia.
Currículo Lattes:
http://lattes.cnpq.br/5383030244049928 
ENGENHARIA ECONÔMICA 10
O autor
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INTRODUÇÃO À 
MATEMÁTICA 
FINANCEIRA E 
AO SISTEMA DE 
CAPITALIZAÇÃO 
SIMPLES 
1
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Aprender os conceitos iniciais de matemática financeira;
 Relacionar eficiência técnica à financeira;
 Entender a aplicabilidade da isoquanta e do isocusto;
 Aprender sobre fluxo de caixa e suas variantes;
 Diferenciar os períodos de capitalização;
 Entender os conceitos fundamentais de engenharia econômica;
 Diferenciar juros simples de compostos;
 Reconhecer os principais fatores de produção;
 Entender sobre a influência da escassez dos fatores de produção;
 Diferenciar juros e lucro, rentabilidade e lucratividade, trade-off e custo de 
oportunidade;
 Entender o conceito de spread e como ele é composto;
 Aprender os conceitos e aplicabilidade do regime de capitalização simples.
 Conceitos gerais
 Matemática financeira
 Mercado: eficiência técnica e 
financeira da engenharia
 Fluxo de caixa
 Diagrama de fluxo de caixa
 Período de capitalização
 Conceitos fundamentais
 Característica do juro
 Características dos fatores de 
produção
 A diferença entre juros e lucro
 O conceito de spread
 Comparativo entre juros simples e 
compostos
 Distinção entre juros simples e 
compostos e sua representação 
gráfica
 Sistema de capitalização simples: 
considerações básicas
 Cálculo quanto ao prazo inteiro e 
fracionado, valor atual e nominal
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Conceitos gerais
Nesta unidade, serão expostos alguns conceitos gerais da engenharia eco-
nômica, iniciando-se a partir de determinados aspectos que permeiam um de 
seus pilares: a matemática fi nanceira. 
Você aprenderá conceitos básicos sobre capital, juros, fl uxo de caixa e siste-
ma de capitalização simples, entre outros, além de verifi car como a matriz de 
efi ciência econômico-fi nanceira contribui para a tomada de decisão.
Matemática financeira
A matemática fi nanceira visa resolver problemas e subsidiar tomadas de 
decisão para oportunidades fi nanceiras, aplicando ferramentas como probabi-
lidade, estatística e economia. Assim, ao se falar em matemática fi nanceira, écomum que lembre-se de dois conceitos básicos: juros simples e juros compos-
tos. Todavia, além deles, há outros conceitos importantes.
• Capital inicial
Recurso inicial disponibilizado pelo investidor à determinada operação fi -
nanceira. Pode ser de variadas naturezas: poupança, títulos públicos, investi-
mento imobiliário, fi nanciamentos de bens, entre outros. Também chamado de 
valor principal, valor presente, valor atual, montante inicial, valor de aquisição 
ou valor à vista.
• Taxa de juros
Percentual aplicado sobre o montante da transação fi nanceira (aplicação ou 
empréstimo) para obtenção dos juros, ou seja, é o preço da operação. Entre os 
componentes para determinação da taxa de juros, podem ser considerados o 
custo de captação, risco de crédito ou inadimplência, tributos, custos adminis-
trativos, infl ação, lucro do credor, entre outros.
• Juros
Remuneração de aplicação (juros a receber) ou de em-
préstimo (juros a pagar). Valor atingido pela aplicação do 
percentual (taxa de juros) sobre o montante da transação 
utilizando o método dos juros simples ou juros compostos, 
conforme acordado na contratação da operação.
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• Período
É o tempo de aplicação de um investimento expresso em dias, meses, anos. 
O período é uma variável importante nos conceitos de capitalização contínua e 
descontínua, que serão detalhadas adiante.
• Montante
Refere-se ao valor fi nal da aplicação disponível ao investidor. Refl ete a soma 
do capital inicial com os juros rentabilizados no período do investimento. 
• Juros simples
Tipo de regime de capitalização em que os juros incidem sobre o capital 
inicial.
• Juros compostos
Tipo de regime de capitalização em que os juros incidem sobre o montante 
referente ao período anterior.
Mercado: eficiência técnica e financeira da engenharia
A engenharia econômica é formada por técnicas e conceitos da engenharia 
unidos aos processos fi nanceiros – e conta com a matemática fi nanceira como 
base importante para sua aplicação prática. 
Segundo Peña, a defi nição de efi ciência “é a capacidade de fazer certo 
as coisas, de minimizar a relação insumos – produtos. Visa assegurar a oti-
mização da utilização dos recursos e, 
portanto, relaciona-se com os meios 
e não com os fi ns” (2008, p. 85). Ela 
pode ser subdividida em efi ciência 
técnica, efi ciência fi nanceira e efi -
ciência econômica:
• A efi ciência técnica ocorre quan-
do se consegue obter o mesmo nível 
de produção com a menor quantidade 
possível de insumos;
• A eficiência financeira ocorre 
quando se consegue obter o mesmo nível de produção operando sob a 
minimização de custos;
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• A eficiência econômica envolve tanto os aspectos físicos de produ-
ção (relacionados à eficiência técnica) quanto os monetários (representa-
dos pela eficiência financeira).
Na interpretação de Pinto (2013): 
Custos de produção são compostos de elementos explícitos (mão 
de obra, depreciações, custo de energia, seguros) e implícitos (re-
torno normal sobre o investimento, custo de oportunidade do tra-
balho e outros recursos de posse própria). Não são considerados 
apenas a capacidade física (EFICIÊNCIA TÉCNICA), nem tão pouco 
apenas o retorno financeiro a preços de mercado (EFICIÊNCIA FI-
NANCEIRA), mas também os demais fatores que determinam o 
“melhor” uso de recursos escassos de uma sociedade (EFICIÊNCIA 
ECONÔMICA) alocados em uma determinada opção (p. 26).
Esses conceitos podem ser resumidos em uma matriz 4 x 4, como demons-
tra o Gráfico 1. 
GRÁFICO 1. VIABILIDADE ECONÔMICA EM MATRIZ 4X4
Efi
ciê
nc
ia
 té
cn
ica
+ Eficiência técnica
- Eficiência financeira
- Eficiência técnica
- Eficiência financeira
- Eficiência técnica
+ Eficiência financeira
+ Eficiência técnica
+ Eficiência financeira
Eficiência econômica
Eficiência financeiraFonte: PINTO, 2013, n.p. (Adaptado
Conceitos introdutórios à engenharia econômica
Para Grant e Ireson (1970), a engenharia econômica utiliza-se de técnicas 
fundamentais para a tomada de decisão da firma. Para isso, é importante con-
siderar que: 
i) as ferramentas utilizadas devem ser claras e previamente definidas; 
ii) a decisão tomada pode levar a consequências não previstas; 
iii) a utilização de dados é uma ferramenta imprescindível para respaldar a 
decisão; 
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iv) critérios devem ser definidos para tornar a decisão 
viável e o mais assertiva possível.
Além disso, é importante atentar-se à variável tempo, 
uma vez que as decisões e o valor do dinheiro são pautados 
neste – e isso está presente nas decisões financeiras tan-
to das famílias quanto das firmas. 
Em suma: ao realizar um investimento, além de 
considerar a rentabilidade, é necessário atentar-se 
ao valor da moeda ao longo do tempo. Isso porque é 
possível que o valor de uma unidade monetária atual-
mente não seja o mesmo no futuro. A deterioração ou o aumento do 
poder de compra pela inflação, deflação ou variação cambial são exemplos de 
como o valor do dinheiro flutua com o tempo.
Sobre esses conceitos, aplica-se a gestão econômica empresarial,
uma abordagem voltada para os gestores internos da empre-
sa, na tentativa de expressar numericamente a contribuição 
de cada setor ou departamento para a empresa como um 
todo. Isto permite avaliar a atitude de cada gestor frente às 
decisões da empresa, de forma a otimizar o resultado eco-
nômico global da organização (SILVA; NOGUEIRA; DOS REIS, 
2015, p. 39).
Aplicação básica na tomada de decisão
Os insumos de produção de uma empresa podem ser avaliados a partir de 
gráficos que relacionam a quantidade de cada insumo. Essa análise pode ser 
representada por isoquantas e isocustos:
• Isoquanta: curva de combinações entre dois insumos capazes de fornecer 
a mesma quantidade de produto final;
• Isocusto: tangencia a curva de isoquanta no ponto onde são mínimos os 
custos de produção.
No Gráfico 2, por exemplo, é possível observar a combinação do insumo 
capital e do insumo trabalho. Os pontos A e B (na curva – isoquanta) repre-
sentam a mesma quantidade de produto final; porém, no ponto A, em que a 
isoquanta corta a linha de isocusto (pontilhada), há a minimização do custo 
de produção:
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GRÁFICO 2. RELAÇÃO DOS INSUMOS DE PRODUÇÃO
0
0
0,1
Trabalho
A
B
Ca
pi
ta
l
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
5 10 15
Fonte: PINDYCK; RUBINFELD, 1999, p. 235. (Adaptado).
Fluxo de caixa
Pode-se definir fluxo de caixa como o “registro de uma sequência de 
movimentações financeiras ao longo do tempo” (VIANNA, 2018, p. 16), ou 
seja: o fluxo de caixa representa o que é arrecadado e o que é gasto por 
uma empresa em um período de tempo pré-determinado. 
Isso posto, há dois tipos de fluxo de caixa: o diário e o projetado.
• Fluxo de caixa diário
Mostra as movimentações de caixa de modo mais detalhado, sendo útil 
para o gestor avaliar e, caso seja possível, reorganizar as saídas;
• Fluxo de caixa projetado
É uma métrica importante de avaliação. Por meio dele, obtêm-se es-
timativas de entradas e saídas de dinheiro futuras. Assim, se necessário, 
o gestor negocia com fornecedores maiores prazos de pagamentos e/ou 
reduz o prazo de recebimento com clientes.
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Diagrama de fluxo de caixa
O fl uxo de caixa pode ser representado grafi camente por dois eixos: na 
horizontal, onde estão os períodos; e na vertical, onde há os fl uxos de en-
trada e saída de capital. Tal representação gráfi ca é apresentada como dia-
grama de fl uxo de caixa. Pacífi co (2015) lista o que é demonstrado por este:
• O período: dias, meses, anos etc.;
• As entradas de moeda: simbolizadas por sinal positivo (+) e setas paracima;
• As saídas de moeda: simbolizadas por sinal negativo (-) e setas para 
baixo.
Agora, observe o exemplo a seguir, em que no início de fevereiro houve 
uma entrada de R$ 5.000,00; e, em junho, uma saída de capital equivalente 
a R$ 8.000,00.
GRÁFICO 3. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
Jan
R$ 5.000,00
R$ 8.000,00
Fev Mar Mai Jun Nov Dez...Abr
Fonte: VIANNA, 2018, n.p. (Adaptado).
Período de capitalização
O período de capitalização refere-se ao tempo que o capital inicial se 
submete à aplicação ou ao investimento. Geralmente em uma aplicação, 
os pagamentos dos juros são realizados após esse período. A capitalização 
pode ser contínua ou descontínua:
• Capitalização contínua
Ocorre quando a taxa de juros incorre sobre um tempo infi nito, ou seja, 
em um período divisível ao ponto de se obter os juros gerados em segundos 
de aplicação, por exemplo. Para seu cálculo, é utilizada a constante de Euler;
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• Capitalização descontínua
A taxa de juros não é incorrida durante a aplicação, apenas ao fi nal (BAR-
ROS, 2013).
CURIOSIDADE
a constante de Euler corresponde à base dos logaritmos naturais e pode 
ser encontrada em várias subáreas da matemática, inclusive em matemá-
tica fi nanceira, no cálculo da capitalização contínua.
GRÁFICO 4. CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA VERSUS DESCONTÍNUA
Capitalização contínua
Capitalização desontínua
Jan Fev Mar Abr Mai Jun ... Nov Dez
1000 min de aplicação
Final da aplicação
Fonte: BARROS, 2013, n.p. (Adaptado).
Conceitos fundamentais
Além das concepções gerais já apresentadas, há outros conceitos funda-
mentais para a engenharia econômica, importantes tanto para o entendimen-
to teórico quanto para a tomada de decisão. 
• Infl ação 
É o aumento generalizado dos preços. Camargo (1998) evidencia que não 
se deve confundir infl ação e taxa de juros: a primeira refere-se à redução do 
poder de compra do consumidor, enquanto a segunda é a remuneração pelo 
capital investido;
• Trade-off 
É o ato de escolher alguma coisa em detrimento de outra;
• Custo de oportunidade
É o custo que se tem ao deixar de escolher alguma coisa em detrimento de 
outra;
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• Custos fi xos
Gastos independentes do nível de produção da fi rma;
• Custos variáveis
Gastos dependentes do nível de produção da fi rma, ou seja, aqueles que 
variam à medida que a fi rma altera sua quantidade de produção;
• Custos totais
É o resultado da soma entre os custos fi xos e os custos variáveis;
• Lucro bruto
É o resultado da diferença entre a receita total e os custos variáveis;
• Lucro líquido
É o resultado da diferença entre a receita total e os custos totais;
• Depósito compulsório
No Brasil, o depósito compulsório, como o próprio nome diz, é uma obri-
gação legal, ao mesmo tempo em que confi gura-se como uma ferramenta de 
política monetária ao combate da infl ação;
• Receita bruta
A receita bruta é o resultado da venda de bens e serviços fornecidos pela 
fi rma, provenientes da atividade produtiva;
• Investimento
É investimento a prática de aplicação de capital posta sob a possibilidade de 
ganhos maiores em um período subsequente.
Característica do juro
Conceitualmente, juros são os rendimentos obtidos pelo investidor/
credor após o período de capitalização do capital inicial. É um percentual 
sobre o capital inicial que pode ser realizado via capitalização simples ou 
composta.
Se uma pessoa empresta seu capital a outra, ela almeja vantagens com 
tal empréstimo. O credor, normalmente, oferece o capital a um prazo e, ao 
fi nal, terá seu capital inicial de volta somado aos juros sobre aquela opera-
ção. Isso ocorre porque os juros são a remuneração que o credor/investidor 
tem ao desistir de aplicar seu capital em outras possibilidades. Assim, a taxa 
de juros deve absorver:
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• O risco incluído na operação;
• As expectativas e dúvidas em relação ao futuro;
• Os aumentos infl acionários que corroem o poder de compra;
• A remuneração esperada, pelo investidor, quando renuncia ao consu-
mo presente ao aplicar seu capital disponível no momento da contratação;
• O tempo de aplicação.
Características dos fatores de produção
Os fatores de produção são elementos para a produção final de bens e 
serviços, isto é, a combinação desses fatores é parte da transformação dos 
insumos em produto. De acordo com Pindyck e Rubinfeld (1999), existem 
três fatores de produção principais a partir da Teoria da Firma, a saber:
• Terra;
• Capital;
• Mão de obra. 
A partir das revoluções industriais e a expressiva evolução tecnológica 
durante o século XX e XXI, pode-se considerar mais um fator entre os prin-
cipais de produção: a tecnologia. 
EXPLICANDO
Criada por Ronald Coase no século XX, a Teoria da Firma tem o objetivo 
de entender como as decisões são tomadas nas empresas, de modo a 
minimizar custos frente à variação da produção. Para Pindyck & Rubinfeld 
(1999), os alicerces dessa teoria estão na tecnologia de produção, nas 
restrições de custos e na escolha dos insumos.
São características dos fatores de produção:
• Apresentam recursos limitados
Os recursos naturais, a mão de obra disponível e a tecnologia (sua limi-
tação refere-se a um dado período) são fatores limitantes;
• São versáteis
Um mesmo fator pode ser utilizado em outros processos de produção, 
como a tecnologia via satélite utilizada em agricultura e comunicação, por 
exemplo;
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• São substituíveis
Ocorre quando a mão de obra humana é substituída por equipamentos 
ou o capital utilizado nas operações da empresa deixa de ser próprio para 
tornar-se controlado por sociedade anônima, por exemplo;
• São complementares 
Quando um certo tipo de máquina requer um operador, por exemplo.
Questões pertinentes à limitação de recursos
Esse é um dos problemas econômicos mais discutidos: a escassez dos 
recursos de produção associada às necessidades ilimitadas do homem mo-
derno. Desse modo, o gestor depara-se com questões de tomada de deci-
são: produzir bens e serviços não conta apenas com a combinação dos fato-
res de produção, mas também com a demanda da sociedade. Por isso, antes 
de tomar a decisão de produzir, o gestor de uma firma deve perguntar:
• O que produzir?
Quais bens e serviços a firma tem capacidade e pode produzir;
• Quanto produzir?
Qual é a limitação dos recursos produtivos disponíveis e até que ponto 
se pode produzir;
• Como produzir?
Quais combinações de fatores de produção são possíveis para se al-
cançar o nível de bens e serviços que a firma deseja e tem capacidade de 
produzir;
• Para quem produzir?
Qual seria o público-alvo dos 
bens e serviços ofertados pela fir-
ma. 
Fronteira de possibilidade de 
produção
Chamada também de curva de 
possibilidade de produção, a Fron-
teira de Possibilidade de Produção 
(FPP) relaciona as limitações dos fatores de produção com a capacidade 
produtiva da firma. Ela mostra o trade-off entre duas opções de produção 
frente ao potencial máximo de produção: 
ENGENHARIA ECONÔMICA 22
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GRÁFICO 5. FRONTEIRA DE POSSIBILIDADE DE PRODUÇÃO
Porcas
Pa
ra
fu
so
s
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
10
A
B
C
20 30
Fonte: PINHO, 2016, p. 15. (Adaptado).
Os pontos A, B e C representam as combinações de produção de para-
fusos e porcas que esgotam a capacidade produtiva da firma. Assim, não é 
possível aumentar a produção para além desses pontos sem que haja que-
da na quantidade produzida de um dos bens. Essa relação é dada por ou-
tro conceito, denominado de taxa marginal de substituição técnica (TMST).
A TMST mostra a quantidade de um insumo de produção a qual pode-se 
variar para aumentar/diminuir a produção de outro, utilizando a capaci-
dade máxima deprodução da firma, conforme afirma Pinho em seu livro 
Microeconomia: teoria e prática simplificada, de 2016. Assim, temos que:
TMST =
YG - YA
XB - XA
(1)
TMST = ∆XAB
(2)
∆XAB
Caso fosse feita a TMST referente ao Gráfico 5 entre os pontos B e C, 
teríamos que:
ENGENHARIA ECONÔMICA 23
SER_ENGPROD_ENGECO_UNID1.indd 23 24/09/20 13:58
 
TMST =
∆ParafusoBC (3)
∆PorcaBC
TMST =
- 10 (4)
5
TMST = - 2 (5)
O resultado significa que a produção de mais uma unidade de porca 
requer o sacrifício de dois parafusos. 
A função de produção
As diversas combinações dos fatores de produção resultam nos produ-
tos finais a serem comercializados no mercado. Para demonstrar a função 
de produção, será representada a relação entre dois fatores fundamen-
tais: capital (K) e mão de obra (L). A equação a seguir representa que a 
quantidade produzida (q) depende de capital e mão de obra:
q = F (K,L) (6)
É importante ter em mente que os insumos e produtos são fluxos. 
Assim, por exemplo, nosso fabricante de computadores pessoais 
emprega certa quantidade de trabalho por ano para produzir deter-
minado número de máquinas naquele ano. Embora ele seja dono da 
fábrica e das máquinas, podemos pensar que paga certo montante 
anual pelo uso disso tudo. (PINDYCK; RUBINFELD, 1999, p. 161).
Bônus: o trade-off em tomadas de decisão a partir da macroeconomia
As tomadas de decisão por parte dos governos, por exemplo, têm for-
tes impactos na vida da sociedade – e um grande dilema que os gesto-
res macroeconômicos encontram está em escolher entre mais inflação ou 
mais desemprego.
Isso porque a inflação é consequência de um aumento generalizado de 
preços, decorrente de um “aumento contínuo na oferta de moeda” (LOPES; 
VASCONCELLOS, 2008, p. 86), ou seja, esse aumento generalizado de pre-
ços ocorre quando a economia se encontra altamente dinâmica e, consequen-
temente, com níveis de desemprego baixo (próximos ao pleno emprego).
Dessa forma, pode-se dizer que existe uma relação de trade-off entre 
inflação e desemprego: quanto menor é o desemprego, menor é a inflação, 
ENGENHARIA ECONÔMICA 24
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e vice-versa. O economista Robert Phillips buscou representar essa relação na 
chamada curva de Phillips: 
Caso a taxa de desemprego fosse mais elevada, isso indicaria 
maior excesso de oferta e, consequentemente, haveria pressão 
para que a taxa de crescimento dos salários nominais fosse mais 
baixa. Essa taxa menor corresponderia a uma taxa de inflação 
menor. À medida que a taxa de inflação fosse maior, os salários 
reais seriam menores e, consequentemente, de acordo com a 
teoria neoclássica, as firmas teriam incentivo para contratar mais 
mão de obra. Assim, haveria o chamado trade-off entre inflação 
e desemprego, uma vez que, quanto maior o desemprego, menor 
seria a taxa de inflação, e quanto menor o desemprego, maior se-
ria essa taxa (LOPES; VASCONCELLOS, 2008, p. 7).
Isso posto, observe a curva de Phillips representada a seguir:
GRÁFICO 6. CURVA DE PHILLIPS
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 5 10
In
fla
çã
o 
(π
)
Desemprego (u)
Fonte: LOPES; VASCONCELOS, 2008, p. 7. (Adaptado).
ENGENHARIA ECONÔMICA 25
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A diferença entre juros e lucro
Para entender a diferença entre juros e lucro, é inte-
ressante, primeiramente, entender a diferença entre 
os indicadores de rentabilidade e lucratividade. O 
indicador de lucratividade mostra, em valor per-
centual, o quanto a firma tem de ganho sobre a 
atividade que exerce, ou seja: é um indicador que 
justifica se a receita com vendas da empresa está 
sendo suficiente para arcar com suas despesas e pro-
mover o desejado lucro aos sócios-proprietários. Este é 
um valor percentual, calculado a partir do lucro líquido e da receita bruta:
Lucratividade = 
Lucro Líquido
(7)
Receita Bruta
x 100
Já o indicador de rentabilidade mostra o retorno final de uma aplica-
ção/investimento. Este utiliza-se também do lucro líquido, mas, diferente-
mente do cálculo do indicador de lucratividade, no lugar da receita bruta 
utiliza-se o valor do investimento.
Rentabilidade = 
Lucro Líquido
(8)
Investimento
x 100
Dessa forma, podemos relacionar os cálculos apresentados às dife-
renças entre juros e lucro: juros são a rentabilidade de uma aplicação, di-
ferentemente do lucro, que é o resultado positivo da comercialização de 
produto.
O conceito de spread
Os bancos contam com dois diferentes tipos de receitas: uma por meio 
do spread bancário e outra por meio da oferta de seus serviços. Segundo 
Rodrigues, portanto, “o spread é obtido através do repasse de agentes 
econômicos que possuem recursos disponíveis para agentes econômicos 
que precisam de recursos financeiros” (2017, p. 11). 
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EXPLICANDO
Pode-se afirmar, portanto, que a definição de spread está na diferença 
entre custos de aquisição e a taxa cobrada pelas instituições bancárias ao 
conceder crédito aos consumidores. 
O spread é composto, resumidamente, por: 
• Lucros e outros 
Resultado positivo advindo da atividade produtiva da empresa;
• Impostos diretos
Impostos que são pagos ao governo de forma direta;
• Compulsórios
Depósito obrigatório no Banco Central do Brasil com o objetivo de frear 
a capacidade multiplicativa dos bancos, evitando, assim, pressões infla-
cionárias;
• Custo administrativo
Custos fixos da empresa/banco;
• Inadimplência
Ocorre quando uma obrigação de pagamento não é cumprida. 
GRÁFICO 7. COMPONENTES DO SPREAD NO BRASIL
Lucros e outros
Impostos diretos
Compulsórios + encargos fiscais
Inadimplência
Custo administrativo
Fonte: Febraban, 2017. (Adaptado). 
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O spread, no Brasil, é considerado alto em comparação a outros países, 
ou seja: a diferença entre a taxa de empréstimo e a taxa de depósito no 
país é alta em relação a alguns países no mundo. 
O Centro de Competitividade Mundial, pioneiro em pesquisas sobre a 
competitividade entre empresas e países, elabora rankings sobre o tema 
e, inclusive, sobre a diferença do spread entre os países. Em 2018, o Brasil 
estava atrás de países como Chile, África do Sul e Colômbia neste quesito.
Regime de capitalização
Regime de capitalização é o método escolhido pelo investidor para di-
recionar suas aplicações financeiras. Ele pode ser classificado em três pos-
síveis tipos: simples, composto e misto. 
Este material tem foco na capitalização simples ( juros simples) e com-
posta ( juros compostos). Entretanto, uma síntese para a capitalização mis-
ta pode ser a adoção de juros compostos na parte inteira e a adoção de 
juros simples na parte fracionada do período.
Comparativo entre juros simples e compostos
Os juros são categorizados em simples e compostos. Os juros simples 
são crescentes a taxas lineares, ao passo que os juros compostos são cres-
centes a taxas exponenciais, conforme afirma Puccini em seu livro Mate-
mática financeira objetiva e aplicada, de 1995.
Juros Simples = C i n (9)
Juros compostos = C (1+i)n -C (10)
em que:
C = capital Inicial
i = taxa de juros
n = período de capitalização
e levando-se em consideração que são juros compostos a taxas fixas.
Juros simples são mais utilizados em transações de curto 
prazo e em operações pessoais, ao passo que juros compos-
tos são mais utilizados em transações financeiras de longo 
prazo e pelo mercado financeiro, por serem mais vantajosos e 
lucrativos. Analise a seguinte situação:
ENGENHARIA ECONÔMICA 28
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Se uma pessoa aplicar R$ 15.000,00 a uma taxa de juros de 15% ao ano 
(a.a.) e, após 24 meses, resgatar a aplicação, quanto teria de juros se reali-
zasse a aplicação sob juros simples? E sob juros compostos? Atente-se ao 
fato de que 24 meses é equivalente a dois anos.
Jurossimples = 15.000 · 0,15 · 2 (11)
Juros simples = R$ 4.500,00 (12)
Juros compostos = 15.000 (1+0,15)2 -15.000 (13)
Juros compostos = R$ 19.500,00 (14)
Em juros compostos, existem ainda outros dois conceitos: taxa fixa e 
taxa variável.
• Taxa fixa
No instante da aplicação, o investidor já tem o prévio conhecimento de 
quanto será a taxa de juros e, consequentemente, a rentabilidade do título. 
Juros com taxa fixa = C (1+i)n - C (15)
Os juros compostos com taxa fixa normalmente são prefixados para 
que se saiba com precisão qual a rentabilidade da aplicação financeira 
durante e ao final do investimento.
• Taxa variável
Diferentemente da taxa fixa, nesse caso o investidor não conhece a 
taxa de juros, podendo esta variar positiva ou negativamente, de acordo 
com suas expectativas. 
Juros com taxa variável = C (1 + i1 )(1 + i2 )…(1+in) -C (16)
Os juros compostos são pós-fixados utilizando um indexador ou outra 
regra – estes, sim, acordados no início do contrato para uso posterior du-
rante o período da aplicação.
Distinção entre juros simples e compostos e sua repre-
sentação gráfica 
Taxas lineares e exponenciais têm comportamentos diferentes. Nos ju-
ros simples, as taxas recaem sobre o capital inicial, e, nos juros compostos, 
sobre o capital anterior. No exemplo prático a seguir é possível visualizar a 
distinção entre juros simples e compostos.
ENGENHARIA ECONÔMICA 29
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Se um investidor aplica R$ 2.000,00 em 12 meses a uma taxa mensal de 
10%, os montantes finais, expressos em juros simples e compostos (taxa 
fixa), são:
Mês Juros simples Juros compostos
0 2.000,00 2.000,00
1 2.200,00 2.200,00
2 2.400,00 2.420,00
3 2.600,00 2.662,00
4 2.800,00 2.928,20
5 3.000,00 3.221,02
6 3.200,00 3.543,12
7 3.400,00 3.897,43
8 3.600,00 4.287,18
9 3.800,00 4.715,90
10 4.000,00 5.187,48
11 4.200,00 5.706,23
12 4.400,00 6.276,86
TABELA 1. COMPETÊNCIAS PARA O PROFISSIONAL
Fonte: VIANNA, 2018, n.p.
 Veja que o capital inicial, em abas as capitalizações, é 
de R$ 2.000,00. No primeiro mês, ambos renderam juros 
de R$ 200,00; porém, a partir do segundo mês, os ju-
ros já apresentam diferença, terminando a aplicação 
com uma diferença de R$ 1.876,86. Veja que, no grá-
fico, a representação gráfica dos juros simples é uma 
reta, enquanto a dos juros compostos forma uma curva ao 
longo do período de capitalização:
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GRÁFICO 8. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
1.000,00
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2.000,00
3.000,00
4.000,00
5.000,00
6.000,00
7.000,00
Fonte: VIANNA, 2018, p. 23. (Adaptado).
Sistema de capitalização simples: considerações básicas
Como visto anteriormente, no sistema de capitalização simples a taxa de 
juros incide sobre o capital inicial. Os juros simples são raramente utilizados 
atualmente, à exceção de aplicações/fi nanciamentos realizados no curto pra-
zo. Conforme afi rma Soares, “o regime de capitalização simples comporta-se 
como se fosse uma progressão aritmética (PA), crescendo os juros de uma for-
ma linear ao longo do tempo” (2015, p. 21).
Cálculo: juros
A fórmula dos juros simples pode ser representada por:
J = C i n (17)
Esse regime é caracterizado pela incidência da taxa de juros (i) e juros sobre 
o capital inicial (C). Nesse caso, não há a incidência cumulativa dos juros, o que 
caracteriza a capitalização simples.
Capital e montante
Ao fi nal do período, a aplicação terá rendido juros ( J) sobre o capital inicial 
(C), e o investidor poderá resgatar o que chamamos de montante:
ENGENHARIA ECONÔMICA 31
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M = C + J (18)
É interessante frisar que tanto 
o período quanto a taxa de juros 
devem estar na mesma medida de 
tempo. Agora, analise este exemplo 
prático: uma pessoa necessita de 
empréstimos para quitar uma dívida 
imobiliária no valor de R$ 86.000,00. 
Essa pessoa tem uma única condi-
ção: que o montante seja pago to-
talmente ao final de sete anos. Ela, 
então recorre ao Banco X, que aceita 
a condição, mas faz a seguinte pro-
posta: a taxa de juros será simples, no valor de 30% ao ano. Assim, ao final 
dos sete anos esta pessoa pagará:
J = 86.000 · 0,30 · 7 (19)
J = R$ 180.600,00 (20)
M = 86.000+180.600 (21)
M = R$ 266.600 (22)
Ao final do período de empréstimo, deverão ser pagos R$ 266.600,00 ao 
banco. O fluxo de caixa dessa operação pode ser representado sob duas ópti-
cas diferentes: a do tomador do empréstimo e a do banco.
GRÁFICO 9. FLUXO DE CAIXA DO TOMADOR
Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7
R$ 86.000,00
R$ 266.600,00
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GRÁFICO 10. FLUXO DE CAIXA DO BANCO
Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7Ano 1
R$ 86.000,00
R$ 266.600,00
• Fluxo de caixa do tomador: 
• Fluxo de caixa do banco:
Cálculo quanto ao prazo inteiro e fracionado, valor atual e 
nominal
O cálculo dos juros simples é a forma mais básica de capitalização. Isso 
porque a taxa de juros incide sobre o capital inicial e remunera o investi-
dor ao final do período de capitalização.
• Prazo inteiro
Ocorre se a aplicação for resgatada antes da data de vencimento. Ge-
ralmente, há um desconto referente ao valor que seria resgatado ante-
riormente. Exemplo prático: um investidor, inicialmente, deseja aplicar R$ 
8.000,00 por um ano a uma taxa de juros simples mensal de 10%; porém, 
passados oito meses, esse investidor resolve resgatar seu capital da apli-
cação. Quanto ele deixou de ganhar ao resgatar antes do tempo previsto?
Resgate em 1 ano de aplicação:
J = 8.000 · 0,10 · 12 (23)
J = R$ 9.600 (24)
M = 8.000 + 9.600 (25)
M = R$ 17.600,00 (26)
Resgate em 8 meses de aplicação:
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J = 8.000 · 0,10 · 8 (27)
J = R$ 6.400 (28)
M = 8.000+6.400 (29)
M = R$ 14.400,00 (30)
O investidor deixou de ganhar R$ 3.200,00 ao resgatar a aplicação an-
tes do previsto.
• Prazo fracionado
Ao adquirir uma aplicação, o valor nominal tem a função de mostrar ao 
investidor quanto ele receberá no vencimento. Ambrozini (2017) aborda o 
fato de que o cálculo dos juros simples não pode ser fracionado em prazos. 
Isso porque “dois capitais equivalentes, ao fracionar seus prazos, deixam 
de produzir o mesmo resultado na data focal pelo critério de juros sim-
ples” (p. 13), ou seja, o cálculo dos juros simples utiliza-se do prazo inteiro. 
GRÁFICO 11. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA JUROS SIMPLES E COMPOSTOS
Capital inicial
Juros
ninicial nfinal
Capital inicial + juros = montante
Fonte: VIANNA, 2018, n.p.
Fonte: VIANNA, 2018, n.p.
• Valor atual
É também chamado de valor de resgate. Ocorre se a aplicação for res-
gatada antes da data de vencimento. Geralmente, há um desconto referen-
te ao valor que seria resgatado anteriormente.
• Valor nominal
É também chamado de valor futuro. Ao adquirir uma aplicação, o valor 
nominal tem a função de mostrar ao investidor quanto ele receberá no 
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vencimento. Se há antecipação no pagamento de um título, deve haver um 
desconto, que são “juros devolvidos na antecipação do pagamento de um 
título” (SOUZA, 2017, p. 25), calculado via diferença entre o valor nominal 
e o valor atual. O desconto simples ocorre sobre o valor nominal via juros 
simples, ou seja, em operações de curto prazo com menores taxas.
Exemplo prático: uma pessoa toma um empréstimo de R$ 7.000,00 no 
banco e negocia o pagamento em juros simples a 13,5% ao ano durante 
cinco meses; porém, ela antecipa o pagamento, finalizando a dívida em 
três meses. Qual é o valor do desconto?
= 7.000 · 0,01125 · 5 (31)
J = R$ 393,75 de juros para 5 meses de dívida (32)
J = 7.000 · 0,01125 · 3 (33)
J = R$ 236,25 juros pagos com a antecipação da dívida (34)
J = 157,5de desconto (35)
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Sintetizando
Parabéns! Chegamos ao final da jornada de aprendizado da unidade. Nesse 
momento, você deverá ser capaz de reconhecer os conceitos iniciais de mate-
mática financeira, relacionar eficiência técnica à financeira, descrever a aplica-
bilidade da isoquanta e do isocusto, descrever fluxo de caixa e suas variantes, 
reconhecer o diagrama de fluxo de caixa, diferenciar os períodos de capitaliza-
ção e reconhecer os conceitos fundamentais de engenharia econômica. 
Além disto, você também poderá diferenciar juros simples de compostos, 
reconhecer os principais fatores de produção e a influência da escassez dos 
fatores de produção, diferenciar juros e lucro, rentabilidade e lucratividade, 
trade-off de custo de oportunidade, descrever o conceito de spread e como ele 
é composto e reconhecer os conceitos e aplicabilidade do regime de capitali-
zação simples.
Certifique-se de que todo o conteúdo tenha sido compreendido. Se ainda ti-
ver dúvidas, orientamos que retorne ao tópico e o releia. Lembre-se: este é um 
conteúdo denso, mas não exaustivo: existem outras fontes de pesquisa que 
eventualmente complementam o entendimento dos itens aqui apresentados, 
como vídeos, livros e artigos, referenciados no decorrer do curso.
Os conceitos aqui apresentados podem ser aplicados tanto na vida pessoal 
quanto na vida profissional. Coloque-os em prática.
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SER_ENGPROD_ENGECO_UNID1.indd 36 24/09/20 14:01
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Faculdade Anísio Teixeira (FAT), Feira de Santana, v. 7, n. 1, pp. 35-52, 2015.
SOARES. M. E. S. Matemática financeira. Cuiabá: Instituto de Educação, Ciên-
cia e Tecnologia Sul-Rio-grandense, Ministério da Educação e a Universidade 
Federal de Mato Grosso para a Rede e-Tec Brasil, 2015.
SOUZA, F. H. A. S. Matemática financeira: uma importante ferramenta no co-
tidiano. 2017. 51f. Trabalho de Conclusão de Curso – Instituto de Matemática e 
Estatística da Universidade Federal de Goiás (UFG), 2017. Disponível em: <ht-
tps://repositorio.bc.ufg.br/tede/handle/tede/6933>. Acesso em: 8 jun. 2020.
VIANNA, R. M. I. Matemática financeira. Salvador: UFBA, Faculdade de Ciên-
cias Contábeis; Superintendência de Educação a Distância, 2018.
ENGENHARIA ECONÔMICA 38
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SISTEMA DE 
CAPITALIZAÇÃO 
COMPOSTA, TAXA 
DE JUROS E SÉRIE DE 
CAPITAIS
2
UNIDADE
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Objetivos da unidade
Tópicos de estudo
 Aprender as diferenças entre regime de capitalização simples e composta;
 Entender o cálculo dos juros em capitalização composta;
 Diferenciar o prazo inteiro do fracionado;
 Relacionar o prazo fracionado à capitalização composta;
 Entender sobre os tipos de convenção;
 Diferenciar o valor atual e valor nominal;
 Entender os conceitos e a aplicabilidade de taxa de juros;
 Reconhecer a importância da taxa de juros no planejamento;
 Entender os debates sobre a taxa de juros no Brasil;
 Diferenciar taxa de juros nominal, efetiva, real, equivalente e aparente;
 Aprender sobre equivalência de taxa de juros;
 Diferenciar as séries de capitais;
 Entender o modelo básico de anuidade;
 Diferenciar os termos antecipado e postecipado;
 Reconhecer os conceitos e aplicações do coeficiente de financiamento.
 Sistema de capitalização 
composta
 Considerações básicas
 Cálculo: juros, capital e mon-
tante
 Cálculo: quanto ao prazo intei-
ro e fracionado
 Valor atual e nominal
 Taxa de juros: conceitos de 
taxa de juros
 Nominal e efetivo
 Equivalência entre taxas de 
juros
 Série de capitais
 Modelo básico de anuidade
 Modelo básico de anuidade 
com os termos postecipados
 Coeficiente de financiamento
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Sistema de capitalização composta
O conceito de juros é longínquo na história e surgiu da percepção da relação 
dinheiro versus tempo. Os métodos mais remotos sobre o controle e aplicação 
de juros são as tábuas. As mais obsoletas são datadas de até 2000 a.C na Babilô-
nia. Já durante o período renascentista, houve grande expansão das atividades 
comerciais, o que alavancou o investimento em educação e conhecimento, es-
pecialmente no âmbito europeu. No século XVII, já existiam centenasde livros 
relacionados à aritmética. Sendo assim, podemos dizer que as noções de juros 
compostos modernas emergiram como consequência da criação dos bancos. 
Nesse sentido, os juros compostos, conhecidos por juros sobre juros, é um 
dos tópicos mais importantes da matemática fi nanceira. Por oferecer maior 
rendimento, é o método mais utilizado em transações fi nanceiras e comerciais, 
como em empréstimos, fi nanciamentos e investimentos.
Considerações básicas
O regime de capitalização composta, assim como o regime de capitalização 
simples, é caracterizado pela incidência da taxa de juros sobre o capital inicial. 
Contudo, a incidência da taxa de juros sob os juros compostos é também acu-
mulada em períodos anteriores.
Isso signifi ca que, em regime de capitalização composta, além da incidência 
sobre o capital inicial, a taxa de juros também incide sobre os juros rentabiliza-
dos no período anterior. Essa é a principal diferença do regime de capitalização 
simples, em que independentemente do período, os juros incidem somente 
sobre o capital inicial.
Cálculo: juros, capital e montante
O cálculo dos juros utiliza algumas variáveis como o capital inicial, a taxa de 
juros, período de capitalização e montante. 
Juros
O cálculo dos juros compostos pode ser representado pela fórmula:
J = C [(1 + i)n - 1]
ENGENHARIA ECONÔMICA 41
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Onde:
J = juros
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = período de capitalização
Exemplo: foram aplicados, em regime de capitalização composta, R$ 
100.000,00 sob uma taxa de juros de 2,5% ao ano. A aplicação foi resgatada 
em sete meses. Antes de efetuar o cálculo dos juros, é necessário se atentar 
para o período de capitalização e transformar a taxa de juros para meses. 
Assim, os juros decorrentes desta operação podem ser encontrados da se-
guinte forma:
i = 2,52% ao ano
i =
2,5%
12
i = 0,21% ao mês
J = 100.000 [(1+0,0021) 7 - 1]
J = 100.000 [(1,0021 ) 7 - 1]
J = R$ 1.479,29
Capital
Ao decidir investir em uma aplica-
ção financeira ou em algum empreen-
dimento, é necessária uma quantia 
de capital para realizar a operação 
desejada e, após um período, obter 
os rendimentos referentes à quan-
tia aplicada. De forma correlata, ao 
contrair uma dívida, os juros incidem 
sobre o capital tomado e, ao final de 
um período, o tomador do emprésti-
mo deve pagar o total da dívida com 
os juros incididos sobre ela.
O capital, então, é a base para o cálculo dos juros simples ou compos-
to. Observe, na Figura 1, a diferença do capital em ambos os regimes de 
capitalização:
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Figura 1. Incidência dos juros simples.
Figura 2. Incidência dos juros compostos.
Montante
Em regime de capitalização simples, o montante é o resultado da incidência 
da taxa de juros sobre o capital inicial.
Sob o regime de capitalização composta, o montante é resultado da soma 
entre a incidência da taxa de juros sobre o capital inicial e sobre os juros re-
ferentes ao período anterior do cálculo. De maneira geral, para um capital C, 
aplicado a juros compostos durante n períodos a uma taxa unitária i referida 
nesse período, tem-se uma progressão geométrica, cujo primeiro termo é C 
(1 + i) e a razão é (1 + i )n (VIANNA, 2018, p. 22).
Capital inicial
Juros simples
ninicial nfinal
Montante
Capital inicial 
Juros compostos 
ninicial nfinal
Montante 
ENGENHARIA ECONÔMICA 43
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EXPLICANDO
Progressão aritmética (PA) é a sequência numérica em que cada termo, a 
partir do segundo, é determinado por meio da soma do termo antecessor 
por uma constante r, chamada de razão. Progressão geométrica (PG) é 
uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, pode 
ser determinado por meio da multiplicação do termo anterior por uma 
razão q.
Ou seja, o montante no regime de capitalização composta pode ser repre-
sentado pela fórmula:
M = C(1 + i) (1 + i)n
M = C(1 + i)n
Exemplo: em relação ao exemplo anterior, o montante da aplicação resga-
tada em sete meses pode ser expressado:
M = 100.000 (1 + 0,0021)7
M = R$ 101.479,29
A representação gráfica desse exercício pode ser vista no diagrama de fluxo 
de caixa: no primeiro mês, a aplicação é realizada, portanto a movimentação é 
de saída. Já ao realizar o resgate, no sétimo mês, a movimentação é de entrada.
Observe o Gráfico 1:
GRÁFICO 1. DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA DO EXEMPLO
O montante da aplicação no período n é a soma do montante no período n-1 
com a rentabilidade dos juros em n. Veja a Tabela 1, que exemplifica a operação:
R$ 101.479,29
R$ 100.000,00
Mês 1 Mês 2 Mês 3 Mês 4 Mês 5 Mês 6 Mês 7
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TABELA 1. RENTABILIDADE E MONTANTE EXEMPLO DOIS
Mês Juros Montante
0 - 100.000,00
1 210,00 100.210,00
2 210,44 100.420,44
3 210,88 100.631,32
4 211,33 100.842,65
5 211,77 101.054,42
6 212,21 101.266,63
7 212, 66 101.479,29
Cálculo: quanto ao prazo inteiro e fracionado
O cálculo dos juros quanto ao prazo inteiro se refere à taxa de juros in-
cidindo sobre o capital inicial a partir de um período de capitalização total. 
Enquanto isso, o cálculo dos juros quanto ao prazo fracionado é exatamente o 
contrário: a taxa de juros incide sobre o capital referente ao prazo total, repre-
sentado em diversas partes.
Em regime de capitalização simples, o fracionamento dos prazos não é 
aceito. Os resultados, nesse caso, são diferentes, uma vez que os juros devem 
incidir sempre sobre o capital inicial. Se houver o fracionamento do prazo de 
capitalização, a incidência dos juros não será sobre o capital inicial, e sim sobre 
o capital do prazo anterior. 
Exemplo: foram aplicados R$ 76.000,00 sob uma taxa de juros de 16,8% ao 
ano. A aplicação foi resgatada em dez meses. Sob o regime de capitalização 
simples, calcule os juros de forma inteira e fracionada:
i = 16,8% ao ano
i =
16,8%
12
i = 1,4 % ao mês
Prazo inteiro: juros simples
Total do período de capitalização = 10 meses
J = 76.000 ∙ 0,014 ∙ 10
ENGENHARIA ECONÔMICA 45
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J = R$ 10.640,00
M = 76.000 + 10.640,00
M = R$ 86.640,00
Prazo fracionado: juros simples
O prazo de dez meses foi fracionado em duas partes:
J5 meses = 76.000,00 ∙ 0,014 ∙ 5
J5 meses = R$ 5.320,00
M5 meses = 76.000,00 + 5.320,00
M5 meses = R$ 81.320,00
Período de capitalização = acumulado 10 meses
J10 meses = 81.320,00 ∙ 0,014 ∙ 5
J10 meses = R$ 5.692,40
M10 meses = 81.320,00+ 5.692,40
M10 meses = R$ 92.704,80
Vejamos que o fracionamento não funciona em juros simples: a capitalização 
no período inteiro foi de R$ 86.640,00. Quando fracionamos o período, o resultado 
foi diferente, no valor de R$ 92.704,80. Ou seja, no regime de capitalização com-
posta, o fracionamento dos prazos é aceito porque os resultados são os mesmos.
Exemplo: foram aplicados R$ 76.000,00 sob uma taxa de juros de 16,8% ao 
ano. A aplicação foi resgatada em dez meses. Sob o regime de capitalização 
composta, calcule os juros de forma inteira e fracionada.
Prazo inteiro: juros compostos
Total do período de capitalização = 10 meses
M = C (1 + i)n
M = 76.000,00 (1 + 0,014)10
M = R$ 87.335,97
Prazo fracionado: juros compostos
O prazo de dez meses foi fracionado em duas partes:
 1) Período de capitalização = primeiros 5 meses
M5 meses = 76.000,00 (1 + 0,014)5
M5 meses = R$ 81.471,06
 2) Período de capitalização = acumulado 10 meses
M10 meses = 81.471,06 (1 + 0,014)5
M10 meses = R$ 87.335,97
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No prazo fracionado, em que o prazo não é número inteiro em relação à 
taxa de juros, podemos utilizar dois tipos de convenções para o cálculo do 
montante em capitalização composta: a convenção linear ou a convenção 
exponencial (SAAD; SILVA, 2016).
Convenção linearNesse tipo de convenção, o cálculo do montante é realizado em duas etapas:
• Na etapa um, o montante calculado é o da parte inteira da capitalização;
• Na etapa dois, o montante calculado é o da parte fracionada da capitalização.
Observe a fórmula representante do cálculo de convenção linear:
M = C(1 + i )n 1 + i
p
q
M = 10.500 (1 + 0,08)2 1 + 0,08 5
12
M = 10.500 (1 + 0,08)2 1 + 0,08 5
12
M = R$ 12.655,44
Onde: (1 + i)n representa a parte inteira e 1 + i
p
q representa a parte fracionada.
Temos a parte p que quer transformar-se e q que é o valor do período de 
referência. Em um período de capitalização igual a um ano e quatro meses, 
por exemplo, o valor de p é quatro, referente à parte fracionada de quatro 
meses, enquanto o q é o período de referência na mesma unidade fraciona-
da, ou seja, 12.
Exemplo: uma aplicação de R$ 10.500,00 é realizada em capitalização 
composta, à taxa de juros de 8% ao ano, com um período de capitalização 
de dois anos e cinco meses. Qual é o montante a partir da convenção linear?
Convenção exponencial
Nesse tipo de convenção, o cálculo dos juros compostos para descobrir o 
montante é realizado para todo o período de capitalização, considerando a 
parte inteira e a parte fracionada, como verificamos na fórmula:
M = C(1 + i ) +
p
qn
Exemplo: uma aplicação de R$ 10.500,00 é realizada em capitalização com-
posta, à taxa de juros de 8% ao ano, com um período de capitalização de dois 
anos e cinco meses. Qual é o montante a partir da convenção exponencial?
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M = 10.500 ∙ 1,204409
M = R$ 12.646,30
M =10.500(1 + 0,08) + 5
122
Valor atual e nominal
Em defi nição, valor atual e valor nominal apresentam sentidos opostos:
O valor atual é o valor que um investidor resgata, por exemplo, antes da data 
de vencimento, ou o valor pago antecipadamente em um empréstimo. Já o valor 
nominal é o valor da aplicação/dívida que deve ser paga no ato do vencimento. 
A relação entre os dois valores está representada na Figura 3:
Figura 3. Valor atual e valor nominal.
O valor atual, então, é o mesmo que valor presente, pois é o valor do título 
na data de resgate, enquanto o valor nominal é sinônimo de montante, pois é o 
valor do título na data do vencimento.
Caso haja antecipação do resgate de uma aplicação, uma taxa de desconto 
incidirá sobre o valor nominal. Assim, a diferença entre o valor nominal e o valor 
atual é o desconto no resgate da aplicação antes do previsto.
Taxa de juros: conceitos de taxa de juros
Em todo ato de aplicação do capital, o investidor é interessando em saber 
quanto será o rendimento de sua aplicação. A taxa de juros é o preço a ser pago 
ninicial
Capital
= Valor presente
= Valor atual
Valor nominal
= Montante
juros
nfi naln1 n2 n3 ...
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entre o ato de aplicação do capital até o ato de resgate. 
Ou seja, a taxa de juros é o custo do capital ao longo do 
período de capitalização.
Nesse caso, podemos definir taxa de juros como a re-
lação entre os juros pagos ou recebidos após o período 
de capitalização. Se uma pessoa aplica, por exemplo, 
R$ 1.000,00 e recebe R$ 1.300,00 no final de um cer-
to período, a taxa de juros é de 30% nesse período, 
ou seja, a relação entre os juros de R$ 300,00 recebi-
dos no vencimento do prazo combinado e o capital de 
R$1.000,00 inicialmente aplicado. 
Taxa de juros: empréstimos e aplicações
Ao realizar um empréstimo, o agente superavitário (agente com capital sufi-
ciente para emprestar), ou os próprios bancos levam em conta vários aspectos 
ao estabelecer uma taxa de juros como retorno, dentre eles:
• O risco do não pagamento por parte do tomador do empréstimo (calote). 
Varia para cada pessoa;
• Custos administrativos relacionados ao processo burocrático do empréstimo;
• O lucro que o agente superavitário/banco espera ter com a operação;
• As expectativas, dependendo do cenário econômico. Por exemplo, em uma 
economia mais instável, as expectativas são de inflações com maior variação 
em maiores patamares, por exemplo.
De forma análoga, ao realizar uma aplicação o investidor também espera ta-
xas de juros compatíveis com suas expectativas de retorno. Ele também analisa 
os riscos, os custos administrativos e o lucro esperado sob o contexto do cenário 
econômico da época. 
Taxa de juros: planejamento em empresas
O conceito de taxa de juros norteia o planejamento de empresas, de acordo 
com a Escola Nacional de Administração Pública (PEREIRA, 2015). Isso porque 
qualquer análise de viabilidade de um projeto está centrada no retorno do capi-
tal investido. 
Ao realizar o planejamento, a empresa tem respaldo para seu comportamen-
to diante de variações de mercado como, por exemplo, as reações da taxa de 
juros diante de uma crise ou expectativas inflacionárias:
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Com o planejamento orçamentário é possível ter uma visão ma-
cro de como a empresa irá se comportar durante o período or-
çado, mesmo que com algumas oscilações, como taxas de juros 
ou inflações, ou até mesmo uma queda nas vendas, no entanto, 
é possível ter uma previsão e um controle dos resultados eco-
nômicos. Mesmo que as receitas possam vir a diminuir, ainda 
assim, é possível reduzir os gastos e manter o equilíbrio da em-
presa, até que seja aplicada alguma medida corretiva quanto 
aos problemas que estão impossibilitando o desenvolvimento 
da empresa (SOBRINHO; SILVA, 2018, p. 6).
Sob esse aspecto, o fluxo de caixa se mostra uma importante ferramenta de 
acompanhamento das decisões da empresa, porque mostra as movimentações 
de caixa decorrentes do que foi estabelecido no planejamento, unidas às opera-
ções do dia a dia. Com ele, a empresa é capaz de saber se em um determinado 
período terá condições de pagar os compromissos assumidos, assim como co-
nhecerá os próprios recebimentos (DOSSENA e colaboradores, 2016).
Assim, a taxa de juros também se torna uma aliada das decisões empresa-
riais, porque caso uma empresa necessite de um empréstimo para expandir 
suas operações, ela pode analisar as taxas de juros cobradas e como serão as 
movimentações de caixa perante o pagamento das prestações. 
Taxa de juros no Brasil
Vários estudos indicam que a taxa de juros no Brasil opera, historicamente, 
em níveis elevados. A incerteza político-econômica pode ser uma justificativa 
para tal (ARIDA; BACHA; RESENDE, 2004 apud BARBOZA, 2015). Entretanto, Er-
ber (2008 apud BARBOZA, 2015) argumenta que a elevada taxa de juros é re-
sultado de uma associação para manter os juros elevados, fruto de interesses 
de quem lucra com operações financeiras e do Banco Central, que possui fama 
de conservador.
Oreiro e colaboradores (2012) dizem que além do Brasil possuir historica-
mente a maior taxa de juros do mundo, também é detentor, historicamente, do 
maior spread bancário. 
Uma primeira hipótese explicativa para o porquê dos eleva-
dos spreads praticados no Brasil seria o poder de mercado dos 
bancos, evidenciado pelo aumento do grau de concentração do 
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setor bancário no período recente. Com efeito, alguns estudos 
recentes sobre o setor bancário brasileiro – como, por exemplo, 
Belaisch (2003) – mostram que a estrutura de mercado preva-
lecente nesse setor é essencialmente não competitiva. Nesse 
contexto, os bancos teriam poucos incentivos para aumentar a 
sua efi ciência operacional, operando com spreads elevados quer 
como forma de gerar receita sufi ciente para cobrir os seus cus-
tos elevados, quer como resultado da sua capacidade de preci-
fi car os seus serviços num patamar bastante superior ao custo 
marginal de produção dos serviços bancários (OREIRO e colabo-
radores, 2012, p. 570 e 571).
Nominal e efetivo
Cada categoria de taxa de juros pode serutilizada em diferentes situações, 
por isso é importante compreender em quais momentos elas devem ser utiliza-
das. As taxas de juros podem ser capitalizadas, tanto diariamente quanto anual-
mente, por exemplo, e podem ser de diferentes períodos. Além disso, existem 
taxas nominais e efetivas. 
Taxa de juros nominal
Fornecida sob o período anual, não se refere ao período de capitalização. 
Uma taxa é nominal quando o valor do capital inicial tomado como base de cál-
culo não representa o valor efetivamente recebido ou desembolsado.
Tempo da taxa nominal ≠ período de capitalização
Ao tomar emprestado uma quantia no valor de R$ 100.000,00 capitalizados 
mensalmente a uma taxa de juros de 14% ao ano, sabemos que essa taxa é uma 
taxa de juros nominal, já que não é a taxa efetiva da operação. 
Taxa de juros efetiva
Diferentemente da taxa de juros nominal, a taxa de juros efetiva é referente 
ao período de capitalização. Se a taxa de juros nominal é de 14% ao ano, a taxa de 
juros efetiva de uma operação mensal é de 1,09% ao mês (VIANNA, 2018). Mais 
adiante, esse cálculo será demonstrado. 
Além das taxas de juros nominais e efetivas, existem outras classifi cações rele-
vantes para se conhecer. Dentre elas, a taxa de juros real, equivalente e aparente.
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Taxa de juros real = - 1
1 + 0,035
1 + 0,02
Taxa de juros real = - 1
1 + taxa de juros nominal
1 + taxa de Inflação
Taxa de juros real
É a taxa de juros que leva em conta as variações de preço durante o período 
de capitalização. Ou seja, se houver inflação, por exemplo, haverá perda em re-
lação ao valor final dos juros. 
Esse cálculo é feito a partir da taxa de juros efetiva, ou seja, considerando os 
efeitos inflacionários do período de capitalização.
Exemplo: calcule a taxa de juros real a partir de juros nominal a 3,5% e 
inflação a 2%.
Taxa de juros real = 0,14706
Taxa de juros real = 14,7%
Taxa de juros equivalente
Relaciona-se com a capitalização composta. Isto é, representa a equivalência 
de uma taxa de juros ao mês, aplicada a um período de capitalização maior.
Taxa de juros aparente
É a taxa resultado de uma operação, desconsiderando os efeitos inflacioná-
rios sob ela. Se a inflação no período for de 2,5% a taxa de juros aparente será 
igual a 2,5%, por exemplo.
A taxa de juros real também pode ser representada pela taxa de juros apa-
rente descontada pela inflação.
Assim, a fórmula que relaciona inflação, taxa real e taxa aparente pode ser 
representada por:
(1 + i) = (1 + ireal)(1 + π)
Em que: π é a taxa de inflação.
Exemplo: se uma aplicação rendeu 60% a um investidor após 24 meses 
de capitalização, e nesse mesmo período a inflação foi de 4%, a taxa real do 
investimento foi de:
(1 + 0,6) = (1 + ireal )(1 + 0,04)
( 1,6 ) = (1 + ireal )(1,04)
1,6 = 1,04 + 1,04 . ireal
0,56 = 1,04 . ireal 
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ireal = 0,5384
ireal = 53,84 %
CURIOSIDADE
No Brasil existem indicadores de infl ação administrados por distintas insti-
tuições e utilizados no mercado para distintas fi nalidades. Alguns deles são: 
IGP-M: Índice Geral de Preços do Mercado, calculado pela FGV, formado pela 
conjunção de índices de preço ao atacado, ao consumidor e de construção. 
É utilizado em seguros de saúde, contratos de aluguel e outros. IPCA: Índice 
Nacional de Preços ao Consumidor Amplo, calculado pelo IBGE. É o indicador 
ofi cial de infl ação do País e é utilizado pelo Banco Central. IPC: Índice de Preços 
ao Consumidor, calculado pelo IPEA, ele considera sete grupos: habitação, 
alimentação, transportes, despesas pessoais, saúde, vestuário e educação.
Equivalência entre taxas de juros
As taxas de juros podem ser analisadas sob diferentes óticas: diárias, men-
sais, anuais, bimestrais etc. Em alguns casos, embora seja necessário avaliar a 
taxa de juros mensal, só existem dados anuais. Nesses casos, a equivalência en-
tre as taxas de juros é a ferramenta para se encontrar a taxa de juros desejada. 
Ambrozini (2017) defi ne: “dois ou mais capitais representativos de uma certa 
data dizem-se equivalentes quando, a uma certa taxa de juros, produzem resul-
tados iguais numa data comum” (AMBROZINI, 2017, p. 12).
Se falarmos sobre um capital de R$ 500,00 hoje, equivale a R$ 550,00 em um 
ano sob qualquer regime de capitalização, a uma taxa de juros em 10% ao ano. 
Nesse caso, tanto os juros simples, quanto compostos, geram o mesmo montan-
te fi nal, pois o prazo de um ano não foi desmembrado. 
Sob juros simples:
J = C i n
J = R$ 500,00 ∙ 0,1 ∙ 1
J = R$ 50,00
M = R$ 500,00 + R$ 50,00
M = R$ 550,00
Sob juros compostos:
M = C (1 + i )n
M = R$ 500,00 (1 + 0,1)1
M = R$ 550,00
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Se o prazo for desmembrado, a taxa de juros deve ser equivalente ao novo 
período. Isto é: a taxa de juros é de 10% ao ano, sendo o período igual a um ano. 
Se, por exemplo, for considerado o período de cinco meses, a taxa de juros deve 
ser equivalente a ele.
A fórmula, então, de equivalência entre taxas de juros pode ser repre-
sentada por:
(1 + iequivalente
 )n = ( 1 + iperíodo atual )
Sendo:
iequivalente = taxa de juros desejada
iperíodo atual = taxa de juros informada
n = referente ao período de capitalização na unidade do período atual
Exemplo: a taxa de juros mensal equivalente a uma taxa de juros anual de 14% é: 
(1 + imensal)
12 = ( 1 + ianual)
(1+ imensal)
12 = (1 + 0,14)
(1 + imensal )
12 = 1,14
1 + imensal = 1,14
1/12
1 + imensal = 1,0109
imensal = 1,09% ao mês
Ou seja, engana-se ao achar que para encontrar uma taxa de juros equiva-
lente é apenas dividir uma taxa de juros de 14% ao ano em 12 meses. O certo é 
utilizar a fórmula de equivalência de taxas de juros.
Série de capitais
A série de capitais pode ser relacionada com o fluxo de caixa, pois apre-
senta as movimentações do retorno do capital e os pagamentos durante o 
período analisado.
Existem alguns tipos de séries, sejam elas séries uniformes ou séries 
uniformes antecipadas. O valor a ser financiado é chamado de valor pre-
sente, enquanto o valor do montante a ser pago é chamado de valor futuro.
De acordo com Vianna (2018), as séries podem ser classificadas da se-
guinte maneira:
• À periodicidade;
• Ao prazo;
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• Ao valor;
• À forma de pagamento/ao recebimento;
• Imediata
• Diferidas.
Modelo básico de anuidade
Em aplicações fi nanceiras, o montante pode ser quitado a partir de um único 
pagamento ou pode ser fracionado em parcelas, podendo ser dividido em dois 
subgrupos:
• Rendas certas: ocorrem quando as datas e os pagamentos são fi xos ao lon-
go do tempo. As rendas certas são uma sucessão, fi nita ou infi nita, de termos 
em geral iguais, feitos em datas pré-estabelecidas;
• Rendas aleatórias: podem ocorrer em qualquer período e o valor do paga-
mento pode variar.
No modelo básico de anuidade, pode-se dizer que os pagamentos podem ser 
temporários, constantes, antecipados, postecipados ou periódicos.
Série de pagamentos uniformes antecipados
Nesse caso, a primeira parcela referente aos pagamentos é sempre realizada 
no início da operação, ou seja, o primeiro pagamento já é feito na data zero. A 
diferença entre uma série de pagamento postecipada para uma antecipada é a 
data de pagamento, isto é, no primeiro caso a data fi ca no fi nal do período, já no 
segundo caso, fi ca no início do período de referência.
Figura 4. Série de pagamentos uniformes antecipados.
Exemplo: se uma TV Smart foi comprada por uma entrada + 4 parcelas de R$ 
600,00 a uma taxa de fi nanciamento de 6% ao mês, qual seria seu valor à vista?
PMT
Valor presente
PMT PMT PMT PMT
ninicial n1 n2 n3 ••• nfi nal
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PMT = Valor presente 
(1